Ano ang Tesseract? Hypercube Ang unang hakbang sa ikaapat na dimensyon

Ang Tesseract ay isang four-dimensional hypercube - isang cube sa four-dimensional space.
Ayon sa Oxford Dictionary, ang salitang tesseract ay likha at ginamit noong 1888 ni Charles Howard Hinton (1853-1907) sa kanyang aklat Bagong panahon mga kaisipan". Nang maglaon, tinawag ng ilang tao ang parehong figure na isang tetracube (Greek τετρα - apat) - isang four-dimensional na kubo.
Ang isang ordinaryong tesseract sa Euclidean four-dimensional space ay tinukoy bilang isang convex hull ng mga puntos (±1, ±1, ±1, ±1). Sa madaling salita, maaari itong katawanin bilang sumusunod na hanay:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Ang tesseract ay limitado ng walong hyperplane x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , ang intersection kung saan na ang tesseract mismo ang tumutukoy dito na mga three-dimensional na mukha (na mga ordinaryong cube) Ang bawat pares ng di-parallel na tatlong-dimensional na mukha ay nagsalubong upang bumuo ng dalawang-dimensional na mukha (mga parisukat), at iba pa mga mukha, 24 na dalawang-dimensional na mukha, 32 mga gilid at 16 na mga vertex.
Sikat na paglalarawan
Subukan nating isipin kung ano ang magiging hitsura ng hypercube nang hindi umaalis sa tatlong-dimensional na espasyo.
Sa isang isang-dimensional na "espasyo" - sa isang linya - pumili kami ng isang segment na AB ng haba L. Sa isang dalawang-dimensional na eroplano sa layo na L mula sa AB, gumuhit kami ng isang segment na DC parallel dito at ikinonekta ang kanilang mga dulo. Ang resulta ay isang parisukat na CDBA. Sa pag-uulit ng operasyong ito sa eroplano, nakakakuha kami ng isang three-dimensional cube CDBAGHFE. At sa pamamagitan ng paglilipat ng kubo sa ikaapat na dimensyon (patayo sa unang tatlo) sa layo na L, nakukuha natin ang hypercube CDBAGHFEKLJIOPNM.
Ang isang-dimensional na segment na AB ay nagsisilbing gilid ng dalawang-dimensional na parisukat na CDBA, ang parisukat - bilang gilid ng kubo na CDBAGHFE, na, naman, ay magiging bahagi ng apat na-dimensional na hypercube. Ang segment ng tuwid na linya ay may dalawang boundary point, ang isang parisukat ay may apat na vertices, ang isang cube ay may walo. Sa isang four-dimensional hypercube, magkakaroon ng 16 na vertices: 8 vertices ng orihinal na cube at 8 ng isa ay inilipat sa ika-apat na dimensyon. Mayroon itong 32 mga gilid - 12 bawat isa ay nagbibigay ng mga inisyal at panghuling posisyon ng orihinal na kubo, at isa pang 8 mga gilid ay "gumuhit" ng walong mga vertices nito, na lumipat sa ikaapat na dimensyon. Ang parehong pangangatwiran ay maaaring gawin para sa mga mukha ng isang hypercube. Sa dalawang-dimensional na espasyo mayroon lamang isa (ang parisukat mismo), ang isang kubo ay may 6 sa kanila (dalawang mukha mula sa inilipat na parisukat at apat pa na naglalarawan sa mga gilid nito). Ang isang four-dimensional hypercube ay may 24 square faces - 12 squares ng orihinal na cube sa dalawang posisyon at 12 squares mula sa labindalawang gilid nito.
Kung paanong ang mga gilid ng isang parisukat ay 4 na isang-dimensional na mga segment, at ang mga gilid (mga mukha) ng isang kubo ay 6 na dalawang-dimensional na mga parisukat, kaya para sa isang "four-dimensional na kubo" (tesseract) ang mga gilid ay 8 tatlong-dimensional na mga kubo. . Ang mga puwang ng magkasalungat na pares ng mga tesseract cube (iyon ay, ang mga three-dimensional na espasyo kung saan nabibilang ang mga cube na ito) ay parallel. Sa figure ito ang mga cube: CDBAGHFE at KLJIOPNM, CDBAKLJI at GHFEOPNM, EFBAMNJI at GHDCOPLK, CKIAGOME at DLJBHPNF.
Sa katulad na paraan, maaari nating ipagpatuloy ang ating pangangatwiran para sa mga hypercubes ng mas malaking bilang ng mga dimensyon, ngunit mas kawili-wiling makita kung paano tayo hahanapin ng isang four-dimensional na hypercube, mga residente ng three-dimensional na espasyo. Para dito gagamitin natin ang pamilyar na paraan ng pagkakatulad.
Kunin natin ang wire cube ABCDHEFG at tingnan ito gamit ang isang mata mula sa gilid ng gilid. Makikita natin at maaring gumuhit ng dalawang parisukat sa eroplano (ang malapit at malayong mga gilid nito), na konektado ng apat na linya - mga gilid sa gilid. Katulad nito, ang isang four-dimensional na hypercube sa three-dimensional na espasyo ay magmumukhang dalawang cubic na "kahon" na ipinasok sa isa't isa at konektado ng walong gilid. Sa kasong ito, ang mga "kahon" mismo - mga three-dimensional na mukha - ay ipapakita sa "aming" espasyo, at ang mga linya na nagkokonekta sa kanila ay aabot sa direksyon ng ika-apat na axis. Maaari mo ring subukang isipin ang kubo hindi sa projection, ngunit sa isang spatial na imahe.
Kung paanong ang isang three-dimensional na kubo ay nabuo sa pamamagitan ng isang parisukat na inilipat sa haba ng mukha nito, ang isang kubo na inilipat sa ikaapat na dimensyon ay bubuo ng isang hypercube. Ito ay limitado ng walong cube, na sa pananaw ay magmumukhang medyo kumplikadong pigura. Ang four-dimensional hypercube mismo ay binubuo ng isang walang katapusang bilang ng mga cube, tulad ng isang three-dimensional na cube ay maaaring "hiwain" sa isang walang katapusang bilang ng mga flat square.
Sa pamamagitan ng pagputol ng anim na mukha ng isang three-dimensional na kubo, maaari mong mabulok ito sa isang patag na pigura - isang pag-unlad. Magkakaroon ito ng parisukat sa bawat gilid ng orihinal na mukha at isa pa - ang mukha sa tapat nito. At ang three-dimensional na pag-unlad ng isang four-dimensional hypercube ay bubuuin ng orihinal na kubo, anim na cube na "lumalaki" mula dito, kasama ang isa pa - ang pangwakas na "hyperface".
Ang mga katangian ng tesseract ay isang extension ng mga katangian mga geometric na hugis mas maliit na dimensyon sa four-dimensional na espasyo.

τέσσαρες ἀκτίνες - apat na ray) - 4-dimensional Hypercube- analogue sa 4-dimensional na espasyo.

Ang imahe ay isang projection () ng isang four-dimensional na cube papunta sa three-dimensional na espasyo.

Ang isang generalization ng cube sa mga kaso na may higit sa 3 dimensyon ay tinatawag hypercube o (en: sukatin ang mga polytopes). Pormal, ang isang hypercube ay tinukoy bilang apat na pantay na mga segment.

Pangunahing inilalarawan ng artikulong ito ang 4-dimensional hypercube, tinawag tesseract.

Sikat na paglalarawan

Subukan nating isipin kung ano ang magiging hitsura ng hypercube nang hindi umaalis sa ating three-dimensional na espasyo.

Sa isang-dimensional na "espasyo" - sa isang linya - pipiliin namin ang AB na may haba L. Sa dalawang-dimensional na espasyo, sa layo na L mula sa AB, gumuhit kami ng isang segment na DC parallel dito at ikinonekta ang kanilang mga dulo. Ang resulta ay isang parisukat na ABCD. Sa pag-uulit ng operasyong ito sa eroplano, nakakakuha tayo ng isang three-dimensional na kubo na ABCDHEFG. At sa pamamagitan ng paglilipat ng kubo sa ikaapat na dimensyon (patayo sa unang tatlo!) Sa layo na L, nakakakuha tayo ng hypercube.

Ang isang isang-dimensional na segment na AB ay nagsisilbing isang mukha ng isang dalawang-dimensional na parisukat na ABCD, ang parisukat ay nagsisilbing isang gilid ng isang kubo ABCDHEFG, na, naman, ay magiging isang bahagi ng isang apat na-dimensional na hypercube. Ang isang tuwid na linya ng segment ay may dalawang boundary point, ang isang parisukat ay may apat na vertices, ang isang cube ay may walo. Sa isang four-dimensional hypercube, magkakaroon ng 16 na vertices: 8 vertices ng orihinal na cube at 8 ng isa ay inilipat sa ika-apat na dimensyon. Mayroon itong 32 mga gilid - 12 bawat isa ay nagbibigay ng mga inisyal at panghuling posisyon ng orihinal na kubo, at isa pang 8 mga gilid ay "gumuhit" ng walong mga vertices nito, na lumipat sa ikaapat na dimensyon. Ang parehong pangangatwiran ay maaaring gawin para sa mga mukha ng isang hypercube. Sa dalawang-dimensional na espasyo mayroon lamang isa (ang parisukat mismo), ang isang kubo ay may 6 sa kanila (dalawang mukha mula sa inilipat na parisukat at apat pa na naglalarawan sa mga gilid nito). Ang isang four-dimensional hypercube ay may 24 square faces - 12 squares ng orihinal na cube sa dalawang posisyon at 12 squares mula sa labindalawang gilid nito.

Sa katulad na paraan, maaari nating ipagpatuloy ang ating pangangatwiran para sa mga hypercubes ng mas malaking bilang ng mga dimensyon, ngunit mas kawili-wiling makita kung ano ang magiging hitsura nito para sa atin, mga residente ng three-dimensional na espasyo. four-dimensional hypercube. Para dito gagamitin natin ang pamilyar na paraan ng pagkakatulad.

Kunin natin ang wire cube ABCDHEFG at tingnan ito gamit ang isang mata mula sa gilid ng gilid. Makikita natin at maaring gumuhit ng dalawang parisukat sa eroplano (ang malapit at malayong mga gilid nito), na konektado ng apat na linya - mga gilid sa gilid. Katulad nito, ang isang four-dimensional na hypercube sa three-dimensional na espasyo ay magmumukhang dalawang cubic na "kahon" na ipinasok sa isa't isa at konektado ng walong gilid. Sa kasong ito, ang mga "kahon" mismo - tatlong-dimensional na mga mukha - ay ipapakita sa "aming" espasyo, at ang mga linya na nagkokonekta sa kanila ay aabot sa ikaapat na dimensyon. Maaari mo ring subukang isipin ang kubo hindi sa projection, ngunit sa isang spatial na imahe.

Kung paanong ang isang three-dimensional na kubo ay nabuo sa pamamagitan ng isang parisukat na inilipat sa haba ng mukha nito, ang isang kubo na inilipat sa ikaapat na dimensyon ay bubuo ng isang hypercube. Ito ay limitado ng walong cube, na sa pananaw ay magmumukhang medyo kumplikadong pigura. Ang bahaging nanatili sa "aming" espasyo ay iginuhit ng mga solidong linya, at ang bahaging napunta sa hyperspace ay iginuhit ng mga tuldok-tuldok na linya. Ang four-dimensional hypercube mismo ay binubuo ng isang walang katapusang bilang ng mga cube, tulad ng isang three-dimensional na cube ay maaaring "hiwain" sa isang walang katapusang bilang ng mga flat square.

Sa pamamagitan ng pagputol ng walong mukha ng isang three-dimensional na kubo, maaari mong mabulok ito sa isang patag na pigura - isang pag-unlad. Magkakaroon ito ng isang parisukat sa bawat gilid ng orihinal na mukha, kasama ang isa pa - ang mukha sa tapat nito. At ang three-dimensional na pag-unlad ng isang four-dimensional hypercube ay bubuuin ng orihinal na cube, anim na cube na "lumalaki" mula dito, kasama ang isa pa - ang pangwakas na "hyperface".

Ang mga katangian ng tesseract ay isang pagpapatuloy ng mga katangian ng mga geometric na figure ng mas mababang dimensyon sa 4-dimensional na espasyo, na ipinakita sa talahanayan sa ibaba.

Bakalyar Maria

Ang mga pamamaraan para sa pagpapakilala ng konsepto ng isang four-dimensional na kubo (tesseract), ang istraktura nito at ang ilang mga katangian ay pinag-aaralan ang tanong kung anong mga three-dimensional na bagay ang nakuha kapag ang isang four-dimensional na cube ay na-intersect ng mga hyperplanes na kahanay sa tatlong-dimensional na mga mukha nito. , pati na rin ang mga hyperplane na patayo sa pangunahing dayagonal nito ay tinutugunan. Isinasaalang-alang ang apparatus ng multidimensional analytical geometry na ginagamit para sa pananaliksik.

I-download:

Preview:

Panimula……………………………………………………………………………….2

Pangunahing bahagi………………………………………………………………..4

Konklusyon………….. ………………………………………………………..12

Mga Sanggunian………………………………………………………..13

Panimula

Ang apat na dimensyon na espasyo ay matagal nang nakakaakit ng atensyon ng parehong mga propesyonal na mathematician at mga taong malayo sa pag-aaral ng agham na ito. Ang interes sa ika-apat na dimensyon ay maaaring dahil sa pag-aakalang ang ating tatlong-dimensional na mundo ay "nakalubog" sa apat na dimensyon na espasyo, tulad ng isang eroplano na "nalulubog" sa tatlong-dimensional na espasyo, ang isang tuwid na linya ay "nakalubog" sa isang eroplano, at ang isang punto ay nasa isang tuwid na linya. Bilang karagdagan, ang four-dimensional space ay gumaganap ng mahalagang papel sa modernong teorya ng relativity (ang tinatawag na space-time o Minkowski space), at maaari ding ituring bilang isang espesyal na kaso.dimensional na Euclidean space (na may).

Ang four-dimensional cube (tesseract) ay isang bagay sa four-dimensional space na may pinakamataas na posibleng dimensyon (tulad ng isang ordinaryong cube ay isang bagay sa three-dimensional na espasyo). Tandaan na ito ay direktang interes din, ibig sabihin, maaari itong lumitaw sa mga problema sa pag-optimize ng linear programming (bilang isang lugar kung saan matatagpuan ang minimum o maximum ng isang linear function ng apat na variable), at ginagamit din sa digital microelectronics (kapag programming ang pagpapatakbo ng isang electronic watch display). Bilang karagdagan, ang mismong proseso ng pag-aaral ng isang four-dimensional na kubo ay nag-aambag sa pagbuo ng spatial na pag-iisip at imahinasyon.

Dahil dito, ang pag-aaral ng istraktura at mga tiyak na katangian ng isang four-dimensional na kubo ay lubos na nauugnay. Kapansin-pansin na sa mga tuntunin ng istraktura, ang apat na dimensional na kubo ay pinag-aralan nang mabuti. Ang mas malaking interes ay ang likas na katangian ng mga seksyon nito sa pamamagitan ng iba't ibang mga hyperplane. Kaya, ang pangunahing layunin ng gawaing ito ay pag-aralan ang istraktura ng tesseract, gayundin upang linawin ang tanong kung anong mga three-dimensional na bagay ang makukuha kung ang isang four-dimensional na kubo ay pinaghiwa-hiwalay ng mga hyperplanes na kahanay sa isa sa tatlong- mga dimensional na mukha, o ng mga hyperplane na patayo sa pangunahing dayagonal nito. Ang isang hyperplane sa four-dimensional space ay tatawaging three-dimensional subspace. Masasabi nating ang isang tuwid na linya sa isang eroplano ay isang one-dimensional na hyperplane, ang isang eroplano sa tatlong-dimensional na espasyo ay isang dalawang-dimensional na hyperplane.

Tinukoy ng layunin ang mga layunin ng pag-aaral:

1) Pag-aralan ang mga pangunahing katotohanan ng multidimensional analytical geometry;

2) Pag-aralan ang mga tampok ng pagbuo ng mga cube ng mga sukat mula 0 hanggang 3;

3) Pag-aralan ang istraktura ng isang four-dimensional na kubo;

4) Analytically at geometrically ilarawan ang isang four-dimensional cube;

5) Gumawa ng mga modelo ng mga pag-unlad at gitnang projection ng three-dimensional at four-dimensional na mga cube.

6) Gamit ang apparatus ng multidimensional analytical geometry, ilarawan ang mga three-dimensional na bagay na nagreresulta mula sa intersection ng isang four-dimensional na cube na may mga hyperplane na parallel sa isa sa mga three-dimensional na mukha nito, o mga hyperplane na patayo sa pangunahing dayagonal nito.

Ang impormasyong nakuha sa ganitong paraan ay magbibigay-daan sa amin upang mas mahusay na maunawaan ang istraktura ng tesseract, pati na rin upang makilala ang malalim na pagkakatulad sa istraktura at mga katangian ng mga cube ng iba't ibang mga sukat.

Pangunahing bahagi

Una, inilalarawan namin ang mathematical apparatus na aming gagamitin sa pag-aaral na ito.

1) Vector coordinate: kung, Iyon

2) Equation ng hyperplane na may normal na vector parang Dito

3) Mga eroplano at ay parallel kung at kung lamang

4) Ang distansya sa pagitan ng dalawang punto ay tinutukoy bilang mga sumusunod: kung, Iyon

5) Kundisyon para sa orthogonality ng mga vectors:

Una sa lahat, alamin natin kung paano ilarawan ang isang four-dimensional na kubo. Magagawa ito sa dalawang paraan - geometric at analytical.

Kung pinag-uusapan natin ang geometric na paraan ng pagtukoy, pagkatapos ay ipinapayong subaybayan ang proseso ng pagtatayo ng mga cube, simula sa zero na dimensyon. Ang isang kubo ng zero na dimensyon ay isang punto (tandaan, sa pamamagitan ng paraan, na ang isang punto ay maaari ding gumanap ng papel ng isang bola ng zero na dimensyon). Susunod, ipinakilala namin ang unang dimensyon (ang x-axis) at sa kaukulang axis ay minarkahan namin ang dalawang puntos (dalawang zero-dimensional na cubes) na matatagpuan sa layo na 1 mula sa bawat isa. Ang resulta ay isang segment - isang one-dimensional na kubo. Tandaan natin agad katangiang katangian: Ang hangganan (mga dulo) ng isang one-dimensional na kubo (segment) ay dalawang zero-dimensional na cube (dalawang puntos). Susunod, ipinakilala namin ang pangalawang dimensyon (ordinate axis) at sa eroplanoBumuo tayo ng dalawang one-dimensional na cube (dalawang segment), ang mga dulo nito ay nasa layo na 1 mula sa isa't isa (sa katunayan, ang isa sa mga segment ay isang orthogonal projection ng isa pa). Sa pamamagitan ng pagkonekta sa kaukulang mga dulo ng mga segment, nakakakuha kami ng isang parisukat - isang dalawang-dimensional na kubo. Muli, tandaan na ang hangganan ng isang dalawang-dimensional na kubo (parisukat) ay apat na isang-dimensional na cube (apat na mga segment). Sa wakas, ipinakilala namin ang pangatlong dimensyon (ilapat ang axis) at bumuo sa espasyodalawang parisukat sa paraang ang isa sa mga ito ay isang orthogonal projection ng isa (ang kaukulang vertices ng mga parisukat ay nasa layo na 1 mula sa bawat isa). Ikonekta natin ang kaukulang mga vertices na may mga segment - nakakakuha tayo ng isang three-dimensional na kubo. Nakikita namin na ang hangganan ng isang three-dimensional na kubo ay anim na dalawang-dimensional na kubo (anim na mga parisukat). Ang mga inilarawang konstruksyon ay nagpapahintulot sa amin na matukoy ang sumusunod na pattern: sa bawat hakbangang dimensional na kubo ay "gumagalaw, nag-iiwan ng bakas" sae pagsukat sa layo na 1, habang ang direksyon ng paggalaw ay patayo sa kubo. Ito ay ang pormal na pagpapatuloy ng prosesong ito na nagpapahintulot sa amin na makarating sa konsepto ng isang four-dimensional na kubo. Lalo na, pipilitin namin ang tatlong-dimensional na kubo na lumipat sa direksyon ng ika-apat na dimensyon (patayo sa kubo) sa layo na 1. Kumikilos nang katulad sa nauna, iyon ay, sa pamamagitan ng pagkonekta sa kaukulang mga vertices ng mga cube, makakakuha tayo ng four-dimensional cube. Dapat pansinin na ang geometrically tulad ng isang konstruksiyon sa aming espasyo ay imposible (dahil ito ay tatlong-dimensional), ngunit dito hindi kami nakatagpo ng anumang mga kontradiksyon mula sa isang lohikal na punto ng view. Ngayon ay lumipat tayo sa analytical na paglalarawan ng isang four-dimensional na kubo. Nakukuha rin ito nang pormal, gamit ang pagkakatulad. Kaya, ang analytical na detalye ng isang zero-dimensional unit cube ay may anyo:

Ang analytical na gawain ng isang one-dimensional unit cube ay may anyo:

Ang analytical na gawain ng isang two-dimensional unit cube ay may anyo:

Ang analytical na gawain ng isang three-dimensional unit cube ay may anyo:

Ngayon napakadaling magbigay ng isang analytical na representasyon ng isang four-dimensional na kubo, katulad:

Tulad ng nakikita natin, ang parehong geometric at analytical na pamamaraan ng pagtukoy ng isang apat na dimensional na kubo ay ginamit ang paraan ng pagkakatulad.

Ngayon, gamit ang apparatus ng analytical geometry, malalaman natin kung ano ang istraktura ng isang four-dimensional na kubo. Una, alamin natin kung anong mga elemento ang kasama nito. Dito muli maaari tayong gumamit ng pagkakatulad (upang maglagay ng hypothesis). Ang mga hangganan ng isang one-dimensional na kubo ay mga punto (zero-dimensional na mga cube), ng isang dalawang-dimensional na kubo - mga segment (isang-dimensional na mga cube), ng isang tatlong-dimensional na kubo - mga parisukat (two-dimensional na mga mukha). Maaaring ipagpalagay na ang mga hangganan ng tesseract ay tatlong-dimensional na mga cube. Upang mapatunayan ito, linawin natin kung ano ang ibig sabihin ng vertices, edges at faces. Ang mga vertice ng isang kubo ay ang mga sulok na punto nito. Iyon ay, ang mga coordinate ng vertices ay maaaring mga zero o isa. Kaya, ang isang koneksyon ay ipinahayag sa pagitan ng dimensyon ng kubo at ang bilang ng mga vertice nito. Ilapat natin ang combinatorial product rule - mula noong vertexang sinusukat na kubo ay may eksaktomga coordinate, ang bawat isa ay katumbas ng zero o isa (independiyente sa lahat ng iba pa), pagkatapos ay sa kabuuan ay mayroonmga taluktok Kaya, para sa anumang vertex ang lahat ng mga coordinate ay naayos at maaaring katumbas ng o . Kung ayusin natin ang lahat ng mga coordinate (paglalagay ng pantay sa bawat isa sa kanila o , anuman ang iba), maliban sa isa, nakakakuha kami ng mga tuwid na linya na naglalaman ng mga gilid ng kubo. Katulad ng nauna, mabibilang mong eksaktobagay. At kung ayusin natin ngayon ang lahat ng mga coordinate (paglalagay ng pantay sa bawat isa sa kanila o , independyente sa iba), maliban sa ilang dalawa, nakakakuha kami ng mga eroplano na naglalaman ng dalawang-dimensional na mukha ng kubo. Gamit ang panuntunan ng combinatorics, nakita namin na mayroong eksaktongbagay. Susunod, katulad - pag-aayos ng lahat ng mga coordinate (paglalagay ng pantay sa bawat isa sa kanila o , anuman ang iba), maliban sa ilang tatlo, nakakakuha kami ng mga hyperplane na naglalaman ng mga three-dimensional na mukha ng kubo. Gamit ang parehong panuntunan, kinakalkula namin ang kanilang numero - eksaktoatbp. Ito ay magiging sapat para sa aming pananaliksik. Ilapat natin ang mga resultang nakuha sa istruktura ng isang four-dimensional na kubo, ibig sabihin, sa lahat ng nagmula na mga formula na inilagay natin. Samakatuwid, ang isang four-dimensional na cube ay may: 16 vertices, 32 edges, 24 two-dimensional na mukha, at 8 three-dimensional na mukha. Para sa kalinawan, tukuyin natin nang analytical ang lahat ng mga elemento nito.

Vertices ng isang four-dimensional cube:

Mga gilid ng isang four-dimensional na kubo ():

Dalawang-dimensional na mukha ng isang four-dimensional na kubo (katulad na mga paghihigpit):

Mga three-dimensional na mukha ng isang four-dimensional na cube (katulad na mga paghihigpit):

Ngayon na ang istraktura ng isang four-dimensional na kubo at ang mga pamamaraan para sa pagtukoy nito ay inilarawan sa sapat na detalye, magpatuloy tayo sa pagpapatupad ng pangunahing layunin - upang linawin ang likas na katangian ng iba't ibang seksyon Cuba. Magsimula tayo sa elementary case kapag ang mga seksyon ng isang kubo ay parallel sa isa sa mga three-dimensional na mukha nito. Halimbawa, isaalang-alang ang mga seksyon nito na may mga hyperplane na kahanay sa mukhaMula sa analytical geometry, alam na ang anumang naturang seksyon ay ibibigay ng equationTukuyin natin ang kaukulang mga seksyon nang analitikal:

Tulad ng nakikita natin, nakakuha kami ng isang analytical na detalye para sa isang three-dimensional unit cube na nakahiga sa isang hyperplane

Upang magtatag ng isang pagkakatulad, isulat natin ang seksyon ng isang three-dimensional na kubo sa pamamagitan ng isang eroplano Nakukuha namin:

Ito ay isang parisukat na nakahiga sa isang eroplano. Ang pagkakatulad ay halata.

Mga seksyon ng isang four-dimensional na cube ng mga hyperplanemagbigay ng ganap na katulad na mga resulta. Ang mga ito ay magiging mga solong three-dimensional na cube na nakahiga sa mga hyperplane ayon sa pagkakabanggit.

Ngayon isaalang-alang natin ang mga seksyon ng isang four-dimensional na kubo na may mga hyperplanes na patayo sa pangunahing dayagonal nito. Una, lutasin natin ang problemang ito para sa isang three-dimensional na kubo. Gamit ang inilarawan sa itaas na paraan ng pagtukoy ng isang unit na three-dimensional na cube, napagpasyahan niya na bilang pangunahing dayagonal ay maaaring kunin ng isa, halimbawa, ang isang segment na may mga dulo. At . Nangangahulugan ito na ang vector ng pangunahing dayagonal ay magkakaroon ng mga coordinate. Samakatuwid, ang equation ng anumang eroplano na patayo sa pangunahing dayagonal ay magiging:

Tukuyin natin ang mga limitasyon ng pagbabago ng parameter. kasi , pagkatapos, pagdaragdag ng mga hindi pagkakapantay-pantay na termino ayon sa termino, makukuha natin ang:

O kaya .

Kung , kung gayon (dahil sa mga paghihigpit). Gayundin - kung, Yung . Kaya, kailan at kailan ang cutting plane at ang cube ay may eksaktong isang karaniwang punto ( At ayon sa pagkakabanggit). Ngayon pansinin natin ang mga sumusunod. Kung(muli dahil sa mga variable na limitasyon). Ang kaukulang mga eroplano ay bumalandra sa tatlong mukha nang sabay-sabay, dahil, kung hindi, ang cutting plane ay magiging parallel sa isa sa mga ito, na hindi ang kaso ayon sa kondisyon. Kung, pagkatapos ay i-intersect ng eroplano ang lahat ng mukha ng kubo. Kung, pagkatapos ay nag-intersect ang eroplano sa mga mukha. Ipakita natin ang kaukulang mga kalkulasyon.

Hayaan Tapos yung eroplanotumatawid sa linya sa isang tuwid na linya, at . Ang gilid, saka. gilid ang eroplano ay bumalandra sa isang tuwid na linya, at

Hayaan Tapos yung eroplanolumampas sa linya:

gilid sa isang tuwid na linya, at .

Sa pagkakataong ito, makakakuha tayo ng anim na segment na may magkakasunod na karaniwang mga dulo:

Hayaan Tapos yung eroplanotumatawid sa linya sa isang tuwid na linya, at . gilid ang eroplano ay bumalandra sa isang tuwid na linya, at . gilid ang eroplano ay bumalandra sa isang tuwid na linya, at . Ibig sabihin, nakakakuha tayo ng tatlong segment na may magkapares na karaniwang dulo:Kaya, kapag tinukoy na mga halaga parameterang eroplano ay magsalubong sa kubo kasama ang isang regular na tatsulok na may mga vertice

Kaya, narito ang isang komprehensibong paglalarawan ng mga figure ng eroplano na nakuha kapag ang isang kubo ay intersected ng isang eroplano na patayo sa pangunahing dayagonal nito. Ang pangunahing ideya ay ang mga sumusunod. Ito ay kinakailangan upang maunawaan kung aling mga mukha ang eroplano intersects, kasama kung aling set ito intersects sa kanila, at kung paano ang mga set na ito ay nauugnay sa bawat isa. Halimbawa, kung napag-alaman na ang eroplano ay nagsalubong ng eksaktong tatlong mukha sa mga segment na may magkapares na karaniwang mga dulo, kung gayon ang seksyon ay isang equilateral triangle (na napatunayan sa pamamagitan ng direktang pagbibilang ng mga haba ng mga segment), ang mga vertices kung saan ang mga dulong ito. ng mga segment.

Gamit ang parehong kagamitan at ang parehong ideya ng pag-aaral ng mga seksyon, ang mga sumusunod na katotohanan ay maaaring mahihinuha sa isang ganap na kahalintulad na paraan:

1) Ang vector ng isa sa mga pangunahing diagonal ng isang four-dimensional unit cube ay may mga coordinate

2) Anumang hyperplane na patayo sa pangunahing dayagonal ng isang four-dimensional cube ay maaaring isulat sa anyo.

3) Sa equation ng isang secant hyperplane, ang parametermaaaring mag-iba mula 0 hanggang 4;

4) Kailan at ang isang secant hyperplane at isang four-dimensional na kubo ay may isang karaniwang punto ( At ayon sa pagkakabanggit);

5) Kailan ang cross section ay gagawa ng isang regular na tetrahedron;

6) Kailan sa cross-section ang resulta ay isang octahedron;

7) Kailan ang cross section ay gagawa ng isang regular na tetrahedron.

Alinsunod dito, narito ang hyperplane intersects ang tesseract sa kahabaan ng isang eroplano kung saan, dahil sa mga limitasyon ng mga variable, isang triangular na rehiyon ay inilalaan (isang pagkakatulad - ang eroplano ay intersected ang kubo kasama ang isang tuwid na linya, kung saan, dahil sa mga hadlang ng variable, isang segment ang inilaan). Sa kaso 5) ang hyperplane ay nagsalubong ng eksaktong apat na tatlong-dimensional na mukha ng tesseract, iyon ay, apat na tatsulok ang nakuha na may magkapares na magkabilang panig, sa madaling salita, na bumubuo ng isang tetrahedron (kung paano ito makalkula ay tama). Sa kaso 6), ang hyperplane ay bumalandra nang eksakto sa walong tatlong-dimensional na mukha ng tesseract, iyon ay, walong tatsulok ang nakuha na may magkakasunod na karaniwang panig, sa madaling salita, na bumubuo ng isang octahedron. Kaso 7) ay ganap na katulad ng kaso 5).

Ilarawan natin kung ano ang sinabi kongkretong halimbawa. Ibig sabihin, pinag-aaralan namin ang seksyon ng isang four-dimensional na kubo ng isang hyperplaneDahil sa mga variable na paghihigpit, ang hyperplane na ito ay nag-intersect sa mga sumusunod na three-dimensional na mukha: gilid bumalandra sa kahabaan ng isang eroplanoDahil sa mga limitasyon ng mga variable, mayroon kaming:Nakakakuha kami ng isang tatsulok na lugar na may mga vertexSusunod,nakakakuha kami ng isang tatsulokKapag ang isang hyperplane ay nagsalubong sa isang mukhanakakakuha kami ng isang tatsulokKapag ang isang hyperplane ay nagsalubong sa isang mukhanakakakuha kami ng isang tatsulokKaya, ang mga vertex ng tetrahedron ay may mga sumusunod na coordinate. Tulad ng madaling kalkulahin, ang tetrahedron na ito ay talagang regular.

Mga konklusyon

Kaya, sa proseso ng pananaliksik na ito, ang mga pangunahing katotohanan ng multidimensional analytical geometry ay pinag-aralan, ang mga tampok ng pagbuo ng mga cube ng mga sukat mula 0 hanggang 3 ay pinag-aralan, ang istraktura ng isang four-dimensional na cube ay pinag-aralan, ang isang four-dimensional na cube ay pinag-aralan. analytically at geometrically na inilarawan, ang mga modelo ng mga development at central projection ng three-dimensional at four-dimensional na mga cube ay ginawa, ang mga three-dimensional na cube ay analytical na inilarawan sa mga bagay na nagreresulta mula sa intersection ng isang four-dimensional na cube na may hyperplanes na kahanay ng isa sa tatlong- mga dimensional na mukha, o may mga hyperplane na patayo sa pangunahing dayagonal nito.

Ang isinagawang pananaliksik ay naging posible upang makilala ang malalim na pagkakatulad sa istraktura at mga katangian ng mga cube ng iba't ibang sukat. Ang analogy technique na ginamit ay maaaring gamitin sa pananaliksik, halimbawa,dimensional na globo odimensional simplex. Ibig sabihin,ang isang dimensional na globo ay maaaring tukuyin bilang isang hanay ng mga puntosdimensional space equidistant mula sa isang partikular na punto, na tinatawag na sentro ng globo. Susunod,ang isang dimensional simplex ay maaaring tukuyin bilang isang bahagidimensional space na nililimitahan ng pinakamababang numeromga dimensional na hyperplanes. Halimbawa, ang one-dimensional simplex ay isang segment (isang bahagi ng one-dimensional space, limitado ng dalawang puntos), ang two-dimensional simplex ay isang tatsulok (isang bahagi ng two-dimensional space, limitado ng tatlong tuwid na linya), ang three-dimensional simplex ay isang tetrahedron (isang bahagi ng three-dimensional na espasyo, na limitado ng apat na eroplano). Sa wakas,tinukoy namin ang dimensional simplex bilang bahagidimensional na espasyo, limitadohyperplane ng dimensyon.

Tandaan na, sa kabila ng maraming aplikasyon ng tesseract sa ilang lugar ng agham, ang pananaliksik na ito ay higit sa lahat ay isang pag-aaral sa matematika.

Mga sanggunian

1) Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M.Higher mathematics, vol 1 – M.: Bustard, 2005 – 284 p.

2) Quantum. Four-dimensional cube / Duzhin S., Rubtsov V., No. 6, 1986.

3) Quantum. Paano gumuhit dimensional cube / Demidovich N.B., No. 8, 1974.

Mga turo tungkol sa mga multidimensional na espasyo nagsimulang lumitaw sa kalagitnaan ng ika-19 na siglo. Ang ideya ng four-dimensional na espasyo ay hiniram mula sa mga siyentipiko ng mga manunulat ng science fiction. Sa kanilang mga gawa sinabi nila sa mundo ang tungkol sa mga kamangha-manghang kababalaghan ng ikaapat na dimensyon.

Ang mga bayani ng kanilang mga gawa, gamit ang mga katangian ng four-dimensional na espasyo, ay makakain ng mga nilalaman ng isang itlog nang hindi nasisira ang shell, at uminom ng inumin nang hindi binubuksan ang takip ng bote. Inalis ng mga magnanakaw ang kayamanan mula sa ligtas sa pamamagitan ng ikaapat na dimensyon. Ang mga surgeon ay nagsagawa ng mga operasyon sa mga panloob na organo nang hindi pinuputol ang tissue ng katawan ng pasyente.

Tesseract

Sa geometry, ang hypercube ay isang n-dimensional na pagkakatulad ng isang parisukat (n = 2) at isang kubo (n = 3). Ang apat na dimensional na analogue ng aming karaniwang 3-dimensional na kubo ay kilala bilang tesseract. Ang tesseract ay sa kubo bilang ang kubo ay sa parisukat. Mas pormal, ang isang tesseract ay maaaring ilarawan bilang isang regular na matambok na apat na dimensional na polyhedron na ang hangganan ay binubuo ng walong kubiko na mga cell.

Ang bawat pares ng hindi magkatulad na 3D na mukha ay nagsalubong upang bumuo ng mga 2D na mukha (mga parisukat), at iba pa. Panghuli, ang tesseract ay may 8 3D na mukha, 24 na 2D na mukha, 32 gilid at 16 na vertex.
Sa pamamagitan ng paraan, ayon sa Oxford Dictionary, ang salitang tesseract ay likha at ginamit noong 1888 ni Charles Howard Hinton (1853-1907) sa kanyang aklat na A New Age of Thought. Nang maglaon, tinawag ng ilang tao ang parehong figure na isang tetracube (Greek tetra - apat) - isang four-dimensional na kubo.

Konstruksyon at paglalarawan

Subukan nating isipin kung ano ang magiging hitsura ng hypercube nang hindi umaalis sa tatlong-dimensional na espasyo.
Sa isang isang-dimensional na "espasyo" - sa isang linya - pumili kami ng isang segment na AB ng haba L. Sa isang dalawang-dimensional na eroplano sa layo na L mula sa AB, gumuhit kami ng isang segment na DC parallel dito at ikinonekta ang kanilang mga dulo. Ang resulta ay isang parisukat na CDBA. Sa pag-uulit ng operasyong ito sa eroplano, nakakakuha kami ng isang three-dimensional cube CDBAGHFE. At sa pamamagitan ng paglilipat ng kubo sa ikaapat na dimensyon (patayo sa unang tatlo) sa layo na L, nakukuha natin ang hypercube CDBAGHFEKLJIOPNM.

Sa katulad na paraan, maaari nating ipagpatuloy ang ating pangangatwiran para sa mga hypercubes ng mas malaking bilang ng mga dimensyon, ngunit mas kawili-wiling makita kung paano tayo hahanapin ng isang four-dimensional na hypercube, mga residente ng three-dimensional na espasyo.

Kunin natin ang wire cube ABCDHEFG at tingnan ito gamit ang isang mata mula sa gilid ng gilid. Makikita natin at maaring gumuhit ng dalawang parisukat sa eroplano (ang malapit at malayong mga gilid nito), na konektado ng apat na linya - mga gilid sa gilid. Katulad nito, ang isang four-dimensional na hypercube sa three-dimensional na espasyo ay magmumukhang dalawang cubic na "kahon" na ipinasok sa isa't isa at konektado ng walong gilid. Sa kasong ito, ang mga "kahon" mismo - mga three-dimensional na mukha - ay ipapakita sa "aming" espasyo, at ang mga linya na nagkokonekta sa kanila ay aabot sa direksyon ng ika-apat na axis. Maaari mo ring subukang isipin ang kubo hindi sa projection, ngunit sa isang spatial na imahe.

Kung paanong ang isang three-dimensional na kubo ay nabuo sa pamamagitan ng isang parisukat na inilipat sa haba ng mukha nito, ang isang kubo na inilipat sa ikaapat na dimensyon ay bubuo ng isang hypercube. Ito ay limitado ng walong cube, na sa pananaw ay magmumukhang medyo kumplikadong pigura. Ang four-dimensional hypercube mismo ay maaaring hatiin sa isang walang katapusang bilang ng mga cube, tulad ng isang three-dimensional na kubo ay maaaring "hiwain" sa isang walang katapusang bilang ng mga flat square.

Sa pamamagitan ng pagputol ng anim na mukha ng isang three-dimensional na kubo, maaari mong mabulok ito sa isang patag na pigura - isang pag-unlad. Magkakaroon ito ng parisukat sa bawat gilid ng orihinal na mukha at isa pa - ang mukha sa tapat nito. At ang three-dimensional na pag-unlad ng isang four-dimensional hypercube ay bubuuin ng orihinal na cube, anim na cube na "lumalaki" mula dito, kasama ang isa pa - ang pangwakas na "hyperface".

Hypercube sa sining

Ang Tesseract ay isang kawili-wiling figure na ito ay paulit-ulit na nakakaakit ng atensyon ng mga manunulat at filmmaker.
Ilang beses binanggit ni Robert E. Heinlein ang mga hypercubes. Sa The House That Teal Built (1940), inilarawan niya ang isang bahay na itinayo bilang isang hindi nakabalot na tesseract at pagkatapos, dahil sa isang lindol, "natiklop" sa ikaapat na dimensyon upang maging isang "tunay" na tesseract. Ang nobelang Glory Road ni Heinlein ay naglalarawan ng isang hyper-sized na kahon na mas malaki sa loob kaysa sa labas.

Ang kuwento ni Henry Kuttner na "All the Tenali are Borogov" ay naglalarawan ng isang laruang pang-edukasyon para sa mga bata mula sa malayong hinaharap, na katulad ng istraktura sa isang tesseract.

Ang plot ng Cube 2: Hypercube ay nakasentro sa walong estranghero na nakulong sa isang "hypercube", o network ng mga konektadong cube.

Parallel na mundo

Ang mga abstraction sa matematika ay nagbunga ng ideya ng pag-iral mga parallel na mundo. Ang mga ito ay nauunawaan bilang mga katotohanan na umiiral nang sabay-sabay sa atin, ngunit hiwalay dito. Maaaring mayroon ang isang parallel na mundo iba't ibang laki: mula sa isang maliit na heograpikal na lugar hanggang sa buong uniberso. Sa isang parallel na mundo, ang mga kaganapan ay nangyayari sa kanilang sariling paraan; Bukod dito, ang mga pisikal na batas ng isang parallel na mundo ay hindi kinakailangang katulad ng mga batas ng ating Uniberso.

Ang paksang ito ay matabang lupa para sa mga manunulat ng science fiction.

Ang pagpipinta ni Salvador Dali na "The Crucifixion" ay naglalarawan ng isang tesseract. Ang “Crucifixion or Hypercubic Body” ay isang painting ng Spanish artist na si Salvador Dali, na ipininta noong 1954. Inilalarawan ang ipinako sa krus na si Jesucristo sa isang tesseract scan. Ang pagpipinta ay itinatago sa Metropolitan Museum of Art sa New York

Nagsimula ang lahat noong 1895, nang matuklasan ni H.G. Wells, kasama ang kanyang kuwentong "The Door in the Wall," ang pagkakaroon ng magkatulad na mundo para sa science fiction. Noong 1923, bumalik si Wells sa ideya ng magkatulad na mga mundo at inilagay sa isa sa kanila ang isang utopia na bansa kung saan pumunta ang mga karakter sa nobelang Men Like Gods.

Hindi napapansin ang nobela. Noong 1926, lumabas ang kwento ni G. Dent na “The Emperor of the Country “If” Sa kwento ni Dent, sa unang pagkakataon, umusbong ang ideya na maaaring mayroong mga bansa (mundo) na ang kasaysayan ay maaaring magkaiba sa kasaysayan ng mga tunay na bansa. sa ating mundo.

Noong 1944, inilathala ni Jorge Luis Borges ang kuwentong "The Garden of Forking Paths" sa kanyang aklat na Fictional Stories. Dito ang ideya ng oras ng pagsasanga ay sa wakas ay ipinahayag nang may lubos na kalinawan.
Sa kabila ng hitsura ng mga gawa na nakalista sa itaas, ang ideya ng maraming mga mundo ay nagsimulang seryosong umunlad sa science fiction lamang sa huling bahagi ng apatnapu't ng ika-20 siglo, humigit-kumulang sa parehong oras nang lumitaw ang isang katulad na ideya sa pisika.

Isa sa mga nagpasimuno ng bagong direksyon sa science fiction ay si John Bixby, na nagmungkahi sa kuwentong "One Way Street" (1954) na sa pagitan ng mga mundo ay maaari ka lamang lumipat sa isang direksyon - sa sandaling pumunta ka mula sa iyong mundo patungo sa isang parallel, hindi ka babalik, ngunit lilipat ka mula sa isang mundo patungo sa susunod. Gayunpaman, ang pagbabalik sa sariling mundo ay hindi rin ibinukod - para dito kinakailangan na sarado ang sistema ng mga mundo.

Ang nobela ni Clifford Simak na A Ring Around the Sun (1982) ay naglalarawan ng maraming planetang Earth, bawat isa ay umiiral sa sarili nitong mundo, ngunit sa parehong orbit, at ang mga mundong ito at ang mga planetang ito ay nagkakaiba lamang sa pamamagitan ng bahagyang (microsecond) na pagbabago ng panahon . Ang maraming Daigdig na binisita ng bayani ng anyong nobela pinag-isang sistema mga mundo.

Si Alfred Bester ay nagpahayag ng isang kawili-wiling pananaw sa sangay ng mga mundo sa kanyang kwentong "The Man Who Killed Mohammed" (1958). "Sa pamamagitan ng pagbabago ng nakaraan," ang sabi ng bayani ng kuwento, "binago mo ito para sa iyong sarili lamang." Sa madaling salita, pagkatapos ng pagbabago sa nakaraan, lumitaw ang isang sangay ng kasaysayan kung saan para lamang sa karakter na gumawa ng pagbabago ang pagbabagong ito ay umiiral.

Ang kwento ng magkapatid na Strugatsky na "Monday Begins on Saturday" (1962) ay naglalarawan sa mga paglalakbay ng mga tauhan sa iba't ibang mga pagpipilian ang hinaharap na inilarawan ng mga manunulat ng science fiction - kabaligtaran sa paglalakbay sa mundo na umiral na sa science fiction iba't ibang mga pagpipilian nakaraan.

Gayunpaman, kahit na ang isang simpleng listahan ng lahat ng mga gawa na nakakaapekto sa tema ng mga parallel na mundo ay aabutin ng masyadong maraming oras. At kahit na ang mga manunulat ng science fiction, bilang panuntunan, ay hindi nagpapatunay sa siyentipikong postulate ng multidimensionality, tama sila tungkol sa isang bagay - ito ay isang hypothesis na may karapatang umiral.
Ang pang-apat na dimensyon ng tesseract ay naghihintay pa rin sa aming pagbisita.

Victor Savinov

Ang doktrina ng mga multidimensional na espasyo ay nagsimulang lumitaw sa kalagitnaan ng ika-19 na siglo sa mga gawa ni G. Grassmann, A. Cayley, B. Riemann, W. Clifford, L. Schläfli at iba pang mga mathematician. Sa simula ng ika-20 siglo, sa pagdating ng teorya ng relativity ni A. Einstein at ang mga ideya ni G. Minkowski, isang four-dimensional space-time coordinate system ang nagsimulang gamitin sa physics.

Pagkatapos ang ideya ng four-dimensional na espasyo ay hiniram mula sa mga siyentipiko ng mga manunulat ng science fiction. Sa kanilang mga gawa sinabi nila sa mundo ang tungkol sa mga kamangha-manghang kababalaghan ng ikaapat na dimensyon. Ang mga bayani ng kanilang mga gawa, gamit ang mga katangian ng four-dimensional na espasyo, ay makakain ng mga nilalaman ng isang itlog nang hindi nasisira ang shell, at uminom ng inumin nang hindi binubuksan ang takip ng bote. Inalis ng mga magnanakaw ang kayamanan mula sa ligtas sa pamamagitan ng ikaapat na dimensyon. Ang mga link ng kadena ay madaling matanggal, at ang buhol sa lubid ay maaaring maalis nang hindi hawakan ang mga dulo nito. Ang mga surgeon ay nagsagawa ng mga operasyon sa mga panloob na organo nang hindi pinuputol ang tisyu ng katawan ng pasyente. Inilagay ng mga mistiko ang mga kaluluwa ng yumao sa ikaapat na dimensyon. Para sa isang ordinaryong tao, ang ideya ng four-dimensional na espasyo ay nanatiling hindi maintindihan at misteryoso, at marami ang karaniwang itinuturing na ang apat na dimensyon na espasyo ay isang kathang-isip ng mga siyentipiko at mga manunulat ng science fiction, na walang kinalaman sa katotohanan.

Problema sa pang-unawa

Tradisyonal na pinaniniwalaan na ang isang tao ay hindi maaaring madama at maisip ang mga four-dimensional na figure, dahil siya ay isang three-dimensional na nilalang. Nakikita ng paksa ang mga three-dimensional na figure gamit ang retina, na two-dimensional. Upang makita ang mga four-dimensional na figure, kailangan ang isang three-dimensional na retina, ngunit ang mga tao ay walang kakayahang ito.

Upang makakuha ng malinaw na ideya ng mga four-dimensional na figure, gagamit kami ng mga analogies mula sa lower-dimensional na mga espasyo para mag-extrapolate sa mas mataas na dimensional na figure, gamitin ang modelling method, at ilapat ang mga system analysis method para maghanap ng mga pattern sa pagitan ng mga elemento ng four- dimensional figure. Ang mga iminungkahing modelo ay dapat sapat na naglalarawan sa mga katangian ng mga four-dimensional na figure, hindi sumasalungat sa isa't isa at magbigay ng sapat na pag-unawa sa four-dimensional figure at, una sa lahat, ang geometric na hugis. Dahil walang sistematiko at visual na paglalarawan ng mga four-dimensional na figure sa panitikan, ngunit ang kanilang mga pangalan lamang ang nagpapahiwatig ng ilang mga katangian, iminumungkahi naming simulan ang pag-aaral ng mga four-dimensional na figure na may pinakasimpleng isa - isang four-dimensional na kubo, na tinatawag na isang hypercube.

Kahulugan ng hypercube

Hypercubeay isang regular na polytope na ang cell ay isang kubo.

Polytope ay isang four-dimensional figure na ang hangganan ay binubuo ng polyhedra. Ang isang analogue ng isang polytope cell ay ang mukha ng isang polyhedron. Ang hypercube ay isang analogue ng isang three-dimensional na kubo.

Magkakaroon tayo ng ideya ng hypercube kung alam natin ang mga katangian nito. Nakikita ng paksa ang isang tiyak na bagay, na kumakatawan dito sa anyo ng isang tiyak na modelo. Gamitin natin ang pamamaraang ito at ipakita ang ideya ng isang hypercube sa anyo ng iba't ibang mga modelo.

Analytical na modelo

Isasaalang-alang namin ang isang-dimensional na espasyo (tuwid na linya) bilang isang nakaayos na hanay ng mga puntosM(x), Saan x– coordinate ng isang arbitrary point sa isang linya. Pagkatapos ay tinukoy ang segment ng unit sa pamamagitan ng pagtukoy ng dalawang puntos:A(0) at B(1).

Ang isang eroplano (two-dimensional space) ay maaaring ituring bilang isang nakaayos na hanay ng mga puntos M(x; y). Ang parisukat ng yunit ay ganap na tutukuyin sa pamamagitan ng apat na vertice nito: A(0; 0), B(1; 0), C(1; 1), D(0; 1). Ang mga coordinate ng vertices ng square ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng zero at pagkatapos ay isa sa mga coordinate ng segment.

Three-dimensional na espasyo - isang nakaayos na hanay ng mga puntos M(x; y; z). Upang tukuyin ang isang three-dimensional na kubo, walong puntos ang kinakailangan:

A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0),

E(0; 0; 1), F(1; 0; 1), G(1; 1; 1), H(0; 1; 1).

Ang mga coordinate ng kubo ay nakuha mula sa mga coordinate ng parisukat sa pamamagitan ng pagdaragdag ng zero at pagkatapos ay isa.

Ang four-dimensional na espasyo ay isang nakaayos na hanay ng mga puntos M(x; y; z; t). Upang tukuyin ang isang hypercube, kailangan mong matukoy ang mga coordinate ng labing anim na vertices nito:

A(0; 0; 0; 0), B(1; 0; 0; 0), C(1; 1; 0; 0), D(0; 1; 0; 0),

E(0; 0; 1; 0), F(1; 0; 1; 0), G(1; 1; 1; 0), H(0; 1; 1; 0),

K(0; 0; 0; 1), L(1; 0; 0; 1), M(1; 1; 0; 1), N(0; 1; 0; 1),

O(0; 0; 1; 1), P(1; 0; 1; 1), R(1; 1; 1; 1), S(0; 1; 1; 1).

Ang mga coordinate ng hypercube ay nakuha mula sa mga coordinate ng three-dimensional na kubo sa pamamagitan ng pagdaragdag ng ikaapat na coordinate na katumbas ng zero at pagkatapos ay isa.

Gamit ang mga formula ng analytical geometry para sa four-dimensional na Euclidean space, maaaring makuha ng isa ang mga katangian ng isang hypercube.
Bilang halimbawa, isaalang-alang ang pagkalkula ng haba ng pangunahing dayagonal ng isang hypercube. Ipagpalagay na kailangan nating hanapin ang distansya sa pagitan ng mga punto A(0, 0, 0, 0) at R(1, 1, 1, 1). Upang gawin ito, gagamitin namin ang formula ng distansya sa four-dimensional na Euclidean space.

Sa dalawang-dimensional na espasyo (sa isang eroplano), ang distansya sa pagitan ng mga punto A(x 1 , y 1) at B(x 2 , y 2) kinakalkula ng formula

Ang formula na ito ay sumusunod mula sa Pythagorean theorem.

Ang kaukulang formula para sa distansya sa pagitan ng mga puntos A(x 1 , y 1 , z 1) at B(x 2 , y 2 , z 2) sa tatlong-dimensional na espasyo ay may anyo

At sa isang-dimensional na espasyo (sa isang tuwid na linya) sa pagitan ng mga punto A( x 1) at B( x 2) maaari mong isulat ang kaukulang formula ng distansya:

Katulad nito, ang distansya sa pagitan ng mga puntos A(x 1 , y 1 , z 1 , t 1) at B(x 2 , y 2 , z 2 , t 2) sa four-dimensional na espasyo ay kakalkulahin ng formula:

Para sa iminungkahing halimbawa nakita namin

Kaya, ang isang hypercube ay umiiral nang analytical, at ang mga katangian nito ay maaaring ilarawan nang hindi mas masahol kaysa sa mga katangian ng isang three-dimensional na kubo.

Dynamic na modelo

Ang analytical model ng isang hypercube ay napaka abstract, kaya isaalang-alang natin ang isa pang modelo - isang dynamic.

Ang isang punto (isang zero-dimensional na figure), na gumagalaw sa isang direksyon, ay bumubuo ng isang segment (isang one-dimensional na figure). Ang segment, na gumagalaw sa isang direksyon na patayo sa sarili nito, ay lumilikha ng isang parisukat (two-dimensional figure). Ang parisukat, na gumagalaw sa isang direksyon na patayo sa eroplano ng parisukat, ay lumilikha ng isang kubo (isang three-dimensional na pigura).

Ang kubo, na gumagalaw patayo sa tatlong-dimensional na espasyo kung saan ito orihinal na matatagpuan, ay bumubuo ng hypercube (four-dimensional na pigura).

Ang hangganan ng isang hypercube ay tatlong-dimensional, may hangganan at sarado. Binubuo ito ng isang three-dimensional na cube sa unang posisyon, isang three-dimensional na cube sa huling posisyon, at anim na cube na nabuo sa pamamagitan ng paggalaw ng mga parisukat ng orihinal na cube sa direksyon ng ikaapat na dimensyon. Ang buong hangganan ng hypercube ay binubuo ng 8 three-dimensional na cube (mga cell).

Kapag gumagalaw sa paunang posisyon, ang kubo ay may 8 vertices at sa huling posisyon ay mayroon ding 8 vertices. Samakatuwid, ang isang hypercube ay may kabuuang 16 na vertex.

Apat na magkabilang patayo na mga gilid ay nagmumula sa bawat vertex. Ang hypercube ay may kabuuang 32 na mga gilid Sa paunang posisyon nito, mayroon itong 12 mga gilid, sa huling posisyon nito ay mayroon ding 12 mga gilid, at 8 mga gilid ang nabuo ang mga vertice ng kubo kapag gumagalaw sa ika-apat na dimensyon.

Kaya, ang hangganan ng isang hypercube ay binubuo ng 8 cubes, na binubuo ng 24 na mga parisukat. Ibig sabihin, 6 na mga parisukat sa paunang posisyon, 6 sa huling posisyon, at 12 mga parisukat na nabuo sa pamamagitan ng paglipat ng 12 mga gilid sa direksyon ng ikaapat na dimensyon.

Geometric na modelo

Ang dynamic na modelo ng isang hypercube ay maaaring hindi masyadong malinaw. Samakatuwid, isaalang-alang ang geometric na modelo ng isang hypercube. Paano tayo makakakuha ng geometric na modelo ng isang 3D cube? Ginagawa namin ang pag-unlad nito, at mula sa pag-unlad ay "pinagdikit" namin ang isang modelo ng kubo. Ang pagbuo ng isang three-dimensional na kubo ay binubuo ng isang parisukat, sa mga gilid nito ay nakakabit ng isang parisukat kasama ang isa pang parisukat. Pinaikot namin ang mga katabing parisukat sa paligid ng mga gilid ng parisukat, at ikinonekta ang mga katabing gilid ng mga parisukat sa bawat isa. At isinasara namin ang natitirang apat na panig sa huling parisukat (Larawan 1).

Isaalang-alang din natin ang pagbuo ng isang hypercube. Ang pagbuo nito ay magiging isang three-dimensional na figure na binubuo ng orihinal na three-dimensional na kubo, anim na cube na katabi ng bawat mukha ng orihinal na kubo at isa pang kubo. Mayroong walong tatlong-dimensional na mga cube sa kabuuan (Larawan 2). Upang makakuha ng four-dimensional na cube (hypercube) mula sa pag-unlad na ito, kailangan mong paikutin ang bawat isa sa mga katabing cube ng 90 degrees. Ang mga katabing cube na ito ay matatagpuan sa ibang three-dimensional na espasyo. Ikonekta ang magkatabing mukha (mga parisukat) ng mga cube sa isa't isa. Ilagay ang ikawalong kubo na may mga mukha nito sa natitirang bakanteng espasyo. Nakakakuha kami ng isang four-dimensional figure - isang hypercube, ang hangganan nito ay binubuo ng walong three-dimensional na mga cube.

Larawan ng hypercube

Sa itaas ay ipinakita kung paano "magdikit" ng isang hypercube na modelo mula sa isang three-dimensional na pag-scan. Kumuha kami ng mga larawan gamit ang projection. Ang gitnang projection ng isang three-dimensional na kubo (ang imahe nito sa isang eroplano) ay ganito ang hitsura (Larawan 3). Sa loob ng isang parisukat ay isa pang parisukat. Ang kaukulang mga vertex ng parisukat ay konektado sa pamamagitan ng mga segment. Ang mga katabing parisukat ay inilalarawan bilang mga trapezoid, bagaman sa tatlong-dimensional na espasyo sila ay mga parisukat. Ang panloob at panlabas na mga parisukat ay magkaibang laki, ngunit sa totoong tatlong-dimensional na espasyo sila ay pantay na mga parisukat.

Katulad nito, ang gitnang projection ng isang four-dimensional na cube papunta sa three-dimensional na espasyo ay magiging ganito: sa loob ng isang cube ay may isa pang cube. Ang kaukulang mga vertex ng mga cube ay konektado sa pamamagitan ng mga segment. Ang panloob at panlabas na mga cube ay mayroon iba't ibang laki sa tatlong-dimensional na espasyo, ngunit sa apat na-dimensional na espasyo sila ay pantay na mga cube (Larawan 4).

Ang anim na pinutol na pyramid ay mga larawan ng pantay na anim na cell (cube) ng isang four-dimensional na kubo.

Ang three-dimensional na projection na ito ay maaaring iguhit sa isang eroplano at ma-verify na ang mga katangian ng hypercube na nakuha gamit ang dynamic na modelo ay totoo.

Ang hypercube ay may 16 vertices, 32 edges, 24 faces (kuwadrado), 8 cells (cube). Apat na magkaparehong patayo na gilid ang nagmumula sa bawat vertex. Ang hangganan ng isang hypercube ay isang three-dimensional closed convex figure, ang dami nito (ang lateral volume ng hypercube) ay katumbas ng walong unit na three-dimensional na cube. Sa loob mismo, ang figure na ito ay naglalaman ng isang unit hypercube, ang hypervolume na kung saan ay katumbas ng hypervolume ng unit hypercube.

Konklusyon

Ang layunin ng gawaing ito ay magbigay ng paunang pagpapakilala sa apat na dimensyon na espasyo. Ginawa ito gamit ang halimbawa ng pinakasimpleng figure - isang hypercube.

Ang mundo ng four-dimensional na espasyo ay kamangha-mangha! Sa loob nito, kasama ang mga katulad na figure sa three-dimensional na espasyo, mayroon ding mga figure na walang analogues sa three-dimensional na espasyo.

Maraming phenomena ng materyal na mundo, ang macroworld at ang megaworld, sa kabila ng napakalaking tagumpay sa physics, chemistry at astronomy, ay nanatiling hindi maipaliwanag.

Walang iisang teorya na nagpapaliwanag sa lahat ng puwersa ng kalikasan. Walang kasiya-siyang modelo ng Uniberso na nagpapaliwanag sa istraktura nito at hindi kasama ang mga kabalintunaan.

Natutunan ang mga katangian ng four-dimensional na espasyo at humiram ng ilang ideya mula sa four-dimensional na geometry, magiging posible hindi lamang ang pagbuo ng mas mahigpit na mga teorya at modelo ng materyal na mundo, kundi pati na rin ang lumikha ng mga tool at system na gumagana ayon sa mga batas. ng four-dimensional na mundo, kung gayon ang mga kakayahan ng tao ay magiging mas kahanga-hanga.