Logarithm na may ugat sa base. Logarithm


\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Ipaliwanag natin ito nang mas simple. Halimbawa, ang \(\log_(2)(8)\) ay katumbas ng kapangyarihan kung saan kailangang itaas ang \(2\) upang makuha ang \(8\). Mula dito ay malinaw na ang \(\log_(2)(8)=3\).

Mga halimbawa:

\(\log_(5)(25)=2\)

kasi \(5^(2)=25\)

\(\log_(3)(81)=4\)

kasi \(3^(4)=81\)

\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)

kasi \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumento at base ng logarithm

Anumang logarithm ay may sumusunod na "anatomy":

Ang argumento ng isang logarithm ay karaniwang nakasulat sa antas nito, at ang base ay nakasulat sa subscript na mas malapit sa logarithm sign. At ganito ang nakasulat sa entry na ito: "logarithm ng dalawampu't lima hanggang base five."

Paano makalkula ang logarithm?

Upang makalkula ang logarithm, kailangan mong sagutin ang tanong: sa anong kapangyarihan dapat itaas ang base upang makuha ang argumento?

Halimbawa, kalkulahin ang logarithm: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Sa anong kapangyarihan dapat itaas ang \(4\) upang makuha ang \(16\)? Halatang pangalawa. kaya naman:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Sa anong kapangyarihan dapat itaas ang \(\sqrt(5)\) upang makuha ang \(1\)? Anong kapangyarihan ang gumagawa ng anumang numero uno? Syempre si Zero!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Sa anong kapangyarihan dapat itaas ang \(\sqrt(7)\) upang makuha ang \(\sqrt(7)\)? Una, ang anumang numero sa unang kapangyarihan ay katumbas ng sarili nito.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Sa anong kapangyarihan dapat itaas ang \(3\) upang makuha ang \(\sqrt(3)\)? Mula sa alam namin na iyon ay isang fractional na kapangyarihan, na nangangahulugang ang square root ay ang kapangyarihan ng \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Halimbawa : Kalkulahin ang logarithm \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Solusyon :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)

Kailangan nating hanapin ang halaga ng logarithm, tukuyin natin ito bilang x. Ngayon, gamitin natin ang kahulugan ng logarithm:
\(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)

\((4\sqrt(2))^(x)=8\)

Ano ang nag-uugnay sa \(4\sqrt(2)\) at \(8\)? Dalawa, dahil ang parehong mga numero ay maaaring katawanin ng dalawa:
\(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)

\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)

Sa kaliwa ginagamit namin ang mga katangian ng degree: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) at \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)

\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)

Ang mga base ay pantay-pantay, nagpapatuloy kami sa pagkakapantay-pantay ng mga tagapagpahiwatig

\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)

I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa \(\frac(2)(5)\)

Ang resultang ugat ay ang halaga ng logarithm

Sagot : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Bakit naimbento ang logarithm?

Upang maunawaan ito, lutasin natin ang equation: \(3^(x)=9\). Itugma lang ang \(x\) para gumana ang pagkakapantay-pantay. Siyempre, \(x=2\).

Ngayon lutasin ang equation: \(3^(x)=8\).Ano ang katumbas ng x? Iyon ang punto.

Ang pinakamatalino ay magsasabi: "Ang X ay mas mababa ng kaunti sa dalawa." Paano eksaktong isulat ang numerong ito? Upang masagot ang tanong na ito, naimbento ang logarithm. Salamat sa kanya, ang sagot dito ay maaaring isulat bilang \(x=\log_(3)(8)\).

Gusto kong bigyang-diin na \(\log_(3)(8)\), tulad ng anumang logarithm ay isang numero lamang. Oo, mukhang hindi karaniwan, ngunit ito ay maikli. Dahil kung gusto naming isulat ito bilang isang decimal, magiging ganito ito: \(1.892789260714.....\)

Halimbawa : Lutasin ang equation \(4^(5x-4)=10\)

Solusyon :

\(4^(5x-4)=10\)

Ang \(4^(5x-4)\) at \(10\) ay hindi maaaring dalhin sa parehong base. Nangangahulugan ito na hindi mo magagawa nang walang logarithm.

Gamitin natin ang kahulugan ng logarithm:
\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

\(\log_(4)(10)=5x-4\)

I-flip natin ang equation upang ang X ay nasa kaliwa

\(5x-4=\log_(4)(10)\)

Bago tayo. Ilipat natin ang \(4\) sa kanan.

At huwag matakot sa logarithm, ituring ito bilang isang ordinaryong numero.

\(5x=\log_(4)(10)+4\)

Hatiin ang equation sa 5

\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Ito ang ating ugat. Oo, mukhang hindi karaniwan, ngunit hindi nila pinipili ang sagot.

Sagot : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Decimal at natural logarithms

Gaya ng nakasaad sa kahulugan ng isang logarithm, ang base nito ay maaaring maging anumang positibong numero maliban sa isang \((a>0, a\neq1)\). At sa lahat ng posibleng mga base, mayroong dalawa na madalas na nangyayari na ang isang espesyal na maikling notasyon ay naimbento para sa mga logarithms sa kanila:

Natural logarithm: isang logarithm na ang base ay ang numero ni Euler na \(e\) (katumbas ng humigit-kumulang \(2.7182818…\)), at ang logarithm ay isinusulat bilang \(\ln(a)\).

Ibig sabihin, Ang \(\ln(a)\) ay kapareho ng \(\log_(e)(a)\)

Decimal Logarithm: Ang logarithm na ang base ay 10 ay nakasulat na \(\lg(a)\).

Ibig sabihin, Ang \(\lg(a)\) ay kapareho ng \(\log_(10)(a)\), kung saan ang \(a\) ay ilang numero.

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Ang logarithms ay may maraming katangian. Ang isa sa kanila ay tinatawag na "Basic Logarithmic Identity" at ganito ang hitsura:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Direktang sumusunod ang property na ito mula sa kahulugan. Tingnan natin nang eksakto kung paano nangyari ang formula na ito.

Tandaan natin maikling tala mga kahulugan ng logarithm:

kung \(a^(b)=c\), kung gayon \(\log_(a)(c)=b\)

Ibig sabihin, ang \(b\) ay kapareho ng \(\log_(a)(c)\). Pagkatapos ay maaari nating isulat ang \(\log_(a)(c)\) sa halip na \(b\) sa formula na \(a^(b)=c\). Ito ay naging \(a^(\log_(a)(c))=c\) - ang pangunahing logarithmic identity.

Makakahanap ka ng iba pang mga katangian ng logarithms. Sa kanilang tulong, maaari mong pasimplehin at kalkulahin ang mga halaga ng mga expression na may logarithms, na mahirap direktang kalkulahin.

Halimbawa : Hanapin ang halaga ng expression na \(36^(\log_(6)(5))\)

Solusyon :

Sagot : \(25\)

Paano magsulat ng isang numero bilang isang logarithm?

Tulad ng nabanggit sa itaas, ang anumang logarithm ay isang numero lamang. Totoo rin ang kabaligtaran: anumang numero ay maaaring isulat bilang logarithm. Halimbawa, alam namin na ang \(\log_(2)(4)\) ay katumbas ng dalawa. Pagkatapos sa halip na dalawa maaari mong isulat ang \(\log_(2)(4)\).

Ngunit ang \(\log_(3)(9)\) ay katumbas din ng \(2\), na nangangahulugang maaari din nating isulat ang \(2=\log_(3)(9)\) . Gayundin sa \(\log_(5)(25)\), at sa \(\log_(9)(81)\), atbp. Ibig sabihin, lumalabas

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Kaya, kung kailangan natin, maaari tayong sumulat ng dalawa bilang isang logarithm na may anumang base kahit saan (kahit sa isang equation, kahit sa isang expression, kahit na sa isang hindi pagkakapantay-pantay) - isinusulat lang natin ang squared base bilang isang argumento.

Pareho ito sa triple – maaari itong isulat bilang \(\log_(2)(8)\), o bilang \(\log_(3)(27)\), o bilang \(\log_(4)( 64) \)... Dito isusulat namin ang base sa kubo bilang argumento:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

At kasama ang apat:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

At may minus one:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

At kasama ang isang ikatlo:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Anumang numero \(a\) ay maaaring katawanin bilang isang logarithm na may base \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Halimbawa : Hanapin ang kahulugan ng expression \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Solusyon :

Sagot : \(1\)

    Magsimula tayo sa katangian ng logarithm ng isa. Ang pagbabalangkas nito ay ang mga sumusunod: ang logarithm ng pagkakaisa ay katumbas ng zero, iyon ay, log a 1=0 para sa alinmang a>0, a≠1. Ang patunay ay hindi mahirap: dahil ang isang 0 =1 para sa anumang a na nagbibigay-kasiyahan sa mga kundisyon sa itaas a>0 at a≠1, kung gayon ang equality log a 1=0 na patunayan ay sumusunod kaagad mula sa kahulugan ng logarithm.

    Magbigay tayo ng mga halimbawa ng aplikasyon ng itinuturing na ari-arian: log 3 1=0, log1=0 at .

    Lumipat tayo sa susunod na pag-aari: ang logarithm ng isang numero na katumbas ng base ay katumbas ng isa, ibig sabihin, log a a=1 para sa a>0, a≠1. Sa katunayan, dahil ang isang 1 =a para sa anumang a, pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm log a a=1.

    Ang mga halimbawa ng paggamit ng property na ito ng logarithms ay ang equalities log 5 5=1, log 5.6 5.6 at lne=1.

    Halimbawa, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 at .

    Logarithm ng produkto ng dalawang positibong numero Ang x at y ay katumbas ng produkto ng logarithms ng mga numerong ito: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Patunayan natin ang pag-aari ng logarithm ng isang produkto. Dahil sa mga katangian ng degree isang log a x+log a y =a log a x ·a log a y, at dahil sa pamamagitan ng pangunahing logarithmic identity isang log a x =x at isang log a y =y, pagkatapos ay isang log a x ·a log a y =x·y. Kaya, ang isang log a x+log a y =x·y, kung saan, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang logarithm, ang pagkakapantay-pantay na pinatutunayan ay sumusunod.

    Magpakita tayo ng mga halimbawa ng paggamit ng property ng logarithm ng isang produkto: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 at .

    Ang pag-aari ng logarithm ng isang produkto ay maaaring gawing pangkalahatan sa produkto ng isang may hangganan na bilang n ng mga positibong numero x 1 , x 2 , …, x n bilang log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Ang pagkakapantay-pantay na ito ay mapapatunayan nang walang mga problema.

    Halimbawa, ang natural na logarithm ng produkto ay maaaring mapalitan ng kabuuan ng tatlong natural na logarithm ng mga numero 4, e, at.

    Logarithm ng quotient ng dalawang positibong numero Ang x at y ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng logarithms ng mga numerong ito. Ang property ng logarithm ng isang quotient ay tumutugma sa isang formula ng form , kung saan ang a>0, a≠1, x at y ay ilang positibong numero. Ang bisa ng formula na ito ay napatunayan pati na rin ang formula para sa logarithm ng isang produkto: since , pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan ng isang logarithm.

    Narito ang isang halimbawa ng paggamit ng property na ito ng logarithm: .

    Lumipat tayo sa ari-arian ng logarithm ng kapangyarihan. Ang logarithm ng isang degree ay katumbas ng produkto ng exponent at ang logarithm ng modulus ng base ng degree na ito. Isulat natin ang katangiang ito ng logarithm ng isang kapangyarihan bilang isang pormula: log a b p =p·log a |b|, kung saan ang a>0, a≠1, b at p ay mga numero na ang antas b p ay may katuturan at b p >0.

    Una naming patunayan ang katangiang ito para sa positibo b. Ang pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan ay nagbibigay-daan sa amin na kumatawan sa bilang b bilang isang log a b , pagkatapos ay b p =(a log a b) p , at ang resultang expression, dahil sa pag-aari ng kapangyarihan, ay katumbas ng isang p·log a b . Kaya't dumating tayo sa pagkakapantay-pantay b p =a p·log a b, kung saan, sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm, napagpasyahan natin na ang log a b p =p·log a b.

    Ito ay nananatiling upang patunayan ang ari-arian na ito para sa negatibo b. Dito napapansin natin na ang expression na log a b p para sa negatibong b ay may katuturan lamang para sa kahit na mga exponents p (dahil ang halaga ng degree b p ay dapat na mas malaki kaysa sa zero, kung hindi, ang logarithm ay hindi magkakaroon ng kahulugan), at sa kasong ito b p =|b| p. Pagkatapos b p ==b| p =(isang log a |b|) p =a p·log a |b|, mula sa kung saan log a b p =p·log a |b| .

    Halimbawa, at ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

    Ito ay sumusunod mula sa nakaraang ari-arian ari-arian ng logarithm mula sa ugat: ang logarithm ng nth root ay katumbas ng produkto ng fraction 1/n ng logarithm ng radical expression, iyon ay, , kung saan a>0, a≠1, n – natural na numero, mas malaki sa isa, b>0.

    Ang patunay ay batay sa pagkakapantay-pantay (tingnan), na wasto para sa anumang positibong b, at ang pag-aari ng logarithm ng kapangyarihan: .

    Narito ang isang halimbawa ng paggamit ng property na ito: .

    Ngayon patunayan natin formula para sa paglipat sa isang bagong logarithm base mabait . Upang gawin ito, sapat na upang patunayan ang bisa ng equality log c b=log a b·log c a. Ang pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan ay nagbibigay-daan sa amin na katawanin ang numero b bilang isang log a b , pagkatapos ay log c b=log c a log a b . Ito ay nananatiling gamitin ang pag-aari ng logarithm ng degree: log c a log a b =log a b log c a. Pinatutunayan nito ang equality log c b=log a b·log c a, na nangangahulugan na ang formula para sa paglipat sa isang bagong logarithm base ay napatunayan na rin.

    Magpakita tayo ng ilang halimbawa ng paggamit ng property na ito ng logarithms: at .

    Ang pormula para sa paglipat sa isang bagong base ay nagbibigay-daan sa iyo na magpatuloy sa pagtatrabaho sa mga logarithms na may "maginhawa" na base. Halimbawa, maaari itong magamit upang pumunta sa natural o decimal logarithms upang makalkula mo ang halaga ng isang logarithm mula sa isang talahanayan ng logarithms. Ang formula para sa paglipat sa isang bagong logarithm base ay nagbibigay-daan din, sa ilang mga kaso, upang mahanap ang halaga ng isang naibigay na logarithm kapag ang mga halaga ng ilang logarithm sa iba pang mga base ay kilala.

    Madalas ginagamit espesyal na kaso mga formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm na may c=b ng form . Ipinapakita nito na ang log a b at log b a – . Halimbawa, .

    Madalas ding ginagamit ang formula , na maginhawa para sa paghahanap ng mga halaga ng logarithm. Upang kumpirmahin ang aming mga salita, ipapakita namin kung paano ito magagamit upang kalkulahin ang halaga ng isang logarithm ng form . meron tayo . Upang patunayan ang formula ito ay sapat na upang gamitin ang formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm a: .

    Ito ay nananatiling patunayan ang mga katangian ng paghahambing ng logarithms.

    Patunayan natin na para sa anumang positibong numero b 1 at b 2, b 1 log a b 2 , at para sa a>1 – ang inequality log a b 1

    Sa wakas, nananatili itong patunayan ang huli sa mga nakalistang katangian ng logarithms. Limitahan natin ang ating sarili sa patunay ng unang bahagi nito, ibig sabihin, patunayan natin na kung ang isang 1 >1, isang 2 >1 at isang 1 1 ay totoo log a 1 b>log a 2 b . Ang natitirang mga pahayag ng pag-aari na ito ng logarithms ay pinatunayan ayon sa isang katulad na prinsipyo.

    Gamitin natin ang kabaligtaran na pamamaraan. Ipagpalagay na para sa isang 1>1, isang 2>1 at isang 1 1 ay totoo log a 1 b≤log a 2 b . Batay sa mga katangian ng logarithms, ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring muling isulat bilang At ayon sa pagkakabanggit, at mula sa kanila ay sumusunod na log b a 1 ≤log b a 2 at log b a 1 ≥log b a 2, ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos, ayon sa mga katangian ng mga kapangyarihan na may parehong mga base, ang mga pagkakapantay-pantay b log b a 1 ≥b log b a 2 at b log b a 1 ≥b log b a 2 ay dapat hawakan, iyon ay, a 1 ≥a 2 . Kaya't dumating kami sa isang pagkakasalungatan sa kundisyon a 1

Mga sanggunian.

  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. at iba pa Algebra at ang simula ng pagsusuri: Teksbuk para sa mga baitang 10 - 11 ng mga pangkalahatang institusyong pang-edukasyon.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematics (isang manwal para sa mga pumapasok sa mga teknikal na paaralan).

Logarithm ng numerong b (b > 0) sa base a (a > 0, a ≠ 1)– exponent kung saan dapat itaas ang numerong a upang makuha b.

Ang base 10 logarithm ng b ay maaaring isulat bilang log(b), at ang logarithm sa base e (natural logarithm) ay ln(b).

Kadalasang ginagamit kapag nilulutas ang mga problema sa logarithms:

Mga katangian ng logarithms

Mayroong apat na pangunahing mga katangian ng logarithms.

Hayaan ang a > 0, a ≠ 1, x > 0 at y > 0.

Ari-arian 1. Logarithm ng produkto

Logarithm ng produkto katumbas ng kabuuan ng logarithms:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Property 2. Logarithm ng quotient

Logarithm ng quotient katumbas ng pagkakaiba ng logarithms:

log a (x / y) = log a x – log a y

Ari-arian 3. Logarithm ng kapangyarihan

Logarithm ng degree katumbas ng produkto ng kapangyarihan at logarithm:

Kung ang base ng logarithm ay nasa degree, ang isa pang formula ay nalalapat:

Ari-arian 4. Logarithm ng ugat

Ang pag-aari na ito ay maaaring makuha mula sa ari-arian ng logarithm ng isang kapangyarihan, dahil ang ika-n ugat ng kapangyarihan ay katumbas ng kapangyarihan ng 1/n:

Formula para sa pag-convert mula sa isang logarithm sa isang base patungo sa isang logarithm sa isa pang base

Ang formula na ito ay madalas ding ginagamit kapag nilulutas ang iba't ibang mga gawain sa logarithms:

Espesyal na kaso:

Paghahambing ng mga logarithms (hindi pagkakapantay-pantay)

Magkaroon tayo ng 2 function na f(x) at g(x) sa ilalim ng logarithms na may parehong mga base at sa pagitan ng mga ito ay mayroong isang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay:

Upang ihambing ang mga ito, kailangan mo munang tingnan ang base ng logarithms a:

  • Kung a > 0, f(x) > g(x) > 0
  • Kung 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Paano malutas ang mga problema sa logarithms: mga halimbawa

Mga problema sa logarithms kasama sa Unified State Examination sa matematika para sa grade 11 sa task 5 at task 7, makakahanap ka ng mga gawain na may mga solusyon sa aming website sa mga naaangkop na seksyon. Gayundin, ang mga gawain na may logarithms ay matatagpuan sa math task bank. Maaari mong mahanap ang lahat ng mga halimbawa sa pamamagitan ng paghahanap sa site.

Ano ang logarithm

Ang logarithms ay palaging itinuturing na isang mahirap na paksa sa mga kurso sa matematika ng paaralan. Mayroong maraming iba't ibang mga kahulugan ng logarithm, ngunit sa ilang kadahilanan ang karamihan sa mga aklat-aralin ay gumagamit ng pinakamasalimuot at hindi matagumpay sa mga ito.

Tutukuyin natin ang logarithm nang simple at malinaw. Upang gawin ito, gumawa tayo ng talahanayan:

So, we have powers of two.

Logarithms - mga katangian, mga formula, kung paano malutas

Kung kukunin mo ang numero mula sa ilalim na linya, madali mong mahahanap ang kapangyarihan kung saan kailangan mong itaas ang dalawa upang makuha ang numerong ito. Halimbawa, upang makakuha ng 16, kailangan mong itaas ang dalawa sa ikaapat na kapangyarihan. At para makakuha ng 64, kailangan mong itaas ang dalawa sa ikaanim na kapangyarihan. Ito ay makikita mula sa talahanayan.

At ngayon - talaga, ang kahulugan ng logarithm:

ang base a ng argumentong x ay ang kapangyarihan kung saan dapat itaas ang numerong a upang makuha ang numerong x.

Pagtatalaga: log a x = b, kung saan ang a ay ang base, x ang argumento, b ay kung ano talaga ang katumbas ng logarithm.

Halimbawa, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (ang base 2 logarithm ng 8 ay tatlo dahil 2 3 = 8). Sa parehong tagumpay, log 2 64 = 6, dahil 2 6 = 64.

Ang operasyon ng paghahanap ng logarithm ng isang numero sa isang ibinigay na base ay tinatawag. Kaya, magdagdag tayo ng bagong linya sa ating talahanayan:

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6
2 4 8 16 32 64
log 2 2 = 1 log 2 4 = 2 log 2 8 = 3 log 2 16 = 4 log 2 32 = 5 log 2 64 = 6

Sa kasamaang palad, hindi lahat ng logarithms ay madaling kalkulahin. Halimbawa, subukang hanapin ang log 2 5. Ang numero 5 ay wala sa talahanayan, ngunit ang lohika ay nagdidikta na ang logarithm ay nasa isang lugar sa pagitan. Dahil 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Ang mga naturang numero ay tinatawag na hindi makatwiran: ang mga numero pagkatapos ng decimal point ay maaaring isulat ng ad infinitum, at hindi na mauulit ang mga ito. Kung ang logarithm ay lumabas na hindi makatwiran, mas mabuting iwanan ito sa ganoong paraan: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Mahalagang maunawaan na ang logarithm ay isang expression na may dalawang variable (ang base at ang argumento). Sa una, maraming tao ang nalilito kung saan ang batayan at kung saan ang argumento. Upang maiwasan ang nakakainis na hindi pagkakaunawaan, tingnan lamang ang larawan:

Sa harap natin ay walang iba kundi ang kahulugan ng logarithm. Tandaan: Ang logarithm ay isang kapangyarihan, kung saan dapat itayo ang base upang makakuha ng argumento. Ito ay ang base na nakataas sa isang kapangyarihan - ito ay naka-highlight sa pula sa larawan. Palaging nasa ibaba ang base! Sinasabi ko sa aking mga mag-aaral ang napakagandang tuntuning ito sa pinakaunang aralin - at walang kalituhan na lumitaw.

Paano magbilang ng logarithms

Nalaman namin ang kahulugan - ang natitira na lang ay upang matutunan kung paano magbilang ng mga logarithms, i.e. tanggalin ang "log" sign. Upang magsimula, tandaan namin na ang dalawang mahahalagang katotohanan ay sumusunod mula sa kahulugan:

  1. Ang argumento at ang base ay dapat palaging mas malaki kaysa sa zero. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng isang degree sa pamamagitan ng isang rational exponent, kung saan ang kahulugan ng isang logarithm ay nabawasan.
  2. Ang base ay dapat na iba sa isa, dahil ang isa sa anumang antas ay nananatiling isa. Dahil dito, ang tanong na "sa anong kapangyarihan dapat itaas ang isa upang makakuha ng dalawa" ay walang kahulugan. Walang ganoong degree!

Ang ganitong mga paghihigpit ay tinatawag hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga(ODZ). Ito ay lumalabas na ang ODZ ng logarithm ay ganito ang hitsura: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Tandaan na walang mga paghihigpit sa numero b (ang halaga ng logarithm). Halimbawa, maaaring negatibo ang logarithm: log 2 0.5 = −1, dahil 0.5 = 2 −1.

Gayunpaman, ngayon ay isinasaalang-alang lamang namin ang mga numerical na expression, kung saan hindi kinakailangang malaman ang VA ng logarithm. Ang lahat ng mga paghihigpit ay isinasaalang-alang na ng mga may-akda ng mga problema. Ngunit kapag naganap ang mga logarithmic equation at inequalities, magiging mandatory ang mga kinakailangan sa DL. Pagkatapos ng lahat, ang batayan at argumento ay maaaring maglaman ng napakalakas na mga konstruksyon na hindi kinakailangang tumutugma sa mga paghihigpit sa itaas.

Ngayon tingnan natin ang pangkalahatang pamamaraan para sa pagkalkula ng logarithms. Binubuo ito ng tatlong hakbang:

  1. Ipahayag ang base a at ang argumentong x bilang isang kapangyarihan na may pinakamababang posibleng base na mas malaki kaysa sa isa. Sa daan, mas mainam na alisin ang mga decimal;
  2. Lutasin ang equation para sa variable b: x = a b ;
  3. Ang resultang numero b ang magiging sagot.

yun lang! Kung ang logarithm ay lumabas na hindi makatwiran, ito ay makikita na sa unang hakbang. Ang pangangailangan na ang base ay mas malaki kaysa sa isa ay napakahalaga: binabawasan nito ang posibilidad ng pagkakamali at lubos na pinapasimple ang mga kalkulasyon. Ito ay pareho sa mga decimal fraction: kung agad mong i-convert ang mga ito sa mga ordinaryo, magkakaroon ng mas kaunting mga error.

Tingnan natin kung paano gumagana ang scheme na ito gamit ang mga partikular na halimbawa:

Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 5 25

  1. Isipin natin ang batayan at argumento bilang kapangyarihan ng lima: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

    2. Gumawa tayo at lutasin ang equation:
    log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

  2. Natanggap namin ang sagot: 2.

Gawain. Kalkulahin ang logarithm:

Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 4 64

  1. Isipin natin ang batayan at argumento bilang kapangyarihan ng dalawa: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
  2. Gumawa tayo at lutasin ang equation:
    log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
  3. Natanggap namin ang sagot: 3.

Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 16 1

  1. Isipin natin ang batayan at argumento bilang kapangyarihan ng dalawa: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
  2. Gumawa tayo at lutasin ang equation:
    log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
  3. Natanggap namin ang sagot: 0.

Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 7 14

  1. Isipin natin ang batayan at argumento bilang kapangyarihan ng pito: 7 = 7 1 ; 14 ay hindi maaaring katawanin bilang kapangyarihan ng pito, dahil 7 1< 14 < 7 2 ;
  2. Mula sa nakaraang talata ito ay sumusunod na ang logarithm ay hindi binibilang;
  3. Ang sagot ay walang pagbabago: log 7 14.

Isang maliit na tala sa huling halimbawa. Paano ka makatitiyak na ang isang numero ay hindi eksaktong kapangyarihan ng isa pang numero? Napakasimple nito - isama lang ito sa mga pangunahing kadahilanan. Kung ang pagpapalawak ay may hindi bababa sa dalawang magkaibang mga kadahilanan, ang numero ay hindi isang eksaktong kapangyarihan.

Gawain. Alamin kung ang mga numero ay eksaktong kapangyarihan: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - eksaktong antas, dahil mayroon lamang isang multiplier;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ay hindi eksaktong kapangyarihan, dahil may dalawang salik: 3 at 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - eksaktong antas;
35 = 7 · 5 - muli hindi isang eksaktong kapangyarihan;
14 = 7 · 2 - muli hindi isang eksaktong antas;

Tandaan din na ang mga prime number mismo ay palaging eksaktong kapangyarihan ng kanilang mga sarili.

Decimal logarithm

Ang ilang logarithms ay karaniwan na mayroon silang isang espesyal na pangalan at simbolo.

ng argumentong x ay ang logarithm sa base 10, i.e. Ang kapangyarihan kung saan dapat itaas ang numerong 10 upang makuha ang numerong x. Pagtatalaga: lg x.

Halimbawa, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - atbp.

Mula ngayon, kapag lumitaw ang isang pariralang tulad ng "Hanapin ang lg 0.01" sa isang aklat-aralin, alamin: hindi ito isang typo. Ito ay isang decimal logarithm. Gayunpaman, kung hindi ka pamilyar sa notasyong ito, maaari mo itong muling isulat palagi:
log x = log 10 x

Lahat ng totoo para sa ordinaryong logarithms ay totoo rin para sa decimal logarithms.

Likas na logarithm

May isa pang logarithm na may sariling pagtatalaga. Sa ilang paraan, mas mahalaga pa ito kaysa decimal. Pinag-uusapan natin ang natural logarithm.

ng argumentong x ay ang logarithm sa base e, i.e. ang kapangyarihan kung saan dapat itaas ang numerong e upang makuha ang numerong x. Pagtatalaga: ln x.

Maraming magtatanong: ano ang numero e? Ito ay isang hindi makatwirang numero; ang eksaktong halaga nito ay hindi mahanap at maisulat. Ibibigay ko lamang ang mga unang numero:
e = 2.718281828459…

Hindi na namin idedetalye kung ano ang numerong ito at kung bakit ito kailangan. Tandaan lamang na ang e ay ang batayan ng natural na logarithm:
ln x = log e x

Kaya ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - atbp. Sa kabilang banda, ang ln 2 ay isang hindi makatwirang numero. Sa pangkalahatan, ang natural na logarithm ng anumang rational na numero ay hindi makatwiran. Maliban, siyempre, para sa isa: ln 1 = 0.

Para sa mga natural na logarithms, ang lahat ng mga patakaran na totoo para sa mga ordinaryong logarithms ay may bisa.

Tingnan din ang:

Logarithm. Mga katangian ng logarithm (kapangyarihan ng logarithm).

Paano kinakatawan ang isang numero bilang isang logarithm?

Ginagamit namin ang kahulugan ng logarithm.

Ang logarithm ay isang exponent kung saan dapat itaas ang base upang makuha ang numero sa ilalim ng logarithm sign.

Kaya, upang kumatawan sa isang tiyak na numero c bilang isang logarithm sa base a, kailangan mong maglagay ng kapangyarihan na may parehong base bilang base ng logarithm sa ilalim ng tanda ng logarithm, at isulat ang numerong ito c bilang exponent:

Ganap na anumang numero ay maaaring katawanin bilang isang logarithm - positibo, negatibo, integer, fractional, rational, hindi makatwiran:

Upang hindi malito ang a at c sa ilalim ng mabigat na kondisyon ng isang pagsusulit o pagsusulit, maaari mong gamitin ang sumusunod na panuntunan sa pagsasaulo:

ang nasa ibaba ay bumababa, ang nasa itaas ay tumataas.

Halimbawa, kailangan mong katawanin ang numero 2 bilang logarithm sa base 3.

Mayroon kaming dalawang numero - 2 at 3. Ang mga numerong ito ay ang base at exponent, na isusulat namin sa ilalim ng tanda ng logarithm. Ito ay nananatiling upang matukoy kung alin sa mga numerong ito ang dapat isulat, sa base ng kapangyarihan, at alin - pataas, sa exponent.

Ang base 3 sa notasyon ng isang logarithm ay nasa ibaba, na nangangahulugan na kapag kinakatawan namin ang dalawa bilang isang logarithm sa base 3, isusulat din namin ang 3 pababa sa base.

Ang 2 ay mas mataas kaysa sa tatlo. At sa notasyon ng degree na dalawa ay isinusulat namin sa itaas ng tatlo, iyon ay, bilang isang exponent:

Logarithms. Entry level.

Logarithms

Logarithm positibong numero b batay sa a, Saan a > 0, a ≠ 1, ay tinatawag na exponent kung saan dapat itaas ang numero a para makuha b.

Kahulugan ng logarithm maaaring maisulat nang maikli tulad nito:

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay may bisa para sa b > 0, a > 0, a ≠ 1. Ito ay karaniwang tinatawag pagkakakilanlan ng logarithmic.
Ang aksyon ng paghahanap ng logarithm ng isang numero ay tinatawag sa pamamagitan ng logarithm.

Mga katangian ng logarithms:

Logarithm ng produkto:

Logarithm ng quotient:

Pinapalitan ang logarithm base:

Logarithm ng degree:

Logarithm ng ugat:

Logarithm na may power base:





Decimal at natural logarithms.

Decimal logarithm tinatawag ng mga numero ang logarithm ng numerong ito sa base 10 at isulat ang   lg b
Likas na logarithm Ang mga numero ay tinatawag na logarithm ng numerong iyon sa base e, Saan e- isang hindi makatwirang numero na tinatayang katumbas ng 2.7. Sabay-sabay nilang sinusulat ang ln b.

Iba pang mga tala sa algebra at geometry

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Ang mga logarithm, tulad ng anumang mga numero, ay maaaring idagdag, ibawas at baguhin sa lahat ng paraan. Ngunit dahil ang logarithms ay hindi eksaktong ordinaryong mga numero, may mga panuntunan dito, na tinatawag pangunahing katangian.

Talagang kailangan mong malaman ang mga patakarang ito - kung wala ang mga ito, hindi malulutas ang isang seryosong problema sa logarithmic. Bilang karagdagan, napakakaunti sa kanila - maaari mong matutunan ang lahat sa isang araw. Kaya simulan na natin.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms

Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong base: log a x at log a y. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:

  1. log a x + log a y = log a (x y);
  2. log a x − log a y = log a (x: y).

Kaya, ang kabuuan ng logarithm ay katumbas ng logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ay katumbas ng logarithm ng quotient. Mangyaring tandaan: ang pangunahing punto dito ay magkatulad na batayan. Kung magkaiba ang mga dahilan, hindi gagana ang mga patakarang ito!

Tutulungan ka ng mga formula na ito na kalkulahin ang isang logarithmic expression kahit na hindi isinasaalang-alang ang mga indibidwal na bahagi nito (tingnan ang aralin na "Ano ang logarithm"). Tingnan ang mga halimbawa at tingnan:

Log 6 4 + log 6 9.

Dahil ang logarithms ay may parehong mga base, ginagamit namin ang sum formula:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 2 48 − log 2 3.

Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 3 135 − log 3 5.

Muli ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Tulad ng makikita mo, ang orihinal na mga expression ay binubuo ng "masamang" logarithms, na hindi hiwalay na kinakalkula. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabago, ganap na normal na mga numero ang nakuha. Maraming pagsubok ang nakabatay sa katotohanang ito. Oo, ang mga ekspresyong tulad ng pagsubok ay inaalok sa lahat ng kaseryosohan (kung minsan ay halos walang pagbabago) sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri.

Pag-extract ng exponent mula sa logarithm

Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain. Paano kung ang batayan o argumento ng isang logarithm ay isang kapangyarihan? Pagkatapos ang exponent ng degree na ito ay maaaring alisin mula sa sign ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:

Madaling makita na ang huling tuntunin ay sumusunod sa unang dalawa. Ngunit mas mahusay na tandaan ito pa rin - sa ilang mga kaso ay makabuluhang bawasan nito ang dami ng mga kalkulasyon.

Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ ng logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x > 0. At isa pang bagay: matutong ilapat ang lahat ng mga formula hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin sa kabaligtaran , ibig sabihin. Maaari mong ipasok ang mga numero bago mag-sign ang logarithm sa logarithm mismo.

Paano malutas ang mga logarithms

Ito ang madalas na kinakailangan.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 7 49 6 .

Tanggalin natin ang antas sa argumento gamit ang unang formula:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

Tandaan na ang denominator ay naglalaman ng logarithm, na ang base at argumento ay eksaktong mga kapangyarihan: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Mayroon kaming:

Sa tingin ko ang huling halimbawa ay nangangailangan ng ilang paglilinaw. Saan napunta ang logarithms? Hanggang sa pinakahuling sandali ay nagtatrabaho lamang kami sa denominator. Iniharap namin ang base at argumento ng logarithm na nakatayo doon sa anyo ng mga kapangyarihan at kinuha ang mga exponents - nakakuha kami ng isang "tatlong palapag" na bahagi.

Ngayon tingnan natin ang pangunahing bahagi. Ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong numero: log 2 7. Dahil log 2 7 ≠ 0, maaari nating bawasan ang fraction - 2/4 ay mananatili sa denominator. Ayon sa mga tuntunin ng aritmetika, ang apat ay maaaring ilipat sa numerator, na kung ano ang ginawa. Ang naging resulta ay ang sagot: 2.

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Sa pagsasalita tungkol sa mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms, partikular kong binigyang-diin na gumagana lamang ang mga ito sa parehong mga base. Paano kung magkaiba ang mga dahilan? Paano kung hindi sila eksaktong mga kapangyarihan ng parehong bilang?

Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong pundasyon ay sumagip. Bumalangkas tayo sa anyo ng isang teorama:

Hayaang ibigay ang logarithm log a x. Pagkatapos ay para sa anumang bilang c tulad na c > 0 at c ≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Sa partikular, kung itinakda namin ang c = x, makakakuha kami ng:

Mula sa pangalawang pormula ay sumusunod na ang base at argumento ng logarithm ay maaaring palitan, ngunit sa kasong ito ang buong expression ay "ibinalik", i.e. lumalabas ang logarithm sa denominator.

Ang mga formula na ito ay bihirang makita sa mga ordinaryong numerical expression. Posibleng suriin kung gaano kaginhawa ang mga ito kapag nilulutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Gayunpaman, may mga problema na hindi malulutas sa lahat maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Tingnan natin ang ilan sa mga ito:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 5 16 log 2 25.

Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay naglalaman ng eksaktong mga kapangyarihan. Kunin natin ang mga tagapagpahiwatig: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Ngayon ay "baligtarin" natin ang pangalawang logarithm:

Dahil ang produkto ay hindi nagbabago kapag muling inaayos ang mga kadahilanan, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay hinarap ang mga logarithms.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 9 100 lg 3.

Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:

Ngayon, alisin natin ang decimal logarithm sa pamamagitan ng paglipat sa isang bagong base:

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Kadalasan sa proseso ng solusyon ay kinakailangan upang kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base.

Sa kasong ito, ang mga sumusunod na formula ay makakatulong sa amin:

Sa unang kaso, ang numero n ay nagiging exponent sa argumento. Ang numero n ay maaaring maging anumang bagay, dahil ito ay isang logarithm value lamang.

Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Yan ang tawag dito: .

Sa katunayan, ano ang mangyayari kung ang bilang b ay itinaas sa gayong kapangyarihan na ang bilang b sa kapangyarihang ito ay nagbibigay ng bilang na a? Iyan ay tama: ang resulta ay ang parehong numero a. Basahin muli ang talatang ito nang mabuti - maraming tao ang natigil dito.

Tulad ng mga formula para sa paglipat sa isang bagong base, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

Tandaan na ang log 25 64 = log 5 8 - kinuha lamang ang parisukat mula sa base at argumento ng logarithm. Isinasaalang-alang ang mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, nakukuha namin:

Kung sinuman ang hindi nakakaalam, ito ay isang tunay na gawain mula sa Unified State Exam :)

Logarithmic unit at logarithmic zero

Sa konklusyon, magbibigay ako ng dalawang pagkakakilanlan na halos hindi matatawag na mga katangian - sa halip, ang mga ito ay mga kahihinatnan ng kahulugan ng logarithm. Patuloy silang lumilitaw sa mga problema at, nakakagulat, lumikha ng mga problema kahit para sa "advanced" na mga mag-aaral.

  1. log a a = 1 ay. Tandaan minsan at para sa lahat: ang logarithm sa anumang base a ng base na iyon mismo ay katumbas ng isa.
  2. log a 1 = 0 ay. Ang base a ay maaaring anuman, ngunit kung ang argumento ay naglalaman ng isa, ang logarithm ay katumbas ng zero! Dahil ang isang 0 = 1 ay isang direktang bunga ng kahulugan.

Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito, at lutasin ang mga problema.

Ang mga pangunahing katangian ng logarithm, logarithm graph, domain ng kahulugan, hanay ng mga halaga, pangunahing mga formula, pagtaas at pagbaba ay ibinigay. Ang paghahanap ng derivative ng isang logarithm ay isinasaalang-alang. Pati na rin ang integral, pagpapalawak at representasyon ng serye ng kapangyarihan gamit ang mga kumplikadong numero.

Nilalaman

Domain, hanay ng mga halaga, pagtaas, pagbaba

Ang logarithm ay isang monotonic function, kaya wala itong extrema. Ang mga pangunahing katangian ng logarithm ay ipinakita sa talahanayan.

Domain ng kahulugan 0 < x < + ∞ 0 < x < + ∞
Saklaw ng mga halaga - ∞ < y < + ∞ - ∞ < y < + ∞
Monotone monotonically pagtaas monotonically bumababa
Mga zero, y = 0 x = 1 x = 1
Harangin ang mga puntos na may ordinate axis, x = 0 Hindi Hindi
+ ∞ - ∞
- ∞ + ∞

Mga pribadong halaga


Ang logarithm sa base 10 ay tinatawag decimal logarithm at ipinapahiwatig ng mga sumusunod:

Logarithm sa base e tinawag natural na logarithm:

Mga pangunahing formula para sa logarithms

Mga katangian ng logarithm na nagmumula sa kahulugan ng inverse function:

Ang pangunahing pag-aari ng logarithms at ang mga kahihinatnan nito

Base kapalit na formula

Ang Logarithm ay ang matematikal na operasyon ng pagkuha ng logarithm. Kapag kumukuha ng logarithms, ang mga produkto ng mga salik ay kino-convert sa kabuuan ng mga termino.
Ang potentiation ay ang mathematical operation na kabaligtaran sa logarithm. Sa panahon ng potentiation, ang isang naibigay na base ay itataas sa antas ng pagpapahayag kung saan ginaganap ang potentiation. Sa kasong ito, ang mga kabuuan ng mga termino ay binago sa mga produkto ng mga kadahilanan.

Patunay ng mga pangunahing formula para sa logarithms

Ang mga formula na nauugnay sa logarithms ay sumusunod mula sa mga formula para sa exponential function at mula sa kahulugan ng isang inverse function.

Isaalang-alang ang pag-aari ng exponential function
.
Pagkatapos
.
Ilapat natin ang property ng exponential function
:
.

Patunayan natin ang base replacement formula.
;
.
Ipagpalagay na c = b, mayroon kaming:

Baliktad na pag-andar

Ang kabaligtaran ng isang logarithm sa base a ay isang exponential function na may exponent a.

Kung , kung gayon

Kung , kung gayon

Derivative ng logarithm

Derivative ng logarithm ng modulus x:
.
Derivative ng nth order:
.
Pagkuha ng mga formula > > >

Upang mahanap ang derivative ng isang logarithm, dapat itong bawasan sa base e.
;
.

integral

Ang integral ng logarithm ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagsasama ng mga bahagi: .
Kaya,

Mga expression na gumagamit ng mga kumplikadong numero

Isaalang-alang ang complex number function z:
.
Ipahayag natin kumplikadong numero z sa pamamagitan ng modyul r at argumento φ :
.
Pagkatapos, gamit ang mga katangian ng logarithm, mayroon tayong:
.
O kaya

Gayunpaman, ang argumento φ hindi natatanging tinukoy. Kung ilalagay mo
, kung saan ang n ay isang integer,
pagkatapos ito ay magiging parehong numero para sa iba't ibang n.

Samakatuwid, ang logarithm, bilang isang function ng isang complex variable, ay hindi isang single-valued function.

Pagpapalawak ng serye ng kapangyarihan

Kapag naganap ang pagpapalawak:

Ginamit na panitikan:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng matematika para sa mga inhinyero at mag-aaral sa kolehiyo, "Lan", 2009.

Tingnan din ang:

Sumusunod mula sa kahulugan nito. At kaya ang logarithm ng numero b batay sa A ay tinukoy bilang ang exponent kung saan ang isang numero ay dapat na itaas a para makuha ang numero b(umiiral lamang ang logarithm para sa mga positibong numero).

Mula sa pagbabalangkas na ito ay sumusunod na ang pagkalkula x=log a b, ay katumbas ng paglutas ng equation isang x =b. Halimbawa, log 2 8 = 3 kasi 8 = 2 3 . Ang pagbabalangkas ng logarithm ay ginagawang posible na bigyang-katwiran na kung b=a c, pagkatapos ay ang logarithm ng numero b batay sa a katumbas Sa. Malinaw din na ang paksa ng logarithms ay malapit na nauugnay sa paksa ng mga kapangyarihan ng isang numero.

Sa logarithms, tulad ng anumang mga numero, magagawa mo mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas at magbago sa lahat ng posibleng paraan. Ngunit dahil sa ang katunayan na ang logarithms ay hindi ganap na ordinaryong mga numero, ang kanilang sariling mga espesyal na patakaran ay nalalapat dito, na tinatawag na pangunahing katangian.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms.

Kumuha tayo ng dalawang logarithms gamit ang sa parehong mga batayan: mag-log ng x At mag-log a y. Pagkatapos ay posible na magsagawa ng mga pagpapatakbo ng pagdaragdag at pagbabawas:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = mag-log ng x 1 + mag-log ng x 2 + mag-log ng x 3 + ... + mag-log a x k.

Mula sa logarithm quotient theorem Ang isa pang pag-aari ng logarithm ay maaaring makuha. Karaniwang kaalaman na ang log a 1= 0, samakatuwid

log a 1 /b= log a 1 - log a b= -log a b.

Nangangahulugan ito na mayroong pagkakapantay-pantay:

log a 1 / b = - log a b.

Logarithms ng dalawang reciprocal na numero para sa parehong dahilan ay mag-iiba sa isa't isa lamang sa pamamagitan ng pag-sign. Kaya:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.