Równania logarytmiczne! Rozwiązywanie równań logarytmicznych. Jak rozwiązać, z przykładami

Logarytmy, jak każdą liczbę, można dodawać, odejmować i przekształcać na różne sposoby. Ale ponieważ logarytmy nie są dokładnie zwykłymi liczbami, istnieją tutaj zasady, które są nazywane główne właściwości.

Zdecydowanie musisz znać te zasady - bez nich nie da się rozwiązać ani jednego poważnego problemu logarytmicznego. W dodatku jest ich bardzo mało – wszystkiego można się nauczyć w jeden dzień. Zacznijmy więc.

Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Rozważmy dwa logarytmy o tych samych podstawach: log A X i zaloguj się A y. Następnie można je dodawać i odejmować oraz:

dziennik A X+ log A y= log A (X · y);
dziennik A X− log A y= log A (X : y).

Zatem suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu, a różnica jest równa logarytmowi ilorazu. Uwaga: kluczowy punkt Tutaj - identyczne podstawy. Jeśli przyczyny są inne, zasady te nie działają!

Te formuły pomogą ci obliczyć wyrażenie logarytmiczne, nawet jeśli nie uwzględnisz jego poszczególnych części (patrz lekcja „Co to jest logarytm”). Spójrz na przykłady i zobacz:

Dziennik 6 4 + dziennik 6 9.

Ponieważ logarytmy mają tę samą podstawę, stosujemy wzór na sumę:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 2 48 − log 2 3.

Podstawy są takie same, używamy wzoru na różnicę:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 3 135 − log 3 5.

Ponownie podstawy są takie same, więc mamy:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Jak widać, oryginalne wyrażenia składają się ze „złych” logarytmów, których nie oblicza się osobno. Ale po przekształceniach otrzymuje się liczby całkowicie normalne. Wiele z nich opiera się na tym fakcie testy. Tak, wyrażenia przypominające test są oferowane z całą powagą (czasami praktycznie bez zmian) w ramach ujednoliconego egzaminu państwowego.

Wyodrębnianie wykładnika z logarytmu

Teraz trochę skomplikujmy zadanie. A co jeśli podstawą lub argumentem logarytmu jest potęga? Następnie wykładnik tego stopnia można odjąć od znaku logarytmu według następujących zasad:

Łatwo zauważyć, że ostatnia reguła wynika z dwóch pierwszych. Ale i tak lepiej o tym pamiętać - w niektórych przypadkach znacznie zmniejszy to ilość obliczeń.

Oczywiście wszystkie te zasady mają sens, jeśli przestrzega się ODZ logarytmu: A > 0, A ≠ 1, X> 0. I jeszcze jedno: naucz się stosować wszystkie formuły nie tylko od lewej do prawej, ale także odwrotnie, tj. Liczby przed znakiem logarytmu można wprowadzić do samego logarytmu. To jest to, czego najczęściej potrzeba.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 7 49 6 .

Pozbądźmy się stopnia w argumencie, korzystając z pierwszej formuły:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:
[Podpis do zdjęcia]

Zauważ, że w mianowniku znajduje się logarytm, którego podstawą i argumentem są dokładne potęgi: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Mamy:

[Podpis do zdjęcia]

Myślę, że ostatni przykład wymaga pewnego wyjaśnienia. Gdzie się podziały logarytmy? Do ostatniej chwili pracujemy tylko z mianownikiem. Przedstawiliśmy podstawę i argument stojącego tam logarytmu w postaci potęg i wyciągnęliśmy wykładniki - otrzymaliśmy ułamek „trzypiętrowy”.

Teraz spójrzmy na ułamek główny. Licznik i mianownik zawierają tę samą liczbę: log 2 7. Ponieważ log 2 7 ≠ 0, możemy ułamek skrócić - w mianowniku pozostanie 2/4. Zgodnie z zasadami arytmetyki czwórkę można przenieść do licznika, co też uczyniono. W rezultacie otrzymaliśmy odpowiedź: 2.

Przejście na nowy fundament

Mówiąc o zasadach dodawania i odejmowania logarytmów, szczególnie podkreśliłem, że działają one tylko na tych samych podstawach. A co jeśli przyczyny są inne? A co jeśli nie są to dokładne potęgi tej samej liczby?

Na ratunek przychodzą formuły przejścia na nowy fundament. Sformułujmy je w formie twierdzenia:

Niech zostanie podany logarytm A X. Następnie dla dowolnej liczby C takie, że C> 0 i C≠ 1, prawdziwa jest równość:
[Podpis do zdjęcia]
W szczególności, jeśli umieścimy C = X, otrzymujemy:
[Podpis do zdjęcia]

Z drugiego wzoru wynika, że podstawę i argument logarytmu można zamienić, ale w tym przypadku całe wyrażenie zostaje „odwrócone”, tj. logarytm pojawia się w mianowniku.

Formuły te rzadko występują w zwykłych wyrażeniach liczbowych. Można ocenić, jak wygodne są one tylko przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych i nierówności.

Istnieją jednak problemy, których w ogóle nie da się rozwiązać, chyba że przeprowadzka na nowy fundament. Przyjrzyjmy się kilku z nich:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 5 16 log 2 25.

Należy zauważyć, że argumenty obu logarytmów zawierają dokładne potęgi. Wyjmijmy wskaźniki: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Teraz „odwróćmy” drugi logarytm:

[Podpis do zdjęcia]

Ponieważ iloczyn nie zmienia się przy przestawianiu czynników, spokojnie pomnożyliśmy cztery przez dwa, a potem zajęliśmy się logarytmami.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 9 100 lg 3.

Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są potęgi dokładne. Zapiszmy to i pozbądźmy się wskaźników:

[Podpis do zdjęcia]

Teraz pozbądźmy się logarytmu dziesiętnego, przechodząc do nowej podstawy:

[Podpis do zdjęcia]

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Często w procesie rozwiązywania konieczne jest przedstawienie liczby jako logarytm o danej podstawie. W takim przypadku pomocne będą nam następujące formuły:

W pierwszym przypadku liczba N staje się wyznacznikiem stopnia stojącego w argumentacji. Numer N może być absolutnie dowolna, ponieważ jest to tylko wartość logarytmiczna.

Druga formuła jest właściwie sparafrazowaną definicją. Tak to się nazywa: podstawowa tożsamość logarytmiczna.

W rzeczywistości, co się stanie, jeśli numer B podnieść do takiej potęgi, że liczba B do tej potęgi daje liczbę A? Zgadza się: otrzymujesz ten sam numer A. Przeczytaj uważnie ten akapit jeszcze raz – wiele osób utknie na nim.

Podobnie jak wzory na przejście do nowej bazy, podstawowa tożsamość logarytmiczna jest czasami jedynym możliwym rozwiązaniem.

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:
[Podpis do zdjęcia]

Zauważ, że log 25 64 = log 5 8 - po prostu wziąłem kwadrat z podstawy i argumentu logarytmu. Rozważając zasady mnożenia potęg przez ta sama podstawa, otrzymujemy:

[Podpis do zdjęcia]

Jeśli ktoś nie wie, to było prawdziwe zadanie z Egzaminu Państwowego Unified :)

Jednostka logarytmiczna i zero logarytmiczne

Podsumowując, podam dwie tożsamości, które trudno nazwać właściwościami - są one raczej konsekwencjami definicji logarytmu. Ciągle pojawiają się w problemach i, co zaskakujące, stwarzają problemy nawet dla „zaawansowanych” uczniów.

dziennik A A= 1 jest jednostką logarytmiczną. Zapamiętaj raz na zawsze: logarytm do dowolnej podstawy A od tej podstawy jest równa jeden.
dziennik A 1 = 0 to zero logarytmiczne. Opierać A może być dowolna, ale jeśli argument zawiera jeden, logarytm jest równy zeru! Ponieważ A 0 = 1 jest bezpośrednią konsekwencją definicji.

To wszystkie właściwości. Pamiętaj, aby przećwiczyć ich wdrażanie! Pobierz ściągawkę znajdującą się na początku lekcji, wydrukuj ją i rozwiąż zadania.

Algebra 11. klasa

Temat: „Metody rozwiązywania równań logarytmicznych”

Cele lekcji:

edukacyjne: kształtowanie wiedzy nt na różne sposoby rozwiązywanie równań logarytmicznych, umiejętność ich zastosowania w każdym z nich konkretna sytuacja i wybierz dowolną metodę rozwiązania;

rozwijanie: rozwijanie umiejętności obserwacji, porównywania, stosowania wiedzy w nowej sytuacji, identyfikowania wzorców, generalizowania; rozwijanie umiejętności wzajemnej kontroli i samokontroli;

edukacyjne: kształtowanie odpowiedzialnego podejścia do pracy edukacyjnej, uważnego postrzegania materiału na lekcji i uważnego robienia notatek.

Typ lekcji: lekcja wprowadzenia nowego materiału.

„Wynalezienie logarytmów, ograniczając pracę astronoma, przedłużyło jego życie”.
Francuski matematyk i astronom P.S. Laplace'a

Postęp lekcji

I. Ustalenie celu lekcji

Przestudiowana definicja logarytmu, właściwości logarytmów i funkcja logarytmiczna pozwolą nam rozwiązywać równania logarytmiczne. Wszystkie równania logarytmiczne, niezależnie od tego, jak bardzo są złożone, rozwiązuje się za pomocą jednolitych algorytmów. Przyjrzymy się tym algorytmom na dzisiejszej lekcji. Nie ma ich wielu. Jeśli je opanujesz, każde równanie z logarytmami będzie wykonalne dla każdego z was.

Zapisz w zeszycie temat lekcji: „Metody rozwiązywania równań logarytmicznych”. Zapraszam wszystkich do współpracy.

II. Aktualizacja wiedzy referencyjnej

Przygotujmy się do przestudiowania tematu lekcji. Rozwiązujesz każde zadanie i zapisujesz odpowiedź, nie musisz wpisywać warunku; Pracujcie w parach.

1) Dla jakich wartości x funkcja ma sens:

(Odpowiedzi są sprawdzane dla każdego slajdu, a błędy są sortowane)

2) Czy wykresy funkcji pokrywają się?

3) Zapisz równości jako równości logarytmiczne:

4) Zapisz liczby jako logarytmy o podstawie 2:

5) Oblicz:

6) Spróbuj przywrócić lub uzupełnić brakujące elementy w tych równościach.

III. Wprowadzenie do nowego materiału

Na ekranie wyświetli się następujący komunikat:

„Równanie jest złotym kluczem, który otwiera wszystkie matematyczne sezamy”.
Współczesny polski matematyk S. Kowal

Spróbuj sformułować definicję równania logarytmicznego. (Równanie zawierające niewiadomą pod znakiem logarytmu).

Rozważmy najprostsze równanie logarytmiczne:dziennikAx = b(gdzie a>0, a ≠ 1). Ponieważ funkcja logarytmiczna rośnie (lub maleje) na zbiorze liczb dodatnich i przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste, to z twierdzenia o pierwiastku wynika, że dla dowolnego b to równanie ma i tylko jedno rozwiązanie, i to dodatnie.

Przypomnij sobie definicję logarytmu. (Logarytm liczby x do podstawy a jest wskaźnikiem potęgi, do której należy podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbę x). Z definicji logarytmu bezpośrednio wynika, że AV jest takim rozwiązaniem.

Zapisz tytuł: Metody rozwiązywania równań logarytmicznych

1. Z definicji logarytmu.

W ten sposób rozwiązuje się najprostsze równania postaci.

Rozważmy nr 514(a)): Rozwiąż równanie

Jak proponujesz to rozwiązać? (Z definicji logarytmu)

Rozwiązanie. , Stąd 2x - 4 = 4; x = 4.

W tym zadaniu 2x - 4 > 0, ponieważ > 0, więc nie mogą pojawić się żadne obce pierwiastki i nie ma potrzeby sprawdzania. W tym zadaniu nie trzeba zapisywać warunku 2x - 4 > 0.

2. Potencjał(przejście z logarytmu danego wyrażenia do samego tego wyrażenia).

Rozważmy nr 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Jaką cechę zauważyłeś? (Podstawy są takie same, a logarytmy obu wyrażeń są równe.) Co można zrobić? (Wzmagać).

Należy wziąć pod uwagę, że dowolne rozwiązanie zawiera się wśród wszystkich x, dla których wyrażenia logarytmiczne są dodatnie.

Rozwiązanie: ODZ:

X2+8>0 jest niepotrzebną nierównością

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8x+8)

Wzmocnijmy oryginalne równanie

otrzymujemy równanie x2+8= 8x+8

Rozwiążmy to: x2-8x=0

Odpowiedź: 0; 8

Zazwyczaj przejście na równoważny system:

Równanie

(System zawiera warunek nadmiarowy – jednej z nierówności nie trzeba uwzględniać).

Pytanie do klasy: Które z tych trzech rozwiązań przypadło Ci do gustu najbardziej? (Omówienie metod).

Masz prawo podjąć jakąkolwiek decyzję.

3. Wprowadzenie nowej zmiennej.

Rozważmy nr 520(g). .

Co zauważyłeś? (Ten równanie kwadratowe dotyczące log3x) Twoje sugestie? (Wprowadź nową zmienną)

Rozwiązanie. ODZ: x > 0.

Pozwolić , a następnie równanie przyjmuje postać:. Dyskryminator D > 0. Pierwiastki zgodnie z twierdzeniem Viety:.

Wróćmy do zamiany: lub.

Po rozwiązaniu najprostszych równań logarytmicznych otrzymujemy:

Odpowiedź: 27;

4. Logarytm obu stron równania.

Rozwiąż równanie:.

Rozwiązanie: ODZ: x>0, weź logarytm obu stron równania o podstawie 10:

Zastosujmy własność logarytmu potęgi:

(logx + 3) logx = 4

Niech logx = y, wtedy (y + 3)y = 4

, (D > 0) pierwiastki zgodnie z twierdzeniem Viety: y1 = -4 i y2 = 1.

Wróćmy do zamiany, otrzymamy: lgx = -4,; lgx = 1, .

Odpowiedź: 0,0001; 10.

5. Redukcja do jednej podstawy.

nr 523(c). Rozwiąż równanie:

Rozwiązanie: ODZ: x>0. Przejdźmy do bazy 3.

6. Metoda funkcjonalno-graficzna.

№ 509 lit. d). Rozwiąż równanie graficznie: = 3 - x.

Jak proponujesz rozwiązać? (Zbuduj wykresy dwóch funkcji y = log2x i y = 3 - x za pomocą punktów i poszukaj odciętych punktów przecięcia wykresów).

Spójrz na swoje rozwiązanie na slajdzie.

Istnieje sposób na uniknięcie tworzenia wykresów . Jest następująco : jeśli jedna z funkcji y = f(x) wzrasta, a drugi y = g(x) maleje w przedziale X, a następnie w równaniu f(x)= g(x) ma co najwyżej jeden pierwiastek z przedziału X.

Jeśli istnieje korzeń, można go zgadnąć.

W naszym przypadku funkcja rośnie dla x>0, a funkcja y = 3 – x maleje dla wszystkich wartości x, w tym dla x>0, co oznacza, że równanie ma nie więcej niż jeden pierwiastek. Zauważ, że przy x = 2 równanie zamienia się w prawdziwą równość, ponieważ .

« Prawidłowe użycie metod można się nauczyć
tylko poprzez ich zastosowanie różne przykłady».
Duński historyk matematyki G. G. Zeiten

IV. Praca domowa

S. 39 rozważ przykład 3, rozwiąż nr 514(b), nr 529(b), nr 520(b), nr 523(b)

V. Podsumowanie lekcji

Jakim metodom rozwiązywania równań logarytmicznych przyglądaliśmy się na zajęciach?

Na następnych lekcjach przyjrzymy się bardziej złożonym równaniom. Do ich rozwiązania przydatne będą badane metody.

Ostatni pokazany slajd:

„Cóż jest więcej niż cokolwiek na świecie?
Przestrzeń.
Jaka jest najmądrzejsza rzecz?
Czas.
Jaka jest najlepsza część?
Osiągnij to, czego chcesz.”
Tales

Życzę każdemu, aby osiągnął to, czego pragnie. Dziękujemy za współpracę i zrozumienie.

główne właściwości.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

identyczne podstawy

Log6 4 + log6 9.

Teraz trochę skomplikujmy zadanie.

Przykłady rozwiązywania logarytmów

A co jeśli podstawą lub argumentem logarytmu jest potęga? Następnie wykładnik tego stopnia można odjąć od znaku logarytmu według następujących zasad:

Oczywiście wszystkie te reguły mają sens, jeśli przestrzega się ODZ logarytmu: a > 0, a ≠ 1, x >

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Przejście na nowy fundament

Niech zostanie podany logarytm logax. Wtedy dla dowolnej liczby c takiej, że c > 0 i c ≠ 1, prawdziwa jest równość:

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Zobacz także:

Podstawowe własności logarytmu

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Wykładnik wynosi 2,718281828…. Aby zapamiętać wykładnik, możesz przestudiować regułę: wykładnik jest równy 2,7 i dwukrotności roku urodzenia Lwa Nikołajewicza Tołstoja.

Podstawowe własności logarytmów

Znając tę zasadę, poznasz zarówno dokładną wartość wykładnika, jak i datę urodzenia Lwa Tołstoja.

Przykłady logarytmów

Wyrażenia logarytmiczne

Przykład 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Korzystając z właściwości 3.5, obliczamy

4. Gdzie .

Przykład 2. Znajdź x jeśli

Przykład 3. Niech zostanie podana wartość logarytmów

Oblicz log(x), jeśli

Podstawowe własności logarytmów

Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Rozważmy dwa logarytmy o tych samych podstawach: logax i logay. Następnie można je dodawać i odejmować oraz:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Zatem suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu, a różnica jest równa logarytmowi ilorazu. Uwaga: kluczową kwestią jest tutaj identyczne podstawy. Jeśli przyczyny są inne, zasady te nie działają!

Formuły te pomogą Ci obliczyć wyrażenie logarytmiczne, nawet jeśli nie zostaną uwzględnione jego poszczególne części (patrz lekcja „Co to jest logarytm”). Spójrz na przykłady i zobacz:

Ponieważ logarytmy mają tę samą podstawę, stosujemy wzór na sumę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log2 48 − log2 3.

Podstawy są takie same, używamy wzoru na różnicę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log3 135 − log3 5.

Ponownie podstawy są takie same, więc mamy:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Jak widać, oryginalne wyrażenia składają się ze „złych” logarytmów, których nie oblicza się osobno. Ale po przekształceniach otrzymuje się liczby całkowicie normalne. Wiele testów opiera się na tym fakcie. Tak, wyrażenia przypominające test są oferowane z całą powagą (czasami praktycznie bez zmian) w ramach ujednoliconego egzaminu państwowego.

Wyodrębnianie wykładnika z logarytmu

Łatwo zauważyć, że ostatnia reguła wynika z dwóch pierwszych. Ale i tak lepiej o tym pamiętać - w niektórych przypadkach znacznie zmniejszy to ilość obliczeń.

Oczywiście wszystkie te zasady mają sens, jeśli zachowa się ODZ logarytmu: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I jeszcze jedno: naucz się stosować wszystkie wzory nie tylko od lewej do prawej, ale także odwrotnie , tj. Liczby przed znakiem logarytmu można wprowadzić do samego logarytmu. To jest to, czego najczęściej potrzeba.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log7 496.

Pozbądźmy się stopnia w argumencie, korzystając z pierwszej formuły:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Zauważ, że w mianowniku znajduje się logarytm, którego podstawą i argumentem są dokładne potęgi: 16 = 24; 49 = 72. Mamy:

Myślę, że ostatni przykład wymaga pewnego wyjaśnienia. Gdzie się podziały logarytmy? Do ostatniej chwili pracujemy tylko z mianownikiem.

Wzory logarytmiczne. Logarytmy – przykłady rozwiązań.

Przedstawiliśmy podstawę i argument stojącego tam logarytmu w postaci potęg i wyciągnęliśmy wykładniki - otrzymaliśmy ułamek „trzypiętrowy”.

Teraz spójrzmy na ułamek główny. Licznik i mianownik zawierają tę samą liczbę: log2 7. Ponieważ log2 7 ≠ 0, możemy skrócić ułamek - w mianowniku pozostanie 2/4. Zgodnie z zasadami arytmetyki czwórkę można przenieść do licznika, co też uczyniono. W rezultacie otrzymaliśmy odpowiedź: 2.

Przejście na nowy fundament

Na ratunek przychodzą formuły przejścia na nowy fundament. Sformułujmy je w formie twierdzenia:

Niech zostanie podany logarytm logax. Wtedy dla dowolnej liczby c takiej, że c > 0 i c ≠ 1, prawdziwa jest równość:

W szczególności, jeśli ustawimy c = x, otrzymamy:

Z drugiego wzoru wynika, że podstawę i argument logarytmu można zamienić, ale w tym przypadku całe wyrażenie zostaje „odwrócone”, tj. logarytm pojawia się w mianowniku.

Formuły te rzadko występują w zwykłych wyrażeniach liczbowych. Można ocenić, jak wygodne są one tylko przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych i nierówności.

Istnieją jednak problemy, których w ogóle nie da się rozwiązać, chyba że przeprowadzka na nowy fundament. Przyjrzyjmy się kilku z nich:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log5 16 log2 25.

Należy zauważyć, że argumenty obu logarytmów zawierają dokładne potęgi. Wyjmijmy wskaźniki: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Teraz „odwróćmy” drugi logarytm:

Ponieważ iloczyn nie zmienia się przy przestawianiu czynników, spokojnie pomnożyliśmy cztery przez dwa, a potem zajęliśmy się logarytmami.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log9 100 lg 3.

Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są potęgi dokładne. Zapiszmy to i pozbądźmy się wskaźników:

Teraz pozbądźmy się logarytmu dziesiętnego, przechodząc do nowej podstawy:

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Często w procesie rozwiązywania konieczne jest przedstawienie liczby jako logarytm o danej podstawie. W takim przypadku pomocne będą nam następujące formuły:

W pierwszym przypadku liczba n staje się wykładnikiem argumentu. Liczba n może być absolutnie dowolna, ponieważ jest to tylko wartość logarytmiczna.

Druga formuła jest właściwie sparafrazowaną definicją. Tak to się nazywa: .

W rzeczywistości, co się stanie, jeśli liczbę b podniesie się do takiej potęgi, że liczba b do tej potęgi da liczbę a? Zgadza się: wynikiem jest ta sama liczba a. Przeczytaj uważnie ten akapit jeszcze raz – wiele osób utknie na nim.

Podobnie jak wzory na przejście do nowej bazy, podstawowa tożsamość logarytmiczna jest czasami jedynym możliwym rozwiązaniem.

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Zauważ, że log25 64 = log5 8 - po prostu wzięto kwadrat z podstawy i argumentu logarytmu. Uwzględniając zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie otrzymujemy:

Jeśli ktoś nie wie, to było to prawdziwe zadanie z Unified State Exam :)

Jednostka logarytmiczna i zero logarytmiczne

logaa = 1 jest. Zapamiętaj raz na zawsze: logarytm dowolnej podstawy a tej podstawy jest równy jeden.
loga 1 = 0 jest. Podstawą a może być dowolna, ale jeśli argument zawiera jedynkę, logarytm jest równy zeru! Ponieważ a0 = 1 jest bezpośrednią konsekwencją definicji.

To wszystkie właściwości. Pamiętaj, aby przećwiczyć ich wdrażanie! Pobierz ściągawkę znajdującą się na początku lekcji, wydrukuj ją i rozwiąż zadania.

Zobacz także:

Logarytm b oparty na a oznacza wyrażenie. Obliczenie logarytmu oznacza znalezienie potęgi x (), przy której spełniona jest równość

Podstawowe własności logarytmu

Znajomość powyższych właściwości jest konieczna, ponieważ na ich podstawie rozwiązuje się prawie wszystkie problemy i przykłady związane z logarytmami. Odpoczynek egzotyczne właściwości można wyprowadzić poprzez matematyczną manipulację tymi wzorami

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Obliczając wzór na sumę i różnicę logarytmów (3.4), można spotkać się dość często. Pozostałe są nieco skomplikowane, ale w wielu zadaniach są niezbędne do uproszczenia złożonych wyrażeń i obliczenia ich wartości.

Typowe przypadki logarytmów

Niektóre z typowych logarytmów to te, których podstawa wynosi dziesięć, wykładnicza lub dwie.
Logarytm o podstawie dziesiątej jest zwykle nazywany logarytmem dziesiętnym i jest po prostu oznaczany przez lg(x).

Z nagrania jasno wynika, że w nagraniu nie są zapisane podstawy. Na przykład

Logarytm naturalny to logarytm, którego podstawa jest wykładnikiem (oznaczonym przez ln(x)).

Wykładnik wynosi 2,718281828…. Aby zapamiętać wykładnik, możesz przestudiować regułę: wykładnik jest równy 2,7 i dwukrotności roku urodzenia Lwa Nikołajewicza Tołstoja. Znając tę zasadę, poznasz zarówno dokładną wartość wykładnika, jak i datę urodzenia Lwa Tołstoja.

I inny ważny logarytm o podstawie dwa jest oznaczony przez

Pochodna logarytmu funkcji jest równa jedności podzielonej przez zmienną

Logarytm całkowy lub pierwotny jest określony przez relację

Podany materiał wystarczy, aby rozwiązać szeroką gamę problemów związanych z logarytmami i logarytmami. Aby pomóc Ci zrozumieć materiał, podam tylko kilka typowych przykładów program szkolny i uniwersytety.

Przykłady logarytmów

Wyrażenia logarytmiczne

Przykład 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Korzystając z właściwości 3.5, obliczamy

2.
Z własności różnicy logarytmów mamy

3.
Korzystając z właściwości 3.5 znajdujemy

4. Gdzie .

Pozornie złożone wyrażenie można uprościć, stosując szereg reguł

Znajdowanie wartości logarytmicznych

Przykład 2. Znajdź x jeśli

Rozwiązanie. Do obliczeń stosujemy się do właściwości ostatniego członu 5 i 13

Nagrywamy to i opłakujemy

Ponieważ podstawy są równe, przyrównujemy wyrażenia

Logarytmy. Poziom wejścia.

Niech zostanie podana wartość logarytmów

Oblicz log(x), jeśli

Rozwiązanie: Weźmy logarytm zmiennej i zapiszmy logarytm poprzez sumę jej wyrazów

To dopiero początek naszej znajomości logarytmów i ich własności. Ćwicz obliczenia, wzbogacaj swoje umiejętności praktyczne - zdobyta wiedza wkrótce będzie Ci potrzebna do rozwiązywania równań logarytmicznych. Po przestudiowaniu podstawowych metod rozwiązywania takich równań poszerzymy Twoją wiedzę o inny, równie ważny temat - nierówności logarytmiczne...

Podstawowe własności logarytmów

Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Rozważmy dwa logarytmy o tych samych podstawach: logax i logay. Następnie można je dodawać i odejmować oraz:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log6 4 + log6 9.

Ponieważ logarytmy mają tę samą podstawę, stosujemy wzór na sumę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log2 48 − log2 3.

Podstawy są takie same, używamy wzoru na różnicę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log3 135 − log3 5.

Ponownie podstawy są takie same, więc mamy:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Jak widać, oryginalne wyrażenia składają się ze „złych” logarytmów, których nie oblicza się osobno. Ale po przekształceniach otrzymuje się liczby całkowicie normalne. Wiele testów opiera się na tym fakcie. Tak, wyrażenia przypominające test są oferowane z całą powagą (czasami praktycznie bez zmian) w ramach ujednoliconego egzaminu państwowego.

Wyodrębnianie wykładnika z logarytmu

Teraz trochę skomplikujmy zadanie. A co jeśli podstawą lub argumentem logarytmu jest potęga? Następnie wykładnik tego stopnia można odjąć od znaku logarytmu według następujących zasad:

Łatwo zauważyć, że ostatnia reguła wynika z dwóch pierwszych. Ale i tak lepiej o tym pamiętać - w niektórych przypadkach znacznie zmniejszy to ilość obliczeń.

Jak rozwiązywać logarytmy

To jest to, czego najczęściej potrzeba.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log7 496.

Pozbądźmy się stopnia w argumencie, korzystając z pierwszej formuły:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Zauważ, że w mianowniku znajduje się logarytm, którego podstawą i argumentem są dokładne potęgi: 16 = 24; 49 = 72. Mamy:

Przejście na nowy fundament

Na ratunek przychodzą formuły przejścia na nowy fundament. Sformułujmy je w formie twierdzenia:

Niech zostanie podany logarytm logax. Wtedy dla dowolnej liczby c takiej, że c > 0 i c ≠ 1, prawdziwa jest równość:

W szczególności, jeśli ustawimy c = x, otrzymamy:

Z drugiego wzoru wynika, że podstawę i argument logarytmu można zamienić, ale w tym przypadku całe wyrażenie zostaje „odwrócone”, tj. logarytm pojawia się w mianowniku.

Formuły te rzadko występują w zwykłych wyrażeniach liczbowych. Można ocenić, jak wygodne są one tylko przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych i nierówności.

Istnieją jednak problemy, których w ogóle nie da się rozwiązać, chyba że przeprowadzka na nowy fundament. Przyjrzyjmy się kilku z nich:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log5 16 log2 25.

Należy zauważyć, że argumenty obu logarytmów zawierają dokładne potęgi. Wyjmijmy wskaźniki: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Teraz „odwróćmy” drugi logarytm:

Ponieważ iloczyn nie zmienia się przy przestawianiu czynników, spokojnie pomnożyliśmy cztery przez dwa, a potem zajęliśmy się logarytmami.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log9 100 lg 3.

Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są potęgi dokładne. Zapiszmy to i pozbądźmy się wskaźników:

Teraz pozbądźmy się logarytmu dziesiętnego, przechodząc do nowej podstawy:

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Często w procesie rozwiązywania konieczne jest przedstawienie liczby jako logarytm o danej podstawie. W takim przypadku pomocne będą nam następujące formuły:

W pierwszym przypadku liczba n staje się wykładnikiem argumentu. Liczba n może być absolutnie dowolna, ponieważ jest to tylko wartość logarytmiczna.

Druga formuła jest właściwie sparafrazowaną definicją. Tak to się nazywa: .

Podobnie jak wzory na przejście do nowej bazy, podstawowa tożsamość logarytmiczna jest czasami jedynym możliwym rozwiązaniem.

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Zauważ, że log25 64 = log5 8 - po prostu wzięto kwadrat z podstawy i argumentu logarytmu. Uwzględniając zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie otrzymujemy:

Jeśli ktoś nie wie, to było to prawdziwe zadanie z Unified State Exam :)

Jednostka logarytmiczna i zero logarytmiczne

logaa = 1 jest. Zapamiętaj raz na zawsze: logarytm dowolnej podstawy a tej podstawy jest równy jeden.
loga 1 = 0 jest. Podstawą a może być dowolna, ale jeśli argument zawiera jedynkę, logarytm jest równy zeru! Ponieważ a0 = 1 jest bezpośrednią konsekwencją definicji.

To wszystkie właściwości. Pamiętaj, aby przećwiczyć ich wdrażanie! Pobierz ściągawkę znajdującą się na początku lekcji, wydrukuj ją i rozwiąż zadania.

Jak wiadomo, przy mnożeniu wyrażeń przez potęgi ich wykładniki zawsze się sumują (a b *a c = a b+c). Ten prawo matematyczne został wyprowadzony przez Archimedesa, a później, w VIII wieku, matematyk Virasen stworzył tabelę wykładników całkowitych. To oni posłużyli do dalszego odkrycia logarytmów. Przykłady wykorzystania tej funkcji można znaleźć niemal wszędzie tam, gdzie trzeba uprościć uciążliwe mnożenie poprzez proste dodawanie. Jeśli poświęcisz 10 minut na przeczytanie tego artykułu, wyjaśnimy Ci, czym są logarytmy i jak z nimi pracować. Prostym i przystępnym językiem.

Definicja w matematyce

Logarytm jest wyrażeniem w następującej postaci: log a b=c, to znaczy logarytm dowolnej liczby nieujemnej (czyli dowolnej liczby dodatniej) „b” do jej podstawy „a” jest uważany za potęgę „c” ”, do którego należy podnieść podstawę „a”, aby ostatecznie uzyskać wartość „b”. Przeanalizujmy logarytm na przykładach, powiedzmy, że istnieje wyrażenie log 2 8. Jak znaleźć odpowiedź? To bardzo proste, trzeba znaleźć taką potęgę, aby od 2 do wymaganej potęgi otrzymać 8. Po wykonaniu kilku obliczeń w głowie otrzymamy liczbę 3! I to prawda, ponieważ 2 do potęgi 3 daje odpowiedź 8.

Rodzaje logarytmów

Dla wielu uczniów i studentów ten temat wydaje się skomplikowany i niezrozumiały, ale w rzeczywistości logarytmy nie są takie straszne, najważniejsze jest zrozumienie ich ogólnego znaczenia i zapamiętanie ich właściwości i niektórych zasad. Istnieją trzy różne typy wyrażeń logarytmicznych:

Logarytm naturalny ln a, gdzie podstawą jest liczba Eulera (e = 2,7).
Dziesiętne a, gdzie podstawa wynosi 10.
Logarytm dowolnej liczby b o podstawie a>1.

Każdy z nich jest zdecydowany w standardowy sposób, co obejmuje uproszczenie, redukcję i późniejszą redukcję do jednego logarytmu za pomocą twierdzeń logarytmicznych. Aby uzyskać prawidłowe wartości logarytmów, należy pamiętać o ich właściwościach i kolejności działań przy ich rozwiązywaniu.

Zasady i pewne ograniczenia

W matematyce istnieje kilka reguł-ograniczeń, które są akceptowane jako aksjomat, to znaczy nie podlegają dyskusji i są prawdą. Na przykład nie da się podzielić liczb przez zero, nie da się też wyodrębnić pierwiastka parzystego z liczb ujemnych. Logarytmy również mają swoje własne zasady, zgodnie z którymi można łatwo nauczyć się pracy nawet z długimi i pojemnymi wyrażeniami logarytmicznymi:

Podstawa „a” musi być zawsze większa od zera, a nie równa 1, w przeciwnym razie wyrażenie straci sens, ponieważ „1” i „0” w dowolnym stopniu są zawsze równe swoim wartościom;
jeśli a > 0, to a b > 0, to okazuje się, że „c” również musi być większe od zera.

Jak rozwiązywać logarytmy?

Na przykład podano zadanie znalezienia odpowiedzi na równanie 10 x = 100. Jest to bardzo proste, trzeba wybrać potęgę, podnosząc liczbę dziesięć do uzyskania 100. To oczywiście jest 10 2 = 100.

Przedstawmy teraz to wyrażenie w formie logarytmicznej. Otrzymujemy log 10 100 = 2. Przy rozwiązywaniu logarytmów wszystkie działania praktycznie zbiegają się, aby znaleźć potęgę, do której należy wprowadzić podstawę logarytmu, aby otrzymać daną liczbę.

Aby dokładnie określić wartość nieznanego stopnia, musisz nauczyć się pracować z tabelą stopni. Wygląda to tak:

Jak widać, niektóre wykładniki można odgadnąć intuicyjnie, jeśli masz techniczny umysł i wiedzę o tabliczce mnożenia. Jednak w przypadku większych wartości będziesz potrzebować tabeli mocy. Mogą z niego korzystać nawet ci, którzy nie mają zielonego pojęcia o skomplikowanych zagadnieniach matematycznych. W lewej kolumnie znajdują się liczby (podstawa a), górny rząd liczby to wartość potęgi c, do której podnoszona jest liczba a. Na przecięciu komórki zawierają wartości liczbowe będące odpowiedzią (a c =b). Weźmy na przykład pierwszą komórkę z liczbą 10 i podnieś ją do kwadratu, otrzymamy wartość 100, która jest wskazana na przecięciu naszych dwóch komórek. Wszystko jest tak proste i łatwe, że nawet najbardziej prawdziwy humanista zrozumie!

Równania i nierówności

Okazuje się, że w pewnych warunkach wykładnikiem jest logarytm. Dlatego dowolne matematyczne wyrażenia liczbowe można zapisać jako równość logarytmiczną. Na przykład 3 4 = 81 można zapisać jako logarytm o podstawie 3 z 81 równy cztery (log 3 81 = 4). W przypadku potęg ujemnych zasady są takie same: 2 -5 = 1/32 zapisujemy jako logarytm, otrzymujemy log 2 (1/32) = -5. Jednym z najbardziej fascynujących działów matematyki jest temat „logarytmów”. Przyjrzymy się przykładom i rozwiązaniom równań poniżej, zaraz po przestudiowaniu ich właściwości. Przyjrzyjmy się teraz, jak wyglądają nierówności i jak odróżnić je od równań.

Biorąc pod uwagę wyrażenie w postaci: log 2 (x-1) > 3 - tak nierówność logarytmiczna, ponieważ nieznana wartość „x” znajduje się pod znakiem logarytmu. A także w wyrażeniu porównywane są dwie wielkości: logarytm żądanej liczby do podstawy dwa jest większy niż liczba trzy.

Najważniejsza różnica między równaniami logarytmicznymi a nierównością polega na tym, że równania z logarytmami (przykład - logarytm 2 x = √9) implikują w odpowiedzi jedną lub więcej określonych wartości liczbowych, natomiast przy rozwiązywaniu nierówności definiuje się je jako obszar dopuszczalne wartości i punkty przerwania tej funkcji. W rezultacie odpowiedź nie jest prostym zbiorem pojedynczych liczb, jak w przypadku odpowiedzi na równanie, ale ciągłą serią lub zbiorem liczb.

Podstawowe twierdzenia o logarytmach

Podczas rozwiązywania prymitywnych zadań znajdowania wartości logarytmu jego właściwości mogą nie być znane. Jeśli jednak chodzi o równania czy nierówności logarytmiczne, to przede wszystkim należy jasno zrozumieć i zastosować w praktyce wszystkie podstawowe właściwości logarytmów. Przyjrzymy się przykładom równań później; najpierw przyjrzyjmy się każdej właściwości bardziej szczegółowo.

Główna tożsamość wygląda następująco: a logaB =B. Ma zastosowanie tylko wtedy, gdy a jest większe niż 0, a nie równe jedności, a B jest większe niż zero.
Logarytm iloczynu można przedstawić za pomocą następującego wzoru: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. W tym przypadku warunek wstępny wynosi: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Możesz przedstawić dowód tej formuły logarytmicznej wraz z przykładami i rozwiązaniem. Zapiszmy a s 1 = f 1 i zalogujmy a s 2 = f 2, następnie a f1 = s 1, a f2 = s 2. Otrzymujemy, że s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (własności stopnie ), a następnie z definicji: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log as 2, co należało udowodnić.
Logarytm ilorazu wygląda następująco: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Twierdzenie w postaci wzoru przyjmuje następującą postać: log a q b n = n/q log a b.

Wzór ten nazywany jest „właściwością stopnia logarytmu”. Przypomina to właściwości zwykłych stopni i nie jest w tym nic dziwnego, gdyż cała matematyka opiera się na naturalnych postulatach. Spójrzmy na dowód.

Niech log a b = t, okaże się, że a t = b. Jeśli podniesiemy obie części do potęgi m: a tn = b n ;

ale ponieważ a tn = (a q) nt/q = b n, zatem log a q b n = (n*t)/t, to log a q b n = n/q log a b. Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykłady problemów i nierówności

Najczęstszym typem problemów logarytmicznych są przykłady równań i nierówności. Można je znaleźć w prawie wszystkich podręcznikach problemowych, a także są wymaganą częścią egzaminów z matematyki. O przyjęcie na uniwersytet lub zaliczenie egzaminy wstępne na matematyce trzeba wiedzieć, jak poprawnie rozwiązywać takie problemy.

Niestety nie ma jednego planu ani schematu rozwiązywania i wyznaczania nieznanej wartości logarytmu, można go jednak zastosować do każdej nierówności matematycznej lub równania logarytmicznego pewne zasady. Przede wszystkim powinieneś dowiedzieć się, czy wyrażenie można uprościć, czy też do niego doprowadzić ogólny wygląd. Możesz uprościć długie wyrażenia logarytmiczne, jeśli poprawnie użyjesz ich właściwości. Poznajmy je szybko.

Rozwiązując równania logarytmiczne, musimy określić, jaki rodzaj logarytmu mamy: przykładowe wyrażenie może zawierać logarytm naturalny lub dziesiętny.

Oto przykłady ln100, ln1026. Ich rozwiązanie sprowadza się do tego, że muszą wyznaczyć potęgę, do której podstawa 10 będzie równa odpowiednio 100 i 1026. Dla rozwiązań logarytmy naturalne musisz zastosować tożsamości logarytmiczne lub ich właściwości. Spójrzmy na przykłady rozwiązywania problemów logarytmicznych różnego typu.

Jak korzystać ze wzorów logarytmicznych: z przykładami i rozwiązaniami

Przyjrzyjmy się więc przykładom użycia podstawowych twierdzeń o logarytmach.

Właściwość logarytmu iloczynu można wykorzystać w zadaniach, w których konieczne jest rozwinięcie wielka wartość liczby b na prostsze czynniki. Na przykład log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpowiedź brzmi 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - jak widać, korzystając z czwartej własności potęgi logarytmu, udało nam się rozwiązać pozornie złożone i nierozwiązywalne wyrażenie. Wystarczy rozłożyć podstawę, a następnie wyjąć wartości wykładników ze znaku logarytmu.

Zadania z jednolitego egzaminu państwowego

Logarytmy często spotyka się na egzaminach wstępnych, zwłaszcza wiele problemów logarytmicznych na egzaminie Unified State Exam (egzamin państwowy dla wszystkich absolwentów szkół). Zazwyczaj zadania te występują nie tylko w części A (najłatwiejsza część testowa egzaminu), ale także w części C (zadania najbardziej złożone i obszerne). Egzamin wymaga dokładnej i doskonałej znajomości tematu „Logarity naturalne”.

Przykłady i rozwiązania problemów pochodzą z oficjalnych źródeł Opcje ujednoliconego egzaminu stanowego. Zobaczmy, jak rozwiązuje się takie zadania.

Biorąc pod uwagę log 2 (2x-1) = 4. Rozwiązanie:
przepiszmy wyrażenie, nieco je upraszczając log 2 (2x-1) = 2 2, z definicji logarytmu otrzymujemy, że 2x-1 = 2 4, zatem 2x = 17; x = 8,5.

Najlepiej jest sprowadzić wszystkie logarytmy do tej samej podstawy, aby rozwiązanie nie było kłopotliwe i mylące.
Wszystkie wyrażenia pod znakiem logarytmu są oznaczone jako dodatnie, dlatego też, gdy wykładnik wyrażenia znajdującego się pod znakiem logarytmu i jako jego podstawa zostanie wyjęty jako mnożnik, wyrażenie pozostające pod logarytmem musi być dodatnie.

Kontynuujemy naukę logarytmów. W tym artykule porozmawiamy o obliczanie logarytmów, proces ten nazywa się logarytm. Najpierw zrozumiemy obliczanie logarytmów z definicji. Następnie przyjrzyjmy się, jak znaleźć wartości logarytmów za pomocą ich właściwości. Następnie skupimy się na obliczaniu logarytmów poprzez początkowo określone wartości innych logarytmów. Na koniec nauczmy się korzystać z tablic logarytmicznych. Całość teorii opatrzona jest przykładami ze szczegółowymi rozwiązaniami.

Nawigacja strony.

Obliczanie logarytmów z definicji

W najprostszych przypadkach można to zrobić dość szybko i łatwo znalezienie logarytmu z definicji. Przyjrzyjmy się bliżej, jak zachodzi ten proces.

Jego istotą jest przedstawienie liczby b w postaci a c, z której zgodnie z definicją logarytmu liczba c jest wartością logarytmu. Oznacza to, że z definicji znalezienie logarytmu odpowiada następującemu łańcuchowi równości: log a b=log a a c =c.

Zatem obliczenie logarytmu z definicji sprowadza się do znalezienia liczby c takiej, że a c = b, a liczba c sama w sobie jest pożądaną wartością logarytmu.

Biorąc pod uwagę informacje z poprzednich akapitów, gdy liczbę pod znakiem logarytmu podaje się przez pewną potęgę podstawy logarytmu, można od razu wskazać, czemu logarytm jest równy - jest równy wykładnikowi. Pokażmy rozwiązania na przykładach.

Przykład.

Znajdź log 2 2 −3, a także oblicz logarytm naturalny liczby e 5,3.

Rozwiązanie.

Definicja logarytmu pozwala od razu powiedzieć, że log 2 2 −3 =−3. Rzeczywiście liczba pod znakiem logarytmu jest równa podstawie 2 do potęgi -3.

Podobnie znajdujemy drugi logarytm: lne 5,3 =5,3.

Odpowiedź:

log 2 2 −3 =−3 i lne 5,3 =5,3.

Jeśli liczba b pod znakiem logarytmu nie jest określona jako potęga podstawy logarytmu, należy dokładnie sprawdzić, czy możliwe jest przedstawienie liczby b w postaci a c . Często to przedstawienie jest dość oczywiste, zwłaszcza gdy liczba pod znakiem logarytmu jest równa podstawie do potęgi 1, 2, lub 3, ...

Przykład.

Oblicz logarytmy log 5 25 i .

Rozwiązanie.

Łatwo zauważyć, że 25=5 2, co pozwala obliczyć pierwszy logarytm: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Przejdźmy do obliczenia drugiego logarytmu. Liczbę można przedstawić jako potęgę liczby 7: (zobacz, jeśli to konieczne). Stąd, .

Przepiszmy trzeci logarytm w następującej formie. Teraz możesz to zobaczyć , z czego wnioskujemy, że . Dlatego z definicji logarytmu .

W skrócie rozwiązanie można zapisać w następujący sposób: .

Odpowiedź:

log 5 25=2 , I .

Gdy pod znakiem logarytmu znajduje się wystarczająco duży liczba naturalna, to nie zaszkodzi rozłożyć to na czynniki pierwsze. Często pomaga przedstawienie takiej liczby jako jakiejś potęgi podstawy logarytmu, a zatem obliczenie tego logarytmu z definicji.

Przykład.

Znajdź wartość logarytmu.

Rozwiązanie.

Niektóre właściwości logarytmów pozwalają na natychmiastowe określenie wartości logarytmów. Właściwości te obejmują własność logarytmu jedności i własność logarytmu liczby równej podstawie: log 1 1=log a a 0 =0 i log a=log a a 1 =1. Oznacza to, że gdy pod znakiem logarytmu znajduje się liczba 1 lub liczba równa podstawie logarytmu, wówczas w tych przypadkach logarytmy są równe odpowiednio 0 i 1.

Przykład.

Czym są logarytmy i log10?

Rozwiązanie.

Ponieważ , to z definicji logarytmu wynika .

W drugim przykładzie liczba 10 pod znakiem logarytmu pokrywa się z jej podstawą, więc logarytm dziesiętny z dziesięciu jest równy jeden, czyli lg10=lg10 1 =1.

Odpowiedź:

I lg10=1 .

Należy zauważyć, że obliczanie logarytmów z definicji (o czym mówiliśmy w poprzednim akapicie) implikuje użycie logarytmu równości a a p = p, który jest jedną z właściwości logarytmów.

W praktyce, gdy liczbę pod znakiem logarytmu i podstawę logarytmu można łatwo przedstawić jako potęgę określonej liczby, bardzo wygodnie jest skorzystać ze wzoru , co odpowiada jednej z właściwości logarytmów. Spójrzmy na przykład znalezienia logarytmu ilustrującego użycie tej formuły.

Przykład.

Oblicz logarytm.

Rozwiązanie.

Odpowiedź:

W obliczeniach wykorzystywane są również właściwości logarytmów niewymienione powyżej, ale o tym porozmawiamy w kolejnych akapitach.

Znajdowanie logarytmów za pomocą innych znanych logarytmów

Informacje zawarte w tym akapicie stanowią kontynuację tematu wykorzystania właściwości logarytmów podczas ich obliczania. Ale tutaj główna różnica polega na tym, że właściwości logarytmów służą do wyrażenia pierwotnego logarytmu w postaci innego logarytmu, którego wartość jest znana. Podajmy przykład dla wyjaśnienia. Powiedzmy, że wiemy, że log 2 3≈1,584963, to możemy znaleźć na przykład log 2 6, wykonując małą transformację, wykorzystując właściwości logarytmu: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

W powyższym przykładzie wystarczyło nam skorzystać z własności logarytmu iloczynu. Jednak znacznie częściej konieczne jest wykorzystanie szerszego arsenału właściwości logarytmów, aby obliczyć logarytm pierwotny poprzez dane.

Przykład.

Oblicz logarytm 27 o podstawie 60, jeśli wiesz, że log 60 2=a i log 60 5=b.

Rozwiązanie.

Musimy więc znaleźć log 60 27 . Łatwo zauważyć, że 27 = 3 3 , a logarytm pierwotny, ze względu na własność logarytmu potęgi, można zapisać jako 3·log 60 3 .

Zobaczmy teraz, jak wyrazić log 60 3 w kategoriach znane logarytmy. Własność logarytmu liczby równej podstawie pozwala nam zapisać log równości 60 60=1. Z drugiej strony log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 + log 60 3 + log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Zatem, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Stąd, log 60 3=1-2·log 60 2-log 60 5=1-2·a-b.

Na koniec obliczamy logarytm pierwotny: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Odpowiedź:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Osobno warto wspomnieć o znaczeniu wzoru na przejście do nowej podstawy logarytmu postaci . Pozwala przejść od logarytmów o dowolnej podstawie do logarytmów o określonej podstawie, których wartości są znane lub można je znaleźć. Zwykle z pierwotnego logarytmu, korzystając ze wzoru przejścia, przechodzą do logarytmów w jednej z podstaw 2, e lub 10, ponieważ dla tych podstaw istnieją tabele logarytmów, które pozwalają obliczyć ich wartości z pewnym stopniem dokładność. W następnym akapicie pokażemy, jak to się robi.

Tablice logarytmiczne i ich zastosowania

Do przybliżonego obliczenia wartości logarytmów można zastosować tablice logarytmiczne. Najczęściej używana tablica logarytmów o podstawie 2, tablica logarytmu naturalnego i tablica logarytmu dziesiętnego. Podczas pracy w systemie liczb dziesiętnych wygodnie jest używać tabeli logarytmów opartych na podstawie dziesiątej. Za jego pomocą nauczymy się znajdować wartości logarytmów.

Prezentowana tabela pozwala znaleźć wartości logarytmów dziesiętnych liczb od 1000 do 9999 (z trzema miejscami po przecinku) z dokładnością do jednej dziesięciotysięcznej. Przeanalizujemy zasadę znajdowania wartości logarytmu za pomocą tabeli logarytmów dziesiętnych konkretny przykład– tak jest jaśniej. Znajdźmy log1.256.

W lewej kolumnie tabeli logarytmów dziesiętnych znajdujemy dwie pierwsze cyfry liczby 1,256, czyli 1,2 (dla przejrzystości liczba ta jest zakreślona na niebiesko). Trzecią cyfrę 1,256 (cyfra 5) znajdujemy w pierwszym lub ostatnia linijka na lewo od podwójnej linii (liczba ta jest zakreślona na czerwono). Czwarta cyfra pierwotnej liczby 1,256 (cyfra 6) znajduje się w pierwszym lub ostatnim wierszu na prawo od podwójnej linii (liczba ta jest otoczona zieloną linią). Teraz znajdujemy liczby w komórkach tabeli logarytmów na przecięciu zaznaczonego wiersza i zaznaczonych kolumn (te liczby są podświetlone pomarańczowy). Suma zaznaczonych liczb daje żądaną wartość logarytmu dziesiętnego z dokładnością do czwartego miejsca po przecinku, czyli log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Czy można, korzystając z powyższej tabeli, znaleźć wartości logarytmów dziesiętnych liczb, które mają więcej niż trzy cyfry po przecinku, a także tych, które wykraczają poza zakres od 1 do 9,999? Tak, możesz. Pokażmy, jak to się robi na przykładzie.

Obliczmy lg102.76332. Najpierw musisz zapisać numer w standardowa forma : 102,76332=1,0276332·10 2. Następnie mantysę należy zaokrąglić do trzeciego miejsca po przecinku 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, podczas gdy pierwotny logarytm dziesiętny jest w przybliżeniu równy logarytmowi wynikowej liczby, to znaczy przyjmujemy log102,76332≈lg1,028·10 2. Teraz stosujemy właściwości logarytmu: lg1,028·10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028+2. Na koniec wartość logarytmu lg1.028 znajdujemy z tabeli logarytmów dziesiętnych lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. W rezultacie cały proces obliczania logarytmu wygląda następująco: log102,76332=log1,0276332 10 2 ≈lg1,028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Podsumowując, warto zauważyć, że korzystając z tabeli logarytmów dziesiętnych można obliczyć przybliżoną wartość dowolnego logarytmu. Aby to zrobić, wystarczy skorzystać ze wzoru przejścia, aby przejść do logarytmów dziesiętnych, znaleźć ich wartości w tabeli i wykonać pozostałe obliczenia.

Na przykład obliczmy log 2 3 . Zgodnie ze wzorem na przejście do nowej podstawy logarytmu mamy . Z tabeli logarytmów dziesiętnych znajdujemy log3≈0,4771 i log2≈0,3010. Zatem, .

Referencje.

Kołmogorow A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i inne. Algebra i początki analizy: Podręcznik dla klas 10 - 11 szkół ogólnokształcących.
Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach).