Wielu z nas zetknęło się z niezrozumiałymi terminami w różnych naukach. Ale jest bardzo niewiele osób, które nie boją się niezrozumiałych słów, a wręcz przeciwnie, zachęcają je i zmuszają do głębszego zgłębienia przedmiotu, którego się uczą. Dziś porozmawiamy o czymś takim jak interpolacja. Jest to metoda konstruowania wykresów z wykorzystaniem znanych punktów, pozwalająca przy minimalnej ilości informacji o funkcji przewidzieć jej zachowanie na określonych odcinkach krzywej.

Zanim przejdziemy do istoty samej definicji i omówimy ją bardziej szczegółowo, zagłębijmy się nieco w historię.

Historia

Interpolacja jest znana od czasów starożytnych. Zjawisko to jednak zawdzięcza swój rozwój kilku najwybitniejszym matematykom przeszłości: Newtonowi, Leibnizowi i Grzegorzowi. To oni opracowali tę koncepcję, korzystając z bardziej zaawansowanych dostępnych wówczas technik matematycznych. Wcześniej oczywiście stosowano i używano interpolacji w obliczeniach, ale robiono to w całkowicie niedokładny sposób, który wymagał duża ilość danych, aby zbudować model mniej więcej zbliżony do rzeczywistości.

Dziś możemy nawet wybrać, która metoda interpolacji jest bardziej odpowiednia. Wszystko tłumaczone jest na język komputerowy, który z dużą dokładnością potrafi przewidzieć zachowanie funkcji w pewnym obszarze ograniczonym znanymi punktami.

Interpolacja jest pojęciem dość wąskim, dlatego jej historia nie jest aż tak bogata w fakty. W następnej sekcji dowiemy się, czym właściwie jest interpolacja i czym różni się od swojego przeciwieństwa – ekstrapolacji.

Co to jest interpolacja?

Jak już powiedzieliśmy, jest to ogólna nazwa metod pozwalających na zbudowanie wykresu punktowego. W szkole robi się to głównie poprzez sporządzenie tabeli, wskazanie punktów na wykresie i zgrubne narysowanie łączących je linii. Ostatnia akcja dokonuje się na podstawie rozważań o podobieństwie badanej funkcji do innych, których typ wykresów jest nam znany.

Istnieją jednak inne, bardziej złożone i dokładne sposoby wykonania zadania polegającego na wykreśleniu wykresu punkt po punkcie. Zatem interpolacja jest w rzeczywistości „przewidywaniem” zachowania funkcji w określonym obszarze ograniczonym znanymi punktami.

Z tym samym obszarem wiąże się podobna koncepcja – ekstrapolacja. Reprezentuje również przewidywanie wykresu funkcji, ale poza znanymi punktami wykresu. W tej metodzie prognoza dokonywana jest na podstawie zachowania funkcji w znanym przedziale, a następnie funkcja ta jest stosowana do nieznanego przedziału. Ta metoda jest bardzo wygodna dla praktyczne zastosowanie i jest aktywnie wykorzystywany na przykład w ekonomii do przewidywania wzlotów i upadków na rynku oraz przewidywania sytuacji demograficznej w kraju.

Ale odeszliśmy od głównego tematu. W następnej sekcji dowiemy się, na czym polega interpolacja i jakich wzorów można użyć do wykonania tej operacji.

Rodzaje interpolacji

Najbardziej prosty widok jest interpolacją przy użyciu metody najbliższego sąsiada. Stosując tę ​​metodę otrzymujemy bardzo przybliżony wykres składający się z prostokątów. Jeśli kiedykolwiek widziałeś wyjaśnienie geometrycznego znaczenia całki na wykresie, zrozumiesz, o jakiej formie graficznej mówimy.

Ponadto istnieją inne metody interpolacji. Najbardziej znane i popularne dotyczą wielomianów. Są dokładniejsze i pozwalają przewidzieć zachowanie funkcji przy dość skromnym zestawie wartości. Pierwszą metodą interpolacji, której się przyjrzymy, jest liniowa interpolacja wielomianowa. To najprostsza metoda w tej kategorii i zapewne każdy z Was stosował ją w szkole. Jego istotą jest konstruowanie linii prostych pomiędzy znanymi punktami. Jak wiadomo, pojedyncza linia prosta przechodzi przez dwa punkty na płaszczyźnie, których równanie można znaleźć na podstawie współrzędnych tych punktów. Po zbudowaniu tych prostych otrzymujemy wykres przerywany, który przynajmniej odzwierciedla przybliżone wartości funkcji i ogólnie pokrywa się z rzeczywistością. W ten sposób przeprowadzana jest interpolacja liniowa.

Zaawansowane typy interpolacji

Jest ciekawszy, ale jednocześnie bardziej trudna droga interpolacja. Został wynaleziony przez francuskiego matematyka Josepha Louisa Lagrange’a. Dlatego też obliczenia interpolacji tą metodą nazwano od niej: interpolacja metodą Lagrange'a. Sztuczka polega na tym, że jeśli metoda opisana w poprzednim akapicie wykorzystuje do obliczeń wyłącznie funkcję liniową, to rozwinięcie metodą Lagrange'a wymaga również użycia wielomianów więcej wysokie stopnie. Jednak znalezienie samych wzorów interpolacyjnych dla różnych funkcji nie jest takie proste. Im więcej punktów jest znanych, tym dokładniejszy jest wzór interpolacji. Ale jest wiele innych metod.

Istnieje bardziej zaawansowana metoda obliczeń, która jest bliższa rzeczywistości. Zastosowany w nim wzór interpolacyjny jest zbiorem wielomianów, z których zastosowanie każdego zależy od przekroju funkcji. Ta metoda nazywa się funkcją spline. Ponadto istnieją również sposoby na wykonanie czegoś takiego, jak interpolacja funkcji dwóch zmiennych. Są tylko dwie metody. Wśród nich są interpolacja dwuliniowa lub podwójna. Metoda ta umożliwia łatwe zbudowanie wykresu wykorzystującego punkty w przestrzeni trójwymiarowej. Nie będziemy dotykać innych metod. Ogólnie rzecz biorąc, interpolacja jest uniwersalną nazwą wszystkich tych metod konstruowania grafów, jednak różnorodność sposobów, w jakie można przeprowadzić tę czynność, zmusza nas do podzielenia ich na grupy w zależności od rodzaju funkcji, która podlega tej akcji. Oznacza to, że interpolacja, której przykład omówiliśmy powyżej, odnosi się do metod bezpośrednich. Istnieje również interpolacja odwrotna, która różni się tym, że pozwala obliczyć nie funkcję bezpośrednią, ale funkcję odwrotną (to znaczy x z y). Nie będziemy rozważać tych drugich opcji, ponieważ jest to dość skomplikowane i wymaga dobrej bazy wiedzy matematycznej.

Przejdźmy do być może jednej z najważniejszych sekcji. Dowiadujemy się z niej, jak i gdzie omawiany przez nas zestaw metod ma zastosowanie w życiu.

Aplikacja

Matematyka, jak wiemy, jest królową nauk. Dlatego nawet jeśli na początku nie widzisz sensu niektórych operacji, nie oznacza to, że są one bezużyteczne. Wydaje się na przykład, że interpolacja jest rzeczą bezużyteczną, za pomocą której można budować jedynie wykresy, których teraz mało kto potrzebuje. Jednak w przypadku jakichkolwiek obliczeń w technice, fizyce i wielu innych naukach (na przykład biologii) niezwykle ważne jest przedstawienie w miarę pełnego obrazu zjawiska, przy jednoczesnym posiadaniu określonego zestawu wartości. Same wartości, rozsiane po wykresie, nie zawsze dają jasny obraz zachowania funkcji w określonym obszarze, wartości jej pochodnych i punktów przecięcia z osiami. A to jest bardzo ważne dla wielu dziedzin naszego życia.

Jak przyda się to w życiu?

Odpowiedź na takie pytanie może być bardzo trudna. Ale odpowiedź jest prosta: nie ma mowy. Ta wiedza nie będzie Ci do niczego potrzebna. Ale jeśli zrozumiesz ten materiał i metody wykonywania tych działań, wytrenujesz swoją logikę, która będzie bardzo przydatna w życiu. Najważniejsze nie jest sama wiedza, ale umiejętności, które dana osoba nabywa w trakcie studiów. Nie bez powodu istnieje powiedzenie: „Żyj wiecznie, ucz się wiecznie”.

Powiązane pojęcia

Możesz sam zrozumieć, jak ważny był (i nadal jest) ten obszar matematyki, przyglądając się różnorodności innych pojęć z nim związanych. Mówiliśmy już o ekstrapolacji, ale istnieje również przybliżenie. Być może słyszałeś już to słowo. W każdym razie omówiliśmy również, co to oznacza w tym artykule. Aproksymacja, podobnie jak interpolacja, to pojęcia związane z konstrukcją wykresów funkcji. Różnica między pierwszym a drugim polega na tym, że jest to przybliżona konstrukcja wykresu oparta na podobnych znanych wykresach. Te dwa pojęcia są do siebie bardzo podobne, co czyni studiowanie każdego z nich tym bardziej interesującym.

Wniosek

Matematyka nie jest nauką tak skomplikowaną, jak się wydaje na pierwszy rzut oka. Jest dość interesująca. W tym artykule próbowaliśmy Ci to udowodnić. Przyjrzeliśmy się pojęciom związanym z kreśleniem, dowiedzieliśmy się, czym jest podwójna interpolacja i przyjrzeliśmy się przykładom, w których jest ona stosowana.

To jest rozdział z książki Billa Jelena.

Wyzwanie: Niektóre problemy projektowe wymagają użycia tabel do obliczenia wartości parametrów. Ponieważ tabele są dyskretne, projektant stosuje interpolację liniową w celu uzyskania pośredniej wartości parametru. W tabeli (rys. 1) uwzględniono wysokość nad poziomem gruntu (parametr kontrolny) oraz prędkość wiatru (parametr obliczony). Na przykład, jeśli chcesz znaleźć prędkość wiatru odpowiadającą wysokości 47 metrów, powinieneś zastosować wzór: 130 + (180 – 130) * 7 / (50 – 40) = 165 m/s.

Pobierz notatkę w formacie lub, przykłady w formacie

A co jeśli istnieją dwa parametry kontrolne? Czy można wykonać obliczenia za pomocą jednego wzoru? W tabeli (rys. 2) przedstawiono wartości ciśnienia wiatru dla różnych wysokości i rozpiętości konstrukcji. Należy obliczyć ciśnienie wiatru na wysokości 25 metrów i rozpiętości 300 metrów.

Rozwiązanie: Problem rozwiązujemy rozszerzając metodę zastosowaną dla przypadku o jeden parametr kontrolny. Wykonaj następujące kroki:

Zacznij od tabeli pokazanej na ryc. 2. Dodaj komórki źródłowe odpowiednio dla wysokości i rozpiętości w J1 i J2 (Rysunek 3).

Ryż. 3. Formuły w komórkach J3:J17 wyjaśniają działanie megaformuły

Dla ułatwienia korzystania ze wzorów należy zdefiniować nazwy (ryc. 4).

Obserwuj działanie formuły, przechodząc sekwencyjnie z komórki J3 do komórki J17.

Użyj odwrotnego podstawienia sekwencyjnego, aby skonstruować megaformułę. Skopiuj tekst formuły z komórki J17 do J19. Zastąp odwołanie do J15 w formule wartością z komórki J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. I tak dalej. Rezultatem jest formuła składająca się z 984 znaków, których w tej formie nie można odczytać. Można to sprawdzić w załączonym pliku Excel. Nie jestem pewien, czy tego rodzaju megaformuła jest przydatna w użyciu.

Podsumowanie: Interpolację liniową stosuje się w celu uzyskania pośredniej wartości parametru, jeśli wartości z tabeli są określone tylko dla granic zakresów; Zaproponowano metodę obliczeń wykorzystującą dwa parametry kontrolne.

Zdarzają się przypadki, gdy konieczne jest poznanie wyników obliczenia funkcji poza znanym obszarem. Zagadnienie to jest szczególnie istotne dla procedury prognostycznej. W programie Excel istnieje kilka sposobów wykonania tej operacji. Przyjrzyjmy się im na konkretnych przykładach.

Metoda 2: Ekstrapolacja dla wykresu

Procedurę ekstrapolacji wykresu można przeprowadzić, wykreślając linię trendu.

1. Przede wszystkim budujemy sam wykres. W tym celu należy za pomocą kursora przytrzymując lewy przycisk myszy zaznaczyć cały obszar tabeli, łącznie z argumentami i odpowiadającymi im wartościami funkcji. Następnie przejście do zakładki "Wstawić", kliknij przycisk "Harmonogram". Ikona ta znajduje się w bloku „Schematy” na pasku narzędzi. Pojawi się lista dostępne opcje wykresy. Według własnego uznania wybieramy najodpowiedniejszy.



2. Po zbudowaniu wykresu usuń z niego dodatkową linię argumentacyjną zaznaczając ją i klikając przycisk Usuwać na klawiaturze komputera.



3. Następnie musimy zmienić podziały skali poziomej, ponieważ nie wyświetla ona wartości argumentów tak, jak potrzebujemy. W tym celu kliknij prawym przyciskiem myszy na diagramie i na wyświetlonej liście wybierz wartość „Wybierz dane”.



4. W otwartym oknie wyboru źródła danych kliknij przycisk "Zmiana" w bloku edycji etykiety osi poziomej.



5. Otworzy się okno umożliwiające ustawienie sygnatury osi. Umieść kursor w polu tego okna, a następnie zaznacz wszystkie dane w kolumnie "X" bez jego nazwy. Następnie kliknij przycisk "OK".



6. Po powrocie do okna wyboru źródła danych powtarzamy tę samą procedurę, czyli klikamy na przycisk "OK".



7. Teraz nasz wykres jest już gotowy i możemy bezpośrednio przystąpić do budowania linii trendu. Kliknij na wykres, po czym na wstążce zostanie aktywowany dodatkowy zestaw zakładek - „Praca z diagramami”. Przejście do zakładki "Układ" i naciśnij przycisk „Linia trendu” w bloku "Analiza". Kliknij element „Przybliżenie liniowe” Lub „Przybliżenie wykładnicze”.



8. Dodano linię trendu, ale znajduje się ona całkowicie poniżej linii samego wykresu, gdyż nie określiliśmy wartości argumentu, do którego ma zmierzać. W tym celu należy ponownie kliknąć przycisk. „Linia trendu”, ale teraz wybierz element „Zaawansowane opcje linii trendu”.



9. Otworzy się okno formatu linii trendu. W sekcji „Opcje linii trendu” jest blok ustawień "Prognoza". Podobnie jak w poprzedniej metodzie, weźmy argument za ekstrapolacją 55 . Jak widać, jak dotąd wykres ma długość aż do argumentu 50 włącznie. Okazuje się, że będziemy musieli go przedłużyć o kolejny 5 jednostki. Na osi poziomej widać, że 5 jednostek równa się jednemu podziałowi. Jest to więc jeden okres. W polu „Naprzód” wprowadź wartość „1”. Kliknij przycisk "Zamknąć" w prawym dolnym rogu okna.



10. Jak widać wykres został przedłużony o podaną długość za pomocą linii trendu.

Przyjrzeliśmy się więc najprostszym przykładom ekstrapolacji tabel i wykresów. W pierwszym przypadku używana jest funkcja PROGNOZA, a w drugim - linia trendu. Jednak na podstawie tych przykładów można rozwiązać znacznie bardziej złożone problemy prognozowania.

Występuje sytuacja w tablicy znane wartości musimy znaleźć wyniki pośrednie. W matematyce nazywa się to interpolacją. W Excelu tę metodę można używać zarówno do danych tabelarycznych, jak i do tworzenia wykresów. Przyjrzyjmy się każdej z tych metod.

Głównym warunkiem, pod którym można zastosować interpolację, jest to, że żądana wartość musi znajdować się wewnątrz tablicy danych, a nie poza jej limitem. Na przykład, jeśli mamy zestaw argumentów 15, 21 i 29, możemy użyć interpolacji, aby znaleźć funkcję dla argumentu 25. Ale nie ma już sposobu na znalezienie odpowiedniej wartości argumentu 30. Na tym polega główna różnica między tą procedurą a ekstrapolacją.

Metoda 1: Interpolacja danych tabelarycznych

Na początek przyjrzyjmy się zastosowaniom interpolacji dla danych znajdujących się w tabeli. Weźmy na przykład tablicę argumentów i odpowiadające im wartości funkcji, których związek można opisać równaniem liniowym. Dane te przedstawiono w poniższej tabeli. Musimy znaleźć odpowiednią funkcję dla argumentu 28 . Najłatwiej to zrobić za pomocą operatora PROGNOZA.

Metoda 2: Interpoluj wykres, korzystając z jego ustawień

Procedurę interpolacji można również zastosować przy konstruowaniu wykresów funkcji. Ma to znaczenie, jeśli tabela, na której opiera się wykres, nie wskazuje odpowiadającej wartości funkcji dla jednego z argumentów, jak na obrazku poniżej.

Jak widać wykres został poprawiony, a luka usunięta za pomocą interpolacji.

Metoda 3: Interpoluj wykres za pomocą funkcji

Wykres można także interpolować za pomocą specjalnej funkcji ND. Zwraca niezdefiniowane wartości w określonej komórce.

Bez biegania możesz to zrobić jeszcze łatwiej Kreator funkcji i po prostu użyj klawiatury, aby wprowadzić wartość do pustej komórki „#nie dotyczy” bez cudzysłowów. Ale to zależy od tego, co jest wygodniejsze dla jakiego użytkownika.

Jak widać, w programie Excel można interpolować dane tabelaryczne za pomocą funkcji PROGNOZA i grafika. W tym drugim przypadku można tego dokonać za pomocą ustawień wykresu lub korzystając z funkcji ND powodując błąd „#nie dotyczy”. Wybór metody zależy od opisu problemu, a także osobistych preferencji użytkownika.

Interpolacja. Wstęp. Ogólne przedstawienie problemu

Przy rozwiązywaniu różnych problemów praktycznych wyniki badań prezentowane są w formie tabel przedstawiających zależność jednej lub większej liczby mierzonych wielkości od jednego parametru definiującego (argumentu). Tego rodzaju tabele są zwykle prezentowane w postaci dwóch lub więcej wierszy (kolumn) i służą do tworzenia modeli matematycznych.

Funkcje określone w modelach matematycznych zapisuje się najczęściej w tablicach w postaci:

Y1(X)	Y(X0)	Y(X1)		Y(Xn)
Ym(X)	Y(X0)	Y(X1)		Y(Xn)

Ograniczone informacje, jakie dostarczają takie tablice, w niektórych przypadkach wymagają uzyskania wartości funkcji Y j (X) (j=1,2,…,m) w punktach X, które nie pokrywają się z punktami węzłowymi tabeli X i (i=0,1,2,…,n) . W takich przypadkach konieczne jest wyznaczenie jakiegoś wyrażenia analitycznego φ j (X), aby obliczyć przybliżone wartości badanej funkcji Y j (X) w dowolnie określonych punktach X. Funkcja φ j (X) służąca do wyznaczenia przybliżonych wartości funkcji Y j (X) nazywana jest funkcją aproksymującą (od łac. przybliżenie – zbliżanie się). Bliskość funkcji aproksymującej φ j (X) do funkcji aproksymowanej Y j (X) zapewnia się poprzez dobór odpowiedniego algorytmu aproksymacyjnego.

Wszelkie dalsze rozważania i wnioski poczynimy dla tablic zawierających dane wyjściowe jednej badanej funkcji (tj. dla tablic z m=1).

1. Metody interpolacji

1.1 Sformułowanie problemu interpolacji

Najczęściej do wyznaczenia funkcji φ(X) stosuje się sformułowanie zwane sformułowaniem problemu interpolacyjnego.

W tym klasycznym sformułowaniu problemu interpolacji wymagane jest wyznaczenie przybliżonej funkcji analitycznej φ(X), której wartości w punktach węzłowych X i dopasować wartości Y(X i) oryginalnej tabeli, tj. warunki

ϕ (X i )= Y ja (i = 0,1,2,...,n)

Tak skonstruowana funkcja aproksymująca φ(X) pozwala uzyskać w miarę bliskie przybliżenie funkcji interpolowanej Y(X) w zakresie wartości argumentu [X 0 ; X n ], określone w tabeli. Podając wartości argumentu X, nie należący w tym przedziale problem interpolacji przekształca się w problem ekstrapolacji. W takich przypadkach dokładność

wartości uzyskane przy obliczaniu wartości funkcji φ(X) zależą od odległości wartości argumentu X od X 0, jeśli X<Х 0 , или отХ n , еслиХ >Xn.

W modelowaniu matematycznym funkcję interpolującą można wykorzystać do obliczenia przybliżonych wartości badanej funkcji w punktach pośrednich podprzedziałów [Х i ; X i+1 ]. Ta procedura nazywa się zagęszczenie stołu.

Algorytm interpolacji wyznacza się metodą obliczania wartości funkcji φ(X). Najprostszą i najbardziej oczywistą opcją realizacji funkcji interpolującej jest zastąpienie badanej funkcji Y(X) na przedziale [X i ; X i+1 ] linią prostą łączącą punkty Y i , Y i+1 . Metoda ta nazywana jest metodą interpolacji liniowej.

1.2 Interpolacja liniowa

Przy interpolacji liniowej wartość funkcji w punkcie X, położonym pomiędzy węzłami X i oraz X i+1, wyznacza się ze wzoru na prostą łączącą dwa sąsiednie punkty tabeli

Y(X) = Y(Xi)+	Y(Xi + 1 )- Y(Xi )	(X − Xi ) (i= 0,1,2, ...,n),
	X ja+ 1− X ja

Na ryc. Na rysunku 1 przedstawiono przykładową tabelę otrzymaną w wyniku pomiarów pewnej wielkości Y(X). Wiersze tabeli źródłowej są podświetlone. Po prawej stronie tabeli znajduje się wykres punktowy odpowiadający tej tabeli. Tabela jest zagęszczana przy użyciu wzoru

(3) wartości funkcji aproksymowanej w punktach X odpowiadające środkom podprzedziałów (i=0, 1, 2, …, n).

Ryc.1. Skrócona tabela funkcji Y(X) i odpowiadający jej diagram

Biorąc pod uwagę wykres na ryc. 1 widać, że punkty uzyskane w wyniku zagęszczenia tabeli metodą interpolacji liniowej leżą na odcinkach łączących punkty pierwotnej tabeli. Dokładność liniowa

interpolacji, w istotny sposób zależy od charakteru funkcji interpolowanej oraz od odległości pomiędzy węzłami tablicy X i, , X i+1.

Oczywiście, jeśli funkcja jest gładka, to nawet przy stosunkowo duża odległość pomiędzy węzłami graf zbudowany z połączenia punktów odcinkami prostymi pozwala w miarę dokładnie ocenić charakter funkcji Y(X). Jeżeli funkcja zmienia się dość szybko, a odległości między węzłami są duże, to funkcja interpolująca liniowa nie pozwala na uzyskanie dostatecznie dokładnego przybliżenia funkcji rzeczywistej.

Funkcję interpolacji liniowej można wykorzystać do ogólnej analizy wstępnej i oceny poprawności wyników interpolacji, które następnie uzyskuje się innymi, bardziej dokładnymi metodami. Ocena ta staje się szczególnie istotna w przypadkach, gdy obliczenia wykonywane są ręcznie.

1.3 Interpolacja wielomianem kanonicznym

Metoda interpolacji funkcji przez wielomian kanoniczny polega na skonstruowaniu funkcji interpolującej jako wielomianu w postaci [1]

ϕ (x) = Pn (x) = c0 + c1 x+ c2 x2 + ... + cn xn

Współczynniki c i wielomianu (4) są parametrami interpolacji swobodnej, które wyznaczane są z warunków Lagrange’a:

Pn (xi )= Yi , (i= 0 , 1 , ... , n)

Korzystając z (4) i (5) piszemy układ równań

	Cx+ dox2				Cxn = Y
	Cx+ dox2				C xn
			Cx2			Cxn = Y

Wektor rozwiązania z i (i = 0, 1, 2, …, n) układu liniowych równań algebraicznych (6) istnieje i można go znaleźć, jeśli wśród i nie ma pasujących węzłów. Wyznacznik układu (6) nazywany jest wyznacznikiem Vandermonde’a1 i ma wyrażenie analityczne [2].

1 Wyznacznik Vandermonde'a zwany wyznacznikiem

Dla niektórych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy xi = xj. (Materiał z Wikipedii - wolnej encyklopedii)

Aby określić wartości współczynników za pomocą i (i = 0, 1, 2, … , n)

równania (5) można zapisać w postaci wektorowo-macierzowej

A* C= Y,

gdzie A, macierz współczynników określona przez tablicę stopni wektora argumentów X = (x i 0, x i, x i 2, …, x in) T (i = 0, 1, 2, …, n)

				x0 2		x0 rz
				xn 2		xn rz

C jest wektorem kolumnowym współczynników i (i = 0, 1, 2, …, n), a Y jest wektorem kolumnowym wartości Y i (i = 0, 1, 2, …, n) interpolowanej funkcję w węzłach interpolacji.

Rozwiązanie tego układu liniowych równań algebraicznych można otrzymać jedną z metod opisanych w [3]. Na przykład według wzoru

C = A-1 Y,

gdzie A -1 jest macierzą odwrotną macierzy A. Aby otrzymać macierz odwrotną A -1, można skorzystać z funkcji MOBR(), która znajduje się w zestawie standardowych funkcji programu Microsoft Excel.

Po ustaleniu wartości współczynników z i za pomocą funkcji (4) można obliczyć wartości funkcji interpolowanej dla dowolnej wartości argumentów.

Napiszmy macierz A dla tabeli pokazanej na ryc. 1, nie biorąc pod uwagę wierszy zagęszczających tabelę.

Rys.2 Macierz układu równań do obliczania współczynników wielomianu kanonicznego

Korzystając z funkcji MOBR() otrzymujemy macierz A -1 odwrotną do macierzy A (rys. 3). Po czym zgodnie ze wzorem (9) otrzymujemy wektor współczynników C = (c 0 , c 1 , c 2 , …, c n ) T pokazany na ryc. 4.

Aby obliczyć wartości wielomianu kanonicznego w komórce kolumny Y kanoniczny, odpowiadające wartościom x 0, wprowadzamy wzór przekształcony do postaci odpowiadającej wierszowi zerowemu układu (6)

=(((((c 5	* x 0 +c 4 )*x 0 +c 3 )*x 0 +c 2 )*x 0 +c 1 )*x 0 +c 0

C0 +x *(c1 + x *(c2 + x*(c3 + x*(c4 + x* c5 ))))

Zamiast wpisywać „c i” we wzorze wprowadzanym do komórki tabeli Excela, powinno znajdować się bezwzględne powiązanie z odpowiednią komórką zawierającą ten współczynnik (patrz rys. 4). Zamiast „x 0” - względne odniesienie do komórki w kolumnie X (patrz rys. 5).

Y canonical(0) wartości odpowiadającej wartości w komórce Ylin(0) . Podczas rozciągania formuły zapisanej w komórce Y kanonicznej (0) wartości kanoniczne Y (i) odpowiadające punktom węzłowym oryginału również muszą się pokrywać

tabele (patrz ryc. 5).

Ryż. 5. Diagramy budowane z wykorzystaniem tablic interpolacji liniowej i kanonicznej

Porównując wykresy funkcji zbudowane z tablic obliczonych za pomocą wzorów interpolacji liniowej i kanonicznej, widzimy w szeregu węzłów pośrednich znaczne odchylenie wartości otrzymanych za pomocą wzorów interpolacji liniowej i kanonicznej. Bardziej rozsądną ocenę dokładności interpolacji można oprzeć na uzyskaniu dodatkowe informacje o naturze modelowanego procesu.