Hindi karaniwang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang hindi pagkakapantay-pantay at mga equation. Hindi karaniwang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay

Mga di-karaniwang pamamaraan paglutas ng mga quadratic equation

mag-aaral sa ika-9 na baitang

Pinuno ng trabaho:

Firsova Daria Evgenevna

guro sa matematika

Kadalasan ay mas kapaki-pakinabang para sa isang taong nag-aaral ng algebra na lutasin ang parehong problema sa tatlo sa iba't ibang paraan kaysa sa paglutas ng tatlo o apat na problema. Sa pamamagitan ng paglutas ng isang problema sa iba't ibang paraan, maaari mong malaman sa pamamagitan ng paghahambing kung alin ang mas maikli at mas mahusay. Ito ay kung paano nabuo ang karanasan.

U.U. Sawyer (20th century English mathematician)

Layunin ng gawain

Galugarin ang lahat umiiral na mga pamamaraan paglutas ng isang quadratic equation. Alamin kung paano gamitin ang mga pamamaraang ito.

Mga gawain

Unawain ang tinatawag na quadratic equation.
Alamin kung anong mga uri ng quadratic equation ang umiiral.
Maghanap ng impormasyon tungkol sa mga paraan upang malutas ang isang quadratic equation at pag-aralan ito.

Kaugnayan ng paksa: Ang mga tao ay nag-aaral ng mga quadratic equation mula pa noong sinaunang panahon. Nais kong malaman ang kasaysayan ng pagbuo ng mga quadratic equation.

Hindi ibinigay sa mga aklat-aralin sa paaralan buong impormasyon tungkol sa mga quadratic equation at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito.

bagay: Quadratic equation.

item: Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na ito.

Mga pamamaraan ng pananaliksik: analitikal.

Hypothesis – kung, habang nagsasaliksik sa paksang ito, napagtanto ko ang mga layunin at layunin na aking itinakda, kung gayon ay magpapatuloy ako sa pagpapatupad ng proyekto espesyal na pagsasanay sa Edukasyon sa Matematika.

Mga pamamaraan ng pananaliksik:

Paggawa gamit ang pang-edukasyon at tanyag na panitikan sa agham.
Pagmamasid, paghahambing, pagsusuri.
Paglutas ng problema.

Mga inaasahang resulta: Sa kurso ng pag-aaral ng gawaing ito, magagawa kong talagang masuri ang aking potensyal na intelektwal at, nang naaayon, sa hinaharap, magpasya sa isang profile ng pagsasanay, lumikha ng isang produkto ng proyekto sa paksang pinag-aaralan sa anyo ng isang pagtatanghal sa computer ang isyung ito ay magpapahintulot sa akin na mabayaran ang kakulangan ng kaalaman sa itinalagang paksa.

Itinuturing kong may pag-asa ang aking trabaho, dahil sa hinaharap ang materyal na ito ay magagamit ng parehong mga mag-aaral upang mapabuti ang matematikal na literacy at mga guro sa mga ekstrakurikular na klase

Quadratic equation sa Sinaunang Babylon

Ang pangangailangan upang malutas ang mga equation hindi lamang ng una, kundi pati na rin ng pangalawang antas, kahit na noong sinaunang panahon, ay sanhi ng pangangailangan upang malutas ang mga problema na nauugnay sa paghahanap ng mga lugar ng mga plot ng lupa at sa gawaing paghuhukay ng kalikasan ng militar, gayundin sa pag-unlad ng astronomiya at matematika mismo. Nalutas ng mga Babylonians ang mga quadratic equation noong 2000 BC. Gamit ang modernong algebraic notation, maaari nating sabihin na sa kanilang mga cuneiform na teksto ay mayroong, bilang karagdagan sa mga hindi kumpleto, tulad, halimbawa, kumpletong quadratic equation:

Ang tuntunin para sa paglutas ng mga equation na ito, na itinakda sa mga teksto ng Babylonian, ay kasabay ng modernong isa, ngunit hindi alam kung paano nakarating ang mga Babylonians sa panuntunang ito. Halos lahat ng mga tekstong cuneiform na natagpuan sa ngayon ay nagpapakita lamang ng mga problema sa mga solusyon na inilatag sa anyo ng mga recipe, na walang indikasyon kung paano sila natagpuan. Sa kabila mataas na antas pag-unlad ng algebra sa Babylonia, ang mga tekstong cuneiform ay kulang sa konsepto ng negatibong numero at pangkalahatang pamamaraan paglutas ng mga quadratic equation.

Paano binubuo at nalutas ni Diophantus

quadratic equation

EQUATION:

"Maghanap ng dalawang numero na alam na ang kanilang kabuuan ay 20 at ang kanilang produkto ay 96."

Diophantus dahilan tulad ng sumusunod: mula sa mga kondisyon ng problema ito ay sumusunod na ang mga kinakailangang numero Hindi ay pantay-pantay, dahil kung sila ay pantay, kung gayon ang kanilang produkto ay hindi magiging 96, ngunit 100. Kaya, ang isa sa kanila ay higit sa kalahati ng kanilang kabuuan, i.e. 10+X , ang isa ay mas mababa, i.e. 10-X .

Ang pagkakaiba sa pagitan nila ay 2 X

Mula dito X=2 . Ang isa sa mga kinakailangang numero ay 12, ang isa ay 8. Solusyon X = -2 para sa Diophantus ay hindi umiiral, dahil ang Griyego matematika alam lamang positibong numero.

0 Isa sa mga problema ng sikat na Indian mathematician noong ika-12 siglo na si Bhaskara Isang kawan ng mga malikot na unggoy, na nakakain sa laman ng kanilang puso, ay nagsaya. Ika-walong bahagi nila sa plaza ay nagsasaya ako sa clearing. At labindalawa sa mga baging... Nagsimula silang tumalon habang nakabitin... Ilang unggoy ang naroon, sabihin mo sa akin, sa kawan na ito? Ang equation na tumutugma sa problema: Nagsusulat si Baskara sa ilalim ng form: Nakumpleto ang kaliwang bahagi sa isang parisukat," width="640"

Mga Quadratic Equation sa India

Ang mga problema sa quadratic equation ay matatagpuan din sa astronomical treatise na "Aryabhattiam", na pinagsama noong 499 ng Indian mathematician at astronomer na si Aryabhatta. Binalangkas ng isa pang iskolar ng India, si Brahmagupta pangkalahatang tuntunin mga solusyon ng quadratic equation na binawasan sa iisang canonical form: palakol ² +bx=c, a0

Isa sa mga problema ng sikat na Indian mathematician noong ika-12 siglo na si Bhaskara

Isang kawan ng mga malikot na unggoy

Kumain ako ng busog, nagsaya ako.

Ang walong bahagi ng mga ito ay parisukat

Nagsasaya ako sa clearing.

At labindalawa sa kahabaan ng mga baging...

Nagsimula silang tumalon habang nakabitin...

Ilang unggoy ang naroon?

Sabihin mo sa akin, sa paketeng ito?

Ang equation na naaayon sa problema ay:

Sumulat si Baskara sa ilalim ng pagkukunwari:

Nakumpleto ang kaliwang bahagi sa isang parisukat,

Quadratic equation sa Sinaunang Asya

X 2 +10 x = 39

Ito ay kung paano nalutas ng siyentipikong Gitnang Asya na si al-Khwarizmi ang equation na ito:

Sumulat siya: "Ang panuntunan ay:

doble ang bilang ng mga ugat, x=2x ·5

makakuha ng lima sa problemang ito, 5

multiply sa katumbas nito, nagiging dalawampu't lima, 5·5=25

idagdag iyon sa tatlumpu't siyam, 25+39

ito ay magiging animnapu't apat, 64

kunin ang ugat mula dito, ito ay nagiging walo, 8

at ibawas mula sa kalahating ito ang bilang ng mga ugat, ibig sabihin, lima, 8-5

ay mananatili 3

ito ang magiging square root na hinahanap mo."

Paano ang pangalawang ugat? Ang pangalawang ugat ay hindi natagpuan, dahil ang mga negatibong numero ay hindi kilala.

Quadratic equation sa Europa XIII-XVII siglo.

Ang pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation na binawasan sa isang kanonikal na anyo x2+inx+c=0 ay binuo sa Europa lamang noong 1544 Mr. Stiefel.

Ang mga formula para sa paglutas ng mga quadratic equation sa Europe ay unang itinakda noong 1202 ng isang Italyano na matematiko.

Leonard Fibonacci.

Ang derivation ng formula para sa paglutas ng isang quadratic equation sa pangkalahatang anyo ay makukuha mula sa Vieth, ngunit ang Vieth ay kumikilala lamang ng mga positibong ugat. Noong ika-17 siglo lamang. salamat sa mga pagsisikap Descartes, Newton at iba pang mga siyentipiko ang paraan para sa paglutas ng mga quadratic equation ay tumatagal modernong hitsura

Tungkol sa teorama ni Vieta

Ang theorem na nagpapahayag ng ugnayan sa pagitan ng mga coefficient ng isang quadratic equation at ang mga ugat nito, na pinangalanan sa Vieta, ay unang binuo niya noong 1591 bilang mga sumusunod: "Kung ang B + D beses A-A ay katumbas ng BD, kung gayon ang A ay katumbas ng B at katumbas ng D."

Upang maunawaan ang Vieta, dapat tandaan na ang A, tulad ng anumang titik ng patinig, ay nangangahulugang ang hindi alam (aming x), habang ang mga patinig B, D ay mga coefficient para sa hindi alam.

Sa wika ng modernong algebra, ang ibig sabihin ng formulation sa itaas ng Vieta :

Kung ang ibinigay quadratic equation x 2 +px+q=0 ay may tunay na mga ugat, kung gayon ang kanilang kabuuan ay katumbas ng -p, at ang produkto ay pantay q, iyon ay x 1 + x 2 = -p, x 1 x 2 = q

(ang kabuuan ng mga ugat ng ibinigay na quadratic equation ay katumbas ng pangalawang coefficient na kinuha mula sa kabaligtaran ng tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino).

Pag-factor sa Kaliwang Gilid ng Equation
Ang teorama ni Vieta
Paglalapat ng mga katangian ng quadratic equation coefficients
Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang paraan ng "paghagis" ng nangungunang coefficient
Buong parisukat na paraan ng pagpili
Graphical na paraan para sa paglutas ng mga quadratic equation
Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang compass at ruler
Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang isang nomogram
Geometric na pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation

Pamamaraan ng factorization

magbigay ng quadratic equation pangkalahatang pananaw sa form:

A(x)·B(x)=0,

kung saan ang A(x) at B(x) ay mga polynomial na may kinalaman sa x.

Target:

Pamamaraan:

Pag-alis ng karaniwang salik sa mga bracket;
Paggamit ng mga pinaikling pormula ng pagpaparami;
Paraan ng pagpapangkat.

Halimbawa:

: X 2 + 10x – 24 = 0

I-factorize natin ang kaliwang bahagi ng equation:

X 2 + 10x – 24 = x 2 + 12x – 2x – 24 = x(x + 12) – 2(x + 12) = = (x + 12)(x – 2);

(x + 12)(x – 2) = 0;

x + 12 = 0 o x – 2 = 0;

X 1 = -12 x 2 = 2 ;

Ang mga numero - 12 at 2 ay ang mga ugat ng equation na ito.

Sagot: x 1 = -12 ; X 2 = 2.

Paglutas ng mga equation gamit ang Vieta's theorem

x 1 At X 2 – ugat ng equation

Halimbawa :

X 2 + 3X – 10 = 0

X 1 ·X 2 = – 10, na nangangahulugang ang mga ugat ay magkakaiba

mga palatandaan

X 1 + X 2 = – 3, ay nangangahulugang mas malaki sa modulus

ugat - negatibo

Sa pamamagitan ng pagpili ay makikita natin ang mga ugat: X 1 = – 5, X 2 = 2

Mga katangian ng mga coefficient ng isang quadratic equation

Hayaang ibigay ang quadratic equation ax 2 + bx + c = 0

Kung a + b + c = 0 (i.e. ang kabuuan ng mga coefficient

equation ay zero), pagkatapos X 1 = 1 , X 2 = c/a

Kung a - b + c = 0 , o b = a + c , yun X 1 = – 1 , X 2 = – s/a .

Halimbawa :

137x 2 + 20x – 157 = 0.

a = 137, b = 20, c = -157.

a + b+ c = 137 + 20 – 157 =0.

x 1 = 1,

Sagot: 1;

0, sa pamamagitan ng theorem inverse sa Vieta's theorem, nakuha natin ang mga ugat: 5;6, pagkatapos ay bumalik tayo sa mga ugat ng orihinal na equation: 2.5; 3." lapad="640"

Paglutas ng mga equation gamit ang "throw" method

Mga ugat ng quadratic equation palakol 2 + bx + c = 0 At y 2 + ni + ac = 0 nauugnay sa kaugnayan : x = y/a .

Isaalang-alang ang quadratic equation palakol ² + bx + c = 0 , kung saan ang isang ≠ 0. Pagpaparami ng magkabilang panig sa A , makuha namin ang equation а²х² + abх + ac = 0. Hayaan ah = y , saan X = y/a; pagkatapos ay dumating tayo sa equation y² + bу + ac = 0 , katumbas ng isang ito. Ang mga ugat nito sa 1 At sa 2 nakita namin ang paggamit ng teorama ni Vieta. Sa wakas nakuha namin X 1 = y 1 /a At X 2 = y 2 /a .

Lutasin ang equation: 2x 2 - 11x +15 = 0.

Itapon natin ang koepisyent 2 sa libreng termino

sa 2 - 11у +30= 0. D0, ayon sa theorem inverse sa Vieta's theorem, nakuha natin ang mga ugat: 5;6, pagkatapos ay bumalik tayo sa mga ugat ng orihinal na equation: 2.5; 3.

Buong parisukat na paraan ng pagpili

X 2 + 6x – 7 = 0

Pumili ng kumpletong parisukat sa kaliwang bahagi. Upang gawin ito, isinusulat namin ang expression X 2 + 6x sa sumusunod na anyo:

X 2 + 6x = x 2 + 2 x 3

Sa resultang expression, ang unang termino ay ang parisukat ng numero X, at ang pangalawa ay doble ang produkto X sa 3 , kaya para makakuha ng kumpletong parisukat kailangan mong idagdag 3 2 , dahil

X 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2

Ibahin natin ngayon ang kaliwang bahagi ng equation X 2 + 6x – 7 = 0, pagdaragdag at pagbabawas dito 3 2 , mayroon kaming:

X 2 + 6x – 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 – 3 2 – 7 =

= (x + 3) 2 – 9 – 7 = (x + 3) 2 – 16

Kaya, ang equation na ito ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:

(x + 3) 2 –16 = 0 , ibig sabihin. (x + 3) 2 = 16 .

Kaya naman, x + 3 - 4 = 0 o x + 3 + 4 = 0

X 1 = 1 X 2 = -7

Sagot: -7; 1.

Graphical na pamamaraan para sa paglutas ng isang quadratic equation

Nang hindi gumagamit ng mga formula, ang isang parisukat na equation ay malulutas nang grapiko

paraan. Lutasin natin ang equation

Upang gawin ito, bubuo kami ng dalawang graph:

Ang abscissas ng mga intersection point ng mga graph ang magiging ugat ng equation.

Kung ang mga graph ay nagsalubong sa dalawang punto, ang equation ay may dalawang ugat.

Kung ang mga graph ay nagsalubong sa isang punto, ang equation ay may isang ugat.

Kung ang mga graph ay hindi nagsalubong, kung gayon ang equation ay walang mga ugat.

Sagot:

Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang

compass at ruler

1. Pumili ng coordinate system.

2. I-plot natin ang mga punto S(-b/ 2 A; a+c/ 2 A) – ang gitna ng bilog at A( 0; 1 ) .

3. Gumuhit tayo ng bilog na may radius S.A. .

Abscissas ang mga punto ng intersection ng bilog na may Ox axis ay mga ugat ng quadratic equation na ito.

x 1

x 2

Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang isang nomogram

Ito ay isang luma at hindi nararapat na nakalimutan na paraan ng paglutas ng mga quadratic equation, na inilagay sa p 83 "Four-digit mathematical tables" ni V.M.

Para sa equation

ang nomogram ay nagbibigay ng mga ugat

Talahanayan XXII. Nomogram para sa paglutas ng equation

Ang nomogram na ito ay nagbibigay-daan, nang hindi nilulutas ang isang quadratic equation, upang matukoy ang mga ugat ng equation mula sa mga coefficient nito.

Geometric na pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation

Ang isang halimbawa na naging tanyag ay mula sa "Algebra" ng al-Khorezmi: X 2 + 10x = 39. Sa orihinal, ang problemang ito ay nabuo tulad ng sumusunod: "Ang parisukat at sampung ugat ay katumbas ng 39."

S = x 2 + 10 x+ 25 (X 2 + 10 x = 39 )

S= 39 + 25 = 64 , kung saan ito sumusunod,

ano ang gilid ng parisukat ABCD ,

mga. segment AB = 8 .

x = 8 - 2,5 - 2,5 = 3

Batay sa survey, napag-alaman na:

Ang mga sumusunod na pamamaraan ay naging pinakamahirap:

Pag-factor sa kaliwang bahagi ng equation,

Paraan para sa pagpili ng isang kumpletong parisukat.

Mga makatwirang paraan ng solusyon:

Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang formula;

Paglutas ng mga equation gamit ang Vieta's theorem

Walang praktikal na aplikasyon

Geometric na pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation.

Hindi kailanman narinig ang mga pamamaraang ito bago:

Paglalapat ng mga katangian ng mga coefficient ng isang quadratic equation;

Paggamit ng nomogram;

Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang compass at ruler;

Ang pamamaraang "paglipat" (ang pamamaraang ito ay pumukaw sa interes ng mga mag-aaral).

Konklusyon

Ang mga pamamaraang ito ng solusyon ay nararapat na bigyang pansin, dahil hindi lahat ay makikita sa mga aklat-aralin sa matematika ng paaralan;

ang pag-master ng mga teknik na ito ay makakatulong sa mga mag-aaral na makatipid ng oras at epektibong malutas ang mga equation;

ang pangangailangan para sa isang mabilis na solusyon ay dahil sa paggamit ng isang sistema ng pagsubok para sa mga pagsusulit sa pasukan;

SALAMAT PARA SA PANSIN!

"Hindi karaniwang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation"

Kubanova Olga Nikolaevna, guro ng matematika,

MBOU "Plesetsk Secondary School"

"Ang proseso ng paglutas ng isang equation -

mayroon lamang ang pagkilos ng pagbabawas nito sa isang mas simpleng anyo.

Ngunit sa ilang mga anyo ito ay hindi madaling basahin.

Ang solusyon nito ay katulad ng pagsasalin

isang hindi pamilyar na parirala sa isang wikang naiintindihan namin"

Upang malutas ang karamihan sa mga equation na nakatagpo sa mga pagsusulit, sapat na upang makabisado ang isang kurso sa matematika ng paaralan, ngunit sa parehong oras kailangan mong malutas ang mga ito hindi lamang gamit ang mga karaniwang pamamaraan na inilaan para sa napaka tiyak na mga uri ng mga equation, kundi pati na rin ang mga " non-standard” na mga pamamaraan na gusto kong pag-usapan.

Ang kakanyahan ng mga pamamaraang ito ay upang ipatupad ang isang "iba't ibang pananaw" ng problema, na nagpapahintulot, nang hindi lalampas kurikulum ng paaralan, makabuluhang pasimplehin ang solusyon ng ilang mga problema, iyon ay, gagamit kami ng mga kilalang pahayag, ngunit sa mga sitwasyon kung saan medyo bihirang ginagamit ang mga ito.

Kasama ang pangunahing gawain ng pagtuturo ng matematika - tinitiyak ang malakas at may kamalayan na kasanayan ng mga mag-aaral sa sistema ng kaalaman at kasanayan sa matematika, ang mga hindi pamantayang pamamaraan ay nagbibigay para sa pagbuo ng isang napapanatiling interes sa paksa, pagkilala at pagbuo ng mga kakayahan sa matematika sa mga bata, bilang gayundin ang pagpapabuti ng kalidad ng pagtuturo ng matematika.

Ako ay tumutuon sa isang paraan kung saan ang mga katangian ng mga function na kasama sa equation ay ginagamit upang malutas ang mga equation.

Pag-aaral ng domain ng mga kahulugan at hanay ng mga halaga ng mga function:

Tandaan na At

Kaya imposible ang pagkakapantay-pantay.

Sagot: walang ugat.

Mga katangian ng monotonicity ng mga pag-andar:

Ang equation na ito ay maaaring malutas sa karaniwang paraan, ngunit maaari itong maging mas simple. Ang kaliwang bahagi ng equation ay isang pagtaas ng function, at ang kanang bahagi ay isang pagpapababa ng function. Samakatuwid, ang equation na ito ay hindi maaaring magkaroon ng higit sa isang ugat. Ang numero 1 ay ang ugat ng equation, na maaaring ma-verify sa pamamagitan ng pagpapalit.

Ang pagtaas nito sa ikalimang kapangyarihan ay tila walang saysay. Hayaan mo na. Isaalang-alang natin ang mga function: at . Ang mga function na ito ay magkabaligtaran, tumataas, pagkatapos ay katumbas ng equation.

Mayroon lamang isang ugat, dahil sa kaliwa ay isang pagtaas ng function, sa kanan ay isang nagpapababang function.

Gamit ang mga function na "non-negativity":

Ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi ay hindi negatibo, samakatuwid ang pagkakapantay-pantay ay posible lamang kung ang bawat isa sa mga termino ay katumbas ng zero.

Ang dalawang pagkakapantay-pantay na ito ay sumasalungat sa isa't isa. Ang sistema ay walang solusyon.

Sagot: walang solusyon.

Upang magamit ang mga pamamaraang ito upang malutas ang mga equation, kailangan mong magkaroon ng isang mahusay na kaalaman sa teoretikal na materyal. Gamit ang mga pamamaraang ito, ang oras ay nai-save, na nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ang higit pang mga problema. At ito ay napakahalaga kapag nagsusulat mga pagsubok At pagpasa sa Unified State Exam.

Mga katangian ng function:

T-1:

Paggamit ng mga superposisyon ng function:

T -2:

"Non-negativity" ng mga function.

Mga katangian ng function:

Ang domain ng kahulugan at ang hanay ng halaga ng square root.

Mga katangian ng monotonicity ng isang function:

T-1: Hayaang ang y=f (x) ay isang function na tumataas sa interval L, at ang y=g (x) ay isang function na bumababa sa parehong interval L. Pagkatapos ang equation na f (x)=g (x) ay may hindi hihigit sa isang ugat sa pagitan ng L.

Paggamit ng mga superposisyon ng function:

T -2: Kung ang mga function na f (x) at g (x) ay magkabaligtaran at ang function na f (x) ay tumataas, kung gayon ang equation na f (x) = g (x) at ang equation na f (x) = x ay katumbas.

"Non-negativity" ng mga function.

Mga katangian ng function:

Ang domain ng kahulugan at ang hanay ng halaga ng square root.

Mga katangian ng monotonicity ng isang function:

Paggamit ng mga superposisyon ng function:

T -2: Kung ang mga function na f (x) at g (x) ay magkabaligtaran at ang function na f (x) ay tumataas, kung gayon ang equation na f (x) = g (x) at ang equation na f (x) = x ay katumbas.

"Non-negativity" ng mga function.

Russian philologist na si Dmitry Nikolaevich Ushakov sa kanyang diksyunaryo ng paliwanag nagbibigay ng kahulugang ito ng konseptong "paraan" - isang landas, pamamaraan, pamamaraan ng teoretikal na pananaliksik o praktikal na pagpapatupad ng isang bagay (D. N. Ushakov, 2000).

Ano ang mga paraan ng pagtuturo sa paglutas ng mga problema sa matematika na kasalukuyang itinuturing nating hindi pamantayan? Pangkalahatang recipe, sa kasamaang palad, walang nakaisip nito, dahil sa kakaiba ng mga gawaing ito. Ang ilang mga guro ay nagtuturo sa mga formulaic exercises. Nangyayari ito sa sumusunod na paraan: ang guro ay nagpapakita ng isang paraan ng solusyon, at pagkatapos ay inuulit ito ng mag-aaral nang maraming beses kapag nilulutas ang mga problema. Kasabay nito, ang interes ng mga mag-aaral sa matematika ay pinapatay, na nakakalungkot, sabihin ang hindi bababa sa.

Sa matematika walang mga pangkalahatang tuntunin na nagpapahintulot sa paglutas ng anumang hindi karaniwang problema, dahil ang mga naturang problema ay sa ilang lawak ay natatangi. Ang isang hindi pamantayang gawain sa karamihan ng mga kaso ay itinuturing na "isang hamon sa talino, at nagbibigay ng pangangailangan upang mapagtanto ang sarili sa pagtagumpayan ng mga hadlang at sa pagbuo ng mga malikhaing kakayahan."

Isaalang-alang natin ang ilang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi karaniwang problema:

· algebraic;
· aritmetika;
· paraan ng brute force;
paraan ng pangangatwiran;
· praktikal;
· paraan ng pagpapalagay.

Algebraic na pamamaraan nabubuo ang paglutas ng problema pagkamalikhain, ang kakayahang mag-generalize, bumubuo ng abstract na pag-iisip at may mga pakinabang tulad ng kaiklian ng pag-record at pangangatwiran kapag bumubuo ng mga equation, nakakatipid ng oras.

Upang malutas ang problema gamit ang algebraic method, kailangan mong:

· pag-aralan ang problema upang mapili ang pangunahing hindi alam at matukoy ang ugnayan sa pagitan ng mga dami, gayundin ipahayag ang mga dependency na ito sa wikang matematika sa anyo ng dalawang algebraic na expression;
· hanapin ang batayan para sa pagkonekta ng mga expression na ito sa "=" sign at lumikha ng isang equation;
· maghanap ng mga solusyon sa resultang equation, ayusin ang pagpapatunay ng solusyon sa equation.

Ang lahat ng mga yugtong ito ng paglutas ng problema ay lohikal na magkakaugnay. Halimbawa, binanggit namin ang paghahanap para sa isang batayan para sa pagkonekta ng dalawang algebraic na expression na may pantay na tanda bilang isang espesyal na yugto, ngunit malinaw na sa nakaraang yugto ang mga expression na ito ay hindi nabuo nang basta-basta, ngunit isinasaalang-alang ang posibilidad ng pagkonekta sa kanila sa ang tandang “=".

Parehong ang pagkakakilanlan ng mga dependency sa pagitan ng mga dami at ang pagsasalin ng mga dependency na ito sa wikang matematikal ay nangangailangan ng matinding analytical at synthetic na aktibidad ng pag-iisip. Ang tagumpay sa aktibidad na ito ay nakasalalay, sa partikular, sa kung alam ng mga mag-aaral sa kung anong mga ugnayan ang karaniwang umiiral ang mga dami na ito, at kung naiintindihan nila ang tunay na kahulugan ng mga relasyong ito (halimbawa, mga ugnayang ipinahayag ng mga katagang “mamaya sa pamamagitan ng ...”, “ mas matanda sa ... beses” ", atbp.). Susunod, kailangan nating maunawaan kung anong uri ng mathematical na aksyon o pag-aari ng aksyon o kung anong uri ng koneksyon (dependence) sa pagitan ng mga bahagi at ang resulta ng aksyon ay maaaring maglarawan nito o sa partikular na relasyon.

Magbigay tayo ng isang halimbawa ng paglutas ng isang hindi karaniwang problema gamit ang algebraic method.

Gawain. Nahuli ng mangingisda ang isda. Nang tanungin siya: "Ano ang masa nito?", sumagot siya: "Ang bigat ng buntot ay 1 kg, ang masa ng ulo ay kapareho ng masa ng buntot at kalahati ng katawan. At ang masa ng katawan ay kapareho ng masa ng ulo at buntot na magkasama." Ano ang masa ng isda?

Hayaang x kg ang masa ng katawan; pagkatapos ay (1+1/2x) kg ang masa ng ulo. Dahil, ayon sa kondisyon, ang masa ng katawan ay katumbas ng kabuuan ng mga masa ng ulo at buntot, binubuo at lutasin namin ang equation:

x = 1 + 1/2x + 1,

4 kg ang masa ng katawan, pagkatapos ay 1+1/2 4=3 (kg) ang masa ng ulo at 3+4+1=8 (kg) ang masa ng buong isda;

Sagot: 8 kg.

Pamamaraan ng aritmetika Ang paglutas ay nangangailangan din ng maraming pagsisikap sa pag-iisip, na may positibong epekto sa pag-unlad ng mga kakayahan sa pag-iisip, intuwisyon sa matematika, at pagbuo ng kakayahang mahulaan ang isang totoong sitwasyon sa buhay.

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng paglutas ng isang hindi karaniwang problema gamit ang pamamaraang aritmetika:

Gawain. Tinanong ang dalawang mangingisda: “Ilang isda ang nasa inyong mga basket?”

"Ang aking basket ay naglalaman ng kalahati ng kung ano ang nasa kanyang basket, at 10 pa," sagot ng una. "At mayroon akong kasing dami sa aking basket gaya ng mayroon siya, at 20 pa," binilang ng pangalawa. Nagbilang na kami, ngayon binibilang mo.

Bumuo tayo ng diagram para sa problema. Tukuyin natin sa unang bahagi ng diagram ang bilang ng isda na mayroon ang unang mangingisda. Ang ikalawang bahagi ay nagsasaad ng bilang ng mga isda na mayroon ang pangalawang mangingisda.

Dahil sa katotohanan na sa modernong tao kinakailangang magkaroon ng pag-unawa sa mga pangunahing pamamaraan ng pagsusuri ng data at mga probabilistikong pattern na gumaganap ng mahalagang papel sa agham, teknolohiya at ekonomiya ng mga elemento ng combinatorics, probability theory at mathematical statistics ay ipinakilala sa kursong matematika ng paaralan, na maginhawa para sa; maunawaan sa tulong ng paraan ng brute force.

Ang pagsasama ng mga kombinatoryal na problema sa isang kurso sa matematika ay may positibong epekto sa pag-unlad ng mga mag-aaral. "Ang naka-target na pagsasanay sa paglutas ng mga problemang kombinatoryal ay nag-aambag sa pagbuo ng gayong kalidad ng pag-iisip sa matematika bilang pagkakaiba-iba. Sa pamamagitan ng pagkakaiba-iba ng pag-iisip naiintindihan namin ang pokus ng aktibidad ng pag-iisip ng mag-aaral sa paghahanap iba't ibang solusyon mga gawain sa kaso kung saan walang mga espesyal na tagubilin para dito."

Maaaring malutas ang mga problemang kombinatorial iba't ibang pamamaraan. Conventionally, ang mga pamamaraang ito ay maaaring nahahati sa "pormal" at "impormal". Gamit ang "pormal" na paraan ng solusyon, kailangan mong matukoy ang likas na katangian ng pagpili, piliin ang naaangkop na formula o combinatorial rule (may mga kabuuan at mga panuntunan sa produkto), palitan ang mga numero at kalkulahin ang resulta. Ang resulta ay ang dami posibleng mga opsyon, ang mga pagpipilian mismo ay hindi nabuo sa kasong ito.

Gamit ang "impormal" na paraan ng paglutas, ang proseso ng pagguhit ay nauuna. iba't ibang mga pagpipilian. At ang pangunahing bagay ay hindi kung gaano karami, ngunit kung anong mga pagpipilian ang maaaring makuha. Kabilang sa mga ganitong pamamaraan ang paraan ng brute force. Ang pamamaraang ito ay magagamit kahit na nakababatang mga mag-aaral, at nagpapahintulot sa isa na makaipon ng karanasan sa praktikal na solusyon ng mga problemang kombinatoryal, na nagsisilbing batayan para sa hinaharap na pagpapakilala ng mga prinsipyo at formula ng kombinatoryal. Bilang karagdagan, sa buhay ang isang tao ay hindi lamang dapat matukoy ang bilang ng mga posibleng pagpipilian, ngunit direktang ipunin ang lahat ng mga pagpipiliang ito, at, alam ang mga pamamaraan ng sistematikong pagbilang, ito ay maaaring gawin nang mas makatwiran.

Ang mga gawain batay sa pagiging kumplikado ng enumeration ay nahahati sa tatlong pangkat:

1. Mga problema kung saan kailangan mong magsagawa ng kumpletong paghahanap ng lahat ng posibleng opsyon.
2. Mga problema kung saan hindi praktikal na gamitin ang kumpletong paraan ng paghahanap at kailangan mong agad na ibukod ang ilang mga opsyon nang hindi isinasaalang-alang ang mga ito (iyon ay, magsagawa ng pinababang paghahanap).
3. Mga problema kung saan ang operasyon ng enumeration ay isinasagawa ng ilang beses at may kaugnayan sa iba't ibang uri ng mga bagay.

Narito ang mga kaukulang halimbawa ng mga gawain:

Gawain. Sa pamamagitan ng paglalagay ng mga palatandaang “+” at “-” sa pagitan ng mga ibinigay na numero 9...2...4, buuin ang lahat ng posibleng expression.

Ang isang buong seleksyon ng mga pagpipilian ay isinasagawa:

a) dalawang palatandaan sa expression ay maaaring magkapareho, pagkatapos ay makukuha natin:
- 9 + 2 + 4 o 9 - 2 - 4;
b) maaaring magkaiba ang dalawang palatandaan, pagkatapos ay makukuha natin:
- 9 + 2 - 4 o 9 - 2 + 4.

Gawain. Sinabi ng guro na gumuhit siya ng 4 na mga figure sa isang hilera: isang malaki at isang maliit na parisukat, isang malaki at isang maliit na bilog upang ang bilog ay nasa unang lugar at ang mga figure ng parehong hugis ay hindi sa tabi ng bawat isa, at nag-aanyaya hulaan ng mga mag-aaral kung anong pagkakasunod-sunod ang mga figure na ito.

Mayroong kabuuang 24 na magkakaibang pagsasaayos ng mga bilang na ito. At hindi praktikal na i-compile ang lahat ng ito at pagkatapos ay piliin ang mga tumutugma sa isang partikular na kondisyon, kaya isang maikling paghahanap ay isinasagawa.

Ang isang malaking bilog ay maaaring nasa unang lugar, pagkatapos ang isang maliit ay maaari lamang sa ikatlong lugar, habang ang malaki at maliit na mga parisukat ay maaaring ilagay sa dalawang paraan - sa pangalawa at ikaapat na lugar.

Ang isang katulad na pangangatwiran ay isinasagawa kung ang isang maliit na bilog ay nasa unang lugar, at dalawang pagpipilian ay iginuhit din.

Gawain. Tatlong kasosyo ng isang tindahan ng kumpanya mga seguridad sa isang safe na may 3 lock. Nais ng mga kasosyo na ipamahagi ang mga susi sa mga kandado sa kanilang sarili upang ang ligtas ay mabuksan lamang sa presensya ng hindi bababa sa dalawang kasosyo, ngunit hindi isa. Paano ito magagawa?

Una, ang lahat ng posibleng kaso ng pamamahagi ng susi ay binibilang. Ang bawat kasama ay maaaring bigyan ng isang susi, o dalawang magkaibang susi, o tatlo.

Ipagpalagay natin na ang bawat kasama ay may tatlong magkakaibang susi. Pagkatapos ang ligtas ay maaaring buksan ng isang kasosyo, at hindi ito nakakatugon sa kondisyon.

Ipagpalagay natin na ang bawat kasosyo ay may isang susi. Pagkatapos, kung dumating ang dalawa sa kanila, hindi nila mabubuksan ang ligtas.

Bibigyan namin ang bawat kasama ng dalawang magkaibang susi. Ang una - 1 at 2 key, ang pangalawa - 1 at 3 key, ang pangatlo - 2 at 3 key. Suriin natin kung may dumating na dalawang kasama para makita kung mabubuksan nila ang safe.

Maaaring dumating ang una at pangalawang kasama, magkakaroon sila ng lahat ng susi (1 at 2, 1 at 3). Maaaring dumating ang una at pangatlong mga kasama, magkakaroon din sila ng lahat ng mga susi (1 at 2, 2 at 3). Sa wakas, maaaring dumating ang pangalawa at pangatlong mga kasama, magkakaroon din sila ng lahat ng mga susi (1 at 3, 2 at 3).

Kaya, upang mahanap ang sagot sa problemang ito, kailangan mong isagawa ang operasyon ng paghahanap nang maraming beses.

Kapag pumipili ng mga pinagsama-samang problema, kailangan mong bigyang-pansin ang paksa at anyo ng pagtatanghal ng mga problemang ito. Ito ay kanais-nais na ang mga gawain ay hindi mukhang artipisyal, ngunit naiintindihan at kawili-wili sa mga bata, at hamunin sila. positibong emosyon. Maaaring gamitin upang lumikha ng mga gawain praktikal na materyal mula sa buhay.

Mayroong iba pang mga problema na maaaring malutas sa pamamagitan ng malupit na puwersa.

Bilang halimbawa, lutasin natin ang problema: "Si Marquis Karabas ay 31 taong gulang, at ang kanyang batang energetic na Puss in Boots ay 3 taong gulang, nang maganap ang mga pangyayaring kilala mula sa fairy tale. Ilang taon na ang nangyari mula noon, kung ngayon ang Pusa ay tatlong beses na mas bata sa kanyang may-ari? Ipakita natin ang listahan ng mga opsyon sa isang talahanayan.

Edad ni Marquis Karabas at Puss in Boots

14 - 3 = 11 (taon)

Sagot: 11 taon na ang lumipas.

Kasabay nito, ang mag-aaral ay nag-eeksperimento, nagmamasid, naghahambing ng mga katotohanan at, batay sa mga partikular na konklusyon, gumagawa ng ilang mga pangkalahatang konklusyon. Sa proseso ng mga obserbasyon na ito, ang kanyang tunay na praktikal na karanasan ay pinayaman. Ito talaga ang praktikal na halaga ng mga problema sa paghahanap. Sa kasong ito, ang salitang "brute force" ay ginagamit sa kahulugan ng pagsusuri sa lahat ng posibleng mga kaso na nakakatugon sa mga kondisyon ng problema, na nagpapakita na hindi maaaring magkaroon ng iba pang mga solusyon.

Ang problemang ito ay maaari ding malutas gamit ang algebraic method.

Hayaang ang Cat ay x taong gulang, pagkatapos ay ang Marquis ay 3x, batay sa mga kondisyon ng problema, gagawa kami ng equation:

3x - x = 28,
2x = 28,

Ang pusa ngayon ay 14 na taong gulang, pagkatapos ay 14 - 3 = 11 (taon) ang lumipas.

Sagot: 11 taon na ang lumipas.

Paraan ng pangangatwiran maaaring magamit upang malutas ang mga sophism sa matematika.

Ang mga error na ginawa sa sophism ay kadalasang nauuwi sa mga sumusunod: pagsasagawa ng "ipinagbabawal" na mga aksyon, paggamit ng mga maling drawing, maling paggamit ng salita, hindi tumpak na mga formulation, "illegal" na generalization, at maling paggamit ng mga theorems.

Ang pagsisiwalat ng sophistry ay nangangahulugan ng pagpahiwatig ng pagkakamali sa pangangatwiran, batay sa kung saan nilikha ang panlabas na anyo ng patunay.

Ang pagsusuri ng mga sophism, una sa lahat, ay bubuo lohikal na pag-iisip, nagtatanim ng tamang mga kasanayan sa pag-iisip. Upang matuklasan ang isang pagkakamali sa sophism ay nangangahulugan na mapagtanto ito, at ang kamalayan sa pagkakamali ay humahadlang na ito ay maulit sa ibang matematikal na pangangatwiran. Bilang karagdagan sa pagiging kritikal ng pag-iisip ng matematika, ang ganitong uri ng mga hindi pamantayang problema ay nagpapakita ng kakayahang umangkop ng pag-iisip. Magagawa ba ng mag-aaral na "makawala sa mga mahigpit na hawak" ng mahigpit na lohikal na ito sa unang tingin na landas, masira ang kadena ng mga konklusyon sa mismong link na mali at ginagawang mali ang lahat ng karagdagang pangangatwiran?

Ang pagsusuri sa mga sophism ay nakakatulong din sa mulat na asimilasyon ng materyal na pinag-aaralan, nagkakaroon ng pagmamasid at isang kritikal na saloobin sa kung ano ang pinag-aaralan.

a) Dito, halimbawa, ang sophism na may maling aplikasyon ng theorem.

Patunayan natin na 2 2 = 5.

Kunin natin ang sumusunod na halatang pagkakapantay-pantay bilang paunang ratio: 4: 4 = 5: 5 (1)

Alisin natin sa mga bracket ang karaniwang salik sa kaliwa at kanang bahagi, at makuha natin ang:

4 (1: 1) = 5 (1: 1) (2)

Ang mga numero sa mga bracket ay pantay, na nangangahulugang 4 = 5 o 2 2 = 5.

Sa pangangatwiran, kapag lumilipat mula sa pagkakapantay-pantay (1) patungo sa pagkakapantay-pantay (2), ang isang ilusyon ng pagiging totoo ay nilikha batay sa isang maling pagkakatulad na may distributive property ng multiplikasyon na may kaugnayan sa karagdagan.

b) Sophistry gamit ang "illegal" generalizations.

Mayroong dalawang pamilya - ang mga Ivanov at ang mga Petrov. Bawat isa ay binubuo ng 3 tao - ama, ina at anak. Hindi kilala ni Padre Ivanov si Padre Petrov. Hindi kilala ng ina ni Ivanov ang ina ni Petrova. Ang nag-iisang anak na lalaki ng mga Ivanov ay hindi alam ang nag-iisang anak na lalaki ng mga Petrov. Konklusyon: hindi isang miyembro ng pamilyang Ivanov ang nakakaalam ng isang miyembro ng pamilyang Petrov. totoo ba ito?

Kung ang isang miyembro ng pamilya Ivanov ay hindi nakakakilala ng isang miyembro ng pamilyang Petrov na katumbas ng kanyang sarili sa katayuan ng pamilya, hindi ito nangangahulugan na hindi niya kilala ang buong pamilya. Halimbawa, maaaring kilala ni tatay Ivanov ang ina at anak ng mga Petrov.

Ang pamamaraan ng pangangatwiran ay maaari ding gamitin upang malutas ang mga lohikal na problema. Ang mga lohikal na problema ay karaniwang nauunawaan bilang mga problema na maaaring malutas gamit ang mga lohikal na operasyon lamang. Minsan ang paglutas sa mga ito ay nangangailangan ng mahabang pangangatwiran, ang kinakailangang direksyon na hindi mahuhulaan nang maaga.

Gawain. Sinabi nila na ibinigay ni Tortila ang gintong susi kay Pinocchio hindi kasing simple ng sinabi ni A.N. Naglabas siya ng tatlong kahon: pula, asul at berde. Sa pulang kahon ay nakasulat: "Narito ang gintong susi," at sa asul na kahon, "Walang laman ang berdeng kahon," at sa berdeng kahon, "Narito ang isang ahas." Binasa ni Tortila ang mga inskripsiyon at sinabi: "Sa katunayan, sa isang kahon ay may isang gintong susi, sa isa pa ay may isang ahas, at ang pangatlo ay walang laman, ngunit ang lahat ng mga inskripsiyon ay mali. Kung hulaan mo kung aling kahon ang naglalaman ng gintong susi, sa iyo iyon." Nasaan ang gintong susi?

Dahil ang lahat ng mga inskripsiyon sa mga kahon ay hindi tama, ang pulang kahon ay walang gintong susi, ang berdeng kahon ay walang laman at walang ahas sa loob nito, na nangangahulugang mayroong isang susi sa berdeng kahon, isang ahas sa pulang kahon, at ang asul na kahon ay walang laman.

Kapag nilulutas ang mga lohikal na problema, ang lohikal na pag-iisip ay isinaaktibo, at ito ang kakayahang makakuha ng mga kahihinatnan mula sa mga lugar, na lubhang kinakailangan para sa matagumpay na karunungan ng matematika.

Ang isang rebus ay isang bugtong, ngunit ito ay hindi isang ordinaryong bugtong. Ang mga salita at numero sa mathematical puzzle ay inilalarawan gamit ang mga larawan, bituin, numero at iba't ibang simbolo. Upang mabasa kung ano ang naka-encrypt sa rebus, kailangan mong pangalanan nang tama ang lahat ng mga itinatanghal na bagay at maunawaan kung aling sign ang kumakatawan sa kung ano. Gumamit ng mga puzzle ang mga tao kahit na hindi sila marunong magsulat. Binubuo nila ang kanilang mga titik mula sa mga bagay. Halimbawa, ang mga pinuno ng isang tribo ay minsang nagpadala sa kanilang mga kapitbahay, sa halip na isang sulat, isang ibon, isang daga, isang palaka at limang palaso. Ibig sabihin: “Kaya mo bang lumipad tulad ng mga ibon at magtago sa lupa tulad ng mga daga, tumalon sa mga latian tulad ng mga palaka? Kung hindi mo alam kung paano, pagkatapos ay huwag subukang makipag-away sa amin. Papaulanan ka namin ng mga palaso pagpasok mo sa ating bansa."

Sa paghusga sa unang titik ng kabuuan 1), D = 1 o 2.

Ipagpalagay natin na D = 1. Pagkatapos, Y? 5. Ibinubukod namin ang Y = 5, dahil Ang P ay hindi maaaring katumbas ng 0. Y? 6, dahil 6 + 6 = 12, ibig sabihin. P = 2. Ngunit ang halagang ito ng P ay hindi angkop para sa karagdagang pagpapatunay. Ganun din, U? 7.

Ipagpalagay natin na Y = 8. Pagkatapos, P = 6, A = 2, K = 5, D = 1.

Ang magic (magic) square ay isang parisukat kung saan ang kabuuan ng mga numero ay patayo, pahalang at pahilis ay pareho.

Gawain. Ayusin ang mga numero mula 1 hanggang 9 upang patayo, pahalang at pahilis ay makuha mo ang parehong kabuuan ng mga numero na katumbas ng 15.

Bagama't walang mga pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga hindi karaniwang problema (kaya't ang mga problemang ito ay tinatawag na hindi pamantayan), sinubukan naming magbigay ng numero pangkalahatang mga tagubilin- mga rekomendasyon na dapat sundin kapag nilulutas ang mga hindi karaniwang problema ng iba't ibang uri.

Ang bawat hindi karaniwang gawain ay orihinal at natatangi sa solusyon nito. Sa pagsasaalang-alang na ito, ang binuo na pamamaraan para sa aktibidad ng paghahanap ng pagtuturo kapag ang paglutas ng mga hindi pamantayang problema ay hindi nagkakaroon ng mga kasanayan sa paglutas ng mga hindi karaniwang problema na maaari lamang nating pag-usapan ang tungkol sa pagsasanay ng ilang mga kasanayan:

· kakayahang maunawaan ang gawain, i-highlight ang pangunahing (suporta) na mga salita;
· ang kakayahang tukuyin ang mga kondisyon at tanong, alam at hindi alam sa isang problema;
· ang kakayahang makahanap ng koneksyon sa pagitan ng ibinigay at ninanais, iyon ay, pag-aralan ang teksto ng problema, ang resulta kung saan ay ang pagpili ng isang aritmetika na operasyon o lohikal na operasyon upang malutas ang isang hindi karaniwang problema;
· kakayahang itala ang progreso ng paglutas at pagsagot sa isang problema;
· kakayahang magsagawa ng karagdagang gawain sa isang gawain;
· kakayahang pumili kapaki-pakinabang na impormasyon na nakapaloob sa problema mismo, sa proseso ng paglutas nito, i-systematize ang impormasyong ito, iugnay ito sa umiiral na kaalaman.

Ang mga hindi karaniwang gawain ay bumuo ng spatial na pag-iisip, na ipinahayag sa kakayahang muling likhain ang mga spatial na larawan ng mga bagay sa isip at magsagawa ng mga operasyon sa kanila. Ang spatial na pag-iisip ay nagpapakita ng sarili sa paglutas ng mga problema tulad ng: "Sa tuktok ng gilid ng isang bilog na cake, 5 tuldok ng cream ang inilagay sa parehong distansya mula sa bawat isa. Ang mga pagbawas ay ginawa sa lahat ng mga pares ng mga puntos. Ilang piraso ng cake ang nasa kabuuan?

Praktikal na pamamaraan maaaring isaalang-alang para sa hindi karaniwang mga problema sa dibisyon.

Gawain. Ang stick ay kailangang i-cut sa 6 na bahagi. Ilang hiwa ang kakailanganin?

Solusyon: 5 hiwa ang kakailanganin.

Kapag nag-aaral ng mga hindi karaniwang problema sa dibisyon, kailangan mong maunawaan: upang i-cut ang isang segment sa mga bahagi ng P, dapat kang gumawa ng (P - 1) mga pagbawas. Ang katotohanang ito ay dapat na maitatag nang pasaklaw sa mga bata at pagkatapos ay gamitin kapag nilutas ang mga problema.

Gawain. Ang isang tatlong metrong bloke ay may 300 cm Dapat itong gupitin sa mga bar na 50 cm ang haba bawat isa. Ilang cut ang dapat gawin?

Solusyon: Nakakuha kami ng 6 na bar 300: 50 = 6 (bar)

Nangangatuwiran kami ng ganito: upang hatiin ang isang bloke sa kalahati, i.e. sa dalawang bahagi, kailangan mong gumawa ng 1 hiwa, sa 3 bahagi - 2 pagbawas, at iba pa, sa 6 na bahagi - 5 pagbawas.

Kaya, kailangan mong gumawa ng 6 - 1 = 5 (pagputol).

Sagot: 5 hiwa.

Kaya, ang isa sa mga pangunahing motibo na naghihikayat sa mga mag-aaral na mag-aral ay ang interes sa paksa. Ang interes ay isang aktibong cognitive focus ng isang tao sa isang partikular na bagay, phenomenon at aktibidad, na nilikha na may positibong emosyonal na saloobin sa kanila. Ang isa sa mga paraan ng pagbuo ng interes sa matematika ay hindi karaniwang mga problema. Ang isang hindi karaniwang problema ay nauunawaan bilang isang problema kung saan ang kurso sa matematika ay walang mga pangkalahatang tuntunin at regulasyon na tumutukoy sa eksaktong programa para sa paglutas nito. Ang paglutas ng mga naturang problema ay nagbibigay-daan sa mga mag-aaral na aktibong makisali sa mga aktibidad sa pag-aaral. meron iba't ibang klasipikasyon mga problema at pamamaraan para sa paglutas ng mga ito. Ang pinakakaraniwang ginagamit ay algebraic, arithmetic, praktikal na pamamaraan at ang paraan ng enumeration, pangangatwiran at paghula.

1 HISTORICAL BACKGROUND

2 PAGLULUTAS NG MGA PROBLEMA GAMIT ANG MGA PROPERTY NG ISANG FUNCTION

2.1 Paggamit ng monotonicity ng function

2.2 Paggamit ng mga limitasyon sa tampok

2.3 Paggamit ng periodicity function

2.4 Paggamit ng parity function

2.5 Gamit ang ODZ function

3 ILANG ARTIFICIAL NA PARAAN PARA SA PAGSOLBA NG EQUATIONS

3.1 Pagpaparami ng equation sa isang function

3.2 Paghula sa ugat ng isang equation

3.3 Paggamit ng equation symmetry

3.4 Pag-aaral ng equation sa pagitan ng totoong axis

KONGKLUSYON

LISTAHAN NG MGA PINAGMULAN NA GINAMIT

APLIKASYON

PANIMULA

Hindi lahat ng equation o hindi pagkakapantay-pantay bilang resulta ng mga pagbabago o sa tulong ng isang matagumpay na pagbabago ng variable ay maaaring bawasan sa isang equation (hindi pagkakapantay-pantay) ng isa o iba pa. karaniwang view, kung saan mayroong isang tiyak na algorithm ng solusyon. Sa ganitong mga kaso, kung minsan ay kapaki-pakinabang na gumamit ng iba pang mga pamamaraan ng solusyon, na tatalakayin sa kurso ng gawaing ito. Tinutukoy ng nasa itaas ang kaugnayan gawaing kurso. Ang layunin ng pag-aaral ay mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na hindi malulutas gamit karaniwang pamamaraan, o nailalarawan sa pagiging kumplikado ng karaniwang solusyon.

Ang layunin ng gawaing ito ay maging pamilyar sa mga hindi karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Upang makamit ang layuning ito, ang mga sumusunod na gawain ay nalutas sa gawaing ito:

1.Mangolekta ng impormasyon mula sa kasaysayan ng matematika tungkol sa paglutas ng mga equation.

2. Isaalang-alang at ilapat sa pagsasanay ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay batay sa paggamit ng mga katangian ng function.

3. Isaalang-alang at ilapat sa pagsasanay ang mga karagdagang di-karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay

Ang praktikal na kahalagahan ng gawain ay nakasalalay sa katotohanan na kapag nilutas ang mga kumplikadong equation o hindi pagkakapantay-pantay, hindi dapat palaging sundin ng isang tao ang "knocked-in track", sinusubukan na makahanap ng solusyon na "head-on": kailangan mo lamang itong tingnan at humanap ng clue na nagbibigay-daan sa iyong maiwasan ang mga kumplikadong kalkulasyon at pagbabago. Ang gawaing kurso ay binubuo ng isang panimula, tatlong kabanata at isang listahan ng mga mapagkukunang ginamit. Ang unang kabanata ay nagbibigay ng ilang impormasyon mula sa kasaysayan ng matematika tungkol sa paglutas ng mga equation. Tinatalakay ng ikalawang kabanata ang mga pamamaraan ng solusyon batay sa paggamit ng mga katangian ng function. Ang ikatlong kabanata ay nakatuon sa pagsasaalang-alang ng mga karagdagang (artipisyal) na pamamaraan ng solusyon.

Ang mga mathematician ay nakapag-solve ng mga equation at system ng mga equation sa napakatagal na panahon. Ang "Arithmetic" ng Greek mathematician mula kay Alexandria Diophantus (ika-3 siglo) ay hindi pa naglalaman ng isang sistematikong presentasyon ng algebra, ngunit naglalaman ito ng ilang mga problema na nalutas sa pamamagitan ng pagbuo ng mga equation. Mayroon itong sumusunod na gawain:

"Maghanap ng dalawang numero batay sa kanilang kabuuan 20 at produkto 96."

Upang maiwasan ang paglutas ng isang pangkalahatang quadratic equation, na sanhi ng pagtatalaga ng isa sa mga numero sa pamamagitan ng isang titik at hindi pa nila alam kung paano lutasin, tinukoy ni Diophantus ang hindi kilalang mga numero na 10 + x at 10's (sa modernong notasyon) at nakuha. isang hindi kumpletong quadratic equation 100's 2 = 96, kung saan ang positive root 2 lang ang ipinahiwatig.

Ang mga problema sa quadratic equation ay natagpuan sa mga gawa ng Indian mathematician mula noong ika-5 siglo. n. e.

Ang mga quadratic equation ay inuri sa treatise na "Isang Maikling Aklat sa Calculus ng Algebra at Almukabala" ni Muhammad al-Khwarizmi (787 - ca. 850). Isinasaalang-alang at nilulutas nito (sa geometric na hugis) 6 na uri ng quadratic equation na naglalaman lamang ng mga terminong may positibong coefficient sa magkabilang panig. Sa kasong ito, ang mga positibong ugat lamang ng mga equation ang isinasaalang-alang.

Sa mga gawa ng mga European mathematician ng XIII - XVI siglo. Ang mga hiwalay na pamamaraan para sa paglutas ng iba't ibang uri ng quadratic equation ay ibinigay. Ang pagsasanib ng mga pamamaraang ito sa isang pangkalahatang tuntunin ay isinagawa ng German mathematician na si Michael Stiefel (1487 - 1567), na itinuturing din na negatibong mga ugat.

Sa pinakasikat na aklat-aralin sa Russia na "Arithmetic" ni Leonty Filippovich Magnitsky (1669-1739) mayroong maraming mga problema sa quadratic equation. Narito ang isa sa kanila:

"Gusto ng isang heneral na magsimula ng isang labanan sa 5,000 katao, at upang sila ay nasa harap ng dalawang beses kaysa sa gilid. Ilan kaya ang labanang ito sa harap at sa gilid?”, ibig sabihin, ilang sundalo ang dapat ilagay sa unahan at ilan sa likod ng kanilang mga ulo, upang ang bilang ng mga sundalo sa harap ay 2 beses na mas malaki. kaysa sa bilang ng mga sundalong matatagpuan “sa likod ng kanilang mga ulo”?

Sa mga sinaunang teksto ng Babylonian (3000 - 2000 BC) mayroon ding mga problema na ngayon ay nalutas gamit ang mga sistema ng mga equation na naglalaman ng mga equation ng ikalawang antas. Bigyan natin ang isa sa kanila:

"Idinagdag ko ang mga lugar ng aking dalawang parisukat: 25. Ang gilid ng pangalawang parisukat ay katumbas ng gilid ng una at 5 pa."

Ang kaukulang sistema sa modernong notasyon ay ganito ang hitsura:

Noong ika-16 na siglo French mathematician na si François Viète (1540 - 1603), na nagsilbi bilang isang cipher clerk sa korte haring Pranses, unang ipinakilala mga pagtatalaga ng liham hindi lamang para sa hindi kilalang dami, kundi pati na rin para sa data, ibig sabihin, mga coefficient ng mga equation. Gumamit si F. Viet ng mga pambihirang titik ng alpabetong Latin na x, y at z upang magtalaga ng mga hindi natukoy na titik sa mga ulat ng kaaway, na naglatag ng pundasyon para sa tradisyon ng pagtukoy ng mga hindi alam sa mga equation na may mga letrang x, y at z. Lalo na pinahahalagahan ni Vieta ang mga formula na natuklasan niya, na ngayon ay tinatawag na mga formula ng Vieta. Gayunpaman, ang Viet mismo ay nakilala lamang ang mga positibong ugat.

Sa ikalabing pitong siglo lamang. Matapos ang gawain ni Descartes, Newton at iba pang mga mathematician, ang solusyon ng mga quadratic equation ay kinuha sa modernong anyo nito.

Bumalik tayo sa simula ng ika-16 na siglo. Pagkatapos Scipio del Ferro (1465-1526), isang propesor ng matematika sa Unibersidad ng Bologna, unang nakahanap ng isang algebraic na solusyon sa isang third-degree na equation ng form.

kung saan ang p at q ay mga positibong numero.

Ayon sa mga kaugalian noong panahong iyon, mahigpit na itinatago ng propesor ang pagtuklas na ito. Dalawa lang sa kanyang mga estudyante ang nakakaalam tungkol sa kanya, kabilang ang isang Fiore. Ang pagtatago ng mga pagtuklas sa matematika ay karaniwan noon, dahil ang mga debate at tunggalian sa matematika ay ginagawa sa Italya. Sa masikip na pagpupulong, ang mga kalaban ay nagmungkahi ng mga problema sa isa't isa upang malutas sa lugar o sa loob ng isang tiyak na takdang panahon. Kadalasan ito ay mga problema sa algebra, na noon ay tinatawag na dakilang sining. Nanalo ang nakalutas ng pinakamaraming problema. Ang nagwagi ay hindi lamang ginantimpalaan ng katanyagan at isang itinalagang premyong salapi, ngunit maaari ring kumuha ng upuan sa unibersidad, at ang natalo ay madalas na nawalan ng kanyang posisyon. Kaya naman mahalaga para sa kalahok sa debate na magkaroon ng algorithm para sa paglutas ng ilang partikular na problema na hindi alam ng iba.

Pagkamatay ni Propesor del Ferro, hinamon ng kanyang estudyanteng si Fiore, na siya mismo ay hindi isang malalim na matematiko, ang isa sa pinakakilalang mathematician noong panahong iyon, si Niccolo Tartaglia (1499-1557), sa isang pampublikong debate. Bilang paghahanda para sa debate, natuklasan ni Tartaglia ang isang pormula para sa paghahanap ng mga ugat ng mga cubic equation sa mga radical, dahil ipinapalagay niya na mayroon na si Fiore ng formula na ito. Sumulat si Tartaglia nang maglaon: "Inilapat ko ang lahat ng aking kasigasigan, kasipagan at kasanayan upang makahanap ng isang panuntunan para sa paglutas ng mga cubic equation, at, salamat sa pinagpalang kapalaran, nagawa kong gawin ito 8 araw bago ang deadline."

Naganap ang debate noong Pebrero 20, 1535. Nalutas ni Tartaglia, sa loob ng dalawang oras, ang 30 problemang iminungkahi sa kanya ng kanyang kalaban, at hindi malutas ni Fiore ang alinman sa 30 problemang iminungkahi ni Tartaglia. Matapos ang pagtatalo, naging tanyag ang Tartaglia sa buong Italya, ngunit patuloy na pinananatiling lihim ang bukas na pormula.

Isa pang Italyano na matematiko na si Gerol. ngunit (1501 - 1576) natutunan niya mula sa Tartaglia ang panuntunan para sa paglutas ng cubic equation (1) at kumuha ng "sagradong panunumpa" na hindi niya isisiwalat ang sikretong ito sa sinuman. Totoo, bahagyang inihayag ni Tartaglia ang kanyang lihim, ngunit si Cardano, na nakilala ang mga manuskrito ng yumaong Propesor del Ferro, ay nakatanggap ng kumpletong kalinawan sa isyung ito. Noong 1545, inilathala ni Cardano ang kanyang sikat na akdang "Sa mahusay na sining, o sa mga bagay na algebraic, sa isang libro," kung saan una niyang inilathala ang isang pormula para sa paglutas ng equation (1), at iminungkahi na bawasan ang isang pangkalahatang cubic equation sa equation (1).

Matapos mailathala ang aklat na ito, si Cardano ay inakusahan ni Tartaglia ng paglabag sa kanyang panunumpa, ngunit ang pormula na natuklasan nina del Ferro at Tartaglia ay tinatawag pa ring pormula ng Cardano hanggang ngayon.

Ito ang dramatikong kwento ng pagtuklas ng formula para sa mga ugat ng cubic equation (1).

Sa parehong libro, nagbigay si Cardano ng algebraic na solusyon sa isang fourth-degree equation. Ang pagtuklas na ito ay ginawa ng isa sa kanyang mga estudyante, si Ludovico Ferrari (1522 - 1565). Pagkatapos nito, nagsimula ang isang patuloy na paghahanap para sa mga formula na magbabawas sa solusyon sa mga equation mas mataas na antas upang kunin ang mga ugat ("solusyon sa mga radikal"). Nagpatuloy ang mga paghahanap na ito sa loob ng halos tatlong siglo, at hanggang sa maagang XIX V. Ang Norwegian scientist na si Niels Henrik Abel (1802 -1829) at ang French scientist na si Evariste Galois (1811 -1832) ay nagpatunay na ang mga equation ng mga kapangyarihan na mas mataas kaysa sa ikaapat sa pangkalahatang kaso ay hindi malulutas sa mga radical.

Ang mathematician at pilosopo na si Rene Descartes (1596 -1650) ay unang bumalangkas sa kanyang aklat na “Geometry” ng pangunahing teorama ng algebra tungkol sa bilang ng mga ugat. nth equation digri. Kasabay nito, pinahintulutan ni Descartes ang pagkakaroon ng hindi lamang totoo (positibo) at mali (mas mababa sa wala, i.e. mas mababa sa zero - negatibo) na mga ugat, kundi pati na rin ang haka-haka, haka-haka (sa Descartes - imaginaires), i.e. kumplikadong mga ugat.

Kahit noong sinaunang panahon, ang mga mathematician sa proseso ng paglutas ng mga problema ay nahaharap sa pagkuha ng square root ng isang negatibong numero; sa kasong ito ang problema ay itinuturing na hindi malulutas. Gayunpaman, unti-unting naging malinaw na ang solusyon sa maraming problema na ibinigay sa totoong mga numero ay madaling maipaliwanag gamit ang mga expression na a + bi, kung saan ang i 2 = -1, na sa kalaunan ay nagsimula ring tawaging mga numero, ngunit kumplikado. Ang unang katwiran para sa pinakasimpleng mga operasyon sa kumplikadong mga numero ay ibinigay ng Italyano na matematiko na si Raffaele Bombelli (c. 1530 -1572) noong 1572, bagama't sa mahabang panahon ang mga kumplikadong numero ay itinuring na isang bagay na supernatural.

Ang akademya ng St. Petersburg Academy of Sciences na si Leonard Euler (1707 -1783) ay gumawa ng malaking kontribusyon sa mga teoretikal na isyu kumplikadong mga numero. Pagkatapos ng kanyang trabaho, ang mga kumplikadong numero ay nakatanggap ng pangwakas na pagkilala bilang isang paksa at paraan ng pag-aaral. Ang mismong pangalan na "komplikadong numero" ay iminungkahi noong 1831 ng Aleman na matematiko na si Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855).

Sa kasalukuyan, ang mga kumplikadong numero ay malawakang ginagamit sa maraming isyu ng pisika at teknolohiya.

Sa itaas ay tinalakay natin ang mga algebraic equation, ibig sabihin, mga equation f(x) = O, kung saan ang f(x) ay isang polynomial sa x.

Bilang karagdagan sa mga algebraic equation, mayroon ding mga transendental na equation: exponential, logarithmic, trigonometriko, atbp. Ang solusyon ng transendental equation, pati na rin ang mga hindi pagkakapantay-pantay, ay mahalagang batay sa mga katangian ng mga function na napag-aralan sa matematika kamakailan lamang.

Ang isang espesyal na lugar sa mga algebraic equation ay inookupahan ng tinatawag na Diophantine equation, ibig sabihin, mga equation kung saan mayroong higit sa isang hindi alam.

Ang pinakatanyag sa kanila ay ang mga linear na Diophantine equation. Ang mga halimbawa ng mga problema na humahantong sa mga linear na Diophantine equation ay matatagpuan sa koleksyon ng mga problema ng monghe na si Alcuin, na inanyayahan noong 795 ni Charlemagne na magturo sa una sa mga sikat na paaralan sa Aachen. Ito ang gawain:

“100 sheffels (monetary units) ay hinati sa pagitan ng mga lalaki, babae at bata (ang bilang ng mga tao ay 100) at ang mga lalaki ay binigyan ng 3 sheffels, babae 2 at mga bata bawat sheffels. Ilang lalaki, babae at bata ang naroon?

Tinutukoy ang bilang ng mga lalaki bilang x at ang bilang ng mga babae bilang y, dumating tayo sa equation

3x + 2y+ (100-x-y)= 100

Sa oras na iyon ay hindi pa nila alam ang pangkalahatang solusyon ng mga linear na Diophantine equation at kontento na lamang sa ilang mga solusyon na nasiyahan sa mga kondisyon ng problema. Si Alcuin mismo ay nagbigay lamang ng isang solusyon sa problemang ito: mayroong 11, 15 at 74 na lalaki, babae at bata, at ang problema ay may 784 na solusyon sa natural na mga numero.

Ang mga problema na humahantong sa mga linear na Diophantine equation ay ipinakita ni Leonardo ng Pisa (Fibonacci) (1180 - 1240), sa "Arithmetic" ni L. F. Magnitsky.

Ang kilalang Diophantine equation ng Pythagoras (6th century BC) x 2 + y 2 = z 2 ay nalulutas sa natural na mga numero. Ang mga solusyon nito ay triple ng mga numero (x; y; z):

x = (m 2 -n 2)l, y = 2mnl, z = (m 2 + n 2)l,

kung saan ang m, n, l ay anumang natural na numero (m>n). Tinutulungan ka ng mga formula na ito na mahanap kanang tatsulok, ang mga haba ng mga gilid ay natural na mga numero.

Noong 1630, ang French mathematician na si Pierre Fermat (1601 - 1665) ay bumuo ng hypothesis na tinatawag na Fermat's last theorem: "Ang equation x n + y n = z n para sa natural n ≥ 3 ay walang mga solusyon sa natural na mga numero." Hindi pinatunayan ni Fermat ang kanyang teorama sa pangkalahatang kaso, ngunit ang kanyang tala sa mga gilid ng Arithmetic ni Diophantus ay kilala: “... imposibleng magsulat ng isang kubo bilang kabuuan ng dalawang kubo, o isang pantay na kapangyarihan bilang kabuuan ng ang parehong mga kapangyarihan, o sa pangkalahatan ang anumang bilang na isang digri na mas malaki kaysa sa pangalawa ay hindi maaaring isulat bilang kabuuan ng dalawang magkatulad na digri. Mayroon akong isang tunay na kamangha-manghang patunay ng pahayag na ito, ngunit ang mga margin na ito ay masyadong makitid upang itago ito." Nang maglaon, sa mga papel ni Fermat, natagpuan ang isang patunay ng kanyang teorama para sa n = 4 Mula noon, sa loob ng higit sa 300 taon, sinisikap ng mga mathematician na patunayan ang huling teorama ni Fermat. Noong 1770, pinatunayan ni L. Euler ang teorama ni Fermat para sa n = 3, noong 1825 sina Adrien Legendre (1752 1833) at Peter Dirichlet (1805 - 1859) - para sa n = 5. Ang patunay ng huling teorama ni Fermat sa pangkalahatang kaso ay hindi posible para sa maraming taon. Noong 1995 lamang napatunayan ni Andrew Wiles ang teorama na ito.

Hindi lahat ng equation f(x) = g(x) o hindi pagkakapantay-pantay bilang resulta ng mga pagbabagong-anyo o sa tulong ng isang matagumpay na pagbabago ng variable ay maaaring bawasan sa isang equation o hindi pagkakapantay-pantay ng isa o isa pang karaniwang anyo kung saan mayroong isang tiyak na solusyon. algorithm. Sa ganitong mga kaso, kung minsan ay kapaki-pakinabang na gumamit ng ilang mga katangian ng mga pag-andar, tulad ng monotonicity, periodicity, boundedness, parity, atbp.

Ang isang function na f (x) ay sinasabing tumataas sa pagitan ng D kung para sa anumang mga numero x 1 at x 2 mula sa pagitan D tulad na x 1< x 2 , выполняется неравенство f (x 1) < f (x 2).

Ang isang function na f (x) ay sinasabing bumababa sa pagitan ng D kung para sa anumang mga numero x 1 at x 2 mula sa pagitan D tulad ng x 1< x 2 , выполняется неравенство f (x 1) >f(x2).

Sa graph na ipinapakita sa Figure 1

Larawan 1

Ang function na y = f (x), , ay tumataas sa bawat isa sa mga pagitan at bumababa sa pagitan (x 1 ; x 2). Tandaan na ang function ay tumataas sa bawat isa sa mga pagitan, ngunit hindi sa unyon ng mga pagitan

Kung ang isang function ay tumataas o bumababa sa isang tiyak na agwat, kung gayon ito ay tinatawag na monotonic sa pagitan na ito.

Tandaan na kung ang f ay isang monotone function sa interval D (f (x)), ang equation na f (x) = const ay hindi maaaring magkaroon ng higit sa isang ugat sa interval na ito.

Sa katunayan, kung x 1< x 2 – корни этого уравнения на промежутке D (f(x)), то f (x 1) = f (x 2) = 0, что противоречит условию монотонности.

Ilista natin ang mga katangian ng mga monotonikong function (pinapalagay na ang lahat ng mga function ay tinukoy sa ilang interval D).

· Ang kabuuan ng ilang pagtaas ng mga function ay isang pagtaas ng function.

· Ang produkto ng di-negatibong pagtaas ng mga function ay isang pagtaas ng function.

· Kung tumaas ang function na f, tataas din ang function na cf (c > 0) at f + c, at ang function na cf (c< 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.

· Kung ang function f ay tumaas at nananatili ang sign nito, ang function ay bumababa.

· Kung ang function na f ay tumataas at hindi negatibo, kung gayon ang f n kung saan ang nN ay tumataas din.

· Kung ang function na f ay tumataas at n ay isang kakaibang numero, kung gayon ang f ay tumataas din.

· Ang komposisyong g (f (x)) ng pagtaas ng mga function na f at g ay tumataas din.

Ang mga katulad na pahayag ay maaaring buuin para sa isang nagpapababang function.

Ang isang punto a ay tinatawag na pinakamataas na punto ng isang function f kung mayroong isang ε-kapitbahayan ng punto a na para sa alinmang x sa kapitbahayan na ito ang hindi pagkakapantay-pantay na f (a) ≥ f (x) ay nagtataglay.

Ang isang punto a ay tinatawag na pinakamababang punto ng isang function f kung mayroong isang ε-kapitbahayan ng point a na para sa alinmang x sa kapitbahayan na ito ang hindi pagkakapantay-pantay na f (a) ≤ f (x) ay nagtataglay.

Ang mga punto kung saan naabot ang maximum o minimum ng function ay tinatawag na extremum point.

Sa extremum point, nagbabago ang likas na katangian ng monotonicity ng function. Kaya, sa kaliwa ng extremum point ang function ay maaaring tumaas, at sa kanan maaari itong bumaba. Ayon sa kahulugan, ang extremum point ay dapat na isang panloob na punto ng domain ng kahulugan.

Kung para sa alinmang (x ≠ a) ang hindi pagkakapantay-pantay na f (x) ≤ f (a), ang point a ay tinatawag na punto ng pinakamalaking halaga ng function sa set D:

Kung para sa alinmang (x ≠ b) ang hindi pagkakapantay-pantay f (x) > f (b) ay nasiyahan, kung gayon ang point b ay tinatawag na punto ng pinakamababang halaga ng function sa set D.

Ang punto ng pinakamalaki o pinakamaliit na halaga ng isang function sa set D ay maaaring isang extremum ng function, ngunit hindi ito kinakailangang maging isa.

Ang punto ng pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng isang function na tuloy-tuloy sa isang segment ay dapat na hanapin kasama ng extrema ng function na ito at ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment.

Ang paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay gamit ang monotonicity property ay batay sa mga sumusunod na pahayag.

1. Hayaang ang f(x) ay isang tuluy-tuloy at mahigpit na monotone na function sa interval T, pagkatapos ay ang equation na f(x) = C, kung saan ang C ay isang ibinigay na constant, ay maaaring magkaroon ng hindi hihigit sa isang solusyon sa interval T.

2. Hayaang ang f(x) at g(x) ay tuluy-tuloy na mga function sa pagitan ng T, ang f(x) ay mahigpit na tumataas, at ang g(x) ay mahigpit na bumababa sa pagitan na ito, pagkatapos ay ang equation na f(x) = g( x) ay maaaring magkaroon ng hindi hihigit sa isang solusyon sa pagitan ng T. Tandaan na ang pagitan ng T ay maaaring isang walang katapusang pagitan (-∞;+∞), mga pagitan (a;+∞), (-∞; a), [a; +∞), (-∞; b], mga segment, pagitan at kalahating pagitan.

Halimbawa 2.1.1 Lutasin ang equation

. (1)

Solusyon. Malinaw, ang x ≤ 0 ay hindi maaaring maging solusyon sa equation na ito, mula noon . Para sa x > 0 ang function ay tuloy-tuloy at mahigpit na tumataas, dahil ang produkto ng dalawang tuluy-tuloy na positibong function f(x) = x at mahigpit na tumataas para sa mga x . Nangangahulugan ito na sa rehiyon x > 0 ang function kinukuha ang bawat isa sa mga halaga nito sa eksaktong isang punto. Madaling makita na ang x = 1 ay isang solusyon sa equation na ito, samakatuwid ito ang tanging solusyon nito.

Sagot: (1).

Halimbawa 2.1.2Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (2)

Solusyon. Ang bawat isa sa mga function na y = 2 x, y = 3 x, y = 4 x ay tuloy-tuloy at mahigpit na tumataas sa buong axis. Nangangahulugan ito na ang orihinal na function ay pareho . Madaling makita na para sa x = 0 ang function tumatagal ang halaga 3. Dahil sa pagpapatuloy at mahigpit na monotonicity ng function na ito para sa x > 0 mayroon kami , sa x< 0 имеем . Dahil dito, ang mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay lahat x< 0.

Sagot: (-∞; 0).

Halimbawa 2.1.3 Lutasin ang equation

. (3)

Solusyon. Ang hanay ng mga pinahihintulutang halaga ng equation (3) ay ang pagitan . Sa mga function ng ODZ At ay tuloy-tuloy at mahigpit na bumababa, samakatuwid ang function ay tuloy-tuloy at bumababa . Samakatuwid, ang function na h(x) ay kumukuha ng bawat halaga lamang sa isang punto. Dahil ang x = 2 ay ang tanging ugat ng orihinal na equation.

Kapag nilulutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay, ang pag-aari ng isang function na nililimitahan sa ibaba o sa itaas sa isang tiyak na hanay ay kadalasang gumaganap ng isang mapagpasyang papel.

Kung mayroong isang numerong C na para sa sinuman ay mayroong hindi pagkakapantay-pantay na f (x) ≤ C, kung gayon ang function na f ay sinasabing bounded mula sa itaas sa set D (Figure 2).

Larawan 2

Kung mayroong isang numerong c na para sa alinmang isa ay mayroong hindi pagkakapantay-pantay na f (x) ≥ c, kung gayon ang function na f ay sinasabing bounded mula sa ibaba sa set D (Figure 3).

Larawan 3

Ang function na nakatali sa itaas at sa ibaba ay tinatawag na bounded sa set D. Sa geometriko, ang boundedness ng isang function f sa set D ay nangangahulugan na ang graph ng function na y = f (x) ay nasa strip c ≤ y ≤ C ( Larawan 4).

Larawan 4

Kung ang isang function ay hindi nakatali sa isang set, ito ay sinasabing unbounded.

Ang isang halimbawa ng isang function na nakatali sa ibaba sa buong linya ng numero ay ang function na y = x 2 . Ang isang halimbawa ng isang function na nakatali sa itaas sa set (–∞; 0) ay ang function na y = 1/x. Ang isang halimbawa ng isang function na nakatali sa buong linya ng numero ay ang function na y = sin x.

Halimbawa 2.2.1 Lutasin ang equation

sin(x 3 + 2x 2 + 1) = x 2 + 2x + 2. (4)

Solusyon. Para sa anumang tunay na numerong x mayroon tayong sin(x 3 + 2x 2 + 1) ≤ 1, x 2 + 2x + 2 = (x + 1) 2 +1 ≥ 1. Dahil para sa anumang halaga ng x kaliwang bahagi ang equation ay hindi lalampas sa isa, at ang kanang bahagi ay palaging hindi bababa sa isa, kung gayon ang equation na ito ay maaari lamang magkaroon ng solusyon para sa .

Sa , , ibig sabihin. kapag ang equation (4) ay wala ring mga ugat.

Halimbawa 2.2.2 Lutasin ang equation

. (5)

Solusyon. Malinaw, ang x = 0, x = 1, x = -1 ay mga solusyon sa equation na ito. Upang makahanap ng iba pang mga solusyon dahil sa pagiging kakaiba ng function na f(x) = = x 3 - x - sinπx, sapat na upang mahanap ang mga solusyon nito sa rehiyon x > 0, x ≠ 1, dahil kung x 0 > 0 ang kanyang solusyon, pagkatapos ay (-x 0 ) din ang kanyang solusyon.

Hatiin natin ang set x > 0, x ≠ 1, sa dalawang pagitan: (0; 1) at (1; +∞)

Isulat muli natin ang inisyal na equation sa anyong x 3 - x = sinπx. Sa pagitan (0; 1), ang function na g(x) = x 3 - x ay tumatagal lamang ng mga negatibong halaga, dahil x 3< < х, а функция h(x) = sinπx только положительные. Следовательно, на этом промежутке уравнение не имеет решений.

Hayaang nabibilang ang x sa pagitan (1; +∞). Para sa bawat isa sa mga halagang ito x, ang function na g(x) = x 3 - x ay kumukuha ng mga positibong halaga, ang function na h(x) = sinπx ay kumukuha ng mga halaga ng iba't ibang mga palatandaan, at sa pagitan (1; 2] ang function na h(x) = sinπx ay di-positibo Dahil dito, sa pagitan (1; 2] ang equation ay walang mga solusyon.

Kung x > 2, kung gayon |sinπx| ≤ 1, x 3 - x = x(x 2 - 1) > 2∙3 = 6, na nangangahulugan na ang equation ay wala ring mga solusyon sa pagitan (1; +∞).

Kaya, x = 0, x = 1 at x = -1 at ito lamang ang mga solusyon sa orihinal na equation.

Sagot: (-1; 0; 1).

Halimbawa 2.2.3 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

Solusyon. Ang ODZ ng hindi pagkakapantay-pantay ay totoo lahat maliban sa x = -1. Hatiin natin ang ODZ ng hindi pagkakapantay-pantay sa tatlong set: -∞< x < -1, -1 < x ≤ 0, 0 < x < +∞ и рассмотрим неравенство на каждом из этих промежутков.

Hayaan -∞< x < -1. Для каждого из этих x имеем g(x) = < 0, а f(x) = 2 x >0. Samakatuwid, ang lahat ng x na ito ay mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay.

Hayaan -1< x ≤ 0. Для каждого из этих x имеем g(x) = 1 - , а f(x) = 2 x ≤ 1. Следовательно, ни одно из этих x не является решением данного неравенства.

Hayaan ang 0< x < +∞. Для каждого из этих x имеем g(x) = 1 - , a . Следовательно, все эти x являются решениями исходного неравенства.

Sagot: .

Ang isang function na f (x) ay tinatawag na periodic na may period T ≠ 0 kung ang dalawang kundisyon ay natutugunan:

· kung , kung gayon ang x + T at x – T ay kabilang din sa domain ng kahulugan D (f (x));

· para sa anumang pagkakapantay-pantay

f (x + T) = f (x).

Dahil ito ay sumusunod mula sa itaas na kahulugan na

Kung ang T ay ang panahon ng function na f (x), kung gayon ito ay malinaw na ang bawat numero nT, kung saan , n ≠ 0, ay din ang panahon ng function na ito.

Ang pinakamaliit na positibong panahon ng isang function ay ang pinakamaliit sa mga positibong numero T na ang panahon ng pagpapaandar na ito.

Graph ng isang periodic function

Ang graph ng isang periodic function ay karaniwang naka-plot sa pagitan ng B)(0;1] Г) ay katumbas ng:

A) -12 B) 12 C) -6 D) -9 E) 8

2. Ang kabuuan ng mga module ng mga ugat ng equation - (√(5- x)√(5+x))+2=-1

ay katumbas ng:

A) 4 B) 8 C) 7 D) 5 E) 9

3. Mga ugat ng equation x 4 =|(-|x|+1) 2 -1| kabilang sa set:

A)(-1;1) B) [-1;1] C)(4;11) D)(-1;0;1) D) (0;2]

4*.Ang halaga ng a kung saan ang equation 2/ x= a- X ay may tatlong ugat, ay tumutukoy sa pagitan:

A) (3;+ ) B) [–1;12] V)(- ;1) D))