Limitasyon sa pag-andar- numero a ay magiging limitasyon ng ilang variable na dami kung, sa proseso ng pagbabago nito, ang variable na dami na ito ay lumalapit nang walang katiyakan a.

O sa madaling salita, ang numero A ay ang limitasyon ng function y = f(x) sa punto x 0, kung para sa anumang pagkakasunod-sunod ng mga puntos mula sa domain ng kahulugan ng function , hindi katumbas x 0, at kung saan nagtatagpo sa punto x 0 (lim x n = x0), ang pagkakasunud-sunod ng mga katumbas na halaga ng function ay nagtatagpo sa numero A.

Ang graph ng isang function na ang limitasyon, na binigyan ng argumento na may posibilidad na infinity, ay katumbas ng L:

Ibig sabihin A ay limitasyon (limit value) ng function f(x) sa punto x 0 sa kaso para sa anumang pagkakasunud-sunod ng mga puntos , na nagtatagpo sa x 0, ngunit hindi naglalaman ng x 0 bilang isa sa mga elemento nito (i.e. sa nabutas na paligid x 0), pagkakasunud-sunod ng mga halaga ng function nagtatagpo sa A.

Limitasyon ng isang Cauchy function.

Ibig sabihin A magiging limitasyon ng function f(x) sa punto x 0 kung para sa anumang hindi negatibong numero na kinuha nang maaga ε ang katumbas na hindi-negatibong numero ay makikita δ = δ(ε) na para sa bawat argumento x, nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon 0 < | x - x0 | < δ , masisiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay | f(x)A |< ε .

Ito ay magiging napaka-simple kung naiintindihan mo ang kakanyahan ng limitasyon at ang mga pangunahing patakaran para sa paghahanap nito. Ano ang limitasyon ng function f (x) sa x nagsusumikap para sa a katumbas A, ay nakasulat na ganito:

Bukod dito, ang halaga kung saan ang variable ay may kaugaliang x, ay maaaring hindi lamang isang numero, kundi pati na rin ang infinity (∞), minsan +∞ o -∞, o maaaring walang limitasyon.

Para maintindihan kung paano hanapin ang mga limitasyon ng isang function, pinakamahusay na tumingin sa mga halimbawa ng mga solusyon.

Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga limitasyon ng pag-andar f (x) = 1/x sa:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Maghanap tayo ng solusyon sa unang limitasyon. Upang gawin ito, maaari mo lamang palitan x ang bilang nito ay may posibilidad, i.e. 2, nakukuha namin:

Hanapin natin ang pangalawang limitasyon ng function. Dito palitan ang purong 0 sa halip x imposible, kasi Hindi mo maaaring hatiin sa 0. Ngunit maaari tayong kumuha ng mga halaga na malapit sa zero, halimbawa, 0.01; 0.001; 0.0001; 0.00001 at iba pa, at ang halaga ng function f (x) tataas: 100; 1000; 10000; 100,000 at iba pa. Kaya, ito ay maaaring maunawaan na kapag x→ 0 ang halaga ng function na nasa ilalim ng limit sign ay tataas nang walang limitasyon, i.e. magsikap patungo sa kawalang-hanggan. Ibig sabihin:

Tungkol sa ikatlong limitasyon. Ang parehong sitwasyon tulad ng sa nakaraang kaso, imposibleng palitan ∞ sa pinakadalisay nitong anyo. Kailangan nating isaalang-alang ang kaso ng walang limitasyong pagtaas x. Isa-isa naming pinapalitan ang 1000; 10000; 100000 at iba pa, mayroon kaming ganoong halaga ng function f (x) = 1/x bababa: 0.001; 0.0001; 0.00001; at iba pa, tending to zero. kaya naman:

Kinakailangang kalkulahin ang limitasyon ng pag-andar

Simula sa paglutas ng pangalawang halimbawa, nakikita natin ang kawalan ng katiyakan. Mula dito makikita natin ang pinakamataas na antas ng numerator at denominator - ito ay x 3, inaalis namin ito sa mga bracket sa numerator at denominator at pagkatapos ay bawasan ito ng:

Sagot

Ang unang hakbang sa paghahanap ng limitasyong ito, palitan na lang ang value 1 x, na nagreresulta sa kawalan ng katiyakan. Upang malutas ito, i-factorize natin ang numerator at gawin ito gamit ang paraan ng paghahanap ng mga ugat quadratic equation x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1.2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Kaya ang numerator ay magiging:

Sagot

Ito ang kahulugan ng partikular na halaga nito o isang partikular na lugar kung saan bumaba ang function, na nililimitahan ng limitasyon.

Upang malutas ang mga limitasyon, sundin ang mga patakaran:

Ang pagkakaroon ng naunawaan ang kakanyahan at pangunahing mga panuntunan para sa paglutas ng limitasyon, makakakuha ka ng pangunahing pag-unawa kung paano lutasin ang mga ito.

Ang pagbabalangkas ng mga pangunahing theorems at mga katangian ng limitasyon ng isang function ay ibinigay. Ang mga kahulugan ng may hangganan at walang katapusan na mga limitasyon sa may hangganan na mga punto at sa infinity (two-sided at one-sided) ayon sa Cauchy at Heine ay ibinigay. Isinasaalang-alang ang arithmetic properties; theorems na may kaugnayan sa hindi pagkakapantay-pantay; Pamantayan ng Cauchy convergence; limitasyon ng isang kumplikadong function; mga katangian ng infinitesimal, infinitely large at monotonic functions. Ang kahulugan ng isang function ay ibinigay.

Kahulugan ng Function

Function y = f (x) ay isang batas (panuntunan) ayon sa kung saan ang bawat elemento x ng set X ay nauugnay sa isa at isa lamang elemento y ng set Y.

Elemento x ∈ X tinawag argumento ng function o malayang baryabol.
Elemento y ∈ Y tinawag halaga ng function o dependent variable.

Ang set X ay tinatawag domain ng function.
Set ng mga elemento y ∈ Y, na may mga preimage sa set X, ay tinatawag lugar o hanay ng mga halaga ng function.

Ang aktwal na function ay tinatawag limitado mula sa itaas (mula sa ibaba), kung mayroong numerong M na ang hindi pagkakapantay-pantay ay nananatili para sa lahat:
.
Tinatawag ang function ng numero limitado, kung mayroong isang numerong M para sa lahat:
.

Nangungunang gilid o eksaktong upper bound Ang isang tunay na function ay tinatawag na pinakamaliit na numero na naglilimita sa hanay ng mga halaga nito mula sa itaas. Iyon ay, ito ay isang numero s kung saan, para sa lahat at para sa alinman, mayroong isang argumento na ang halaga ng paggana ay lumampas sa s′: .
Ang itaas na hangganan ng isang function ay maaaring tukuyin bilang mga sumusunod:
.

Kanya-kanya ilalim na gilid o eksaktong mas mababang limitasyon Ang isang tunay na function ay tinatawag na pinakamalaking numero na naglilimita sa hanay ng mga halaga nito mula sa ibaba. Ibig sabihin, ito ay isang numero i kung saan, para sa lahat at para sa alinman, mayroong isang argumento na ang halaga ng function ay mas mababa sa i′: .
Ang infimum ng isang function ay maaaring tukuyin bilang mga sumusunod:
.

Pagtukoy sa limitasyon ng isang function

Pagpapasiya ng limitasyon ng isang function ayon sa Cauchy

May hangganang limitasyon ng paggana sa mga dulong punto

Hayaang tukuyin ang function sa ilang kapitbahayan ng end point, kasama ang posibleng pagbubukod sa mismong punto.
.
sa isang punto, kung para sa alinman ay mayroong ganoong bagay, depende sa , na para sa lahat ng x kung saan , ang hindi pagkakapantay-pantay ay nagtataglay
.
Ang limitasyon ng isang function ay tinutukoy bilang mga sumusunod:

O sa .
.

Gamit ang mga lohikal na simbolo ng pagkakaroon at pagiging pangkalahatan, ang kahulugan ng limitasyon ng isang function ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
One-sided na mga limitasyon.
.
Kaliwang limitasyon sa isang punto (kaliwang panig na limitasyon):
.
Kanang limitasyon sa isang punto (limit sa kanang kamay):
; .

Ang kaliwa at kanang mga limitasyon ay madalas na tinutukoy bilang mga sumusunod:

May hangganan na mga limitasyon ng isang function sa mga punto sa infinity
.
.
.
Ang mga limitasyon sa mga punto sa infinity ay tinutukoy sa katulad na paraan.
; ; .

Sila ay madalas na tinutukoy bilang:

Gamit ang konsepto ng kapitbahayan ng isang punto
.
Kung ipinakilala natin ang konsepto ng isang nabutas na kapitbahayan ng isang punto, maaari tayong magbigay ng pinag-isang kahulugan ng may hangganan na limitasyon ng isang function sa may hangganan at walang katapusan na malalayong mga punto:
; ;
.
Dito para sa mga endpoint
; ; .

Ang anumang kapitbahayan ng mga punto sa infinity ay nabutas:

Walang-hanggan na Mga Limitasyon sa Pag-andar
Kahulugan Hayaang tukuyin ang function sa ilang nabutas na kapitbahayan ng isang punto (finite o infinity). (x) f 0 bilang x → x katumbas ng infinity , kung para sa sinuman, arbitraryo malaking bilang > 0 M > 0 , mayroong isang numero δ M
.
, depende sa M, na para sa lahat ng x na kabilang sa nabutas na δ M - kapitbahayan ng punto: , ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong:
.
Ang limitasyon ng isang function ay tinutukoy bilang mga sumusunod:

Ang walang katapusang limitasyon ay tinutukoy bilang mga sumusunod:
.

Gamit ang mga lohikal na simbolo ng pag-iral at pagiging pangkalahatan, ang kahulugan ng walang katapusang limitasyon ng isang function ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
.
.

Maaari mo ring ipakilala ang mga kahulugan ng walang katapusang limitasyon ng ilang partikular na palatandaan na katumbas ng at :

Pangkalahatang kahulugan ng limitasyon ng isang function
.

Gamit ang konsepto ng isang kapitbahayan ng isang punto, maaari tayong magbigay ng pangkalahatang kahulugan ng may hangganan at walang katapusan na limitasyon ng isang function, na naaangkop para sa parehong may hangganan (two-sided at one-sided) at walang katapusan na malayong mga punto:

Pagpapasiya ng limitasyon ng isang function ayon kay Heine
Hayaang tukuyin ang function sa ilang set X:. Ang numero a ay tinatawag na limitasyon ng function
,
sa punto: 0 :
,
na ang mga elemento ay kabilang sa set X: ,
.

Isulat natin ang kahulugang ito gamit ang mga lohikal na simbolo ng pagkakaroon at pagiging pangkalahatan:
.

Kung kukunin natin ang kaliwang panig na kapitbahayan ng puntong x bilang isang set X 0 , pagkatapos ay makuha namin ang kahulugan ng kaliwang limitasyon. Kung ito ay kanang kamay, pagkatapos ay makukuha natin ang kahulugan ng tamang limitasyon. Kung gagawin natin ang kapitbahayan ng isang punto sa infinity bilang isang set X, makukuha natin ang kahulugan ng limitasyon ng isang function sa infinity.

Teorama
Ang mga kahulugan ng Cauchy at Heine ng limitasyon ng isang function ay katumbas.
Patunay

Mga katangian at teorema ng limitasyon ng isang function

Dagdag pa, ipinapalagay namin na ang mga function na isinasaalang-alang ay tinukoy sa kaukulang kapitbahayan ng punto, na isang may hangganan na numero o isa sa mga simbolo: .

Maaari rin itong maging one-sided limit point, ibig sabihin, may form o .

Ang kapitbahayan ay dalawang panig para sa isang dalawang panig na limitasyon at isang panig para sa isang panig na limitasyon. (x) Mga pangunahing katangian Kung ang mga halaga ng function f baguhin (o gawing hindi natukoy) ang isang may hangganang bilang ng mga puntos x 0 .

1, x 2, x 3, ... x n 0 , kung gayon ang pagbabagong ito ay hindi makakaapekto sa pagkakaroon at halaga ng limitasyon ng function sa isang arbitrary point x (x) Kung mayroong isang may hangganang limitasyon, pagkatapos ay mayroong isang butas na kapitbahayan ng puntong x
.

, kung saan ang function f 0 limitado:
.
Hayaang ang function ay nasa punto x 0 may hangganan na hindi zero na limitasyon:
Pagkatapos, para sa anumang bilang na c mula sa pagitan , mayroong isang butas na kapitbahayan ng puntong x
, para saan ,

, Kung ;

, Kung . 0
,
Kung, sa ilang nabutas na kapitbahayan ng punto, , ay isang pare-pareho, kung gayon .

Kung may mga limitasyon at at sa ilang nabutas na kapitbahayan ng puntong x
,
Kung, sa ilang nabutas na kapitbahayan ng punto, , ay isang pare-pareho, kung gayon .
Yung .
,
Kung , at sa ilang kapitbahayan ng punto
Sa partikular, kung sa ilang kapitbahayan ng isang punto

pagkatapos kung , pagkatapos at ; 0 :
,
kung , pagkatapos at .
Kung sa ilang nabutas na kapitbahayan ng punto x
.

at may mga may hangganan (o walang katapusan ng isang tiyak na tanda) pantay na mga limitasyon:
, Iyon

Ang mga patunay ng mga pangunahing katangian ay ibinigay sa pahina

"Mga pangunahing katangian ng mga limitasyon ng isang function."
Arithmetic properties ng limitasyon ng isang function
Hayaan ang mga function at tukuyin sa ilang butas na kapitbahayan ng punto.
;
;
;
, para saan ,

At magkaroon ng mga limitasyon:

At .
At hayaang ang C ay isang pare-pareho, iyon ay, isang ibinigay na numero. Pagkatapos

Kung, kung gayon.

Teorama
Ang mga patunay ng arithmetic properties ay ibinigay sa pahina 0 "Aritmetikong katangian ng mga limitasyon ng isang function". > 0 nagkaroon ng isang butas na kapitbahayan ng puntong x 0 , na para sa anumang mga punto at mula sa kapitbahayan na ito, ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong:
.

Limitasyon ng isang kumplikadong function

Theorem sa limitasyon ng isang kumplikadong function
Hayaang magkaroon ng limitasyon ang function at imapa ang isang nabutas na kapitbahayan ng isang punto sa isang nabutas na kapitbahayan ng isang punto.
Hayaang tukuyin ang function sa kapitbahayan na ito at magkaroon ng limitasyon dito.
Narito ang pangwakas o walang katapusan na malayong mga punto: .
.

Ang mga kapitbahayan at ang mga kaukulang limitasyon ng mga ito ay maaaring maging dalawang panig o isang panig.
.

Pagkatapos ay mayroong limitasyon ng isang kumplikadong function at ito ay katumbas ng:
.
Ang limit theorem ng isang kumplikadong function ay inilalapat kapag ang function ay hindi tinukoy sa isang punto o may isang halaga na naiiba mula sa limitasyon.

Upang mailapat ang teorama na ito, dapat mayroong isang butas na kapitbahayan ng punto kung saan ang hanay ng mga halaga ng function ay hindi naglalaman ng punto:
Kung tuloy-tuloy ang function sa point , maaaring ilapat ang limit sign sa argument ng tuluy-tuloy na function: Ang sumusunod ay isang teorama na naaayon sa kasong ito. Theorem sa limitasyon ng isang tuluy-tuloy na function ng isang function 0 Hayaang magkaroon ng limitasyon ng function g 0 :
.
(t) 0 bilang t → t
, at ito ay katumbas ng x (x) Narito ang punto t 0 .
maaaring may hangganan o walang katapusan ang layo: . At hayaan ang function f ay tuloy-tuloy sa punto x Pagkatapos ay mayroong limitasyon ng kumplikadong function f:
.

(g(t))
, at ito ay katumbas ng f

(x0)

Ang mga patunay ng theorems ay ibinigay sa pahina

Walang-hanggan na Mga Limitasyon sa Pag-andar
"Limit at pagpapatuloy ng isang kumplikadong function".
.

Infinitesimal at walang katapusang malalaking function Infinitesimal function

Ang isang function ay sinasabing infinitesimal kung Kabuuan, pagkakaiba at produkto

ng isang may hangganang bilang ng mga infinitesimal function sa ay isang infinitesimal function sa .
,
Produkto ng isang function bounded

sa ilang butas na kapitbahayan ng punto , sa isang infinitesimal sa ay isang infinitesimal function sa .

Upang ang isang function ay magkaroon ng isang may hangganang limitasyon, ito ay kinakailangan at sapat na iyon

Walang-hanggan na Mga Limitasyon sa Pag-andar
kung saan ay isang infinitesimal function sa .
.

"Properties ng infinitesimal functions".

Walang katapusang malalaking pag-andar
.

Ang isang function ay sinasabing walang hanggan malaki kung
,
Ang kabuuan o pagkakaiba ng isang bounded function, sa ilang nabutas na kapitbahayan ng point , at isang walang katapusang malaking function sa ay isang walang katapusan na malaking function sa .
Kung ang function ay walang hanggan malaki para sa , at ang function ay nakatali sa ilang butas na kapitbahayan ng punto, kung gayon
.

Kung ang function , sa ilang butas na kapitbahayan ng punto , ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay:
"Mga katangian ng walang katapusang malalaking pag-andar".

Relasyon sa pagitan ng walang katapusan na malaki at infinitesimal na mga function

Mula sa dalawang nakaraang pag-aari ay sumusunod sa koneksyon sa pagitan ng walang hanggan na malaki at infinitesimal na mga function.

Kung ang isang function ay walang katapusan na malaki sa , kung gayon ang function ay infinitesimal sa .

Kung ang isang function ay infinitesimal para sa , at , kung gayon ang function ay walang katapusan na malaki para sa .

Ang kaugnayan sa pagitan ng isang infinitesimal at isang walang katapusang malaking function ay maaaring ipahayag sa simbolikong paraan:
, .

Kung ang isang infinitesimal function ay may isang tiyak na sign sa , ibig sabihin, ito ay positibo (o negatibo) sa ilang butas na kapitbahayan ng punto , kung gayon ang katotohanang ito ay maaaring ipahayag bilang mga sumusunod:
.
Sa parehong paraan, kung ang isang walang katapusang malaking function ay may isang tiyak na sign sa , pagkatapos ay isusulat nila:
.

Pagkatapos ang simbolikong koneksyon sa pagitan ng infinitesimal at walang katapusang malalaking function ay maaaring dagdagan ng mga sumusunod na relasyon:
, ,
, .

Ang mga karagdagang formula na nauugnay sa mga simbolo ng infinity ay matatagpuan sa pahina
"Mga puntos sa infinity at ang kanilang mga pag-aari."

Mga limitasyon ng monotonic function

Walang-hanggan na Mga Limitasyon sa Pag-andar
Ang isang function na tinukoy sa ilang hanay ng mga tunay na numero X ay tinatawag mahigpit na tumataas, kung para sa lahat na mayroong sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:
.
Alinsunod dito, para sa mahigpit na bumababa gumagana ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:
.
Para sa hindi bumababa:
.
Para sa hindi tumataas:
.

Kasunod nito na ang isang mahigpit na pagtaas ng function ay hindi rin bumababa. Ang isang mahigpit na pagpapababa ng function ay hindi rin tumataas.

Tinatawag ang function monotonous, kung ito ay hindi bumababa o hindi tumataas.

Teorama
Hayaang hindi bumaba ang function sa pagitan kung saan .
Kung ito ay bounded sa itaas ng bilang M: at pagkatapos ay mayroong isang may hangganan limitasyon.
Kung hindi limitado mula sa itaas, kung gayon .

Kung ito ay nililimitahan mula sa ibaba ng bilang na m: kung gayon ay may hangganang limitasyon.
Kung hindi limitado mula sa ibaba, kung gayon .

Kung ang mga puntos a at b ay nasa infinity, kung gayon sa mga expression ang mga palatandaan ng limitasyon ay nangangahulugan na .
;
.

Ang teorama na ito ay maaaring mabalangkas nang mas compact.

Hayaang hindi bumaba ang function sa pagitan kung saan .
;
.

Pagkatapos ay mayroong isang panig na mga limitasyon sa mga punto a at b:
Isang katulad na theorem para sa isang hindi tumataas na function.

Hayaang hindi tumaas ang function sa pagitan kung saan .
Pagkatapos ay mayroong isang panig na mga limitasyon:
Ang patunay ng theorem ay ipinakita sa pahina

"Mga limitasyon ng monotonic function".

Bumuo tayo ng dalawang katumbas na kahulugan ng limitasyon ng isang function sa isang punto.

Depinisyon 1 (sa "wika ng mga pagkakasunud-sunod", o ayon kay Heine).

Ang numerong A ay tinatawag na limitasyon ng function na y=ƒ(x) sa furnace x 0 (o sa x® x o), kung para sa anumang sequence mga katanggap-tanggap na halaga mga argumento x n, n є N (x n ¹ x 0), nagtatagpo sa x, ang pagkakasunud-sunod ng mga katumbas na halaga ng function na ƒ(x n), n є N, ay nagtatagpo sa numerong A

Sa kasong ito sila ay nagsusulat
o ƒ(x)->A sa x→x o. Ang geometric na kahulugan ng limitasyon ng isang function: ay nangangahulugan na para sa lahat ng mga puntos na x na sapat na malapit sa puntong x o, ang mga katumbas na halaga ng function ay naiiba nang kasing liit ng ninanais mula sa numerong A.

Depinisyon 2 (sa "wika ng ε", o ayon kay Cauchy).

Ang isang numero A ay tinatawag na limitasyon ng isang function sa isang punto x o (o sa x→x o) kung para sa anumang positibong ε mayroong positibong numero δ na para sa lahat ng x¹ x o ay nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay |x-x o |<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

Geometric na kahulugan ng limitasyon ng isang function:

kung para sa alinmang ε-kapitbahayan ng point A ay mayroong δ-kapitbahayan ng point xo para sa lahat ng x¹ xo mula sa δ-kapitbahayan na ito ang mga katumbas na halaga ng function na ƒ(x) ay nasa ε-kapitbahayan ng point A . Malinaw, ang halaga ng δ ay nakasalalay sa pagpili ng ε, kaya isinusulat namin ang δ=δ(ε).

<< Пример 16.1

Patunayan mo yan

Solusyon: Kumuha ng di-makatwirang ε>0, hanapin ang δ=δ(ε)>0 na para sa lahat ng x ay nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.

Sa pagkuha ng δ=ε/2, makikita natin na para sa lahat ng x ay nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.

<< Пример 16.2

16.2. One-sided na mga limitasyon

Sa pagtukoy sa limitasyon ng isang function, itinuturing na ang x ay may posibilidad na x 0 sa anumang paraan: nananatiling mas mababa sa x 0 (sa kaliwa ng x 0), mas malaki kaysa sa x o (sa kanan ng x o), o nag-o-oscillating sa paligid ng punto x 0.

May mga kaso kapag ang paraan ng pagtatantya ng argumentong x hanggang x o ay makabuluhang nakakaapekto sa halaga ng limitasyon ng function. Samakatuwid, ang mga konsepto ng isang panig na mga limitasyon ay ipinakilala.

Ang numerong A 1 ay tinatawag na limitasyon ng function na y=ƒ(x) sa kaliwa sa puntong x o kung para sa anumang numerong ε>0 mayroong numerong δ=δ(ε)> 0 na sa x є (x 0 -δ;x o), ang hindi pagkakapantay-pantay |ƒ(x)-A|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>x 0 -0 o sa madaling sabi: ƒ(x o- 0) = A 1 (Notation ng Dirichlet) (tingnan ang Fig. 111).

Ang limitasyon ng function sa kanan ay tinutukoy nang katulad;

Sa madaling sabi, ang limitasyon sa kanan ay tinutukoy ng ƒ(x o +0)=A.

Ang kaliwa at kanang limitasyon ng isang function ay tinatawag na one-sided na limitasyon. Malinaw, kung mayroon, umiiral ang parehong isang panig na limitasyon, at A = A 1 = A 2.

Ang kabaligtaran ay totoo rin: kung ang parehong mga limitasyon ƒ(x 0 -0) at ƒ(x 0 +0) ay umiiral at sila ay pantay, kung gayon mayroong limitasyon at A = ƒ(x 0 -0).

Kung A 1 ¹ A 2, wala itong kapilya.

16.3. Limitasyon ng function sa x ® ∞

Hayaang tukuyin ang function na y=ƒ(x) sa pagitan (-∞;∞). Ang numero A ay tinatawag limitasyon ng functionƒ(x) sa x→ ∞ , kung para sa anumang positibong numero ε mayroong isang numerong M=M()>0 na para sa lahat ng x ay nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay |x|>M ang hindi pagkakapantay-pantay |ƒ(x)-A|<ε. Коротко это определение можно записать так:

Ang geometriko na kahulugan ng kahulugang ito ay ang mga sumusunod: para sa " ε>0 $ M>0, na para sa x є(-∞; -M) o x є(M; +∞) ang mga katumbas na halaga ng function ƒ( x) nahuhulog sa ε-kapitbahayan ng point A , iyon ay, ang mga punto ng graph ay nasa isang strip ng lapad na 2ε, na nililimitahan ng mga tuwid na linya y=A+ε at y=A-ε (tingnan ang Fig. 112) .

16.4. Walang katapusang malaking function (b.b.f.)

Ang function na y=ƒ(x) ay tinatawag na walang hanggan malaki para sa x→x 0 kung para sa anumang numero M>0 mayroong isang numero δ=δ(M)>0, na para sa lahat ng x ay nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>M.

Halimbawa, ang function na y=1/(x-2) ay b.b.f. para sa x->2.

Kung ang ƒ(x) ay may posibilidad na infinity bilang x→x o at kumukuha lamang ng mga positibong halaga, pagkatapos ay isusulat nila

kung ang mga negatibong halaga lamang, kung gayon

Ang function na y=ƒ(x), na tinukoy sa buong linya ng numero, tinatawag na walang hanggan malaki bilang x→∞, kung para sa anumang numerong M>0 mayroong isang numerong N=N(M)>0 na para sa lahat ng x na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay |x|>N, ang hindi pagkakapantay-pantay |ƒ(x)|>M ay taglay. maikli:

Halimbawa, ang y=2x ay may b.b.f. bilang x→∞.

Tandaan na kung ang argumentong x, na may posibilidad na infinity, ay kumukuha lamang ng mga natural na halaga, ibig sabihin, xєN, ang katumbas na b.b.f. nagiging isang walang katapusang malaking pagkakasunod-sunod. Halimbawa, ang sequence v n =n 2 +1, n є N, ay isang walang katapusang malaking sequence. Malinaw, bawat b.b.f. sa isang kapitbahayan ng isang punto x o ay walang hangganan sa kapitbahayan na ito. Ang kabaligtaran ay hindi totoo: ang isang walang hangganang function ay maaaring hindi b.b.f. (Halimbawa, y=xsinx.)

Gayunpaman, kung ang limƒ(x)=A para sa x→x 0, kung saan ang A ay isang finite number, kung gayon ang function na ƒ(x) ay limitado sa paligid ng point x o.

Sa katunayan, mula sa kahulugan ng limitasyon ng isang function ay sumusunod na bilang x→ x 0 ang kundisyon |ƒ(x)-A|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.

Sa pamamagitan ng pagpapatunay sa mga katangian ng limitasyon ng isang function, kami ay kumbinsido na wala talagang kinakailangan mula sa mga butas na kapitbahayan kung saan ang aming mga function ay tinukoy at kung saan lumitaw sa proseso ng patunay, maliban sa mga katangian na ipinahiwatig sa panimula sa nakaraang talata 2. Ang pangyayaring ito ay nagsisilbing katwiran para matukoy ang sumusunod na bagay na pangmatematika.

A. Base; kahulugan at mga pangunahing halimbawa

Depinisyon 11. Ang isang koleksyon B ng mga subset ng isang set X ay tatawaging base sa set X kung ang dalawang kundisyon ay natutugunan:

Sa madaling salita, ang mga elemento ng koleksyon B ay mga non-empty set, at ang intersection ng alinman sa dalawa ay naglalaman ng ilang elemento mula sa parehong koleksyon.

Ipahiwatig natin ang ilan sa mga pinakakaraniwang ginagamit na base sa pagsusuri.

Kung pagkatapos ay sumulat sila at sasabihin na ang x ay may posibilidad na a mula sa kanan o mula sa gilid ng mas malalaking halaga (ayon sa pagkakabanggit, mula sa kaliwa o mula sa gilid ng mas maliliit na halaga). Kapag ang isang maikling tala ay tinanggap sa halip

Gagamitin ang entry sa halip na She means that a; tends over the set E to a, nananatiling mas malaki (mas maliit) kaysa sa a.

pagkatapos ay sumulat sila at sinasabi na ang x ay may posibilidad na plus infinity (ayon sa pagkakabanggit, sa minus infinity).

Ang entry ang gagamitin sa halip

Kapag sa halip na (kung hindi ito humahantong sa hindi pagkakaunawaan) gagawa tayo, gaya ng nakaugalian sa teorya ng limitasyon ng isang pagkakasunod-sunod, magsulat

Tandaan na ang lahat ng nakalistang base ay may kakaibang katangian na ang intersection ng alinmang dalawang elemento ng base ay mismong elemento ng base na ito, at hindi lamang naglalaman ng ilang elemento ng base. Makakatagpo tayo ng iba pang mga base kapag nag-aaral ng mga function na hindi tinukoy sa number axis.

Tandaan din natin na ang terminong "base" na ginamit dito ay isang maikling pagtatalaga ng tinatawag sa matematika na "filter basis", at ang base limit na ipinakilala sa ibaba ay ang pinakamahalagang bahagi para sa pagsusuri ng konsepto ng filter limit na nilikha ng modernong Pranses na matematiko na si A. Cartan

b. Limitasyon sa pag-andar ayon sa base

Depinisyon 12. Hayaan ay isang function sa set X; Ang B ay isang base sa X. Ang isang numero ay tinatawag na limitasyon ng isang function na may kinalaman sa base B kung para sa anumang kapitbahayan ng punto A ay mayroong elemento ng base na ang imahe ay nakapaloob sa kapitbahayan

Kung ang A ay ang limitasyon ng isang function na may paggalang sa base B, pagkatapos ay isulat

Ulitin natin ang kahulugan ng limitasyon sa isang base sa lohikal na simbolismo:

Dahil tinitingnan natin ngayon ang mga function na may mga numeric na halaga, kapaki-pakinabang na tandaan ang sumusunod na anyo ng pangunahing kahulugang ito:

Sa pormulasyon na ito, sa halip na isang arbitrary na kapitbahayan V (A), isang simetriko (na may paggalang sa punto A) na kapitbahayan (e-kapitbahayan) ang kinuha. Ang pagkakapantay-pantay ng mga kahulugang ito para sa mga function na may tunay na halaga ay sumusunod sa katotohanan na, tulad ng nabanggit na, anumang kapitbahayan ng isang punto ay naglalaman ng ilang simetriko na kapitbahayan ng parehong punto (isagawa ang patunay nang buo!).

Nagbigay kami ng pangkalahatang kahulugan ng limitasyon ng isang function sa isang base. Sa itaas ay tinalakay namin ang mga halimbawa ng mga pinakakaraniwang ginagamit na database sa pagsusuri. Sa isang partikular na problema kung saan lumilitaw ang isa o isa pa sa mga base na ito, kinakailangan na ma-decipher ang pangkalahatang kahulugan at isulat ito para sa isang partikular na base.

Isinasaalang-alang ang mga halimbawa ng mga base, kami, sa partikular, ay nagpasimula ng konsepto ng isang kapitbahayan ng infinity. Kung gagamitin natin ang konseptong ito, alinsunod sa pangkalahatang kahulugan ng limitasyon, makatwirang tanggapin ang mga sumusunod na kombensiyon:

o, ano ang pareho,

Karaniwan ang ibig naming sabihin ay maliit na halaga. Siyempre, hindi ito ang kaso sa mga kahulugan sa itaas. Alinsunod sa mga tinatanggap na kombensiyon, halimbawa, maaari tayong sumulat

Upang ang lahat ng mga theorems sa mga limitasyon na pinatunayan namin sa talata 2 para sa isang espesyal na base ay maituturing na napatunayan sa pangkalahatang kaso ng isang limitasyon sa isang di-makatwirang batayan, ito ay kinakailangan upang magbigay ng naaangkop na mga kahulugan: sa wakas ay pare-pareho, sa wakas ay may hangganan at infinitesimal. para sa isang naibigay na base ng mga function.

Depinisyon 13. Ang isang function ay sinasabing sa wakas ay pare-pareho sa base B kung mayroong isang numero at isang elemento ng base na sa anumang punto

Sa ngayon, ang pangunahing pakinabang ng obserbasyon na ginawa at ang konsepto ng isang base na ipinakilala kaugnay nito ay ang pagliligtas sa atin mula sa mga pagsusuri at pormal na patunay ng mga limitasyon ng teorema para sa bawat partikular na uri ng mga sipi ng limitasyon o, sa ating kasalukuyang terminolohiya, para sa bawat tiyak na uri base

Upang sa wakas ay maging pamilyar sa konsepto ng isang limitasyon sa isang arbitrary na base, magsasagawa kami ng mga patunay ng karagdagang mga katangian ng limitasyon ng isang function sa isang pangkalahatang anyo.

Tutulungan ka ng online na calculator ng matematika na ito kung kailangan mo ito kalkulahin ang limitasyon ng isang function. Programa mga limitasyon ng solusyon hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ito ay humahantong detalyadong solusyon na may mga paliwanag, ibig sabihin. ipinapakita ang proseso ng pagkalkula ng limitasyon.

Ang programang ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school sa mga paaralang pangkalahatang edukasyon kapag naghahanda para sa mga pagsusulit at pagsusulit, kapag sinusubukan ang kaalaman bago ang Pinag-isang Estado na Pagsusulit, at para sa mga magulang na kontrolin ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra.

O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ang iyong araling-bahay sa matematika o algebra sa lalong madaling panahon? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may mga detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay sa iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng paglutas ng mga problema.

Kalkulahin ang limitasyon

Natuklasan na ang ilang mga script na kinakailangan upang malutas ang problemang ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

Naka-disable ang JavaScript sa iyong browser.
Para lumitaw ang solusyon, kailangan mong paganahin ang JavaScript.
Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.

kasi Maraming mga tao na handang lutasin ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Sa ilang segundo ang solusyon ay lilitaw sa ibaba.
Mangyaring maghintay sec...

Kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Isang maliit na teorya.

Limitasyon ng function sa x->x 0

Hayaang tukuyin ang function na f(x) sa ilang set X at hayaan ang puntong \(x_0 \in X\) o \(x_0 \notin X\)

Kumuha tayo mula sa X ng isang pagkakasunod-sunod ng mga puntos na naiiba sa x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
nagtatagpo sa x*. Ang mga halaga ng function sa mga punto ng pagkakasunud-sunod na ito ay bumubuo rin ng isang numerical sequence
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
at maaaring itaas ng isa ang tanong ng pagkakaroon ng limitasyon nito.

Walang-hanggan na Mga Limitasyon sa Pag-andar. Ang numerong A ay tinatawag na limitasyon ng function na f(x) sa puntong x = x 0 (o sa x -> x 0), kung para sa anumang pagkakasunud-sunod (1) ng mga halaga ng argumento na x iba sa x 0 converging to x 0, ang katumbas na sequence (2) ng values ​​function ay converge sa number A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = Isang $$

Ang function na f(x) ay maaari lamang magkaroon ng isang limitasyon sa puntong x 0. Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na ang pagkakasunod-sunod
(f(x n)) ay may isang limitasyon lamang.

May isa pang kahulugan ng limitasyon ng isang function.

Walang-hanggan na Mga Limitasyon sa Pag-andar Ang numerong A ay tinatawag na limitasyon ng function na f(x) sa puntong x = x 0 kung para sa anumang numero \(\varepsilon > 0\) mayroong numerong \(\delta > 0\) para sa lahat ng \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay \(|x-x_0| Gamit ang mga lohikal na simbolo, ang kahulugang ito ay maaaring isulat bilang
\((\forall \varepsilon > 0) (\umiiral \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Tandaan na ang mga hindi pagkakapantay-pantay \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| Ang unang kahulugan ay batay sa konsepto ng limitasyon ng isang pagkakasunod-sunod ng numero, kaya madalas itong tinatawag na "sa wika ng mga pagkakasunud-sunod" Ang pangalawang kahulugan ay tinatawag na "sa wika ng \(\varepsilon - \delta \)".
Ang dalawang kahulugan ng limitasyon ng isang function ay katumbas at maaari mong gamitin ang alinman sa mga ito depende sa kung alin ang mas maginhawa para sa paglutas ng isang partikular na problema.

Tandaan na ang kahulugan ng limitasyon ng isang function "sa wika ng mga sequence" ay tinatawag ding kahulugan ng limitasyon ng isang function ayon kay Heine, at ang kahulugan ng limitasyon ng isang function "sa wika \(\varepsilon - \delta \)" ay tinatawag ding kahulugan ng limitasyon ng isang function ayon sa Cauchy.

Limitasyon ng function sa x->x 0 - at sa x->x 0 +

Sa sumusunod, gagamitin namin ang mga konsepto ng isang panig na limitasyon ng isang function, na tinukoy bilang mga sumusunod.

Walang-hanggan na Mga Limitasyon sa Pag-andar Ang numerong A ay tinatawag na kanang (kaliwa) na limitasyon ng function na f(x) sa puntong x 0 kung para sa anumang pagkakasunod-sunod (1) na nagtatagpo sa x 0, ang mga elementong x n kung saan ay mas malaki (mas mababa sa) x 0, ang ang kaukulang sequence (2) ay nagtatagpo sa A.

Symbolically ito ay nakasulat tulad nito:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Maaari kaming magbigay ng katumbas na kahulugan ng mga one-sided na limitasyon ng isang function "sa wikang \(\varepsilon - \delta \)":

Walang-hanggan na Mga Limitasyon sa Pag-andar ang isang numerong A ay tinatawag na kanang (kaliwa) na limitasyon ng function na f(x) sa puntong x 0 kung para sa alinmang \(\varepsilon > 0\) mayroong isang \(\delta > 0\) na para sa lahat ng x nagbibigay-kasiyahan sa mga hindi pagkakapantay-pantay \(x_0 Symbolic entries:

\((\forall \varepsilon > 0) (\umiiral \delta > 0) (\forall x, \; x_0