Ibigay ang equation ng isang eroplano na patayo sa isang tuwid na linya. Equation ng isang eroplano: paano mag-compose? Mga uri ng mga equation ng eroplano

Isaalang-alang natin ang eroplanong Q sa kalawakan Ang posisyon nito ay ganap na natutukoy sa pamamagitan ng pagtukoy sa vector N patayo sa eroplanong ito at ang ilang nakapirming punto na nakahiga sa eroplanong Q Ang vector N patayo sa eroplanong Q ay tinatawag na normal na vector ng eroplanong ito. Kung ipahiwatig natin sa pamamagitan ng A, B at C ang mga projection ng normal na vector N, kung gayon

Kunin natin ang equation ng eroplanong Q na dumadaan sa isang naibigay na punto at pagkakaroon ng isang naibigay na normal na vector . Upang gawin ito, isaalang-alang ang isang vector na nagkokonekta sa isang punto na may isang arbitrary na punto sa Q plane (Larawan 81).

Para sa anumang posisyon ng point M sa plane Q, ang vector MHM ay patayo sa normal na vector N ng plane Q. Samakatuwid, ang scalar product Let us write the scalar product in terms of projections. Dahil ang , at ay isang vector, kung gayon

at samakatuwid

Ipinakita namin na ang mga coordinate ng anumang punto sa Q plane ay nakakatugon sa equation (4). Madaling makita na ang mga coordinate ng mga puntos na hindi nakahiga sa Q plane ay hindi nakakatugon sa equation na ito (sa huling kaso ). Dahil dito, nakuha natin ang kinakailangang equation ng eroplanong Q. Ang equation (4) ay tinatawag na equation ng eroplanong dumadaan sa isang ibinigay na punto. Ito ay nasa unang antas na may kaugnayan sa kasalukuyang mga coordinate

Kaya, ipinakita namin na ang bawat eroplano ay tumutugma sa isang equation ng unang antas na may paggalang sa kasalukuyang mga coordinate.

Halimbawa 1. Isulat ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang puntong patayo sa vector.

Solusyon. Dito . Batay sa formula (4) nakukuha natin

o, pagkatapos ng pagpapasimple,

Pagbibigay ng coefficients A, B at C sa equation (4) iba't ibang kahulugan, maaari nating makuha ang equation ng anumang eroplano na dumadaan sa punto. Ang hanay ng mga eroplano na dumadaan sa isang tiyak na punto ay tinatawag na isang bundle ng mga eroplano. Ang equation (4), kung saan ang mga coefficient A, B at C ay maaaring kumuha ng anumang mga halaga, ay tinatawag na equation ng isang grupo ng mga eroplano.

Halimbawa 2. Gumawa ng equation para sa isang eroplanong dumadaan sa tatlong puntos (Larawan 82).

Solusyon. Isulat natin ang equation para sa isang grupo ng mga eroplano na dumadaan sa punto

Upang ang isang eroplano ay maiguguhit sa anumang tatlong punto sa kalawakan, kinakailangan na ang mga puntong ito ay hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya.

Isaalang-alang ang mga puntos na M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) sa pangkalahatang Cartesian coordinate system.

Upang ang isang di-makatwirang punto M(x, y, z) ay nakahiga sa parehong eroplano na may mga puntos na M 1, M 2, M 3, kinakailangan na ang mga vector ay coplanar.

(
) = 0

kaya,

Equation ng isang eroplano na dumadaan sa tatlong puntos:

Equation ng isang eroplano na ibinigay ng dalawang puntos at isang vector collinear sa eroplano.

Hayaang maibigay ang mga puntos na M 1 (x 1 ,y 1 ,z 1),M 2 (x 2 ,y 2 ,z 2) at ang vector
.

Gumawa tayo ng equation para sa isang eroplanong dumadaan sa mga ibinigay na puntos na M 1 at M 2 at isang arbitrary na puntong M (x, y, z) na kahanay ng vector .

Mga vector
at vector
dapat coplanar, i.e.

(
) = 0

Equation ng eroplano:

Equation ng isang eroplano gamit ang isang punto at dalawang vectors,

collinear sa eroplano.

Hayaang magbigay ng dalawang vector
At
, mga collinear na eroplano. Pagkatapos para sa isang di-makatwirang punto M(x, y, z) na kabilang sa eroplano, ang mga vectors
dapat coplanar.

Equation ng eroplano:

Equation ng isang eroplano sa pamamagitan ng punto at normal na vector .

Teorama. Kung ang isang punto M ay ibinigay sa espasyo 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), pagkatapos ay ang equation ng eroplano na dumadaan sa puntong M 0 patayo sa normal na vector (A, B, C) ay may anyo:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Patunay. Para sa isang di-makatwirang punto M(x, y, z) na kabilang sa eroplano, bumubuo kami ng isang vector. kasi vector ay ang normal na vector, pagkatapos ito ay patayo sa eroplano, at, samakatuwid, patayo sa vector
. Tapos yung scalar product

= 0

Kaya, nakuha namin ang equation ng eroplano

Ang teorama ay napatunayan.

Equation ng isang eroplano sa mga segment.

Kung sa pangkalahatang equation Ax + By + Cz + D = 0 hinahati natin ang magkabilang panig sa (-D)

,

pinapalitan
, nakukuha namin ang equation ng eroplano sa mga segment:

Ang mga numerong a, b, c ay ang mga intersection point ng eroplano na may x, y, z axes, ayon sa pagkakabanggit.

Equation ng isang eroplano sa vector form.

saan

- radius vector ng kasalukuyang punto M(x, y, z),

Isang unit vector na may direksyon ng isang patayo na bumaba sa isang eroplano mula sa pinanggalingan.

Ang ,  at  ay ang mga anggulo na nabuo ng vector na ito na may x, y, z axes.

p ay ang haba ng patayo na ito.

Sa mga coordinate, ang equation na ito ay mukhang:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Distansya mula sa isang punto hanggang sa isang eroplano.

Ang distansya mula sa isang di-makatwirang punto M 0 (x 0, y 0, z 0) sa eroplanong Ax+By+Cz+D=0 ay:

Halimbawa. Hanapin ang equation ng eroplano, alam na ang puntong P(4; -3; 12) ay ang base ng patayo na bumaba mula sa pinanggalingan hanggang sa eroplanong ito.

Kaya A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, ginagamit namin ang formula:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa dalawang puntos na P(2; 0; -1) at

Q(1; -1; 3) patayo sa eroplano 3x + 2y – z + 5 = 0.

Normal na vector sa eroplano 3x + 2y – z + 5 = 0
parallel sa nais na eroplano.

Nakukuha namin:

Halimbawa. Hanapin ang equation ng eroplanong dumadaan sa mga puntos A(2, -1, 4) at

B(3, 2, -1) patayo sa eroplano X + sa + 2z – 3 = 0.

Ang kinakailangang equation ng eroplano ay may anyo: A x+B y+C z+ D = 0, normal na vector sa eroplanong ito (A, B, C). Vector
(1, 3, -5) ay kabilang sa eroplano. Ang eroplanong ibinigay sa amin, patayo sa nais, ay may normal na vector (1, 1, 2). kasi Ang mga puntong A at B ay nabibilang sa parehong mga eroplano, at ang mga eroplano ay magkaparehong patayo, kung gayon

Kaya ang normal na vector (11, -7, -2). kasi Ang punto A ay kabilang sa nais na eroplano, kung gayon ang mga coordinate nito ay dapat matugunan ang equation ng eroplanong ito, i.e. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Sa kabuuan, nakukuha natin ang equation ng eroplano: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng eroplano, alam na ang puntong P(4, -3, 12) ay ang base ng patayo na bumaba mula sa pinanggalingan hanggang sa eroplanong ito.

Paghahanap ng mga coordinate ng normal na vector
= (4, -3, 12). Ang kinakailangang equation ng eroplano ay may anyo: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Upang mahanap ang coefficient D, pinapalitan namin ang mga coordinate ng point P sa equation:

16 + 9 + 144 + D = 0

Sa kabuuan, nakukuha namin ang kinakailangang equation: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Halimbawa. Ibinigay ang mga coordinate ng vertices ng pyramid A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Hanapin ang haba ng gilid A 1 A 2.

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga gilid A 1 A 2 at A 1 A 4.

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng gilid A 1 A 4 at mukha A 1 A 2 A 3.

Una nating mahanap ang normal na vector sa mukha A 1 A 2 A 3 bilang isang cross product ng mga vectors
At
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Hanapin natin ang anggulo sa pagitan ng normal na vector at ng vector
.

-4 – 4 = -8.

Ang gustong anggulo  sa pagitan ng vector at ng eroplano ay magiging katumbas ng  = 90 0 - .

Hanapin ang lugar ng mukha A 1 A 2 A 3.

Hanapin ang volume ng pyramid.

Hanapin ang equation ng eroplano A 1 A 2 A 3.

Gamitin natin ang formula para sa equation ng isang eroplanong dumadaan sa tatlong puntos.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Kapag ginagamit ang bersyon ng computer " Mas mataas na kurso sa matematika” maaari kang magpatakbo ng isang programa na lulutasin ang halimbawa sa itaas para sa anumang mga coordinate ng vertices ng pyramid.

Upang simulan ang programa, i-double click ang icon:

Sa window ng programa na bubukas, ipasok ang mga coordinate ng vertices ng pyramid at pindutin ang Enter. Sa ganitong paraan, lahat ng mga puntos ng desisyon ay maaaring makuha nang paisa-isa.

Tandaan: Upang patakbuhin ang program, ang Maple program ( Waterloo Maple Inc.) ng anumang bersyon, simula sa MapleV Release 4, ay dapat na mai-install sa iyong computer.

Sa artikulong ito ay pag-uusapan natin kung paano bumuo ng equation ng isang eroplano na dumadaan sa isang naibigay na punto sa tatlong-dimensional na espasyo na patayo sa isang linya. Una, susuriin natin ang prinsipyo ng paghahanap ng equation ng isang eroplano na dumadaan sa isang naibigay na punto na patayo sa isang naibigay na linya, pagkatapos nito ay susuriin natin nang detalyado ang mga solusyon sa karaniwang mga halimbawa at problema.

Pag-navigate sa pahina.

Paghahanap ng equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang ibinigay na punto sa espasyo na patayo sa isang ibinigay na linya.

Itakda natin sa ating sarili ang sumusunod na gawain.

Hayaang maayos ang Oxyz sa three-dimensional na espasyo, isang punto at isang tuwid na linya a ang ibigay, at kinakailangang isulat ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa puntong M 1 patayo sa tuwid na linya a.

Una, tandaan natin ang isang mahalagang katotohanan.

Sa mga aralin sa geometry sa mataas na paaralan, ang isang teorama ay napatunayan: sa pamamagitan ng isang naibigay na punto sa tatlong-dimensional na espasyo mayroong isang solong eroplano na patayo sa isang linya (maaari mong mahanap ang patunay ng teorama na ito sa aklat-aralin sa geometry para sa mga baitang 10-11, nakalista sa listahan ng mga sanggunian sa dulo ng artikulo).

Ngayon ay ipapakita namin kung paano hanapin ang equation ng solong eroplano na ito na dumadaan sa isang naibigay na punto na patayo sa isang tuwid na linya.

Sa pahayag ng problema, binibigyan tayo ng mga coordinate x 1, y 1, z 1 ng punto M 1 kung saan dumadaan ang eroplano. Pagkatapos, kung nakita natin ang mga coordinate ng normal na vector ng eroplano, maaari nating gawin ang kinakailangang equation ng eroplano na dumadaan sa isang naibigay na punto na patayo sa isang linya.

Mga halimbawa ng pagbubuo ng equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang ibinigay na punto na patayo sa isang ibinigay na linya.

Isaalang-alang natin ang mga solusyon sa ilang mga halimbawa kung saan matatagpuan ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang ibinigay na punto sa espasyo na patayo sa isang linya.

Halimbawa.

Isulat ang equation ng eroplano na dumadaan sa punto at patayo sa coordinate line Oz.

Solusyon.

Ang vector ng direksyon ng linya ng coordinate Oz ay malinaw na ang vector ng coordinate. Pagkatapos ang normal na vector ng eroplano, ang equation na kailangan nating buuin, ay may mga coordinate . Isulat natin ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang punto at may normal na vector na may mga coordinate:
.

Ipakita natin ang pangalawang paraan upang malutas ang problemang ito.

Ang eroplanong patayo sa coordinate line Oz ay tumutukoy sa isang hindi kumpletong pangkalahatang equation ng eroplano ng form. Hanapin natin ang mga halaga ng C at D kung saan dumadaan ang eroplano sa punto sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coordinate ng puntong ito sa equation: . Kaya, ang mga numero C at D ay nauugnay sa pamamagitan ng kaugnayan. Ang pagkuha ng C=1, makukuha natin ang D=-5. Pinapalitan namin ang nahanap na C=1 at D=-5 sa equation at makuha ang nais na equation ng eroplano na patayo sa tuwid na linya Oz at dumadaan sa punto . Parang .

Sagot:

Halimbawa.

Isulat ang equation ng isang eroplano na dumadaan sa pinanggalingan at patayo sa linya .

Solusyon.

Dahil ang eroplano na ang equation na kailangan nating makuha ay patayo sa linya , kung gayon ang normal na vector ng eroplano ay maaaring kunin na ang vector ng direksyon ng isang tuwid na linya. Pagkatapos . Ito ay nananatiling isulat ang equation ng eroplano na dumadaan sa punto at pagkakaroon ng isang normal na vector : . Ito ang kinakailangang equation ng isang eroplanong dumadaan sa pinagmulan ng mga coordinate na patayo sa isang tuwid na linya.

Sagot:

.

Halimbawa.

Sa hugis-parihaba coordinate system Oxyz sa tatlong-dimensional na espasyo, dalawang puntos at ibinibigay. Ang eroplano ay dumadaan sa punto A na patayo sa tuwid na linya AB. Isulat ang equation ng eroplano sa mga segment.

Solusyon.

Pangkalahatang equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang punto at may normal na vector ng eroplano , ay isusulat bilang .

Ito ay nananatiling pumunta sa kinakailangang equation ng eroplano sa mga segment:

.

Sagot:

.

Sa konklusyon, tandaan namin na may mga problema kung saan kinakailangan na isulat ang equation ng isang eroplano na dumadaan sa isang naibigay na punto at patayo sa dalawang ibinigay na intersecting na eroplano. Sa esensya, ang solusyon sa problemang ito ay bumababa sa pagbuo ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa isang naibigay na punto na patayo sa isang tuwid na linya, dahil ang dalawang intersecting na eroplano ay tumutukoy sa isang tuwid na linya. Sa kasong ito, ang pangunahing kahirapan ay ang proseso ng paghahanap para sa mga coordinate ng normal na vector ng eroplano na ang equation ay kailangang iguhit at pagkatapos, bilang ang nagdidirekta na vector ng tuwid na linya ay kinukuha namin at:

Samakatuwid, ang vector ay ang normal na vector ng eroplano na patayo sa linya a. Isulat natin ang equation ng eroplanong dumadaan sa punto at pagkakaroon ng isang normal na vector :
.

Ito ang nais na equation ng isang eroplano na dumadaan sa isang ibinigay na punto na patayo sa isang tuwid na linya.

Sagot:

.

Mga sanggunian.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometry. Baitang 7 – 9: aklat-aralin para sa mga institusyong pangkalahatang edukasyon.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometry. Teksbuk para sa 10-11 baitang ng sekondaryang paaralan.
• Pogorelov A.V., Geometry. Teksbuk para sa mga baitang 7-11 sa pangkalahatang mga institusyong pang-edukasyon.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Mas mataas na matematika. Volume one: mga elemento ng linear algebra at analytical geometry.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytical geometry.

Ang artikulong ito ay nagbibigay ng ideya kung paano bumuo ng isang equation para sa isang eroplano na dumadaan sa isang ibinigay na punto sa tatlong-dimensional na espasyo patayo sa isang naibigay na linya. Suriin natin ang ibinigay na algorithm gamit ang halimbawa ng paglutas ng mga tipikal na problema.

Paghahanap ng equation ng isang eroplano na dumadaan sa isang ibinigay na punto sa espasyo na patayo sa isang ibinigay na linya

Hayaan ang isang three-dimensional na espasyo at isang rectangular coordinate system O x y z na ibigay sa loob nito. Ibinibigay din ang punto M 1 (x 1, y 1, z 1), linya a at eroplanong α na dumadaan sa punto M 1 patayo sa linya a. Kinakailangang isulat ang equation ng eroplanong α.

Bago natin simulan ang paglutas ng problemang ito, tandaan natin ang geometry theorem mula sa syllabus para sa mga baitang 10-11, na nagsasabing:

Kahulugan 1

Ang isang solong eroplano na patayo sa isang partikular na linya ay dumadaan sa isang ibinigay na punto sa tatlong-dimensional na espasyo.

Ngayon tingnan natin kung paano hanapin ang equation ng solong eroplanong ito na dumadaan sa panimulang punto at patayo sa ibinigay na linya.

Posibleng isulat ang pangkalahatang equation ng isang eroplano kung ang mga coordinate ng isang punto na kabilang sa eroplanong ito ay kilala, pati na rin ang mga coordinate ng normal na vector ng eroplano.

Ang mga kondisyon ng problema ay nagbibigay sa amin ng mga coordinate x 1, y 1, z 1 ng punto M 1 kung saan dumadaan ang eroplanong α. Kung matukoy natin ang mga coordinate ng normal na vector ng eroplano α, magagawa nating isulat ang kinakailangang equation.

Ang normal na vector ng eroplanong α, dahil ito ay hindi zero at nasa linyang patayo sa eroplanong α, ay magiging anumang vector ng direksyon ng linya a. Kaya, ang problema ng paghahanap ng mga coordinate ng normal na vector ng eroplano α ay binago sa problema ng pagtukoy ng mga coordinate ng nagdidirekta na vector ng tuwid na linya a.

Ang mga coordinate ng vector ng direksyon ng tuwid na linya ay maaaring matukoy iba't ibang pamamaraan: depende sa opsyon ng pagtukoy ng tuwid na linya a sa mga unang kundisyon. Halimbawa, kung ang tuwid na linya a sa pahayag ng problema ay ibinigay ng mga canonical equation ng form

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

o parametric equation ng form:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

pagkatapos ang vector ng direksyon ng tuwid na linya ay magkakaroon ng mga coordinate a x, a y at a z. Sa kaso kapag ang tuwid na linya a ay kinakatawan ng dalawang puntos na M 2 (x 2, y 2, z 2) at M 3 (x 3, y 3, z 3), kung gayon ang mga coordinate ng vector ng direksyon ay matutukoy bilang ( x3 – x2, y3 – y2 , z3 – z2).

Kahulugan 2

Algorithm para sa paghahanap ng equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang naibigay na punto na patayo sa isang linya:

Tinutukoy namin ang mga coordinate ng vector ng direksyon ng tuwid na linya a: a → = (a x, a y, a z) ;

Tinukoy namin ang mga coordinate ng normal na vector ng eroplanong α bilang mga coordinate ng nagdidirekta na vector ng tuwid na linya a:

n → = (A , B , C) , kung saan A = a x , B = a y , C = a z;

Isinulat namin ang equation ng eroplano na dumadaan sa puntong M 1 (x 1, y 1, z 1) at pagkakaroon ng isang normal na vector n → = (A, B, C) sa anyong A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. Ito ang magiging kinakailangang equation ng isang eroplano na dumadaan sa isang ibinigay na punto sa espasyo at patayo sa isang partikular na linya.

Ang resultang pangkalahatang equation ng eroplano ay: Ginagawang posible ng A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 na makuha ang equation ng eroplano sa mga segment o ang normal na equation ng eroplano.

Lutasin natin ang ilang halimbawa gamit ang algorithm na nakuha sa itaas.

Halimbawa 1

Ang isang punto M 1 (3, - 4, 5) ay ibinibigay, kung saan ang eroplano ay dumadaan, at ang eroplanong ito ay patayo sa coordinate line O z.

Solusyon

ang direction vector ng coordinate line O z ang magiging coordinate vector k ⇀ = (0, 0, 1). Samakatuwid, ang normal na vector ng eroplano ay may mga coordinate (0, 0, 1). Isulat natin ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang naibigay na punto M 1 (3, - 4, 5), ang normal na vector na may mga coordinate (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Sagot: z – 5 = 0 .

Isaalang-alang natin ang isa pang paraan upang malutas ang problemang ito:

Halimbawa 2

Ang isang eroplanong patayo sa linyang O z ay bibigyan ng isang hindi kumpletong pangkalahatang equation ng eroplano ng form na C z + D = 0, C ≠ 0. Tukuyin natin ang mga halaga ng C at D: ang mga kung saan ang eroplano ay dumaan sa isang naibigay na punto. Palitan natin ang mga coordinate ng puntong ito sa equation na C z + D = 0, makuha natin ang: C · 5 + D = 0. Yung. Ang mga numero, C at D ay nauugnay sa pamamagitan ng kaugnayan - D C = 5. Ang pagkuha ng C = 1, makuha namin ang D = - 5.

Ipalit natin ang mga halagang ito sa equation C z + D = 0 at makuha ang kinakailangang equation ng isang eroplanong patayo sa tuwid na linya O z at dumadaan sa puntong M 1 (3, - 4, 5).

Magmumukha itong: z – 5 = 0.

Sagot: z – 5 = 0 .

Halimbawa 3

Sumulat ng equation para sa isang eroplanong dumadaan sa pinanggalingan at patayo sa linyang x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Solusyon

Batay sa mga kondisyon ng problema, maaari itong maitalo na ang vector ng direksyon ng isang tuwid na linya ay maaaring kunin bilang normal na vector n → ng isang naibigay na eroplano. Kaya: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Isulat natin ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa punto O (0, 0, 0) at pagkakaroon ng normal na vector n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Nakuha namin ang kinakailangang equation ng isang eroplano na dumadaan sa pinagmulan ng mga coordinate na patayo sa isang naibigay na linya.

Sagot:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Halimbawa 4

Ang isang hugis-parihaba na coordinate system O x y z ay ibinibigay sa tatlong-dimensional na espasyo, sa loob nito ay mayroong dalawang puntos A (2, - 1, - 2) at B (3, - 2, 4). Ang eroplanong α ay dumadaan sa puntong A patayo sa linyang A B. Kinakailangang lumikha ng isang equation para sa eroplanong α sa mga segment.

Solusyon

Ang eroplanong α ay patayo sa linyang A B, pagkatapos ay ang vector A B → ang magiging normal na vector ng eroplanong α. Ang mga coordinate ng vector na ito ay tinukoy bilang ang pagkakaiba sa pagitan ng kaukulang mga coordinate ng mga puntos na B (3, - 2, 4) at A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1, 6)

Ang pangkalahatang equation ng eroplano ay isusulat tulad ng sumusunod:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Ngayon, buuin natin ang kinakailangang equation ng eroplano sa mga segment:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Sagot:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Dapat ding tandaan na may mga problema na ang pangangailangan ay magsulat ng isang equation ng isang eroplano na dumadaan sa isang ibinigay na punto at patayo sa dalawang ibinigay na eroplano. Sa pangkalahatan, ang solusyon sa problemang ito ay ang pagbuo ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa isang naibigay na punto na patayo sa isang linya, dahil dalawang intersecting planes ang tumutukoy sa isang tuwid na linya.

Halimbawa 5

Ang isang hugis-parihaba na coordinate system O x y z ay ibinigay, sa loob nito ay mayroong isang punto M 1 (2, 0, - 5). Ang mga equation ng dalawang eroplano 3 x + 2 y + 1 = 0 at x + 2 z – 1 = 0, na nagsalubong sa tuwid na linya a, ay ibinibigay din. Kinakailangang lumikha ng equation para sa isang eroplanong dumadaan sa punto M 1 patayo sa tuwid na linya a.

Solusyon

Tukuyin natin ang mga coordinate ng directing vector ng tuwid na linya a. Ito ay patayo sa parehong normal na vector n 1 → (3, 2, 0) ng n → (1, 0, 2) na eroplano at ang normal na vector 3 x + 2 y + 1 = 0 ng x + 2 z - 1 = 0 eroplano.

Pagkatapos, bilang nagdidirekta ng vector α → line a, kinukuha namin ang vector product ng mga vectors n 1 → at n 2 →:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Kaya, ang vector n → = (4, - 6, - 2) ang magiging normal na vector ng eroplano na patayo sa linya a. Isulat natin ang kinakailangang equation ng eroplano:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Sagot: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Kung ang lahat ng mga numero A, B, C at D ay naiiba sa zero, kung gayon ang pangkalahatang equation ng eroplano ay tinatawag kumpleto. Kung hindi, ang pangkalahatang equation ng eroplano ay tinatawag hindi kumpleto.

Isaalang-alang natin ang lahat ng posibleng pangkalahatang hindi kumpletong equation ng eroplano sa rectangular coordinate system na Oxyz sa three-dimensional na espasyo.

Hayaan ang D = 0, pagkatapos ay mayroon tayong pangkalahatang hindi kumpletong plane equation ng form . Ang eroplanong ito sa rectangular coordinate system na Oxyz ay dumadaan sa pinanggalingan. Sa katunayan, kapag pinapalitan ang mga coordinate ng isang punto sa nagresultang hindi kumpletong equation ng eroplano, nakarating tayo sa pagkakakilanlan .

Para sa , o , o mayroon kaming pangkalahatang hindi kumpletong mga equation ng mga eroplano , o , o , ayon sa pagkakabanggit. Tinutukoy ng mga equation na ito ang mga eroplanong parallel sa mga coordinate na eroplano na Oxy, Oxz at Oyz, ayon sa pagkakabanggit (tingnan ang artikulo para sa kondisyon ng mga parallel na eroplano) at dumadaan sa mga punto at ayon dito. Sa. Since the point nabibilang sa eroplano ayon sa kondisyon, kung gayon ang mga coordinate ng puntong ito ay dapat matugunan ang equation ng eroplano, iyon ay, ang pagkakapantay-pantay ay dapat na totoo. Mula dito mahahanap natin. Kaya, ang kinakailangang equation ay may anyo .

Ipakita natin ang pangalawang paraan upang malutas ang problemang ito.

Dahil ang eroplano, ang pangkalahatang equation na kailangan nating buuin, ay parallel sa eroplanong Oyz, kung gayon bilang normal na vector nito ay maaari nating kunin ang normal na vector ng eroplanong Oyz. Ang normal na vector ng coordinate plane na Oyz ay ang coordinate vector. Ngayon alam namin ang normal na vector ng eroplano at ang punto ng eroplano, samakatuwid, maaari naming isulat ang pangkalahatang equation nito (nalutas namin ang isang katulad na problema sa nakaraang talata ng artikulong ito):
, kung gayon ang mga coordinate nito ay dapat matugunan ang equation ng eroplano. Samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay ay totoo kung saan natin ito matatagpuan. Ngayon ay maaari nating isulat ang nais na pangkalahatang equation ng eroplano, mayroon itong anyo .

Sagot:

Mga sanggunian.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Mas mataas na matematika. Volume one: mga elemento ng linear algebra at analytical geometry.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytical geometry.