Ano ang naaangkop sa natural na logarithm? Natural logarithm, function ln x

Ang logarithm ng isang positibong numero b sa base a (a>0, a ay hindi katumbas ng 1) ay isang numero c na ang a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)        

Tandaan na ang logarithm ng isang hindi positibong numero ay hindi natukoy. Bilang karagdagan, ang base ng logarithm ay dapat na positibong numero na hindi katumbas ng 1. Halimbawa, kung parisukat natin -2, makukuha natin ang numero 4, ngunit hindi ito nangangahulugan na ang base -2 logarithm ng 4 ay pantay. sa 2.

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

isang log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Mahalagang magkaiba ang saklaw ng kahulugan ng kanan at kaliwang bahagi ng formula na ito. Kaliwang bahagi ay tinukoy lamang para sa b>0, a>0 at a ≠ 1. Ang kanang bahagi ay tinukoy para sa anumang b, at hindi nakadepende sa a. Kaya, ang paggamit ng pangunahing logarithmic na "pagkakakilanlan" kapag nilulutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring humantong sa isang pagbabago sa OD.

Dalawang halatang kahihinatnan ng kahulugan ng logarithm

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Sa katunayan, kapag itinaas ang numero a sa unang kapangyarihan, nakukuha natin ang parehong numero, at kapag itinaas ito sa zero na kapangyarihan, makakakuha tayo ng isa.

Logarithm ng produkto at logarithm ng quotient

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Gusto kong bigyan ng babala ang mga mag-aaral laban sa walang pag-iisip na paglalapat ng mga formula na ito sa paglutas logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay. Kapag ginagamit ang mga ito "mula kaliwa pakanan," ang ODZ ay lumiliit, at kapag lumilipat mula sa kabuuan o pagkakaiba ng logarithms patungo sa logarithm ng produkto o quotient, ang ODZ ay lumalawak.

Sa katunayan, ang expression na log a (f (x) g (x)) ay tinukoy sa dalawang kaso: kapag ang parehong mga function ay mahigpit na positibo o kapag ang f (x) at g (x) ay parehong mas mababa sa zero.

Ang pagbabago sa expression na ito sa sum log a f (x) + log a g (x), napipilitan tayong limitahan ang ating sarili lamang sa kaso kapag f(x)>0 at g(x)>0. Mayroong pagpapaliit ng hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga, at ito ay tiyak na hindi katanggap-tanggap, dahil maaari itong humantong sa pagkawala ng mga solusyon. Ang isang katulad na problema ay umiiral para sa formula (6).

Ang antas ay maaaring alisin sa tanda ng logarithm

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

At muli gusto kong tumawag para sa katumpakan. Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay malinaw na tinukoy para sa lahat ng mga halaga ng f(x) maliban sa zero. Ang kanang bahagi ay para lamang sa f(x)>0! Sa pamamagitan ng pagkuha ng degree sa logarithm, muli naming pinaliit ang ODZ. Ang baligtad na pamamaraan ay humahantong sa pagpapalawak ng hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Ang lahat ng mga pangungusap na ito ay nalalapat hindi lamang sa kapangyarihan 2, kundi pati na rin sa anumang kahit na kapangyarihan.

Formula para sa paglipat sa isang bagong pundasyon

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Ang bihirang kaso na iyon kapag ang ODZ ay hindi nagbabago sa panahon ng pagbabago. Kung pinili mo ang base c nang matalino (positibo at hindi katumbas ng 1), ang formula para sa paglipat sa isang bagong base ay ganap na ligtas.

Kung pipiliin natin ang numero b bilang bagong base c, makakakuha tayo ng isang mahalagang espesyal na kaso mga formula (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Ilang simpleng halimbawa na may logarithms

Halimbawa 1. Kalkulahin: log2 + log50.
Solusyon. log2 + log50 = log100 = 2. Ginamit namin ang sum ng logarithms formula (5) at ang kahulugan ng decimal logarithm.

Halimbawa 2. Kalkulahin: lg125/lg5.
Solusyon. log125/log5 = log 5 125 = 3. Ginamit namin ang formula para sa paglipat sa isang bagong base (8).

Talaan ng mga formula na nauugnay sa logarithms

isang log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

1.1. Pagtukoy sa exponent para sa isang integer exponent

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X - N beses

1.2. Zero degree.

Sa pamamagitan ng kahulugan, karaniwang tinatanggap na ang zero power ng anumang numero ay 1:

1.3. Negatibong antas.

X -N = 1/X N

1.4. Fractional na kapangyarihan, ugat.

X 1/N = N ugat ng X.

Halimbawa: X 1/2 = √X.

1.5. Formula para sa pagdaragdag ng mga kapangyarihan.

X (N+M) = X N *X M

1.6.Formula para sa pagbabawas ng mga kapangyarihan.

X (N-M) = X N /X M

1.7. Formula para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan.

X N*M = (X N) M

1.8. Formula para sa pagtaas ng isang fraction sa isang kapangyarihan.

(X/Y) N = X N /Y N

2. Bilang e.

Ang halaga ng numero e ay katumbas ng sumusunod na limitasyon:

E = lim(1+1/N), bilang N → ∞.

Sa katumpakan ng 17 digit, ang numerong e ay 2.71828182845904512.

3. Pagkakapantay-pantay ni Euler.

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nag-uugnay sa limang numero na gumaganap ng isang espesyal na papel sa matematika: 0, 1, e, pi, imaginary unit.

E (i*pi) + 1 = 0

4. Exponential function exp(x)

exp(x) = e x

5. Derivative ng exponential function

Ang exponential function ay may kapansin-pansing katangian: ang derivative ng function ay katumbas ng exponential function mismo:

(exp(x))" = exp(x)

6. Logarithm.

6.1. Kahulugan ng logarithm function

Kung x = b y, ang logarithm ay ang function

Y = Log b(x).

Ang logarithm ay nagpapakita sa kung anong kapangyarihan ang isang numero ay dapat na itaas - ang base ng logarithm (b) upang makakuha ng isang naibigay na numero (X). Ang logarithm function ay tinukoy para sa X na mas malaki sa zero.

Halimbawa: Log 10 (100) = 2.

6.2. Decimal logarithm

Ito ang logarithm sa base 10:

Y = Log 10 (x) .

Tinutukoy ng Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Ang isang halimbawa ng paggamit ng decimal logarithm ay decibel.

6.3. Decibel

Ang item ay naka-highlight sa isang hiwalay na pahina ng Decibel

6.4. Binary logarithm

Ito ang base 2 logarithm:

Y = Log 2 (x).

Tinutukoy ng Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Likas na logarithm

Ito ang logarithm na ibabatay e:

Y = Log e (x) .

Tinutukoy ng Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Ang natural na logarithm ay ang inverse function ng exponential function exp(X).

6.6. Mga punto ng katangian

Loga(1) = 0
Log a (a) = 1

6.7. Formula ng logarithm ng produkto

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Formula para sa logarithm ng quotient

Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)

6.9. Logarithm ng power formula

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Formula para sa pag-convert sa isang logarithm na may ibang base

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

Halimbawa:

Log 2 (8) = Log 10 (8)/Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Mga formula na kapaki-pakinabang sa buhay

Kadalasan mayroong mga problema sa pag-convert ng volume sa lugar o haba at ang kabaligtaran na problema - pag-convert ng lugar sa volume. Halimbawa, ang mga board ay ibinebenta sa mga cube (kubiko metro), at kailangan nating kalkulahin kung gaano karaming lugar ng dingding ang maaaring sakop ng mga board na nilalaman sa isang tiyak na dami, tingnan ang pagkalkula ng mga board, kung gaano karaming mga board ang nasa isang kubo. O, kung ang mga sukat ng pader ay kilala, kailangan mong kalkulahin ang bilang ng mga brick, tingnan ang pagkalkula ng brick.

Pinahihintulutan na gumamit ng mga materyal ng site sa kondisyon na ang isang aktibong link sa pinagmulan ay naka-install.

Ang mga pangunahing katangian ay ibinibigay natural na logarithm, graph, domain ng kahulugan, hanay ng mga halaga, pangunahing mga formula, derivative, integral, pagpapalawak ng serye ng kapangyarihan at representasyon ng function ln x gamit ang mga kumplikadong numero.

Kahulugan

Likas na logarithm ay ang function na y = ln x, kabaligtaran sa exponential, x = e y , at ay logarithm batay sa bilang e: ln x = log e x.

Ang natural na logarithm ay malawakang ginagamit sa matematika dahil ang derivative nito ay may pinakasimpleng anyo: (ln x)′ = 1/ x.

Batay sa mga kahulugan, ang base ng natural na logarithm ay ang numero e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

Graph ng function na y = ln x.

Graph ng natural logarithm (mga function y = ln x) ay nakuha mula sa exponential graphics salamin repleksyon na may kaugnayan sa tuwid na linya y = x.

Ang natural na logarithm ay tinukoy para sa mga positibong halaga ng variable x.

Ito ay tumataas monotonically sa kanyang domain ng kahulugan. 0 Sa x →

ang limitasyon ng natural na logarithm ay minus infinity (-∞).

Bilang x → + ∞, ang limitasyon ng natural na logarithm ay plus infinity (+ ∞). Para sa malaking x, medyo mabagal ang pagtaas ng logarithm. Anumang power function x a na may positibong exponent a ay lumalaki nang mas mabilis kaysa sa logarithm.

Mga katangian ng natural na logarithm

Domain ng kahulugan, hanay ng mga halaga, extrema, pagtaas, pagbaba

Ang natural na logarithm ay isang monotonically increase na function, kaya wala itong extrema. Ang mga pangunahing katangian ng natural na logarithm ay ipinakita sa talahanayan.

ln x na mga halaga

ln 1 = 0

Mga pangunahing formula para sa natural na logarithms

Mga formula na sumusunod mula sa kahulugan ng inverse function:

Ang pangunahing pag-aari ng logarithms at ang mga kahihinatnan nito

Base kapalit na formula

Ang anumang logarithm ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng natural na logarithms gamit ang base substitution formula: Ang mga patunay ng mga formula na ito ay ipinakita sa seksyon.

"Logarithm"

Baliktad na pag-andar Ang kabaligtaran ng natural na logarithm ay.

exponent

Kung , kung gayon

Kung, kung gayon.

Derivative ln x
.
Derivative ng natural logarithm:
.
Derivative ng natural logarithm ng modulus x:
.
Derivative ng nth order:

Pagkuha ng mga formula > > >

integral Kinakalkula ang integral :
.
integrasyon ng mga bahagi

Kaya,

Mga expression na gumagamit ng mga kumplikadong numero
.
Isaalang-alang ang function ng complex variable z: Ipahayag natin ang kumplikadong variable z sa pamamagitan ng modyul r φ :
.
at argumento
.
Gamit ang mga katangian ng logarithm, mayroon kaming:
.
O kaya
Ang argumento φ ay hindi natatanging tinukoy. Kung ilalagay mo
, kung saan ang n ay isang integer,

ito ay magiging parehong numero para sa magkaibang n.

Samakatuwid, ang natural na logarithm, bilang isang function ng isang complex variable, ay hindi isang single-valued function.

Pagpapalawak ng serye ng kapangyarihan

Kapag naganap ang pagpapalawak:
Ginamit na panitikan:

I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng matematika para sa mga inhinyero at mag-aaral sa kolehiyo, "Lan", 2009.

Kung , kung gayon

Ang logarithm ng isang numero b sa base a ay ang exponent kung saan ang bilang a ay dapat na itaas upang makuha ang bilang b. Logarithm - sukdulan mahalagang mathematical na dami , dahil ang logarithmic calculus ay nagbibigay-daan hindi lamang sa paglutas mga exponential equation

Ang lahat ng mga katangian ng logarithms ay direktang nauugnay sa mga katangian ng exponential function. Halimbawa, ang katotohanan na ibig sabihin ay:

Dapat pansinin na kapag nilulutas mga tiyak na gawain, ang mga katangian ng logarithms ay maaaring mas mahalaga at kapaki-pakinabang kaysa sa mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga kapangyarihan.

Ipakita natin ang ilang pagkakakilanlan:

Narito ang mga pangunahing algebraic expression:

;

.

Pansin! maaaring umiral lamang para sa x>0, x≠1, y>0.

Subukan nating maunawaan ang tanong kung ano ang mga natural na logarithms. Espesyal na interes sa matematika kumakatawan sa dalawang uri- ang una ay may bilang na "10" bilang base nito, at tinatawag na "decimal logarithm". Ang pangalawa ay tinatawag na natural. Ang base ng natural na logarithm ay ang bilang na "e". Ito ang tatalakayin natin nang detalyado sa artikulong ito.

Mga pagtatalaga:

• lg x - decimal;
• ln x - natural.

Gamit ang pagkakakilanlan, makikita natin na ln e = 1, gayundin ang katotohanan na lg 10=1.

Natural na logarithm graph

Bumuo tayo ng graph ng natural logarithm gamit ang pamantayan sa klasikong paraan sa pamamagitan ng mga puntos. Kung gusto mo, maaari mong suriin kung ginagawa namin nang tama ang function sa pamamagitan ng pagsusuri sa function. Gayunpaman, makatuwirang matutunan kung paano ito buuin nang "manu-mano" upang malaman kung paano tama ang pagkalkula ng logarithm.

Function: y = ln x. Sumulat tayo ng talahanayan ng mga punto kung saan dadaan ang graph:

Ipaliwanag natin kung bakit pinili natin ang mga partikular na halaga ng argumentong x. Ito ay tungkol sa pagkakakilanlan: . Para sa natural na logarithm ang pagkakakilanlan na ito ay magiging ganito:

Para sa kaginhawahan, maaari kaming kumuha ng limang reference point:

;

;

.

;

.

Kaya, ang pagkalkula ng mga natural na logarithms ay isang medyo simpleng gawain, bukod dito, pinapasimple nito ang mga kalkulasyon ng mga operasyon na may mga kapangyarihan, na nagiging mga ito ordinaryong pagpaparami.

Sa pamamagitan ng pag-plot ng graph point by point, nakakakuha tayo ng tinatayang graph:

Ang domain ng kahulugan ng natural na logarithm (i.e. lahat mga wastong halaga argument X) - lahat ng mga numero ay mas malaki kaysa sa zero.

Pansin! Ang domain ng kahulugan ng natural logarithm ay kinabibilangan lamang ng mga positibong numero! Ang saklaw ng kahulugan ay hindi kasama ang x=0. Ito ay imposible batay sa mga kondisyon para sa pagkakaroon ng logarithm.

Ang hanay ng mga halaga (i.e. lahat ng wastong halaga ng function na y = ln x) ay lahat ng mga numero sa pagitan.

Limit sa natural na log

Sa pag-aaral ng graph, lumitaw ang tanong - paano kumikilos ang function sa y<0.

Malinaw, ang graph ng function ay may posibilidad na tumawid sa y-axis, ngunit hindi ito magagawa, dahil ang natural na logarithm sa x<0 не существует.

Limitasyon ng natural log maaaring isulat sa ganitong paraan:

Formula para sa pagpapalit ng base ng isang logarithm

Ang pagharap sa isang natural na logarithm ay mas madali kaysa sa pagharap sa isang logarithm na may arbitraryong base. Iyon ang dahilan kung bakit susubukan naming matutunan kung paano bawasan ang anumang logarithm sa isang natural, o ipahayag ito sa isang arbitrary na base sa pamamagitan ng natural na logarithm.

Magsimula tayo sa logarithmic identity:

Kung gayon ang anumang numero o variable y ay maaaring katawanin bilang:

kung saan ang x ay anumang numero (positibo ayon sa mga katangian ng logarithm).

Ang expression na ito ay maaaring kunin sa logarithmically sa magkabilang panig. Gawin natin ito gamit ang isang arbitrary base z:

Gamitin natin ang property (sa halip na "c" lang ang mayroon tayong expression):

Mula dito nakukuha natin ang unibersal na formula:

.

Sa partikular, kung z=e, kung gayon:

.

Nagawa naming kumatawan sa isang logarithm sa isang arbitrary na base sa pamamagitan ng ratio ng dalawang natural na logarithm.

Niresolba namin ang mga problema

Upang mas maunawaan ang mga natural na logarithms, tingnan natin ang mga halimbawa ng ilang problema.

Problema 1. Kinakailangang lutasin ang equation ln x = 3.

Solusyon: Gamit ang kahulugan ng logarithm: kung , pagkatapos , nakukuha natin ang:

Problema 2. Lutasin ang equation (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Solusyon: Gamit ang kahulugan ng logarithm: kung , pagkatapos , makuha natin ang:

.

Gamitin natin muli ang kahulugan ng logarithm:

.

kaya:

.

Tinatayang maaari mong kalkulahin ang sagot, o maaari mo itong iwanan sa form na ito.

Gawain 3. Lutasin ang equation.

Solusyon: Gumawa tayo ng pagpapalit: t = ln x. Pagkatapos ang equation ay kukuha ng sumusunod na anyo:

.

Mayroon kaming isang quadratic equation. Hanapin natin ang diskriminasyon nito:

Unang ugat ng equation:

.

Pangalawang ugat ng equation:

.

Ang pag-alala na ginawa namin ang pagpapalit t = ln x, nakukuha namin:

Sa mga istatistika at teorya ng posibilidad, ang mga logarithmic na dami ay madalas na matatagpuan. Hindi ito nakakagulat, dahil ang bilang e ay madalas na sumasalamin sa rate ng paglago ng mga exponential na dami.

Sa computer science, programming at computer theory, ang logarithms ay madalas na matatagpuan, halimbawa, upang mag-imbak ng N bits sa memorya.

Sa mga teorya ng fractals at dimensyon, ang logarithms ay patuloy na ginagamit, dahil ang mga sukat ng fractals ay tinutukoy lamang sa kanilang tulong.

Sa mechanics at physics Walang seksyon kung saan hindi ginamit ang logarithms. Ang barometric distribution, ang lahat ng mga prinsipyo ng statistical thermodynamics, ang Tsiolkovsky equation, atbp. ay mga proseso na mathematically describes only using logarithms.

Sa kimika, ginagamit ang mga logarithms sa mga equation ng Nernst at mga paglalarawan ng mga proseso ng redox.

Kahanga-hanga, kahit sa musika, upang malaman ang bilang ng mga bahagi ng isang oktaba, ginagamit ang mga logarithms.

Natural logarithm Function y=ln x mga katangian nito

Patunay ng pangunahing pag-aari ng natural na logarithm