Paano i-factor ang pagpapahayag ng liham. Mga polynomial

Sa pangkalahatan, ang gawaing ito ay nangangailangan ng isang malikhaing diskarte, dahil walang unibersal na pamamaraan para sa paglutas nito. Ngunit subukan nating magbigay ng ilang mga tip.

Sa napakaraming kaso, ang factorization ng isang polynomial ay batay sa isang corollary ng Bezout's theorem, iyon ay, ang ugat ay matatagpuan o napili at ang antas ng polynomial ay nababawasan ng isa sa pamamagitan ng paghahati ng . Ang ugat ng nagresultang polynomial ay hinahanap at ang proseso ay paulit-ulit hanggang sa kumpletong pagpapalawak.

Kung hindi matagpuan ang ugat, gagamitin ang mga partikular na paraan ng pagpapalawak: mula sa pagpapangkat hanggang sa pagpapakilala ng mga karagdagang terminong magkapareho.

Ang karagdagang pagtatanghal ay batay sa mga kasanayan sa paglutas ng mga equation mas mataas na antas na may mga integer coefficient.

Bracketing out ang karaniwang kadahilanan.

Magsimula tayo sa pinakasimpleng kaso, kapag ang libreng termino ay katumbas ng zero, iyon ay, ang polynomial ay may anyo .

Malinaw, ang ugat ng naturang polynomial ay , iyon ay, maaari nating katawanin ang polynomial sa anyo .

Ang pamamaraang ito ay walang iba kundi paglalagay ng karaniwang kadahilanan sa labas ng mga bracket.

Halimbawa.

I-factor ang isang third degree polynomial.

Solusyon.

Malinaw, kung ano ang ugat ng polynomial, iyon ay X maaaring alisin sa mga bracket:

Hanapin natin ang mga ugat ng quadratic trinomial

kaya,

tuktok ng pahina

Pag-factor ng isang polynomial na may makatwirang mga ugat.

Una, isaalang-alang natin ang isang paraan para sa pagpapalawak ng polynomial na may integer coefficients ng form , ang coefficient ng pinakamataas na degree ay katumbas ng isa.

Sa kasong ito, kung ang isang polynomial ay may integer na mga ugat, kung gayon sila ay mga divisors ng libreng termino.

Halimbawa.

Solusyon.

Suriin natin kung may mga buo na ugat. Upang gawin ito, isulat ang mga divisors ng numero -18 : . Iyon ay, kung ang isang polynomial ay may integer na mga ugat, kung gayon sila ay kabilang sa mga nakasulat na numero. Suriin natin ang mga numerong ito nang sunud-sunod gamit ang scheme ni Horner. Ang kaginhawahan nito ay nakasalalay din sa katotohanan na sa huli ay nakukuha natin ang mga koepisyent ng pagpapalawak ng polynomial:

Ibig sabihin, x=2 At x=-3 ay ang mga ugat ng orihinal na polynomial at maaari nating katawanin ito bilang isang produkto:

Ito ay nananatiling palawakin ang quadratic trinomial.

Ang discriminant ng trinomial na ito ay negatibo, kaya wala itong tunay na ugat.

Sagot:

Komento:

Sa halip na pamamaraan ni Horner, maaaring gamitin ng isa ang pagpili ng ugat at kasunod na dibisyon ng polynomial sa pamamagitan ng isang polynomial.

Ngayon isaalang-alang ang pagpapalawak ng isang polynomial na may integer coefficients ng form , at ang coefficient ng pinakamataas na degree ay hindi katumbas ng isa.

Sa kasong ito, ang polynomial ay maaaring magkaroon ng fractionally rational na mga ugat.

Halimbawa.

I-factor ang expression.

Solusyon.

Sa pamamagitan ng pagsasagawa ng variable na pagbabago y=2x, lumipat tayo sa isang polynomial na may coefficient na katumbas ng isa sa pinakamataas na degree. Upang gawin ito, i-multiply muna ang expression sa pamamagitan ng 4 .

Kung ang resultang function ay may mga integer na ugat, kung gayon sila ay kabilang sa mga divisors ng libreng termino. Isulat natin ang mga ito:

Sunud-sunod nating kalkulahin ang mga halaga ng function g(y) sa mga puntong ito hanggang sa maabot ang zero.

Kadalasan, ang numerator at denominator ng isang fraction ay mga algebraic na expression na dapat munang i-factor, at pagkatapos, kapag natagpuan ang magkapareho sa kanila, hatiin ang numerator at denominator sa kanila, iyon ay, bawasan ang fraction. Ang isang buong kabanata ng 7th grade algebra textbook ay nakatuon sa gawain ng factoring ng polynomial. Maaaring gawin ang factorization 3 paraan, pati na rin ang kumbinasyon ng mga pamamaraang ito.

1. Paglalapat ng mga pinaikling pormula ng pagpaparami

Tulad ng alam, sa i-multiply ang isang polynomial sa isang polynomial, kailangan mong i-multiply ang bawat termino ng isang polynomial sa bawat termino ng iba pang polynomial at idagdag ang mga resultang produkto. Mayroong hindi bababa sa 7 (pito) na madalas na nagaganap na mga kaso ng pagpaparami ng mga polynomial na kasama sa konsepto. Halimbawa,

Talahanayan 1. Factorization sa unang paraan

2. Pag-alis ng karaniwang salik sa mga bracket

Ang pamamaraang ito ay batay sa aplikasyon ng distributive multiplication law. Halimbawa,

Hinahati namin ang bawat termino ng orihinal na expression sa pamamagitan ng salik na kinuha namin, at nakakakuha kami ng isang expression sa panaklong (iyon ay, ang resulta ng paghahati sa kung ano ang kinuha namin ay nananatili sa panaklong). Una sa lahat kailangan mo matukoy nang tama ang multiplier, na dapat alisin sa bracket.

Ang karaniwang kadahilanan ay maaari ding isang polynomial sa mga bracket:

Kapag nagsasagawa ng "factorize" na gawain, kailangan mong maging maingat lalo na sa mga palatandaan kapag inilalagay ang kabuuang kadahilanan sa labas ng mga bracket. Upang baguhin ang tanda ng bawat termino sa isang panaklong (b - a), alisin natin sa mga bracket ang karaniwang salik -1 , at ang bawat termino sa bracket ay hahatiin ng -1: (b - a) = - (a - b) .

Kung ang expression sa mga bracket ay parisukat (o sa anumang kahit na kapangyarihan), kung gayon ang mga numero sa loob ng mga bracket ay maaaring palitan ganap na malaya, dahil ang mga minus na kinuha mula sa mga bracket ay magiging plus kapag pinarami: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 at iba pa…

3. Paraan ng pagpapangkat

Minsan hindi lahat ng termino sa isang expression ay may karaniwang salik, ngunit ilan lamang. Pagkatapos ay maaari mong subukan mga tuntunin ng pangkat sa mga bracket upang ang isang kadahilanan ay maaaring alisin sa bawat isa. Paraan ng pagpapangkat- ito ay isang dobleng pag-alis ng mga karaniwang salik mula sa mga bracket.

4. Paggamit ng ilang pamamaraan nang sabay-sabay

Minsan kailangan mong gumamit ng hindi isa, ngunit ilang mga paraan ng pag-factor ng isang polynomial nang sabay-sabay.

Ito ay isang buod ng paksa "Factorization". Piliin ang mga susunod na hakbang:

Pumunta sa susunod na buod:

Anumang algebraic polynomial ng degree n ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng n-linear na mga kadahilanan ng form at isang pare-parehong numero, na kung saan ay ang mga coefficients ng polynomial sa pinakamataas na degree x, i.e.

saan - ay ang mga ugat ng polynomial.

Ang ugat ng isang polynomial ay ang bilang (totoo o kumplikado) na nagpapawala sa polynomial. Ang mga ugat ng isang polynomial ay maaaring maging tunay na ugat o kumplikadong conjugate na mga ugat, kung gayon ang polynomial ay maaaring katawanin sa sumusunod na anyo:

Isaalang-alang natin ang mga pamamaraan para sa decomposing polynomials ng degree na "n" sa produkto ng mga kadahilanan ng una at pangalawang degree.

Paraan Blg. 1.Paraan ng hindi natukoy na mga koepisyent.

Ang mga coefficient ng naturang nabagong expression ay tinutukoy ng paraan ng mga hindi tiyak na coefficient. Ang kakanyahan ng pamamaraan ay ang uri ng mga kadahilanan kung saan ang isang binigay na polynomial ay nabubulok ay alam nang maaga. Kapag ginagamit ang paraan ng hindi tiyak na mga koepisyent, ang mga sumusunod na pahayag ay totoo:

P.1. Ang dalawang polynomial ay magkapareho kung ang kanilang mga coefficient ay pantay para sa parehong kapangyarihan ng x.

P.2. Anumang polynomial ng ikatlong antas ay nabubulok sa produkto ng linear at quadratic na mga kadahilanan.

P.3. Anumang fourth-degree polynomial ay maaaring mabulok sa produkto ng dalawang second-degree na polynomial.

Halimbawa 1.1. Kinakailangang i-factor ang kubiko na expression:

P.1. Alinsunod sa mga tinatanggap na pahayag, ang magkaparehong pagkakapantay-pantay ay hawak para sa kubiko na expression:

P.2. Ang kanang bahagi ng expression ay maaaring kinakatawan bilang mga termino tulad ng sumusunod:

P.3. Bumubuo kami ng isang sistema ng mga equation mula sa kondisyon ng pagkakapantay-pantay ng mga coefficient sa kaukulang kapangyarihan ng kubiko na expression.

Ang sistemang ito ng mga equation ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pagpili ng mga coefficient (kung ito ay isang simpleng akademikong problema) o mga pamamaraan para sa paglutas ng mga nonlinear na sistema ng mga equation. Pagpapasya ang sistemang ito mga equation, nalaman namin na ang mga hindi tiyak na coefficient ay tinutukoy bilang mga sumusunod:

Kaya, ang orihinal na expression ay naka-factor sa sumusunod na anyo:

Ang pamamaraang ito ay maaaring gamitin kapwa sa analytical na mga kalkulasyon at sa computer programming upang i-automate ang proseso ng paghahanap ng ugat ng isang equation.

Paraan numero 2.Mga formula ng Vieta

Ang mga formula ng Vieta ay mga formula na nagkokonekta sa mga coefficient ng algebraic equation ng degree n at mga ugat nito. Ang mga formula na ito ay tahasang ipinakita sa mga gawa ng Pranses na matematiko na si François Vieta (1540 - 1603). Dahil sa katotohanan na itinuturing lamang ni Vieth ang mga positibong tunay na ugat, samakatuwid ay hindi siya nagkaroon ng pagkakataong isulat ang mga formula na ito sa isang pangkalahatang tahasang anyo.

Para sa anumang algebraic polynomial ng degree n na may n-real roots,

Ang mga sumusunod na ugnayan ay wasto na nag-uugnay sa mga ugat ng isang polynomial sa mga coefficient nito:

Ang mga formula ng Vieta ay maginhawang gamitin upang suriin ang kawastuhan ng paghahanap ng mga ugat ng isang polynomial, pati na rin upang bumuo ng isang polynomial mula sa ibinigay na mga ugat.

Halimbawa 2.1. Isaalang-alang natin kung paano nauugnay ang mga ugat ng isang polynomial sa mga coefficient nito gamit ang halimbawa ng isang cubic equation

Alinsunod sa mga formula ng Vieta, ang relasyon sa pagitan ng mga ugat ng isang polynomial at mga coefficient nito ay may sumusunod na anyo:

Ang mga katulad na ugnayan ay maaaring gawin para sa anumang polynomial ng degree n.

Paraan Blg. 3. Pagkabulok quadratic equation sa mga salik na may makatwirang ugat

Mula sa huling formula ng Vieta, sumusunod na ang mga ugat ng isang polynomial ay mga divisors ng free term at leading coefficient nito. Sa pagsasaalang-alang na ito, kung ang pahayag ng problema ay tumutukoy sa isang polynomial ng degree n na may mga coefficient ng integer

pagkatapos ang polynomial na ito ay may rational root (irreducible fraction), kung saan ang p ay ang divisor ng free term, at ang q ay ang divisor ng leading coefficient. Sa kasong ito, ang isang polynomial ng degree n ay maaaring katawanin bilang (Bezout's theorem):

Ang isang polynomial na ang degree ay 1 mas mababa kaysa sa antas ng paunang polynomial ay tinutukoy sa pamamagitan ng paghahati ng isang polynomial ng degree n binomial, halimbawa gamit ang Horner's scheme o karamihan sa simpleng paraan- "haligi".

Halimbawa 3.1. Kinakailangang i-factor ang polynomial

P.1. Dahil sa ang katunayan na ang koepisyent ng pinakamataas na termino ay katumbas ng isa, ang mga nakapangangatwiran na ugat ng polynomial na ito ay mga divisors ng libreng termino ng expression, i.e. maaaring maging integer . Pinapalitan namin ang bawat isa sa mga ipinakitang numero sa orihinal na expression at nalaman na ang ugat ng ipinakita na polynomial ay katumbas ng .

Hatiin natin ang orihinal na polynomial sa isang binomial:

Gamitin natin ang scheme ni Horner

Ang mga coefficient ng orihinal na polynomial ay nakatakda sa tuktok na linya, habang ang unang cell ng tuktok na linya ay nananatiling walang laman.

Sa unang cell ng pangalawang linya, ang nahanap na ugat ay nakasulat (sa halimbawang isinasaalang-alang, ang bilang na "2" ay nakasulat), at ang mga sumusunod na halaga sa mga cell ay kinakalkula sa isang tiyak na paraan at sila ang mga coefficient ng polynomial, na nakukuha sa pamamagitan ng paghahati ng polynomial sa binomial. Ang mga hindi kilalang coefficient ay tinutukoy bilang mga sumusunod:

Ang halaga mula sa kaukulang cell ng unang hilera ay inilipat sa pangalawang cell ng pangalawang hilera (sa halimbawang isinasaalang-alang, ang numerong "1" ay nakasulat).

Ang ikatlong cell ng pangalawang row ay naglalaman ng value ng produkto ng unang cell at ang pangalawang cell ng pangalawang row kasama ang value mula sa ikatlong cell ng unang row (sa halimbawang isinasaalang-alang 2 ∙ 1 -5 = -3 ).

Ang ikaapat na cell ng pangalawang row ay naglalaman ng halaga ng produkto ng unang cell at ang ikatlong cell ng pangalawang row kasama ang halaga mula sa ikaapat na cell ng unang row (sa halimbawang isinasaalang-alang 2 ∙ (-3) +7 = 1).

Kaya, ang orihinal na polynomial ay naka-factor:

Paraan numero 4.Paggamit ng mga pinaikling pormula ng pagpaparami

Ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon ay ginagamit upang pasimplehin ang mga kalkulasyon, gayundin ang mga factoring polynomial. Binibigyang-daan ka ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon na pasimplehin ang solusyon ng mga indibidwal na problema.

Mga pormula na ginamit sa pag-factorize

Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

Kapag nagsumite ka ng kahilingan sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, pamamaraang panghukuman, sa pagsubok, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Ang factoring polynomials ay isang pagbabagong-anyo ng pagkakakilanlan, bilang isang resulta kung saan ang isang polynomial ay binago sa produkto ng ilang mga kadahilanan - polynomial o monomials.

Mayroong ilang mga paraan upang i-factor ang mga polynomial.

Paraan 1. Pag-alis ng karaniwang salik sa mga bracket.

Ang pagbabagong ito ay batay sa distributive law ng multiplikasyon: ac + bc = c(a + b). Ang kakanyahan ng pagbabagong-anyo ay upang ihiwalay ang karaniwang salik sa dalawang sangkap na isinasaalang-alang at "alisin" ito sa mga bracket.

I-factor natin ang polynomial 28x 3 – 35x 4.

Solusyon.

1. Maghanap ng karaniwang divisor para sa mga elementong 28x3 at 35x4. Para sa 28 at 35 ito ay magiging 7; para sa x 3 at x 4 – x 3. Sa madaling salita, ang aming karaniwang kadahilanan ay 7x 3.

2. Kinakatawan namin ang bawat isa sa mga elemento bilang isang produkto ng mga kadahilanan, kung saan ang isa
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Inalis namin ang karaniwang salik sa mga bracket
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Paraan 2. Paggamit ng mga pinaikling pormula ng pagpaparami. Ang "karunungan" ng paggamit ng paraang ito ay upang mapansin ang isa sa mga pinaikling pormula ng multiplikasyon sa expression.

I-factor natin ang polynomial x 6 – 1.

Solusyon.

1. Maaari naming ilapat ang pagkakaiba ng mga parisukat na formula sa expression na ito. Upang gawin ito, isipin ang x 6 bilang (x 3) 2, at 1 bilang 1 2, i.e. 1. Ang expression ay kukuha ng anyo:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Maaari nating ilapat ang formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga cube sa resultang expression:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Kaya,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Paraan 3. Pagpapangkat. Ang pamamaraan ng pagpapangkat ay nagsasangkot ng pagsasama-sama ng mga bahagi ng isang polynomial sa paraang madaling gawin ang mga operasyon sa mga ito (pagdaragdag, pagbabawas, pagbabawas ng isang karaniwang kadahilanan).

I-factor natin ang polynomial x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Solusyon.

1. Pangkatin natin ang mga bahagi sa ganitong paraan: 1st na may 2nd, at 3rd na may 4th
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. Sa resultang expression, inaalis namin ang mga karaniwang salik sa mga bracket: x 2 sa unang kaso at 5 sa pangalawa.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Kinukuha namin ang karaniwang salik na x – 3 sa mga bracket at makuha ang:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Kaya,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

I-secure natin ang materyal.

I-factor ang polynomial a 2 – 7ab + 12b 2 .

Solusyon.

1. Katawanin natin ang monomial 7ab bilang kabuuan na 3ab + 4ab. Ang expression ay kukuha ng anyo:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Buksan natin ang mga bracket at kunin:
isang 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Pangkatin natin ang mga bahagi ng polynomial sa ganitong paraan: 1st na may 2nd at 3rd na may 4th. Nakukuha namin ang:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Alisin natin ang mga karaniwang salik sa mga bracket:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Alisin natin ang karaniwang salik (a – 3b) sa mga bracket:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Kaya,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.