Temat „Okręgi wpisane i opisane w trójkątach” jest jednym z najtrudniejszych na kursie geometrii. Bardzo mało czasu spędza na lekcjach.

Zadania geometryczne z tego tematu zawarte są w drugiej części egzaminu Praca w ramach jednolitego egzaminu państwowego na kurs w szkole średniej. Pomyślne wykonanie tych zadań wymaga solidnej znajomości podstawowych faktów geometrycznych i pewnego doświadczenia w rozwiązywaniu problemy geometryczne.
Dla każdego trójkąta istnieje tylko jedno okrąg opisany. Jest to okrąg, na którym leżą wszystkie trzy wierzchołki trójkąta o danych parametrach. Znalezienie jego promienia może być potrzebne nie tylko na lekcji geometrii. Projektanci, krajarze, mechanicy i przedstawiciele wielu innych zawodów muszą się z tym nieustannie mierzyć. Aby znaleźć jego promień, musisz znać parametry trójkąta i jego właściwości. Środek okręgu opisanego znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych prostopadłych trójkąta.
Zwracam uwagę na wszystkie wzory na znalezienie promienia opisanego okręgu, a nie tylko trójkąta. Można przeglądać wzory na okrąg wpisany.

a, b. Z - boki trójkąta

α - przeciwny kątA,
S-obszar trójkąta,

P- półobwodowy

Następnie, aby znaleźć promień ( R) okręgu opisanego, korzystając ze wzorów:

Z kolei pole trójkąta można obliczyć za pomocą jednego z następujących wzorów:

Oto kilka dodatkowych formuł.

1. Promień okręgu opisanego wokół trójkąta równobocznego. Jeśli A wtedy bok trójkąta

2. Promień okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym. Pozwalać a, b- zatem boki trójkąta

We współczesnej inżynierii mechanicznej wykorzystuje się wiele elementów i części zamiennych, które w swojej budowie mają zarówno okręgi zewnętrzne, jak i wewnętrzne. Najbardziej uderzającymi przykładami są obudowy łożysk, części silnika, zespoły piast i wiele innych. Do ich produkcji wykorzystuje się nie tylko najnowocześniejsze urządzenia, ale także wiedzę z geometrii, w szczególności informacje o okręgach trójkąta. Z taką wiedzą zapoznamy się bardziej szczegółowo poniżej.

Który okrąg jest wpisany, a który opisany?

Przede wszystkim pamiętaj, że okrąg jest nieskończony zbiór punktów znajdujących się w równych odległościach od środka. Jeśli wewnątrz wielokąta można zbudować okrąg, który ma tylko jeden wspólny punkt przecięcia z każdym bokiem, wówczas nazwiemy go wpisanym. Okrąg opisany (nie okrąg, to różne pojęcia) to geometryczne miejsce punktów takie, że zbudowana figura z danym wielokątem ma wspólne punkty tylko na wierzchołkach wielokąta. Zapoznajmy się z tymi dwoma pojęciami bardziej szczegółowo. jasny przykład(Patrz rysunek 1.).

Rysunek 1. Wpisane i opisane okręgi trójkąta

Na obrazie zbudowane są dwie figury o dużej i małej średnicy, których środkami są G i I. Okrąg o większej wartości nazywany jest okręgiem opisanym Δ ABC, a mały, przeciwnie, wpisany w Δ ABC.

Aby opisać otoczenie wokół trójkąta, jest to wymagane narysuj linię prostopadłą przez środek każdego boku(tj. pod kątem 90°) jest punktem przecięcia, gra kluczową rolę. Będzie to środek opisanego okręgu. Zanim znajdziesz okrąg, jego środek w trójkącie, musisz skonstruować dla każdego kąta, a następnie wybrać punkt przecięcia prostych. To z kolei będzie środkiem wpisanego sąsiedztwa, a jego promień w każdych warunkach będzie prostopadły do ​​dowolnego boku.

Na pytanie: „Ile wpisanych okręgów może znajdować się w wielokącie z trzema?” Odpowiedzmy od razu, że okrąg można wpisać w dowolny trójkąt i tylko w jeden. Ponieważ istnieje tylko jeden punkt przecięcia wszystkich dwusiecznych i jeden punkt przecięcia prostopadłych wychodzących ze środków boków.

Własność okręgu, do którego należą wierzchołki trójkąta

Okrąg opisany, który zależy od długości boków u podstawy, ma swoje własne właściwości. Wskażmy własności okręgu opisanego:

Aby lepiej zrozumieć zasadę opisanego koła, rozwiązujemy proste zadanie. Załóżmy, że dany jest trójkąt Δ ABC, którego boki wynoszą 10, 15 i 8,5 cm. Promień okręgu opisanego na trójkącie (FB) wynosi 7,9 cm. Znajdź miarę każdego kąta i przechodzącego przez nie obszar trójkąta.

Rysunek 2. Wyznaczanie promienia okręgu na podstawie stosunku boków i sinusów kątów

Rozwiązanie: bazując na wcześniej podanym twierdzeniu o sinusach, wyznaczamy wartość sinusa każdego kąta z osobna. Pod warunkiem wiadomo, że bok AB ma 10 cm. Obliczmy wartość C:

Dowiadujemy się tego, korzystając z wartości tabeli Bradisa miara stopnia kąt C ma miarę 39°. W ten sam sposób możemy znaleźć pozostałe miary kątów:

Skąd wiemy, że CAB = 33° i ABC = 108°. Teraz znając wartości sinusów każdego z kątów i promienia, znajdźmy obszar, zastępując znalezione wartości:

Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi 40,31 cm², a kąty wynoszą odpowiednio 33°, 108° i 39°.

Ważny! Przy rozwiązywaniu tego typu problemów warto zawsze mieć przy sobie tabele Bradis lub odpowiednią aplikację na swoim smartfonie, ponieważ proces ręczny może zająć dużo czasu. Ponadto, aby zaoszczędzić więcej czasu, nie jest konieczne konstruowanie wszystkich trzech punktów środkowych prostopadłej lub trzech dwusiecznych. Dowolna trzecia z nich będzie zawsze przecinać się w punkcie przecięcia pierwszych dwóch. A w przypadku konstrukcji ortodoksyjnej trzecia jest zwykle ukończona. Być może jest to błędne podejście, jeśli chodzi o algorytm, ale na egzaminie Unified State Exam lub innych egzaminach pozwala to zaoszczędzić dużo czasu.

Obliczanie promienia okręgu wpisanego

Wszystkie punkty okręgu są jednakowo oddalone od jego środka w tej samej odległości. Długość tego odcinka (od i do) nazywa się promieniem. W zależności od tego, jakie mamy środowisko, wyróżniamy dwa jego typy – wewnętrzne i zewnętrzne. Każdy z nich jest obliczany przy użyciu własnego wzoru i jest bezpośrednio powiązany z obliczaniem parametrów takich jak:

• kwadrat;
• miara stopnia każdego kąta;
• długości boków i obwód.

Rysunek 3. Położenie okręgu wpisanego w trójkąt

Długość odległości od środka do punktu styku po obu stronach można obliczyć w następujący sposób: h przez boki, boki i rogi(dla trójkąta równoramiennego).

Korzystanie z półobwodu

Półobwód to połowa sumy długości wszystkich boków. Ta metoda jest uważana za najbardziej popularną i uniwersalną, ponieważ niezależnie od rodzaju trójkąta podanego w zależności od warunku, jest ona odpowiednia dla każdego. Procedura obliczeniowa jest następująca:

Jeśli podano „poprawne”

Jedną z małych zalet „idealnego” trójkąta jest to okręgi wpisane i opisane mają swój środek w tym samym punkcie. Jest to wygodne podczas konstruowania figurek. Jednak w 80% przypadków odpowiedź brzmi „brzydka”. Chodzi tu o to, że bardzo rzadko promień wpisanego sąsiedztwa będzie pełny, a wręcz odwrotnie. Aby uprościć obliczenia, skorzystaj ze wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt:

Jeśli boki są tej samej długości

Jeden z podtypów zadań państwa. egzaminami będzie znalezienie promienia okręgu wpisanego w trójkąt, którego dwa boki są sobie równe, a trzeci nie. W takim przypadku zalecamy zastosowanie tego algorytmu, co znacznie zaoszczędzi czas na poszukiwaniu średnicy obszaru wpisanego. Promień okręgu wpisanego w trójkąt o równych „bokach” oblicza się ze wzoru:

Bardziej przejrzyste zastosowanie tych wzorów zademonstrujemy w następującym zadaniu. Mamy trójkąt (Δ HJI), w który wpisane jest sąsiedztwo w punkcie K. Długość boku HJ = 16 cm, JI = 9,5 cm i boku HI wynosi 19 cm (rysunek 4). Znajdź promień wpisanego sąsiedztwa, znając boki.

Rysunek 4. Wyznaczanie wartości promienia okręgu wpisanego

Rozwiązanie: aby znaleźć promień wpisanego środowiska, znajdujemy półobwód:

Stąd, znając mechanizm obliczeniowy, dowiadujemy się o następującej wartości. Aby to zrobić, będziesz potrzebować długości każdego boku (podanych zgodnie z warunkiem), a także połowy obwodu, okazuje się:

Wynika z tego, że wymagany promień wynosi 3,63 cm. Zgodnie z warunkiem wszystkie boki są równe, wówczas wymagany promień będzie równy:

Zakładając, że wielokąt jest równoramienny (np. i = h = 10 cm, j = 8 cm), średnica wewnętrznego okręgu o środku w punkcie K będzie równa:

Zadanie może zawierać trójkąt o kącie 90°; w tym przypadku nie ma potrzeby zapamiętywania wzoru. Przeciwprostokątna trójkąta będzie równa średnicy. Wygląda to wyraźniej tak:

Ważny! Jeśli zadaniem jest znalezienie promienia wewnętrznego, nie zalecamy wykonywania obliczeń na podstawie wartości sinusów i cosinusów kątów, których wartość tabelaryczna nie jest dokładnie znana. Jeśli w inny sposób nie można ustalić długości, nie próbuj „wyciągać” wartości spod korzenia. W 40% zadań wynikowa wartość będzie transcendentalna (tj. nieskończona), a komisja może nie zaliczyć odpowiedzi (nawet jeśli jest prawidłowa) ze względu na jej niedokładność lub nieregularny kształt zgłoszenia. Szczególna uwaga Zwróć uwagę, jak można modyfikować wzór na promień obwodu trójkąta w zależności od proponowanych danych. Takie „puste miejsca” pozwalają „zobaczyć” z wyprzedzeniem scenariusz rozwiązania problemu i wybrać najbardziej ekonomiczne rozwiązanie.

Promień i powierzchnia okręgu wewnętrznego

Aby obliczyć pole trójkąta wpisanego w okrąg, użyj tylko promień i długość boków wielokąta:

Jeżeli w sformułowaniu problemu nie podana jest bezpośrednio wartość promienia, a jedynie pole, to wskazany wzór na pole przekształca się do postaci:

Rozważmy wpływ ostatniej formuły na więcej konkretny przykład. Załóżmy, że mamy trójkąt, w który wpisane jest sąsiedztwo. Pole sąsiedztwa wynosi 4π, a boki odpowiednio 4, 5 i 6 cm. Obliczmy pole danego wielokąta, obliczając półobwód.

Korzystając z powyższego algorytmu, obliczamy pole trójkąta poprzez promień okręgu wpisanego:

Ze względu na to, że w dowolny trójkąt można wpisać okrąg, liczba wariantów wyznaczania pola znacznie wzrasta. Te. Znalezienie pola trójkąta wymaga znajomości długości każdego boku, a także wartości promienia.

Trójkąt wpisany w okrąg, geometria klasy 7

Trójkąty prostokątne wpisane w okrąg

Wniosek

Na podstawie tych wzorów możesz być pewien, że złożoność dowolnego problemu za pomocą okręgów wpisanych i opisanych polega jedynie na dodatkowych działaniach w celu znalezienia wymaganych wartości. Problemy tego typu wymagają jedynie dokładnego zrozumienia istoty formuł, a także racjonalności ich stosowania. Z praktyki rozwiązywania zauważamy, że w przyszłości w kolejnych tematach z geometrii pojawi się środek okręgu opisanego, więc nie należy go rozpoczynać. W przeciwnym razie rozwiązanie może zostać opóźnione poprzez niepotrzebne posunięcia i logiczne wnioski.

Jak znaleźć promień okręgu? To pytanie jest zawsze istotne dla uczniów studiujących planimetrię. Poniżej przyjrzymy się kilku przykładom, jak poradzić sobie z tym zadaniem.

W zależności od warunków problemu możesz znaleźć promień okręgu w ten sposób.

Wzór 1: R = L / 2π, gdzie L to, a π to stała równa 3,141...

Wzór 2: R = √(S / π), gdzie S jest polem koła.

Wzór 1: R = B/2, gdzie B jest przeciwprostokątną.

Wzór 2: R = M*B, gdzie B jest przeciwprostokątną, a M jest narysowaną do niej medianą.

Jak znaleźć promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym

Wzór: R = A / (2 * sin (360/(2*n))), gdzie A jest długością jednego z boków figury, a n jest liczbą boków tej figury geometrycznej.

Jak znaleźć promień okręgu wpisanego

Okrąg wpisany nazywa się, gdy dotyka wszystkich boków wielokąta. Spójrzmy na kilka przykładów.

Wzór 1: R = S / (P/2), gdzie - S i P to odpowiednio pole i obwód figury.

Wzór 2: R = (P/2 - A) * tg (a/2), gdzie P jest obwodem, A jest długością jednego z boków i jest kątem przeciwnym do tego boku.

Jak znaleźć promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny

Formuła 1:

Promień okręgu wpisanego w romb

W dowolny romb, zarówno równoboczny, jak i nierówny, można wpisać okrąg.

Wzór 1: R = 2 * H, gdzie H jest wysokością figury geometrycznej.

Wzór 2: R = S / (A*2), gdzie S to, a A to długość boku.

Wzór 3: R = √((S * sin A)/4), gdzie S jest polem rombu, a sin A jest sinusem kąta ostrego tej figury geometrycznej.

Wzór 4: R = B*G/(√(B² + G²), gdzie B i G to długości przekątnych figury geometrycznej.

Wzór 5: R = B*sin (A/2), gdzie B jest przekątną rombu, a A jest kątem w wierzchołkach łączących przekątną.

Promień okręgu wpisanego w trójkąt

Jeśli w opisie problemu podano długości wszystkich boków figury, to najpierw oblicz (P), a następnie półobwód (p):

P = A+B+C, gdzie A, B, C to długości boków figury geometrycznej.

Wzór 1: R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).

A jeśli znając te same trzy strony, otrzymasz również jeden, możesz obliczyć wymagany promień w następujący sposób.

Wzór 2: R = S * 2(A + B + C)

Wzór 3: R = S/n = S / (A+B+B)/2), gdzie - n jest półobwodem figury geometrycznej.

Wzór 4: R = (n - A) * tg (A/2), gdzie n jest półobwodem trójkąta, A jest jednym z jego boków, a tg (A/2) jest tangensem połowy kąta naprzeciwko tej strony.

A poniższy wzór pomoże Ci znaleźć promień okręgu wpisanego

Wzór 5: R = A * √3/6.

Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny

Jeśli problem podaje długości nóg, a także przeciwprostokątną, wówczas promień wpisanego koła znajduje się w ten sposób.

Wzór 1: R = (A+B-C)/2, gdzie A, B to nogi, C to przeciwprostokątna.

W przypadku, gdy masz tylko dwie nogi, czas przypomnieć sobie twierdzenie Pitagorasa, aby znaleźć przeciwprostokątną i zastosować powyższy wzór.

C = √(A²+B²).

Promień okręgu wpisanego w kwadrat

Okrąg wpisany w kwadrat dzieli wszystkie 4 swoje boki w punktach styczności dokładnie na pół.

Wzór 1: R = A/2, gdzie A jest długością boku kwadratu.

Wzór 2: R = S / (P/2), gdzie S i P to odpowiednio pole i obwód kwadratu.

Poziom wejścia

Opisany okrąg. Przewodnik wizualny (2019)

Pierwsze pytanie, jakie może się pojawić, brzmi: co jest opisywane – wokół czego?

No cóż, czasami dzieje się to wokół czegokolwiek, ale my będziemy mówić o okręgu opisanym wokół (czasami mówią też „o”) trójkącie. Co to jest?

I wyobraźcie sobie, ma miejsce niesamowity fakt:

Dlaczego ten fakt jest zaskakujący?

Ale trójkąty są inne!

I dla każdego istnieje krąg, przez który przejdzie na wszystkich trzech szczytach, czyli okrąg opisany.

Dowód na to niesamowity fakt można znaleźć na kolejnych poziomach teorii, ale tutaj zauważamy tylko, że jeśli weźmiemy na przykład czworokąt, to nie dla każdego będzie okrąg przechodzący przez cztery wierzchołki. Na przykład równoległobok jest doskonałym czworokątem, ale nie ma okręgu przechodzącego przez wszystkie jego cztery wierzchołki!

I jest tylko dla prostokąta:

Proszę bardzo, a każdy trójkąt ma zawsze swój własny opisany okrąg! A nawet zawsze dość łatwo jest znaleźć środek tego okręgu.

Czy wiesz, co to jest? dwusieczna prostopadła?

Zobaczmy teraz, co się stanie, jeśli weźmiemy pod uwagę aż trzy dwusieczne prostopadłe do boków trójkąta.

Okazuje się (i to właśnie trzeba udowodnić, choć tego nie zrobimy). wszystkie trzy prostopadłe przecinają się w jednym punkcie. Spójrz na obrazek - wszystkie trzy prostopadłe dwusieczne przecinają się w jednym punkcie.

Czy uważasz, że środek okręgu opisanego zawsze leży wewnątrz trójkąta? Wyobraź sobie - nie zawsze!

Ale jeśli pod kątem ostrym, a następnie - wewnątrz:

Co zrobić z trójkątem prostokątnym?

I z dodatkowym bonusem:

Skoro mówimy o promieniu opisanego okręgu: ile wynosi on dla dowolnego trójkąta? I istnieje odpowiedź na to pytanie: tzw.

Mianowicie:

I, oczywiście,

1. Istnienie i środek okręgu opisanego

Tutaj pojawia się pytanie: czy dla każdego trójkąta istnieje taki okrąg? Okazuje się, że tak, dla każdego. Co więcej, sformułowamy teraz twierdzenie, które odpowiada również na pytanie, gdzie znajduje się środek opisanego koła.

Spójrz, tak:

Bądźmy odważni i udowodnijmy to twierdzenie. Jeśli przeczytałeś już temat „” i zrozumiałeś, dlaczego trzy dwusieczne przecinają się w jednym punkcie, będzie ci łatwiej, ale jeśli go nie przeczytałeś, nie martw się: teraz to rozwiążemy.

Dowód przeprowadzimy wykorzystując koncepcję miejsca punktów (GMT).

Cóż, na przykład, czy zbiór kul jest „miejscem geometrycznym” okrągłych obiektów? Nie, oczywiście, bo są okrągłe... arbuzy. Czy jest to zbiór ludzi, „miejsce geometryczne”, które potrafi mówić? Nie, też nie, bo są dzieci, które nie potrafią mówić. W życiu na ogół trudno jest znaleźć przykład prawdziwego „geometrycznego położenia punktów”. Z geometrią jest łatwiej. Oto na przykład dokładnie to, czego potrzebujemy:

Tutaj zbiór jest dwusieczną prostopadłą, a właściwość „ ” oznacza „być w równej odległości (punkt) od końców odcinka”.

Sprawdzimy? Musisz więc upewnić się o dwóch rzeczach:

1. Dowolny punkt w równej odległości od końców odcinka leży na jego dwusiecznej prostopadłej.

Połączmy c i c. Wtedy linia będzie medianą i wysokością b. Oznacza to - równoramienny - upewniliśmy się, że dowolny punkt leżący na dwusiecznej prostopadłej jest jednakowo oddalony od punktów i.

Weźmy środek i połączmy się i. Wynik to mediana. Ale zgodnie z warunkiem nie tylko mediana jest równoramienna, ale także wysokość, czyli dwusieczna prostopadła. Oznacza to, że punkt leży dokładnie na dwusiecznej prostopadłej.

Wszystko! W pełni zweryfikowaliśmy ten fakt Dwusieczna prostopadła odcinka to zbiór punktów w jednakowej odległości od końców odcinka.

Wszystko fajnie, ale czy zapomnieliśmy o okręgu opisanym? Wcale nie, po prostu przygotowaliśmy sobie „odskocznię do ataku”.

Rozważmy trójkąt. Narysujmy dwie dwusieczne prostopadłe i, powiedzmy, do odcinków i. W pewnym momencie przetną się, co nazwiemy.

Teraz uważaj!

Punkt leży na dwusiecznej prostopadłej;
punkt leży na dwusiecznej prostopadłej.
A to oznacza, i.

Wynika z tego kilka rzeczy:

Po pierwsze, punkt musi leżeć na trzeciej dwusiecznej prostopadłej do odcinka.

Oznacza to, że dwusieczna prostopadła musi również przechodzić przez ten punkt, a wszystkie trzy dwusieczne prostopadłe przecinają się w jednym punkcie.

Po drugie: jeśli narysujemy okrąg ze środkiem w punkcie i promieniem, to okrąg ten również przejdzie zarówno przez punkt, jak i przez ten punkt, czyli będzie to okrąg opisany. Oznacza to, że już istnieje, że przecięcie trzech prostopadłych dwusiecznych jest środkiem okręgu opisanego na dowolnym trójkącie.

I ostatnia rzecz: o wyjątkowości. Wiadomo (prawie), że punkt można uzyskać w unikalny sposób, zatem okrąg jest wyjątkowy. Cóż, „prawie” pozostawimy do refleksji. Udowodniliśmy więc twierdzenie. Możesz krzyknąć „Hurra!”

A co, jeśli problem brzmi: „znajdź promień opisanego okręgu”? Lub odwrotnie, promień jest podany, ale musisz znaleźć coś innego? Czy istnieje wzór wiążący promień okręgu opisanego z pozostałymi elementami trójkąta?

Uwaga: stwierdza to twierdzenie o sinusie aby znaleźć promień opisanego okręgu, potrzebujesz jednego boku (dowolnego!) i kąta przeciwnego do niego. To wszystko!

3. Środek okręgu - wewnątrz lub na zewnątrz

Teraz pytanie brzmi: czy środek opisanego okręgu może leżeć na zewnątrz trójkąta?
Odpowiedź: w miarę możliwości. Co więcej, dzieje się to zawsze w trójkącie rozwartym.

I ogólnie:

OKRĄG. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

1. Okrąg opisany na trójkącie

To jest okrąg przechodzący przez wszystkie trzy wierzchołki tego trójkąta.

2. Istnienie i centrum okręgu

No cóż, temat się skończył. Jeśli czytasz te słowa, oznacza to, że jesteś bardzo fajny.

Bo tylko 5% ludzi jest w stanie samodzielnie coś opanować. A jeśli przeczytasz do końca, to jesteś w tych 5%!

Teraz najważniejsza rzecz.

Zrozumiełeś teorię na ten temat. I powtarzam, to... to jest po prostu super! Już jesteś lepszy od zdecydowanej większości Twoich rówieśników.

Problem w tym, że to może nie wystarczyć...

Po co?

Aby odnieść sukces zdanie jednolitego egzaminu państwowego, o przyjęcie na studia z ograniczonym budżetem i, co najważniejsze, na całe życie.

Nie będę Cię do niczego przekonywał, powiem tylko jedno...

Ludzie, którzy otrzymali dobre wykształcenie, zarabiają znacznie więcej niż ci, którzy go nie otrzymali. To jest statystyka.

Ale to nie jest najważniejsze.

Najważniejsze, że są BARDZIEJ SZCZĘŚLIWI (są takie badania). Być może dlatego, że otwiera się przed nimi o wiele więcej możliwości i życie staje się jaśniejsze? nie wiem...

Ale pomyśl samodzielnie...

Czego potrzeba, aby na egzaminie Unified State Exam wypaść lepiej od innych i ostatecznie… być szczęśliwszym?

Zdobądź rękę, rozwiązując problemy z tego tematu.

Podczas egzaminu nie będziesz proszony o zadawanie teorii.

Będziesz potrzebować rozwiązywać problemy z czasem.

A jeśli ich nie rozwiązałeś (DUŻO!), na pewno popełnisz gdzieś głupi błąd lub po prostu nie będziesz miał czasu.

To jak w sporcie – trzeba to powtarzać wiele razy, żeby na pewno wygrać.

Znajdź kolekcję gdziekolwiek chcesz, koniecznie z rozwiązaniami, szczegółowa analiza i decyduj, decyduj, decyduj!

Możesz skorzystać z naszych zadań (opcjonalnie) i oczywiście je polecamy.

Aby lepiej radzić sobie z naszymi zadaniami, musisz pomóc przedłużyć żywotność podręcznika YouClever, który aktualnie czytasz.

Jak? Istnieją dwie opcje:

1. Odblokuj wszystkie ukryte zadania w tym artykule - 299 rubli.
2. Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań we wszystkich 99 artykułach podręcznika - 499 rubli.

Tak, w naszym podręczniku mamy 99 takich artykułów i dostęp do wszystkich zadań oraz wszystkich ukrytych w nich tekstów można od razu otworzyć.

Dostęp do wszystkich ukrytych zadań jest zapewniony przez CAŁĄ żywotność witryny.

I podsumowując...

Jeśli nie podobają Ci się nasze zadania, znajdź inne. Tylko nie poprzestawaj na teorii.

„Rozumiem” i „Umiem rozwiązać” to zupełnie różne umiejętności. Potrzebujesz obu.

Znajdź problemy i rozwiąż je!

Definicja 2

Wielokąt spełniający warunek definicji 1 nazywa się opisanym na okręgu.

Rysunek 1. Okrąg wpisany

Twierdzenie 1 (o okręgu wpisanym w trójkąt)

Twierdzenie 1

W dowolny trójkąt można wpisać okrąg i tylko w jeden.

Dowód.

Rozważmy trójkąt $ABC$. Narysujmy w nim dwusieczne przecinające się w punkcie $O$ i narysujmy z niego prostopadłe do boków trójkąta (ryc. 2)

Rysunek 2. Ilustracja twierdzenia 1

Istnienie: Narysujmy okrąg o środku w punkcie $O$ i promieniu $OK.\ $Ponieważ punkt $O$ leży na trzech dwusiecznych, jest on jednakowo oddalony od boków trójkąta $ABC$. Oznacza to, że $OM=OK=OL$. W rezultacie skonstruowany okrąg przechodzi także przez punkty $M\ i\ L$. Ponieważ $OM, OK\ i\ OL$ są prostopadłe do boków trójkąta, to zgodnie z twierdzeniem o stycznej do okręgu skonstruowany okrąg dotyka wszystkich trzech boków trójkąta. Zatem ze względu na dowolność trójkąta w dowolny trójkąt można wpisać okrąg.

Wyjątkowość: Załóżmy, że w trójkąt $ABC$ można wpisać inny okrąg o środku w punkcie $O"$. Jego środek jest w równej odległości od boków trójkąta, a zatem pokrywa się z punktem $O$ i ma promień równy długość $OK$ Ale wtedy ten okrąg będzie pokrywał się z pierwszym.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Wniosek 1: Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży w punkcie przecięcia jego dwusiecznych.

Oto kilka dodatkowych faktów związanych z koncepcją okręgu wpisanego:

Nie każdy czworokąt zmieści się w okręgu.

W dowolnym czworokącie opisanym sumy przeciwległych boków są równe.

Jeżeli sumy przeciwległych boków czworokąta wypukłego są równe, to można w niego wpisać okrąg.

Definicja 3

Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta leżą na okręgu, wówczas okrąg nazywa się opisanym na wielokącie (ryc. 3).

Definicja 4

Mówi się, że wielokąt spełniający definicję 2 jest wpisany w okrąg.

Rysunek 3. Okrąg opisany

Twierdzenie 2 (o okręgu opisanym na trójkącie)

Twierdzenie 2

Wokół dowolnego trójkąta można opisać okrąg i tylko jeden.

Dowód.

Rozważmy trójkąt $ABC$. Narysujmy w nim dwusieczne prostopadłe przecinające się w punkcie $O$ i połączmy je z wierzchołkami trójkąta (rys. 4)

Rysunek 4. Ilustracja twierdzenia 2

Istnienie: Skonstruujmy okrąg o środku w punkcie $O$ i promieniu $OC$. Punkt $O$ jest w jednakowej odległości od wierzchołków trójkąta, czyli $OA=OB=OC$. W konsekwencji skonstruowany okrąg przechodzi przez wszystkie wierzchołki danego trójkąta, co oznacza, że ​​jest opisany na tym trójkącie.

Wyjątkowość: Załóżmy, że wokół trójkąta $ABC$ można opisać inny okrąg, którego środek znajduje się w punkcie $O"$. Jego środek jest w równej odległości od wierzchołków trójkąta, a zatem pokrywa się z punktem $O$ i ma promień równy długości $OC $ Ale wtedy ten okrąg będzie pokrywał się z pierwszym.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Wniosek 1: Środek okręgu opisanego na trójkącie pokrywa się z punktem przecięcia jego dwusiecznych prostopadłych.

Oto kilka dodatkowych faktów związanych z koncepcją okręgu opisanego:

Nie zawsze da się opisać okrąg wokół czworoboku.

W dowolnym czworokącie cyklicznym suma przeciwnych kątów wynosi $(180)^0$.

Jeśli suma przeciwnych kątów czworokąta wynosi $(180)^0$, to można wokół niego narysować okrąg.

Przykład zadania dotyczącego pojęć okręgu wpisanego i opisanego

Przykład 1

W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 8 cm, a bok ma długość 5 cm. Znajdź promień okręgu wpisanego.

Rozwiązanie.

Rozważmy trójkąt $ABC$. Z wniosku 1 wiemy, że środek okręgu wpisanego w okręg znajduje się na przecięciu dwusiecznych. Narysujmy dwusieczne $AK$ i $BM$, które przecinają się w punkcie $O$. Narysujmy prostopadłą $OH$ od punktu $O$ do boku $BC$. Narysujmy obrazek:

Rysunek 5.

Ponieważ trójkąt jest równoramienny, wówczas $BM$ jest zarówno medianą, jak i wysokością. Z twierdzenia Pitagorasa $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=3$. $OM=OH=r$ -- wymagany promień okręgu wpisanego. Ponieważ $MC$ i $CH$ są odcinkami przecinających się stycznych, to z twierdzenia o przecinających się stycznych mamy $CH=MC=4\ cm$. Dlatego $BH=5-4=1\ cm$. $BO=3-r$. Z trójkąta $OHB$ zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa otrzymujemy:

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

Odpowiedź:$\frac(4)(3)$.