Paglutas ng mga equation na may pagbabago ng variable. Pagsasama sa pamamagitan ng pagbabago ng variable na pamamaraan
Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.
Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon
Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.
Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.
Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.
Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:
- Kapag nagsumite ka ng kahilingan sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address email atbp.
Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:
- Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
- Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
- Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
- Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.
Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido
Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.
Mga pagbubukod:
- Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, pamamaraang panghukuman, sa pagsubok, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng pamahalaan sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
- Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.
Proteksyon ng personal na impormasyon
Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.
Paggalang sa iyong privacy sa antas ng kumpanya
Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.
Aralin at presentasyon sa paksa: "Paraan ng pagpapalit ng variable. Mga Halimbawa"
Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, pagsusuri, kagustuhan! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang anti-virus program.
Mga tulong na pang-edukasyon at simulator sa Integral online na tindahan para sa grade 11
1C: Paaralan. Paglutas ng mga problema sa geometry. Mga interaktibong gawain sa pagbuo sa espasyo para sa mga baitang 10–11
Algebraic na problema sa mga parameter, grade 9–11
Ang pamamaraang ito ay medyo karaniwan kapag nilulutas ang mga equation, at ginamit namin ito nang higit sa isang beses.
- Kung ang orihinal na equation na $f(x)=0$ ay may kumplikadong anyo, ngunit posible itong ibahin sa isang equation ng anyong $h(g(x))=0$.
- Kinakailangang gumawa ng pagbabago ng mga variable $u=g(x)$.
- Lutasin ang equation na $h(u)=0$, hanapin ang mga ugat na $u_1$, $u_2$, … $u_n$.
- Ilagay ang reverse substitution $g(x)=u_1$, $g(x)=u_2$, … , $g(x)=u_n$.
- Lutasin ang bawat isa sa mga equation $g(x)=u_1$, $g(x)=u_2$, …, $g(x)=u_n$. Ang mga ugat ng bawat equation ang magiging solusyon sa orihinal na equation.
Halimbawa.
Lutasin ang equation: $8x^6+7x^3-1=0$.
Solusyon.
Ipakilala natin ang kapalit na $y=x^3$. Pagkatapos ang aming equation ay bumababa sa isang quadratic equation:
$8y^2+7y-1=0$,
$(8y-1)(y+1)=0$,
$y_1=\frac(1)(8)$ at $y_2=-1$.
Sa yugtong ito, kapag nilulutas ang mas kumplikadong mga equation, dapat mong suriin ang nakuha na mga ugat.
Ipakilala natin ang reverse substitution: $x^3=\frac(1)(8)$ at $x^3=-1$.
Ang mga ugat ng mga equation na ito ay madaling mahanap: $x_1=\frac(1)(2)$ at $x_2=-1$.
Sagot: $x=0.5$ at $x=-1$.
Halimbawa.
Lutasin ang equation: $\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))+4\sqrt(\frac(2x-1)(2x+3))=4$.
Solusyon.
Isagawa natin ang mga katumbas na pagbabagong-anyo:
$\sqrt(\frac(2x-1)(2x+3))=(\frac(2x-1)(2x+3))^(\frac(1)(2))=(\frac(2x+ 3 )(2x-1))^(-\frac(1)(2))=((\frac(2x+3)(2x-1))^(\frac(1)(2)))^( - 1)=\frac(1)(\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1)))$.
Ipakilala natin ang kapalit: $u=\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))$, pagkatapos ang equation natin ay bumaba sa $u+\frac(4)(u)=4$. $u^2-4u+4=0$, kung saan $u=2$.
Ipakilala natin ang baligtad na pagbabago: $\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))=2$.
$2x+3=4(2x-1)$ sa pamamagitan ng paglutas sa linear equation na $x=1\frac(1)(6)$.
Halimbawa.
Lutasin ang equation: $2^x+2^(1-x)=3$.
Solusyon.
Ang aming equation ay bumababa sa katumbas na equation: $2^x+\frac(2)(2^x)=3$.
Ipakilala natin ang kapalit: $t=2^x$.
$t+\frac(2)(t)=3$,
$t^2-3t+2=0$,
$(t-2)(t-1)=0$,
$t_1=2$ at $t_2=1$.
Ipakilala natin ang reverse substitution: $2^x=2$ at $2^x=1$. Mula sa: $x=1$ at $x=0$.
Sagot: $x=1$ at $x=0$.
Halimbawa.
Lutasin ang equation: $lg^2(x^2)+lg(10x)-6=0$.
Solusyon.
Ibahin natin ang ating equation.
$lg^2(x^2)=(lg(x^2))^2=(2lg(x))^2=4lg^2x$.
$lg(10x)=lg10+lgx=1+lgx$.
Ang orihinal na equation ay katumbas ng equation: $4lg^2x+lgx-5=0$.
Ipakilala natin ang kapalit: $u=lg(x)$.
$4u^2+u-5=0$,
$(4u+5)(u-1)=0$.
Ipakilala natin ang reverse substitution: $lgx=-1.25$ at $lgx=1$.
Sagot: $x=10^(-\frac(5)(4))$ at $x=10$.
Halimbawa.
Lutasin ang equation: $sin(x)cos(x)-6sin(x)+6cos(x)+6=0$.
Solusyon.
Ipakilala natin ang kapalit: $cos(x)-sin(x)=y$.
Pagkatapos: $(cos(x)-sin(x))^2=1-2sin(x)cos(x)$.
$sin(x)cos(x)=\frac(1-y^2)(2)$.
Ang orihinal na equation ay katumbas ng:
$\frac(1-y^2)(2)+6y+6=0$,
$1-y^2+12y+12=0$,
$y^2-12y-13=0$,
$(y-13)(y+1)=0$.
Ipakilala natin ang kabaligtaran na pagpapalit: $cos(x)-sin(x)=13$ - malinaw na walang mga solusyon, dahil ang cosine at sine ay limitado sa modulus ng isa.
$cos(x)-sin(x)=-1$ - i-multiply ang magkabilang panig ng equation sa $\frac(\sqrt(2))(2)$.
$\frac(\sqrt(2))(2)cos(x)-\frac(\sqrt(2))(2)sin(x)=-\frac(\sqrt(2))(2)$.
$sin(\frac(π)(4)-x)=-\frac(\sqrt(2))(2)$.
$\begin (cases) \frac(π)(4)-x=-\frac(π)(4)+2πn, \\ \frac(π)(4)-x=-\frac(3π)(4 )+2πn. \end (cases)$
$\begin (cases) x=\frac(π)(2)+2πn, \\ x=π+2πn. \end (cases)$
Sagot: $x=\frac(π)(2)+2πn$ at $π+2πn$.
Mga problema upang malutas nang nakapag-iisa
Lutasin ang mga sumusunod na equation:1. $x^8+3x^4-4=0$.
2. $\sqrt(\frac(5x-1)(x+3))+5\sqrt(\frac(x+3)(5x-1))=6$.
3. $5^x+5^(2x+1)=-4$.
4. $2cos^2(x)-7cos-4=0$.
5. $5sin(2x)-11sin(x)=11cos(x)-7$.
Paglutas ng mga equation gamit ang paraan ng pagbabago ng mga variable
Karamihan sa mga gawain sa buhay
ay malulutas bilang algebraic equation:
nagdadala sa kanila sa kanilang pinakasimpleng anyo.
L.N. Tolstoy.
Layunin ng aralin: ayusin ang mga aktibidad na pang-edukasyon ng mga mag-aaral upang makabisado ang mga pamamaraan para sa paglutas ng buong mga equation ng mas mataas na antas sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit ng isang variable; ipakilala sa mga mag-aaral ang mga konsepto at pamamaraan para sa paglutas ng reciprocal at simetriko equation.
Mga gawain:pang-edukasyon: patuloy na bumuo ng kakayahang gumamit ng paraan ng pagpapalit
variable kapag nilulutas ang mga equation; pagbuo ng kakayahang makita ang parehong paraan para sa paglutas ng mga equation sa iba't ibang sitwasyon; upang bumuo ng isang ideya ng mga pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pamantayang problema at algebraic equation sa isang antas na lumampas sa antas ng mga pamantayan sa edukasyon ng estado;
pagbuo: pag-unlad ng pag-iisip ng mga mag-aaral; pag-unlad ng memorya; pag-unlad
lohikal na pag-iisip, ang kakayahang malinaw na bumalangkas ng iyong mga iniisip; pagbuo ng imahinasyon ng mga mag-aaral; pag-unlad ng oral speech.
pang-edukasyon: edukasyon ng mga kasanayan sa pagmamasid; edukasyon ng kalinisan
kapag gumagawa ng mga tala sa pisara at sa isang kuwaderno; pagpapaunlad ng kalayaan kapag nagsasagawa ng praktikal na gawain.
Pag-unlad ng aralin
sandali ng organisasyon.
Pag-update at sistematisasyon ng kaalaman.
Gawain Blg. 1. Lutasin ang crossword puzzle. Isulat ang iyong mga sagot sa nominative case lamang.
Pahalang:4. Ano ang expression para sa isang quadratic equation? (discriminant)
6. Ang halaga ng variable kung saan ang equation ay nagiging tunay na pagkakapantay-pantay. (ugat)
8.Equation ng anyo 
, Saan 
. (biquadratic)
9. French mathematician na may kaugnayan sa quadratic equation. (Viet)
10. Isang equation kung saan ang kaliwa at kanang bahagi ay mga integer na expression. (buo)
11. Mga equation na may isang variable na may parehong hanay ng mga ugat. (katumbas)
Patayo:
1. Maraming ugat ng equation. (solusyon)
2. Solusyon ng equation 
. (zero)
3. Pagkakapantay-pantay na naglalaman ng variable. (equation)
5. Quadratic equation kung saan ang isa sa mga coefficient b o c ay katumbas ng 0. (hindi kumpleto)
7. Quadratic equation kung saan ang unang coefficient ay katumbas ng isa. (binigay)
Ano ang ilalaan natin sa ating aralin ngayon? ( Paglutas ng mga equation )
Gawain Blg. 2. Paano mo lulutasin ang mga equation para sa bawat pangkat?
MGA SAGOT: Ang mga halimbawa ng pangkat 1) ay pinakamahusay na malulutas sa pamamagitan ng pagsasaliksik sa pamamagitan ng paglalagay ng karaniwang kadahilanan sa labas ng mga bracket o paggamit ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon.
Ang mga halimbawa ng pangkat 2) ay mas mahusay na nalutas sa pamamagitan ng pagpapangkat at factorization.
Ang mga halimbawa ng pangkat 3) ay mas mahusay na nalutas sa pamamagitan ng pagpapakilala ng isang bagong variable at paglipat sa isang quadratic equation.
1 Anong salik ang ilalabas mo sa mga bracket sa mga halimbawa ng pangkat 1?
MGA SAGOT:
Paano mo ipangkat ang mga termino sa mga halimbawa ng pangkat 2?
MGA SAGOT:
Ano ang nais mong tukuyin ng bagong variable sa pangkat 3 mga halimbawa?
MGA SAGOT:
Paano mo maisasaliksik ang isang polynomial? 
?
MGA SAGOT: .
Ngayon sa aralin ay ipapakita mo ang iyong kaalaman sa paksang "Paglutas ng mga equation gamit ang variable substitution method"
Isulat ang paksa ng aralin sa iyong kuwaderno.
Ngayon sa klase ay titingnan natin ang isa sa mga paraan upang malutas ang mga equation ng mas mataas na antas - ang variable na paraan ng pagpapalit; Kilalanin natin ang mga konsepto at pamamaraan para sa paglutas ng reciprocal at simetriko equation.
Ang sining ng paggawa ng mga variable na pagpapalit ay upang makita kung aling pagpapalit ang pinakamahalaga at humahantong sa tagumpay nang mas mabilis.
Gawain Blg. 3.
Lutasin ang equation.(Sabay-sabay na lutasin ng 2 mag-aaral ang gawain sa pisara.)
A) (Ang unang mag-aaral ay nag-solve sa pisara na may paliwanag.)
b) (Ang pangalawang estudyante ay tahimik na nilulutas ang equation, pagkatapos ay ipinaliwanag ang solusyon, ang klase ay nakikinig at nagtatanong kung may hindi malinaw.)
1 mag-aaral Kapalit: 
.
2 mag-aaral Kapalit: 
.
(Karagdagang para sa mga na-master na ang mga nakaraang equation dati).
. .
3 mag-aaral
(Magkokomento ang mga mag-aaral sa pag-usad ng solusyon mula sa upuan.)
SOLUSYON: Magdagdag tayo ng karaniwang salik: ,
saan 
o 
, ibig sabihin. 
Sagot: 
Pagpapalalim at pagpapalawak ng kaalaman
Patuloy kaming nagtatrabaho. Makikita mo ang equation sa slide: x 4 -5x 3 +6x 2 -5x+1=0.
Paano mo imumungkahi na lutasin ito? Ano ang dapat nating gawin?
Posible bang malutas ito sa loob mga programa sa paaralan sa matematika? Ang sagot ay hindi. Kung tutuusin karaniwang pamamaraan Ang paglutas ng mga equation sa paaralan ay nagsasangkot ng paglutas ng mga equation na hindi mas mataas kaysa sa pangalawang degree. Ngunit maaalala natin na ang mga indibidwal na equation ay higit pa mataas na grado sa school pa rin sila nagpasya. Totoo, ang mga paraan upang malutas ang mga ito ay mga malikhaing aplikasyon mga kilalang pamamaraan, binabawasan ang mga ito sa solusyon ng isa o ilang mga equation na hindi mas mataas kaysa sa pangalawa.
Tingnang mabuti ang equation na ito? Ano ang napansin mo ?(sa equation na ito ang mga coefficient na equidistant mula sa mga dulo ay pantay)
Guys, isang equation ng ganitong uri, kapag ang mga coefficients na katumbas ng distansya mula sa mga dulo ay nag-tutugma, ay tinatawag na maibabalik. Ang equation na ito ay maaaring bawasan sa isang quadratic equation gamit ang substitution.
Inaalok ko sa iyo ang sumusunod na algorithm para sa paglutas ng mga ito:
Algorithm para sa paglutas ng reciprocal equation.
1. Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa x 2.
2.Pangkatin ang mga termino (ang una sa huli, ang pangalawa sa ikaapat).
Bawasan ang equation upang mabuo A
+ c = 0
3.Magpakilala ng bagong variable t = ,pagkatapos ay tinupad ang t 2 = , ibig sabihin.
= t 2 – 2.
4. Palitan at lutasin ang quadratic equation.
5.Bumalik sa kapalit at lutasin ang mga resultang equation.
6.Isulat ang sagot.
Ang mag-aaral sa pisara ay nilulutas ang equation ayon sa algorithm at sa tulong ng guro, ang iba ay sumulat sa mga notebook.
6x 4 – 5x 3 – 38x 2 – 5x + 6 = 0.
Solusyon.
6x 2 – 5x – 38 – 5/x + 6/x 2 = 0.
6(x 2 + 1/x 2) – 5(x + 1/x) – 38 = 0.
Ilagay ang t: pagpapalit (x + 1/x) = t. Pagpapalit: (x 2 + 1/x 2) = t 2 – 2, mayroon kaming:
6t 2 – 5t – 50 = 0.
t = -5/2 o t = 10/3.
Bumalik tayo sa variable na x. Pagkatapos ng reverse substitution, malulutas namin ang dalawang resultang equation:
1) x + 1/x = -5/2;
x 2 + 5/2 x +1 = 0;
x = -2 o x = -1/2.
2) x + 1/x = 10/3;
x 2 – 10/3 x + 1 = 0;
x = 3 o x = 1/3.
Sagot: -2; -1/2; 1/3; 3.
Ang mga Italyano na matematiko noong ika-16 na siglo na sina N. Tartaglia, A. Fiore, D. Cardano at iba pa ay gumawa ng malaking kontribusyon sa problema ng mga equation ng ika-3 at ika-4 na digri Noong 1535, isang siyentipikong tunggalian ang naganap sa pagitan ng A. Fiore at N. Tartaglia, kung saan nanalo ang huli. Sa loob ng 2 oras ay nalutas niya ang 30 problema na iminungkahi ni Fiore, at si Fiore mismo ay hindi makalutas ng kahit isa na ibinigay sa kanya ni Tartaglia.
Guys, gusto kong mag-alok sa iyo ng isa pang equation ngayon; kinuha ko ito mula sa isang koleksyon ng mga problema upang maghanda para sa OGE.
. ((x + 1)(x + 4))((x + 2)(x + 3)) = 24,
(x 2 + 5x + 4)(x 2 + 5x + 6) = 24.
Ang paggawa ng pagpapalit x 2 + 5x + 4 = t, mayroon kaming equation
t(t + 2) = 24, ito ay parisukat:
t 2 + 2t – 24 = 0.
t = -6 o t = 4.
Pagkatapos isagawa ang reverse substitution, madali nating mahanap ang mga ugat ng orihinal na equation.
Sagot: -5; 0.
Malikhaing paglipat ng kaalaman at kasanayan sa mga bagong kondisyon.
Sa simula ng aralin, napag-usapan namin ang katotohanan na kung may mga paulit-ulit na elemento sa isang equation, maaari mong gamitin ang variable substitution method. Hindi pa rin namin alam kung paano lutasin ang trigonometriko at hindi makatwirang equation. Tingnan natin kung maaari nating ilapat ang pamamaraang ito sa kanila kung alam natin kung paano lutasin ang mga simpleng trigonometriko at hindi makatwiran na mga equation.
Gawain 1: Pangalanan ang pagbabago ng variable sa mga sumusunod na equation.
Gawain 2: Bumuo ng ilang mga equation, ang solusyon kung saan ay batay sa variable na paraan ng pagpapalit.
Summing up.
Kaya guys, natapos na ang ating lesson. Ibuod natin ang ating aralin.
Anong mga layunin ang itinakda natin sa simula ng aralin?
Nakamit ba ang ating mga layunin?
Ano ang bagong natutunan natin sa aralin?
Takdang-aralin.
4x 4 – 8x 3 + 3x 2 – 8x + 4 = 0
(x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 40
. (equation ng Italian mathematician)
At nais kong tapusin ang aralin sa mga salita ng mahusay na siyentipiko na si Einstein A.:
"Kailangan kong hatiin ang aking oras sa pagitan ng pulitika at mga equation. Gayunpaman, ang equation, sa aking opinyon, ay mas mahalaga, dahil ang pulitika ay umiiral lamang sa sandaling ito, at ang equation ay iiral magpakailanman.
Salamat sa aral! paalam na!
Ang matematika ay isang butas kung saan ang lohikal na pag-iisip ay maaaring sumilip sa perpektong mundo.
Krotov Victor
Sa paaralan, ang mga rational equation ay nangunguna sa kursong algebra. Mas maraming oras ang inilalaan sa kanilang pag-aaral kaysa sa iba pang paksa. Ito ay dahil pangunahin sa katotohanan na ang mga equation ay hindi lamang may mahalagang teoretikal na kahalagahan, ngunit nagsisilbi rin ng maraming praktikal na layunin. Isang malaking bilang ng mga gawain totoong mundo tiyak na bumaba sa paglutas ng iba't ibang mga equation, at pagkatapos mong makabisado ang mga pamamaraan ng paglutas ng mga ito, makakahanap ka ng mga sagot sa iba't ibang mga katanungan ng agham at teknolohiya.
Upang bumuo ng kakayahang malutas ang mga rational equation, ang independiyenteng gawain ng mag-aaral ay may malaking kahalagahan. Gayunpaman, bago lumipat sa malayang gawain, kailangan mong malinaw na malaman at mailapat sa pagsasanay ang lahat mga posibleng pamamaraan paglutas ng mga rational equation.
Tingnan natin ito nang detalyado gamit ang mga halimbawa. variable na paraan ng pagpapalit para sa paglutas ng mga rational equation.
Halimbawa 1.
Lutasin ang equation (2x 2 – 3x + 1) 2 = 22x 2 – 33x + 1.
Solusyon.
Isulat muli natin ang equation sa anyo
(2x 2 – 3x + 1) 2 = 11(2x 2 – 3x) + 1. Gumawa tayo ng kapalit. Hayaan ang 2x 2 – 3x = t, pagkatapos ang equation ay kukuha ng anyo:
(t + 1) 2 = 11t + 1.
Ngayon buksan natin ang mga bracket at magbigay ng mga katulad, makukuha natin:
t 2 + 2t + 1 = 11t + 1;
Sa nagresultang hindi kumpletong quadratic equation, inaalis namin ang karaniwang salik sa mga bracket at mayroon kaming:
t = 0 o t = 9.
Ngayon ay kailangan mong gumawa ng reverse substitution at lutasin ang bawat isa sa mga resultang equation:
2x 2 – 3x = 0 o 2x 2 – 3x = 9
x(2x – 3) = 0 2x 2 – 3x – 9 = 0
x = 0 o x = 3/2 x = 3 o x = -3/2
Sagot: -1.5; 0; 1.5; 3.
Halimbawa 2.
Lutasin ang equation (x 2 – 6x) 2 – 2(x – 3) 2 = 81.
Solusyon.
Ilapat natin ang formula para sa squared difference (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 . Isulat natin ang orihinal na equation sa anyo
(x 2 – 6x) 2 – 2(x 2 – 6x + 9) = 81. Ngayon ay maaari kang gumawa ng kapalit.
Hayaan ang x 2 – 6x = t, ang equation ay magiging ganito:
t 2 – 2(t + 9) = 81.
t 2 – 2t – 18 – 81 = 0;
t 2 – 2t – 99 = 0.
Ayon sa teorama ni Vieta, ang mga ugat ng resultang equation ay ang mga numero -9 at 11.
Gumawa tayo ng reverse replacement:
x 2 – 6x = -9 o x 2 – 6x = 11
x 2 – 6x + 9 = 0 x 2 – 6x – 11 = 0
(x – 3) 2 = 0 D = 80
x = 3 x 1 = 3 + 2√5; x 2 = 3 – 2√5.
Sagot: 3 – 2√5; 3; 3 + 2√5.
Halimbawa 3.
Lutasin ang equation (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297 at hanapin ang produkto ng mga ugat nito.
Solusyon.
Maghanap tayo ng "kumikita" na paraan upang mapangkat ang mga salik at buksan ang mga pares ng mga bracket:
((x – 1)(x + 5))((x – 3)(x + 7)) = 297;
(x 2 + 5x – x – 5)(x 2 + 7x – 3x – 21) = 297;
(x 2 + 4x – 5)(x 2 + 4x – 21) = 297.
Gawin natin ang kapalit na x 2 + 4x = t, kung gayon ang equation ay magiging ganito:
(t – 5)(t – 21) = 297.
Buksan natin ang mga bracket at ipakita ang mga katulad na termino:
t 2 – 21t – 5t + 105 = 297;
t 2 – 26t – 192 = 0.
Gamit ang theorem ni Vieta, tinutukoy namin na ang mga ugat ng resultang equation ay ang mga numero -6 at 32.
Pagkatapos ng reverse substitution magkakaroon tayo ng:
x 2 + 4x = -6 o x 2 + 4x = 32
x 2 + 4x + 6 = 0 x 2 + 4x – 32 = 0
D = 16 – 24< 0 D = 16 + 128 > 0
Walang mga ugat x 1 = -8; x 2 = 4
Hanapin natin ang produkto ng mga ugat: -8 · 4 = -32.
Sagot: -32.
Halimbawa 4.
Hanapin ang kabuuan ng mga ugat ng equation (x 2 – 2x + 2) 2 + 3x(x 2 – 2x + 2) = 10x 2.
Solusyon.
Hayaan ang x 2 – 2x + 2 = t, pagkatapos ang equation ay kukuha ng anyo:
t 2 + 3xt – 10x 2 = 0.
Isaalang-alang natin ang resultang equation bilang quadratic na may paggalang sa t.
D = (3x) 2 – 4 · (-10x 2) = 9x 2 + 40x 2 = 49x 2 ; ≥≤
t 1 = (-3x – 7x) / 2 at t 2 = (-3x + 7x) / 2;
t 1 = -5x at t 2 = 2x.
Dahil t = x 2 – 2x + 2, kung gayon
x 2 – 2x + 2 = -5x o x 2 – 2x + 2 = 2x. Lutasin natin ang bawat isa sa mga resultang equation.
x 2 + 3x + 2 = 0 o x 2 – 4x + 2 = 0.
Ang parehong mga equation ay may mga ugat, dahil D > 0.
Gamit ang teorama ni Vieta, maaari nating tapusin na ang kabuuan ng mga ugat ng unang equation ay -3, at ang pangalawang equation ay 4. Nalaman natin na ang kabuuan ng mga ugat ng orihinal na equation ay -3 + 4 = 1
Sagot: 1.
Halimbawa 5.
Hanapin ang ugat ng equation (x + 1) 4 + (x + 5) 4 = 32, na kabilang sa pagitan [-5; 10].
Solusyon.
Hayaan ang x = t – 3, pagkatapos x + 1 = t – 2; x + 5 = t + 2 at ang orihinal na equation ay nasa anyo:
(t – 2) 4 + (t + 2) 4 = 32. Upang itaas ang mga expression sa ikaapat na kapangyarihan, maaari mong gamitin ang tatsulok ng Pascal (Larawan 1); 
(t – 2) 4 = t 4 – 4t 3 2 + 6t 2 2 2 – 4t 2 3 + 2 4 ;
(t + 2) 4 = t 4 + 4t 3 2 + 6t 2 2 2 + 4t 2 3 + 2 4.
Matapos bawasan ang mga katulad na termino ay nakukuha namin:
2t 4 – 2 6t 2 2 2 + 2 2 4 = 32;
t 4 + 6t 2 2 2 + 2 4 = 16;
t 4 + 24t 2 + 16 = 16;
t 4 + 24t 2 = 0;
t 2 (t 2 + 24) = 0;
t = 0 o t 2 = -24.
Ang pangalawang equation ay walang mga ugat, na nangangahulugang t = 0 kahit na pagkatapos ng reverse substitution
x = t – 3 = 0 – 3 = -3. Ang ugat ng equation -3 ay kabilang sa pagitan [-5; 10].
Sagot: -3.
Tulad ng nakikita mo, kapag nilulutas ang mga rational equation, kailangan mong malaman ang mga formula sa itaas at makapagbilang ng tama. Ang mga error ay kadalasang nangyayari kapag pumipili ng kapalit at sa panahon ng reverse substitution. Upang maiwasan ito, kailangan mong ilarawan ang bawat aksyon nang detalyado, pagkatapos ay walang mga pagkakamali sa iyong mga desisyon.
website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa orihinal na pinagmulan.