Jak znaleźć równania trygonometryczne na przedziale. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych i metody wybierania pierwiastków na zadanym przedziale

27. Wybierzmy pierwiastki na danym odcinku

28. 10. Rozwiąż równanie 2sin2x =4cos x –sinx+1 Znajdź jego pierwiastki na przedziale [/2; 3/2]

29. Wybierzmy korzenie za pomocą okręgu

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań, aby ulepszyć świadczone przez nas usługi i przedstawić Państwu rekomendacje dotyczące naszych usług.
• Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z prawem, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Na Twoją prośbę!

13. Rozwiąż równanie 3-4cos 2 x=0. Znajdź sumę pierwiastków należących do przedziału .

Zmniejszmy stopień cosinusa za pomocą wzoru: 1+cos2α=2cos 2 α. Otrzymujemy równoważne równanie:

3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. Dzielimy obie strony równości przez (-2) i otrzymujemy najprostsze równanie trygonometryczne:

14. Znajdź b 5 postępu geometrycznego, jeśli b 4 =25 i b 6 =16.

Każdy wyraz ciągu geometrycznego, zaczynając od drugiego, jest równy średniej arytmetycznej wyrazów sąsiednich:

(b n) 2 =b n-1 ∙b n+1 . Mamy (b 5) 2 = b 4 ∙b 6 ⇒ (b 5) 2 =25·16 ⇒ b 5 =±5,4 ⇒ b 5 =±20.

15. Znajdź pochodną funkcji: f(x)=tgx-ctgx.

16. Znajdź największe i najmniejsze wartości funkcji y(x)=x 2 -12x+27

na segmencie.

Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji y=f(x) na segmencie, musisz znaleźć wartości tej funkcji na końcach segmentu oraz w punktach krytycznych należących do tego segmentu, a następnie wybrać największą i najmniejszą ze wszystkich uzyskanych wartości.

Znajdźmy wartości funkcji przy x=3 i przy x=7, tj. na końcach segmentu.

y(3)=3 2 -12∙3+27 =9-36+27=0;

y(7)=7 2 -12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.

Znajdź pochodną tej funkcji: y’(x)=(x 2 -12x+27)’ =2x-12=2(x-6); punkt krytyczny x=6 należy do tego przedziału. Znajdźmy wartość funkcji przy x=6.

y(6)=6 2 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. Teraz wybieramy spośród trzech uzyskanych wartości: 0; -8 i -9 największe i najmniejsze: największe. =0; na imię =-9.

17. Znajdź ogólną postać funkcji pierwotnych dla funkcji:

Przedział ten jest dziedziną definicji tej funkcji. Odpowiedzi należy zaczynać od F(x), a nie od f(x) - w końcu szukamy funkcji pierwotnej. Z definicji funkcja F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), jeśli zachodzi równość: F’(x)=f(x). Możesz więc po prostu znaleźć pochodne proponowanych odpowiedzi, aż otrzymasz daną funkcję. Rozwiązaniem rygorystycznym jest obliczenie całki danej funkcji. Stosujemy wzory:

19. Napisz równanie prostej zawierającej środkową BD trójkąta ABC, jeśli jej wierzchołkami są A(-6; 2), B(6; 6) C(2; -6).

Aby ułożyć równanie prostej, trzeba znać współrzędne 2 punktów tej prostej, ale znamy tylko współrzędne punktu B. Ponieważ środkowa BD dzieli przeciwny bok na pół, punkt D jest środkiem odcinka AC. Współrzędne środka odcinka są półsumami odpowiednich współrzędnych końców odcinka. Znajdźmy współrzędne punktu D.

20. Obliczać:

24. Pole regularnego trójkąta leżącego u podstawy prawego pryzmatu jest równe

Problem ten jest odwrotnością problemu nr 24 z opcji 0021.

25. Znajdź wzór i wstaw brakującą liczbę: 1; 4; 9; 16; ...

Oczywiście ten numer 25 , ponieważ dany jest ciąg kwadratów liczb naturalnych:

1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …

Powodzenia i powodzenia dla wszystkich!

Aby pomyślnie rozwiązać równania trygonometryczne wygodny w użyciu metoda redukcji do wcześniej rozwiązanych problemów. Zastanówmy się, jaka jest istota tej metody?

W każdym proponowanym problemie trzeba zobaczyć problem rozwiązany wcześniej, a następnie za pomocą kolejnych przekształceń równoważnych starać się zredukować postawiony problem do prostszego.

Zatem rozwiązując równania trygonometryczne, zwykle tworzą pewien skończony ciąg równań równoważnych, których ostatnim ogniwem jest równanie z oczywistym rozwiązaniem. Należy tylko pamiętać, że jeśli nie rozwinie się umiejętności rozwiązywania najprostszych równań trygonometrycznych, rozwiązywanie bardziej złożonych równań będzie trudne i nieskuteczne.

Ponadto przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych nigdy nie należy zapominać, że istnieje kilka możliwych metod rozwiązania.

Przykład 1. Znajdź liczbę pierwiastków równania cos x = -1/2 na przedziale.

Rozwiązanie:

Metoda I Narysujmy funkcje y = cos x i y = -1/2 i znajdźmy liczbę ich wspólnych punktów na przedziale (ryc. 1).

Ponieważ wykresy funkcji mają dwa wspólne punkty na przedziale, równanie zawiera dwa pierwiastki na tym przedziale.

II metoda. Korzystając z okręgu trygonometrycznego (ryc. 2), znajdujemy liczbę punktów należących do przedziału, w którym cos x = -1/2. Rysunek pokazuje, że równanie ma dwa pierwiastki.

III metoda. Korzystając ze wzoru na pierwiastki równania trygonometrycznego, rozwiązujemy równanie cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k – liczba całkowita (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – liczba całkowita (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k – liczba całkowita (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k – liczba całkowita (k € Z).

Przedział zawiera pierwiastki 2π/3 i -2π/3 + 2π, k jest liczbą całkowitą. Zatem równanie ma dwa pierwiastki w danym przedziale.

Odpowiedź: 2.

W przyszłości równania trygonometryczne będą rozwiązywane jedną z proponowanych metod, co w wielu przypadkach nie wyklucza zastosowania innych metod.

Przykład 2. Znajdź liczbę rozwiązań równania tg (x + π/4) = 1 na przedziale [-2π; 2π].

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzoru na pierwiastki równania trygonometrycznego otrzymujemy:

x + π/4 = arctan 1 + πk, k – liczba całkowita (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k – liczba całkowita (k € Z);

x = πk, k – liczba całkowita (k € Z);

Przedział [-2π; 2π] należą do liczb -2π; -π; 0; π; 2π. Zatem równanie ma pięć pierwiastków w danym przedziale.

Odpowiedź: 5.

Przykład 3. Znajdź liczbę pierwiastków równania cos 2 x + sin x · cos x = 1 na przedziale [-π; π].

Rozwiązanie:

Ponieważ 1 = sin 2 x + cos 2 x (podstawowa tożsamość trygonometryczna), pierwotne równanie przyjmuje postać:

cos 2 x + grzech x · cos x = grzech 2 x + cos 2 x;

grzech 2 x – grzech x cos x = 0;

sin x(sin x – cos x) = 0. Iloczyn jest równy zero, co oznacza, że ​​przynajmniej jeden z czynników musi być równy zero, zatem:

grzech x = 0 lub grzech x – cos x = 0.

Ponieważ wartości zmiennej, przy której cos x = 0 nie są pierwiastkami drugiego równania (sinus i cosinus tej samej liczby nie mogą być jednocześnie równe zeru), dzielimy obie strony drugiego równania przez cos x:

grzech x = 0 lub grzech x / cos x - 1 = 0.

W drugim równaniu wykorzystujemy fakt, że tg x = sin x / cos x, wówczas:

sin x = 0 lub tan x = 1. Korzystając ze wzorów mamy:

x = πk lub x = π/4 + πk, k – liczba całkowita (k € Z).

Od pierwszego szeregu pierwiastków do przedziału [-π; π] należą do liczb -π; 0; π. Z drugiego szeregu: (π/4 – π) i π/4.

Zatem pięć pierwiastków pierwotnego równania należy do przedziału [-π; π].

Odpowiedź: 5.

Przykład 4. Znajdź sumę pierwiastków równania tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 na przedziale [-π; 1,1π].

Rozwiązanie:

Przepiszmy równanie w następujący sposób:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 i dokonaj zamiany.

Niech tg x + сtgx = a. Podnieśmy obie strony równania do kwadratu:

(tg x + сtg x) 2 = a 2. Rozwińmy nawiasy:

tg 2 x + 2tg x · сtgx + сtg 2 x = a 2.

Ponieważ tg x · сtgx = 1, to tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2, co oznacza

tg 2 x + сtg 2 x = a 2 – 2.

Teraz oryginalne równanie wygląda następująco:

za 2 – 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Korzystając z twierdzenia Viety, stwierdzamy, że a = -1 lub a = -2.

Zróbmy odwrotne podstawienie, mamy:

tg x + сtgx = -1 lub tg x + сtgx = -2. Rozwiążmy powstałe równania.

tg x + 1/tgx = -1 lub tg x + 1/tgx = -2.

Z własności dwóch wzajemnie odwrotnych liczb stwierdzamy, że pierwsze równanie nie ma pierwiastków, a z drugiego równania mamy:

tg x = -1, tj. x = -π/4 + πk, k – liczba całkowita (k € Z).

Przedział [-π; 1,1π] należą do pierwiastków: -π/4; -π/4 + π. Ich suma:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Odpowiedź: π/2.

Przykład 5. Znajdź średnią arytmetyczną pierwiastków równania sin 3x + sin x = sin 2x na przedziale [-π; 0,5π].

Rozwiązanie:

Skorzystajmy ze wzoru sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α – β)/2), wówczas

grzech 3x + grzech x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x i równanie ma postać

2sin 2x cos x = grzech 2x;

2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Weźmy wspólny czynnik sin 2x z nawiasu

sin 2x(2cos x – 1) = 0. Rozwiąż otrzymane równanie:

grzech 2x = 0 lub 2cos x – 1 = 0;

grzech 2x = 0 lub cos x = 1/2;

2x = πk lub x = ±π/3 + 2πk, k – liczba całkowita (k € Z).

W ten sposób mamy korzenie

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – liczba całkowita (k € Z).

Przedział [-π; 0,5π] należą do pierwiastków -π; -π/2; 0; π/2 (z pierwszego szeregu pierwiastków); π/3 (z drugiej serii); -π/3 (z trzeciej serii). Ich średnia arytmetyczna wynosi:

(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.

Odpowiedź: -π/6.

Przykład 6. Znajdź liczbę pierwiastków równania sin x + cos x = 0 na przedziale [-1,25π; 2π].

Rozwiązanie:

Równanie to jest równaniem jednorodnym pierwszego stopnia. Podzielmy obie jego części przez cosx (wartości zmiennej, przy której cos x = 0 nie są pierwiastkami tego równania, ponieważ sinus i cosinus tej samej liczby nie mogą być jednocześnie równe zeru). Oryginalne równanie to:

x = -π/4 + πk, k – liczba całkowita (k € Z).

Przedział [-1,25π; 2π] należą do pierwiastków -π/4; (-π/4 + π); i (-π/4 + 2π).

Zatem dany przedział zawiera trzy pierwiastki równania.

Odpowiedź: 3.

Naucz się robić najważniejszą rzecz - jasno wyobraź sobie plan rozwiązania problemu, a wtedy każde równanie trygonometryczne będzie w zasięgu ręki.

Nadal masz pytania? Nie wiesz jak rozwiązywać równania trygonometryczne?
Aby uzyskać pomoc korepetytora zarejestruj się.

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.