Paano malutas ang mga halimbawa ng kumplikadong numero. Mga kumplikadong numero para sa mga dummies
Ihiwalay ang mga espesyal na puntos
KOMPLEXONG MGA NUMERO AT OPERASYON SA MGA ITO
Kahit na ang pinakasimpleng algebraic na operasyon sa mga tunay na numero (pag-extract ng square root ng isang negatibong numero, paglutas ng isang quadratic equation na may negatibong discriminant) ay dadalhin tayo lampas sa hanay ng mga tunay na numero. Ang karagdagang paglalahat ng konsepto ng numero ay humahantong sa kumplikadong mga numero. Ang isang kapansin-pansing pag-aari ng hanay ng mga kumplikadong numero ay na ito ay sarado na may paggalang sa mga pangunahing pagpapatakbo ng matematika. Sa madaling salita, ang pangunahing mga operasyong matematikal sa mga kumplikadong numero ay hindi maaaring makuha mula sa hanay ng mga kumplikadong numero.
Kumplikadong numero (sa algebraic form ) ay tinatawag na expression
nasaan ang mga di-makatwirang tunay na numero, - haka-haka na yunit , tinutukoy ng kondisyon.
Tinatawag ang numero tunay na bahagi kumplikadong numero , denoted (mula sa Latin " makatotohanan"), tinawag ang numero haka-haka na bahagi kumplikadong numero at ipinapahiwatig (mula sa Latin na " imaginarius»).
Dalawang kumplikadong numero at magkapareho kung at kung ang kanilang tunay at haka-haka na mga bahagi ay pantay: , . Ang dalawang kumplikadong numero ay pantay o hindi pantay (ang mga konsepto ng "higit pa" at "mas kaunti" ay hindi ipinakilala para sa mga kumplikadong numero).
Kumplikadong conjugate ang isang numero ay tinatawag na isang numero . Malinaw, ang kumplikadong conjugate ng isang numero ay tumutugma sa numerong : .
Mga operasyon sa aritmetika. Ang pagdaragdag, pagbabawas at pagpaparami ng mga kumplikadong numero ay isinasagawa ayon sa normal na mga tuntunin algebra.
Hayaan mo,. Pagkatapos
pagkakaiba,
trabaho,
quotient (sa)
Halimbawa 1. Ang mga kumplikadong numero ay ibinibigay: , .
Hanapin , , .
Solusyon. ;
Problema 1. Hayaan at maging isang pares ng mga kumplikadong conjugate na numero. Ipakita na ang kanilang kabuuan ay isang tunay na numero, ang kanilang pagkakaiba ay isang haka-haka na numero, at ang kanilang produkto ay isang tunay na hindi negatibong numero.
Halimbawa 2. Hanapin , .
Solusyon. ; .
Magkomento. Ang mga kapangyarihan ng isang numero ay maaaring katawanin bilang isang talahanayan
Halimbawa 3. I-multiply ang mga numero at .
Solusyon.
Halimbawa 4. Kalkulahin ang a); b); V).
Solusyon.
a) Palawakin natin ang parisukat ng pagkakaiba:
b) Palawakin natin ang kubo ng kabuuan:
Halimbawa 5. Hanapin ang quotient kung .
Solusyon.
Halimbawa 6. Kalkulahin ang a) , b) .
Solusyon. A) .
Tandaan natin:
Geometric na interpretasyon ng isang kumplikadong numero.
Isaalang-alang ang isang Cartesian rectangular coordinate system. I-plot natin ang tunay na bahagi ng isang kumplikadong numero sa kahabaan ng abscissa axis, at ang haka-haka nitong bahagi sa kahabaan ng ordinate axis. Nakakakuha kami ng isang punto na may mga coordinate. Sa kasong ito, ang bawat kumplikadong numero ay tumutugma sa isang punto sa eroplano. Totoo rin ang kabaligtaran: ang bawat punto sa eroplano ay maaaring iugnay sa isang kumplikadong numero, ang tunay na bahagi nito ay katumbas ng abscissa ng punto, at ang haka-haka na bahagi ay katumbas ng ordinate ng punto. Kaya, ang isang isa-sa-isang sulat ay itinatag sa pagitan ng mga kumplikadong numero at mga punto sa eroplano. (Kanina ay napag-usapan natin ang tungkol sa isa-sa-isang sulat sa pagitan ng mga tunay na numero at mga punto sa linya ng numero.)
Ang isang eroplano na ang mga punto ay kumakatawan sa mga kumplikadong numero ay tinatawag kumplikadong eroplano. Upang makilala ito mula sa aktwal na eroplano sa kanan itaas na sulok isulat ang liham na binilog. Ang abscissa axis sa naturang eroplano ay tinatawag na real axis, at ang ordinate axis ay tinatawag na imaginary axis. Ang isang kumplikadong conjugate na numero ay ang salamin na imahe ng isang ibinigay na kumplikadong numero tungkol sa totoong axis. Ang pinagmulan ng mga coordinate ay tinatawag na zero point. Ang distansya ng isang kumplikadong numero mula sa pinagmulan ay tinatawag modyul itong numero:
Gawain 2. Patunayan mo yan.
Ang modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng dalawang kumplikadong numero ay ang distansya sa pagitan ng mga kaukulang punto:
Para sa bawat punto ng kumplikadong eroplano, iniuugnay namin ang isang vector na may simula sa zero point at isang dulo sa puntong ito. Malinaw, ang sulat na ito ay isa-sa-isa. Sa interpretasyong ito, ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng isang kumplikadong numero ay ang una at pangalawang bahagi ng vector. Ang kabuuan ay kinakatawan na ngayon ng dayagonal ng isang paralelogram na binuo sa mga vectors at , ang pagkakaiba ay nauunawaan bilang . Ang modulus ng isang kumplikadong numero ay kumakatawan sa haba ng vector. Geometrically halata ay hindi pagkakapantay-pantay ng tatsulok sa kumplikadong eroplano: .
Halimbawa 7. Ipahiwatig ang geometric na lokasyon ng mga punto sa kumplikadong eroplano kung saan
| A); | b); |
| V); | G). |
Solusyon. a) Dahil , ang ibinigay na dobleng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat bilang: . Nakakuha kami ng isang vertical na guhit.
b) Dahil , muling isinulat namin ang ibinigay na dobleng hindi pagkakapantay-pantay sa anyo: . Nakakuha kami ng pahalang na guhit. Lutasin ang mga problema c) at d) nang nakapag-iisa.
Halimbawa 8.
Solusyon. a) Ang modulus ng isang complex number ay ang haba ng vector mula sa zero point hanggang sa point, i.e. distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto. Nangangahulugan ito na sa kasong ito ay pinag-uusapan natin ang geometric na lokasyon ng mga punto sa eroplano na katumbas ng pinagmulan ng mga coordinate - ito ay isang bilog (sa kasong ito, ang radius ng bilog ay 1). Posibleng isalin ang problema sa wika ng mga coordinate ng Cartesian:
b) Dito pinag-uusapan natin ang geometric na lokasyon ng mga punto na matatagpuan sa labas ng bilog ng radius (na may sentro sa pinanggalingan).
c) ang mga punto ay nasa isang singsing sa pagitan ng mga bilog na radius at .
Halimbawa 9. Ipahiwatig ang geometric na lokasyon ng mga punto sa kumplikadong eroplano kung saan a) ; b); V).
Solusyon. a) Ang modulus ng pagkakaiba ay ang distansya sa pagitan ng isang punto sa kumplikadong eroplano at punto 1. Nangangahulugan ito na pinag-uusapan natin ang geometric na locus ng mga puntos na katumbas ng distansya (sa layo na 1) mula sa punto 1 - ito ay isang bilog ng radius 1 na may sentro sa punto (1;0). Sa coordinate na wika:
b) Ang mga punto ay matatagpuan nang sabay-sabay sa isang bilog na may sentro sa pinanggalingan ng mga coordinate at sa isang bilog na ang sentro ay inilipat sa punto: .
c) Ito ang mga punto ng kanang kalahating eroplano na nakahiga sa loob ng bilog: .
Trigonometric form ng isang kumplikadong numero. Pangangatwiran ang complex number ay ang anggulo na gumagawa ng vector na may positibong direksyon ng totoong axis, . Ang anggulong ito ay hindi malinaw na tinukoy:
Narito ang pangunahing halaga ng argumento, ito ay naka-highlight sa pamamagitan ng mga hindi pagkakapantay-pantay (ibig sabihin, sa kumplikadong eroplano ang isang hiwa ay ginawa kasama ang tunay na axis sa kaliwa ng pinanggalingan).
Ang unang hanay ay ipinahiwatig para sa isang numerong nakahiga sa tunay o haka-haka na axis, at ang pangalawang hanay ay para sa lahat ng iba pang kumplikadong mga numero.
Tukuyin natin ang . Dahil ang , , kung gayon ang isang kumplikadong numero ay maaaring katawanin sa trigonometrikong anyo :
Dalawang kumplikadong numero at , na ibinigay sa trigonometric form
dahil sa kalabuan ng argumento, pantay-pantay sila kung at kung , .
Halimbawa 10. Hanapin ang moduli at mga argumento, pati na rin ang mga pangunahing halaga ng mga argumento ng mga kumplikadong numero. Isulat ang bawat isa sa kanila sa trigonometric form.
Solusyon. Ang moduli ng lahat ng mga numerong ito ay pareho:
Nahanap namin ang argumento ng bawat numero na isinasaalang-alang ang quarter kung saan namamalagi ang kaukulang punto.
1) Ang punto ay nasa unang quarter, ibig sabihin
Sa trigonometric form, ang periodicity ng cosine at sine ay isinasaalang-alang dito.
2) Ang punto ay nasa ikalawang quarter, ibig sabihin
3) Ang punto ay nasa ikatlong quarter, ibig sabihin
4) Ang punto ay nasa ikaapat na quarter, ibig sabihin
Pagpaparami at paghahati ng mga kumplikadong numero sa anyong trigonometric. Hayaan ang mga numero at ibigay sa trigonometric form: , . Paramihin natin sila:
Ang pag-alala sa mga formula para sa cosine at sine ng kabuuan ng dalawang anggulo, nakukuha natin
Nakikita namin na kapag ang mga kumplikadong numero ay pinarami, ang kanilang mga module ay pinarami at ang kanilang mga argumento ay idinagdag. Ang geometric na kahulugan ng operasyong ito: kumakatawan sa mga numero at ng mga vector sa kumplikadong eroplano na nagmumula sa zero point, nakikita natin na ang isang vector ay nakuha mula sa isang vector sa pamamagitan ng "pag-unat" ng isang kadahilanan at pag-ikot ng isang anggulo .
Para sa quotient makuha namin ang formula:
Halimbawa 11. Hanapin ang produkto at quotient ng mga numero
Solusyon. Alinsunod sa formula (1) isinusulat namin:
Suriin natin ang resulta sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga numerong ito sa algebraic form:
Gamit ang formula (2) nahanap natin
Sa algebraic form ang operasyong ito ay isusulat tulad ng sumusunod:
Pagtaas ng isang kumplikadong numero sa isang kapangyarihan. Mula sa pormula (1) sumusunod na ang pagtaas ng isang kumplikadong numero sa isang kapangyarihan ay isinasagawa ayon sa panuntunan
Halimbawa 12. Kalkulahin ang 1); 2) .
Solusyon. 1) Sa itaas ay nakatanggap kami ng representasyon ng isang kumplikadong numero sa trigonometric form: . Gamit ang formula (3) makikita natin ang . Ang parehong resulta ay nakuha sa itaas sa halimbawa 4c) gamit ang binomial ni Newton.
2) Una sa lahat, katawanin natin ang numero sa trigonometric form.
ang punto ay nasa ikaapat na quarter, na nangangahulugang . kaya lang
Nananatili itong gumamit ng formula (3):
Ang pagpapalawak ng difference cube, nakakakuha kami ng parehong resulta (suriin ito!).
Kapag ang formula (3) ay naging Formula ni Moivre :
Sa tulong nito, madali tayong makakakuha ng mga ugnayang nagpapahayag ng mga sine at cosine ng maraming anggulo na may at .
Halimbawa 13. Ipahayag at sa pamamagitan ng at.
Solusyon. Ipagpalagay sa formula ng Moivre, nakukuha natin ang:
Sa kaliwa, palawakin natin ang sum cube at kolektahin ang mga katulad na termino:
Isinasaalang-alang dito na . Dumating kami sa pagkakapantay-pantay ng dalawang kumplikadong numero sa algebraic form
na totoo kung at kung ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng mga bilang na ito ay pantay.
Ang pagkakapantay-pantay ng mga tunay na bahagi ay nagbibigay ;
equating the imaginary parts, we get .
Pagkuha ng ugat ng isang kumplikadong numero. Kung ang mga kumplikadong numero ay nauugnay sa kaugnayan , kung gayon . Katawanin natin ang mga numero sa trigonometric form:
Ang aming gawain ay tukuyin (i.e. at ) mula sa isang ibinigay na numero (ibig sabihin, mula sa kilala at ). Alinsunod sa formula (3), ang pagkakapantay-pantay ay isusulat sa form
Mula sa pagkakapantay-pantay ng dalawang kumplikadong mga numero sa trigonometric form ito ay sumusunod:
Narito ang ika-ugat ng isang tunay na di-negatibong numero. Nangangahulugan ito na para sa ika-root ng isang kumplikadong numero ay nakukuha natin ang formula
Kung ipagpalagay na sunud-sunod, nakakakuha kami ng iba't ibang mga halaga:
Ang lahat ng mga ugat na ito ay may parehong mga module, i.e. ang mga kaukulang punto ay matatagpuan sa isang bilog ng radius na nakasentro sa pinanggalingan. Ang mga argumento ng dalawang magkatabing ugat ay naiiba sa isang anggulo. Nangangahulugan ito na ang lahat ng mga halaga ng ika-ugat ng isang kumplikadong numero ay matatagpuan sa mga vertices ng isang regular na -gon na nakasulat sa isang bilog ng radius.
Halimbawa 14. Hanapin ang lahat ng mga halaga ng ika-root ng isang kumplikadong numero at i-plot ang mga ito sa kumplikadong eroplano kung. Tandaan na at sa.
. Nakuha namin ang dalawang kumplikadong conjugate roots.
Ang mga halimbawa ng paglutas ng mga kumplikadong numero ay ibinibigay sa dulo ng artikulo, ngunit sa ngayon, alamin natin kung ano ang mga kumplikadong numero. Sa matematika, bilang karagdagan sa natural, rational at real na mga numero, may isa pang uri na tinatawag kumplikadong mga numero
. Ang ganitong set ay karaniwang tinutukoy ng isang simbolo. Tingnan natin kung ano ang isang kumplikadong numero. Isulat natin ito sa ganitong paraan: , kung saan ang haka-haka na yunit
, ang mga numero ay totoo. Kung ilalagay mo ito, ang isang kumplikadong numero ay magiging isang tunay na numero. Kaya, maaari nating tapusin na ang mga tunay na numero ay espesyal na kaso
kumplikado at isulat ito bilang isang subset. Oo nga pala, pwede rin yun.
Nakaugalian na isulat ang haka-haka na bahagi ng isang kumplikadong numero bilang, at ang tunay na bahagi.
Ipakilala natin ang konsepto ng kumplikadong conjugate number. Para sa bawat kumplikadong numero mayroong ganoon, na tinatawag na conjugate nito. Ang ganitong mga numero ay naiiba sa bawat isa lamang sa mga palatandaan sa pagitan ng tunay at haka-haka na mga bahagi.
Complex number form
- Nangyayari sa matematika na ang mga numerong ito ay may ilang mga anyo. Ang numero ay pareho, ngunit maaari itong isulat sa ibang paraan:
- Algebraic
- Nagpapahiwatig
Trigonometric
Larawan ng mga kumplikadong numero
Sinimulan namin ang aming pag-aaral sa itaas gamit ang algebraic form. Dahil ito ay pundamental. Upang gawing malinaw, ilarawan natin ang isang kumplikadong numero sa eroplano sa parehong anyo:
Nakita namin na sila ay matatagpuan sa kaukulang mga palakol ng eroplano.
Ang isang kumplikadong numero ay kinakatawan bilang isang vector.
Ang argumento ay tinutukoy.
Ang modulus ay katumbas ng haba ng vector at matatagpuan ng formula
Ang argumento ng isang kumplikadong numero ay dapat matagpuan gamit ang iba't ibang mga formula depende sa kalahating eroplano kung saan ang numero mismo ay namamalagi.
Mga operasyon sa mga kumplikadong numero
- Maaaring isagawa ang iba't ibang mga operasyon sa mga kumplikadong numero, katulad:
- Magdagdag at magbawas
- Paramihin at hatiin
- Kunin ang mga ugat at itaas sa kapangyarihan
Maglipat mula sa isang form patungo sa isa pa Para sa paghahanap ng kabuuan at pagkakaiba
Ang mga termino lamang na tumutugma sa bawat isa ay idinaragdag at ibinabawas. Ang haka-haka na bahagi ay nasa haka-haka lamang, at ang tunay na bahagi ay nasa tunay lamang::
Multiplikasyon sa algebraic form:
Multiplikasyon sa exponential form:
Dibisyon sa algebraic form:
Maglipat mula sa isang form patungo sa isa pa Dibisyon sa exponential form pagpaparami kailangan mong i-multiply ang isang kumplikadong numero sa pamamagitan ng kanyang sarili kinakailangang halaga
Maglipat mula sa isang form patungo sa isa pa beses, o gamitin ang formula ni Moivre: Dapat mo ring gamitin ang formula ng Moivre:
Ang teorya ng kumplikadong mga numero ay tumutulong din upang mahanap ang mga ugat ng polynomials. Halimbawa, sa quadratic equation, kung, kung gayon walang tunay na mga ugat, ngunit may mga kumplikadong ugat. Sinusuri ng huling halimbawa ang kasong ito.
Isaalang-alang natin ang mga kumplikadong numero sa pagsasanay: mga halimbawa na may mga solusyon.
Mga halimbawa na may solusyon
| Halimbawa 4 |
| Itaas ang isang kumplikadong numero sa isang kapangyarihan: a) b) |
| Solusyon |
|
Upang parisukat ito, i-multiply lamang ang numero sa sarili nito: Ginagamit namin ang formula para sa pagpaparami, buksan ang mga bracket at magbigay ng mga katulad: Natanggap namin ang sagot na Sa kasong ito, hindi lahat ay kasing simple ng sa nakaraang kaso, kapag nagkaroon ng squaring. Siyempre, maaari mong gamitin ang pamamaraan na nabanggit nang mas maaga at i-multiply ang numero sa sarili nitong 7 beses, ngunit ito ay magiging isang napakahaba at napakahabang solusyon. Mas magiging mas madaling gamitin ang formula ni Moivre. Ngunit ito ay gumagana sa mga numero sa trigonometric form, at ang numero ay ibinibigay sa algebraic form. Ibig sabihin, ililipat muna tayo mula sa isang form patungo sa isa pa. Kinakalkula namin ang halaga ng module: Alamin natin kung ano ang argumento: Isinulat namin ito sa trigonometric form: Itaas sa isang kapangyarihan: Ibahin natin ito sa algebraic form para sa kalinawan: |
| Sagot |
Sa artikulong " Mga kumplikadong numero: mga halimbawang may mga solusyon" ibinigay ang kahulugan, mga pangunahing konsepto, mga anyo ng notasyon, algebraic na operasyon at solusyon sa mga praktikal na halimbawa.
Makikilala natin ang konsepto ng isang kumplikadong numero, isaalang-alang ang algebraic, trigonometric at exponential form ng isang kumplikadong numero. Matututuhan din natin kung paano magsagawa ng mga operasyon na may mga kumplikadong numero: karagdagan, pagbabawas, multiplikasyon, paghahati, exponentiation at root extraction. Don't worry, tinakot kita, papatawanin kita. Upang makabisado ang mga kumplikadong numero, sapat na upang maisagawa ang mga pangunahing algebraic na operasyon na may "ordinaryong" mga numero, at upang malaman ang kaunting trigonometrya.
1) Ang konsepto ng isang kumplikadong numero. 2) Algebraic na anyo ng isang kumplikadong numero. Pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami at paghahati ng mga kumplikadong numero. 3) Trigonometric at exponential form ng isang complex number. 4) Pagtaas ng mga kumplikadong numero sa mga kapangyarihan. 5) Pagkuha ng mga ugat mula sa mga kumplikadong numero. Quadratic equation na may kumplikadong mga ugat.
Una, tandaan natin ang mga “regular” na numero ng paaralan. Sa matematika sila ay tinatawag hanay ng mga tunay na numero at itinalaga ng isang liham (sa panitikan at mga manuskrito, ang malaking titik na "er" ay nakasulat na naka-bold o makapal). Ang lahat ng tunay na numero ay inilalarawan sa linya ng numero:
Ang pangkat ng mga tunay na numero ay lubhang magkakaibang - mayroong mga buong numero, fraction, at hindi makatwiran na mga numero. Sa kasong ito, ang bawat numerical point ay kinakailangang tumutugma sa ilang tunay na numero.
Ang konsepto ng isang kumplikadong numero
Bago tayo magpatuloy sa mga kumplikadong numero, ibibigay ko mahalagang payo: Huwag subukang kumatawan sa isang kumplikadong numero "sa buhay" - ito ay tulad ng sinusubukang kumatawan sa ikaapat na dimensyon sa aming tatlong-dimensional na espasyo. Kung gusto mo, ang isang kumplikadong numero ay isang dalawang-dimensional na numero.
Ang isang kumplikadong numero ay isang numero ng anyo , kung saan at mga tunay na numero, ang tinatawag na haka-haka na yunit. Tinatawag ang numero tunay na bahagi ( ) kumplikadong numero, ang numero ay tinatawag haka-haka na bahagi ( ) kumplikadong numero.
– ito ay isang SINGLE NUMBER, hindi isang karagdagan. Ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng isang kumplikadong numero, sa prinsipyo, ay maaaring muling ayusin: o ang haka-haka na yunit ay maaaring muling ayusin: – hindi nito babaguhin ang kumplikadong numero. Ngunit kaugalian na magsulat ng isang kumplikadong numero sa pagkakasunud-sunod na ito::
Upang gawing mas malinaw ang lahat, agad kaming magbibigay ng geometric na interpretasyon. Ang mga kumplikadong numero ay kinakatawan ng kumplikadong eroplano:
Tulad ng nabanggit sa itaas, ang isang titik ay karaniwang tumutukoy sa hanay ng mga tunay na numero. Isang grupo ng pareho kumplikadong mga numero karaniwang tinutukoy ng isang "bold" o makapal na titik. Samakatuwid, ang liham ay dapat ilagay sa pagguhit, na nagpapahiwatig ng katotohanan na mayroon kaming isang kumplikadong eroplano.
Ang kumplikadong eroplano ay binubuo ng dalawang axes: – real axis, – imaginary axis
Ang mga patakaran para sa pagdidisenyo ng isang drawing ay halos kapareho ng para sa isang drawing sa Cartesian system. Kasama ang mga palakol na kailangan mong itakda ang sukat, markahan: zero; yunit kasama ang tunay na axis; haka-haka yunit sa kahabaan ng haka-haka axis.
Buuin natin ang mga sumusunod na kumplikadong numero sa kumplikadong eroplano (tingnan ang pahina 3):
Sa pamamagitan ng kung anong prinsipyo ang mga numero sa kumplikadong eroplano ay minarkahan, sa palagay ko ay malinaw - ang mga kumplikadong numero ay minarkahan sa parehong paraan tulad ng minarkahan namin ang mga puntos pabalik sa ika-5-6 na baitang sa mga aralin sa geometry.
Isaalang-alang ang mga sumusunod na kumplikadong numero: , , . Sasabihin mo, ito ay mga ordinaryong tunay na numero! At halos tama ka. Ang mga tunay na numero ay isang espesyal na kaso ng mga kumplikadong numero. Ang totoong axis ay eksaktong tumutukoy sa hanay ng mga tunay na numero, iyon ay, ang lahat ng aming "ordinaryong" mga numero ay nakaupo sa axis. Ang pahayag ay maaaring bumalangkas nang mas mahigpit tulad ng sumusunod: Ang hanay ng mga tunay na numero ay isang subset ng hanay ng mga kumplikadong numero.
Ang mga numero , , ay mga kumplikadong numero na may zero na bahaging haka-haka. Ang mga numero , , ay, sa kabaligtaran, puro imaginary numbers, ibig sabihin. mga numero na may zero na tunay na bahagi. Mahigpit na matatagpuan ang mga ito sa haka-haka na axis.
Sa mga numero , , , parehong ang tunay at haka-haka na mga bahagi ay hindi katumbas ng zero. Ang ganitong mga numero ay tinutukoy din ng mga puntos sa kumplikadong eroplano, at kaugalian na gumuhit ng mga radius vectors sa kanila mula sa pinagmulan ng mga coordinate (ipinahiwatig sa pula sa pagguhit). Ang mga vector ng radius sa mga numero na matatagpuan sa mga palakol ay karaniwang hindi iginuhit, dahil sila ay pinagsama sa mga palakol.