Определение коэффициента точечной эластичности. Дуговой коэффициент эластичности

ТОЧЕЧНАЯ ЭЛАСТИЧНОСТЬ – эластичность, измеренная в одной точке кривой спроса или предложения; будет постоянной величиной повсюду, вдоль линии спроса и предложения.

Точечная эластичность представляет собой точный показатель чувствительности спроса или предложения к изменениям цен, доходов и т. д. Точечная эластичность демонстрирует реакцию спроса или предложения на бесконечно незначительное изменение цены, доходов и других факторов. Довольно часто возникает ситуация, когда крайне важно знать эластичность на определенном участке кривой, ϲᴏᴏᴛʙᴇᴛϲᴛʙующем переходу от одного состояния к другому. В данном варианте обычно функция спроса или предложения не задана.

Определение точечной эластичности иллюстрируется на рис. 18.1.

Чтобы определить эластичность при цене Р, следует установить наклон кривой спроса в точке А, т. е. наклон касательной (LL) к кривой спроса в ϶ᴛᴏй точке. В случае если прирост цены (ΔP) незначителен, прирост объема (ΔQ,), определяемый касательной LL, приближается к действительному. Из ϶ᴛᴏго вытекает, что формула точечной эластичности представляется таким образом:

Рисунок № 18.1. Точечная эластичность

В случае если абсолютное значение Е больше единицы, спрос будет эластичным. В случае если абсолютное значение Е меньше единицы, но больше нуля – спрос неэластичен.

ДУГОВАЯ ЭЛАСТИЧНОСТЬ – примерная (ориентировочная) степень реакции спроса или предложения на изменения цены, дохода и других факторов.

Дуговая эластичность определяется как средняя эластичность, или эластичность в середине хорды, соединяющей две точки. В действительности применяются средние для дуги значения цены и объема спроса или предложения.

Эластичность спроса по цене – ϶ᴛᴏ отношение относительного изменения спроса (Q) к относительному изменению цены (Р), кᴏᴛᴏᴩое на рис. 18.2 изображено точкой М.

Рисунок № 18.2. Дуговая эластичность

Дуговая эластичность математически может быть выражена таким образом:

где P 0 – начальная цена;

Q 0 – начальный объем спроса;

P 1 – новая цена;

Q 1 – новый объем спроса.

Дуговая эластичность спроса используется в случаях с относительно большими изменениями цен, доходов и других факторов.

Коэффициент дуговой эластичности, по утверждению Р. Пиндайка и Д. Рубинфельда, всегда лежит где-то (но не всегда посередине) между двумя показателями точечной эластичности для низкой и высокой цен.

Таким образом, при незначительных изменениях рассматриваемых величинтрадиционно используется формула точечной эластичности, а при больших (например, свыше 5 % от начальных величин) используется формула дуговой эластичности.

АЛЛЕИ Рой Джордж Дуглас (р. 1906), английский экономист-математик и статистик. С1944 г. профессор статистики Лондонского университета, читал курс математической экономики в ряде других английских высших учебных заведений. Член советов Экономического и Эконометрического обществ и ряда других научных организаций. Труды Аллена – главным образом учебные пособия по математической экономии, посвященные систематизации и анализу математических методов, используемых при изучении различных экономических проблем. Исходным пунктом экономических исследований он считал не производство, а получение дохода.

Аллен внес существенный вклад в разработку проблемы дуговой эластичности.

Точечная эластичность - эластичность, измеренная в одной точке кривой спроса или предложения; является постоянной величиной повсюду, вдоль линии спроса и предложения.

Точечная эластичность представляет собой точный показатель чувствительности спроса или предложения к изменениям цен, доходов и т. д. Точечная эластичность отражает реакцию спроса или предложения на бесконечно незначительное изменение цены, доходов и других факторов. Нередко возникает ситуация, когда необходимо знать эластичность на определенном участке кривой, соответствующем переходу от одного состояния к другому. В данном варианте обычно функция спроса или предложения не задана.

Определение точечной эластичности иллюстрируется на рис. 18.1.

Чтобы определить эластичность при цене Р, следует установить наклон кривой спроса в точке А, т. е. наклон касательной (LL) к кривой спроса в этой точке. Если прирост цены (ΔP) незначителен, прирост объема (ΔQ,), определяемый касательной LL, приближается к действительному. Из этого вытекает, что формула точечной эластичности представляется таким образом:

Рис. 18.1. Точечная эластичность

Если абсолютное значение Е больше единицы, спрос будет эластичным. Если абсолютное значение Е меньше единицы, но больше нуля - спрос неэластичен.

Дуговая эластичность - примерная (ориентировочная) степень реакции спроса или предложения на изменения цены, дохода и других факторов.

Эластичность спроса по цене - это отношение относительного изменения спроса (Q) к относительному изменению цены (Р), которое на рис. 18.2 изображено точкой М.

Рис. 18.2. Дуговая эластичность

Дуговая эластичность математически может быть выражена таким образом:

где P 0 - начальная цена;

Q 0 - начальный объем спроса;

P 1 - новая цена;

Q 1 - новый объем спроса.

Итак, при незначительных изменениях рассматриваемых величин, как правило, используется формула точечной эластичности, а при больших (например, свыше 5 % от начальных величин) используется формула дуговой эластичности.

АЛЛЕИ Рой Джордж Дуглас (р. 1906), английский экономист-математик и статистик. С1944 г. профессор статистики Лондонского университета, читал курс математической экономики в ряде других английских высших учебных заведений. Член советов Экономического и Эконометрического обществ и ряда других научных организаций. Труды Аллена - главным образом учебные пособия по математической экономии, посвященные систематизации и анализу математических методов, используемых при изучении различных экономических проблем. Исходным пунктом экономических исследований он считал не производство, а получение дохода.

Аллен внес существенный вклад в разработку проблемы дуговой эластичности.

Коэффициент эластичности показывает степень количественного изменения одного фактора (например, объема спроса или предложения) при изменении другого (цены, доходов или издержек) на 1%. Эластичность спроса или предложения вычисляется как отношение процентного изменения величины спроса (предложения) к процентному изменению какой-либо детерминанты.

Детерминанты - это факторы, оказывающие воздействие на спрос или предложение.

Различные товары различаются между собой по степени изменения спроса под воздействием того или иного фактора. Степень реакции спроса на эти товары поддается количественному измерению с помощью коэффициента эластичности спроса.

Понятие эластичности спроса раскрывает процесс адаптации рынка к изменению основных факторов (цены товара, цены товара аналога, дохода потребителя).

При подсчете коэффициента эластичности используют два основных метода: метод дуговой эластичности и метод точечной эластичности.

Это показатель средней реакции спроса на изменение цены, выраженной кривой спроса.

Эластичность по дуге применяется при измерении эластичности между двумя точками на кривой спроса или предложения и предполагает знание первоначальных и последующих уровней цен и объемов продукта (рис. 4.3).

Рис. 4.3.

Дуговая эластичность рассчитывается по формуле

где Р - начальная иена;

Р2 - новая иена;

С] - первоначальный объем;

02 - новый объем.

Использование формулы дуговой эластичности дает лишь приблизительное значение эластичности, и погрешность будет тем больше, чем более выпуклой будет дуга АВ.

Эластичность, измеренная в одной точке кривой спроса или предложения.

Точечная эластичность представляет собой точный показатель чувствительности спроса или предложения к изменениям цен, доходов и других факторов. Она отражает реакцию спроса или предложения на бесконечно незначительное изменение цен, доходов и т.д. Нередко возникает ситуация, когда необходимо знать эластичность на определенном участке кривой, соответствующем переходу от одного состояния к другому. В этом варианте обычно функция спроса или предложения не задана (рис. 4.4).

Рис. 4.4.

Чтобы определить эластичность при цене Р, следует установить наклон кривой спроса в точке А, т.е. наклон касательной (И) к кривой спроса в этой точке. Если прирост цены (ОР) незначителен, прирост объема 040, определяемый касательной 1£, приближается к действительному.

Формула точечной эластичности представляется таким образом:

Если абсолютное значение Е больше единицы, то спрос будет эластичным. Если абсолютное значение Е меньше единицы, но больше нуля - спрос неэластичен.

Точечная эластичность везде является постоянной величиной: вдоль линии спроса и предложения.

Для подавляющего большинства товаров зависимость между ценой и спросом обратная, т.е. коэффициент получается отрицательным. Минус обычно принято опускать, и оценка производится по модулю. Тем не менее встречаются случаи, когда коэффициент эластичности спроса оказывается положительным (например, это характерно для товаров Гиффена).

Товар Гиффена - товар, потребление которого (при прочих равных условиях) увеличивается при повышении цены (т.е. эффект замещения от изменения цены перевешивается действием эффекта дохода).

При соблюдении прочих равных условий потребление таких товаров отражает положительный наклон кривой спроса. Для большинства товаров повышение цены ведет к снижению их потребления (например, при росте цен на мясо население покупает меньше мяса, заменяя его рыбой, грибами и т.д.). У товара Гиффена все наоборот - при росте цен на картофель люди начинают покупать больше картофеля, но меньше, например, мяса. В этом заключается парадокс Гиффена: при повышении цен на определенные виды товара (в основном первой необходимости) их потребление увеличивается за счет экономии на других товарах.

Все товары Гиффена - малоценные, но занимающие в потребительском бюджете значительное место, для них отсутствует равнозначный товар-заменитель. Ценных товаров в этой категории не бывает. Так, например, товарами Гиффена в России являются кетчуп и майонез, в Китае - рис и соевый соус. Обычно такие товары обнаруживаются в условиях нестабильности (кризисные угрозы, нестабильные доходы, резкие институциональные изменения и т.п.). Но надежное их исследование требует изучения "прочих равных условий", что осуществляется далеко не всегда.

Рассмотрим два метода определения ценовой эластичности спроса.

1. Дуговой метод . Обратимся к кривой спроса на рис. 2.11.

Рис. 2.11. Определение ценовой эластичности спроса.

Ценовая эластичность спроса будет различной на различных ее участках. Так, на участке ab спрос будет неэластичным, а на участке cd – эластичным. Измеренная на этих участках эластичность называется дуговой эластичностью .

Предостережение . Одна из проблем, которая возникает при подсчете эластичности на основе изменений в количестве и цене как процентном соотношении от начальной величины (что мы проделали сейчас), состоит в том, что этот способ подсчета приводит к несоответствиям. Рост цен на 20% (с 12 ф.ст. до 14,40 ф.ст.) покрывает 20 % снижения объема продаж (с 200 до 160) и создает эластичность, равную 1 (единичную эластичность), и общий доход должен, следовательно, оставаться неизменным. Но вместо этого он уменьшается с 2400 ф.ст. (12 200) до 2304 (14,40 160) ф.ст. Почему так происходит? Это несоответствие возникает в связи с тем, что если эластичность спроса подсчитывается между двумя точками на кривой спроса, величина меняется в зависимости от того, начинаем мы считать с начальной величины или с конечной величины. Рост цены с 12 ф.ст. до 14,40 ф.ст. представляет собой 20 % изменение, равно как и уменьшение объема продаж с 200 до 160. Эластичность спроса в этом случае равна 1 (20/20). Но если мы пойдем в противоположном направлении, то получим совсем иной результат. Снижение цены с 14,40 до 12 ф.ст. сокращает объем продаж на 16,7 %, в то время как увеличение величины спроса с 160 до 200 - это изменение в 25%. В данном случае эластичность спроса равна 1,5 (25/16,7). Эластичность спроса различна в зависимости от того, с начальной или с конечной величины мы начинаем расчет. Одним из способов решения этой проблемы является расчет эластичности на основе процентного отношения средних величин или средних между двумя крайними величинами. Этот метод подсчитывает процентное изменение эластичности спроса путем деления разности конечной и начальной величин на их среднее значение. Например, 13,20 ф. ст. - есть средняя величина от двух величин - 12 ф.ст. и 14,40 ф.ст. Следовательно, согласно этому методу изменение цены с 12 ф.ст. до 14,40 ф.ст. считается ростом в 18,2%,поскольку(14,40-12)/13,20 100 = 18,2. Равно и изменение цены с 14,40 ф.ст. до 12 ф.ст. считается уменьшением в 18,2 %. Таким образом, метод расчета на основе средних величин дает в обоих случаях один и тот же ответ независимо от направления изменений цены. Для величины спроса средней величиной является 180. В этом случае, если величина продаж увеличивается с 160 до 200 (или уменьшается с 2 (до 160), мы считаем, что она изменилась на 22,2 % (поскольку 200-160 / 180 ·100 = 22,2). Итак, при использовании этого способа эластичность спроса по цене равна 1,22 (22/ 18,2). В данной лекции не ставится специальной задачи изучить, каким образом рассчитывается эластичность спроса по цене; для нас гораздо важнее, чтобы вы поняли взаимосвязь величины спроса и цены. Несмотря на это, данный пример показывает, что если вам необходимо подсчитать эластичность, то лучше использовать процентное отношение средней величины или средней между двумя величинами. (Добсон С., Полфреман С. Основы экономики: Минск: УП «Экоперспектива», 2004.)

Дуговая эластичность – это эластичность, измеренная между двумя точками кривой .

Фактически приведенная нами выше формула 2.8 была формулой дуговой эластичности. В числителе в ней фигурировало изменение количества блага в процентном выражении. Если мы отвлечемся от процентного выражения этого изменения и посмотрим, что есть относительное изменение Q , то нетрудно определить его как DQ /Q . Аналогичным образом относительное изменение цены можно представить как DР /Р . Тогда ценовая эластичность спроса может быть представлена:

E D = (2.9)

В качестве DQ берется разность между двумя значениями спроса на благо. Например, применительно к рис. 2.11 это могут быть разности (Q a - Q b) или (Q c - Q d). В качестве DР берется разность между двумя значениями цены, допустим (P a - P b) или (P c - P d). Проблема заключается в том, какое из двух значений количества блага и цены использовать в формуле 2.9 в качестве значений Q и Р . Понятно, что при разных значениях получается разный результат. Решение проблемы заключается в том, чтобы использовать среднее арифметическое двух значений. В таком случае мы измеряем некую среднюю эластичность на спрямляющих дуги отрезках ab и cd, и формула дуговой эластичности принимает вид:

E D = ,

где = (P a + P b)/2 или = (P с + P d)/2, а = (Q a + Q b)/2 или = (Q с + Q d)/2 (опять же нижние индексы отвечают обозначениям из рис. 2.11). Если же мы рассмотрим некий общий случай и обозначим значения количеств блага и цены как Q 1 , Q 2 и P 1 , P 2 , соответственно, то окончательно формулу дуговой эластичности после некоторых элементарных алгебраических преобразований можно представить как:

E D =

Именно этой формулой удобнее всего пользоваться при реальных вычислениях дуговой эластичности. Конечно, для этого необходимо знать числовые значения Q 1 , Q 2 и P 1 , P 2 .

Дуговая эластичность может рассчитываться и для случая линейной функции спроса для любых ее отрезков.

2. Точечный метод . Представим теперь, что нам нужно определить эластичность не на отрезках ab и cd , а в некоторой произвольно взятой точке f на кривой спроса (рис. 2.11). В этом случае можно воспользоваться формулой 2.9, но заменив DQ и DР бесконечно малыми величинами. Тогда эластичность можно определить как:

Формула 2.10 показывает точечную эластичность спроса.

Точечная эластичность – это эластичность, измеренная в некоторой точке кривой .

dQ /dP – показывает изменение спроса в ответ на изменение цены. На рис. 2.11 – это тангенс угла, образуемый касательной к кривой спроса в точке f и осью ординат (tg a). Он равен –70/50 = - 1,44 (знак минус обусловлен отрицательным наклоном кривой спроса и, соответственно, касательной к ней). Относительно точки f P f = 25, а Q f = 35. Подставляем эти значения в формулу 2.10 и получаем, что E D = - 1,44 × (25/35) = - 1,0. Следовательно, выше этой точки по кривой спроса спрос неэластичен, ниже – эластичен.

При изучении эластичности необходимо особо обратить внимание на то, что она лишь частично определяется наклоном кривой спроса. Это можно легко заметить на примере линейной функции спроса. С этой целью выберем знакомую нам функцию спроса Q D = 60 - 4P и изобразим ее на рис. 2.12.

Рис. 2.12. Различные эластичности линейных функций спроса.

Очевидно, что у линейной функции угол наклона во всех ее точках одинаков. В нашем случае dQ /dP = tg a = - 4 на всем ее протяжении. Однако в разных ее точках значение ценовой эластичности будет различным в зависимости от выбранных значений Р и Q . Так, например, в точке k эластичность равна 2, а в точке l уже только 0,5. В точке u, которая делитлинию спроса mn ровно пополам, эластичность составляет 1.

Теперь предположим, что спрос возрос так, что линия спроса сместилась в положение m ¢n . Она теперь описывается функцией Q D = 60 - 1,5P . Хорошо видно, что угол ее наклона существенно изменился. Здесь dQ /dP = tg b = - 1,5. Однако, например, в точке u ¢ эластичность спроса равна - 1, как и в точке u на линии спроса mn .

Заметим, что в точке, которая делит прямую линию спроса пополам, эластичность всегда равна – 1. На отрезке выше этой точки спрос в любой точке эластичный, ниже - неэластичный в любой точке. Эти утверждения можно легко доказать, зная формулу определения эластичности и элементарную геометрию.

До сих пор мы стремились показать, что значения ценовой эластичности спроса различны для различных участков и точек линии, представляющих одну и ту же функцию спроса. Однако можно указать на три исключения, когда эластичность одинакова для всей кривой спроса. Во-первых, нетрудно заметить, что когда последняя представлена вертикальной прямой линией (рис. 2.13, график А), то эластичность спроса равна 0 (т.к. dQ /dP = 0). Такой спрос называют абсолютно неэластичным.

Рис. 2.13. Графики функций спроса с постоянными эластичностями.

Во-вторых, если кривая спроса представлена горизонтальной прямой линией (рис. 2.13, график Б), то эластичность спроса равна бесконечности (т.к. dQ /dP = ). Такой спрос называют абсолютно эластичным.

И, наконец, в-третьих, когда кривая спроса представлена правильной гиперболой (рис. 2.13, график В), т.е. Q D = 1/P . Используя формулу 2.10 можно установить, что ее эластичность постоянна и равна - 1, т.е. |E D | = 1.