Minus ang natural logarithm. Likas na logarithm

Likas na logarithm

Graph ng natural na logarithm function. Ang function ay dahan-dahang lumalapit sa positibong infinity habang tumataas ito x at mabilis na lumalapit sa negatibong kawalang-hanggan kapag x may posibilidad na 0 (“mabagal” at “mabilis” kumpara sa anumang power function ng x).

Likas na logarithm ay ang logarithm sa base , Saan e- isang hindi makatwiran na pare-pareho na katumbas ng humigit-kumulang 2.718281 828. Ang natural na logarithm ay karaniwang isinusulat bilang ln( x), log e (x) o minsan mag log( x), kung ang batayan e ipinahiwatig.

Natural logarithm ng isang numero x(isinulat bilang ln(x)) ay ang exponent kung saan dapat itaas ang numero e para makuha x. Halimbawa, ln(7,389...) ay katumbas ng 2 dahil e 2 =7,389... . Natural logarithm ng numero mismo e (ln(e)) ay katumbas ng 1 dahil e 1 = e, at ang natural na logarithm ay 1 ( ln(1)) ay katumbas ng 0 dahil e 0 = 1.

Ang natural na logarithm ay maaaring tukuyin para sa anumang positibong tunay na numero a bilang lugar sa ilalim ng kurba y = 1/x mula 1 hanggang a. Ang pagiging simple ng kahulugan na ito, na naaayon sa maraming iba pang mga formula na gumagamit ng natural na logarithm, ay humantong sa pangalang "natural". Ang kahulugan na ito ay maaaring palawakin sa mga kumplikadong numero, gaya ng tinalakay sa ibaba.

Kung isasaalang-alang natin ang natural na logarithm bilang isang tunay na pag-andar ng isang tunay na variable, kung gayon ito ay ang kabaligtaran na pag-andar ng exponential function, na humahantong sa mga pagkakakilanlan:

Tulad ng lahat ng logarithms, ang natural na logarithm ay nagmamapa ng multiplikasyon sa karagdagan:

Kaya, ang logarithmic function ay isang isomorphism ng pangkat ng mga positibong tunay na numero na may paggalang sa pagpaparami ng pangkat ng mga tunay na numero na may paggalang sa karagdagan, na maaaring kinakatawan bilang isang function:

Ang logarithm ay maaaring tukuyin para sa anumang positibong base maliban sa 1, hindi lamang e, ngunit ang mga logarithm para sa iba pang mga base ay naiiba sa natural na logarithm sa pamamagitan lamang ng isang pare-parehong salik, at kadalasang tinutukoy sa mga tuntunin ng natural na logarithm. Ang mga logarithm ay kapaki-pakinabang para sa paglutas ng mga equation na kinabibilangan ng mga hindi alam bilang mga exponent. Halimbawa, ang logarithms ay ginagamit upang mahanap ang decay constant para sa isang kilalang kalahating buhay, o upang mahanap ang oras ng pagkabulok sa paglutas ng mga problema sa radioactivity. May mahalagang papel ang mga ito sa maraming larangan ng matematika at inilapat na agham, at ginagamit sa pananalapi upang malutas ang maraming problema, kabilang ang paghahanap ng tambalang interes.

Kwento

Ang unang pagbanggit ng natural logarithm ay ginawa ni Nicholas Mercator sa kanyang trabaho Logarithmotechnia, na inilathala noong 1668, bagaman ang guro ng matematika na si John Spidell ay nag-compile ng isang talahanayan ng natural na logarithms noong 1619. Dati itong tinawag na hyperbolic logarithm dahil tumutugma ito sa lugar sa ilalim ng hyperbola. Minsan ito ay tinatawag na Napier logarithm, bagaman ang orihinal na kahulugan ng terminong ito ay medyo naiiba.

Mga kombensiyon sa pagtatalaga

Ang natural na logarithm ay karaniwang tinutukoy ng "ln( x)", logarithm hanggang base 10 - sa pamamagitan ng "lg( x)", at iba pang mga dahilan ay karaniwang ipinahiwatig nang tahasang may simbolong "log".

Sa maraming mga gawa sa discrete mathematics, cybernetics, at computer science, ginagamit ng mga may-akda ang notasyong “log( x)" para sa logarithms sa base 2, ngunit ang kumbensyong ito ay hindi karaniwang tinatanggap at nangangailangan ng paglilinaw alinman sa listahan ng mga notasyong ginamit o (sa kawalan ng ganoong listahan) sa pamamagitan ng footnote o komento noong unang ginamit.

Ang mga panaklong sa paligid ng argumento ng logarithms (kung hindi ito humantong sa isang maling pagbabasa ng formula) ay kadalasang inaalis, at kapag tinataas ang logarithm sa isang kapangyarihan, ang exponent ay direktang itinalaga sa sign ng logarithm: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Sistemang Anglo-Amerikano

Karaniwang ginagamit ng mga mathematician, statistician at ilang inhinyero upang tukuyin ang natural logarithm o “log( x)" o "ln( x)", at upang tukuyin ang base 10 logarithm - "log 10 ( x)».

Ang ilang mga inhinyero, biologist at iba pang mga espesyalista ay palaging nagsusulat ng "ln( x)" (o paminsan-minsan ay "log e ( x)") kapag ang ibig nilang sabihin ay ang natural na logarithm, at ang notasyong "log( x)" ang ibig nilang sabihin ay log 10 ( x).

log e ay isang "natural" na logarithm dahil awtomatiko itong nangyayari at madalas na lumilitaw sa matematika. Halimbawa, isaalang-alang ang problema ng derivative ng isang logarithmic function:

Kung ang basehan b katumbas e, kung gayon ang derivative ay 1/ x, at kailan x= 1 ang derivative na ito ay katumbas ng 1. Isa pang dahilan kung bakit ang base e Ang pinaka-natural na bagay tungkol sa logarithm ay maaari itong matukoy nang simple sa mga tuntunin ng isang simpleng integral o serye ng Taylor, na hindi masasabi tungkol sa iba pang logarithms.

Ang mga karagdagang katwiran para sa pagiging natural ay hindi nauugnay sa notasyon. Halimbawa, mayroong ilang simpleng serye na may natural na logarithms. Tinawag sila nina Pietro Mengoli at Nicholas Mercator logarithmus naturalis ilang dekada hanggang bumuo ng differential at integral calculus sina Newton at Leibniz.

Kahulugan

Pormal na ln( a) ay maaaring tukuyin bilang ang lugar sa ilalim ng kurba ng graph 1/ x mula 1 hanggang a, ibig sabihin, bilang integral:

Ito ay tunay na isang logarithm dahil natutugunan nito ang pangunahing katangian ng logarithm:

Ito ay maipakikita sa pamamagitan ng pag-aakalang tulad ng sumusunod:

Numerical na halaga

Upang kalkulahin ang numerical na halaga ng natural na logarithm ng isang numero, maaari mong gamitin ang pagpapalawak ng serye ng Taylor nito sa anyo:

Para makakuha ng mas magandang convergence rate, maaari mong gamitin ang sumusunod na pagkakakilanlan:

sa kondisyon na y = (x−1)/(x+1) at x > 0.

Para sa ln( x), Saan x> 1, mas malapit ang halaga x hanggang 1, mas mabilis ang convergence rate. Ang mga pagkakakilanlan na nauugnay sa logarithm ay maaaring gamitin upang makamit ang layunin:

Ginamit ang mga pamamaraang ito bago pa man dumating ang mga calculator, kung saan ginamit ang mga numerical table at isinagawa ang mga manipulasyon na katulad ng mga inilarawan sa itaas.

Mataas na katumpakan

Para sa pag-compute ng natural na logarithm na may malaking bilang ng mga precision digit, hindi mahusay ang serye ng Taylor dahil mabagal ang convergence nito. Ang isang kahalili ay ang paggamit ng pamamaraan ni Newton upang baligtarin ang isang exponential function na ang mga serye ay mas mabilis na nagtatagpo.

Ang isang alternatibo para sa napakataas na katumpakan ng pagkalkula ay ang formula:

saan M nagsasaad ng arithmetic-geometric average ng 1 at 4/s, at

m pinili kaya na p ang mga marka ng katumpakan ay nakamit. (Sa karamihan ng mga kaso, sapat na ang halagang 8 para sa m.) Sa katunayan, kung gagamitin ang pamamaraang ito, maaaring ilapat ang inverse ng Newton ng natural logarithm upang mahusay na makalkula ang exponential function. (Ang mga constant ln 2 at pi ay maaaring paunang kalkulahin sa nais na katumpakan gamit ang alinman sa kilalang mabilis na convergent na serye.)

Ang pagiging kumplikado ng computational

Ang computational complexity ng natural logarithms (gamit ang arithmetic-geometric mean) ay O( M(n)ln n). Dito n ay ang bilang ng mga digit ng katumpakan kung saan dapat suriin ang natural na logarithm, at M(n) ay ang computational complexity ng pagpaparami ng dalawa n-digit na mga numero.

Patuloy na mga fraction

Bagama't walang mga simpleng patuloy na fraction na kumakatawan sa isang logarithm, maaaring gamitin ang ilang pangkalahatan na patuloy na fraction, kabilang ang:

Mga kumplikadong logarithms

Ang exponential function ay maaaring i-extend sa isang function na nagbibigay ng complex number ng form e x para sa anumang arbitrary kumplikadong numero x, sa kasong ito ay isang walang katapusang serye na may kumplikado x. Ang exponential function na ito ay maaaring baligtarin upang bumuo ng isang kumplikadong logarithm, na magkakaroon ng karamihan sa mga katangian ng ordinaryong logarithms. Gayunpaman, mayroong dalawang kahirapan: wala x, para saan e x= 0, at lumalabas na e 2πi = 1 = e 0 . Dahil ang multiplicativity property ay wasto para sa isang kumplikadong exponential function, kung gayon e z = e z+2nπi para sa lahat ng kumplikado z at buo n.

Ang logarithm ay hindi maaaring tukuyin sa buong kumplikadong eroplano, at kahit na ito ay multivalued - anumang kumplikadong logarithm ay maaaring mapalitan ng isang "katumbas" na logarithm sa pamamagitan ng pagdaragdag ng anumang integer multiple ng 2 πi. Ang kumplikadong logarithm ay maaari lamang iisa ang halaga sa isang hiwa ng kumplikadong eroplano. Halimbawa, ln i = 1/2 πi o 5/2 πi o −3/2 πi, atbp., at bagaman i 4 = 1.4 log i maaaring tukuyin bilang 2 πi, o 10 πi o −6 πi, at iba pa.

Tingnan din

John Napier - imbentor ng logarithms

Mga Tala

Matematika para sa pisikal na kimika. - ika-3. - Academic Press, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5, Extract ng pahina 9
J J O"Connor at EF Robertson Ang dami e. Ang MacTutor History of Mathematics archive (Setyembre 2001). Naka-archive
Cajori Florian Isang Kasaysayan ng Matematika, ika-5 ed. - AMS Bookstore, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
Flashman, Martin Pagtatantya ng Integrals gamit ang Polynomials. Na-archive mula sa orihinal noong Pebrero 12, 2012.

Ang logarithm ng isang positibong numero b sa base a (a>0, a ay hindi katumbas ng 1) ay isang numero c na ang a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Tandaan na ang logarithm ng isang hindi positibong numero ay hindi natukoy. Bilang karagdagan, ang base ng logarithm ay dapat na positibong numero na hindi katumbas ng 1. Halimbawa, kung parisukat natin -2, makukuha natin ang numero 4, ngunit hindi ito nangangahulugan na ang logarithm sa base -2 ng 4 ay katumbas ng 2.

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

isang log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Mahalagang magkaiba ang saklaw ng kahulugan ng kanan at kaliwang bahagi ng formula na ito. Kaliwang bahagi ay tinukoy lamang para sa b>0, a>0 at a ≠ 1. Ang kanang bahagi ay tinukoy para sa anumang b, at hindi nakadepende sa a. Kaya, ang paggamit ng pangunahing logarithmic na "pagkakakilanlan" kapag nilulutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring humantong sa isang pagbabago sa OD.

Dalawang halatang kahihinatnan ng kahulugan ng logarithm

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Sa katunayan, kapag itinaas ang numero a sa unang kapangyarihan, nakukuha natin ang parehong numero, at kapag itinaas ito sa zero na kapangyarihan, makakakuha tayo ng isa.

Logarithm ng produkto at logarithm ng quotient

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Gusto kong bigyan ng babala ang mga mag-aaral laban sa walang pag-iisip na paglalapat ng mga formula na ito sa paglutas logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay. Kapag ginagamit ang mga ito "mula kaliwa pakanan," ang ODZ ay lumiliit, at kapag lumilipat mula sa kabuuan o pagkakaiba ng logarithms patungo sa logarithm ng produkto o quotient, lumalawak ang ODZ.

Sa katunayan, ang expression na log a (f (x) g (x)) ay tinukoy sa dalawang kaso: kapag ang parehong mga function ay mahigpit na positibo o kapag ang f(x) at g(x) ay parehong mas mababa sa zero.

Ang pagbabago sa expression na ito sa sum log a f (x) + log a g (x), napipilitan tayong limitahan ang ating sarili lamang sa kaso kapag f(x)>0 at g(x)>0. May pagpapaliit sa lugar mga katanggap-tanggap na halaga, at ito ay tiyak na hindi katanggap-tanggap, dahil maaari itong humantong sa pagkawala ng mga solusyon. Ang isang katulad na problema ay umiiral para sa formula (6).

Ang antas ay maaaring alisin sa tanda ng logarithm

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

At muli gusto kong tumawag para sa katumpakan. Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay malinaw na tinukoy para sa lahat ng mga halaga ng f(x) maliban sa zero. Ang kanang bahagi ay para lamang sa f(x)>0! Sa pamamagitan ng pagkuha ng degree sa logarithm, muli naming pinaliit ang ODZ. Ang baligtad na pamamaraan ay humahantong sa pagpapalawak ng hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Ang lahat ng mga pangungusap na ito ay nalalapat hindi lamang sa kapangyarihan 2, kundi pati na rin sa anumang kahit na kapangyarihan.

Formula para sa paglipat sa isang bagong pundasyon

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Ang bihirang kaso na iyon kapag ang ODZ ay hindi nagbabago sa panahon ng pagbabago. Kung pinili mo ang base c nang matalino (positibo at hindi katumbas ng 1), ang formula para sa paglipat sa isang bagong base ay ganap na ligtas.

Kung pipiliin natin ang numero b bilang bagong base c, makakakuha tayo ng isang mahalaga espesyal na kaso mga formula (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Ilang simpleng halimbawa na may logarithms

Halimbawa 1. Kalkulahin: log2 + log50.
Solusyon. log2 + log50 = log100 = 2. Ginamit namin ang sum ng logarithms formula (5) at ang kahulugan ng decimal logarithm.

Halimbawa 2. Kalkulahin: lg125/lg5.
Solusyon. log125/log5 = log 5 125 = 3. Ginamit namin ang formula para sa paglipat sa isang bagong base (8).

Talaan ng mga formula na nauugnay sa logarithms

isang log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Hindi masama sa lahat, tama? Habang naghahanap ang mga mathematician ng mga salita na magbibigay sa iyo ng mahaba, nakakalito na kahulugan, tingnan natin ang simple at malinaw na kahulugan na ito.

Ang bilang e ay nangangahulugan ng paglago

Ang bilang e ay nangangahulugang patuloy na paglaki. Gaya ng nakita natin sa nakaraang halimbawa, pinapayagan tayo ng e x na iugnay ang interes at oras: 3 taon sa 100% na paglago ay kapareho ng 1 taon sa 300%, kung ipagpalagay na "compound interest".

Maaari mong palitan ang anumang porsyento at mga halaga ng oras (50% para sa 4 na taon), ngunit mas mahusay na itakda ang porsyento bilang 100% para sa kaginhawahan (lumalabas na 100% para sa 2 taon). Sa pamamagitan ng paglipat sa 100%, maaari tayong tumuon lamang sa bahagi ng oras:

e x = e percent * time = e 1.0 * time = e time

Malinaw na ang ibig sabihin ng e x ay:

magkano ang lalago ng aking kontribusyon pagkatapos ng x units of time (assuming 100% continuous growth).
halimbawa, pagkatapos ng 3 agwat ng oras makakatanggap ako ng e 3 = 20.08 beses na mas maraming "bagay".

Ang e x ay isang scaling factor na nagpapakita kung saang antas tayo lalago sa x na tagal ng panahon.

Ang ibig sabihin ng natural logarithm ay oras

Ang natural na logarithm ay ang kabaligtaran ng e, isang magarbong termino para sa kabaligtaran. Nagsasalita ng mga quirks; sa Latin ito ay tinatawag na logarithmus naturali, kaya ang pagdadaglat na ln.

At ano ang ibig sabihin ng pagbabaligtad o kabaligtaran na ito?

Ang e x ay nagpapahintulot sa amin na palitan ang oras at makakuha ng paglago.
Ang ln(x) ay nagbibigay-daan sa amin na kunin ang paglago o kita at alamin ang oras na kinakailangan upang mabuo ito.

Halimbawa:

e 3 ay katumbas ng 20.08. Pagkatapos ng tatlong yugto ng panahon, magkakaroon tayo ng 20.08 beses na higit pa kaysa sa nasimulan natin.
Ang ln(08/20) ay humigit-kumulang 3. Kung interesado ka sa paglago ng 20.08 beses, kakailanganin mo ng 3 yugto ng panahon (muli, sa pag-aakalang 100% patuloy na paglago).

Nagbabasa pa rin? Ang natural na logarithm ay nagpapakita ng oras na kinakailangan upang maabot ang nais na antas.

Itong hindi karaniwang logarithmic na bilang

Dumaan ka na ba sa logarithms - kakaibang nilalang sila. Paano nila nagawang gawing karagdagan ang multiplikasyon? Paano ang paghahati sa pagbabawas? Tingnan natin.

Ano ang katumbas ng ln(1)? Sa madaling salita, ang tanong ay: gaano katagal ako dapat maghintay upang makakuha ng 1x na higit pa sa kung ano ang mayroon ako?

Zero. Zero. Hindi naman. Mayroon ka na nito minsan. Hindi nangangailangan ng maraming oras upang pumunta mula sa antas 1 hanggang sa antas 1.

ln(1) = 0

Okay, paano naman ang fractional value? Gaano katagal bago natin matitira ang 1/2 ng available na dami? Alam namin na sa 100% tuloy-tuloy na paglaki, ang ln(2) ay nangangahulugang ang oras na kinakailangan upang madoble. Kung tayo ibalik natin ang panahon(ibig sabihin, maghintay ng negatibong tagal ng oras), pagkatapos ay makukuha natin ang kalahati ng kung ano ang mayroon tayo.

ln(1/2) = -ln(2) = -0.693

Logical diba? Kung babalik tayo (time back) sa 0.693 segundo, makikita natin ang kalahati ng halagang magagamit. Sa pangkalahatan, maaari mong ibalik ang fraction at kumuha ng negatibong halaga: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. Nangangahulugan ito na kung babalik tayo sa oras sa 1.09 na beses, makakakita lamang tayo ng ikatlong bahagi ng kasalukuyang numero.

Okay, paano ang logarithm ng isang negatibong numero? Gaano katagal bago "lumago" ang isang kolonya ng bakterya mula 1 hanggang -3?

Ito ay imposible! Hindi ka makakakuha ng isang negatibong bilang ng bakterya, hindi ba? Maaari kang makakuha ng maximum (er...minimum) na zero, ngunit walang paraan na makakakuha ka ng negatibong numero mula sa maliliit na nilalang na ito. Ang isang negatibong bilang ng bakterya ay hindi makatwiran.

ln(negatibong numero) = hindi natukoy

"Hindi natukoy" ay nangangahulugan na walang tagal ng oras na kailangang maghintay upang makakuha ng negatibong halaga.

Nakakatuwa lang ang logarithmic multiplication

Gaano katagal bago lumaki ng apat na beses? Siyempre, maaari mo lamang kunin ang ln(4). Ngunit ito ay masyadong simple, tayo ay pupunta sa ibang paraan.

Maaari mong isipin ang quadruple growth bilang pagdodoble (nangangailangan ng ln(2) unit ng oras) at pagkatapos ay pagdodoble muli (nangangailangan ng isa pang ln(2) unit ng oras):

Oras para lumaki ng 4 na beses = ln(4) = Oras para doblehin at pagkatapos ay doble muli = ln(2) + ln(2)

Interesting. Anumang rate ng paglago, sabihin nating 20, ay maaaring ituring na pagdodoble pagkatapos ng 10x na pagtaas. O paglago ng 4 na beses, at pagkatapos ay sa pamamagitan ng 5 beses. O tripling at pagkatapos ay tumaas ng 6.666 beses. Tingnan ang pattern?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Ang logarithm ng A times B ay log(A) + log(B). Ang relasyon na ito ay agad na may katuturan kung titingnan sa mga tuntunin ng paglago.

Kung interesado ka sa 30x na paglaki, maaari kang maghintay ng ln(30) sa isang upuan, o maghintay ng ln(3) para sa tripling, at pagkatapos ay isa pang ln(10) para sa 10x. Ang resulta ay pareho, kaya siyempre ang oras ay dapat manatiling pare-pareho (at ito ay nangyayari).

Paano naman ang division? Sa partikular, ang ibig sabihin ng ln(5/3) ay: gaano katagal ang paglaki ng 5 beses at pagkatapos ay makuha ang 1/3 niyan?

Mahusay, ang paglago ng 5 beses ay ln(5). Ang pagtaas ng 1/3 beses ay aabutin -ln(3) mga yunit ng oras. Kaya,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Nangangahulugan ito: hayaan itong lumaki nang 5 beses, at pagkatapos ay "bumalik sa nakaraan" sa punto kung saan ang ikatlong bahagi na lamang ng halagang iyon ang natitira, upang makakuha ka ng 5/3 na paglago. Sa pangkalahatan ito ay lumalabas

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Umaasa ako na ang kakaibang aritmetika ng logarithms ay nagsisimula nang magkaroon ng kahulugan sa iyo: ang pagpaparami ng mga rate ng paglago ay nagiging pagdaragdag ng mga yunit ng oras ng paglago, at ang paghahati ay nagiging pagbabawas ng mga yunit ng oras. Hindi na kailangang kabisaduhin ang mga patakaran, subukang maunawaan ang mga ito.

Paggamit ng natural na logarithm para sa arbitraryong paglaki

Well, siyempre, "sabi mo, "ito ay mabuti kung ang paglago ay 100%, ngunit paano ang 5% na natatanggap ko?"

Walang problema. Ang "oras" na kinakalkula namin sa ln() ay talagang kumbinasyon ng rate ng interes at oras, ang parehong X mula sa e x equation. Nagpasya lang kaming itakda ang porsyento sa 100% para sa pagiging simple, ngunit malaya kaming gumamit ng anumang mga numero.

Sabihin nating gusto nating makamit ang 30x na paglago: kunin ang ln(30) at makakuha ng 3.4 Nangangahulugan ito:

e x = taas
e 3.4 = 30

Malinaw, ang equation na ito ay nangangahulugang "100% return sa loob ng 3.4 na taon ay nagbibigay ng 30x na paglago." Maaari nating isulat ang equation na ito tulad ng sumusunod:

e x = e rate*time
e 100% * 3.4 taon = 30

Maaari naming baguhin ang mga halaga ng "taya" at "oras", hangga't ang rate * oras ay nananatiling 3.4. Halimbawa, kung interesado tayo sa 30x na paglago, gaano katagal tayo maghihintay sa interest rate na 5%?

ln(30) = 3.4
rate * oras = 3.4
0.05 * oras = 3.4
oras = 3.4 / 0.05 = 68 taon

Nangangatuwiran ako ng ganito: "ln(30) = 3.4, kaya sa 100% na paglago ay aabutin ng 3.4 na taon. Kung doblehin ko ang rate ng paglago, ang oras na kinakailangan ay mababawas sa kalahati."

100% para sa 3.4 na taon = 1.0 * 3.4 = 3.4
200% sa 1.7 taon = 2.0 * 1.7 = 3.4
50% para sa 6.8 taon = 0.5 * 6.8 = 3.4
5% sa 68 taon = .05 * 68 = 3.4.

Mahusay, tama? Ang natural na logarithm ay maaaring gamitin sa anumang rate ng interes at oras dahil ang kanilang produkto ay nananatiling pare-pareho. Maaari mong ilipat ang mga variable na halaga hangga't gusto mo.

Cool na halimbawa: Panuntunan ng pitumpu't dalawa

Ang Rule of Seventy-Two ay isang mathematical technique na nagbibigay-daan sa iyong tantiyahin kung gaano katagal bago dumoble ang iyong pera. Ngayon ay hihingin natin ito (oo!), At higit pa rito, susubukan nating maunawaan ang kakanyahan nito.

Gaano katagal upang madoble ang iyong pera sa 100% na interes na pinagsama-sama taun-taon?

Oops. Ginamit namin ang natural na logarithm para sa kaso ng patuloy na paglago, at ngayon ay pinag-uusapan mo ang tungkol sa taunang compounding? Hindi ba magiging hindi angkop ang formula na ito para sa ganitong kaso? Oo, mangyayari ito, ngunit para sa tunay na mga rate ng interes tulad ng 5%, 6% o kahit na 15%, ang pagkakaiba sa pagitan ng taunang compounding at patuloy na paglago ay magiging maliit. Kaya gumagana ang magaspang na pagtatantya, um, humigit-kumulang, kaya magpapanggap tayo na mayroon tayong ganap na tuluy-tuloy na accrual.

Ngayon ang tanong ay simple: Gaano ka kabilis magdoble sa 100% na paglago? ln(2) = 0.693. Ito ay tumatagal ng 0.693 mga yunit ng oras (mga taon sa aming kaso) upang doblehin ang aming halaga na may patuloy na pagtaas ng 100%.

Kaya, paano kung ang rate ng interes ay hindi 100%, ngunit sabihin 5% o 10%?

Madali lang! Dahil taya * oras = 0.693, dodoblehin namin ang halaga:

rate * oras = 0.693
oras = 0.693 / taya

Lumalabas na kung ang paglago ay 10%, aabutin ng 0.693 / 0.10 = 6.93 taon upang madoble.

Upang gawing simple ang mga kalkulasyon, i-multiply natin ang magkabilang panig sa 100, pagkatapos ay maaari nating sabihin ang "10" sa halip na "0.10":

oras upang doble = 69.3 / taya, kung saan ang taya ay ipinahayag bilang isang porsyento.

Ngayon ay oras na para magdoble sa rate na 5%, 69.3 / 5 = 13.86 taon. Gayunpaman, ang 69.3 ay hindi ang pinaka-maginhawang dibidendo. Pumili tayo ng malapit na numero, 72, na madaling hatiin sa 2, 3, 4, 6, 8 at iba pang mga numero.

oras para magdoble = 72 / taya

na siyang tuntunin ng pitumpu't dalawa. Lahat ay sakop.

Kung kailangan mong maghanap ng oras para mag-triple, maaari mong gamitin ang ln(3) ~ 109.8 at makakuha ng

oras para triple = 110 / taya

Alin ang isa pang kapaki-pakinabang na tuntunin. Nalalapat ang "Panuntunan ng 72" sa paglaki ng mga rate ng interes, paglaki ng populasyon, kultura ng bacterial, at anumang bagay na lumalaki nang husto.

Ano ang susunod?

Umaasa ako na ang natural na logarithm ay may katuturan na ngayon sa iyo - ipinapakita nito ang oras na kinakailangan para sa anumang numero na lumago nang husto. Sa tingin ko ito ay tinatawag na natural dahil ang e ay isang unibersal na sukatan ng paglago, kaya ln ay maaaring isaalang-alang sa isang unibersal na paraan pagtukoy kung gaano katagal ang paglaki.

Sa tuwing makikita mo ang ln(x), tandaan "ang oras na kinakailangan upang lumaki ang X beses". Sa isang paparating na artikulo ay ilalarawan ko ang e at ln nang magkasabay upang ang sariwang halimuyak ng matematika ay mapuno ng hangin.

Addendum: Natural logarithm ng e

Mabilis na pagsusulit: ano ang ln(e)?

sasabihin ng isang robot sa matematika: dahil tinukoy sila bilang kabaligtaran ng isa't isa, malinaw na ang ln(e) = 1.
taong maunawain: Ang ln(e) ay ang dami ng beses na kinakailangan para lumaki ang "e" na beses (mga 2.718). Gayunpaman, ang bilang e mismo ay isang sukatan ng paglago sa pamamagitan ng isang salik na 1, kaya ln(e) = 1.

Mag-isip ng mabuti.

Setyembre 9, 2013

Aralin at presentasyon sa mga paksa: "Mga natural na logarithm. Ang base ng natural na logarithm. Ang logarithm ng isang natural na numero"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, pagsusuri, kagustuhan! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang anti-virus program.

Mga pantulong sa pagtuturo at simulator sa Integral online store para sa grade 11
Interactive na manwal para sa mga baitang 9–11 "Trigonometry"
Interactive na manwal para sa mga baitang 10–11 "Logarithms"

Ano ang natural logarithm

Guys, sa huling aralin natutunan namin ang isang bagong, espesyal na numero - e.
Napag-aralan natin ang logarithm at alam natin na ang base ng isang logarithm ay maaaring maraming numero na mas malaki sa 0. Ngayon ay titingnan din natin ang logarithm na ang base ay ang bilang na ito ay karaniwang tinatawag na logarithm natural na logarithm. Siya ay mayroon sariling recording: $\ln(n)$ - natural logarithm. Ang entry na ito ay katumbas ng entry: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Ang mga exponential at logarithmic function ay inverses, at ang natural na logarithm ay ang inverse ng function: $y=e^x$.
Ang mga inverse function ay simetriko na may kinalaman sa tuwid na linya $y=x$.
I-plot natin ang natural logarithm sa pamamagitan ng paglalagay ng exponential function na may paggalang sa tuwid na linya $y=x$.

Kapansin-pansin na ang anggulo ng pagkahilig ng tangent sa graph ng function na $y=e^x$ sa punto (0;1) ay 45°. Kung gayon ang anggulo ng pagkahilig ng tangent sa graph ng natural na logarithm sa punto (1;0) ay magiging katumbas din ng 45°. Pareho sa mga tangent na ito ay magiging parallel sa linya $y=x$. I-diagram natin ang mga tangent:

Mga katangian ng function na $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Ay hindi kahit na o kakaiba.
3. Tumataas sa buong domain ng kahulugan.
4. Hindi limitado mula sa itaas, hindi limitado mula sa ibaba.
5. Pinakamalaking halaga hindi, pinakamababang halaga Hindi.
6. Tuloy-tuloy.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Matambok pataas.
9. Naiiba kahit saan.

Sa kurso ng mas mataas na matematika ito ay napatunayan na ang derivative ng isang inverse function ay ang inverse ng derivative ng isang ibinigay na function.
Walang saysay na palalimin ang patunay, isulat na lang natin ang formula: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Halimbawa.
Kalkulahin ang halaga ng derivative ng function: $y=\ln(2x-7)$ sa punto $x=4$.
Solusyon.
SA pangkalahatang pananaw ang ating function ay kinakatawan ng function na $y=f(kx+m)$, maaari nating kalkulahin ang mga derivatives ng naturang mga function.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Kalkulahin natin ang halaga ng derivative sa kinakailangang punto: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Sagot: 2.

Halimbawa.
Gumuhit ng tangent sa graph ng function na $y=ln(x)$ sa puntong $х=е$.
Solusyon.
Naaalala nating mabuti ang equation ng tangent sa graph ng isang function sa puntong $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Sunud-sunod naming kinakalkula ang mga kinakailangang halaga.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Ang tangent equation sa puntong $x=e$ ay ang function na $y=\frac(x)(e)$.
I-plot natin ang natural logarithm at ang tangent line.

Halimbawa.
Suriin ang function para sa monotonicity at extrema: $y=x^6-6*ln(x)$.
Solusyon.
Ang domain ng kahulugan ng function na $D(y)=(0;+∞)$.
Hanapin natin ang derivative ng ibinigay na function:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Ang derivative ay umiiral para sa lahat ng x mula sa domain ng kahulugan, pagkatapos ay walang mga kritikal na puntos. Maghanap tayo ng mga nakatigil na puntos:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Ang puntong $x=-1$ ay hindi kabilang sa domain ng kahulugan. Pagkatapos ay mayroon kaming isang nakatigil na punto $x=1$. Hanapin natin ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba:

Ang puntong $x=1$ ay ang pinakamababang punto, pagkatapos ay $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Sagot: Bumababa ang function sa segment (0;1], tumataas ang function sa ray $)