Extracurricular na aktibidad "pagputol ng mga geometric na hugis sa mga piraso." Mga problemang kinasasangkutan ng pagputol at muling paggupit ng mga hugis

Pagtatanghal para sa isang aralin sa visual geometry sa ika-5 baitang. Nakatutok sa manwal sa pagsasanay para sa institusyong pang-edukasyon na "Visual Geometry", mga grado 5-6 / I.F. Shaprygin, L.N

Pangunahing konsepto: pagkakapantay-pantay ng mga numero. Mga resulta ng paksa: ilarawan ang mga pantay na numero at bigyang-katwiran ang kanilang pagkakapantay-pantay; bumuo ng mga ibinigay na figure mula sa mga flat mga geometric na hugis; lumikha at manipulahin ang isang imahe: putulin, paikutin, pagsamahin, ipapatong. Mga resulta ng meta-subject: pag-unlad mapanlikhang pag-iisip, mga kakayahan sa disenyo, ang kakayahang mahulaan ang resulta, ang pagbuo ng mga kasanayan sa komunikasyon.

Mga personal na resulta: pagbuo ng aktibidad ng nagbibigay-malay; pagkintal ng lasa para sa gawaing pangkaisipan. Mga koneksyon sa intrasubject at intersubject: planimetry (pagkakapantay-pantay ng mga figure, symmetry, area, pantay na laki at pantay na komposisyon), geometric combinatorics, pagguhit, teknolohiya.

Ang araling ito ang una sa dalawa sa paksang ito.

Ang araling ito ay sumasaklaw sa mga problemang may kinalaman sa paggupit ng mga hugis. Ang layunin ng solver ay i-cut ang ipinahiwatig na figure sa dalawa o higit pang pantay na bahagi. Upang gawing simple ang figure na ito, madalas itong nahahati sa mga cell. Sa mga problemang ito, ang konsepto ng pagkakapantay-pantay ng mga numero ay tahasang ipinakilala (ang mga numero na nag-tutugma kapag pinatong ay tinatawag na pantay). Ginagamit din ang kahulugang ito upang suriin ang pagkakapantay-pantay ng mga resultang numero.

Tingnan ang mga nilalaman ng dokumento
"Mga problema sa pagputol at pagtitiklop ng mga hugis. Aralin 1"

Mga problema sa pagputol

at natitiklop na mga pigura

Layunin: upang pagsamahin ang kakayahang malutas ang mga problema sa pagputol.

Visual na geometry

ika-5 baitang

Binabalaan ka ng salawikain na ito laban sa pagmamadali sa paglutas ng mga problema.

Ang ibinigay na figure, na nahahati sa pantay na mga cell para sa kadalian, ay dapat i-cut sa dalawa o higit pang mga bahagi.

Kung ang mga bahaging ito ay maaaring i-superimpose sa isa't isa upang sila ay magkasabay (at ang mga numero ay maibabalik), kung gayon ang problema ay nalutas nang tama.

Paglutas ng problema

Lokal na nagbebenta ng lupa

nang-agaw ng isang piraso ng kakaibang lupain minsan

mga form (inaasahan niyang ibenta ito nang may pakinabang sa mga bahagi).

Ngunit ang bawat isa sa walo ay natagpuan

im buyers, wanted to have

ang balangkas ay hindi mas masama kaysa sa kapitbahay.

Saan dapat i-install ang merchant

naghahati ng mga bakod,

upang gawin itong 8

magkaparehong lugar?

Sagot

Paglutas ng problema

Ang isang parisukat ay binubuo ng 16 na magkakahawig na mga cell,

4 sa kanila ay pininturahan. Gupitin ang parisukat

4 pantay na bahagi upang sa bawat isa sa kanila

mayroon lamang isang kulay na cell.

Maaaring sakupin ng isang cell ang anumang lugar sa bawat bahagi.

Sagot (4)

Paglutas ng problema

Gupitin ang parihaba sa 4 pantay na bahagi,

(gumamit ng maraming paraan hangga't maaari).

1 paraan

Ang pagtatanghal ay nag-aalok lamang ng 4 na paraan upang malutas ang problemang ito. Marahil ang mga mag-aaral ay magmumungkahi ng iba pang mga pamamaraan - ang mga ito ay dapat ding isaalang-alang sa klase.

Paraan 2

3 paraan

Gumawa ng mga hugis mula sa kanila. Ilan sa kanila ang nakuha mo?

Ang resulta

ang mga numero ay tinatawag

TRIMINO .

Kumuha ng apat na magkaparehong parisukat. Gumawa ng mga hugis mula sa kanila.

• Ilan sa kanila ang nakuha mo?

Nakakuha ng lima

Mga numero ng TETRAMINO.

Gumawa ng limang parisukat

lahat ng posibleng figure.

Ilan sa kanila ang nakuha mo?

Kabuuang umiiral 12 elemento ng pentomino

Ang mga problema sa pagputol ay isang lugar ng matematika kung saan, tulad ng sinasabi nila, walang mga mammoth na nakahiga sa paligid. Maraming mga indibidwal na problema, ngunit mahalagang walang pangkalahatang teorya. Bukod sa kilalang Bolyai-Gerwin theorem, halos walang ibang pangunahing resulta sa lugar na ito. Ang kawalan ng katiyakan ay isang walang hanggang kasama sa pagputol ng mga gawain. Maaari nating, halimbawa, gupitin ang isang regular na pentagon sa anim na piraso, kung saan maaari tayong bumuo ng isang parisukat; gayunpaman, hindi namin mapapatunayan na ang limang bahagi ay hindi magiging sapat para dito.

Sa tulong ng tusong heuristics, imahinasyon at kalahating litro, kung minsan ay namamahala kami upang makahanap ng isang tiyak na solusyon, ngunit, bilang isang patakaran, wala kaming naaangkop na mga tool upang patunayan ang kababaan ng solusyon na ito o ang hindi pag-iral nito (ang huli , siyempre, nalalapat sa kaso kapag hindi kami nakahanap ng solusyon) . Nakakalungkot at hindi patas. At isang araw kumuha ako ng isang blangkong notebook at nagpasyang ibalik ang hustisya sa sukat ng isa tiyak na gawain: pagputol ng isang patag na pigura sa dalawang magkaparehong bahagi. Bilang bahagi ng seryeng ito ng mga artikulo (sa pamamagitan ng paraan, magkakaroon ng tatlo sa kanila), ikaw at ako, mga kasama, ay titingnan ang nakakatawang polygon na ipinapakita sa ibaba at susubukan na walang kinikilingan kung posible bang i-cut ito sa dalawang pantay. figure o hindi.

Panimula

Una, i-refresh natin ang ating kursong geometry sa paaralan at tandaan kung ano ang mga katumbas na numero. Ang Yandex ay kapaki-pakinabang na nagmumungkahi:

Ang dalawang figure sa isang eroplano ay tinatawag na pantay-pantay kung mayroong isang paggalaw na isa-sa-isa ay nagbabago ng isang pigura sa isa pa.

Ngayon tanungin natin ang Wikipedia tungkol sa mga paggalaw. Sasabihin niya sa amin, una, na ang paggalaw ay isang pagbabago ng eroplano na nagpapanatili ng mga distansya sa pagitan ng mga punto. Pangalawa, mayroong kahit isang pag-uuri ng mga paggalaw sa isang eroplano. Lahat sila ay nabibilang sa isa sa sumusunod na tatlong uri:

• Gliding symmetry (dito, para sa kaginhawahan at benepisyo, isinama ko ang mirror symmetry, bilang isang degenerate case, kung saan ang parallel na pagsasalin ay isinasagawa sa zero vector)

Ipakilala natin ang ilang notasyon. Tatawagin natin ang figure na pinutol na figure A, at ang dalawang hypothetical na pantay na figure kung saan maaari nating i-cut ito ay tatawaging B at C, ayon sa pagkakabanggit. Tatawagin namin ang bahagi ng eroplano na hindi inookupahan ng figure A region D. Sa mga kaso kung saan ang isang partikular na polygon mula sa larawan ay itinuturing na cut figure, tatawagin namin itong A 0 .

Kaya, kung ang figure A ay maaaring i-cut sa dalawang pantay na bahagi B at C, kung gayon mayroong isang kilusan na nagsasalin ng B sa C. Ang paggalaw na ito ay maaaring maging parallel na pagsasalin, o pag-ikot, o sliding symmetry (mula ngayon, hindi ko na itinakda na ang mirror symmetry ay itinuturing ding sliding). Ang aming desisyon ay itatayo sa simple at, masasabi ko pa nga, malinaw na batayan. Sa bahaging ito ay titingnan natin ang pinakasimpleng kaso - parallel transfer. Ang pag-ikot at sliding symmetry ay mahuhulog sa ikalawa at ikatlong bahagi ayon sa pagkakabanggit.

Kaso 1: parallel transfer

Ang parallel transfer ay tinukoy ng isang solong parameter - ang vector kung saan nangyayari ang paglilipat. Ipakilala natin ang ilan pang termino. Ang isang tuwid na linya na parallel sa shift vector at naglalaman ng hindi bababa sa isang punto ng figure A ay tatawagin secant. Ang intersection ng isang secant line at figure A ay tatawagin cross section. Ang isang secant kung saan ang figure A (minus ang seksyon) ay ganap na namamalagi sa isang kalahating eroplano ay tatawagin hangganan.

Lemma 1. Ang seksyon ng hangganan ay dapat maglaman ng higit sa isang punto.

Patunay: halata. Well, o sa mas detalyado: patunayan natin ito sa pamamagitan ng kontradiksyon. Kung ang puntong ito ay kabilang sa figure B, kung gayon ito larawan(ibig sabihin, ang punto kung saan ito pupunta sa panahon ng parallel na pagsasalin) ay kabilang sa figure C => ang imahe ay kabilang sa figure A => ang imahe ay kabilang sa seksyon. Kontradiksyon. Kung ang puntong ito ay kabilang sa figure C, kung gayon ito prototype(ang punto na, na may parallel na pagsasalin, ay papasok dito) ay kabilang sa figure B, at pagkatapos ay katulad nito. Ito ay lumiliko na dapat mayroong hindi bababa sa dalawang puntos sa seksyon.

Ginagabayan ng simpleng lemma na ito, hindi mahirap maunawaan na ang nais na parallel na pagsasalin ay maaari lamang mangyari sa kahabaan ng vertical axis (sa kasalukuyang oryentasyon ng larawan, kung ito ay nasa ibang direksyon, kahit isa sa mga seksyon ng hangganan ay mangyayari). binubuo ng isang punto. Ito ay mauunawaan sa pamamagitan ng pag-iisip ng pag-ikot ng shift vector at pagtingin sa kung ano ang mangyayari sa mga hangganan. Para maalis ang kaso ng vertical parallel transfer, kailangan namin ng mas sopistikadong tool.

Lemma 2. Ang kabaligtaran na imahe ng isang punto na matatagpuan sa hangganan ng figure C ay alinman sa hangganan ng figure B at C, o sa hangganan ng figure B at rehiyon D.

Patunay: hindi halata, pero aayusin natin ngayon. Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang boundary point ng isang figure ay isang punto na, gaano man kalapit dito, may mga punto na kabilang sa figure at mga punto na hindi kabilang dito. Alinsunod dito, malapit sa boundary point (tawagin natin itong O") ng figure C magkakaroon ng parehong mga punto ng figure C at iba pang mga punto na kabilang sa alinman sa figure B o rehiyon D. Ang kabaligtaran na mga imahe ng mga punto ng figure C ay maaari lamang maging mga punto ng figure B. Dahil dito, arbitraryong malapit sa kabaligtaran na imahe ng puntong O" (magiging lohikal na tawagan itong puntong O) may mga punto ng pigura B. Ang kabaligtaran na mga larawan ng mga punto ng pigura B ay maaaring maging anumang mga puntos na hindi nabibilang sa B (iyon ay, alinman sa mga punto ng figure C o mga punto ng rehiyon D). Katulad nito para sa mga punto ng rehiyon D. Dahil dito, gaano man kalapit sa punto O mayroong alinman sa mga punto ng figure C (at pagkatapos ay ang punto O ay nasa hangganan ng B at C) o mga punto ng rehiyon D (at pagkatapos ay ang kabaligtaran na imahe ay nasa hangganan ng B at D). Kung malalampasan mo ang lahat ng mga liham na ito, sasang-ayon ka na ang lemma ay napatunayan.

Teorama 1. Kung ang cross-section ng figure A ay isang segment, kung gayon ang haba nito ay isang multiple ng haba ng shift vector.

Patunay: isaalang-alang ang "malayong" dulo ng segment na ito (ibig sabihin, ang dulo na ang prototype ay kabilang din sa segment). Ang dulong ito ay malinaw na kabilang sa figure C at ang hangganang punto nito. Dahil dito, ang kabaligtaran na imahe nito (nga pala, nakahiga din sa segment at nahihiwalay sa imahe ng haba ng shift vector) ay nasa hangganan ng B at C, o sa hangganan ng B at D. Kung ito ay nasa hangganan ng B at C, pagkatapos ay kukunin din natin ang kabaligtaran na imahe nito . Uulitin namin ang operasyong ito hanggang sa ang susunod na kabaligtaran na imahe ay tumigil na sa hangganan C at magtatapos sa hangganan D - at ito ay eksaktong mangyayari sa kabilang dulo ng seksyon. Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang chain ng preimages na naghahati sa seksyon sa isang bilang ng mga maliliit na segment, ang haba ng bawat isa ay katumbas ng haba ng shift vector. Samakatuwid, ang haba ng seksyon ay isang multiple ng haba ng shift vector, atbp.

Corollary sa Theorem 1. Anumang dalawang seksyon na mga segment ay dapat na magkatugma.

Gamit ang corollary na ito, madaling ipakita na nawawala din ang vertical parallel transfer.

Sa katunayan, ang section one ay may haba na tatlong cell, at ang section two ay may haba na tatlo minus ang root ng dalawa sa kalahati. Malinaw, ang mga halagang ito ay hindi matutumbasan.

Konklusyon

Kung ang figure A 0 at maaaring i-cut sa dalawang pantay na figure B at C, kung gayon ang B ay hindi isinalin sa C sa pamamagitan ng parallel na pagsasalin. Itutuloy.

Sa isang sheet ng checkered na papel gamit ang gunting maaari mong malutas ang maraming iba't ibang at kawili-wiling mga problema. Ang mga gawaing ito ay hindi lamang kawili-wili o masaya. Ang mga ito ay madalas na naglalaman ng isang praktikal na solusyon at patunay ng kung minsan ay napakakomplikadong mga geometric na tanong.

Magsimula tayo sa pangunahing tuntunin ng pagputol at pagtitiklop: Ang dalawang polygon ay tinatawag na equicomposite kung ang isa sa mga ito ay maaaring hatiin (gupitin) sa ilang iba pang mga polygon, kung saan maaaring mabuo ang pangalawang polygon.

Ang mga pantay na proporsyon na polygon, siyempre, ay may parehong lugar (katumbas ng laki), at samakatuwid ang pag-aari ng equicomposition kung minsan ay nagbibigay-daan sa amin upang makakuha ng mga formula para sa pagkalkula ng mga lugar o ihambing ang mga lugar ng mga numero (tulad ng sinasabi nila, paraan ng paghahati o pagkabulok). Ang isang halimbawa ay ang paghahambing (pagkalkula) ng mga lugar ng isang paralelogram at isang parihaba.

Ang pangkalahatang tanong ng pagkakapareho ng dalawang polygon ay malayo sa simple. Mayroong isang kamangha-manghang theorem na nagsasaad na mula sa anumang ibinigay na polygon, sa pamamagitan ng pagputol nito sa mga piraso, anumang iba pang polygon ng parehong lugar ay maaaring itayo.

Ang teorama na ito ay tumatalakay sa tinatawag na mga simpleng polygon. Ang isang simpleng polygon ay isang polygon na ang hangganan ay binubuo ng isang saradong linya na walang mga intersection sa sarili, at eksaktong dalawa sa mga link nito ay nagtatagpo sa bawat vertex ng putol na linyang ito. Ang isang mahalagang katangian ng isang simpleng polygon ay ang katotohanan na mayroon itong hindi bababa sa isang panloob na dayagonal.

Tandaan na upang payagan ang pagbabago ng isang rektanggulo sa isang parisukat, kailangan namin (Figure 3) na hatiin ito sa tatlong bahagi. Gayunpaman, ang partisyon na ito ay hindi lamang isa. Halimbawa, maaari kang magbigay ng isang halimbawa ng paghahati ng isang parihaba sa apat na bahagi (Larawan 4).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_116.gif" width="356" height="391 src=">

Ang tanong kung ano ang pinakamaliit na bilang ng mga pagbawas na sapat upang makabuo ng isa pa mula sa isang pigura ay nananatiling bukas hanggang sa araw na ito.

Gawain 1.

Isang babae ang may isang hugis-parihaba na alpombra na may sukat na 27 x 36 na pulgada; dalawang magkasalungat na sulok ay napunit (Larawan 5) at kailangang putulin, ngunit gusto niya ng isang hugis-parihaba na alpombra. Ibinigay niya ang trabahong ito sa master at ginawa niya ito. Paano niya ito nagawa?

Ang solusyon sa problema ay makikita mula sa Figure 6.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image009_72.gif" width="286" height="240 src=">

Kung ang may ngipin na bahagi A ay tinanggal mula sa may ngipin na bahagi B at pagkatapos ay itinulak pabalik sa pagitan ng mga ngipin ng bahagi B, inilipat ito ng isang ngipin sa kanan, ang nais na rektanggulo ay makukuha.

Gawain 2.

Paano gumawa ng isang parisukat mula sa limang magkakahawig na mga parisukat sa pamamagitan ng pagputol sa kanila.

Tulad ng ipinapakita sa Figure 7, apat na parisukat ang kailangang gupitin sa isang tatsulok at isang trapezoid. Ikabit ang apat na trapezoid sa mga gilid ng ikalimang parisukat at, sa wakas, ikabit ang mga tatsulok gamit ang kanilang mga binti sa mga base ng mga trapezoid.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image011_68.gif" width="382" height="271 src=">

Gawain 3.

Gupitin ang parisukat sa pitong piraso upang kapag idinagdag mo ang mga ito ay makakakuha ka ng tatlong pantay na parisukat. (Mga Larawan 8, 9)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image013_60.gif" width="188" height="189 src=">

Gawain 4.

Gupitin ang parisukat sa walong piraso upang sa pamamagitan ng pagdaragdag sa mga ito ay makakakuha ka ng dalawang parisukat, na ang isa ay kalahati ng laki ng isa.

Mula sa Figure 10 makikita mo kung paano gupitin ang parisukat. Ang solusyon ay katulad ng solusyon sa nakaraang problema. Ipinapakita ng Figure 11 kung paano idagdag ang mga piraso upang makuha ang dalawang kinakailangang parisukat.

Pang-edukasyon na paglilibot

Mga gawain para sa malayang desisyon mga pangkat ng "mas bata" na pangkat ng edad

Problema 1

Gumapang ang kuhol sa isang poste na may taas na 10 m Sa araw ay tumataas ito ng 5 m, at sa gabi ay bumababa ito ng 4 m Gaano katagal bago makarating ang kuhol mula sa ibaba hanggang sa tuktok ng poste.

Problema 2

Posible bang gupitin ang isang piraso ng papel ng kuwaderno na maaaring paglagyan ng isang tao?

Suliranin 3

Ang mga hares ay naglalagari ng isang troso. Gumawa sila ng 10 hiwa. Ilang log ang nakuha mo?

Suliranin 4

Ang bagel ay pinutol sa mga sektor. Gumawa kami ng 10 hiwa. Ilang piraso ang nakuha mo?

Problema 5

Sa isang malaking bilog na cake, 10 hiwa ang ginawa upang ang bawat hiwa ay napupunta mula sa gilid patungo sa gilid at dumaan sa gitna ng cake. Ilang piraso ang nakuha mo?

Suliranin 6

Dalawang tao ang may dalawang parisukat na cake. Ang bawat isa ay gumawa ng 2 straight cut sa kanilang cake mula sa gilid hanggang sa gilid. Kasabay nito, ang isa ay nakakuha ng tatlong piraso, at ang isa ay nakakuha ng apat. Paano kaya ito?

Suliranin 7

Ang mga liyebre ay muling naglalagari ng troso, ngunit ngayon ang magkabilang dulo ng troso ay sinigurado. Sampung gitnang troso ang nahulog, ngunit ang dalawang panlabas ay nanatiling maayos. Ilang hiwa ang ginawa ng mga liyebre?

Suliranin 8

Paano hatiin ang isang pancake sa 4.5, 6, 7 bahagi gamit ang tatlong tuwid na hiwa?

Suliranin 9

May isang bilog na chocolate bar sa isang parihabang cake. Paano i-cut ang isang cake sa dalawang pantay na bahagi upang ang tsokolate bar ay nahati din nang eksakto sa kalahati?

Suliranin 10

Posible bang maghurno ng cake na maaaring hatiin sa 4 na bahagi na may isang tuwid na hiwa?

Suliranin 11

Ano ang maximum na bilang ng mga piraso na maaaring hatiin ang isang bilog na pancake gamit ang tatlong tuwid na hiwa?

Suliranin 12

Ilang beses na mas mahaba ang hagdanan patungo sa ikaapat na palapag ng isang bahay kaysa sa hagdanan patungo sa ikalawang palapag ng parehong bahay?

Suliranin 13

Si Giuseppe ay may isang sheet ng playwud, sukat 22 × 15. Gusto ni Giuseppe na gupitin ang pinakamaraming hugis-parihaba na piraso na may sukat na 3 mula rito hangga't maaari. × 5. Paano ito gagawin?

Suliranin 14

Ang Magic Land ay may sariling mahiwagang batas ng kalikasan, isa rito ay nagsasabing: "Ang lumilipad na karpet ay lilipad lamang kapag ito ay may hugis na hugis-parihaba."

Si Ivan Tsarevich ay may magic carpet na may sukat na 9 × 12. Isang araw ang Serpent Gorynych ay gumapang at pinutol ang isang maliit na alpombra ng laki 1 mula sa karpet na ito × 8. Si Ivan Tsarevich ay labis na nabalisa at nais na putulin ang isa pang piraso 1 × 4 para gumawa ng parihaba 8 × 12, ngunit iminungkahi ni Vasilisa the Wise na gawin ang iba. Pinutol niya ang carpet sa tatlong bahagi, kung saan gumamit siya ng mga magic thread upang tahiin ang isang square flying carpet na may sukat na 10 × 10.

Maaari mo bang hulaan kung paano muling ginawa ni Vasilisa the Wise ang nasirang karpet?

Suliranin 15

Nang makarating si Gulliver sa Lilliput, natuklasan niya na ang lahat ng bagay doon ay eksaktong 12 beses na mas maikli kaysa sa kanyang tinubuang-bayan. Masasabi mo ba kung ilang Lilliputian matchbox ang kasya sa matchbox ni Gulliver?

Suliranin 16

Ang isang dalawang-kulay na hugis-parihaba na watawat ay kumikislap mula sa palo ng isang barkong pirata, na binubuo ng mga papalit-palit na itim at puting patayong mga guhit na may parehong lapad. Ang kabuuang bilang ng mga guhit ay katumbas ng bilang ng mga bilanggo na kasalukuyang nasa barko. Noong una ay may 12 bilanggo sa barko, at 12 guhit sa watawat; pagkatapos ay nakatakas ang dalawang bilanggo. Paano i-cut ang isang bandila sa dalawang bahagi at pagkatapos ay tahiin ang mga ito nang magkasama upang ang lugar ng bandila at ang lapad ng mga guhitan ay hindi magbago, ngunit ang bilang ng mga guhitan ay nagiging 10?

Suliranin 17

Ang isang punto ay minarkahan sa bilog. Posible bang putulin ang bilog na ito sa tatlong bahagi upang magamit ang mga ito sa pagbuo ng bagong bilog, na may markang punto sa gitna?

Suliranin 18

Posible bang gupitin ang isang parisukat sa apat na bahagi upang magkadikit ang bawat bahagi (i.e. may karaniwang mga lugar hangganan) kasama ang tatlo pang iba?

DIV_ADBLOCK245">

Suliranin 24

Walang mga dibisyon sa isang ruler na may haba na 9 cm. Maglagay ng tatlong intermediate division dito upang magamit mo ito sa pagsukat ng mga distansya mula 1 hanggang 9 cm na may katumpakan na 1 cm.

Suliranin 25

Sumulat ng ilang numero malapit sa bawat taluktok ng tatsulok, at isulat ang kabuuan ng mga numero sa mga dulo ng panig na iyon malapit sa bawat panig ng tatsulok. Ngayon, idagdag ang bawat numero na malapit sa itaas sa numerong malapit sa kabilang panig. Sa iyong palagay, bakit naging pareho ang mga halaga?

Suliranin 26

Ano ang lugar ng isang tatsulok na may mga gilid 18, 17, 35?

Suliranin 27

Gupitin ang parisukat sa limang tatsulok upang ang lugar ng isa sa mga tatsulok na ito ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng natitira.

Suliranin 28

Ang isang parisukat na sheet ng papel ay pinutol sa anim na piraso sa hugis ng convex polygons; limang piraso ang nawala, nag-iwan ng isang piraso sa hugis ng isang regular na octagon (tingnan ang larawan). Posible bang muling buuin ang orihinal na parisukat gamit ang octagon na ito lamang?

Suliranin 29

Madali mong maputol ang isang parisukat sa dalawang pantay na tatsulok o dalawang pantay na quadrangles. Paano i-cut ang isang parisukat sa dalawang pantay na pentagon o dalawang pantay na hexagons?

Suliranin 30

Hinanap ni Ivan Tsarevich si Vasilisa the Beautiful, na inagaw ni Koshchei. Sinalubong siya ni Leshy.

“Alam ko,” ang sabi niya, “pumupunta ako roon at pumunta sa Kaharian ng Koshcheevo.” Apat na araw at apat na gabi akong naglakad. Sa unang 24 na oras ay nilakad ko ang ikatlong bahagi ng daan, ang tuwid na daan patungo sa hilaga. Pagkatapos ay lumiko siya sa kanluran, lumakad sa kagubatan sa loob ng isang araw, at lumakad sa kalahati ng malayo. Sa ikatlong araw ay lumakad ako sa kagubatan, na nasa timog, at lumabas sa isang tuwid na daan patungo sa silangan. Nilakad ko ito ng 100 milya sa isang araw at napunta ako sa kaharian ng Koshcheevo. Ikaw ay kasing bilis kong maglakad. Pumunta ka, Ivan Tsarevich, tingnan mo, sa ikalimang araw ay bibisita ka sa Koshchei.

Hindi," sagot ni Ivan Tsarevich, "kung ang lahat ay tulad ng sinasabi mo, bukas makikita ko ang aking Vasilisa the Beautiful."

Tama ba siya? Ilang milya ang nilakad ni Leshy at gaano kalayo ang iniisip ni Tsarevich Ivan tungkol sa paglalakad?

Suliranin 31

Gumawa ng isang scheme ng kulay para sa mga mukha ng kubo upang sa tatlong magkakaibang posisyon ay mukhang tulad ng ipinapakita sa larawan. (Ipahiwatig kung paano kulayan ang mga hindi nakikitang gilid, o gumuhit ng lambat.)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image023_44.gif" align="left" width="205" height="205 src="> Suliranin 32

Ang Numismatist Fedya ay may lahat ng mga barya na may diameter na hindi hihigit sa 10 cm Iniimbak niya ang mga ito sa isang flat box na may sukat na 30 cm * 70 cm (sa isang layer). Binigyan siya ng barya na may diameter na 25 cm Patunayan na ang lahat ng mga barya ay maaaring ilagay sa isang flat box na may sukat na 55 cm * 55 cm.

Suliranin 33

Ang isang gitnang parisukat ay pinutol mula sa isang 5x5 square. Gupitin ang nagresultang hugis sa dalawang bahagi kung saan maaari mong balutin ang isang 2x2x2 cube.

Suliranin 34

Gupitin ang parisukat na ito sa mga gilid ng mga cell sa apat na bahagi upang ang lahat ng mga bahagi ay magkapareho ang laki at parehong hugis at upang ang bawat bahagi ay naglalaman ng isang bilog at isang bituin.

Suliranin 35

Paradahan sa lungsod ng bulaklak ay isang parisukat ng 7x 7 na mga cell, sa bawat isa kung saan maaari kang maglagay ng kotse. Ang paradahan ay napapalibutan ng isang bakod, ang isa sa mga gilid ng sulok na hawla ay tinanggal (ito ang gate). Ang kotse ay nagmamaneho sa isang malawak na landas ng hawla. Hiniling si Dunno na maglagay ng maraming kotse hangga't maaari sa paradahan upang ang sinuman ay makaalis kapag ang iba ay nakatayo. Si Dunno ay nag-ayos ng 24 na kotse tulad ng ipinapakita sa Fig. Subukang ayusin ang mga sasakyan sa ibang paraan upang ma-accommodate ang higit pa sa mga ito.

Suliranin 36

Si Petya at Vasya ay nakatira sa mga kalapit na bahay (tingnan ang plano sa larawan). Nakatira si Vasya sa ikaapat na pasukan. Ito ay kilala na upang maabot ang Vasya sa pamamagitan ng pinakamaikling ruta (hindi kinakailangang pumunta sa mga gilid ng mga cell), walang pakialam si Petya kung aling panig siya ay tumatakbo sa paligid ng kanyang bahay. Tukuyin kung saang pasukan nakatira si Petya.

Suliranin 37

Magmungkahi ng isang paraan upang sukatin ang dayagonal ng isang ordinaryong brick, na madaling ipatupad sa pagsasanay (nang walang Pythagorean theorem).

Suliranin 38

Gupitin ang isang krus na gawa sa limang magkakahawig na mga parisukat sa tatlong polygon na pantay sa lugar at perimeter.

Suliranin 39

https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_35.gif" width="411" height="111">

Suliranin 46

a) Tetrahedron b) ang kubo ay pinutol sa mga gilid na naka-highlight ng mga naka-bold na linya (tingnan ang mga larawan) at ibinuka. Iguhit ang mga resultang pag-unlad.

Suliranin 47

Mga pag-unlad kung aling mga katawan ang ipinapakita sa mga figure? Iguhit ang mga guhit ayon sa mga guhit, idikit ang mga ito upang makabuo ng isang geometric na katawan.

1)2) 3) 4) https://pandia.ru/text/78/456/images/image039_30.gif" width="182" height="146 src=">.gif" width="212" height="139">8 )

Bumalik Pasulong

Pansin! Ang mga slide preview ay para sa mga layuning pang-impormasyon lamang at maaaring hindi kumakatawan sa lahat ng mga tampok ng pagtatanghal. Kung interesado ka gawaing ito, mangyaring i-download ang buong bersyon.

Ipinakikita ng karanasan na kapag gumagamit ng mga praktikal na pamamaraan ng pagtuturo, posibleng bumuo sa mga mag-aaral ng isang bilang ng mga diskarte sa pag-iisip na kinakailangan para sa wastong pagkilala sa mga mahahalaga at di-mahahalagang mga tampok kapag pamilyar sila sa mga geometric na figure. Ang intuwisyon sa matematika, lohikal at abstract na pag-iisip ay bubuo, nabuo ang isang kultura ng pagsasalita sa matematika, nabuo ang mga kakayahan sa matematika at disenyo, nadaragdagan ang aktibidad ng nagbibigay-malay, nabuo ang interes ng nagbibigay-malay, nabubuo ang intelektwal at malikhaing potensyal mga hugis sa mga piraso upang mabuo ang mga bahaging ito ay lumikha ng isang bagong pigura. Ang mga mag-aaral ay gumagawa ng mga takdang-aralin sa mga pangkat. Pagkatapos ay ipinagtatanggol ng bawat pangkat ang kanilang proyekto.

Ang dalawang figure ay tinatawag na pantay na binubuo kung, sa pamamagitan ng pagputol ng isa sa mga ito sa isang tiyak na paraan sa isang limitadong bilang ng mga bahagi, posible (sa pamamagitan ng pag-aayos ng mga bahaging ito nang naiiba) upang bumuo ng pangalawang figure mula sa kanila. Kaya, ang paraan ng paghahati ay batay sa katotohanan na ang anumang dalawang pantay na binubuo ng mga polygon ay pantay sa laki. Ito ay natural na magpose ng kabaligtaran na tanong: mayroon bang dalawang polygon na may parehong lugar na pantay sa laki? Ang sagot sa tanong na ito ay ibinigay (halos sabay-sabay) ng Hungarian mathematician na si Farkas Bolyai (1832) at ang German officer at mathematics enthusiast na si Gerwin (1833): dalawang polygons na may pantay na mga lugar ay pantay na proporsyonal.

Ang Bolyai-Gerwin theorem ay nagsasaad na ang anumang polygon ay maaaring putulin sa mga piraso upang ang mga piraso ay mabuo sa isang parisukat.

Gawain 1.

Gupitin ang parihaba a X 2a sa mga piraso upang sila ay gawin sa isang parisukat.

Pinutol namin ang rectangle ABCD sa tatlong bahagi kasama ang mga linyang MD at MC (M ang gitna ng AB)

Larawan 1

Inilipat namin ang tatsulok na AMD upang ang vertex M ay tumutugma sa vertex C, ang binti AM ay gumagalaw sa segment na DC. Inilipat namin ang tatsulok na MVS sa kaliwa at pababa upang ang leg MV ay magkakapatong sa kalahati ng segment na DC. (Larawan 1)

Gawain 2.

Gupitin ang equilateral triangle sa mga piraso upang sila ay matiklop sa isang parisukat.

Tukuyin natin itong regular na tatsulok na ABC. Kinakailangang gupitin ang tatsulok na ABC sa mga polygon upang sila ay matiklop sa isang parisukat. Kung gayon ang mga polygon na ito ay dapat magkaroon ng kahit isang tamang anggulo.

Hayaang K ang midpoint ng CB, T ang midpoint ng AB, piliin ang mga puntos M at E sa gilid AC upang ME=AT=TV=BK=SC= A, AM=EC= A/2.

Larawan 2

Iguhit natin ang segment MK at ang mga segment na EP at TN patayo dito. Gupitin natin ang tatsulok sa mga piraso kasama ang mga itinayong linya. Pinaikot namin ang quadrilateral KRES clockwise na may kaugnayan sa vertex K upang ang SC ay nakahanay sa segment na KV. Pinaikot namin ang quadrilateral AMNT clockwise na may kaugnayan sa vertex T upang ang AT ay nakahanay sa TV. Ilipat natin ang tatsulok na MEP upang ang resulta ay isang parisukat. (Larawan 2)

Gawain 3.

Gupitin ang parisukat sa mga piraso upang ang dalawang parisukat ay matiklop mula sa kanila.

Tukuyin natin ang orihinal na parisukat na ABCD. Markahan natin ang mga midpoint ng mga gilid ng parisukat - mga puntos M, N, K, H. Gumuhit tayo ng mga segment MT, HE, KF at NP - mga bahagi ng mga segment na MC, HB, KA at ND, ayon sa pagkakabanggit.

Sa pamamagitan ng pagputol ng parisukat na ABCD kasama ang mga iginuhit na linya, nakukuha namin ang parisukat na PTEF at apat na quadrilateral na MDHT, HCKE, KBNF at NAMP.

Larawan 3

Ang PTEF ay isang handa na parisukat. Mula sa natitirang mga quadrangles ay bubuo tayo ng pangalawang parisukat. Ang mga vertice A, B, C at D ay magkatugma sa isang punto, ang mga segment na AM at BC, MD at KS, BN at CH, DH at AN ay magkatugma. Ang mga puntos na P, T, E at F ay magiging mga vertice ng bagong parisukat. (Larawan 3)

Gawain 4.

Ang isang equilateral triangle at isang parisukat ay pinutol mula sa makapal na papel. Gupitin ang mga figure na ito sa mga polygon upang sila ay matiklop sa isang parisukat, at ang mga bahagi ay dapat na ganap na punan ito at hindi dapat magsalubong.

Gupitin ang tatsulok sa mga piraso at gawing parisukat ang mga ito tulad ng ipinapakita sa gawain 2. Haba ng gilid ng tatsulok – 2a. Ngayon ay dapat mong hatiin ang parisukat sa mga polygon upang mula sa mga bahaging ito at ang parisukat na lumabas sa tatsulok, gumawa ka ng isang bagong parisukat. Kumuha ng isang parisukat na may gilid 2 A, tukuyin natin itong LRSD. Iguhit natin ang magkabilang patayo na mga segment na UG at VF upang ang DU=SF=RG=LV. Gupitin natin ang parisukat sa mga quadrangles.

Larawan 4

Kumuha tayo ng isang parisukat na binubuo ng mga bahagi ng isang tatsulok. Ilatag natin ang quadrilaterals - mga bahagi ng parisukat, tulad ng ipinapakita sa Figure 4.

Gawain 5.

Ang krus ay binubuo ng limang parisukat: isang parisukat sa gitna, at ang iba pang apat na katabi ng mga gilid nito. Gupitin ito sa mga piraso upang makagawa ka ng isang parisukat mula sa mga ito.

Ikonekta natin ang mga vertices ng mga parisukat tulad ng ipinapakita sa Figure 5. Gupitin ang "panlabas" na mga tatsulok at ilipat ang mga ito sa mga libreng puwang sa loob ng ABC square.

Larawan 5

Gawain 6.

I-redraw ang dalawang arbitrary na parisukat sa isa.

Ipinapakita ng Figure 6 kung paano gupitin at ilipat ang mga parisukat na piraso.

1. Ang isang parisukat ay naglalaman ng 16 na mga cell. Hatiin ang parisukat sa dalawang pantay na bahagi upang ang hiwa na linya ay sumabay sa mga gilid ng mga selula. (Ang mga paraan ng pagputol ng parisukat sa dalawang bahagi ay maituturing na magkaiba kung ang mga bahagi ng parisukat na nakuha sa isang paraan ng paggupit ay hindi katumbas ng mga bahaging nakuha sa ibang paraan.) Ilang kabuuang solusyon mayroon ang problema?
2. Ang isang 3X4 na parihaba ay naglalaman ng 12 mga cell. Maghanap ng limang paraan upang gupitin ang isang rektanggulo sa dalawang pantay na bahagi upang ang linya ng hiwa ay dumaan sa mga gilid ng mga cell (ang mga paraan ng pagputol ay itinuturing na iba kung ang mga bahagi na nakuha sa isang paraan ng pagputol ay hindi katumbas ng mga bahagi na nakuha ng isa pang paraan).
3. Ang isang 3X5 na parihaba ay naglalaman ng 15 mga cell at ang gitnang cell ay inalis. Maghanap ng limang paraan upang i-cut ang natitirang figure sa dalawang pantay na bahagi upang ang cut line ay sumabay sa mga gilid ng mga cell.
4. Ang isang 6x6 square ay nahahati sa 36 na magkaparehong parisukat. Maghanap ng limang paraan upang i-cut ang isang parisukat sa dalawang magkapantay na bahagi upang ang linya ng paggupit ay sumabay sa mga gilid ng mga parisukat. Tandaan: ang problema ay may higit sa 200 solusyon.
5. Hatiin ang 4x4 square sa apat na pantay na bahagi, na ang cut line ay tumatakbo sa mga gilid ng mga parisukat. ilan sa iba't ibang paraan makakahanap ka ba ng anumang mga hiwa?
6. Hatiin ang figure (Larawan 5) sa tatlong pantay na bahagi upang ang cut line ay tumatakbo sa mga gilid ng mga parisukat.

7. Hatiin ang figure (Larawan 6) sa apat na pantay na bahagi upang ang cut line ay tumatakbo sa mga gilid ng mga parisukat.

8. Hatiin ang pigura (Larawan 7) sa apat na pantay na bahagi upang ang mga hiwa na linya ay pumunta sa mga gilid ng mga parisukat. Maghanap ng maraming solusyon hangga't maaari.

9. Hatiin ang 5x5 square na ang gitnang parisukat ay gupitin sa apat na pantay na bahagi.

10. Gupitin ang mga figure na ipinapakita sa Fig. 8 sa dalawang pantay na bahagi kasama ang mga linya ng grid, at ang bawat bahagi ay dapat magkaroon ng isang bilog.

11. Ang mga figure na ipinapakita sa Fig. 9 ay dapat i-cut kasama ang mga linya ng grid sa apat na pantay na bahagi upang ang bawat bahagi ay may bilog. Paano ito gawin?

12. Gupitin ang figure na ipinapakita sa Fig. 10 kasama ang mga linya ng grid sa apat na pantay na bahagi at tiklupin ang mga ito sa isang parisukat upang ang mga bilog at mga bituin ay matatagpuan sa simetriko na may paggalang sa lahat ng mga axes ng simetrya ng parisukat.

13. Gupitin ang parisukat na ito (Larawan 11) sa mga gilid ng mga cell upang ang lahat ng mga bahagi ay magkapareho ang laki at hugis at upang ang bawat isa ay naglalaman ng isang bilog at isang asterisk.

14. Gupitin ang 6x6 checkered paper square na ipinapakita sa Figure 12 sa apat na pantay na piraso upang ang bawat piraso ay naglalaman ng tatlong may kulay na mga parisukat.