Zapewniasz interpolację online. Wzór interpolacji pomiędzy dwiema wartościami


Termin ten ma inne znaczenia, patrz Interpolacja. O funkcji patrz: Interpolant.

Interpolacja, interpolacja (złac. międzypolis - « wygładzona, odnowiona, odnowiona; konwertowany") - w matematyce obliczeniowej metoda znajdowania wartości pośrednich wielkości z istniejącego zbioru dyskretnego znane wartości. Terminu „interpolacja” po raz pierwszy użył John Wallis w swoim traktacie „Arytmetyka nieskończonego” (1656).

W analizie funkcjonalnej interpolacja operatorów liniowych jest działem, który traktuje przestrzenie Banacha jako elementy jakiejś kategorii.

Wiele osób zajmujących się obliczeniami naukowymi i inżynieryjnymi często musi operować zestawami wartości uzyskanymi empirycznie lub poprzez losowe pobieranie próbek. Z reguły na podstawie tych zbiorów należy skonstruować funkcję, w którą z dużą dokładnością mogłyby wpaść inne otrzymane wartości. Problem ten nazywa się aproksymacją. Interpolacja to rodzaj przybliżenia, w którym krzywa skonstruowanej funkcji przechodzi dokładnie przez dostępne punkty danych.

Istnieje również zadanie bliskie interpolacji, które polega na aproksymacji funkcji zespolonej przez inną, prostszą funkcję. Jeśli dana funkcja jest zbyt złożona do produktywnych obliczeń, można spróbować obliczyć jej wartość w kilku punktach i na ich podstawie skonstruować, czyli interpolować, prostszą funkcję. Oczywiście użycie uproszczonej funkcji nie da wyników tak dokładnych jak funkcja oryginalna. Jednak w niektórych klasach problemów uzyskany zysk w prostocie i szybkości obliczeń może przeważyć wynikający z tego błąd wyników.

Warto także wspomnieć o zupełnie innym typie interpolacji matematycznej, zwanej interpolacją operatorową. Klasyczne prace dotyczące interpolacji operatorowej obejmują twierdzenie Riesza-Thorina i twierdzenie Marcinkiewicza, które są podstawą wielu innych prac.

Definicje

Rozważmy system nie pokrywających się punktów x ja (\ Displaystyle x_ (i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\ Displaystyle i \ in (0,1, \ kropki, N))) z jakiegoś regionu D ( \displaystyle D) . Niech wartości funkcji f (\ displaystyle f) będą znane tylko w tych punktach:

Y ja = fa (x ja) , ja = 1 , … , N . (\ Displaystyle y_ (i) = f (x_ (i)), \ quad i = 1, \ ldots, N.)

Problem interpolacji polega na znalezieniu takiej funkcji z danej klasy funkcji, że

F (x i) = y ja, ja = 1, …, N. (\ Displaystyle F (x_ (i)) = y_ (i), \ quad i = 1, \ ldots, N.)

  • Nazywa się punkty x ja (\ displaystyle x_ (i)). węzły interpolacyjne, a ich całość wynosi siatka interpolacyjna.
  • Nazywa się pary (x ja, y i) (\ displaystyle (x_ (i), y_ (i))) punkty danych Lub punkty bazowe.
  • Różnica między „sąsiednimi” wartościami Δ x ja = x ja - x ja - 1 (\ displaystyle \ Delta x_ (i) = x_ (i) -x_ (i-1)) - krok siatki interpolacyjnej. Może być zmienna lub stała.
  • Funkcja fa (x) (\ displaystyle F (x)) - funkcja interpolacyjna Lub interpolant.

Przykład

1. Miejmy funkcję tabelaryczną, taką jak opisana poniżej, która dla kilku wartości x (\displaystyle x) określa odpowiednie wartości f (\displaystyle f):

X (\ Displaystyle x) fa (x) (\ Displaystyle f (x))

0
1 0,8415
2 0,9093
3 0,1411
4 −0,7568
5 −0,9589
6 −0,2794

Interpolacja pomaga nam dowiedzieć się, jaką wartość może mieć taka funkcja w innym punkcie niż określone punkty (na przykład kiedy X = 2,5).

Obecnie jest ich wielu na różne sposoby interpolacja. Wybór najodpowiedniejszego algorytmu zależy od odpowiedzi na pytania: jak dokładna jest wybrana metoda, jaki jest koszt jej zastosowania, jak płynna jest funkcja interpolacyjna, ile wymaga punktów danych itp.

2. Znajdź wartość pośrednią (interpolacją liniową).

6000 15.5
6378 ?
8000 19.2

15,5 + (6378 - 6000) 8000 - 6000 ∗ (19,2 - 15,5) 1 = 16,1993 (\ Displaystyle? = 15,5 + (\ Frac ((6378-6000)) (8000-6000)) * (\ Frac ((19,2-) 15,5))(1))=16,1993)

W językach programowania

Przykład interpolacji liniowej dla funkcji y = 3 x + x 2 (\ displaystyle y = 3x + x ^ (2)) . Użytkownik może wprowadzić liczbę od 1 do 10.

Fortran

program interpol liczba całkowita i rzeczywista x, y, xv, yv, yv2 wymiar x(10) wymiar y(10) wywołanie prisv(x, i) wywołanie func(x, y, i) write(*,*) "wprowadź liczbę: " czytaj(*,*) xv if ((xv >= 1).and.(xv xv)) to yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) end if end do end podprogram

C++

int main() ( system("KOLOR 0A"); double ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, status; system("interpolacja echa X1 - X2 "); system("echo Enter liczba: "); cin >> ob; system("echo Na przykład 62, C1 = 60, L1 = 1,31, C2 = 80, L2 = 1,29"); cout > x1; cout > x2; cout > y1; cout > y2 ; p1 = y1 - x1; pi = p2 / p1; stan = x2 + (pi * skolko);

Metody interpolacji

Interpolacja najbliższego sąsiada

Najprostszą metodą interpolacji jest metoda interpolacji najbliższego sąsiada.

Interpolacja wielomianami

W praktyce najczęściej stosuje się interpolację wielomianami. Wynika to przede wszystkim z faktu, że wielomiany są łatwe do obliczenia, ich pochodne łatwe do znalezienia analitycznego, a zbiór wielomianów jest gęsty w przestrzeni funkcji ciągłych (twierdzenie Weierstrassa).

  • Interpolacja liniowa
  • Wzór interpolacyjny Newtona
  • Metoda różnic skończonych
  • IMN-1 i IMN-2
  • Wielomian Lagrange'a (wielomian interpolacyjny)
  • Schemat Aitkena
  • Funkcja splajnu
  • Splajn sześcienny

Interpolacja odwrotna (obliczanie x przy danym y)

  • Wielomian Lagrange'a
  • Interpolacja odwrotna przy użyciu wzoru Newtona
  • Interpolacja odwrotna przy użyciu wzoru Gaussa

Interpolacja funkcji kilku zmiennych

  • Interpolacja dwuliniowa
  • Interpolacja dwusześcienna

Inne metody interpolacji

  • Racjonalna interpolacja
  • Interpolacja trygonometryczna

Powiązane pojęcia

  • Ekstrapolacja - metody znajdowania punktów poza zadanym przedziałem (rozszerzenie krzywej)
  • Aproksymacja - metody konstruowania krzywych przybliżonych

Odwrotna interpolacja

na klasie funkcji z przestrzeni C2, których wykresy przechodzą przez punkty tablicy (xi, yi), i = 0, 1, . . . , M.

Rozwiązanie. Spośród wszystkich funkcji, które przechodzą przez punkty odniesienia (xi, f(xi)) i należą do wspomnianej przestrzeni, jest to sklejana sześcienna S(x), spełniająca warunki brzegowe S00(a) = S00(b) = 0 , co zapewnia ekstremum (minimum) funkcjonał I ( f ).

Często w praktyce pojawia się problem poszukiwania wartości argumentu na podstawie zadanej wartości funkcji. Problem ten rozwiązuje się metodami interpolacji odwrotnej. Jeśli dana funkcja jest monotoniczna, wówczas interpolację odwrotną najłatwiej przeprowadzić, zastępując funkcję argumentem i odwrotnie, a następnie interpolując. Jeśli dana funkcja nie jest monotoniczna, to nie można zastosować tej techniki. Następnie, nie zmieniając roli funkcji i argumentu, zapisujemy tę lub inną formułę interpolacyjną; Korzystając ze znanych wartości argumentu i zakładając, że funkcja jest znana, rozwiązujemy powstałe równanie w odniesieniu do argumentu.

Ocena pozostałego składnika przy zastosowaniu pierwszej techniki będzie taka sama jak przy interpolacji bezpośredniej, jedynie pochodne funkcji bezpośredniej należy zastąpić pochodnymi funkcji odwrotnej. Oszacujmy błąd drugiej metody. Jeśli mamy daną funkcję f(x) i Ln(x) jest wielomianem interpolacji Lagrange'a skonstruowanym dla tej funkcji z węzłów x0, x1, x2, . . . , xn, zatem

fa (x) − Ln (x) = (n + 1)! (x-x0) . . . (x-xn) .

Załóżmy, że musimy znaleźć wartość x¯, dla której f (¯x) = y¯ (podane jest y¯). Rozwiążemy równanie Ln (x) = y¯. Znajdźmy jakąś wartość x¯. Podstawiając do poprzedniego równania otrzymujemy:


Mn+1

fa (x¯) − Ln (x¯) = fa (x¯) − y¯ = fa (x¯) − fa (¯x) =

Stosując wzór Langrange'a otrzymujemy

(x¯ − x¯) f0 (η) =

gdzie η znajduje się pomiędzy x¯ i x¯. Jeśli jest przedziałem zawierającym x¯ i x¯ oraz min

Z ostatniego wyrażenia wynika:

|x¯ − x¯| 6m1(n+1)! |$n(x¯)| .

W tym przypadku zakłada się oczywiście, że dokładnie rozwiązaliśmy równanie Ln(x) = y¯.

Używanie interpolacji do tworzenia tabel

Teoria interpolacji ma zastosowanie przy sporządzaniu tablic funkcji. Otrzymawszy taki problem, matematyk musi rozwiązać szereg pytań przed rozpoczęciem obliczeń. Należy wybrać wzór, według którego zostaną przeprowadzone obliczenia. Formuła ta może się różnić w zależności od witryny. Zwykle wzory na obliczanie wartości funkcji są uciążliwe i dlatego służą do uzyskania pewnych wartości referencyjnych, a następnie poprzez podtabulację tabela jest skondensowana. Wzór podający wartości referencyjne funkcji musi zapewniać wymaganą dokładność tabel, biorąc pod uwagę następującą podtabelę. Jeśli chcesz utworzyć tabele ze stałym krokiem, najpierw musisz określić jego krok.

Wróć Pierwszy Poprzedni Następny Ostatni Przejdź do indeksu


Najczęściej tablice funkcji są kompilowane w taki sposób, aby możliwa była interpolacja liniowa (czyli interpolacja z wykorzystaniem dwóch pierwszych wyrazów wzoru Taylora). W takim przypadku pozostały termin będzie miał postać

R1 (x) = f00 (ξ)h2t(t – 1).

Tutaj ξ należy do przedziału pomiędzy dwiema sąsiednimi wartościami tablicy argumentu, w której znajduje się x, a t mieści się w przedziale od 0 do 1. Iloczyn t(t − 1) przyjmuje największy modulo

wartość w t = 12. Ta wartość wynosi 14. Więc,

Należy pamiętać, że wraz z tym błędem – błędem metody – w praktycznym obliczaniu wartości pośrednich pojawi się także błąd nieusuwalny i błąd zaokrągleń. Jak widzieliśmy wcześniej, błąd krytyczny w interpolacji liniowej będzie równy błędowi wartości funkcji tabelarycznych. Błąd zaokrąglenia będzie zależał od możliwości obliczeniowych i programu obliczeniowego.

Wróć Pierwszy Poprzedni Następny Ostatni Przejdź do indeksu


Indeks tematyczny

różnice rozdzielone drugiego rzędu, 8 pierwszego rzędu, 8

splot, 15

węzły interpolacyjne, 4

Wróć Pierwszy Poprzedni Następny Ostatni Przejdź do indeksu

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Jak wykonać interpolację

Wzór do interpolacji danych tabelarycznych

Używane w drugiej akcji, gdy ilość NHR (Q, t) wynika z warunku jest pośredni pomiędzy 100 t i 300 t.

(Wyjątek: jeśli Q według warunku jest równe 100 lub 300, wówczas interpolacja nie jest potrzebna).

y o- Twoja początkowa ilość NHR z danego stanu, w tonach

(odpowiada literze Q)

y 1 – mniejszy

(z tabel 11-16, zwykle równa się 100).

y 2 – więcej wartość ilości NHR najbliższej Twojej, w tonach

(z tabel 11-16, zwykle wynosi 300).

X 1 y 1 (X 1 położony naprzeciwko y 1 ), km.

X 2 – odpowiednio wartości tabelaryczne głębokości rozkładu chmury zanieczyszczonego powietrza (Gt). y 2 (X 2 położony naprzeciwko y 2 ), km.

X 0 – wymagana wartość G T odpowiedni y o(zgodnie ze wzorem).

Przykład.

NHR – chlor; Q = 120 t;

Typ SVSP (stopień pionowego oporu powietrza) – inwersja.

Znajdować G T- wartość tabelaryczna głębokości rozkładu chmury zanieczyszczonego powietrza.

    Przeglądamy tabele 11-16 i znajdujemy dane pasujące do Twojego stanu (chlor, inwersja).

Tabela 11 jest odpowiednia.

    Wybieranie wartości y 1 , y 2, X 1 , X 2 . Ważny – przyjąć prędkość wiatru 1 m/s, temperaturę 20°C.

    Podstawiamy wybrane wartości do wzoru i znajdujemy X 0 .

Ważny – obliczenie jest prawidłowe, jeżeli X 0 będzie mieć wartość gdzieś pomiędzy X 1 , X 2 .

1.4. Wzór interpolacyjny Lagrange'a

Algorytm zaproponowany przez Lagrange'a do konstruowania interpolacji

funkcji z tablic (1) przewiduje konstrukcję wielomianu interpolacyjnego Ln(x) w postaci

Oczywiście spełnienie warunków (11) dla (10) warunkuje spełnienie warunków (2) ustalenia problemu interpolacji.

Wielomiany li(x) zapisuje się w następujący sposób

Należy zauważyć, że żaden czynnik w mianowniku wzoru (14) nie jest równy zero. Po obliczeniu wartości stałych ci można je wykorzystać do obliczenia wartości funkcji interpolowanej w danych punktach.

Wzór na wielomian interpolacyjny Lagrange'a (11) uwzględniający wzory (13) i (14) można zapisać jako

qi (x - x0)(x - x1) K (x - xi -1)(x - xi +1) K (x - xn)

1.4.1.Organizacja obliczeń ręcznych z wykorzystaniem wzoru Lagrange'a

Bezpośrednie zastosowanie wzoru Lagrange'a prowadzi do dużej liczby podobnych obliczeń. W przypadku małych tabel obliczenia te można wykonać ręcznie lub w oprogramowaniu

W pierwszym etapie rozważymy algorytm obliczeń ręcznych. W przyszłości te same obliczenia należy powtórzyć w środowisku

Microsoft Excel lub OpenOffice.org Calc.

Na ryc. Rysunek 6 przedstawia przykład oryginalnej tabeli funkcji interpolowanej, zdefiniowanej przez cztery węzły.

Ryc.6. Tabela zawierająca dane początkowe dla czterech węzłów funkcji interpolowanej

W trzeciej kolumnie tabeli wpisujemy wartości współczynników qi obliczone za pomocą wzorów (14). Poniżej znajduje się zapis tych wzorów dla n=3.


q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

Kolejnym krokiem w realizacji obliczeń ręcznych jest obliczenie wartości li(x) (j=0,1,2,3), wykonane według wzorów (13).

Napiszmy te formuły dla rozważanej przez nas wersji tabeli z czterema węzłami:

l0(x)=q0(x-x1)·(x-x2)·(x-x3),

l1(x)=q1(x-x0)·(x-x2)·(x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)·(x-x1)·(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)·(x-x1)·(x-x2) .

Obliczmy wartości wielomianów li(xj) (j=0,1,2,3) i zapiszmy je w komórkach tabeli. Wartości funkcji Ycalc(x), zgodnie ze wzorem (11), otrzymamy w wyniku zsumowania wartości li(xj) po wierszu.

Format tabeli, uwzględniający kolumny obliczonych wartości li(xj) i kolumnę wartości Ycalc(x), pokazano na rys. 8.

Ryż. 8. Tabela z wynikami ręcznych obliczeń wykonanych przy użyciu wzorów (16), (17) i (11) dla wszystkich wartości argumentu xi

Po wygenerowaniu tabeli pokazanej na ryc. 8, korzystając ze wzorów (17) i (11) można obliczyć wartość funkcji interpolowanej dla dowolnej wartości argumentu X. Przykładowo dla X=1 obliczamy wartości li(1) (i=0, 1,2,3):

l0(1)= 0,7763; l1(1)= 3,5889; l2(1)=-1,5155;l3(1)= 0,2966.

Sumując wartości li(1) otrzymujemy wartość Yinterp(1)=3,1463.

1.4.2. Implementacja algorytmu interpolacji z wykorzystaniem wzorów Lagrange'a w środowisku programu Microsoft Excel

Implementację algorytmu interpolacji rozpoczynamy, podobnie jak w przypadku obliczeń ręcznych, od napisania wzorów do obliczania współczynników qi. Rysunek 9 przedstawia kolumny tabeli z podanymi wartościami argumentu, funkcją interpolowaną i współczynnikami qi. Po prawej stronie tej tabeli znajdują się wzory zapisane w komórkach kolumny C w celu obliczenia wartości współczynników qi.

ВС2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" ć q0

ВС3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))" ć q1

ВС4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))" ć q2

ВС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))"Æ q3

Ryż. 9 Tabela współczynników qi i wzory obliczeniowe

Po wpisaniu formuły q0 w komórce C2 jest ona rozszerzana przez komórki C3 do C5. Następnie formuły w tych komórkach są dostosowywane zgodnie z (16) do postaci pokazanej na ryc. 9.


Ycalc(xi),

Realizując wzory (17) piszemy wzory na obliczenie wartości li(x) (i=0,1,2,3) w komórkach kolumn D, E, F i G. W komórce D2 w celu obliczenia wartości l0(x0) zapisujemy wzór:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

otrzymujemy wartości l0 (xi) (i=0,1,2,3).

Format łącza $A2 umożliwia rozciągnięcie formuły na kolumny E, F, G w celu utworzenia wzorów obliczeniowych do obliczenia li(x0) (i=1,2,3). Kiedy przeciągasz formułę przez wiersz, indeks kolumny argumentów nie ulega zmianie. Aby obliczyć li(x0) (i=1,2,3) po narysowaniu wzoru l0(x0) należy je skorygować zgodnie ze wzorami (17).

W kolumnie H umieszczamy wzory Excela na sumowanie li(x) według wzoru

(11)algorytm.

Na ryc. Rysunek 10 przedstawia tabelę zaimplementowaną w środowisku programu Microsoft Excel. Znakiem poprawności zapisanych w komórkach tabeli wzorów i wykonanych operacji obliczeniowych jest otrzymana macierz diagonalna li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3), powtarzając wyniki pokazane na ryc. 8 oraz kolumna wartości pokrywających się z wartościami funkcji interpolowanej w węzłach tabeli źródłowej.

Ryż. 10. Tabela wartości li(xj) (j=0,1,2,3) i Ycalc(xj)

Aby obliczyć wartości w niektórych punktach pośrednich, wystarczy

W komórkach kolumny A zaczynając od komórki A6 wprowadź wartości argumentu X, dla którego chcesz wyznaczyć wartości funkcji interpolowanej. Wybierać

w ostatnim (5) wierszu tabeli komórki od l0(xn) do Ycalc(xn) i rozciągnij formuły zapisane w wybranych komórkach do linii zawierającej ostatnią

określona wartość argumentu x.

Na ryc. 11 przedstawiono tabelę, w której wartość funkcji jest obliczana w trzech punktach: x=1, x=2 i x=3. Do tabeli wprowadzono dodatkową kolumnę zawierającą numery wierszy tabeli danych źródłowych.

Ryż. 11. Obliczanie wartości funkcji interpolowanych za pomocą wzorów Lagrange'a

Dla większej przejrzystości w wyświetlaniu wyników interpolacji zbudujemy tabelę zawierającą kolumnę wartości argumentu X uporządkowanych rosnąco, kolumnę wartości początkowych funkcji Y(X) oraz kolumnę

Powiedz mi, jak i jaki zastosować wzór interpolacyjny w rozwiązywaniu problemów z termodynamiki (cieplnictwa)

Iwan Szestakowicz

Najprostsza, ale często niewystarczająco dokładna interpolacja jest interpolacją liniową. Kiedy masz już dwa znane punkty (X1 Y1) i (X2 Y2) i musisz znaleźć wartości Y dnia jakiegoś X, który znajduje się pomiędzy X1 a X2. Wtedy formuła jest prosta.
Y=(U2-U1)*(X-X1)/(X2-X1)+Y1
Swoją drogą, ten wzór działa również dla wartości X spoza przedziału X1..X2, ale to już nazywa się ekstrapolacją i przy znacznej odległości od tego przedziału daje bardzo duży błąd.
Jest wiele innych przekleństw. metody interpolacji - radzę przeczytać podręcznik lub przeszukać Internet.
Możliwa jest również metoda interpolacji graficznej - ręcznie narysuj wykres przez znane punkty i znajdź Y z wykresu dla wymaganego X. ;)

Powieść

Masz dwa znaczenia. I w przybliżeniu zależność (liniowa, kwadratowa, ..)
Wykres tej funkcji przechodzi przez dwa punkty. Potrzebujesz wartości gdzieś pomiędzy. Cóż, wyrażasz to!
Na przykład. W tabeli w temperaturze 22 stopni ciśnienie pary nasyconej wynosi 120 000 Pa, a przy 26 124 000 Pa. Następnie w temperaturze 23 stopni 121000 Pa.

Interpolacja (współrzędne)

Na mapie znajduje się siatka współrzędnych (obrazek).
Znajduje się na nim kilka dobrze znanych punktów odniesienia (n>3), każdy ma dwa wartości x, y- współrzędne w pikselach i współrzędne w metrach.
Konieczne jest znalezienie pośrednich wartości współrzędnych w metrach, znając współrzędne w pikselach.
Interpolacja liniowa nie jest odpowiednia – błąd poza linią jest zbyt duży.
W ten sposób: (Xc to współrzędna w metrach wzdłuż ox, Xp to współrzędna w pikselach wzdłuż ox, Xc3 to pożądana wartość w ox)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

Jak znaleźć ten sam wzór na znalezienie Xc i Yc, biorąc pod uwagę nie dwa (jak tutaj), ale N znanych punktów odniesienia?

Joka paproć nisko

Czy sądząc po zapisanych wzorach, osie układów współrzędnych w pikselach i metrach pokrywają się?
Oznacza to, że Xp -> Xc jest interpolowane niezależnie, a Yp -> Yc jest interpolowane niezależnie. Jeśli nie, to trzeba zastosować interpolację dwuwymiarową Xp,Yp->Xc i Xp,Yp->Yc, co nieco komplikuje zadanie.
Zakłada się ponadto, że współrzędne Xp i Xc są powiązane pewną zależnością.
Jeżeli znany jest charakter zależności (lub zakłada się, że np. Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), to możliwe jest otrzymanie parametrów tej zależności (dla danej zależności a, b, c) za pomocą analizy regresji (metoda najmniejszych kwadratów). W tej metodzie, jeśli określisz pewną zależność Xc(Xp), możesz otrzymać wzór na parametry zależności na danych referencyjnych. Metoda ta pozwala w szczególności znaleźć najlepiej spełniającą zależność liniową ten zestaw dane.
Wada: W tej metodzie współrzędne Xc uzyskane z danych punktów kontrolnych Xp mogą różnić się od podanych. Na przykład przybliżona linia prosta poprowadzona przez punkty eksperymentalne nie przechodzi dokładnie przez te punkty.
Jeżeli wymagana jest dokładna zgodność, a charakter zależności jest nieznany, należy zastosować metody interpolacji. Najprostszym matematycznie jest wielomian interpolacyjny Lagrange'a, który przechodzi dokładnie przez punkty odniesienia. Jednak ze względu na wysoki stopień tego wielomianu przy duża liczba punkty odniesienia i słaba jakość interpolacji, lepiej z niej nie korzystać. Zaletą jest stosunkowo prosta formuła.
Lepiej jest zastosować interpolację spline. Istota tej metody polega na tym, że na każdym odcinku pomiędzy dwoma sąsiednimi punktami badana zależność jest interpolowana wielomianem, a w punktach połączenia obu przedziałów zapisywane są warunki gładkości. Zaletą tej metody jest jakość interpolacji. Wady - prawie niemożliwe do wycofania ogólna formuła, musisz znaleźć współczynniki wielomianu w każdej sekcji algorytmicznie. Kolejną wadą jest trudność uogólniania na interpolację dwuwymiarową.

Zdarza się, że trzeba znaleźć wyniki pośrednie w tablicy znanych wartości. W matematyce nazywa się to interpolacją. W Excelu tę metodę można używać zarówno do danych tabelarycznych, jak i do tworzenia wykresów. Przyjrzyjmy się każdej z tych metod.

Głównym warunkiem, pod którym można zastosować interpolację, jest to, że żądana wartość musi znajdować się wewnątrz tablicy danych, a nie poza jej limitem. Na przykład, jeśli mamy zestaw argumentów 15, 21 i 29, możemy użyć interpolacji, aby znaleźć funkcję dla argumentu 25. Ale nie ma już sposobu na znalezienie odpowiedniej wartości argumentu 30. Na tym polega główna różnica między tą procedurą a ekstrapolacją.

Metoda 1: Interpolacja danych tabelarycznych

Na początek przyjrzyjmy się zastosowaniom interpolacji dla danych znajdujących się w tabeli. Weźmy na przykład tablicę argumentów i odpowiadające im wartości funkcji, których związek można opisać równaniem liniowym. Dane te przedstawiono w poniższej tabeli. Musimy znaleźć odpowiednią funkcję dla argumentu 28 . Najłatwiej to zrobić za pomocą operatora PROGNOZA.


Metoda 2: Interpoluj wykres, korzystając z jego ustawień

Procedurę interpolacji można również zastosować przy konstruowaniu wykresów funkcji. Ma to znaczenie, jeśli tabela, na której opiera się wykres, nie wskazuje odpowiadającej wartości funkcji dla jednego z argumentów, jak na obrazku poniżej.


Jak widać wykres został poprawiony, a luka usunięta za pomocą interpolacji.

Metoda 3: Interpoluj wykres za pomocą funkcji

Wykres można także interpolować za pomocą specjalnej funkcji ND. Zwraca niezdefiniowane wartości w określonej komórce.


Bez biegania możesz to zrobić jeszcze łatwiej Kreator funkcji i po prostu użyj klawiatury, aby wprowadzić wartość do pustej komórki „#nie dotyczy” bez cudzysłowów. Ale to zależy od tego, co jest wygodniejsze dla jakiego użytkownika.

Jak widać, w programie Excel za pomocą tej funkcji można interpolować dane tabelaryczne PROGNOZA i grafika. W tym drugim przypadku można tego dokonać za pomocą ustawień wykresu lub korzystając z funkcji ND powodując błąd „#nie dotyczy”. Wybór metody zależy od opisu problemu, a także osobistych preferencji użytkownika.

Wielu z nas zetknęło się z niezrozumiałymi terminami w różnych naukach. Ale jest bardzo niewiele osób, które nie boją się niezrozumiałych słów, a wręcz przeciwnie, zachęcają je i zmuszają do głębszego zgłębienia przedmiotu, którego się uczą. Dziś porozmawiamy o czymś takim jak interpolacja. Jest to metoda konstruowania wykresów z wykorzystaniem znanych punktów, pozwalająca przy minimalnej ilości informacji o funkcji przewidzieć jej zachowanie na określonych odcinkach krzywej.

Zanim przejdziemy do istoty samej definicji i omówimy ją bardziej szczegółowo, zagłębijmy się nieco w historię.

Historia

Interpolacja jest znana od czasów starożytnych. Zjawisko to jednak zawdzięcza swój rozwój kilku najwybitniejszym matematykom przeszłości: Newtonowi, Leibnizowi i Grzegorzowi. To oni opracowali tę koncepcję, korzystając z bardziej zaawansowanych dostępnych wówczas metod matematycznych. Wcześniej oczywiście stosowano i używano interpolacji w obliczeniach, ale robiono to w całkowicie niedokładny sposób, który wymagał duża ilość danych, aby zbudować model mniej więcej zbliżony do rzeczywistości.

Dziś możemy nawet wybrać, która metoda interpolacji jest bardziej odpowiednia. Wszystko tłumaczone jest na język komputerowy, który z dużą dokładnością potrafi przewidzieć zachowanie funkcji w pewnym obszarze ograniczonym znanymi punktami.

Interpolacja jest pojęciem dość wąskim, dlatego jej historia nie jest aż tak bogata w fakty. W następnej sekcji dowiemy się, czym właściwie jest interpolacja i czym różni się od swojego przeciwieństwa – ekstrapolacji.

Co to jest interpolacja?

Jak już powiedzieliśmy, jest to ogólna nazwa metod pozwalających na zbudowanie wykresu punktowego. W szkole robi się to głównie poprzez sporządzenie tabeli, wskazanie punktów na wykresie i zgrubne narysowanie łączących je linii. Ostatnia akcja dokonuje się na podstawie rozważań o podobieństwie badanej funkcji do innych, których typ wykresów jest nam znany.

Istnieją jednak inne, bardziej złożone i dokładne sposoby wykonania zadania polegającego na wykreśleniu wykresu punkt po punkcie. Zatem interpolacja jest w rzeczywistości „przewidywaniem” zachowania funkcji w określonym obszarze ograniczonym znanymi punktami.

Z tym samym obszarem wiąże się podobna koncepcja – ekstrapolacja. Reprezentuje również przewidywanie wykresu funkcji, ale poza znanymi punktami wykresu. W tej metodzie prognoza dokonywana jest na podstawie zachowania funkcji w znanym przedziale, a następnie funkcja ta jest stosowana do nieznanego przedziału. Ta metoda jest bardzo wygodna dla praktyczne zastosowanie i jest aktywnie wykorzystywany na przykład w ekonomii do przewidywania wzlotów i upadków na rynku oraz przewidywania sytuacji demograficznej w kraju.

Ale odeszliśmy od głównego tematu. W następnej sekcji dowiemy się, na czym polega interpolacja i jakich formuł można użyć do wykonania tej operacji.

Rodzaje interpolacji

Najbardziej prosty widok jest interpolacją przy użyciu metody najbliższego sąsiada. Stosując tę ​​metodę otrzymujemy bardzo przybliżony wykres składający się z prostokątów. Jeśli kiedykolwiek widziałeś wyjaśnienie geometrycznego znaczenia całki na wykresie, zrozumiesz, o jakiej formie graficznej mówimy.

Ponadto istnieją inne metody interpolacji. Najbardziej znane i popularne dotyczą wielomianów. Są dokładniejsze i pozwalają przewidzieć zachowanie funkcji przy dość skromnym zestawie wartości. Pierwszą metodą interpolacji, której się przyjrzymy, jest liniowa interpolacja wielomianowa. To najprostsza metoda w tej kategorii i zapewne każdy z Was stosował ją w szkole. Jego istotą jest konstruowanie linii prostych pomiędzy znanymi punktami. Jak wiadomo, pojedyncza linia prosta przechodzi przez dwa punkty na płaszczyźnie, których równanie można znaleźć na podstawie współrzędnych tych punktów. Po zbudowaniu tych prostych otrzymujemy wykres przerywany, który przynajmniej odzwierciedla przybliżone wartości funkcji i ogólnie pokrywa się z rzeczywistością. W ten sposób przeprowadzana jest interpolacja liniowa.

Zaawansowane typy interpolacji

Jest ciekawszy, ale jednocześnie bardziej trudna droga interpolacja. Został wynaleziony przez francuskiego matematyka Josepha Louisa Lagrange’a. Dlatego też obliczenia interpolacji tą metodą nazwano od niej: interpolacja metodą Lagrange'a. Sztuczka polega na tym, że jeśli metoda opisana w poprzednim akapicie wykorzystuje do obliczeń wyłącznie funkcję liniową, to rozwinięcie metodą Lagrange'a wymaga również użycia wielomianów więcej wysokie stopnie. Jednak znalezienie samych wzorów interpolacyjnych dla różnych funkcji nie jest takie proste. Im więcej punktów jest znanych, tym dokładniejszy jest wzór interpolacji. Ale jest wiele innych metod.

Istnieje bardziej zaawansowana metoda obliczeń, która jest bliższa rzeczywistości. Zastosowany w nim wzór interpolacyjny jest zbiorem wielomianów, z których zastosowanie każdego zależy od przekroju funkcji. Ta metoda nazywa się funkcją spline. Ponadto istnieją również sposoby na wykonanie czegoś takiego, jak interpolacja funkcji dwóch zmiennych. Są tylko dwie metody. Wśród nich są interpolacja dwuliniowa lub podwójna. Metoda ta umożliwia łatwe zbudowanie wykresu wykorzystującego punkty w przestrzeni trójwymiarowej. Nie będziemy dotykać innych metod. Ogólnie rzecz biorąc, interpolacja jest uniwersalną nazwą wszystkich tych metod konstruowania grafów, jednak różnorodność sposobów, w jakie można przeprowadzić tę czynność, zmusza nas do podzielenia ich na grupy w zależności od rodzaju funkcji, która podlega tej akcji. Oznacza to, że interpolacja, której przykład omówiliśmy powyżej, odnosi się do metod bezpośrednich. Istnieje również interpolacja odwrotna, która różni się tym, że pozwala obliczyć nie funkcję bezpośrednią, ale funkcję odwrotną (to znaczy x z y). Nie będziemy rozważać tych ostatnich opcji, ponieważ jest to dość skomplikowane i wymaga dobrej bazy wiedzy matematycznej.

Przejdźmy do być może jednej z najważniejszych sekcji. Dowiadujemy się z niej, jak i gdzie omawiany przez nas zestaw metod ma zastosowanie w życiu.

Aplikacja

Matematyka, jak wiemy, jest królową nauk. Dlatego nawet jeśli na początku nie widzisz sensu niektórych operacji, nie oznacza to, że są one bezużyteczne. Wydaje się na przykład, że interpolacja jest rzeczą bezużyteczną, za pomocą której można budować jedynie wykresy, których teraz mało kto potrzebuje. Jednak w przypadku jakichkolwiek obliczeń w technice, fizyce i wielu innych naukach (na przykład biologii) niezwykle ważne jest przedstawienie w miarę pełnego obrazu zjawiska, przy jednoczesnym posiadaniu określonego zestawu wartości. Same wartości, rozsiane po wykresie, nie zawsze dają jasny obraz zachowania funkcji w określonym obszarze, wartości jej pochodnych i punktów przecięcia z osiami. A to jest bardzo ważne dla wielu dziedzin naszego życia.

Jak przyda się to w życiu?

Odpowiedź na takie pytanie może być bardzo trudna. Ale odpowiedź jest prosta: nie ma mowy. Ta wiedza nie będzie Ci do niczego potrzebna. Ale jeśli zrozumiesz ten materiał i metody wykonywania tych działań, wytrenujesz swoją logikę, która będzie bardzo przydatna w życiu. Najważniejsze nie jest sama wiedza, ale umiejętności, które dana osoba nabywa w trakcie studiów. Nie bez powodu istnieje powiedzenie: „Żyj wiecznie, ucz się wiecznie”.

Powiązane pojęcia

Możesz sam zrozumieć, jak ważny był (i nadal jest) ten obszar matematyki, przyglądając się różnorodności innych pojęć z nim związanych. Mówiliśmy już o ekstrapolacji, ale istnieje również przybliżenie. Być może słyszałeś już to słowo. W każdym razie omówiliśmy również, co to oznacza w tym artykule. Aproksymacja, podobnie jak interpolacja, to pojęcia związane z konstrukcją wykresów funkcji. Różnica między pierwszym a drugim polega na tym, że jest to przybliżona konstrukcja wykresu oparta na podobnych znanych wykresach. Te dwa pojęcia są do siebie bardzo podobne, co czyni studiowanie każdego z nich tym bardziej interesującym.

Wniosek

Matematyka nie jest nauką tak skomplikowaną, jak się wydaje na pierwszy rzut oka. Jest dość interesująca. W tym artykule próbowaliśmy Ci to udowodnić. Przyjrzeliśmy się pojęciom związanym z kreśleniem wykresów, dowiedzieliśmy się, czym jest podwójna interpolacja i przyjrzeliśmy się przykładom, w których jest ona stosowana.

To jest rozdział z książki Billa Jelena.

Wyzwanie: Niektóre problemy projektowe wymagają użycia tabel do obliczenia wartości parametrów. Ponieważ tabele są dyskretne, projektant stosuje interpolację liniową w celu uzyskania pośredniej wartości parametru. W tabeli (rys. 1) uwzględniono wysokość nad poziomem gruntu (parametr kontrolny) oraz prędkość wiatru (parametr obliczony). Na przykład, jeśli chcesz znaleźć prędkość wiatru odpowiadającą wysokości 47 metrów, powinieneś zastosować wzór: 130 + (180 – 130) * 7 / (50 – 40) = 165 m/s.

Pobierz notatkę w formacie lub, przykłady w formacie

A co jeśli istnieją dwa parametry kontrolne? Czy można wykonać obliczenia za pomocą jednego wzoru? W tabeli (rys. 2) przedstawiono wartości ciśnienia wiatru dla różnych wysokości i rozpiętości konstrukcji. Należy obliczyć ciśnienie wiatru na wysokości 25 metrów i rozpiętości 300 metrów.

Rozwiązanie: Problem rozwiązujemy rozszerzając metodę zastosowaną dla przypadku o jeden parametr kontrolny. Wykonaj następujące kroki:

Zacznij od tabeli pokazanej na ryc. 2. Dodaj komórki źródłowe odpowiednio dla wysokości i rozpiętości w J1 i J2 (Rysunek 3).

Ryż. 3. Formuły w komórkach J3:J17 wyjaśniają działanie megaformuły

Dla ułatwienia korzystania ze wzorów należy zdefiniować nazwy (ryc. 4).

Obserwuj działanie formuły sekwencyjnie od komórki J3 do komórki J17.

Użyj odwrotnego podstawienia sekwencyjnego, aby skonstruować megaformułę. Skopiuj tekst formuły z komórki J17 do J19. Zastąp odwołanie do J15 w formule wartością z komórki J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. I tak dalej. Rezultatem jest formuła składająca się z 984 znaków, których w tej formie nie można odczytać. Można to sprawdzić w załączonym pliku Excel. Nie jestem pewien, czy tego rodzaju megaformuła jest przydatna w użyciu.

Podsumowanie: interpolację liniową stosuje się w celu uzyskania pośredniej wartości parametru, jeśli wartości z tabeli są określone tylko dla granic zakresów; Zaproponowano metodę obliczeń wykorzystującą dwa parametry kontrolne.