В чем измеряется площадь и периметр. Чем отличается периметр от площади
Периметр - один из математических, а точнее - геометрических терминов, применяется в основном для вычисления сторон фигуры.
Из нашей статьи вы узнаете, что такое периметр и как он измеряется на примере основных геометрических фигур.
Определение периметра
Периметром называют общую длину всех сторон или окружности той или иной фигуры. Обозначается периметр большой буквой «Р», а измерять его можно в различных единицах длины, таких как миллиметры (мм), сантиметры (см), метры (м) и т. д. Для различных фигур существуют различные формулы для нахождения периметра. Ниже мы приведем несколько примеров, как узнать периметр у прямоугольника и некоторых других фигур.
Измеряем периметр
Если вам необходимо узнать периметр у сложной фигуры (к таким фигурам можно отнести фигуры с неровными линиями), то для этого вам понадобится веревка или нитка. При помощи этих вещей необходимо описать точный контур фигуры, а чтобы не запутаться, вы можете на веревке сделать отметки карандашом. Или же можно просто ее обрезать, а после приложить все части к линейке. Таким образом, вы узнаете, чему равен периметр практически у любой сложной фигуры.
Существует еще одно приспособление для вычисления периметра у сложных фигур: его называют курвиметр (роликовый дальномер). С его помощью вам нужно установить ролик в любую точку фигуры и описать роликом контур фигуры. Полученное число и будет равно периметру. О нахождении периметра у других геометрических фигур вы сможете узнать из нашей статьи . Ну а мы расскажем ещё о нескольких способах изменения периметра для разных фигур.
Круг, квадрат, равносторонний треугольник
Давайте также рассмотрим, как узнать периметр круга. Это довольно-таки просто: достаточно лишь определить длину окружности, а сделать это можно, умножив радиус «r» на число π≈3,14 и затем на 2 (P=L=2∙π∙r).
Пери́метр (др. -греч. περίμετρον - окружность, др. -греч. περιμετρέο - измеряю вокруг) - общая длина границы фигуры (чаще всего на плоскости). Имеет ту же размерность величин, что и длина. Иногда периметром называют границу геометрической фигуры.
Пло́щадь - численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры , неформально говоря, показывающая размер этой фигуры. Исторически вычисление площади называлось квадратурой. Фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой. Конкретное значение площади для простых фигур однозначно вытекает из предъявляемых к этому понятию практически важных требований (см. ниже). Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими.
Периметр фигуры обладает только одним параметром - протяжённостью, или длиной, выраженной в единицах длины: метр, ярд, аршин, локоть. Или производных от них: километр, сантиметр, дециметр.
Площадь фигуры обладает двумя параметрами - например, длиной и шириной, или радиусом и коэффициентом Пи, в зависимости от формы. Величина площади выражается в единицах в квадрате: квадратных метрах, гектарах, квадратных милях
Периметр и его определение
Периметром принято называть протяжённость границы плоской фигуры, состоящей из прямых отрезков, где начало каждого последующего примыкает к окончанию предыдущего.
Строго говоря, окружность тоже обладает периметром, но для криволинейных границ принято говорить о длине окружности, или длине дуги
Для определения длины периметра, необходимо измерить, или вычислить, длину каждой стороны фигуры, а затем суммировать полученные числа.
Площадь фигуры и её определение
Площадь простейших геометрических фигур определяется по формулам.
Площадь прямоугольника равна произведению длин сторон.
Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число Пи=3,1415
Свои формулы есть для треугольника, сектора, трапеции, параллелограмма.
Площадь сложных криволинейных фигур вычисляется интегралом. Взятие интеграла формулы, описывающей границу фигуры, даст в результате площадь. В этом и есть геометрический смысл интеграла - он вычисляет площадь, ограниченную графиком функции на заданном участке.
Сложная фигура, lkz которой нет общей формулы, для определения площади мысленно разбивается на простейшие фигуры. Площади простых фигур вычисляются и затем суммируются.
Периметр и площадь геометрической фигуры связаны и один параметр всегда может быть вычислен из другого с минимальными дополнительными данными.
Сегодня у нас речь пойдет о том, как вычислить периметр многоугольника . Но сначала поговорим о многообразии фигур. Посмотрите на рисунок. Какие фигуры мы здесь видим? Это прямоугольник и квадрат – многоугольники, которые имеют по четыре стороны, а также треугольник, имеющий три стороны, и пятиугольник с пятью сторонами.
И как же найти периметр этих фигур?
Для того, чтобы найти периметр многоугольника надо сложить длины всех его сторон .
Периметр обозначается заглавной латинской буквой Р .
Давайте рассмотрим несколько примеров.
Вычислим периметр многоугольника О. Как мы говорили ранее, периметр многоугольника – это сумма длин всех его сторон. Сложим все стороны нашего многоугольника:
Р = 15 + 17 + 10 + 10 + 20 + 15 = 87
Но можно вычислить периметр и другим способом, используя умножение. Мы видим, что некоторые стороны многоугольника одинаковы. У нас две стороны по 15 условных единиц и еще две по 10. Запишем выражение:
Р = 15 × 2 + 10 × 2 + 17 + 20 = 87
Теперь поговорим об особенностях вычисления периметра некоторых многоугольников.
Прямоугольник
– это такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны. Например, чтобы вычислить А со сторонами а
и б
, надо сложить эти стороны и умножить полученный результат на 2
:
Р(прямоугольника) = (а + б) × 2
То есть, если сторона прямоугольника а = 5 см , а сторона прямоугольника б = 3 см , то периметр прямоугольника будет:
Р = (5 + 3) × 2 = 16 см
А как найти неизвестные стороны прямоугольника, если известен его периметр и только одна из сторон?
Р(прямоугольника) = 2 × а + 2 × б
а = (Р – 2 × б) ÷ 2 или б = (Р – 2 × а) ÷ 2
Пример: Периметр прямоугольника 16 см, сторона а = 5 см. Чему равны остальные стороны прямоугольника?
Если мы знаем одну сторону прямоугольника, значит длины двух, из четырех сторон нам известны. Найдем остальные две стороны. То есть найдем одну, а вторая будет ей равна.
сторона б = (16 – 2 × 5) ÷ 2 = 3 см
Ответ: у прямоугольника две стороны по 5 см и две по 3 см.
Квадрат
– это прямоугольник, у которого все стороны равны. Чтобы вычислить надо длину одной стороны умножить на 4:
Р(квадрата) = а × 4
Например, у квадрата В сторона а = 5 см. Чтобы найти его периметр:
Р(В) = 5 × 4 = 20 см
А если известен периметр квадрата, как найти длины его сторон? Очень просто, надо его периметр разделить на четыре:
а = Р ÷ 4
Пример: Периметр квадрата 24 см. Чему равны его стороны?
а = 24 ÷ 4 = 6
Ответ: Стороны квадрата равны 6 см.
По подобию вычисления периметра квадрата вычисляется периметр всех равносторонних многоугольников
. То есть равен длине одной его стороны умноженной на количество сторон.
Если длина одной стороны многоугольника равна а , а число его сторон равно n , то его периметр будет равен:
Р(равностороннего многоугольника) = а × n
Например, у пятиугольника Д сторона а = 6 см . Найдем его периметр:
Р(Д) = 6 × 5 = 30 см
Ну а если известен периметр равностороннего многоугольника, то вычислить длины его сторон очень просто, надо разделить его периметр на количество сторон.
Инструкция
Источники:
- как найти периметр abcd
Периметр – это сумма длин сторон какой-либо геометрической фигуры. Иными словами, если взять нить и выложить с ее помощью на столе, например, квадрат, а потом измерить длину этой нити, то полученная цифра и будет периметром данного квадрата. Все знают, что такое периметр, но не каждый может сразу сообразить, как его рассчитать.
Для измерения периметра разных фигур существуют различные способы.
Инструкция
Квадрат. Общеизвестно, что у квадрата есть 4 стороны и они . Поэтому для вычисления его периметра так:
где а – это длина одной стороны данной фигуры.
Проще говоря, измерьте одну из сторон квадрата и умножьте эту цифру на количество сторон, то есть на 4. В нашем случае равен 16 см (4*4).
Прямоугольник и ромб. У этих двух фигур только параллельные друг другу стороны равны, соответственно периметр определяется следующим образом:
где а и b – соприкасающиеся стороны. Таким образом, на нашем примере периметр прямоугольника равен 24 см (2*(8+4)).
Треугольник. Поскольку треугольники бывают совершенно разными – равнобедренными, неправильными, с углами, то единственным верным способом периметр такой фигуры является формула:
То есть для вычисления периметра треугольника просто измерьте длины всех трех сторон и сложите полученные цифры. В нашем случае периметр треугольника равен 10,7 см (2+5+3,7).
Периметр называют длиной окружности, которая вычисляется по особой формуле:
где d – это окружности, а 3,14 – это число «пи», которое специально выведено учеными для определения периметра данной геометрической фигуры. Наш круг (см.) имеет 3 см, то есть периметр окружности равен 9,42см (3*3,14).
Источники:
- как находить длину окружности
Ом в общем случае называют длину линии, которая ограничивает замкнутую фигуру. Для многоугольников периметром является сумма всех длин сторон. Эту величину можно измерить, а для многих фигур и просто рассчитать, если известны длины соответствующих элементов.
Вам понадобится
- - линейка или рулетка;
- - прочная нить;
- - роликовый дальномер.
Инструкция
Чтобы измерить произвольного многоугольника, измерьте при линейки или другим измерительным прибором все его стороны, а затем найдите их сумму. Если дан четырехугольник со сторонами 5, 3, 7 и 4 см, которые измерены линейкой, найдите периметр, сложив их вместе Р=5+3+7+4=19 см.
Если же фигура произвольная и включает в себя не только прямые линии, то измерьте ее периметр обычной веревкой или ниткой. Для этого расположите ее так, она точно повторяла все линии, ограничивающие фигуру, и сделайте на ней отметку, если можно, просто обрежьте ее чтобы избежать путаницы. Затем при помощи рулетки или линейки, измерьте длину нитки, она и будет равна периметру данной фигуры. Обязательно следите за тем, чтобы нить максимально точно повторяла линию для большей точности результата.
Периметр сложной геометрической фигуры измеряйте роликовым дальномером (курвиметром). Для этого не линии намечается точка, в которую устанавливается ролик дальномера и прокатывается по ней, до возвращения в исходную точку. Дистанция, измеренная роликовым дальномером, и будет равна периметру фигуры.
Периметр некоторых геометрических фигур вычисляйте. Например, чтобы найти периметр любого правильного многоугольника (выпуклого многоугольника, стороны которого ), длину стороны умножьте на количество углов или сторон (они равны). Чтобы найти периметр правильного треугольника со стороной 4 см умножьте это на 3 (Р=4∙3=12 см).
Чтобы найти периметр , сложите длины всех его сторон. Если не даны все стороны, а есть углы ними, найдите их по теореме синуса или косинуса. Если известны две стороны прямоугольного треугольника, третью найдите по теореме Пифагора и найдите их сумму. Например, если известно, что катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4 см, то гипотенуза будет равна √(3²+4²)=5 см. Тогда периметр Р=3+4+5=12 см.
Источники:
- периметру
Для решения этой задачи методами векторной алгебры, вам необходимо знать следующие понятия: геометрическая векторная сумма и скалярное произведение векторов, а также следует помнить свойство суммы внутренних углов четырехугольника.
Вам понадобится
- - бумага;
- - ручка;
- - линейка.
Инструкция
Вектор – это направленный отрезок, то есть величина, считающаяся заданной полностью, если задана его длина и направление (угол) к заданной оси. Положение вектора больше ничем не ограничено. Равными считаются два вектора, обладающие длинами и одним направлением. Поэтому при использовании координат векторы изображают радиус-векторами точек его конца (начало в начале координат).
По определению: результирующим вектором геометрической суммы векторов называется вектор, исходящий из начала первого и имеющего конец второго, при условии, что конец первого, совмещен с началом второго. Это можно продолжать и далее, строя цепочку аналогично расположенных векторов.
Изобразите заданный ABCD векторами a, b, c и d в рис. 1. Очевидно, что при таком расположении результирующий вектор d=a+ b+c.
Скалярное произведение в данном случае удобнее на основе векторов a и d. Скалярное произведение, обозначаемое (a, d)= |a||d|cosф1. Здесь ф1 – угол между векторами a и d.
Скалярное произведение векторов, заданных координатами, определяется следующими :
(a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, тогда
cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).
Основные понятия векторной алгебры в привязке к поставленной задаче, приводят к тому, что для однозначной постановки этой достаточно задание трех векторов, расположенных, допустим, на AB, BC, и CD, то есть a, b, c. Можно конечно сразу задать точек A, B, C, D, но этот способ является избыточным (4 параметра вместо 3-х).
Пример. Четырехугольник ABCD задан векторами его сторон AB, BC, CD a(1,0), b(1,1), c(-1,2). Найти углы между его сторонами.
Решение. В связи с изложенным выше, 4-й вектор (для AD)
d(dx,dy)=a+ b+c={ax+bx +cx, ay+by+cy}={1,3}. Следуя методике вычисления угла между векторами а
cosф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2))=1/sqrt(10), ф1=arcos(1/sqrt(10)).
-cosф2=(axbx+ayby)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(bx^2+ by^2))=1/sqrt2, ф2=arcos(-1/sqrt2), ф2=3п/4.
-cosф3=(bxcx+bycy)/(sqrt(bx^2+ by^2)sqrt(cx^2+ cy^2))=1/(sqrt2sqrt5), ф3=arcos(-1/sqrt(10))=п-ф1.
В соответствии с замечанием 2 - ф4=2п- ф1 - ф2- ф3=п/4.
Видео по теме
Обратите внимание
Замечание 1. В определении скалярного произведения используется угол между векторами. Здесь, например, ф2 - это угол между АВ и ВС, а между a и b этот угол п-ф2. сos(п- ф2)=- сosф2. Аналогично для ф3.
Замечание 2. Известно, что сумма углов четырехугольника равна 2п. Поэтому ф4=2п- ф1 - ф2- ф3.
Любая выпуклая и плоская геометрическая фигура имеет ограничивающую ее внутреннее пространство линию - периметр. У многоугольников он состоит из отдельных отрезков (сторон), сумма длин которых определяет протяженность периметра. Участок плоскости, ограниченный этим периметром, тоже может быть выражен через длины сторон и углы в вершинах фигуры. Ниже приведены соответствующие формулы для одного из видов многоугольников - параллелограмма.
Инструкция
Если в задачи даны длины двух смежных сторон параллелограмма (a и b) и величина угла между ними (γ), то этого будет достаточно для вычисления обоих параметров. Для расчета периметра (P) четырехугольника сложите длины сторон и вдвое увеличьте полученное значение: P = 2*(a+b). Вычислять (S) фигуры придется с помощью тригонометрической функции - синуса. Перемножьте длины сторон, а результат умножьте на известного угла: S = a*b*sin(γ).
Если известна длина лишь одной из сторон (a) параллелограмма, но есть данные о (h) и величине угла (α) в любой из вершин , то это позволит и периметр (P) (S). Сумма всех углов в любом равна 360°, а в параллелограмме те из них, что лежат в противоположных вершинах, одинаковы. Поэтому для нахождения величины оставшегося неизвестным угла отнимите от 180° величину известного. После этого рассмотрите треугольник, составленный из высоты и лежащего напротив него угла, величины которых известны, а также неизвестной пока стороны. Примените к нему теорему синусов, и выясните, что длина стороны будет равна отношению высоты к синусу угла, лежащего напротив нее: h/sin(α).
После проведения предварительных расчетов предыдущего шага составьте нужные . Подставьте полученное выражение в формулу из первого шага и получите равенство: P = 2*(a+h/sin(α)). В том случае, если высота соединяет две противоположные стороны параллелограмма, длина которых дана в исходных условиях, для нахождения площади просто перемножьте эти два значения: S=a*h. Если же это условие не соблюдено, то подставьте в формулу выражение для другой стороны, полученное в предыдущем шаге: S=a*h/sin(α).
Видео по теме
Среди основных задач аналитической геометрии на первом месте стоит представление геометрических неравенством, уравнением или системой тех или других. Это возможно благодаря применению координат. Опытный математик, только взглянув на уравнение, без труда скажет, какую геометрическую фигуру можно начертить.
Инструкция
Уравнением F (x, y) можно задать кривую или прямую линию при выполнении двух условий: если координаты точки, которая не принадлежит заданной линии, не удовлетворяют уравнению; если каждая точка искомой линии со координатами удовлетворяет этому уравнению.
Уравнение вида x+√(y(2r-y))=r arccos (r-y)/r задает в декартовых координатах циклоиду – траекторию, которая описывается точкой на окружности c радиусом r. При этом окружность не по оси абсцисс, а катится. Какая при этом получается фигура, смотрите на рисунке 1.
Фигура, координаты точек которой задаются следующими уравнениями:
x=(R+r) cosφ - rcos (R+r)/r φ
y=(R+r) sinφ - rsin (R-r)/r φ,
называется эпициклоидой. Она траекторию, которую описывает точка на окружности с радиусом r. Эта окружность катится по другой окружности, имеющей радиус R, с внешней стороны. То, эпициклоида, смотрите на рисунке 2.
