Pagbabago ng variable sa isang quadratic equation. Paglutas ng mga equation gamit ang substitution
Aralin at presentasyon sa paksa: "Paraan ng pagpapalit ng variable. Mga Halimbawa"
Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, pagsusuri, kagustuhan! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang anti-virus program.
Mga pantulong sa pagtuturo at simulator sa Integral online store para sa grade 11
1C: Paaralan. Paglutas ng mga problema sa geometry. Mga interaktibong gawain sa pagtatayo sa espasyo para sa mga baitang 10–11
Algebraic na problema sa mga parameter, grade 9–11
Ang pamamaraang ito ay pangkaraniwan kapag nilulutas ang mga equation, at ginamit namin ito nang higit sa isang beses.
- Kung ang orihinal na equation na $f(x)=0$ ay may kumplikadong anyo, ngunit posible itong ibahin sa equation ng anyong $h(g(x))=0$.
- Kinakailangang gumawa ng pagbabago ng mga variable $u=g(x)$.
- Lutasin ang equation na $h(u)=0$, hanapin ang mga ugat na $u_1$, $u_2$, … $u_n$.
- Ilagay ang reverse substitution $g(x)=u_1$, $g(x)=u_2$, … , $g(x)=u_n$.
- Lutasin ang bawat isa sa mga equation $g(x)=u_1$, $g(x)=u_2$, … , $g(x)=u_n$. Ang mga ugat ng bawat equation ang magiging solusyon sa orihinal na equation.
Halimbawa.
Lutasin ang equation: $8x^6+7x^3-1=0$.
Solusyon.
Ipakilala natin ang kapalit na $y=x^3$. Pagkatapos ang aming equation ay bumababa sa isang quadratic equation:
$8y^2+7y-1=0$,
$(8y-1)(y+1)=0$,
$y_1=\frac(1)(8)$ at $y_2=-1$.
Sa yugtong ito, kapag nilulutas ang mas kumplikadong mga equation, dapat mong suriin ang nakuha na mga ugat.
Ipakilala natin ang reverse substitution: $x^3=\frac(1)(8)$ at $x^3=-1$.
Ang mga ugat ng mga equation na ito ay madaling mahanap: $x_1=\frac(1)(2)$ at $x_2=-1$.
Sagot: $x=0.5$ at $x=-1$.
Halimbawa.
Lutasin ang equation: $\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))+4\sqrt(\frac(2x-1)(2x+3))=4$.
Solusyon.
Isagawa natin ang mga katumbas na pagbabagong-anyo:
$\sqrt(\frac(2x-1)(2x+3))=(\frac(2x-1)(2x+3))^(\frac(1)(2))=(\frac(2x+ 3 )(2x-1))^(-\frac(1)(2))=((\frac(2x+3)(2x-1))^(\frac(1)(2)))^( - 1)=\frac(1)(\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1)))$.
Ipakilala natin ang kapalit: $u=\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))$, pagkatapos ang equation natin ay bumaba sa $u+\frac(4)(u)=4$. $u^2-4u+4=0$, kung saan $u=2$.
Ipakilala natin ang baligtad na pagbabago: $\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))=2$.
$2x+3=4(2x-1)$ sa pamamagitan ng paglutas ng linear equation na $x=1\frac(1)(6)$.
Halimbawa.
Lutasin ang equation: $2^x+2^(1-x)=3$.
Solusyon.
Ang aming equation ay bumababa sa katumbas na equation: $2^x+\frac(2)(2^x)=3$.
Ipakilala natin ang kapalit: $t=2^x$.
$t+\frac(2)(t)=3$,
$t^2-3t+2=0$,
$(t-2)(t-1)=0$,
$t_1=2$ at $t_2=1$.
Ipakilala natin ang reverse substitution: $2^x=2$ at $2^x=1$. Mula sa: $x=1$ at $x=0$.
Sagot: $x=1$ at $x=0$.
Halimbawa.
Lutasin ang equation: $lg^2(x^2)+lg(10x)-6=0$.
Solusyon.
Ibahin natin ang ating equation.
$lg^2(x^2)=(lg(x^2))^2=(2lg(x))^2=4lg^2x$.
$lg(10x)=lg10+lgx=1+lgx$.
Ang orihinal na equation ay katumbas ng equation: $4lg^2x+lgx-5=0$.
Ipakilala natin ang kapalit: $u=lg(x)$.
$4u^2+u-5=0$,
$(4u+5)(u-1)=0$.
Ipakilala natin ang reverse substitution: $lgx=-1.25$ at $lgx=1$.
Sagot: $x=10^(-\frac(5)(4))$ at $x=10$.
Halimbawa.
Lutasin ang equation: $sin(x)cos(x)-6sin(x)+6cos(x)+6=0$.
Solusyon.
Ipakilala natin ang kapalit: $cos(x)-sin(x)=y$.
Pagkatapos: $(cos(x)-sin(x))^2=1-2sin(x)cos(x)$.
$sin(x)cos(x)=\frac(1-y^2)(2)$.
Ang orihinal na equation ay katumbas ng:
$\frac(1-y^2)(2)+6y+6=0$,
$1-y^2+12y+12=0$,
$y^2-12y-13=0$,
$(y-13)(y+1)=0$.
Ipakilala natin ang kabaligtaran na pagpapalit: $cos(x)-sin(x)=13$ - maliwanag na walang mga solusyon, dahil ang cosine at sine ay limitado sa modulus ng isa.
$cos(x)-sin(x)=-1$ - i-multiply ang magkabilang panig ng equation sa $\frac(\sqrt(2))(2)$.
$\frac(\sqrt(2))(2)cos(x)-\frac(\sqrt(2))(2)sin(x)=-\frac(\sqrt(2))(2)$.
$sin(\frac(π)(4)-x)=-\frac(\sqrt(2))(2)$.
$\begin (cases) \frac(π)(4)-x=-\frac(π)(4)+2πn, \\ \frac(π)(4)-x=-\frac(3π)(4 )+2πn. \end (cases)$
$\begin (cases) x=\frac(π)(2)+2πn, \\ x=π+2πn. \end (cases)$
Sagot: $x=\frac(π)(2)+2πn$ at $π+2πn$.
Mga problema upang malutas nang nakapag-iisa
Lutasin ang mga sumusunod na equation:1. $x^8+3x^4-4=0$.
2. $\sqrt(\frac(5x-1)(x+3))+5\sqrt(\frac(x+3)(5x-1))=6$.
3. $5^x+5^(2x+1)=-4$.
4. $2cos^2(x)-7cos-4=0$.
5. $5sin(2x)-11sin(x)=11cos(x)-7$.
Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.
Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon
Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.
Maaaring hilingin sa iyong ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.
Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.
Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:
- Kapag nagsumite ka ng kahilingan sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address email atbp.
Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:
- Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
- Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
- Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
- Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.
Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido
Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.
Mga pagbubukod:
- Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, pamamaraang panghukuman, sa pagsubok, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
- Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.
Proteksyon ng personal na impormasyon
Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.
Paggalang sa iyong privacy sa antas ng kumpanya
Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.
Pagbabago ng variable sa isang indefinite integral. Formula para sa pag-convert ng mga differential. Mga halimbawa ng integrasyon. Mga halimbawa ng linear substitutions.
Paraan ng Pagpapalit ng Variable
Maaaring gamitin ang mga variable na pagbabago upang suriin ang mga simpleng integral at, sa ilang mga kaso, upang pasimplehin ang pagkalkula ng mga mas kumplikado.
Ang variable na paraan ng pagpapalit ay tayo mula sa orihinal variable ng pagsasama, hayaan itong maging x, lumipat tayo sa isa pang variable, na tinutukoy natin bilang t. Sa kasong ito, naniniwala kami na ang mga variable na x at t ay nauugnay sa ilang ugnayang x = x(t) , o t = t(x) . Halimbawa, x = sa t, x = kasalanan t, t =
2 x + 1
, atbp. Ang aming gawain ay pumili ng gayong ugnayan sa pagitan ng x at t na ang orihinal na integral ay maaaring nabawasan sa isang tabular o nagiging mas simple. , o t = t Pangunahing formula ng pagpapalit ng variable Sa kasong ito, naniniwala kami na ang mga variable na x at t ay nauugnay sa ilang ugnayang x = x Isaalang-alang natin ang expression na nakatayo sa ilalim ng integral sign. Binubuo ito ng produkto ng integrand, na tinutukoy namin bilang f , o t = t at kaugalian dx: .
Lumipat tayo sa isang bagong variable t sa pamamagitan ng pagpili ng ilang kaugnayan x = x , o t = t. Sa kasong ito, naniniwala kami na ang mga variable na x at t ay nauugnay sa ilang ugnayang x = x.
Pagkatapos ay dapat nating ipahayag ang function f
.
at ang differential dx sa pamamagitan ng variable t.
Upang ipahayag ang integrand function f
.
sa pamamagitan ng variable na t, kailangan mo lamang palitan ang napiling kaugnayan x = x sa halip na ang variable na x , o t = t Ginagawa ang differential conversion tulad nito:
,
Ibig sabihin, ang differential dx ay katumbas ng produkto ng derivative ng x na may paggalang sa t at ang differential dt. , o t = t Pagkatapos
.
Sa pagsasagawa, ang pinakakaraniwang kaso ay kung saan nagsasagawa kami ng kapalit sa pamamagitan ng pagpili ng bagong variable bilang isang function ng luma: t = t
(1)
,
.
(2)
,
Kung nahulaan namin na ang integrand function ay maaaring kinakatawan bilang
saan t'
ay ang derivative ng t na may paggalang sa x, kung gayon
Kaya, ang pangunahing formula ng pagpapalit ng variable ay maaaring ipakita sa dalawang anyo.
.
kung saan ang x ay isang function ng t.
;
;
.
kung saan ang t ay isang function ng x.
.
Mahalagang Paalala
.
Sa mga talahanayan ng mga integral, ang variable ng pagsasama ay kadalasang tinutukoy bilang x.
.
Gayunpaman, ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang na ang variable ng pagsasama ay maaaring ipahiwatig ng anumang titik. Bukod dito, ang anumang expression ay maaaring gamitin bilang isang integration variable.
.
Bilang halimbawa, isaalang-alang ang table integral (2)
Dito ang x ay maaaring mapalitan ng anumang iba pang variable o function ng isang variable. Narito ang mga halimbawa ng mga posibleng opsyon: Sa huling halimbawa, kailangan mong isaalang-alang na kapag lumipat sa integration variable x, ang pagkakaiba ay binago tulad ng sumusunod: Pagkatapos
;
;
.
Nakukuha ng halimbawang ito ang kakanyahan ng pagsasama sa pamamagitan ng pagpapalit. Ibig sabihin, dapat nating hulaan iyon
1)
Pagkatapos kung saan ang integral ay nabawasan sa isang tabular.
.
Maaari mong suriin ang integral na ito gamit ang pagbabago ng variable gamit ang formula . Ilagay natin ang t = x Pagkatapos
.
2+x ..
2)
Pagkatapos kung saan ang integral ay nabawasan sa isang tabular.
.
Pagkatapos
.
Mga halimbawa ng integrasyon sa pamamagitan ng pagbabago ng variable arctan x.
3)
Pagsamahin natin
.
Pagkatapos
. 2 + 1
.
Dito, sa panahon ng pagsasama, ang variable na t = x ay pinalitan
Mga linear na pagpapalit
Marahil ang pinakakaraniwan ay ang mga linear na pagpapalit. Ito ay isang kapalit para sa isang variable ng form
t = ax + b,
.
kung saan ang a at b ay mga pare-pareho. Sa gayong kapalit, ang mga pagkakaiba ay nauugnay sa kaugnayan
Mga halimbawa ng pagsasama sa pamamagitan ng mga linear na pagpapalit A)
.
Kalkulahin ang integral
.
Solusyon. B)
.
Kalkulahin ang integral
Hanapin ang integral
.
Gamitin natin ang mga katangian ng exponential function. ln 2
.
- ito ay isang pare-pareho. Kinakalkula namin ang integral. A)
.
Kalkulahin ang integral
C)
.
Bawasan natin ang quadratic polynomial sa denominator ng fraction sa kabuuan ng mga parisukat.
.
Kinakalkula namin ang integral. B)
.
Kalkulahin ang integral
D)
.
Ibahin natin ang polynomial sa ilalim ng ugat. 
.
Nagsasama kami gamit ang variable na paraan ng pagpapalit.
.
Dati natanggap namin ang formula
.
Mula dito
Ang pagpapalit sa expression na ito, nakuha namin ang pangwakas na sagot.
Ang matematika ay isang butas kung saan ang lohikal na pag-iisip ay maaaring sumilip sa perpektong mundo.
kumulo sa paglutas ng iba't ibang mga equation, at pagkatapos mo lamang makabisado ang mga pamamaraan ng paglutas sa mga ito, makakahanap ka ng mga sagot sa iba't ibang mga katanungan ng agham at teknolohiya. Upang bumuo ng kakayahang malutas ang mga rational equation, ang independiyenteng gawain ng mag-aaral ay may malaking kahalagahan . Gayunpaman, bago lumipat sa malayang gawain , kailangan mong malinaw na malaman at mailapat sa pagsasanay ang lahat mga posibleng pamamaraan
paglutas ng mga rational equation. Tingnan natin ito nang detalyado gamit ang mga halimbawa. variable na paraan ng pagpapalit
para sa paglutas ng mga rational equation.
Halimbawa 1.
Kalkulahin ang integral
Lutasin ang equation (2x 2 – 3x + 1) 2 = 22x 2 – 33x + 1.
Isulat muli natin ang equation sa anyo
(2x 2 – 3x + 1) 2 = 11(2x 2 – 3x) + 1. Gumawa tayo ng kapalit. Hayaan ang 2x 2 – 3x = t, pagkatapos ang equation ay kukuha ng anyo:
(t + 1) 2 = 11t + 1.
Ngayon buksan natin ang mga bracket at magbigay ng mga katulad, makukuha natin:
t 2 + 2t + 1 = 11t + 1; Sa resultang hindi kumpleto quadratic equation
Kung aalisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket, magkakaroon tayo ng:
t = 0 o t = 9.
Ngayon ay kailangan mong gumawa ng reverse substitution at lutasin ang bawat isa sa mga resultang equation:
2x 2 – 3x = 0 o 2x 2 – 3x = 9
x(2x – 3) = 0 2x 2 – 3x – 9 = 0
x = 0 o x = 3/2 x = 3 o x = -3/2
Sagot: -1.5; 0; 1.5; 3.
Halimbawa 2.
Kalkulahin ang integral
Lutasin ang equation (x 2 – 6x) 2 – 2(x – 3) 2 = 81.
(x 2 – 6x) 2 – 2(x 2 – 6x + 9) = 81. Ngayon ay maaari kang gumawa ng kapalit.
Hayaan ang x 2 – 6x = t, ang equation ay magiging ganito:
t 2 – 2(t + 9) = 81.
t 2 – 2t – 18 – 81 = 0;
t 2 – 2t – 99 = 0.
Ayon sa teorama ni Vieta, ang mga ugat ng resultang equation ay ang mga numero -9 at 11.
Gumawa tayo ng reverse substitution:
x 2 – 6x = -9 o x 2 – 6x = 11
x 2 – 6x + 9 = 0 x 2 – 6x – 11 = 0
(x – 3) 2 = 0 D = 80
x = 3 x 1 = 3 + 2√5; x 2 = 3 – 2√5.
Sagot: 3 – 2√5; 3; 3 + 2√5.
Halimbawa 3.
Lutasin ang equation (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297 at hanapin ang produkto ng mga ugat nito.
Kalkulahin ang integral
Maghanap tayo ng "kumikita" na paraan upang mapangkat ang mga salik at buksan ang mga pares ng mga bracket:
((x – 1)(x + 5))((x – 3)(x + 7)) = 297;
(x 2 + 5x – x – 5)(x 2 + 7x – 3x – 21) = 297;
(x 2 + 4x – 5)(x 2 + 4x – 21) = 297.
Gawin natin ang kapalit na x 2 + 4x = t, kung gayon ang equation ay magiging ganito:
(t – 5)(t – 21) = 297.
Buksan natin ang mga bracket at ipakita ang mga katulad na termino:
t 2 – 21t – 5t + 105 = 297;
t 2 – 26t – 192 = 0.
Gamit ang theorem ni Vieta, tinutukoy namin na ang mga ugat ng resultang equation ay ang mga numero -6 at 32.
Pagkatapos ng reverse substitution magkakaroon tayo ng:
x 2 + 4x = -6 o x 2 + 4x = 32
x 2 + 4x + 6 = 0 x 2 + 4x – 32 = 0
D = 16 – 24< 0 D = 16 + 128 > 0
Walang mga ugat x 1 = -8; x 2 = 4
Hanapin natin ang produkto ng mga ugat: -8 · 4 = -32.
Sagot: -32.
Halimbawa 4.
Hanapin ang kabuuan ng mga ugat ng equation (x 2 – 2x + 2) 2 + 3x(x 2 – 2x + 2) = 10x 2.
Kalkulahin ang integral
Hayaan ang x 2 – 2x + 2 = t, pagkatapos ang equation ay kukuha ng anyo:
t 2 + 3xt – 10x 2 = 0.
Isaalang-alang natin ang resultang equation bilang quadratic na may paggalang sa t.
D = (3x) 2 – 4 · (-10x 2) = 9x 2 + 40x 2 = 49x 2 ; ≥≤
t 1 = (-3x – 7x) / 2 at t 2 = (-3x + 7x) / 2;
t 1 = -5x at t 2 = 2x.
Dahil t = x 2 – 2x + 2, kung gayon
x 2 – 2x + 2 = -5x o x 2 – 2x + 2 = 2x. Lutasin natin ang bawat isa sa mga resultang equation.
x 2 + 3x + 2 = 0 o x 2 – 4x + 2 = 0.
Ang parehong mga equation ay may mga ugat, dahil D > 0.
Gamit ang teorama ni Vieta, maaari nating tapusin na ang kabuuan ng mga ugat ng unang equation ay -3, at ang pangalawang equation ay 4. Nalaman natin na ang kabuuan ng mga ugat ng orihinal na equation ay -3 + 4 = 1
Sagot: 1.
Halimbawa 5.
Hanapin ang ugat ng equation (x + 1) 4 + (x + 5) 4 = 32, na kabilang sa pagitan [-5; 10].
Kalkulahin ang integral
Hayaan ang x = t – 3, pagkatapos x + 1 = t – 2; x + 5 = t + 2 at ang orihinal na equation ay nasa anyo:
(t – 2) 4 + (t + 2) 4 = 32. Upang itaas ang mga expression sa ikaapat na kapangyarihan, maaari mong gamitin ang tatsulok ng Pascal (Larawan 1); 
(t – 2) 4 = t 4 – 4t 3 2 + 6t 2 2 2 – 4t 2 3 + 2 4 ;
(t + 2) 4 = t 4 + 4t 3 2 + 6t 2 2 2 + 4t 2 3 + 2 4.
Matapos bawasan ang mga katulad na termino ay nakukuha namin:
2t 4 – 2 6t 2 2 2 + 2 2 4 = 32;
t 4 + 6t 2 2 2 + 2 4 = 16;
t 4 + 24t 2 + 16 = 16;
t 4 + 24t 2 = 0;
t 2 (t 2 + 24) = 0;
t = 0 o t 2 = -24.
Ang pangalawang equation ay walang mga ugat, na nangangahulugang t = 0 kahit na pagkatapos ng reverse substitution
x = t – 3 = 0 – 3 = -3. Ang ugat ng equation -3 ay kabilang sa pagitan [-5; 10].
Sagot: -3.
Tulad ng nakikita mo, kapag nilulutas ang mga rational equation, kailangan mong malaman ang mga formula sa itaas at makapagbilang ng tama. Ang mga error ay kadalasang nangyayari kapag pumipili ng kapalit at sa panahon ng reverse substitution. Upang maiwasan ito, kailangan mong ilarawan ang bawat aksyon nang detalyado, pagkatapos ay walang mga pagkakamali sa iyong mga desisyon.
blog.site, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa orihinal na pinagmulan.