Minus logarytm naturalny. Logarytm naturalny

Logarytm naturalny

Wykres funkcji logarytmu naturalnego. W miarę wzrostu funkcja powoli zbliża się do dodatniej nieskończoności X i szybko zbliża się do ujemnej nieskończoności, gdy X ma tendencję do 0 („wolno” i „szybko” w porównaniu z dowolną funkcją potęgową X).

Logarytm naturalny jest logarytmem podstawy , Gdzie mi- niewymierna stała równa w przybliżeniu 2,718281 828. Logarytm naturalny jest zwykle zapisywany jako ln( X), dziennik mi (X) lub czasami po prostu log( X), jeśli podstawa mi ukryty.

Logarytm naturalny liczby X(napisane jako ln(x)) jest wykładnikiem, do którego należy podnieść liczbę mi dostać X. Na przykład, ln(7389...) równa się 2, ponieważ mi 2 =7,389... . Logarytm naturalny samej liczby mi (ln(e)) jest równe 1, ponieważ mi 1 = mi, a logarytm naturalny wynosi 1 ( ln(1)) jest równe 0, ponieważ mi 0 = 1.

Logarytm naturalny można zdefiniować dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej A jako pole pod krzywą y = 1/X od 1 do A. Prostota tej definicji, zgodna z wieloma innymi wzorami wykorzystującymi logarytm naturalny, doprowadziła do nazwy „naturalny”. Definicję tę można rozszerzyć na liczby zespolone, co zostanie omówione poniżej.

Jeśli uznamy logarytm naturalny za funkcję rzeczywistą zmiennej rzeczywistej, to jest to funkcja odwrotna funkcji wykładniczej, co prowadzi do tożsamości:

Podobnie jak wszystkie logarytmy, logarytm naturalny odwzorowuje mnożenie na dodawanie:

Zatem funkcja logarytmiczna jest izomorfizmem grupy dodatnich liczb rzeczywistych pod względem mnożenia przez grupę liczb rzeczywistych pod względem dodawania, co można przedstawić w postaci funkcji:

Logarytm można zdefiniować dla dowolnej podstawy dodatniej innej niż 1, a nie tylko mi, ale logarytmy dla innych zasad różnią się od logarytmu naturalnego tylko o stały czynnik i są zwykle definiowane w kategoriach logarytmu naturalnego. Logarytmy są przydatne do rozwiązywania równań, których wykładnikami są niewiadome. Na przykład logarytmy służą do znajdowania stałej rozpadu dla znanego okresu półtrwania lub do znajdowania czasu zaniku w rozwiązywaniu problemów radioaktywności. Odgrywają ważną rolę w wielu obszarach matematyki i nauk stosowanych, a w finansach wykorzystywane są do rozwiązywania wielu problemów, w tym do znajdowania odsetek składanych.

Historia

Pierwszą wzmiankę o logarytmie naturalnym poczynił Mikołaj Mercator w swojej pracy Logarytmmotechnika, opublikowany w 1668 r., chociaż nauczyciel matematyki John Spidell opracował tabelę logarytmów naturalnych już w 1619 r. Wcześniej nazywano go logarytmem hiperbolicznym, ponieważ odpowiada on obszarowi pod hiperbolą. Czasami nazywany jest logarytmem Napiera, chociaż pierwotne znaczenie tego terminu było nieco inne.

Konwencje wyznaczania

Logarytm naturalny jest zwykle oznaczany przez „ln( X)”, logarytm o podstawie 10 - poprzez „lg( X)”, a inne przyczyny są zwykle wyraźnie oznaczone symbolem „log”.

W wielu pracach z zakresu matematyki dyskretnej, cybernetyki i informatyki autorzy posługują się zapisem „log( X)” dla logarytmów o podstawie 2, ale konwencja ta nie jest ogólnie przyjęta i wymaga wyjaśnienia albo w wykazie używanych oznaczeń, albo (w przypadku braku takiego wykazu) w przypisie lub komentarzu przy pierwszym użyciu.

Nawiasy wokół argumentu logarytmów (o ile nie prowadzi to do błędnego odczytania wzoru) są zwykle pomijane, a podnosząc logarytm do potęgi, wykładnik przypisuje się bezpośrednio do znaku logarytmu: ln 2 ln 3 4 X 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

System angloamerykański

Matematycy, statystycy i niektórzy inżynierowie zwykle używają terminu „logarytm naturalny” lub „log( X)” lub „ln( X)”, a do oznaczenia logarytmu dziesiętnego - „log 10 ( X)».

Niektórzy inżynierowie, biolodzy i inni specjaliści zawsze piszą „ln( X)” (lub czasami „log e ( X)”), gdy mają na myśli logarytm naturalny, a zapis „log( X)” mają na myśli log 10 ( X).

dziennik mi jest logarytmem „naturalnym”, ponieważ występuje automatycznie i pojawia się bardzo często w matematyce. Rozważmy na przykład problem pochodnej funkcji logarytmicznej:

Jeśli baza B równa się mi, to pochodna wynosi po prostu 1/ X i kiedy X= 1 ta pochodna jest równa 1. Kolejny powód, dla którego podstawa mi Najbardziej naturalną cechą logarytmu jest to, że można go zdefiniować w prosty sposób za pomocą prostej całki lub szeregu Taylora, czego nie można powiedzieć o innych logarytmach.

Dalsze uzasadnienia naturalności nie są związane z notacją. Na przykład istnieje kilka prostych szeregów z logarytmami naturalnymi. Wezwali ich Pietro Mengoli i Nicholas Mercator logarytm naturalny kilka dziesięcioleci, aż Newton i Leibniz opracowali rachunek różniczkowy i całkowy.

Definicja

Formalnie ln( A) można zdefiniować jako pole pod krzywą wykresu 1/ X od 1 do A, tj. jako całka:

Jest to naprawdę logarytm, ponieważ spełnia podstawową właściwość logarytmu:

Można to wykazać zakładając, co następuje:

Wartość liczbowa

Aby obliczyć wartość liczbową logarytmu naturalnego liczby, możesz skorzystać z rozwinięcia szeregu Taylora w postaci:

Aby uzyskać lepszy współczynnik zbieżności, możesz użyć następującej tożsamości:

pod warunkiem że y = (X−1)/(X+1) i X > 0.

Dla ln( X), Gdzie X> 1, im bliżej wartości X do 1, tym szybszy stopień konwergencji. Tożsamości związane z logarytmem można wykorzystać do osiągnięcia celu:

Metody te stosowano jeszcze przed pojawieniem się kalkulatorów, dla których stosowano tablice liczbowe i dokonywano manipulacji podobnych do opisanych powyżej.

Wysoka dokładność

Do obliczania logarytmu naturalnego z dużą liczbą precyzyjnych cyfr szereg Taylora nie jest skuteczny, ponieważ jego zbieżność jest powolna. Alternatywą jest zastosowanie metody Newtona do odwrócenia funkcji wykładniczej, której szereg zbiega się szybciej.

Alternatywą dla bardzo dużej dokładności obliczeń jest wzór:

Gdzie M oznacza średnią arytmetyczno-geometryczną 1 i 4/s, oraz

M tak wybrane P osiągnięto znaki dokładności. (W większości przypadków wystarczająca jest wartość m dla 8). W rzeczywistości, jeśli zostanie zastosowana ta metoda, odwrotność logarytmu naturalnego Newtona może zostać zastosowana do wydajnego obliczenia funkcji wykładniczej. (Stałe ln 2 i pi można wstępnie obliczyć z żądaną dokładnością, korzystając z dowolnego znanego szeregu szybko zbieżnego.)

Złożoność obliczeniowa

Złożoność obliczeniowa logarytmów naturalnych (przy użyciu średniej arytmetyczno-geometrycznej) wynosi O( M(N) ln N). Tutaj N jest liczbą cyfr dokładności, dla których należy obliczyć logarytm naturalny, oraz M(N) to złożoność obliczeniowa mnożenia przez dwa N-cyfrowe liczby.

Ciąg dalszy ułamków

Chociaż nie ma prostych ułamków ciągłych reprezentujących logarytm, można zastosować kilka uogólnionych ułamków ciągłych, w tym:

Złożone logarytmy

Funkcję wykładniczą można rozszerzyć do funkcji, która daje liczbę zespoloną w postaci mi X za dowolne liczba zespolona X, w tym przypadku nieskończony szereg ze złożonym X. Tę funkcję wykładniczą można odwrócić, tworząc logarytm zespolony, który będzie miał większość właściwości logarytmów zwykłych. Są jednak dwie trudności: nie ma X, dla którego mi X= 0 i okazuje się, że mi 2πi = 1 = mi 0. Ponieważ właściwość multiplikatywności jest ważna dla złożonej funkcji wykładniczej, wówczas mi z = mi z+2nπi dla wszystkich złożonych z i całe N.

Logarytmu nie można zdefiniować na całej płaszczyźnie zespolonej, a mimo to jest on wielowartościowy - każdy logarytm zespolony można zastąpić logarytmem „równoważnym”, dodając dowolną liczbę całkowitą wielokrotności 2 πi. Logarytm zespolony może mieć pojedynczą wartość tylko na wycinku płaszczyzny zespolonej. Na przykład ln I = 1/2 πi lub 5/2 πi lub -3/2 πi itp., i chociaż I 4 = 1,4 log I można zdefiniować jako 2 πi lub 10 πi lub -6 πi i tak dalej.

Zobacz także

John Napier – wynalazca logarytmów

Notatki

Matematyka dla chemii fizycznej. - 3. - Academic Press, 2005. - s. 9. - ISBN 0-125-08347-5,Wyciąg ze strony 9
JJO”Connor i EF Robertson Liczba E. Archiwum historii matematyki MacTutor (wrzesień 2001). Zarchiwizowane
Cajori Florian Historia matematyki, wyd. 5. - Księgarnia AMS, 1991. - s. 152. - ISBN 0821821024
Flashman, Martin Szacowanie całek za pomocą wielomianów. Zarchiwizowane od oryginału w dniu 12 lutego 2012 r.

Logarytm liczby dodatniej b o podstawie a (a>0, a nie jest równe 1) to liczba c taka, że a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Należy pamiętać, że logarytm liczby niedodatniej jest niezdefiniowany. Ponadto podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią, która nie jest równa 1. Na przykład, jeśli podniesiemy do kwadratu -2, otrzymamy liczbę 4, ale nie oznacza to, że logarytm o podstawie -2 z 4 jest równe 2.

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

a log za b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Ważne jest, aby zakres definicji prawej i lewej strony tego wzoru był inny. Lewa strona jest zdefiniowana tylko dla b>0, a>0 i a ≠ 1. Prawa strona jest zdefiniowana dla dowolnego b i w ogóle nie zależy od a. Zatem zastosowanie podstawowej „tożsamości” logarytmicznej przy rozwiązywaniu równań i nierówności może prowadzić do zmiany OD.

Dwie oczywiste konsekwencje definicji logarytmu

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Rzeczywiście, podnosząc liczbę a do pierwszej potęgi, otrzymamy tę samą liczbę, a podnosząc ją do potęgi zerowej, otrzymamy jeden.

Logarytm iloczynu i logarytm ilorazu

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b do = log a b - log a do (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Chciałbym przestrzec uczniów przed bezmyślnym stosowaniem tych wzorów przy rozwiązywaniu równania logarytmiczne i nierówności. Używając ich „od lewej do prawej”, ODZ zwęża się, a przy przejściu od sumy lub różnicy logarytmów do logarytmu iloczynu lub ilorazu ODZ rozszerza się.

Rzeczywiście, logarytm wyrażenia a (f (x) g (x)) jest zdefiniowany w dwóch przypadkach: gdy obie funkcje są ściśle dodatnie lub gdy obie f(x) i g(x) są mniejsze od zera.

Przekształcając to wyrażenie na sumę log a f (x) + log a g (x) zmuszeni jesteśmy ograniczyć się tylko do przypadku, gdy f(x)>0 i g(x)>0. Następuje zawężenie obszaru dopuszczalne wartości, a to jest kategorycznie niedopuszczalne, gdyż może prowadzić do utraty rozwiązań. Podobny problem istnieje dla wzoru (6).

Stopień można odjąć od znaku logarytmu

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

I jeszcze raz apeluję o dokładność. Rozważ następujący przykład:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Lewa strona równości jest oczywiście zdefiniowana dla wszystkich wartości f(x) z wyjątkiem zera. Prawa strona jest tylko dla f(x)>0! Wyjmując stopień z logarytmu, ponownie zawężamy ODZ. Procedura odwrotna prowadzi do poszerzenia zakresu wartości dopuszczalnych. Wszystkie te uwagi odnoszą się nie tylko do potęgi 2, ale także do każdej parzystej potęgi.

Formuła przejścia do nowego fundamentu

log a b = log c b log do a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Ten rzadki przypadek, gdy ODZ nie zmienia się podczas transformacji. Jeśli mądrze wybrałeś bazę c (dodatnią i różną od 1), formuła na przejście do nowej bazy jest całkowicie bezpieczna.

Jeśli wybierzemy liczbę b jako nową podstawę c, otrzymamy ważne specjalny przypadek wzory (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Kilka prostych przykładów z logarytmami

Przykład 1. Oblicz: log2 + log50.
Rozwiązanie. log2 + log50 = log100 = 2. Wykorzystaliśmy wzór na sumę logarytmów (5) i definicję logarytmu dziesiętnego.

Przykład 2. Oblicz: lg125/lg5.
Rozwiązanie. log125/log5 = log 5 125 = 3. Użyliśmy wzoru na przejście do nowej bazy (8).

Tabela wzorów związanych z logarytmami

a log za b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log za b do = log a b - log a do (a > 0, a ≠ 1, b > 0, do > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log do a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Całkiem nieźle, prawda? Podczas gdy matematycy szukają słów, aby podać długą i zagmatwaną definicję, przyjrzyjmy się bliżej tej prostej i jasnej.

Liczba e oznacza wzrost

Liczba e oznacza ciągły wzrost. Jak widzieliśmy w poprzednim przykładzie, ex pozwala nam powiązać odsetki i czas: 3 lata przy 100% wzroście to to samo, co 1 rok przy 300%, przy założeniu „procentu składanego”.

Możesz zastąpić dowolne wartości procentowe i czasowe (50% na 4 lata), ale dla wygody lepiej ustawić procent na 100% (okazuje się, że 100% na 2 lata). Przechodząc do 100%, możemy skupić się wyłącznie na komponencie czasowym:

mi x = e procent * czas = e 1,0 * czas = e czas

Oczywiście ex oznacza:

o ile wzrośnie mój wkład po x jednostkach czasu (zakładając 100% ciągłego wzrostu).
np. po 3 odstępach czasowych otrzymam e 3 = 20,08 razy więcej „rzeczy”.

e x to współczynnik skalujący, który pokazuje, do jakiego poziomu dojdziemy w x czasie.

Logarytm naturalny oznacza czas

Logarytm naturalny jest odwrotnością e, fantazyjnym określeniem przeciwieństwa. Mówiąc o dziwactwach; po łacinie nazywa się to logarithmus naturali, stąd skrót ln.

A co oznacza ta inwersja lub przeciwieństwo?

ex pozwala nam zastąpić czas i uzyskać wzrost.
ln(x) pozwala nam wziąć wzrost lub dochód i dowiedzieć się, ile czasu potrzeba na jego wygenerowanie.

Na przykład:

e 3 równa się 20,08. Po trzech okresach będziemy mieli 20,08 razy więcej niż na początku.
ln(08/20) będzie wynosić w przybliżeniu 3. Jeśli interesuje Cię wzrost 20,08 razy, będziesz potrzebować 3 okresów (ponownie, zakładając 100% ciągłego wzrostu).

Nadal czytasz? Logarytm naturalny pokazuje czas potrzebny do osiągnięcia pożądanego poziomu.

To niestandardowe liczenie logarytmiczne

Czy przeszedłeś przez logarytmy - to dziwne stworzenia. Jak udało im się zamienić mnożenie w dodawanie? A co z dzieleniem przez odejmowanie? Zobaczmy.

Ile wynosi ln(1)? Intuicyjnie pojawia się pytanie: jak długo powinienem czekać, aby otrzymać 1x więcej niż mam?

Zero. Zero. Zupełnie nie. Już raz to masz. Przejście z poziomu 1 na poziom 1 nie zajmuje dużo czasu.

ln(1) = 0

OK, a co z wartością ułamkową? Po jakim czasie zostanie nam 1/2 dostępnej ilości? Wiemy, że przy 100% ciągłym wzroście ln(2) oznacza czas potrzebny na podwojenie. Jeśli my cofnijmy czas(tj. poczekaj ujemną ilość czasu), wtedy otrzymamy połowę tego, co mamy.

ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logiczne, prawda? Jeśli cofniemy się (w czasie) do 0,693 sekundy, znajdziemy połowę dostępnej kwoty. Ogólnie rzecz biorąc, możesz odwrócić ułamek i przyjąć wartość ujemną: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Oznacza to, że jeśli cofniemy się w czasie do 1,09 razy, znajdziemy tylko jedną trzecią aktualnej liczby.

OK, a co z logarytmem liczby ujemnej? Ile czasu zajmuje „wyhodowanie” kolonii bakterii od 1 do -3?

To niemożliwe! Nie można uzyskać ujemnej liczby bakterii, prawda? Możesz uzyskać maksymalnie (hm… minimum) zero, ale w żaden sposób nie możesz uzyskać liczby ujemnej z tych małych stworzeń. Ujemna liczba bakterii po prostu nie ma sensu.

ln(liczba ujemna) = niezdefiniowana

„Niezdefiniowany” oznacza, że nie ma czasu, który musiałby czekać, aby uzyskać wartość ujemną.

Mnożenie logarytmiczne jest po prostu zabawne

Ile czasu zajmie czterokrotny wzrost? Oczywiście możesz po prostu wziąć ln(4). Ale to jest zbyt proste, pójdziemy w drugą stronę.

Możesz myśleć o poczwórnym wzroście jako o podwojeniu (wymagającym ln(2) jednostek czasu), a następnie ponownym podwojeniu (wymagającym kolejnych ln(2) jednostek czasu):

Czas na wzrost 4 razy = ln(4) = czas na podwojenie, a następnie ponowne podwojenie = ln(2) + ln(2)

Ciekawy. Każdą stopę wzrostu, powiedzmy 20, można uznać za podwojenie zaraz po 10-krotnym wzroście. Lub wzrost 4-krotny, a następnie 5-krotny. Lub potrojenie, a następnie zwiększenie o 6,666 razy. Widzisz wzór?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Logarytm A razy B to log(A) + log(B). Zależność ta od razu nabiera sensu, jeśli spojrzeć na nią w kategoriach wzrostu.

Jeśli interesuje Cię 30-krotny wzrost, możesz poczekać ln(30) na jednym posiedzeniu lub poczekać ln(3) na potrojenie, a następnie kolejne ln(10) na 10x. Wynik końcowy jest taki sam, więc oczywiście czas musi pozostać stały (i tak się dzieje).

A co z podziałem? W szczególności ln(5/3) oznacza: ile czasu zajmie wzrost 5 razy, a następnie uzyskanie 1/3 tego?

Świetnie, wzrost 5-krotny wynosi ln(5). Zwiększenie o 1/3 zajmie -ln(3) jednostek czasu. Więc,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Oznacza to: pozwól mu urosnąć 5 razy, a następnie „cofnij się w czasie” do momentu, w którym pozostanie już tylko jedna trzecia tej kwoty, czyli uzyskasz wzrost 5/3. Ogólnie rzecz biorąc, okazuje się

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Mam nadzieję, że dziwna arytmetyka logarytmów zaczyna mieć dla ciebie sens: mnożenie tempa wzrostu oznacza dodawanie jednostek czasu wzrostu, a dzielenie oznacza odejmowanie jednostek czasu. Nie musisz zapamiętywać zasad, spróbuj je zrozumieć.

Korzystanie z logarytmu naturalnego dla dowolnego wzrostu

Cóż, oczywiście” – mówisz – „wszystko jest w porządku, jeśli wzrost wynosi 100%, ale co z tymi 5%, które dostaję?”

Bez problemu. „Czas”, który obliczamy za pomocą ln(), jest w rzeczywistości kombinacją stopy procentowej i czasu, tym samym X z równania ex. Postanowiliśmy dla uproszczenia ustawić wartość procentową na 100%, ale możemy dowolnie używać dowolnych liczb.

Powiedzmy, że chcemy osiągnąć 30-krotny wzrost: weź ln(30) i uzyskaj 3,4. Oznacza to:

mi x = wzrost
mi 3,4 = 30

Oczywiście to równanie oznacza, że „100% zwrotu w ciągu 3,4 roku daje 30-krotny wzrost”. Równanie to możemy zapisać w następujący sposób:

e x = e stawka*czas
e 100% * 3,4 roku = 30

Możemy zmienić wartości „zakład” i „czas”, o ile kurs * czas pozostaje 3,4. Na przykład, jeśli interesuje nas 30-krotny wzrost, jak długo będziemy musieli czekać przy stopie procentowej wynoszącej 5%?

ln(30) = 3,4
stawka * czas = 3,4
0,05 * czas = 3,4
czas = 3,4 / 0,05 = 68 lat

Rozumuję w ten sposób: „ln(30) = 3,4, więc przy 100% wzroście zajmie to 3,4 roku. Jeśli podwoję tempo wzrostu, wymagany czas zmniejszy się o połowę”.

100% przez 3,4 roku = 1,0 * 3,4 = 3,4
200% w ciągu 1,7 roku = 2,0 * 1,7 = 3,4
50% przez 6,8 roku = 0,5 * 6,8 = 3,4
5% powyżej 68 lat = 0,05 * 68 = 3,4.

Świetnie, prawda? Logarytm naturalny można stosować przy dowolnej stopie procentowej i czasie, ponieważ ich iloczyn pozostaje stały. Możesz przenosić wartości zmiennych tak bardzo, jak chcesz.

Fajny przykład: Reguła siedemdziesięciu dwóch

Reguła siedemdziesięciu dwóch to technika matematyczna, która pozwala oszacować, ile czasu zajmie podwojenie Twoich pieniędzy. Teraz go wydedukujemy (tak!), a ponadto spróbujemy zrozumieć jego istotę.

Ile czasu zajmie podwojenie pieniędzy przy oprocentowaniu 100% kapitalizowanym rocznie?

Ups. Użyliśmy logarytmu naturalnego w przypadku ciągłego wzrostu, a teraz mówisz o składaniu rocznym? Czy w takim przypadku ta formuła nie byłaby nieodpowiednia? Tak, ale w przypadku realnych stóp procentowych, takich jak 5%, 6%, a nawet 15%, różnica między roczną kapitalizacją a ciągłym wzrostem będzie niewielka. Zatem przybliżone oszacowanie działa, hm, z grubsza, więc będziemy udawać, że mamy całkowicie ciągły przyrost.

Teraz pytanie jest proste: jak szybko możesz podwoić swoją działalność przy 100% wzroście? ln(2) = 0,693. Podwojenie naszej kwoty przy ciągłym wzroście o 100% zajmuje 0,693 jednostki czasu (w naszym przypadku lat).

A co, jeśli stopa procentowa nie wynosi 100%, ale powiedzmy 5% lub 10%?

Łatwo! Ponieważ zakład * czas = 0,693, podwoimy kwotę:

stawka * czas = 0,693
czas = 0,693 / zakład

Okazuje się, że jeśli wzrost wyniesie 10%, podwojenie zajmie 0,693 / 0,10 = 6,93 roku.

Aby uprościć obliczenia, pomnóżmy obie strony przez 100 i wtedy będziemy mogli powiedzieć „10” zamiast „0,10”:

czas do podwojenia = 69,3 / zakład, gdzie zakład jest wyrażony w procentach.

Teraz nadszedł czas na podwojenie w tempie 5%, 69,3 / 5 = 13,86 lat. Jednak 69,3 nie jest najwygodniejszą dywidendą. Wybierzmy bliską liczbę 72, którą wygodnie jest podzielić przez 2, 3, 4, 6, 8 i inne liczby.

czas na podwojenie = 72 / zakład

co jest zasadą siedemdziesięciu dwóch. Wszystko jest zakryte.

Jeśli chcesz znaleźć czas na potrojenie, możesz użyć ln(3) ~ 109,8 i uzyskać

czas na potrojenie = 110 / zakład

To kolejna przydatna zasada. „Zasada 72” ma zastosowanie do wzrostu stóp procentowych, wzrostu populacji, kultur bakteryjnych i wszystkiego, co rośnie wykładniczo.

Co dalej?

Mam nadzieję, że logarytm naturalny ma teraz dla ciebie sens – pokazuje, ile czasu potrzeba, aby dowolna liczba wzrosła wykładniczo. Myślę, że nazywa się to naturalnym, ponieważ e jest uniwersalną miarą wzrostu, więc można wziąć pod uwagę ln w sposób uniwersalny określenie czasu potrzebnego do wzrostu.

Za każdym razem, gdy zobaczysz ln(x), pamiętaj „czas potrzebny na wzrost X razy”. W nadchodzącym artykule opiszę e i ln w połączeniu, aby świeży zapach matematyki wypełnił powietrze.

Dodatek: Logarytm naturalny e

Szybki quiz: co to jest ln(e)?

robot matematyczny powie: skoro są one zdefiniowane jako wzajemne odwrotności, oczywiste jest, że ln(e) = 1.
rozumiejąca osoba: ln(e) to liczba czasu potrzebna do wzrostu „e” razy (około 2,718). Jednak sama liczba e jest miarą wzrostu o współczynnik 1, więc ln(e) = 1.

Myśl jasno.

9 września 2013 r

Lekcja i prezentacja na tematy: „Logarity naturalne. Podstawa logarytmu naturalnego. Logarytm liczby naturalnej”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń! Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Pomoce edukacyjne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 11
Podręcznik interaktywny dla klas 9–11 „Trygonometria”
Podręcznik interaktywny dla klas 10–11 „Logarity”

Co to jest logarytm naturalny

Kochani, na ostatniej lekcji poznaliśmy nowy, specjalny numer - tj. Dzisiaj będziemy kontynuować pracę z tym numerem.
Studiowaliśmy logarytmy i wiemy, że podstawą logarytmu może być wiele liczb większych niż 0. Dzisiaj przyjrzymy się również logarytmowi, którego podstawą jest liczba e. Ten logarytm jest zwykle nazywany logarytm naturalny. On ma własne nagranie: $\ln(n)$ - logarytm naturalny. Ten wpis jest odpowiednikiem wpisu: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Funkcje wykładnicze i logarytmiczne są odwrotnościami, wówczas logarytm naturalny jest odwrotnością funkcji: $y=e^x$.
Funkcje odwrotne są symetryczne względem prostej $y=x$.
Wykreślmy logarytm naturalny, wykreślając funkcję wykładniczą względem prostej $y=x$.

Warto zauważyć, że kąt nachylenia stycznej do wykresu funkcji $y=e^x$ w punkcie (0;1) wynosi 45°. Wtedy kąt nachylenia stycznej do wykresu logarytmu naturalnego w punkcie (1;0) również będzie równy 45°. Obie te styczne będą równoległe do prostej $y=x$. Narysujmy styczne:

Własności funkcji $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Nie jest ani parzysty, ani nieparzysty.
3. Przyrosty w całym zakresie definicji.
4. Nieograniczony z góry, nieograniczony z dołu.
5. Największa wartość NIE, najniższa wartość NIE.
6. Ciągłe.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Wypukły ku górze.
9. Różniczkowo wszędzie.

Udowodniono to w trakcie matematyki wyższej pochodna funkcji odwrotnej jest odwrotnością pochodnej danej funkcji.
Nie ma sensu zagłębiać się w dowód, napiszmy po prostu wzór: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Przykład.
Oblicz wartość pochodnej funkcji: $y=\ln(2x-7)$ w punkcie $x=4$.
Rozwiązanie.
W widok ogólny naszą funkcję reprezentuje funkcja $y=f(kx+m)$, możemy obliczyć pochodne takich funkcji.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Obliczmy wartość pochodnej w wymaganym punkcie: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Odpowiedź: 2.

Przykład.
Narysuj styczną do wykresu funkcji $y=ln(x)$ w punkcie $х=е$.
Rozwiązanie.
Dobrze pamiętamy równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie $x=a$.
$y=f(a)+f”(a)(x-a)$.
Kolejno obliczamy wymagane wartości.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Równanie styczne w punkcie $x=e$ jest funkcją $y=\frac(x)(e)$.
Narysujmy logarytm naturalny i linię styczną.

Przykład.
Zbadaj funkcję pod kątem monotoniczności i ekstremów: $y=x^6-6*ln(x)$.
Rozwiązanie.
Dziedzina definicji funkcji $D(y)=(0;+∞)$.
Znajdźmy pochodną danej funkcji:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Pochodna istnieje dla każdego x z dziedziny definicji, wówczas nie ma punktów krytycznych. Znajdźmy punkty stacjonarne:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
6 USD* x ^ 6-6 = 0 USD.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Punkt $х=-1$ nie należy do dziedziny definicji. Wtedy mamy jeden punkt stacjonarny $x=1$. Znajdźmy przedziały zwiększania i zmniejszania:

Punkt $x=1$ jest punktem minimalnym, wówczas $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Odpowiedź: Funkcja maleje na odcinku (0;1], funkcja rośnie na półprostej $)