Finden wir die Diskriminante der quadratischen Gleichung. Quadratische Gleichungen
Quadratische Gleichung – einfach zu lösen! *Im Folgenden „KU“ genannt. Freunde, es scheint, dass es in der Mathematik nichts Einfacheres geben könnte, als eine solche Gleichung zu lösen. Aber irgendetwas sagte mir, dass viele Menschen Probleme mit ihm haben. Ich beschloss, zu sehen, wie viele On-Demand-Impressionen Yandex pro Monat ausgibt. Hier ist, was passiert ist, schauen Sie:
Was bedeutet das? Das bedeutet, dass etwa 70.000 Menschen pro Monat suchen diese Information, was hat dieser Sommer damit zu tun und was wird dazwischen passieren? Schuljahr— Es wird doppelt so viele Anfragen geben. Das ist nicht verwunderlich, denn nach diesen Informationen suchen die Jungs und Mädels, die schon lange ihren Schulabschluss haben und sich auf das Einheitliche Staatsexamen vorbereiten, und auch Schulkinder bemühen sich, ihr Gedächtnis aufzufrischen.
Trotz der Tatsache, dass es viele Websites gibt, die Ihnen erklären, wie Sie diese Gleichung lösen können, habe ich beschlossen, auch einen Beitrag zu leisten und das Material zu veröffentlichen. Erstens möchte ich, dass Besucher aufgrund dieser Anfrage auf meine Website gelangen. Zweitens werde ich in anderen Artikeln, wenn das Thema „KU“ auftaucht, einen Link zu diesem Artikel bereitstellen; Drittens erzähle ich Ihnen etwas mehr über seine Lösung, als normalerweise auf anderen Websites angegeben wird. Lass uns anfangen! Der Inhalt des Artikels:
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form:
wo Koeffizienten ein,Bund c sind beliebige Zahlen mit a≠0.
Im Schulkurs wird der Stoff in folgender Form vermittelt – die Gleichungen sind in drei Klassen eingeteilt:
1. Sie haben zwei Wurzeln.
2. *Nur eine Wurzel haben.
3. Sie haben keine Wurzeln. Besonders hervorzuheben ist hier, dass sie keine wirklichen Wurzeln haben
Wie werden Wurzeln berechnet? Nur!
Wir berechnen die Diskriminante. Unter diesem „schrecklichen“ Wort verbirgt sich eine ganz einfache Formel:
Die Grundformeln lauten wie folgt:
*Sie müssen diese Formeln auswendig kennen.
Sie können sofort aufschreiben und lösen:
Beispiel:
1. Wenn D > 0, dann hat die Gleichung zwei Wurzeln.
2. Wenn D = 0, dann hat die Gleichung eine Wurzel.
3. Wenn D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Schauen wir uns die Gleichung an:
Wenn die Diskriminante gleich Null ist, sagt der Schulkurs in diesem Zusammenhang, dass eine Wurzel erhalten wird, hier ist sie gleich neun. Alles ist richtig, es ist so, aber...
Diese Idee ist etwas falsch. Tatsächlich gibt es zwei Wurzeln. Ja, ja, wundern Sie sich nicht, Sie erhalten zwei gleiche Wurzeln, und um mathematisch genau zu sein, sollte die Antwort zwei Wurzeln lauten:
x 1 = 3 x 2 = 3
Aber das ist so - ein kleiner Exkurs. In der Schule kann man es aufschreiben und sagen, dass es eine Wurzel gibt.
Nun das nächste Beispiel:
Wie wir wissen, kann die Wurzel einer negativen Zahl nicht gezogen werden, daher gibt es in diesem Fall keine Lösung.
Das ist der gesamte Entscheidungsprozess.
Quadratische Funktion.
Dies zeigt, wie die Lösung geometrisch aussieht. Es ist äußerst wichtig, dies zu verstehen (in einem der Artikel werden wir in Zukunft die Lösung der quadratischen Ungleichung im Detail analysieren).
Dies ist eine Funktion der Form:
wobei x und y Variablen sind
a, b, c – gegebene Zahlen, mit a ≠ 0
Der Graph ist eine Parabel:
Das heißt, es stellt sich heraus, dass wir durch Lösen einer quadratischen Gleichung mit „y“ gleich Null die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse finden. Es kann zwei dieser Punkte geben (die Diskriminante ist positiv), einen (die Diskriminante ist Null) und keinen (die Diskriminante ist negativ). Details zur quadratischen Funktion Sie können sehen Artikel von Inna Feldman.
Schauen wir uns Beispiele an:
Beispiel 1: Lösen 2x 2 +8 X–192=0
a=2 b=8 c= –192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Antwort: x 1 = 8 x 2 = –12
*Es war möglich, die linke und rechte Seite der Gleichung sofort durch 2 zu dividieren, also zu vereinfachen. Die Berechnungen werden einfacher.
Beispiel 2: Entscheiden x 2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Wir haben herausgefunden, dass x 1 = 11 und x 2 = 11
Es ist zulässig, in der Antwort x = 11 zu schreiben.
Antwort: x = 11
Beispiel 3: Entscheiden x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Die Diskriminante ist negativ, es gibt keine Lösung in reellen Zahlen.
Antwort: keine Lösung
Die Diskriminante ist negativ. Es gibt eine Lösung!
Hier werden wir über die Lösung der Gleichung für den Fall sprechen, dass eine negative Diskriminante erhalten wird. Wissen Sie etwas über komplexe Zahlen? Ich werde hier nicht im Detail darauf eingehen, warum und wo sie entstanden sind und welche spezifische Rolle und Notwendigkeit sie in der Mathematik haben; dies ist ein Thema für einen großen separaten Artikel.
Das Konzept einer komplexen Zahl.
Eine kleine Theorie.
Eine komplexe Zahl z ist eine Zahl der Form
z = a + bi
wobei a und b reelle Zahlen sind, i ist die sogenannte imaginäre Einheit.
a+bi – Dies ist eine EINZELNE ZAHL, keine Addition.
Die imaginäre Einheit ist gleich der Wurzel aus minus eins:
Betrachten Sie nun die Gleichung:
Wir erhalten zwei konjugierte Wurzeln.
Unvollständige quadratische Gleichung.
Betrachten wir Sonderfälle, in denen der Koeffizient „b“ oder „c“ gleich Null ist (oder beide gleich Null sind). Sie können leicht und ohne Diskriminanten gelöst werden.
Fall 1. Koeffizient b = 0.
Die Gleichung lautet:
Lassen Sie uns konvertieren:
Beispiel:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
Fall 2. Koeffizient c = 0.
Die Gleichung lautet:
Lassen Sie uns transformieren und faktorisieren:
*Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.
Beispiel:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 oder x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Fall 3. Koeffizienten b = 0 und c = 0.
Hier ist klar, dass die Lösung der Gleichung immer x = 0 sein wird.
Nützliche Eigenschaften und Muster von Koeffizienten.
Es gibt Eigenschaften, mit denen Sie Gleichungen mit großen Koeffizienten lösen können.
AX 2 + bx+ C=0 Gleichheit gilt
A + B+ c = 0, Das
- wenn für die Koeffizienten der Gleichung AX 2 + bx+ C=0 Gleichheit gilt
A+ c =B, Das
Diese Eigenschaften helfen bei der Lösung einer bestimmten Art von Gleichung.
Beispiel 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0
Die Summe der Quoten beträgt 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, was bedeutet
Beispiel 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0
Gleichheit gilt A+ c =B, Bedeutet
Regelmäßigkeiten der Koeffizienten.
1. Wenn in der Gleichung ax 2 + bx + c = 0 der Koeffizient „b“ gleich (a 2 +1) ist und der Koeffizient „c“ numerisch gleich dem Koeffizienten „a“ ist, dann sind seine Wurzeln gleich
ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
Beispiel. Betrachten Sie die Gleichung 6x 2 + 37x + 6 = 0.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. Wenn in der Gleichung ax 2 – bx + c = 0 der Koeffizient „b“ gleich (a 2 +1) ist und der Koeffizient „c“ numerisch gleich dem Koeffizienten „a“ ist, dann sind seine Wurzeln gleich
ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.
Beispiel. Betrachten Sie die Gleichung 15x 2 –226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Wenn in Gl. ax 2 + bx – c = 0 Koeffizient „b“ ist gleich (a 2 – 1) und Koeffizient „c“ ist numerisch gleich dem Koeffizienten „a“, dann sind seine Wurzeln gleich
ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.
Beispiel. Betrachten Sie die Gleichung 17x 2 +288x – 17 = 0.
x 1 = – 17 x 2 = 1/17.
4. Wenn in der Gleichung ax 2 – bx – c = 0 der Koeffizient „b“ gleich (a 2 – 1) ist und der Koeffizient c numerisch gleich dem Koeffizienten „a“ ist, dann sind seine Wurzeln gleich
ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.
Beispiel. Betrachten Sie die Gleichung 10x 2 – 99x –10 = 0.
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
Satz von Vieta.
Der Satz von Vieta ist nach dem berühmten französischen Mathematiker Francois Vieta benannt. Mit dem Satz von Vieta können wir die Summe und das Produkt der Wurzeln einer beliebigen KU durch ihre Koeffizienten ausdrücken.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Insgesamt ergibt die Zahl 14 nur 5 und 9. Das sind die Wurzeln. Mit einer gewissen Geschicklichkeit können Sie mit dem vorgestellten Satz viele quadratische Gleichungen sofort mündlich lösen.
Zusätzlich der Satz von Vieta. Der Vorteil besteht darin, dass nach dem Lösen einer quadratischen Gleichung auf die übliche Weise (durch eine Diskriminante) die resultierenden Wurzeln überprüft werden können. Ich empfehle, dies immer zu tun.
TRANSPORTMETHODE
Bei dieser Methode wird der Koeffizient „a“ mit dem freien Term multipliziert, als ob er darauf „geworfen“ würde, weshalb er aufgerufen wird „Transfer“-Methode. Diese Methode wird verwendet, wenn die Wurzeln der Gleichung mithilfe des Satzes von Vieta leicht gefunden werden können und, was am wichtigsten ist, wenn die Diskriminante ein exaktes Quadrat ist.
Wenn A± b+c≠ 0, dann kommt die Übertragungstechnik zum Einsatz, zum Beispiel:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Mit dem Satz von Vieta in Gleichung (2) lässt sich leicht bestimmen, dass x 1 = 10 x 2 = 1
Die resultierenden Wurzeln der Gleichung müssen durch 2 geteilt werden (da die beiden aus x 2 „geworfen“ wurden), erhalten wir
x 1 = 5 x 2 = 0,5.
Was ist die Begründung? Schauen Sie, was passiert.
Die Diskriminanten der Gleichungen (1) und (2) sind gleich:
Wenn man sich die Wurzeln der Gleichungen anschaut, erhält man nur unterschiedliche Nenner, und das Ergebnis hängt genau vom Koeffizienten von x 2 ab:
Der zweite (modifizierte) hat Wurzeln, die doppelt so groß sind.
Daher dividieren wir das Ergebnis durch 2.
*Wenn wir die Drei erneut würfeln, dividieren wir das Ergebnis durch 3 usw.
Antwort: x 1 = 5 x 2 = 0,5
Quadrat. ur-ie und Einheitliches Staatsexamen.
Ich erzähle Ihnen kurz, wie wichtig es ist – Sie müssen in der Lage sein, schnell und ohne nachzudenken zu entscheiden, Sie müssen die Formeln von Wurzeln und Diskriminanten auswendig kennen. Viele der in den Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens enthaltenen Probleme beschränken sich auf die Lösung einer quadratischen Gleichung (einschließlich geometrischer Gleichungen).
Etwas Erwähnenswertes!
1. Die Form des Schreibens einer Gleichung kann „implizit“ sein. Beispielsweise ist folgender Eintrag möglich:
15+ 9x 2 - 45x = 0 oder 15x+42+9x 2 - 45x=0 oder 15 -5x+10x 2 = 0.
Du musst ihn dazu bringen Standard Ansicht(um bei der Entscheidung nicht verwirrt zu werden).
2. Denken Sie daran, dass x eine unbekannte Größe ist und mit jedem anderen Buchstaben bezeichnet werden kann – t, q, p, h und anderen.
Probleme mit quadratischen Gleichungen werden sowohl im schulischen Lehrplan als auch an Universitäten untersucht. Sie bedeuten Gleichungen der Form a*x^2 + b*x + c = 0, wobei X- Variable, a, b, c – Konstanten; A<>0 . Die Aufgabe besteht darin, die Wurzeln der Gleichung zu finden.
Geometrische Bedeutung der quadratischen Gleichung
Der Graph einer Funktion, die durch eine quadratische Gleichung dargestellt wird, ist eine Parabel. Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung sind die Schnittpunkte der Parabel mit der Abszissenachse (x). Daraus folgt, dass es drei mögliche Fälle gibt:
1) Die Parabel hat keine Schnittpunkte mit der Abszissenachse. Dies bedeutet, dass es sich in der oberen Ebene mit Ästen nach oben oder in der unteren Ebene mit Ästen nach unten befindet. In solchen Fällen hat die quadratische Gleichung keine reellen Wurzeln (sie hat zwei komplexe Wurzeln).
2) Die Parabel hat einen Schnittpunkt mit der Ox-Achse. Ein solcher Punkt wird als Scheitelpunkt der Parabel bezeichnet, und die quadratische Gleichung erhält dort ihren minimalen oder maximalen Wert. In diesem Fall hat die quadratische Gleichung eine reelle Wurzel (oder zwei identische Wurzeln).
3) Der letzte Fall ist in der Praxis interessanter – es gibt zwei Schnittpunkte der Parabel mit der Abszissenachse. Das bedeutet, dass es zwei echte Wurzeln der Gleichung gibt.
Anhand der Analyse der Potenzkoeffizienten der Variablen lassen sich interessante Rückschlüsse auf die Lage der Parabel ziehen.
1) Wenn der Koeffizient a größer als Null ist, sind die Äste der Parabel nach oben gerichtet; ist er negativ, sind die Äste der Parabel nach unten gerichtet.
2) Ist der Koeffizient b größer als Null, liegt der Scheitelpunkt der Parabel in der linken Halbebene, nimmt er einen negativen Wert an, dann in der rechten.
Herleitung der Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung
Übertragen wir die Konstante aus der quadratischen Gleichung 
für das Gleichheitszeichen erhalten wir den Ausdruck
Multiplizieren Sie beide Seiten mit 4a 
Um ein vollständiges Quadrat auf der linken Seite zu erhalten, addiere b^2 auf beiden Seiten und führe die Transformation durch
Von hier aus finden wir
Formel für die Diskriminante und Wurzeln einer quadratischen Gleichung
Die Diskriminante ist der Wert des Wurzelausdrucks. Wenn er positiv ist, hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln, berechnet durch die Formel 
Wenn die Diskriminante Null ist, hat die quadratische Gleichung eine Lösung (zwei zusammenfallende Wurzeln), die leicht aus der obigen Formel für D = 0 erhalten werden kann. Wenn die Diskriminante negativ ist, hat die Gleichung keine reellen Wurzeln. Lösungen der quadratischen Gleichung werden jedoch in der komplexen Ebene gefunden und ihr Wert wird anhand der Formel berechnet 
Satz von Vieta
Betrachten wir zwei Wurzeln einer quadratischen Gleichung und konstruieren auf ihrer Grundlage eine quadratische Gleichung. Der Satz von Vieta selbst folgt leicht aus der Notation: wenn wir eine quadratische Gleichung der Form haben 
dann ist die Summe seiner Wurzeln gleich dem daraus entnommenen Koeffizienten p entgegengesetztem Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln der Gleichung ist gleich dem freien Term q. Die formelhafte Darstellung des Obigen sieht folgendermaßen aus: Wenn in einer klassischen Gleichung die Konstante a ungleich Null ist, müssen Sie die gesamte Gleichung durch sie dividieren und dann den Satz von Vieta anwenden.
Zeitplan für die Faktorisierung quadratischer Gleichungen
Die Aufgabe sei gestellt: Faktorisiere eine quadratische Gleichung. Dazu lösen wir zunächst die Gleichung (finden die Wurzeln). Als nächstes setzen wir die gefundenen Wurzeln in die Erweiterungsformel für die quadratische Gleichung ein. Dadurch wird das Problem gelöst.
Probleme mit quadratischen Gleichungen
Aufgabe 1. Finden Sie die Wurzeln einer quadratischen Gleichung
x^2-26x+120=0 .
Lösung: Notieren Sie die Koeffizienten und setzen Sie sie in die Diskriminanzformel ein
Die Wurzel dieses Werts ist 14, sie lässt sich leicht mit einem Taschenrechner ermitteln oder sich merken, wann Häufige Verwendung Der Einfachheit halber werde ich Ihnen jedoch am Ende des Artikels eine Liste von Zahlenquadraten geben, die bei solchen Problemen häufig auftreten können.
Wir setzen den gefundenen Wert in die Wurzelformel ein 
und wir bekommen 
Aufgabe 2. Löse die Gleichung
2x 2 +x-3=0.
Lösung: Wir haben eine vollständige quadratische Gleichung, schreiben die Koeffizienten aus und ermitteln die Diskriminante 
Mit bekannten Formeln finden wir die Wurzeln der quadratischen Gleichung 
Aufgabe 3. Löse die Gleichung
9x 2 -12x+4=0.
Lösung: Wir haben eine vollständige quadratische Gleichung. Bestimmung der Diskriminante
Wir haben einen Fall, in dem die Wurzeln übereinstimmen. Finden Sie die Werte der Wurzeln mithilfe der Formel 
Aufgabe 4. Löse die Gleichung
x^2+x-6=0 .
Lösung: In Fällen, in denen kleine Koeffizienten für x vorliegen, empfiehlt es sich, den Satz von Vieta anzuwenden. Durch seine Bedingung erhalten wir zwei Gleichungen
Aus der zweiten Bedingung ermitteln wir, dass das Produkt gleich -6 sein muss. Dies bedeutet, dass eine der Wurzeln negativ ist. Wir haben das folgende mögliche Lösungspaar (-3;2), (3;-2) . Unter Berücksichtigung der ersten Bedingung lehnen wir das zweite Lösungspaar ab.
Die Wurzeln der Gleichung sind gleich
Aufgabe 5. Finden Sie die Längen der Seiten eines Rechtecks, wenn sein Umfang 18 cm und seine Fläche 77 cm 2 beträgt.
Lösung: Der halbe Umfang eines Rechtecks ist gleich der Summe seiner angrenzenden Seiten. Bezeichnen wir x als die größere Seite, dann ist 18-x die kleinere Seite. Die Fläche des Rechtecks ist gleich dem Produkt dieser Längen:
x(18-x)=77;
oder
x 2 -18x+77=0.
Finden wir die Diskriminante der Gleichung
Berechnen der Wurzeln der Gleichung 
Wenn x=11, Das 18er=7 , das Gegenteil ist auch der Fall (wenn x=7, dann 21er=9).
Aufgabe 6. Faktorisieren Sie die quadratische Gleichung 10x 2 -11x+3=0.
Lösung: Berechnen wir die Wurzeln der Gleichung, dazu ermitteln wir die Diskriminante 
Wir setzen den gefundenen Wert in die Wurzelformel ein und berechnen 
Wir wenden die Formel zum Zerlegen einer quadratischen Gleichung durch Wurzeln an 
Durch Öffnen der Klammern erhalten wir eine Identität.
Quadratische Gleichung mit Parameter
Beispiel 1. Bei welchen Parameterwerten A , Hat die Gleichung (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 eine Wurzel?
Lösung: Durch direkte Substitution des Wertes a=3 sehen wir, dass es keine Lösung gibt. Als nächstes nutzen wir die Tatsache, dass die Gleichung mit einer Nulldiskriminante eine Wurzel der Multiplizität 2 hat. Schreiben wir die Diskriminante auf 
Vereinfachen wir es und setzen es mit Null gleich
Wir haben eine quadratische Gleichung bezüglich des Parameters a erhalten, deren Lösung leicht mit dem Satz von Vieta erhalten werden kann. Die Summe der Wurzeln ist 7 und ihr Produkt ist 12. Durch eine einfache Suche stellen wir fest, dass die Zahlen 3,4 die Wurzeln der Gleichung sein werden. Da wir die Lösung a=3 bereits zu Beginn der Berechnungen verworfen haben, ist die einzig richtige Lösung: a=4. Für a=4 hat die Gleichung also eine Wurzel.
Beispiel 2. Bei welchen Parameterwerten A , Die gleichung a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 hat mehr als eine Wurzel?
Lösung: Betrachten wir zunächst die singulären Punkte, sie haben die Werte a=0 und a=-3. Wenn a=0, wird die Gleichung auf die Form 6x-9=0 vereinfacht; x=3/2 und es wird eine Wurzel geben. Für a= -3 erhalten wir die Identität 0=0.
Berechnen wir die Diskriminante 
und finden Sie den Wert von a, bei dem es positiv ist 
Aus der ersten Bedingung erhalten wir a>3. Im zweiten Schritt ermitteln wir die Diskriminante und die Wurzeln der Gleichung 
Bestimmen wir die Intervalle, in denen die Funktion positive Werte annimmt. Durch Einsetzen des Punktes a=0 erhalten wir 3>0
.
Außerhalb des Intervalls (-3;1/3) ist die Funktion also negativ. Vergessen Sie den Punkt nicht a=0, was ausgeschlossen werden sollte, da die ursprüngliche Gleichung eine Wurzel enthält.
Als Ergebnis erhalten wir zwei Intervalle, die die Bedingungen des Problems erfüllen 
In der Praxis wird es viele ähnliche Aufgaben geben. Versuchen Sie, die Aufgaben selbst herauszufinden, und vergessen Sie nicht, die sich gegenseitig ausschließenden Bedingungen zu berücksichtigen. Studieren Sie die Lösungsformeln sorgfältig quadratische Gleichungen Sie werden häufig bei Berechnungen in verschiedenen Problemen und Wissenschaften benötigt.
Wir beschäftigen uns weiterhin mit dem Thema „ Gleichungen lösen" Wir haben uns bereits mit linearen Gleichungen vertraut gemacht und beginnen mit der Einarbeitung quadratische Gleichungen.
Zuerst schauen wir uns an, was eine quadratische Gleichung ist und wie sie geschrieben wird Gesamtansicht und geben Sie entsprechende Definitionen an. Anschließend werden wir anhand von Beispielen im Detail untersuchen, wie unvollständige quadratische Gleichungen gelöst werden. Als nächstes werden wir mit der Lösung vollständiger Gleichungen fortfahren, die Wurzelformel ermitteln, uns mit der Diskriminante einer quadratischen Gleichung vertraut machen und Lösungen für typische Beispiele betrachten. Lassen Sie uns abschließend die Zusammenhänge zwischen den Wurzeln und Koeffizienten verfolgen.
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Was ist eine quadratische Gleichung? Ihre Typen
Zuerst müssen Sie klar verstehen, was eine quadratische Gleichung ist. Daher ist es logisch, ein Gespräch über quadratische Gleichungen mit der Definition einer quadratischen Gleichung sowie verwandten Definitionen zu beginnen. Anschließend können Sie die wichtigsten Arten quadratischer Gleichungen betrachten: reduzierte und nichtreduzierte sowie vollständige und unvollständige Gleichungen.
Definition und Beispiele quadratischer Gleichungen
Definition.
Quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form a x 2 +b x+c=0, wobei x eine Variable ist, a, b und c einige Zahlen sind und a ungleich Null ist.
Sagen wir gleich, dass quadratische Gleichungen oft als Gleichungen zweiten Grades bezeichnet werden. Dies liegt daran, dass die Gleichung quadratisch ist algebraische Gleichung zweiter Grad.
Die angegebene Definition ermöglicht es uns, Beispiele für quadratische Gleichungen zu geben. Also 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 usw. Das sind quadratische Gleichungen.
Definition.
Zahlen a, b und c heißen Koeffizienten der quadratischen Gleichung a·x 2 +b·x+c=0, und der Koeffizient a wird der erste oder höchste oder der Koeffizient von x 2 genannt, b ist der zweite Koeffizient oder der Koeffizient von x, und c ist der freie Term .
Nehmen wir zum Beispiel eine quadratische Gleichung der Form 5 x 2 −2 x −3=0, hier ist der führende Koeffizient 5, der zweite Koeffizient ist gleich −2 und der freie Term ist gleich −3. Beachten Sie, dass, wenn die Koeffizienten b und/oder c negativ sind, wie im gerade gegebenen Beispiel, dann Kurzform Schreiben einer quadratischen Gleichung der Form 5 x 2 −2 x−3=0 und nicht 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.
Es ist erwähnenswert, dass, wenn die Koeffizienten a und/oder b gleich 1 oder −1 sind, sie normalerweise nicht explizit in der quadratischen Gleichung vorhanden sind, was auf die Besonderheiten der Schreibweise einer solchen Gleichung zurückzuführen ist. Beispielsweise ist in der quadratischen Gleichung y 2 −y+3=0 der führende Koeffizient eins und der Koeffizient von y gleich −1.
Reduzierte und nicht reduzierte quadratische Gleichungen
Abhängig vom Wert des Leitkoeffizienten werden reduzierte und nichtreduzierte quadratische Gleichungen unterschieden. Geben wir die entsprechenden Definitionen an.
Definition.
Eine quadratische Gleichung, in der der führende Koeffizient 1 ist, wird aufgerufen gegebene quadratische Gleichung. Ansonsten lautet die quadratische Gleichung unberührt.
Entsprechend diese Definition, quadratische Gleichungen x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 usw. – gegeben, in jedem von ihnen ist der erste Koeffizient gleich eins. A 5 x 2 −x−1=0 usw. - nichtreduzierte quadratische Gleichungen, deren führende Koeffizienten von 1 verschieden sind.
Aus jeder nicht reduzierten quadratischen Gleichung können Sie durch Division beider Seiten durch den führenden Koeffizienten zur reduzierten Gleichung gelangen. Diese Aktion ist eine äquivalente Transformation, das heißt, die auf diese Weise erhaltene reduzierte quadratische Gleichung hat dieselben Wurzeln wie die ursprüngliche nicht reduzierte quadratische Gleichung oder hat, wie diese, keine Wurzeln.
Schauen wir uns ein Beispiel an, wie der Übergang von einer nicht reduzierten quadratischen Gleichung zu einer reduzierten erfolgt.
Beispiel.
Gehen Sie von der Gleichung 3 x 2 +12 x−7=0 zur entsprechenden reduzierten quadratischen Gleichung.
Lösung.
Wir müssen nur beide Seiten der ursprünglichen Gleichung durch den führenden Koeffizienten 3 dividieren, dieser ist ungleich Null, damit wir diese Aktion ausführen können. Wir haben (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, was dasselbe ist, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, und dann (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, von wo . So haben wir die reduzierte quadratische Gleichung erhalten, die der ursprünglichen entspricht.
Antwort:
Vollständige und unvollständige quadratische Gleichungen
Die Definition einer quadratischen Gleichung enthält die Bedingung a≠0. Diese Bedingung ist notwendig, damit die Gleichung a x 2 + b x + c = 0 quadratisch ist, da sie bei a = 0 tatsächlich zu einer linearen Gleichung der Form b x + c = 0 wird.
Die Koeffizienten b und c können sowohl einzeln als auch zusammen gleich Null sein. In diesen Fällen wird die quadratische Gleichung als unvollständig bezeichnet.
Definition.
Man nennt die quadratische Gleichung a x 2 +b x+c=0 unvollständig, wenn mindestens einer der Koeffizienten b, c gleich Null ist.
Wiederum
Definition.
Vollständige quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in der alle Koeffizienten von Null verschieden sind.
Solche Namen wurden nicht zufällig vergeben. Dies wird aus den folgenden Diskussionen deutlich werden.
Wenn der Koeffizient b Null ist, nimmt die quadratische Gleichung die Form a·x 2 +0·x+c=0 an und ist äquivalent zur Gleichung a·x 2 +c=0. Wenn c=0, das heißt, die quadratische Gleichung hat die Form a·x 2 +b·x+0=0, dann kann sie als a·x 2 +b·x=0 umgeschrieben werden. Und mit b=0 und c=0 erhalten wir die quadratische Gleichung a·x 2 =0. Die resultierenden Gleichungen unterscheiden sich von der vollständigen quadratischen Gleichung dadurch, dass ihre linken Seiten weder einen Term mit der Variablen x noch einen freien Term oder beides enthalten. Daher ihr Name – unvollständige quadratische Gleichungen.
Die Gleichungen x 2 +x+1=0 und −2 x 2 −5 x+0,2=0 sind also Beispiele für vollständige quadratische Gleichungen, und x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 sind unvollständige quadratische Gleichungen.
Unvollständige quadratische Gleichungen lösen
Aus den Informationen im vorherigen Absatz geht hervor, dass dies der Fall ist drei Arten unvollständiger quadratischer Gleichungen:
- a·x 2 =0, ihm entsprechen die Koeffizienten b=0 und c=0;
- a x 2 +c=0 wenn b=0 ;
- und a·x 2 +b·x=0, wenn c=0.
Lassen Sie uns der Reihe nach untersuchen, wie unvollständige quadratische Gleichungen jedes dieser Typen gelöst werden.
a x 2 =0
Beginnen wir mit der Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen, in denen die Koeffizienten b und c gleich Null sind, also mit Gleichungen der Form a x 2 =0. Die Gleichung a·x 2 =0 entspricht der Gleichung x 2 =0, die man aus dem Original erhält, indem man beide Teile durch eine von Null verschiedene Zahl a dividiert. Offensichtlich ist die Wurzel der Gleichung x 2 =0 Null, da 0 2 =0. Diese Gleichung hat keine anderen Wurzeln, was dadurch erklärt wird, dass für jede Zahl p ungleich Null die Ungleichung p 2 >0 gilt, was bedeutet, dass für p≠0 die Gleichheit p 2 =0 nie erreicht wird.
Die unvollständige quadratische Gleichung a·x 2 =0 hat also eine einzige Wurzel x=0.
Als Beispiel geben wir die Lösung der unvollständigen quadratischen Gleichung −4 x 2 =0. Sie entspricht der Gleichung x 2 =0, ihre einzige Wurzel ist x=0, daher hat die ursprüngliche Gleichung eine einzige Nullstelle.
Eine kurze Lösung in diesem Fall kann wie folgt geschrieben werden:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .
a x 2 +c=0
Schauen wir uns nun an, wie unvollständige quadratische Gleichungen gelöst werden, in denen der Koeffizient b Null und c≠0 ist, also Gleichungen der Form a x 2 +c=0. Wir wissen, dass das Verschieben eines Termes von einer Seite der Gleichung auf die andere mit dem entgegengesetzten Vorzeichen sowie die Division beider Seiten der Gleichung durch eine Zahl ungleich Null eine äquivalente Gleichung ergibt. Daher können wir die folgenden äquivalenten Transformationen der unvollständigen quadratischen Gleichung a x 2 +c=0 durchführen:
- Verschiebe c auf die rechte Seite, was die Gleichung a x 2 =−c ergibt,
- und dividiere beide Seiten durch a, wir erhalten .
Die resultierende Gleichung lässt Rückschlüsse auf ihre Wurzeln zu. Abhängig von den Werten von a und c kann der Wert des Ausdrucks negativ (z. B. wenn a=1 und c=2, dann) oder positiv (z. B. wenn a=−2 und c=6 ist) sein. dann ist es ungleich Null, da nach der Bedingung c≠0. Schauen wir uns die Fälle separat an.
Wenn, dann hat die Gleichung keine Wurzeln. Diese Aussage folgt aus der Tatsache, dass das Quadrat jeder Zahl eine nichtnegative Zahl ist. Daraus folgt, dass wann für jede Zahl p die Gleichheit nicht wahr sein kann.
Wenn , dann ist die Situation mit den Wurzeln der Gleichung anders. Wenn wir uns in diesem Fall an erinnern, wird die Wurzel der Gleichung sofort offensichtlich; es ist die Zahl, da . Es ist leicht zu erraten, dass die Zahl tatsächlich auch die Wurzel der Gleichung ist. Diese Gleichung hat keine anderen Wurzeln, was beispielsweise durch Widerspruch gezeigt werden kann. Lass es uns tun.
Bezeichnen wir die Wurzeln der gerade angekündigten Gleichung mit x 1 und −x 1 . Angenommen, die Gleichung hat eine weitere Wurzel x 2, die sich von den angegebenen Wurzeln x 1 und −x 1 unterscheidet. Es ist bekannt, dass das Einsetzen seiner Wurzeln in eine Gleichung anstelle von x die Gleichung in eine korrekte numerische Gleichheit umwandelt. Für x 1 und −x 1 gilt , und für x 2 gilt . Die Eigenschaften numerischer Gleichungen ermöglichen es uns, Term für Term korrekte numerische Gleichungen zu subtrahieren. Die Subtraktion der entsprechenden Teile der Gleichungen ergibt also x 1 2 −x 2 2 =0. Die Eigenschaften von Operationen mit Zahlen ermöglichen es uns, die resultierende Gleichheit als (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 umzuschreiben. Wir wissen, dass das Produkt zweier Zahlen genau dann gleich Null ist, wenn mindestens eine davon gleich Null ist. Daher folgt aus der resultierenden Gleichheit, dass x 1 −x 2 =0 und/oder x 1 +x 2 =0, was dasselbe ist, x 2 =x 1 und/oder x 2 =−x 1. Damit kamen wir zu einem Widerspruch, da wir zu Beginn sagten, dass die Wurzel der Gleichung x 2 von x 1 und −x 1 verschieden sei. Dies beweist, dass die Gleichung keine anderen Wurzeln als und hat.
Fassen wir die Informationen in diesem Absatz zusammen. Die unvollständige quadratische Gleichung a x 2 +c=0 entspricht der Gleichung that
- hat keine Wurzeln, wenn ,
- hat zwei Wurzeln und , wenn .
Betrachten wir Beispiele für die Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen der Form a·x 2 +c=0.
Beginnen wir mit der quadratischen Gleichung 9 x 2 +7=0. Nachdem der freie Term auf die rechte Seite der Gleichung verschoben wurde, nimmt er die Form 9 x 2 =−7 an. Wenn wir beide Seiten der resultierenden Gleichung durch 9 dividieren, erhalten wir . Da die rechte Seite eine negative Zahl hat, hat diese Gleichung keine Wurzeln, daher hat die ursprüngliche unvollständige quadratische Gleichung 9 x 2 +7 = 0 keine Wurzeln.
Lösen wir eine weitere unvollständige quadratische Gleichung −x 2 +9=0. Wir verschieben die Neun auf die rechte Seite: −x 2 =−9. Teilen wir nun beide Seiten durch −1, so erhalten wir x 2 =9. Auf der rechten Seite steht eine positive Zahl, woraus wir schließen, dass oder . Dann schreiben wir die endgültige Antwort auf: Die unvollständige quadratische Gleichung −x 2 +9=0 hat zwei Wurzeln x=3 oder x=−3.
a x 2 +b x=0
Es bleibt noch die Lösung der letzten Art unvollständiger quadratischer Gleichungen für c=0. Unvollständige quadratische Gleichungen der Form a x 2 + b x = 0 ermöglichen die Lösung Faktorisierungsmethode. Offensichtlich können wir dies auf der linken Seite der Gleichung tun, wofür es ausreicht, den gemeinsamen Faktor x aus den Klammern zu nehmen. Dies ermöglicht uns, von der ursprünglichen unvollständigen quadratischen Gleichung zu überzugehen äquivalente Gleichung der Form x·(a·x+b)=0. Und diese Gleichung entspricht einem Satz von zwei Gleichungen x=0 und a·x+b=0, wobei letztere linear ist und eine Wurzel x=−b/a hat.
Die unvollständige quadratische Gleichung a·x 2 +b·x=0 hat also zwei Wurzeln x=0 und x=−b/a.
Um das Material zu festigen, analysieren wir die Lösung anhand eines konkreten Beispiels.
Beispiel.
Löse die Gleichung.
Lösung.
Nimmt man x aus der Klammer, erhält man die Gleichung. Es entspricht zwei Gleichungen x=0 und . Wir lösen die resultierende lineare Gleichung: und indem wir die gemischte Zahl durch einen gewöhnlichen Bruch dividieren, finden wir . Daher sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung x=0 und .
Wenn man die nötige Übung erlangt hat, können Lösungen für solche Gleichungen kurz geschrieben werden:
Antwort:
x=0 , .
Diskriminante, Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung
Um quadratische Gleichungen zu lösen, gibt es eine Wurzelformel. Schreiben wir es auf Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung: , Wo D=b 2 −4 a c- sogenannt Diskriminante einer quadratischen Gleichung. Der Eintrag bedeutet im Wesentlichen, dass .
Es ist hilfreich zu wissen, wie die Wurzelformel abgeleitet wurde und wie sie zum Finden der Wurzeln quadratischer Gleichungen verwendet wird. Lassen Sie uns das herausfinden.
Herleitung der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung
Wir müssen die quadratische Gleichung a·x 2 +b·x+c=0 lösen. Lassen Sie uns einige äquivalente Transformationen durchführen:
- Wir können beide Seiten dieser Gleichung durch eine Zahl a ungleich Null dividieren, was zu der folgenden quadratischen Gleichung führt.
- Jetzt Wähle ein vollständiges Quadrat aus auf der linken Seite: . Danach nimmt die Gleichung die Form an.
- In diesem Stadium ist es möglich, die letzten beiden Terme mit umgekehrtem Vorzeichen auf die rechte Seite zu übertragen, wir haben .
- Und lasst uns auch den Ausdruck auf der rechten Seite umwandeln: .
Als Ergebnis erhalten wir eine Gleichung, die der ursprünglichen quadratischen Gleichung a·x 2 +b·x+c=0 entspricht.
Gleichungen ähnlicher Form haben wir bereits in den vorangegangenen Absätzen gelöst, als wir sie untersucht haben. Daraus können wir folgende Schlussfolgerungen bezüglich der Wurzeln der Gleichung ziehen:
- wenn , dann hat die Gleichung keine reellen Lösungen;
- wenn, dann hat die Gleichung also die Form, aus der ihre einzige Wurzel sichtbar ist;
- wenn, dann oder, was dasselbe ist wie oder, das heißt, die Gleichung hat zwei Wurzeln.
Somit hängt das Vorhandensein oder Fehlen von Wurzeln der Gleichung und damit der ursprünglichen quadratischen Gleichung vom Vorzeichen des Ausdrucks auf der rechten Seite ab. Das Vorzeichen dieses Ausdrucks wird wiederum durch das Vorzeichen des Zählers bestimmt, da der Nenner 4·a 2 immer positiv ist, also durch das Vorzeichen des Ausdrucks b 2 −4·a·c. Dieser Ausdruck wurde b 2 −4 a c genannt Diskriminante einer quadratischen Gleichung und durch den Buchstaben bezeichnet D. Von hier aus ist das Wesen der Diskriminante klar – basierend auf ihrem Wert und Vorzeichen schließen sie, ob die quadratische Gleichung echte Wurzeln hat, und wenn ja, welche Zahl hat sie – eins oder zwei.
Kehren wir zur Gleichung zurück und schreiben sie mit der Diskriminanzschreibweise um: . Und wir ziehen Schlussfolgerungen:
- wenn D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
- wenn D=0, dann hat diese Gleichung eine einzelne Wurzel;
- schließlich, wenn D>0, dann hat die Gleichung zwei Wurzeln oder, die in die Form oder umgeschrieben werden können, und nachdem wir die Brüche erweitert und auf einen gemeinsamen Nenner gebracht haben, erhalten wir.
Also haben wir die Formeln für die Wurzeln der quadratischen Gleichung abgeleitet, sie sehen so aus, wobei die Diskriminante D durch die Formel D=b 2 −4·a·c berechnet wird.
Mit ihrer Hilfe können Sie mit einer positiven Diskriminante beide reellen Wurzeln einer quadratischen Gleichung berechnen. Wenn die Diskriminante gleich Null ist, ergeben beide Formeln den gleichen Wert der Wurzel, was einer eindeutigen Lösung der quadratischen Gleichung entspricht. Und wenn wir bei einer negativen Diskriminante versuchen, die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu verwenden, müssen wir die Quadratwurzel einer negativen Zahl ziehen, was den Rahmen des Schullehrplans sprengt. Bei einer negativen Diskriminante hat die quadratische Gleichung keine reellen Wurzeln, sondern ein Paar komplexes Konjugat Wurzeln, die mit denselben Wurzelformeln gefunden werden können, die wir erhalten haben.
Algorithmus zum Lösen quadratischer Gleichungen mithilfe von Wurzelformeln
In der Praxis können Sie beim Lösen quadratischer Gleichungen sofort die Wurzelformel verwenden, um deren Werte zu berechnen. Dies hängt jedoch eher mit der Suche nach komplexen Wurzeln zusammen.
Allerdings sprechen wir in einem Schulalgebrakurs meist nicht über komplexe, sondern über reelle Wurzeln einer quadratischen Gleichung. In diesem Fall ist es ratsam, vor der Verwendung der Formeln für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zunächst die Diskriminante zu finden und sicherzustellen, dass sie nicht negativ ist (andernfalls können wir daraus schließen, dass die Gleichung keine echten Wurzeln hat). und erst dann die Werte der Wurzeln berechnen.
Die obige Argumentation ermöglicht es uns zu schreiben Algorithmus zur Lösung einer quadratischen Gleichung. Um die quadratische Gleichung a x 2 +b x+c=0 zu lösen, müssen Sie:
- Berechnen Sie unter Verwendung der Diskriminanzformel D=b 2 −4·a·c seinen Wert;
- schlussfolgern, dass eine quadratische Gleichung keine reellen Wurzeln hat, wenn die Diskriminante negativ ist;
- Berechnen Sie die einzige Wurzel der Gleichung mit der Formel, wenn D=0;
- Finden Sie zwei reelle Wurzeln einer quadratischen Gleichung mithilfe der Wurzelformel, wenn die Diskriminante positiv ist.
Hier möchten wir nur darauf hinweisen, dass Sie die Formel auch verwenden können, wenn die Diskriminante gleich Null ist; sie liefert den gleichen Wert wie .
Sie können mit Beispielen für die Verwendung des Algorithmus zum Lösen quadratischer Gleichungen fortfahren.
Beispiele zum Lösen quadratischer Gleichungen
Betrachten wir Lösungen für drei quadratische Gleichungen mit einer positiven, negativen und Null-Diskriminante. Nachdem wir uns mit ihrer Lösung beschäftigt haben, wird es analog möglich sein, jede andere quadratische Gleichung zu lösen. Lass uns anfangen.
Beispiel.
Finden Sie die Wurzeln der Gleichung x 2 +2·x−6=0.
Lösung.
In diesem Fall haben wir die folgenden Koeffizienten der quadratischen Gleichung: a=1, b=2 und c=−6. Nach dem Algorithmus müssen Sie zunächst die Diskriminante berechnen; dazu ersetzen wir die angegebenen a, b und c in der Diskriminantenformel, die wir haben D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Da 28>0, also die Diskriminante größer als Null ist, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Wurzeln. Finden wir sie mithilfe der Wurzelformel, die wir erhalten. Hier können Sie die resultierenden Ausdrücke vereinfachen, indem Sie Folgendes tun Verschieben des Multiplikators über das Wurzelzeichen hinaus gefolgt von der Reduzierung des Bruchs:
Antwort:
Kommen wir zum nächsten typischen Beispiel.
Beispiel.
Lösen Sie die quadratische Gleichung −4 x 2 +28 x−49=0 .
Lösung.
Wir beginnen mit der Bestimmung der Diskriminante: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Daher hat diese quadratische Gleichung eine einzige Wurzel, die wir als finden, d. h.
Antwort:
x=3,5.
Es bleibt zu überlegen, quadratische Gleichungen mit negativer Diskriminante zu lösen.
Beispiel.
Lösen Sie die Gleichung 5·y 2 +6·y+2=0.
Lösung.
Hier sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung: a=5, b=6 und c=2. Wir setzen diese Werte in die Diskriminanzformel ein, die wir haben D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Die Diskriminante ist negativ, daher hat diese quadratische Gleichung keine echten Wurzeln.
Wenn Sie komplexe Wurzeln angeben müssen, wenden wir die bekannte Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung an und führen sie durch Aktionen mit komplexe Zahlen
:
Antwort:
Es gibt keine echten Wurzeln, komplexe Wurzeln sind: .
Beachten wir noch einmal: Wenn die Diskriminante einer quadratischen Gleichung negativ ist, schreiben sie in der Schule normalerweise sofort eine Antwort auf, in der sie darauf hinweisen, dass es keine echten Wurzeln gibt und keine komplexen Wurzeln gefunden werden.
Wurzelformel für gerade zweite Koeffizienten
Mit der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung mit D=b 2 −4·a·c erhalten Sie eine Formel mehr kompaktes Erscheinungsbild, wodurch Sie quadratische Gleichungen mit einem geraden Koeffizienten für x lösen können (oder einfach mit einem Koeffizienten der Form 2·n, zum Beispiel oder 14·ln5=2·7·ln5). Holen wir sie raus.
Nehmen wir an, wir müssen eine quadratische Gleichung der Form a x 2 +2 n x+c=0 lösen. Lassen Sie uns seine Wurzeln anhand der Formel finden, die wir kennen. Dazu berechnen wir die Diskriminante D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), und dann verwenden wir die Wurzelformel:
Bezeichnen wir den Ausdruck n 2 −a c als D 1 (manchmal wird er auch mit D " bezeichnet). Dann nimmt die Formel für die Wurzeln der betrachteten quadratischen Gleichung mit dem zweiten Koeffizienten 2 n die Form an 
, wobei D 1 =n 2 −a·c.
Es ist leicht zu erkennen, dass D=4·D 1 oder D 1 =D/4. Mit anderen Worten, D 1 ist der vierte Teil der Diskriminante. Es ist klar, dass das Vorzeichen von D 1 das gleiche ist wie das Vorzeichen von D . Das heißt, das Zeichen D 1 ist auch ein Indikator für das Vorhandensein oder Fehlen von Wurzeln einer quadratischen Gleichung.
Um also eine quadratische Gleichung mit einem zweiten Koeffizienten 2·n zu lösen, benötigen Sie
- Berechnen Sie D 1 =n 2 −a·c ;
- Wenn D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
- Wenn D 1 =0, dann berechnen Sie die einzige Wurzel der Gleichung mit der Formel;
- Wenn D 1 >0, dann finden Sie mithilfe der Formel zwei reelle Wurzeln.
Betrachten wir die Lösung des Beispiels mithilfe der in diesem Absatz erhaltenen Wurzelformel.
Beispiel.
Lösen Sie die quadratische Gleichung 5 x 2 −6 x −32=0 .
Lösung.
Der zweite Koeffizient dieser Gleichung kann als 2·(−3) dargestellt werden. Das heißt, Sie können die ursprüngliche quadratische Gleichung in der Form 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, hier a=5, n=−3 und c=−32, umschreiben und den vierten Teil davon berechnen Diskriminante: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Da ihr Wert positiv ist, hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln. Finden wir sie mithilfe der entsprechenden Wurzelformel:
Beachten Sie, dass es möglich war, die übliche Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu verwenden, in diesem Fall wäre jedoch mehr Rechenarbeit erforderlich.
Antwort:
Vereinfachung der Form quadratischer Gleichungen
Bevor man mit der Berechnung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung mithilfe von Formeln beginnt, kann es manchmal nicht schaden, die Frage zu stellen: „Ist es möglich, die Form dieser Gleichung zu vereinfachen?“ Stimmen Sie zu, dass es rechnerisch einfacher sein wird, die quadratische Gleichung 11 x 2 −4 x−6=0 zu lösen als 1100 x 2 −400 x−600=0.
Typischerweise wird die Form einer quadratischen Gleichung vereinfacht, indem beide Seiten mit einer bestimmten Zahl multipliziert oder dividiert werden. Im vorherigen Absatz war es beispielsweise möglich, die Gleichung 1100 x 2 −400 x −600=0 zu vereinfachen, indem beide Seiten durch 100 dividiert wurden.
Eine ähnliche Transformation wird mit quadratischen Gleichungen durchgeführt, deren Koeffizienten nicht sind. In diesem Fall teilen wir normalerweise beide Seiten der Gleichung durch absolute Werte seine Koeffizienten. Nehmen wir zum Beispiel die quadratische Gleichung 12 x 2 −42 x+48=0. absolute Werte seiner Koeffizienten: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Wenn wir beide Seiten der ursprünglichen quadratischen Gleichung durch 6 dividieren, erhalten wir die äquivalente quadratische Gleichung 2 x 2 −7 x+8=0.
Und die Multiplikation beider Seiten einer quadratischen Gleichung erfolgt normalerweise, um gebrochene Koeffizienten zu entfernen. In diesem Fall erfolgt die Multiplikation mit den Nennern seiner Koeffizienten. Wenn beispielsweise beide Seiten der quadratischen Gleichung mit LCM(6, 3, 1)=6 multipliziert werden, nimmt sie die einfachere Form x 2 +4·x−18=0 an.
Abschließend stellen wir fest, dass sie das Minus am höchsten Koeffizienten einer quadratischen Gleichung fast immer dadurch entfernen, dass sie die Vorzeichen aller Terme ändern, was einer Multiplikation (oder Division) beider Seiten mit −1 entspricht. Beispielsweise geht man normalerweise von der quadratischen Gleichung −2 x 2 −3 x+7=0 zur Lösung 2 x 2 +3 x−7=0 über.
Beziehung zwischen Wurzeln und Koeffizienten einer quadratischen Gleichung
Die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung drückt die Wurzeln der Gleichung durch ihre Koeffizienten aus. Basierend auf der Wurzelformel können Sie andere Beziehungen zwischen Wurzeln und Koeffizienten ermitteln.
Die bekanntesten und anwendbarsten Formeln aus dem Satz von Vieta haben die Form und . Insbesondere ist für die gegebene quadratische Gleichung die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten mit entgegengesetztem Vorzeichen und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term. Wenn wir uns zum Beispiel die Form der quadratischen Gleichung 3 x 2 −7 x + 22 = 0 ansehen, können wir sofort sagen, dass die Summe ihrer Wurzeln gleich 7/3 und das Produkt der Wurzeln gleich 22 ist /3.
Mit den bereits geschriebenen Formeln können Sie eine Reihe weiterer Zusammenhänge zwischen den Wurzeln und Koeffizienten der quadratischen Gleichung herstellen. Sie können beispielsweise die Summe der Quadrate der Wurzeln einer quadratischen Gleichung durch ihre Koeffizienten ausdrücken: .
Referenzliste.
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- Mordkovich A. G. Algebra. 8. Klasse. In 2 Stunden. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich. - 11. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 S.: Abb. ISBN 978-5-346-01155-2.
In der modernen Gesellschaft kann die Fähigkeit, Operationen mit Gleichungen durchzuführen, die eine quadrierte Variable enthalten, in vielen Tätigkeitsbereichen nützlich sein und wird in der Praxis bei wissenschaftlichen und technischen Entwicklungen häufig eingesetzt. Ein Beweis dafür ist die Konstruktion von See- und Flussschiffen, Flugzeugen und Raketen. Mithilfe solcher Berechnungen werden die Bewegungsbahnen verschiedenster Körper, darunter auch Weltraumobjekte, bestimmt. Beispiele mit der Lösung quadratischer Gleichungen werden nicht nur in Wirtschaftsprognosen, beim Entwurf und Bau von Gebäuden, sondern auch in den alltäglichen Alltagssituationen verwendet. Sie können auf Wanderungen, bei Sportveranstaltungen, in Geschäften beim Einkaufen und in anderen sehr häufigen Situationen benötigt werden.
Zerlegen wir den Ausdruck in seine Teilfaktoren
Der Grad einer Gleichung wird durch den Maximalwert des Grades der Variablen bestimmt, die der Ausdruck enthält. Wenn sie gleich 2 ist, heißt eine solche Gleichung quadratisch.
Wenn wir in der Sprache der Formeln sprechen, können die angegebenen Ausdrücke, egal wie sie aussehen, immer in die Form gebracht werden, wenn linke Seite Der Ausdruck besteht aus drei Begriffen. Darunter: ax 2 (d. h. eine mit ihrem Koeffizienten quadrierte Variable), bx (eine Unbekannte ohne Quadrat mit ihrem Koeffizienten) und c (eine freie Komponente, d. h. eine gewöhnliche Zahl). All dies auf der rechten Seite ist gleich 0. Wenn einem solchen Polynom einer seiner konstituierenden Terme mit Ausnahme von Ax 2 fehlt, spricht man von einer unvollständigen quadratischen Gleichung. Zunächst sollten Beispiele zur Lösung solcher Probleme betrachtet werden, deren Werte der Variablen leicht zu finden sind.
Wenn der Ausdruck so aussieht, als hätte er auf der rechten Seite zwei Terme, genauer gesagt ax 2 und bx, kann man x am einfachsten finden, indem man die Variable aus Klammern setzt. Jetzt sieht unsere Gleichung so aus: x(ax+b). Als nächstes wird deutlich, dass entweder x=0 ist oder das Problem darin besteht, eine Variable aus dem folgenden Ausdruck zu finden: ax+b=0. Dies wird durch eine der Eigenschaften der Multiplikation bestimmt. Die Regel besagt, dass das Produkt zweier Faktoren nur dann 0 ergibt, wenn einer von ihnen Null ist.
Beispiel
x=0 oder 8x - 3 = 0
Als Ergebnis erhalten wir zwei Wurzeln der Gleichung: 0 und 0,375.
Gleichungen dieser Art können die Bewegung von Körpern unter dem Einfluss der Schwerkraft beschreiben, die sich von einem bestimmten Punkt aus zu bewegen begannen, der als Koordinatenursprung genommen wurde. Hier mathematische Notation hat die folgende Form: y = v 0 t + gt 2 /2. Indem Sie die erforderlichen Werte ersetzen, die rechte Seite mit 0 gleichsetzen und mögliche Unbekannte ermitteln, können Sie die Zeit ermitteln, die vom Aufstehen des Körpers bis zum Absinken vergeht, sowie viele andere Größen. Aber darüber reden wir später.
Faktorisieren eines Ausdrucks
Die oben beschriebene Regel ermöglicht die Lösung dieser Probleme in komplexeren Fällen. Schauen wir uns Beispiele für die Lösung quadratischer Gleichungen dieses Typs an.
X 2 - 33x + 200 = 0
Dieses quadratische Trinom ist vollständig. Lassen Sie uns zunächst den Ausdruck transformieren und faktorisieren. Es gibt zwei davon: (x-8) und (x-25) = 0. Als Ergebnis haben wir zwei Wurzeln 8 und 25.
Beispiele zum Lösen quadratischer Gleichungen in der 9. Klasse ermöglichen es dieser Methode, eine Variable nicht nur in Ausdrücken zweiter, sondern sogar dritter und vierter Ordnung zu finden.
Zum Beispiel: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Bei der Faktorisierung der rechten Seite in Faktoren mit einer Variablen gibt es drei davon, nämlich (x+1), (x-3) und (x+ 3).
Dadurch wird deutlich, dass diese Gleichung drei Wurzeln hat: -3; -1; 3.
Quadratwurzel
Ein weiterer Fall einer unvollständigen Gleichung zweiter Ordnung ist ein Ausdruck, der in der Buchstabensprache so dargestellt wird, dass die rechte Seite aus den Komponenten ax 2 und c aufgebaut ist. Um den Wert der Variablen zu erhalten, wird hier der freie Term auf die rechte Seite übertragen und anschließend die Quadratwurzel von beiden Seiten der Gleichheit gezogen. Es ist zu beachten, dass es in diesem Fall normalerweise zwei Wurzeln der Gleichung gibt. Die einzigen Ausnahmen können Gleichheiten sein, die überhaupt keinen Term enthalten, bei denen die Variable gleich Null ist, sowie Varianten von Ausdrücken, bei denen sich die rechte Seite als negativ herausstellt. Im letzteren Fall gibt es überhaupt keine Lösungen, da die oben genannten Aktionen nicht mit Roots ausgeführt werden können. Beispiele für Lösungen für quadratische Gleichungen dieser Art sollten berücksichtigt werden.
In diesem Fall sind die Wurzeln der Gleichung die Zahlen -4 und 4.
Berechnung der Landfläche
Der Bedarf für diese Art von Berechnungen entstand bereits in der Antike, da die Entwicklung der Mathematik weitgehend in dieser Zeit stattfand ferne Zeiten war auf die Notwendigkeit zurückzuführen, die Flächen und Umfänge von Grundstücken mit größter Genauigkeit zu bestimmen.
Wir sollten auch Beispiele für die Lösung quadratischer Gleichungen betrachten, die auf Problemen dieser Art basieren.
Nehmen wir an, es gibt ein rechteckiges Grundstück, dessen Länge 16 Meter größer ist als die Breite. Sie sollten die Länge, Breite und den Umfang des Grundstücks ermitteln, wenn Sie wissen, dass seine Fläche 612 m2 beträgt.
Um zu beginnen, erstellen wir zunächst die erforderliche Gleichung. Bezeichnen wir mit x die Breite des Bereichs, dann beträgt seine Länge (x+16). Aus dem Geschriebenen folgt, dass die Fläche durch den Ausdruck x(x+16) bestimmt wird, der gemäß den Bedingungen unseres Problems 612 beträgt. Das bedeutet, dass x(x+16) = 612.
Das Lösen vollständiger quadratischer Gleichungen – und dieser Ausdruck ist genau das – kann nicht auf die gleiche Weise erfolgen. Warum? Obwohl die linke Seite noch zwei Faktoren enthält, ist deren Produkt überhaupt nicht gleich 0, sodass hier unterschiedliche Methoden verwendet werden.
Diskriminant
Lassen Sie uns also zunächst die notwendigen Transformationen vornehmen Aussehen Dieser Ausdruck sieht folgendermaßen aus: x 2 + 16x - 612 = 0. Dies bedeutet, dass wir einen Ausdruck in einer Form erhalten haben, die dem zuvor angegebenen Standard entspricht, wobei a=1, b=16, c=-612.
Dies könnte ein Beispiel für die Lösung quadratischer Gleichungen mithilfe einer Diskriminante sein. Hier notwendigen Berechnungen werden nach dem Schema hergestellt: D = b 2 - 4ac. Diese Hilfsgröße ermöglicht nicht nur das Auffinden der benötigten Größen in einer Gleichung zweiter Ordnung, sie bestimmt auch die Menge Möglichkeiten. Wenn D>0, gibt es zwei davon; für D=0 gibt es eine Wurzel. Im Fall D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
Über Wurzeln und ihre Formel
In unserem Fall ist die Diskriminante gleich: 256 – 4(-612) = 2704. Dies deutet darauf hin, dass unser Problem eine Antwort hat. Wenn Sie k kennen, muss die Lösung quadratischer Gleichungen mit der folgenden Formel fortgesetzt werden. Damit können Sie die Wurzeln berechnen.
Das bedeutet im dargestellten Fall: x 1 =18, x 2 =-34. Die zweite Option in diesem Dilemma kann keine Lösung sein, da die Abmessungen des Grundstücks nicht in negativen Größen gemessen werden können, was bedeutet, dass x (also die Breite des Grundstücks) 18 m beträgt. Von hier aus berechnen wir die Länge: 18 +16=34 und der Umfang 2(34+ 18)=104(m2).
Beispiele und Aufgaben
Wir setzen unser Studium quadratischer Gleichungen fort. Nachfolgend finden Sie Beispiele und detaillierte Lösungen für einige davon.
1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1
Verschieben wir alles auf die linke Seite der Gleichheit, führen eine Transformation durch, das heißt, wir erhalten die Art von Gleichung, die normalerweise als Standard bezeichnet wird, und setzen sie mit Null gleich.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Indem wir ähnliche addieren, bestimmen wir die Diskriminante: D = 49 - 48 = 1. Das bedeutet, dass unsere Gleichung zwei Wurzeln hat. Berechnen wir sie nach der obigen Formel, was bedeutet, dass der erste von ihnen 4/3 und der zweite 1 beträgt.
2) Lassen Sie uns nun Rätsel anderer Art lösen.
Lassen Sie uns herausfinden, ob es hier Wurzeln gibt x 2 - 4x + 5 = 1? Um eine umfassende Antwort zu erhalten, reduzieren wir das Polynom auf die entsprechende übliche Form und berechnen die Diskriminante. Im obigen Beispiel ist es nicht notwendig, die quadratische Gleichung zu lösen, da dies überhaupt nicht der Kern des Problems ist. In diesem Fall ist D = 16 - 20 = -4, was bedeutet, dass es wirklich keine Wurzeln gibt.
Satz von Vieta
Es ist praktisch, quadratische Gleichungen mit den obigen Formeln und der Diskriminante zu lösen, wenn aus deren Wert die Quadratwurzel gezogen wird. Dies geschieht jedoch nicht immer. Allerdings gibt es in diesem Fall viele Möglichkeiten, die Werte von Variablen zu erhalten. Beispiel: Lösen quadratischer Gleichungen mit dem Satz von Vieta. Sie ist nach einem Mann benannt, der im 16. Jahrhundert in Frankreich lebte und dank seiner mathematischen Begabung und seinen Verbindungen am Hof eine glänzende Karriere machte. Sein Porträt ist im Artikel zu sehen.
Das Muster, das dem berühmten Franzosen auffiel, war folgendes. Er bewies, dass sich die Wurzeln der Gleichung numerisch zu -p=b/a addieren und ihr Produkt q=c/a entspricht.
Schauen wir uns nun konkrete Aufgaben an.
3x 2 + 21x - 54 = 0
Der Einfachheit halber transformieren wir den Ausdruck:
x 2 + 7x - 18 = 0
Verwenden wir den Satz von Vieta. Dies ergibt Folgendes: Die Summe der Wurzeln beträgt -7 und ihr Produkt beträgt -18. Von hier aus erhalten wir, dass die Wurzeln der Gleichung die Zahlen -9 und 2 sind. Nach der Überprüfung stellen wir sicher, dass diese Variablenwerte wirklich in den Ausdruck passen.
Parabeldiagramm und Gleichung
Die Konzepte der quadratischen Funktion und der quadratischen Gleichungen sind eng miteinander verbunden. Beispiele hierfür wurden bereits früher genannt. Schauen wir uns nun einige mathematische Rätsel etwas genauer an. Jede Gleichung der beschriebenen Art kann visuell dargestellt werden. Eine solche Beziehung, als Diagramm dargestellt, wird Parabel genannt. Die verschiedenen Typen sind in der folgenden Abbildung dargestellt.
Jede Parabel hat einen Scheitelpunkt, also einen Punkt, von dem aus ihre Äste ausgehen. Wenn a>0, gehen sie hoch ins Unendliche, und wenn a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Visuelle Darstellungen von Funktionen helfen bei der Lösung beliebiger Gleichungen, auch quadratischer. Diese Methode wird als grafisch bezeichnet. Und der Wert der x-Variablen ist die Abszissenkoordinate an den Punkten, an denen die Diagrammlinie 0x schneidet. Die Koordinaten des Scheitelpunkts können mit der gerade angegebenen Formel x 0 = -b/2a ermittelt werden. Und indem Sie den resultierenden Wert in die ursprüngliche Gleichung der Funktion einsetzen, können Sie y 0 herausfinden, also die zweite Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel, die zur Ordinatenachse gehört.
Der Schnittpunkt der Äste einer Parabel mit der Abszissenachse
Es gibt viele Beispiele für die Lösung quadratischer Gleichungen, aber es gibt auch allgemeine Muster. Schauen wir sie uns an. Es ist klar, dass der Schnittpunkt des Graphen mit der 0x-Achse für a>0 nur möglich ist, wenn 0 negative Werte annimmt. Und für einen<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Ansonsten D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Aus dem Diagramm der Parabel können Sie auch die Wurzeln ermitteln. Das Gegenteil ist auch der Fall. Das heißt, wenn es nicht einfach ist, eine visuelle Darstellung einer quadratischen Funktion zu erhalten, können Sie die rechte Seite des Ausdrucks mit 0 gleichsetzen und die resultierende Gleichung lösen. Und wenn man die Schnittpunkte mit der 0x-Achse kennt, ist es einfacher, einen Graphen zu erstellen.
Aus der Geschichte
Mithilfe von Gleichungen, die eine quadrierte Variable enthielten, wurden früher nicht nur mathematische Berechnungen durchgeführt und die Flächen geometrischer Figuren bestimmt. Die Menschen der Antike brauchten solche Berechnungen für große Entdeckungen in der Physik und Astronomie sowie für astrologische Vorhersagen.
Wie moderne Wissenschaftler vermuten, gehörten die Bewohner Babylons zu den ersten, die quadratische Gleichungen lösten. Dies geschah vier Jahrhunderte vor unserer Zeitrechnung. Natürlich unterschieden sich ihre Berechnungen radikal von den derzeit akzeptierten und erwiesen sich als viel primitiver. Beispielsweise hatten die mesopotamischen Mathematiker keine Ahnung von der Existenz negativer Zahlen. Sie waren auch mit anderen Feinheiten nicht vertraut, die jedes moderne Schulkind kennt.
Vielleicht noch früher als die Wissenschaftler Babylons begann der Weise aus Indien Baudhayama, quadratische Gleichungen zu lösen. Dies geschah etwa acht Jahrhunderte vor der Ära Christi. Zwar waren die Gleichungen zweiter Ordnung und die von ihm angegebenen Lösungsmethoden die einfachsten. Außer ihm interessierten sich früher auch chinesische Mathematiker für ähnliche Fragen. In Europa begann man erst zu Beginn des 13. Jahrhunderts mit der Lösung quadratischer Gleichungen, später wurden sie jedoch von so großen Wissenschaftlern wie Newton, Descartes und vielen anderen in ihren Werken verwendet.