Jak rozwiązywać równania wykładnicze? Równania wykładnicze. Rozwiązania
Równania wykładnicze. Jak wiadomo, ujednolicony egzamin państwowy obejmuje proste równania. Rozważaliśmy już niektóre - są to logarytmiczne, trygonometryczne, racjonalne. Oto równania wykładnicze.
W niedawnym artykule pracowaliśmy z wyrażeniami wykładniczymi, będzie to przydatne. Same równania rozwiązuje się prosto i szybko. Wystarczy znać właściwości wykładników i... O tymDalej.
Wypiszmy własności wykładników:
Moc zerowa dowolnej liczby jest równa jeden.
Wniosek z tej właściwości:
Trochę więcej teorii.
Równanie wykładnicze to równanie zawierające zmienną w wykładniku, czyli równanie o postaci:
F(X) wyrażenie zawierające zmienną
Metody rozwiązywania równań wykładniczych
1. W wyniku przekształceń równanie można sprowadzić do postaci:
Następnie stosujemy własność:
2. Po uzyskaniu równania postaci a f (X) = B korzystając z definicji logarytmu otrzymujemy:
3. W wyniku przekształceń można otrzymać równanie postaci:
Zastosowany logarytm:
Wyraź i znajdź x.
W zadaniach Opcje ujednoliconego egzaminu stanowego Wystarczy zastosować pierwszą metodę.
Oznacza to, że konieczne jest przedstawienie lewej i prawej strony w postaci potęg o tej samej podstawie, a następnie zrównanie wykładników i rozwiązanie zwykłego równania liniowego.
Rozważ równania:
Znajdź pierwiastek równania 4 1–2x = 64.
Konieczne jest upewnienie się, że lewa i prawa strona zawierają wyrażenia wykładnicze o tej samej podstawie. Możemy przedstawić 64 jako 4 do potęgi 3. Otrzymujemy:
4 1–2x = 4 3
1 – 2x = 3
– 2x = 2
x = – 1
Badanie:
4 1–2 (–1) = 64
4 1 + 2 = 64
4 3 = 64
64 = 64
Odpowiedź 1
Znajdź pierwiastek równania 3 x–18 = 1/9.
Wiadomo, że
Zatem 3 x-18 = 3 -2
Podstawy są równe, możemy przyrównać wskaźniki:
x – 18 = – 2
x = 16
Badanie:
3 16–18 = 1/9
3 –2 = 1/9
1/9 = 1/9
Odpowiedź: 16
Znajdź pierwiastek równania:
Przedstawmy ułamek 1/64 jako jedną czwartą do potęgi trzeciej:
2x – 19 = 3
2x = 22
x = 11
Badanie:
Odpowiedź: 11
Znajdź pierwiastek równania:
Wyobraźmy sobie 1/3 jako 3 –1, a 9 jako 3 do kwadratu, otrzymamy:
(3 –1) 8–2x = 3 2
3 –1∙(8–2x) = 3 2
3 –8+2x = 3 2
Teraz możemy zrównać wskaźniki:
– 8+2x = 2
2x = 10
x = 5
Badanie:
Odpowiedź: 5
26654. Znajdź pierwiastek równania:
Rozwiązanie:
Odpowiedź: 8,75
Rzeczywiście, bez względu na to, do jakiej potęgi podniesiemy liczbę dodatnią a, nie możemy otrzymać liczby ujemnej.
Każde równanie wykładnicze po odpowiednich przekształceniach sprowadza się do rozwiązania jednego lub kilku prostych.W tej sekcji przyjrzymy się także rozwiązywaniu niektórych równań, nie przegap tego!To wszystko. Powodzenia!
Z poważaniem, Aleksander Krutitskikh.
P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś powiedział mi o tej stronie w sieciach społecznościowych.
Rozwiązywanie równań wykładniczych. Przykłady.
Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)
Co się stało równanie wykładnicze? Jest to równanie, w którym występują niewiadome (x) i wyrażenia z nimi wskaźniki pewne stopnie. I tylko tam! To jest ważne.
Tutaj jesteś przykłady równań wykładniczych:
3 x 2 x = 8 x +3
Notatka! W podstawach stopni (poniżej) - tylko numery. W wskaźniki stopnie (powyżej) - szeroka gama wyrażeń z literą X. Jeśli nagle w równaniu pojawi się X w innym miejscu niż wskaźnik, na przykład:
będzie to już równanie typu mieszanego. Równania takie nie mają jasnych zasad ich rozwiązywania. Na razie nie będziemy ich rozważać. Tutaj sobie poradzimy rozwiązywanie równań wykładniczych w najczystszej postaci.
W rzeczywistości nawet czyste równania wykładnicze nie zawsze są rozwiązywane w sposób jasny. Istnieją jednak pewne typy równań wykładniczych, które można i należy rozwiązać. To są typy, które rozważymy.
Rozwiązywanie prostych równań wykładniczych.
Najpierw rozwiążmy coś bardzo podstawowego. Na przykład:
Nawet bez teorii, poprzez prosty dobór widać, że x = 2. Nic więcej, prawda!? Żadna inna wartość X nie działa. Przyjrzyjmy się teraz rozwiązaniu tego trudnego równania wykładniczego:
Co my zrobiliśmy? W rzeczywistości po prostu wyrzuciliśmy te same podstawy (potrójne). Całkowicie wyrzucony. I dobra wiadomość jest taka, że trafiliśmy w sedno!
Rzeczywiście, jeśli w równaniu wykładniczym są lewe i prawe ten sam liczby dowolnej potęgi, liczby te można usunąć, a wykładniki można wyrównać. Matematyka pozwala. Pozostaje rozwiązać znacznie prostsze równanie. Świetnie, prawda?)
Pamiętajmy jednak stanowczo: Możesz usuwać bazy tylko wtedy, gdy liczby zasad po lewej i prawej stronie są w doskonałej izolacji! Bez żadnych sąsiadów i współczynników. Powiedzmy w równaniach:
2 x +2 x+1 = 2 3, lub
dwójek nie da się usunąć!
No cóż, najważniejsze już opanowaliśmy. Jak przejść od złych wyrażeń wykładniczych do prostszych równań.
„To są czasy!” - mówisz. „Kto dałby tak prymitywną lekcję na sprawdzianach i egzaminach!?”
Muszę się zgodzić. Nikt nie będzie. Ale teraz wiesz, gdzie celować przy rozwiązywaniu trudnych przykładów. Konieczne jest doprowadzenie go do postaci, w której ta sama liczba podstawowa znajduje się po lewej i prawej stronie. Wtedy wszystko będzie łatwiejsze. Właściwie jest to klasyka matematyki. Bierzemy oryginalny przykład i przekształcamy go na pożądany nas umysł. Oczywiście według zasad matematyki.
Przyjrzyjmy się przykładom, które wymagają dodatkowego wysiłku, aby sprowadzić je do najprostszych. Zadzwońmy do nich proste równania wykładnicze.
Wejdź na kanał YouTube naszej witryny i bądź na bieżąco ze wszystkimi nowymi lekcjami wideo.
Na początek przypomnijmy sobie podstawowe wzory na potęgi i ich własności.
Iloczyn liczby A występuje n razy samo w sobie, możemy zapisać to wyrażenie jako a… a=a n
1. za 0 = 1 (za ≠ 0)
3. za n za m = za n + m
4. (a n) m = an nm
5. za n b n = (ab) n
7. za n / do m = za n - m
Równania potęgowe lub wykładnicze– są to równania, w których zmienne są w postaci potęg (lub wykładników), a podstawą jest liczba.
Przykłady równań wykładniczych:
W w tym przykładzie liczba 6 to podstawa, zawsze znajduje się na dole i zmienna X stopień lub wskaźnik.
Podajmy więcej przykładów równań wykładniczych.
2x *5=10
16 x - 4 x - 6=0
Przyjrzyjmy się teraz, jak rozwiązuje się równania wykładnicze?
Weźmy proste równanie:
2 x = 2 3
Ten przykład można rozwiązać nawet w głowie. Można zauważyć, że x=3. W końcu, aby lewa i prawa strona były równe, musisz wstawić liczbę 3 zamiast x.
Zobaczmy teraz, jak sformalizować tę decyzję:
2 x = 2 3
x = 3
Aby rozwiązać takie równanie, usunęliśmy identyczne podstawy(czyli dwójki) i spisałem to, co zostało, są to stopnie. Otrzymaliśmy odpowiedź, której szukaliśmy.
Podsumujmy teraz naszą decyzję.
Algorytm rozwiązywania równania wykładniczego:
1. Trzeba sprawdzić ten sam czy równanie ma podstawy po prawej i lewej stronie. Jeśli przyczyny nie są takie same, szukamy opcji rozwiązania tego przykładu.
2. Gdy podstawy staną się takie same, zrównać stopni i rozwiąż powstałe nowe równanie.
Teraz spójrzmy na kilka przykładów:
Zacznijmy od czegoś prostego.
Podstawy po lewej i prawej stronie są równe liczbie 2, co oznacza, że możemy odrzucić podstawę i zrównać ich stopnie.
x+2=4 Otrzymuje się najprostsze równanie.
x=4 – 2
x=2
Odpowiedź: x=2
W poniższym przykładzie widać, że podstawy są różne: 3 i 9.
3 3x - 9 x+8 = 0
Najpierw przesuwamy dziewiątkę w prawą stronę, otrzymujemy:
Teraz musisz zrobić te same podstawy. Wiemy, że 9=3 2. Skorzystajmy ze wzoru na potęgę (a n) m = a nm.
3 3x = (3 2) x+8
Otrzymujemy 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 Teraz jest jasne, że po lewej i prawej stronie podstawy są takie same i równe trzy, co oznacza, że możemy je odrzucić i zrównać stopnie.
3x=2x+16 otrzymujemy najprostsze równanie
3x - 2x=16
x=16
Odpowiedź: x=16.
Spójrzmy na następujący przykład:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
Przede wszystkim patrzymy na podstawy, podstawy dwie i cztery. I potrzebujemy, żeby były takie same. Przekształcamy tę czwórkę za pomocą wzoru (a n) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Używamy również jednego wzoru a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Dodaj do równania:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Daliśmy przykład na tej samej podstawie. Ale przeszkadzają nam inne liczby 10 i 24. Co z nimi zrobić? Jeśli przyjrzysz się uważnie, zobaczysz, że po lewej stronie mamy powtórzone 2 2x, oto odpowiedź - możemy wyjąć 2 2x z nawiasów:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Obliczmy wyrażenie w nawiasach:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Całe równanie dzielimy przez 6:
Wyobraźmy sobie 4=2 2:
2 2x = 2 2 podstawy są takie same, odrzucamy je i przyrównujemy stopnie.
2x = 2 to najprostsze równanie. Podziel to przez 2 i otrzymamy
x = 1
Odpowiedź: x = 1.
Rozwiążmy równanie:
9 x – 12*3 x +27= 0
Przekształćmy:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Otrzymujemy równanie:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Nasze podstawy są takie same, równe trzy. W tym przykładzie widać, że pierwsze trzy mają stopień dwa razy (2x) niż drugie (tylko x). W takim przypadku możesz rozwiązać metoda wymiany. Zastępujemy liczbę najmniejszym stopniem:
Wtedy 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Zastępujemy wszystkie potęgi x w równaniu przez t:
t2 - 12t+27 = 0
Dostajemy równanie kwadratowe. Rozwiązując dyskryminator, otrzymujemy:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3
Wracając do zmiennej X.
Weź t 1:
t 1 = 9 = 3 x
To jest,
3x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Znaleziono jeden korzeń. Szukamy drugiego z t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x2 = 1
Odpowiedź: x 1 = 2; x2 = 1.
Na stronie możesz zadawać interesujące Cię pytania w sekcji POMÓŻ W DECYZJI, na pewno Ci odpowiemy.
Dołącz do grupy
Na etapie przygotowań do testy końcowe Uczniowie szkół średnich muszą udoskonalić swoją wiedzę na temat „Równań wykładniczych”. Doświadczenia ostatnich lat wskazują, że tego typu zadania sprawiają uczniom pewne trudności. Dlatego licealiści, niezależnie od poziomu przygotowania, muszą dokładnie opanować teorię, zapamiętać wzory i zrozumieć zasadę rozwiązywania takich równań. Nauczywszy się radzić sobie z tego typu problemami, absolwenci mogą liczyć na wysokie wyniki przy zdaniu Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki.
Przygotuj się do egzaminu egzaminacyjnego z Shkolkovo!
Przeglądając przestudiowany materiał, wielu uczniów staje przed problemem znalezienia wzorów potrzebnych do rozwiązania równań. Podręcznik szkolny nie zawsze jest pod ręką, a wybranie niezbędnych informacji na dany temat w Internecie zajmuje dużo czasu.
Portal edukacyjny Shkolkovo zaprasza uczniów do korzystania z naszej bazy wiedzy. Wdrażamy zupełnie nową metodę przygotowania do egzaminu końcowego. Studiując na naszej stronie, będziesz w stanie zidentyfikować luki w wiedzy i zwrócić uwagę na te zadania, które sprawiają najwięcej trudności.
Nauczyciele Shkolkovo zebrali, usystematyzowali i przedstawili wszystko, co niezbędne pomyślne Materiał do egzaminu ujednoliconego stanu w najprostszej i najbardziej dostępnej formie.
Podstawowe definicje i wzory przedstawiono w części „Podstawy teoretyczne”.
Aby lepiej zrozumieć materiał, zalecamy przećwiczenie wykonywania zadań. Dokładnie przejrzyj przykłady równań wykładniczych z rozwiązaniami przedstawionymi na tej stronie, aby zrozumieć algorytm obliczeniowy. Następnie przejdź do wykonywania zadań w sekcji „Katalogi”. Możesz zacząć od najłatwiejszych problemów lub przejść od razu do rozwiązywania złożonych równań wykładniczych z kilkoma niewiadomymi lub . Baza ćwiczeń na naszej stronie jest na bieżąco uzupełniana i aktualizowana.
Te przykłady ze wskaźnikami, które sprawiły Ci trudności, możesz dodać do „Ulubionych”. W ten sposób możesz szybko je znaleźć i omówić rozwiązanie ze swoim nauczycielem.
Aby pomyślnie zdać ujednolicony egzamin państwowy, codziennie ucz się na portalu Shkolkovo!
Na tej lekcji przyjrzymy się rozwiązywaniu bardziej złożonych równań wykładniczych i przypomnimy sobie podstawowe zasady teoretyczne dotyczące funkcji wykładniczej.
1. Definicja i własności funkcji wykładniczej, metody rozwiązywania najprostszych równań wykładniczych
Przypomnijmy definicję i podstawowe własności funkcji wykładniczej. Rozwiązanie wszystkich równań wykładniczych i nierówności opiera się na tych właściwościach.
Funkcja wykładnicza jest funkcją postaci , gdzie podstawa jest stopniem, a tutaj x jest zmienną niezależną, argumentem; y jest zmienną zależną, funkcją.
Ryż. 1. Wykres funkcji wykładniczej
Wykres przedstawia wykładniki rosnące i malejące, ilustrując funkcję wykładniczą o podstawie odpowiednio większej niż jeden i mniejszej niż jeden, ale większej niż zero.
Obie krzywe przechodzą przez punkt (0;1)
Własności funkcji wykładniczej:
Domena: ;
Zakres wartości: ;
Funkcja jest monotoniczna, rośnie wraz z, maleje wraz z.
Funkcja monotoniczna przyjmuje każdą ze swoich wartości podając wartość pojedynczego argumentu.
Gdy argument rośnie od minus do plus nieskończoności, funkcja rośnie od zera włącznie do plus nieskończoności. I odwrotnie, gdy argument rośnie od minus do plus nieskończoności, funkcja maleje od nieskończoności do zera, nie włączając.
2. Rozwiązywanie standardowych równań wykładniczych
Przypomnijmy, jak rozwiązać najprostsze równania wykładnicze. Ich rozwiązanie opiera się na monotoniczności funkcji wykładniczej. Prawie wszystkie złożone równania wykładnicze można sprowadzić do takich równań.
Równość wykładników o równych podstawach wynika z właściwości funkcji wykładniczej, a mianowicie z jej monotoniczności.
Metoda rozwiązania:
Wyrównaj podstawy stopni;
Przyrównaj wykładniki.
Przejdźmy do rozważenia bardziej złożonych równań wykładniczych; naszym celem jest zredukowanie każdego z nich do najprostszego.
Pozbądźmy się korzenia po lewej stronie i sprowadźmy stopnie do tej samej podstawy:
Aby sprowadzić złożone równanie wykładnicze do najprostszego, często stosuje się podstawienie zmiennych.
Skorzystajmy z własności potęgi:
Wprowadzamy zamiennik. Niech tak będzie. Przy takim podstawieniu oczywiste jest, że y przyjmuje wartości ściśle dodatnie. Otrzymujemy:
Pomnóż powstałe równanie przez dwa i przenieś wszystkie wyrazy do lewa strona:
Pierwszy pierwiastek nie spełnia zakresu wartości y, więc go odrzucamy. Otrzymujemy:
Zmniejszmy stopnie do tego samego wskaźnika:
Wprowadźmy zamiennik:
Niech tak będzie 
. Przy takim podstawieniu oczywiste jest, że y przyjmuje wartości ściśle dodatnie. Otrzymujemy:
Wiemy jak rozwiązać takie równania kwadratowe, możemy zapisać odpowiedź:
Aby mieć pewność, że pierwiastki zostaną znalezione poprawnie, można sprawdzić za pomocą twierdzenia Viety, czyli znaleźć sumę pierwiastków i ich iloczyn i porównać je z odpowiednimi współczynnikami równania.
Otrzymujemy:
3. Metodyka rozwiązywania jednorodnych równań wykładniczych drugiego stopnia
Przeanalizujmy następujący ważny typ równań wykładniczych:
Równania tego typu nazywane są jednorodnymi drugiego stopnia ze względu na funkcje f i g. Po jego lewej stronie znajduje się trójmian kwadratowy ze względu na f z parametrem g lub trójmian kwadratowy ze względu na g z parametrem f.
Metoda rozwiązania:
Równanie to można rozwiązać jako równanie kwadratowe, ale łatwiej jest to zrobić inaczej. Należy rozważyć dwa przypadki:
W pierwszym przypadku otrzymujemy
W drugim przypadku mamy prawo podzielić przez najwyższy stopień i otrzymać:
Należy wprowadzić zmianę zmiennych, otrzymujemy równanie kwadratowe dla y:
Zauważmy, że funkcje f i g mogą być dowolne, ale nas interesuje przypadek, gdy są to funkcje wykładnicze.
4. Przykłady rozwiązywania równań jednorodnych
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę równania:
Ponieważ funkcje wykładnicze przyjmują wartości ściśle dodatnie, mamy prawo od razu podzielić równanie przez , nie uwzględniając przypadku, gdy:
Otrzymujemy:
Wprowadźmy zamiennik: 
(zgodnie z właściwościami funkcji wykładniczej)
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe:
Pierwiastki wyznaczamy korzystając z twierdzenia Viety:
Pierwszy pierwiastek nie spełnia zakresu wartości y, odrzucamy go, otrzymujemy:
Skorzystajmy z właściwości stopni i sprowadźmy wszystkie stopnie do prostych podstaw:
Łatwo zauważyć funkcje f i g:
Ponieważ funkcje wykładnicze przyjmują wartości ściśle dodatnie, mamy prawo od razu podzielić równanie przez , nie uwzględniając przypadku, gdy .