Mga katumbas na pagbabagong-anyo ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may modulus. Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga module


Modulus ng mga numero ang numerong ito mismo ay tinatawag kung ito ay hindi negatibo, o ang parehong numero sa kabaligtaran ng tanda, kung ito ay negatibo.

Halimbawa, ang modulus ng numero 6 ay 6, at ang modulus ng numero -6 ay 6 din.

Iyon ay, sa pamamagitan ng modulus ng isang numero na aming ibig sabihin ganap na halaga, ang ganap na halaga ng numerong ito nang hindi isinasaalang-alang ang tanda nito.

Ito ay itinalaga bilang mga sumusunod: |6|, | X|, |A| atbp.

(Para sa higit pang mga detalye, tingnan ang seksyong “Number Module”).

Mga equation na may modulus.

Halimbawa 1 . Lutasin ang equation|10 X - 5| = 15.

Solusyon.

Ayon sa panuntunan, ang equation ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang equation:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Nagpasya kami:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Sagot: X 1 = 2, X 2 = -1.

Halimbawa 2 . Lutasin ang equation|2 X + 1| = X + 2.

Solusyon.

Dahil ang modulus ay isang di-negatibong numero, kung gayon X+ 2 ≥ 0. Alinsunod dito:

X ≥ -2.

Gumawa tayo ng dalawang equation:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Nagpasya kami:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Ang parehong mga numero ay mas malaki kaysa sa -2. Kaya pareho ang mga ugat ng equation.

Sagot: X 1 = -1, X 2 = 1.

Halimbawa 3 . Lutasin ang equation

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Solusyon.

Ang equation ay may katuturan kung ang denominator ay hindi zero - ibig sabihin ay kung X≠ 1. Isaalang-alang natin ang kundisyong ito. Ang aming unang aksyon ay simple - hindi lamang namin inaalis ang fraction, ngunit binabago ito upang makuha ang module sa dalisay nitong anyo:

|X+ 3| - 1 = 4 · ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Ngayon mayroon na lamang tayong expression sa ilalim ng modulus sa kaliwang bahagi ng equation. Mag-move on na tayo.
Ang modulus ng isang numero ay isang hindi negatibong numero - iyon ay, dapat itong mas malaki sa zero o katumbas ng zero. Alinsunod dito, nalulutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Kaya, mayroon tayong pangalawang kundisyon: ang ugat ng equation ay dapat na hindi bababa sa 3/4.

Alinsunod sa panuntunan, bumubuo kami ng isang hanay ng dalawang equation at lutasin ang mga ito:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

Nakatanggap kami ng dalawang sagot. Suriin natin kung sila ay mga ugat ng orihinal na equation.

Mayroon kaming dalawang kundisyon: ang ugat ng equation ay hindi maaaring katumbas ng 1, at ito ay dapat na hindi bababa sa 3/4. Iyon ay X ≠ 1, X≥ 3/4. Isa lamang sa dalawang sagot na nakuha ang tumutugma sa parehong mga kundisyong ito - ang bilang 2. Nangangahulugan ito na ito lamang ang ugat ng orihinal na equation.

Sagot: X = 2.

Mga hindi pagkakapantay-pantay sa modulus.

Halimbawa 1 . Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay| X - 3| < 4

Solusyon.

Ang panuntunan ng module ay nagsasaad:

|A| = A, Kung A ≥ 0.

|A| = -A, Kung A < 0.

Ang module ay maaaring magkaroon ng parehong di-negatibo at negatibong mga numero. Kaya kailangan nating isaalang-alang ang parehong mga kaso: X- 3 ≥ 0 at X - 3 < 0.

1) Kailan X- 3 ≥ 0 ang aming orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay nananatiling tulad nito, tanging walang modulus sign:
X - 3 < 4.

2) Kailan X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Pagbukas ng mga bracket, nakukuha namin:

-X + 3 < 4.

Kaya, mula sa dalawang kundisyong ito ay napunta tayo sa pag-iisa ng dalawang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Lutasin natin ang mga ito:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Kaya, ang aming sagot ay isang unyon ng dalawang set:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

Tukuyin ang pinakamaliit at pinakamataas na halaga. Ito ay -1 at 7. Bukod dito X mas malaki sa -1 ngunit mas mababa sa 7.
Bukod, X≥ 3. Nangangahulugan ito na ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang buong hanay ng mga numero mula -1 hanggang 7, hindi kasama ang mga matinding numerong ito.

Sagot: -1 < X < 7.

O kaya: X ∈ (-1; 7).

Mga add-on.

1) May isang mas simple at mas maikling paraan upang malutas ang aming hindi pagkakapantay-pantay - graphical. Upang gawin ito, kailangan mong gumuhit ng pahalang na axis (Larawan 1).

Pagpapahayag | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X hanggang point 3 ay mas mababa sa apat na unit. Minarkahan namin ang numero 3 sa axis at binibilang ang 4 na dibisyon sa kaliwa at sa kanan nito. Sa kaliwa ay darating tayo sa punto -1, sa kanan - sa puntong 7. Kaya, ang mga puntos X nakita lang namin sila ng hindi kinukwenta.

Bukod dito, ayon sa kondisyon ng hindi pagkakapantay-pantay, ang -1 at 7 mismo ay hindi kasama sa hanay ng mga solusyon. Kaya, nakuha namin ang sagot:

1 < X < 7.

2) Ngunit may isa pang solusyon na mas simple kaysa sa graphical na pamamaraan. Upang gawin ito, ang aming hindi pagkakapantay-pantay ay dapat ipakita sa sumusunod na anyo:

4 < X - 3 < 4.

Pagkatapos ng lahat, ito ay kung paano ito ayon sa panuntunan ng modulus. Ang di-negatibong numero 4 at ang katulad na negatibong numero -4 ay ang mga hangganan para sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Halimbawa 2 . Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay| X - 2| ≥ 5

Solusyon.

Ang halimbawang ito ay makabuluhang naiiba mula sa nauna. Kaliwang bahagi mas malaki sa 5 o katumbas ng 5. Mula sa isang geometric na punto ng view, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang lahat ng mga numero na nasa layo na 5 unit o higit pa mula sa punto 2 (Fig. 2). Ang graph ay nagpapakita na ang mga ito ay ang lahat ng mga numero na mas mababa sa o katumbas ng -3 at mas malaki kaysa sa o katumbas ng 7. Nangangahulugan ito na natanggap na natin ang sagot.

Sagot: -3 ≥ X ≥ 7.

Sa kahabaan ng paraan, malulutas namin ang parehong hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng libreng termino sa kaliwa at sa kanan na may kabaligtaran na palatandaan:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

Ang sagot ay pareho: -3 ≥ X ≥ 7.

O kaya: X ∈ [-3; 7]

Ang halimbawa ay nalutas.

Halimbawa 3 . Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Solusyon.

Numero X maaaring isang positibong numero, negatibong numero, o zero. Samakatuwid, kailangan nating isaalang-alang ang lahat ng tatlong mga pangyayari. Tulad ng alam mo, ang mga ito ay isinasaalang-alang sa dalawang hindi pagkakapantay-pantay: X≥ 0 at X < 0. При X≥ 0 isinusulat lang namin ang aming orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, kung wala lang ang modulus sign:

6x 2 - X - 2 ≤ 0.

Ngayon tungkol sa pangalawang kaso: kung X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Pagpapalawak ng mga bracket:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Kaya, nakatanggap kami ng dalawang sistema ng mga equation:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Kailangan nating lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga sistema - at nangangahulugan ito na kailangan nating hanapin ang mga ugat ng dalawang quadratic equation. Upang gawin ito, itinutumbas namin ang kaliwang bahagi ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa zero.

Magsimula tayo sa una:

6X 2 - X - 2 = 0.

Paano malutas quadratic equation- tingnan ang seksyong “Quadratic Equation”. Papangalanan namin kaagad ang sagot:

X 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

Mula sa unang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay nakuha natin na ang solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay ang buong hanay ng mga numero mula -1/2 hanggang 2/3. Isinulat namin ang unyon ng mga solusyon sa X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Ngayon lutasin natin ang pangalawang quadratic equation:

6X 2 + X - 2 = 0.

Ang mga ugat nito:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Konklusyon: kailan X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Pagsamahin natin ang dalawang sagot at makuha ang huling sagot: ang solusyon ay ang buong hanay ng mga numero mula -2/3 hanggang 2/3, kasama ang mga matinding numerong ito.

Sagot: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

O kaya: X ∈ [-2/3; 2/3].

Mayroong ilang mga paraan upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng isang modulus. Tingnan natin ang ilan sa kanila.

1) Paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay gamit ang geometric na katangian ng module.

Hayaan mong ipaalala ko sa iyo kung ano ang geometric na katangian ng isang modulus: ang modulus ng isang numerong x ay ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa puntong may coordinate x.

Kapag nilutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang pamamaraang ito, maaaring lumitaw ang dalawang kaso:

1. |x| ≤ b,

At ang hindi pagkakapantay-pantay sa modulus ay malinaw na bumababa sa isang sistema ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay. Dito ang tanda ay maaaring maging mahigpit, kung saan ang mga tuldok sa larawan ay "mabutas".

2. |x| ≥ b, pagkatapos ay ang larawan ng solusyon ay ganito:

At ang hindi pagkakapantay-pantay sa modulus ay malinaw na bumababa sa isang kumbinasyon ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay. Dito ang tanda ay maaaring maging mahigpit, kung saan ang mga tuldok sa larawan ay "mabutas".

Halimbawa 1.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay |4 – |x|| ≥ 3.

Solusyon.

Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng sumusunod na hanay:

U [-1;1] U

Halimbawa 2.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay ||x+2| – 3| ≤ 2.

Solusyon.

Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng sumusunod na sistema.

(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.

Hiwalay nating lutasin ang unang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Ito ay katumbas ng sumusunod na hanay:

U[-1; 3].

2) Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang kahulugan ng modulus.

Paalalahanan ko muna kayo kahulugan ng modyul.

|a| = a kung a ≥ 0 at |a| = -a kung a< 0.

Halimbawa, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.

Halimbawa 1.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 3|x – 1| ≤ x+3.

Solusyon.

Gamit ang kahulugan ng module nakakakuha tayo ng dalawang sistema:

(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3

(x – 1< 0
(-3(x – 1) ≤ x + 3.

Paglutas ng una at pangalawang sistema nang hiwalay, nakukuha namin ang:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(x< 1
(x ≥ 0.

Ang solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay ang lahat ng solusyon ng unang sistema at lahat ng solusyon ng pangalawang sistema.

Sagot: x € .

3) Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pag-squaring.

Halimbawa 1.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.

Solusyon.

Ilapat natin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay. Tandaan ko na posibleng i-square ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay kung pareho silang positibo. Sa kasong ito, mayroon kaming mga module sa kaliwa at kanan, kaya magagawa namin ito.

(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

Ngayon ay gamitin natin ang sumusunod na katangian ng modyul: (|x|) 2 = x 2 .

(x 2 – 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.

(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1)< 0,

(x – 2)(2x 2 – x)< 0,

x(x – 2)(2x – 1)< 0.

Malutas namin gamit ang paraan ng agwat.

Sagot: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pagbabago ng mga variable.

Halimbawa.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Solusyon.

Tandaan na (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Pagkatapos ay nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Gawin natin ang pagbabago y = |2x + 3|.

Muli nating isulat ang ating hindi pagkakapantay-pantay na isinasaalang-alang ang kapalit.

y 2 – y ≤ 30,

y 2 – y – 30 ≤ 0.

I-factorize natin ang quadratic trinomial sa kaliwa.

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 – 11) / 2,

(y – 6)(y + 5) ≤ 0.

Lutasin natin gamit ang interval method at makuha ang:

Bumalik tayo sa kapalit:

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.

Ang dobleng hindi pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay:

(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.

Hiwalay nating lutasin ang bawat hindi pagkakapantay-pantay.

Ang una ay katumbas ng sistema

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

Solusyonan natin ito.

(x ≤ 1.5
(x ≥ -4.5.

Ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay malinaw na humahawak para sa lahat ng x, dahil ang modulus ay, sa pamamagitan ng kahulugan, isang positibong numero. Dahil ang solusyon sa system ay lahat ng x na sabay-sabay na nagbibigay-kasiyahan sa una at pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng system, kung gayon ang solusyon sa orihinal na sistema ang magiging solusyon sa una nitong dobleng hindi pagkakapantay-pantay (pagkatapos ng lahat, ang pangalawa ay totoo para sa lahat ng x) .

Sagot: x € [-4.5; 1.5].

blog.site, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa orihinal na pinagmulan.

Ngayon, mga kaibigan, walang uhog o sentimental. Sa halip, ipapadala ko sa iyo, nang walang tanong, sa pakikipaglaban sa isa sa mga pinakakakila-kilabot na kalaban sa kursong algebra sa ika-8-9 na baitang.

Oo, naunawaan mo nang tama ang lahat: pinag-uusapan natin ang mga hindi pagkakapantay-pantay na may modulus. Titingnan namin ang apat na pangunahing pamamaraan kung saan matututunan mong lutasin ang tungkol sa 90% ng mga naturang problema. Paano ang natitirang 10%? Well, pag-uusapan natin sila sa isang hiwalay na aralin. :)

Gayunpaman, bago pag-aralan ang alinman sa mga diskarte, nais kong ipaalala sa iyo ang dalawang katotohanan na kailangan mo nang malaman. Kung hindi, nanganganib na hindi mo maintindihan ang materyal ng aralin ngayon.

Ang kailangan mo nang malaman

Ang Captain Obviousness ay tila nagpapahiwatig na upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa modulus kailangan mong malaman ang dalawang bagay:

  1. Paano nareresolba ang mga hindi pagkakapantay-pantay;
  2. Ano ang isang module?

Magsimula tayo sa pangalawang punto.

Depinisyon ng Module

Simple lang ang lahat dito. Mayroong dalawang kahulugan: algebraic at graphical. Upang magsimula sa - algebraic:

Kahulugan. Ang modulus ng isang numerong $x$ ay alinman sa numero mismo, kung ito ay hindi negatibo, o ang bilang na kabaligtaran nito, kung ang orihinal na $x$ ay negatibo pa rin.

Ito ay nakasulat tulad nito:

\[\kaliwa| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

nagsasalita sa simpleng wika, ang modulus ay "isang numero na walang minus". At ito ay sa duality na ito (sa ilang mga lugar wala kang kailangang gawin sa orihinal na numero, ngunit sa iba ay kailangan mong alisin ang ilang uri ng minus) na kung saan ang buong kahirapan ay namamalagi para sa mga nagsisimulang mag-aaral.

Mayroon ding geometric na kahulugan. Kapaki-pakinabang din na malaman, ngunit babalikan lamang natin ito sa kumplikado at ilang mga espesyal na kaso, kung saan ang geometric na diskarte ay mas maginhawa kaysa sa algebraic (spoiler: hindi ngayon).

Kahulugan. Hayaang markahan ang puntong $a$ sa linya ng numero. Pagkatapos ang module na $\left| Ang x-a \right|$ ay ang distansya mula sa puntong $x$ hanggang sa puntong $a$ sa linyang ito.

Kung gumuhit ka ng isang larawan, makakakuha ka ng ganito:


Depinisyon ng graphical na module

Sa isang paraan o iba pa, mula sa kahulugan ng isang module ang pangunahing katangian nito ay agad na sumusunod: ang modulus ng isang numero ay palaging isang di-negatibong dami. Ang katotohanang ito ay magiging isang pulang thread na tumatakbo sa aming buong salaysay ngayon.

Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay. Paraan ng pagitan

Ngayon tingnan natin ang mga hindi pagkakapantay-pantay. Napakarami ng mga ito, ngunit ang ating gawain ngayon ay ang malutas kahit ang pinakasimpleng mga ito. Ang mga bumaba sa mga linear na hindi pagkakapantay-pantay, pati na rin sa paraan ng pagitan.

Mayroon akong dalawang malalaking aralin sa paksang ito (sa pamamagitan ng paraan, napaka, VERY kapaki-pakinabang - Inirerekumenda kong pag-aralan ang mga ito):

  1. Paraan ng pagitan para sa mga hindi pagkakapantay-pantay(lalo na panoorin ang video);
  2. Fractional rational inequalities- napaka malawak na aral, ngunit pagkatapos nito ay wala ka nang anumang tanong.

Kung alam mo ang lahat ng ito, kung ang pariralang "lumipat tayo mula sa hindi pagkakapantay-pantay tungo sa equation" ay hindi nagdudulot sa iyo ng malabong pagnanais na itama ang iyong sarili sa dingding, kung gayon handa ka na: maligayang pagdating sa impiyerno sa pangunahing paksa ng aralin.

1. Mga hindi pagkakapantay-pantay ng form na "Modulus is less than function"

Ito ay isa sa mga pinakakaraniwang problema sa mga module. Ito ay kinakailangan upang malutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng form:

\[\kaliwa| f\right| \ltg\]

Ang mga function na $f$ at $g$ ay maaaring maging anuman, ngunit kadalasan ang mga ito ay mga polynomial. Mga halimbawa ng gayong hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \kanan| \lt x+7; \\ & \kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \kaliwa| ((x)^(2))-2\kaliwa| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Ang lahat ng mga ito ay maaaring malutas nang literal sa isang linya ayon sa sumusunod na pamamaraan:

\[\kaliwa| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \tama.\kanan)\]

Madaling makita na aalisin natin ang module, ngunit bilang kapalit ay nakakakuha tayo ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay (o, na parehong bagay, isang sistema ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay). Ngunit ang paglipat na ito ay ganap na isinasaalang-alang ang lahat posibleng mga problema: kung ang numero sa ilalim ng modulus ay positibo, gumagana ang pamamaraan; kung negatibo, gumagana pa rin ito; at kahit na may pinakamaraming hindi sapat na function bilang kapalit ng $f$ o $g$, gagana pa rin ang paraan.

Naturally, ang tanong ay lumitaw: hindi ba ito mas simple? Sa kasamaang palad, hindi ito posible. Ito ang buong punto ng modyul.

Gayunpaman, sapat na sa pamimilosopo. Lutasin natin ang ilang problema:

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| 2x+3 \right| \lt x+7\]

Solusyon. Kaya, mayroon kaming bago sa amin ng isang klasikong hindi pagkakapantay-pantay ng anyo na "ang modulus ay mas mababa" - walang kahit ano upang magbago. Nagtatrabaho kami ayon sa algorithm:

\[\begin(align) & \left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \kaliwa| 2x+3 \right| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Huwag magmadali upang buksan ang mga panaklong na sinusundan ng isang "minus": posible na sa iyong pagmamadali ay makakagawa ka ng isang nakakasakit na pagkakamali.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Ang problema ay nabawasan sa dalawang elementarya na hindi pagkakapantay-pantay. Tandaan natin ang kanilang mga solusyon sa parallel number lines:

Intersection ng mga set

Ang intersection ng mga set na ito ang magiging sagot.

Sagot: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Solusyon. Ang gawaing ito ay medyo mas mahirap. Una, ihiwalay natin ang module sa pamamagitan ng paglipat ng pangalawang termino sa kanan:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Malinaw, mayroon kaming hindi pagkakapantay-pantay ng form na "mas maliit ang module", kaya't tinanggal namin ang module gamit ang kilalang algorithm:

\[-\kaliwa(-3\kaliwa(x+1 \kanan) \kanan) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\kaliwa(x+1 \kanan)\]

Ngayon pansinin: may magsasabi na medyo pervert ako sa lahat ng panaklong ito. Ngunit hayaan mong ipaalala ko sa iyo muli na ang aming pangunahing layunin ay wastong lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay at makuha ang sagot. Sa ibang pagkakataon, kapag ganap mong pinagkadalubhasaan ang lahat ng inilarawan sa araling ito, maaari mong ilihis ang iyong sarili ayon sa gusto mo: buksan ang mga bracket, magdagdag ng mga minus, atbp.

Magsimula tayo sa pamamagitan lamang ng pag-alis dobleng minus kaliwa:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\kaliwa(x+1 \kanan)\]

Ngayon buksan natin ang lahat ng mga bracket sa double inequality:

Lumipat tayo sa dobleng hindi pagkakapantay-pantay. Sa pagkakataong ito ang mga kalkulasyon ay magiging mas seryoso:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( align)\kanan.\]

Ang parehong mga hindi pagkakapantay-pantay ay parisukat at maaaring malutas sa pamamagitan ng paraan ng agwat (kaya nga sinasabi ko: kung hindi mo alam kung ano ito, mas mahusay na huwag kumuha ng mga module pa). Lumipat tayo sa equation sa unang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, ang output ay isang hindi kumpletong quadratic equation, na maaaring malutas sa isang elementarya na paraan. Ngayon tingnan natin ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Doon ay kailangan mong ilapat ang teorama ni Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Minarkahan namin ang mga nagresultang numero sa dalawang magkatulad na linya (hiwalay para sa unang hindi pagkakapantay-pantay at hiwalay para sa pangalawa):

Muli, dahil nilulutas namin ang isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, interesado kami sa intersection ng mga shaded set: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Ito ang sagot.

Sagot: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Sa palagay ko pagkatapos ng mga halimbawang ito ang scheme ng solusyon ay napakalinaw:

  1. Ihiwalay ang module sa pamamagitan ng paglipat ng lahat ng iba pang termino sa kabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay. Kaya nakakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay ng form na $\left| f\right| \ltg$.
  2. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito sa pamamagitan ng pag-alis ng module ayon sa scheme na inilarawan sa itaas. Sa ilang mga punto, kakailanganing lumipat mula sa dobleng hindi pagkakapantay-pantay patungo sa isang sistema ng dalawang independiyenteng mga expression, na ang bawat isa ay maaari nang lutasin nang hiwalay.
  3. Sa wakas, ang natitira na lang ay pag-intersect ang mga solusyon ng dalawang independiyenteng expression na ito - at iyon lang, makukuha natin ang huling sagot.

Ang isang katulad na algorithm ay umiiral para sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng sumusunod na uri, kapag ang module ay mas malaki kaysa sa function. Gayunpaman, mayroong isang pares ng mga seryosong "ngunit". Pag-uusapan natin ang mga "ngunit" na ito ngayon.

2. Mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo na "Ang modulus ay mas malaki kaysa sa function"

Ganito ang hitsura nila:

\[\kaliwa| f\right| \gtg\]

Katulad ng nauna? parang. Gayunpaman, ang gayong mga problema ay nalutas sa isang ganap na naiibang paraan. Sa pormal, ang scheme ay ang mga sumusunod:

\[\kaliwa| f\right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Sa madaling salita, isinasaalang-alang namin ang dalawang kaso:

  1. Una, binabalewala lang natin ang module at lutasin ang karaniwang hindi pagkakapantay-pantay;
  2. Pagkatapos, sa esensya, pinalawak namin ang module na may minus sign, at pagkatapos ay i-multiply ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa −1, habang mayroon akong sign.

Sa kasong ito, ang mga pagpipilian ay pinagsama sa isang square bracket, i.e. Mayroon kaming bago sa amin ng isang kumbinasyon ng dalawang mga kinakailangan.

Pakitandaan muli: hindi ito isang sistema, ngunit isang kabuuan, samakatuwid sa sagot ang mga set ay pinagsama kaysa sa intersecting. Ito ay isang pangunahing pagkakaiba mula sa nakaraang punto!

Sa pangkalahatan, maraming estudyante ang lubos na nalilito sa mga unyon at intersection, kaya't ayusin natin ang isyung ito nang minsanan:

  • Ang "∪" ay isang tanda ng unyon. Sa totoo lang, ito ay isang naka-istilong titik na "U" na nagmula sa amin wikang Ingles at ito ay isang pagdadaglat para sa "Union", i.e. "Mga Asosasyon".
  • Ang "∩" ay ang intersection sign. Ang crap na ito ay hindi nagmula saanman, ngunit lumitaw lamang bilang isang counterpoint sa "∪".

Para mas madaling matandaan, iguhit lang ang mga paa sa mga palatandaang ito para gumawa ng salamin (huwag mo lang akong akusahan ngayon na nagsusulong ng pagkagumon sa droga at alkoholismo: kung seryoso mong pinag-aaralan ang araling ito, kung gayon ikaw ay isang adik sa droga):

Pagkakaiba sa pagitan ng intersection at unyon ng mga set

Isinalin sa Russian, nangangahulugan ito ng sumusunod: ang unyon (kabuuan) ay kinabibilangan ng mga elemento mula sa parehong mga hanay, samakatuwid ito ay hindi mas mababa sa bawat isa sa kanila; ngunit ang intersection (system) ay kinabibilangan lamang ng mga elementong iyon na sabay-sabay sa unang set at pangalawa. Samakatuwid, ang intersection ng mga set ay hindi kailanman mas malaki kaysa sa source set.

Kaya naging mas malinaw? Magaling yan. Magpatuloy tayo sa pagsasanay.

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

Solusyon. Nagpapatuloy kami ayon sa scheme:

\[\kaliwa| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ tama.\]

Nalutas namin ang bawat hindi pagkakapantay-pantay sa populasyon:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Minarkahan namin ang bawat resultang set sa linya ng numero, at pagkatapos ay pagsamahin ang mga ito:

Unyon ng mga hanay

Halatang halata na ang magiging sagot ay $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Sagot: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gt x\]

Solusyon. Well? Wala - lahat ay pareho. Lumipat tayo mula sa isang hindi pagkakapantay-pantay na may modulus patungo sa isang hanay ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Niresolba natin ang bawat hindi pagkakapantay-pantay. Sa kasamaang palad, ang mga ugat doon ay hindi magiging napakahusay:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

Ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay medyo ligaw din:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Ngayon ay kailangan mong markahan ang mga numerong ito sa dalawang axes - isang axis para sa bawat hindi pagkakapantay-pantay. Gayunpaman, dapat na markahan ang mga puntos sa tamang pagkakasunod-sunod: kung mas malaki ang numero, mas gumagalaw ang punto sa kanan.

At narito ang isang setup na naghihintay sa amin. Kung malinaw ang lahat sa mga numerong $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (ang mga termino sa numerator ng una ang fraction ay mas mababa kaysa sa mga termino sa numerator ng pangalawa , kaya mas mababa din ang kabuuan), na may mga numerong $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ hindi rin magkakaroon ng mga paghihirap (positive number obviously more negative), tapos sa huling mag-asawa ang lahat ay hindi masyadong malinaw. Alin ang mas malaki: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ o $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Ang paglalagay ng mga puntos sa mga linya ng numero at, sa katunayan, ang sagot ay depende sa sagot sa tanong na ito.

Kaya't ihambing natin:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

Ibinukod namin ang ugat, nakakuha ng mga di-negatibong numero sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay, kaya may karapatan kaming i-square ang magkabilang panig:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

Sa palagay ko ay walang utak na $4\sqrt(13) \gt 3$, kaya $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, ang mga huling puntos sa mga palakol ay ilalagay tulad nito:

Isang kaso ng mga pangit na ugat

Ipaalala ko sa iyo na nilulutas namin ang isang koleksyon, kaya ang sagot ay isang unyon, hindi isang intersection ng mga shaded set.

Sagot: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Tulad ng nakikita mo, mahusay ang aming scheme para sa pareho mga simpleng gawain, at para sa mga napakahirap. Ang tanging bagay" mahinang punto"Sa diskarteng ito, kailangan mong mahusay na ihambing ang mga hindi makatwirang numero (at maniwala ka sa akin: hindi lamang ito mga ugat). Ngunit ang isang hiwalay (at napakaseryosong) aralin ay ilalaan sa mga isyu sa paghahambing. At magpatuloy kami.

3. Mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga hindi negatibong "buntot"

Ngayon makarating tayo sa pinakakagiliw-giliw na bahagi. Ito ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo:

\[\kaliwa| f\right| \gt\left| g\right|\]

Sa pangkalahatan, ang algorithm na pag-uusapan natin ngayon ay tama lamang para sa module. Gumagana ito sa lahat ng hindi pagkakapantay-pantay kung saan may mga garantisadong di-negatibong expression sa kaliwa at kanan:

Ano ang gagawin sa mga gawaing ito? Tandaan lamang:

Sa mga hindi pagkakapantay-pantay na may hindi negatibong "mga buntot", ang magkabilang panig ay maaaring itaas sa anumang natural na kapangyarihan. Walang karagdagang mga paghihigpit.

Una sa lahat, magiging interesado kami sa pag-squaring - sinusunog nito ang mga module at ugat:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Huwag lamang malito ito sa pagkuha ng ugat ng isang parisukat:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Hindi mabilang na mga pagkakamali ang nagawa kapag nakalimutan ng isang mag-aaral na mag-install ng module! Ngunit iyon ay isang ganap na naiibang kuwento (parang hindi makatwirang equation), kaya hindi na natin ito sasagutin ngayon. Mas mahusay na lutasin natin ang ilang mga problema:

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Solusyon. Agad nating pansinin ang dalawang bagay:

  1. Ito ay hindi isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga puntos sa linya ng numero ay mabutas.
  2. Ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay malinaw na hindi negatibo (ito ay isang pag-aari ng module: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Samakatuwid, maaari nating parisukat ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay upang maalis ang modulus at malutas ang problema gamit ang karaniwang paraan ng pagitan:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(align)\]

Naka-on huling hakbang Nagdaya ako ng kaunti: Binago ko ang pagkakasunud-sunod ng mga termino, sinasamantala ang pantay ng module (sa katunayan, pinarami ko ang expression na $1-2x$ sa −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ kanan)\kanan)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Malutas namin gamit ang paraan ng agwat. Lumipat tayo mula sa hindi pagkakapantay-pantay patungo sa equation:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Minarkahan namin ang nahanap na mga ugat sa linya ng numero. Muli: ang lahat ng mga punto ay may kulay dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit!

Pag-alis ng modulus sign

Hayaan akong ipaalala sa iyo para sa mga lalo na matigas ang ulo: kinukuha namin ang mga palatandaan mula sa huling hindi pagkakapantay-pantay, na isinulat bago lumipat sa equation. At pinipinta namin ang mga lugar na kinakailangan sa parehong hindi pagkakapantay-pantay. Sa aming kaso ito ay $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Well, yun lang. Ang problema ay nalutas.

Sagot: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \kanan|\]

Solusyon. Ginagawa namin ang lahat ng pareho. Hindi ako magkokomento - tingnan lamang ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon.

Kuwadrado ito:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left |. ((x)^(2))+3x+4 \kanan|)^(2)); \\ at ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \kanan))^(2)); \\ at ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ kanan))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Paraan ng pagitan:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Rightarrow x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Mayroon lamang isang ugat sa linya ng numero:

Ang sagot ay isang buong pagitan

Sagot: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Isang maliit na tala tungkol sa huling gawain. Tulad ng tumpak na nabanggit ng isa sa aking mga mag-aaral, ang parehong mga submodular na expression sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay malinaw na positibo, kaya ang modulus sign ay maaaring tanggalin nang walang pinsala sa kalusugan.

Ngunit ito ay isang ganap na naiibang antas ng pag-iisip at ibang diskarte - maaari itong kondisyon na tinatawag na paraan ng mga kahihinatnan. Tungkol dito - sa isang hiwalay na aralin. Ngayon ay lumipat tayo sa huling bahagi ng aralin ngayon at tingnan ang isang pangkalahatang algorithm na palaging gumagana. Kahit na ang lahat ng mga nakaraang diskarte ay walang kapangyarihan :)

4. Paraan ng enumeration ng mga opsyon

Paano kung ang lahat ng mga pamamaraan na ito ay hindi makakatulong? Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi maaaring bawasan sa hindi negatibong mga buntot, kung imposibleng ihiwalay ang module, kung sa pangkalahatan ay may sakit, kalungkutan, mapanglaw?

Pagkatapos ay ang "mabigat na artilerya" ng lahat ng matematika ay dumating sa eksena-ang paraan ng brute force. Kaugnay ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa modulus, ganito ang hitsura:

  1. Isulat ang lahat ng mga submodular na expression at itakda ang mga ito na katumbas ng zero;
  2. Lutasin ang mga resultang equation at markahan ang mga ugat na matatagpuan sa isang linya ng numero;
  3. Ang tuwid na linya ay hahatiin sa ilang mga seksyon, kung saan ang bawat module ay may isang nakapirming palatandaan at samakatuwid ay katangi-tanging inihayag;
  4. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay sa bawat naturang seksyon (maaari mong hiwalay na isaalang-alang ang mga ugat-hangganan na nakuha sa hakbang 2 - para sa pagiging maaasahan). Pagsamahin ang mga resulta - ito ang magiging sagot :)

Kaya paano? mahina? Madali lang! Sa loob lamang ng mahabang panahon. Tingnan natin sa pagsasanay:

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| x+2 \kanan| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Solusyon. Ang crap na ito ay hindi kumukulo sa mga hindi pagkakapantay-pantay tulad ng $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ o $\left| f\right| \lt \left| g \right|$, kaya kumilos tayo nang maaga.

Isinulat namin ang mga submodular na expression, itinutumbas ang mga ito sa zero at hanapin ang mga ugat:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\end(align)\]

Sa kabuuan, mayroon kaming dalawang ugat na naghahati sa linya ng numero sa tatlong seksyon, kung saan ang bawat module ay natatangi:

Paghati sa linya ng numero sa pamamagitan ng mga zero ng submodular function

Tingnan natin ang bawat seksyon nang hiwalay.

1. Hayaan ang $x \lt -2$. Pagkatapos ang parehong mga submodular na expression ay negatibo, at ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay muling isusulat tulad ng sumusunod:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Mayroon kaming medyo simpleng limitasyon. I-intersect natin ito sa paunang pagpapalagay na $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Malinaw, ang variable na $x$ ay hindi maaaring sabay na mas mababa sa −2 at mas malaki sa 1.5. Walang mga solusyon sa lugar na ito.

1.1. Isaalang-alang natin nang hiwalay ang borderline case: $x=-2$. Ipalit na lang natin ang numerong ito sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay at suriin: totoo ba ito?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\kanan|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Malinaw na ang kadena ng mga kalkulasyon ay humantong sa amin sa isang hindi tamang hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay mali rin, at ang $x=-2$ ay hindi kasama sa sagot.

2. Hayaan ngayon $-2 \lt x \lt 1$. Magbubukas na ang kaliwang module na may "plus", ngunit ang kanan ay magbubukas pa rin ng "minus". Mayroon kaming:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Muli kaming bumalandra sa orihinal na kinakailangan:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

At muli, ang hanay ng mga solusyon ay walang laman, dahil walang mga numero na parehong mas mababa sa −2.5 at mas malaki sa −2.

2.1. At muli espesyal na kaso: $x=1$. Pinapalitan namin ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\kanan| \lt \left| 0\kanan|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Katulad ng nakaraang "espesyal na kaso", ang numerong $x=1$ ay malinaw na hindi kasama sa sagot.

3. Ang huling piraso ng linya: $x \gt 1$. Narito ang lahat ng mga module ay binuksan na may plus sign:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

At muli naming i-intersect ang natagpuang set na may orihinal na pagpilit:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Well, sa wakas! Nakahanap kami ng pagitan na magiging sagot.

Sagot: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Sa wakas, isang pangungusap na maaaring magligtas sa iyo mula sa mga hangal na pagkakamali kapag nilulutas ang mga tunay na problema:

Ang mga solusyon sa mga hindi pagkakapantay-pantay na may moduli ay karaniwang kumakatawan sa mga tuluy-tuloy na hanay sa linya ng numero - mga pagitan at mga segment. Ang mga nakahiwalay na punto ay hindi gaanong karaniwan. At kahit na mas madalas, nangyayari na ang hangganan ng solusyon (ang dulo ng segment) ay tumutugma sa hangganan ng saklaw na isinasaalang-alang.

Dahil dito, kung ang mga hangganan (ang parehong "mga espesyal na kaso") ay hindi kasama sa sagot, kung gayon ang mga lugar sa kaliwa at kanan ng mga hangganan na ito ay halos tiyak na hindi isasama sa sagot. At kabaliktaran: ang hangganan ay pumasok sa sagot, na nangangahulugan na ang ilang mga lugar sa paligid nito ay magiging mga sagot din.

Isaisip ito kapag sinusuri ang iyong mga solusyon.