Maaari bang magkaroon ng 2 minimum na puntos? Paano Kalkulahin ang Minimum o Maximum Gamit ang Math Operations

Ang algorithm para sa paghahanap ng mga puntong ito ay napag-usapan nang maraming beses, ngunit uulitin ko ito sa madaling sabi:

1. Hanapin ang derivative ng function.

2. Hanapin ang mga zero ng derivative (i-equate ang derivative sa zero at lutasin ang equation).

3. Susunod, bumuo kami ng isang numerical axis, markahan ang mga nahanap na punto dito at tukuyin ang mga palatandaan ng derivative sa mga nagresultang agwat. *Ginagawa ito sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga di-makatwirang halaga mula sa mga pagitan sa hinalaw.

Kung hindi ka pamilyar sa mga katangian ng mga derivatives para sa pag-aaral ng mga function, siguraduhing pag-aralan ang artikulo« ». Ulitin din ang talahanayan ng mga derivatives at ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan (magagamit sa parehong artikulo). Isaalang-alang natin ang mga gawain:

77431. Hanapin ang pinakamataas na punto ng function na y = x 3 –5x 2 +7x–5.

Hanapin natin ang derivative ng function:

Hanapin natin ang mga zero ng derivative:

3x 2 – 10x + 7 = 0

y(0)" = 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

y(2)" = 3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0

y(3)" = 3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0

Sa puntong x = 1, binabago ng derivative ang sign nito mula sa positibo patungo sa negatibo, na nangangahulugang ito ang nais na pinakamataas na punto.

Sagot: 1

77432. Hanapin ang pinakamababang punto ng function na y = x 3 +5x 2 +7x–5.

Hanapin natin ang derivative ng function:

Hanapin natin ang mga zero ng derivative:

3x 2 + 10x + 7 = 0

Pagpapasya quadratic equation makuha namin:

Tinutukoy namin ang mga palatandaan ng derivative ng function sa mga pagitan at markahan ang mga ito sa sketch. Pinapalitan namin ang isang arbitrary na halaga mula sa bawat pagitan sa derivative expression:

y(–3 ) " = 3∙(–3) 2 + 10∙(–3) + 7 = 4 > 0

y(–2 ) "= 3∙(–2) 2 + 10∙(–2) + 7 = –1 < 0

y(0) "= 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

Sa puntong x = –1, binabago ng derivative ang sign nito mula sa negatibo patungo sa positibo, na nangangahulugang ito ang nais na pinakamababang punto.

Sagot: –1

77435. Hanapin ang pinakamataas na punto ng function na y = 7 + 12x – x 3

Hanapin natin ang derivative ng function:

Hanapin natin ang mga zero ng derivative:

12 – 3x 2 = 0

x 2 = 4

Paglutas ng equation na nakukuha natin:

*Ito ang mga punto ng posibleng maximum (minimum) ng function.

y(–3 ) "= 12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0

y(0) "= 12 – 3∙0 2 = 12 > 0

y( 3 ) "= 12 – 3∙3 2 = –15 < 0

Sa puntong x = 2, binabago ng derivative ang sign nito mula sa positibo patungo sa negatibo, na nangangahulugang ito ang nais na pinakamataas na punto.

Sagot: 2

*Para sa parehong function, ang pinakamababang punto ay ang puntong x = – 2.

77439. Hanapin ang pinakamataas na punto ng function na y = 9x 2 – x 3.

Hanapin natin ang derivative ng function:

Hanapin natin ang mga zero ng derivative:

18x –3x 2 = 0

3x(6 – x) = 0

Paglutas ng equation na nakukuha natin:

y(–1 ) "= 18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0

y(1) "= 18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0

y(7) "= 18∙7 –3∙7 2 = –1< 0

Sa puntong x = 6, binabago ng derivative ang sign nito mula sa positibo patungo sa negatibo, na nangangahulugang ito ang nais na pinakamataas na punto.

Sagot: 6

*Para sa parehong function, ang pinakamababang punto ay ang puntong x = 0.

77443. Hanapin ang pinakamataas na punto ng function na y = (x 3 /3)–9x–7.

Hanapin natin ang derivative ng function:

Hanapin natin ang mga zero ng derivative:

x 2 – 9 = 0

x 2 = 9

Paglutas ng equation na nakukuha natin:

y(–4 ) "= (–4) 2 – 9 > 0

y(0) "= 0 2 – 9 < 0

y(4) "= 4 2 – 9 > 0

Sa puntong x = – 3, binabago ng derivative ang sign nito mula sa positibo patungo sa negatibo, na nangangahulugang ito ang nais na pinakamataas na punto.

Sagot: – 3

9 – x 2 = 0

x 2 = 9

Paglutas ng equation na nakukuha natin:

y(–4 ) "= 9 – (–4) 2 < 0

y(0 Solusyon .

Iyon lang. Good luck sa iyo!

Taos-puso, Alexander Krutitskikh.

P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo sa akin ang tungkol sa site sa mga social network.

Hello! Sagutan natin ang nalalapit na Unified State Exam na may mataas na kalidad na sistematikong paghahanda at pagpupursige sa paggiling ng granite ng agham!!! SAMay gawain sa kompetisyon sa dulo ng post, mauna ka! Sa isa sa mga artikulo sa seksyong ito, ikaw at ako, kung saan ibinigay ang graph ng function at iba't ibang tanong ang itinaas tungkol sa extrema, mga pagitan ng pagtaas (pagbaba) at iba pa.

Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang mga problemang kasama sa Unified State Examination sa matematika, kung saan ang isang graph ng derivative ng isang function ay ibinigay at ang mga sumusunod na tanong ay ibinibigay:

1. Sa anong punto ng isang partikular na segment na ang function ay tumatagal sa pinakamalaking (o pinakamaliit) na halaga.
2. Hanapin ang bilang ng maximum (o pinakamababa) na puntos ng function na kabilang sa isang partikular na segment.
3. Hanapin ang bilang ng mga extremum point ng function na kabilang sa isang partikular na segment.
4. Hanapin ang extremum point ng function na kabilang sa ibinigay na segment.
5. Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas (o pagbaba) ng function at sa sagot ay ipahiwatig ang kabuuan ng mga integer na puntos na kasama sa mga agwat na ito.
6. Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas (o pagbaba) ng function. Sa iyong sagot, ipahiwatig ang haba ng pinakamalaki sa mga pagitan na ito.
7. Hanapin ang bilang ng mga puntos kung saan ang tangent sa graph ng function ay kahanay o tumutugma sa isang linya ng anyong y = kx + b.
8. Hanapin ang abscissa ng punto kung saan ang tangent sa graph ng function ay parallel sa abscissa axis o katapat nito.

Maaaring may iba pang mga katanungan, ngunit hindi sila magdudulot sa iyo ng anumang mga paghihirap kung naiintindihan mo at (ibinibigay ang mga link sa mga artikulong nagbibigay ng impormasyong kinakailangan para sa solusyon, inirerekumenda kong ulitin ang mga ito).

Pangunahing impormasyon (maikli):

1. Ang derivative sa pagtaas ng mga pagitan ay may positibong senyales.

Kung ang derivative sa isang tiyak na punto mula sa isang tiyak na pagitan ay may positibong halaga, kung gayon ang graph ng function sa pagitan na ito ay tumataas.

2. Sa pagbaba ng mga pagitan, ang derivative ay may negatibong tanda.

Kung ang derivative sa isang tiyak na punto mula sa isang tiyak na pagitan ay may negatibong halaga, ang graph ng function ay bumababa sa pagitan na ito.

3. Ang derivative sa puntong x ay katumbas ng slope ng tangent na iginuhit sa graph ng function sa parehong punto.

4. Sa mga punto ng extremum (maximum-minimum) ng function, ang derivative ay katumbas ng zero. Ang tangent sa graph ng function sa puntong ito ay parallel sa x axis.

Ito ay dapat na malinaw na maunawaan at tandaan!!!

Ang derivative graph ay "nakalilito" sa maraming tao. Ang ilang mga tao ay hindi sinasadyang napagkakamalan itong graph ng mismong function. Samakatuwid, sa gayong mga gusali, kung saan makikita mo na ang isang graph ay ibinigay, agad na ituon ang iyong pansin sa kundisyon sa kung ano ang ibinigay: ang graph ng function o ang graph ng derivative ng function?

Kung ito ay isang graph ng derivative ng isang function, pagkatapos ay ituring ito bilang isang "reflection" ng mismong function, na nagbibigay lang sa iyo ng impormasyon tungkol sa function na iyon.

Isaalang-alang ang gawain:

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph y =f'(X)- derivative ng isang function f(X), tinukoy sa pagitan (–2;21).

Sasagutin namin ang mga sumusunod na katanungan:

1. Sa anong punto ng segment ang function f(X) tinatanggap pinakamataas na halaga.

Sa isang naibigay na agwat, ang derivative ng isang function ay negatibo, na nangangahulugan na ang pag-andar sa agwat na ito ay bumababa (ito ay bumababa mula sa kaliwang hangganan ng agwat sa kanan). Kaya, ang pinakamalaking halaga ng function ay nakakamit sa kaliwang hangganan ng segment, ibig sabihin, sa punto 7.

Sagot: 7

2. Sa anong punto sa segment ay ang function f(X)

Mula sa derivative graph na ito masasabi natin ang mga sumusunod. Sa isang naibigay na agwat, ang derivative ng function ay positibo, na nangangahulugan na ang pag-andar sa agwat na ito ay tumataas (ito ay tumataas mula sa kaliwang hangganan ng agwat sa kanan). Kaya, ang pinakamaliit na halaga ng function ay nakamit sa kaliwang hangganan ng segment, iyon ay, sa puntong x = 3.

Sagot: 3

3. Hanapin ang bilang ng pinakamataas na puntos ng function f(X)

Ang pinakamataas na puntos ay tumutugma sa mga punto kung saan nagbabago ang derivative sign mula sa positibo patungo sa negatibo. Isaalang-alang natin kung saan nagbabago ang tanda sa ganitong paraan.

Sa segment (3;6) ang derivative ay positibo, sa segment (6;16) ito ay negatibo.

Sa segment (16;18) ang derivative ay positibo, sa segment (18;20) ito ay negatibo.

Kaya, sa isang ibinigay na segment ang function ay may dalawang pinakamataas na puntos x = 6 at x = 18.

Sagot: 2

4. Hanapin ang bilang ng pinakamababang punto ng function f(X), na kabilang sa segment.

Ang mga minimum na puntos ay tumutugma sa mga punto kung saan nagbabago ang derivative sign mula sa negatibo patungo sa positibo. Ang aming derivative ay negatibo sa pagitan (0;3), at positibo sa pagitan (3;4).

Kaya, sa segment ang function ay mayroon lamang isang minimum na punto x = 3.

*Mag-ingat sa pagsusulat ng sagot - ang bilang ng mga puntos ay naitala, hindi ang halaga ng x na maaaring gawin dahil sa hindi pansin.

Sagot: 1

5. Hanapin ang bilang ng mga extremum point ng function f(X), na kabilang sa segment.

Pakitandaan kung ano ang kailangan mong hanapin dami extremum point (ito ay parehong maximum at minimum na puntos).

Ang mga extremum point ay tumutugma sa mga punto kung saan nagbabago ang sign ng derivative (mula sa positibo patungo sa negatibo o vice versa). Sa graph na ibinigay sa kundisyon, ito ang mga zero ng function. Ang derivative ay naglalaho sa mga puntos na 3, 6, 16, 18.

Kaya, ang function ay may 4 na extremum point sa segment.

Sagot: 4

6. Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas ng function f(X)

Mga agwat ng pagtaas ng function na ito f(X) tumutugma sa mga pagitan kung saan ang derivative nito ay positibo, iyon ay, ang mga pagitan (3;6) at (16;18). Pakitandaan na ang mga hangganan ng pagitan ay hindi kasama dito (mga round bracket - hindi kasama ang mga hangganan sa pagitan, square bracket - kasama). Ang mga pagitan na ito ay naglalaman ng mga integer na puntos 4, 5, 17. Ang kanilang kabuuan ay: 4 + 5 + 17 = 26

Sagot: 26

7. Hanapin ang mga pagitan ng pagpapababa ng function f(X) sa isang ibinigay na pagitan. Sa iyong sagot, ipahiwatig ang kabuuan ng mga integer na puntos na kasama sa mga pagitan na ito.

Pagbaba ng mga pagitan ng isang function f(X) tumutugma sa mga pagitan kung saan negatibo ang derivative ng function. Sa problemang ito ito ang mga pagitan (–2;3), (6;16), (18:21).

Ang mga interval na ito ay naglalaman ng mga sumusunod na integer point: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Ang kanilang kabuuan ay:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Sagot: 140

* Bigyang-pansin ang kondisyon: kung ang mga hangganan ay kasama sa pagitan o hindi. Kung ang mga hangganan ay kasama, kung gayon sa mga pagitan na isinasaalang-alang sa proseso ng solusyon ang mga hangganan na ito ay dapat ding isaalang-alang.

8. Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas ng function f(X)

Mga agwat ng pagtaas ng pag-andar f(X) tumutugma sa mga pagitan kung saan ang derivative ng function ay positibo. Naipahiwatig na natin ang mga ito: (3;6) at (16:18). Ang pinakamalaki sa kanila ay ang pagitan (3;6), ang haba nito ay 3.

Sagot: 3

9. Hanapin ang mga pagitan ng pagpapababa ng function f(X). Sa iyong sagot, ipahiwatig ang haba ng pinakamalaki sa kanila.

Pagbaba ng mga pagitan ng isang function f(X) tumutugma sa mga pagitan kung saan negatibo ang derivative ng function. Naipahiwatig na namin ang mga ito; ito ang mga pagitan (–2;3), (6;16), (18;21), ang kanilang mga haba ay ayon sa pagkakabanggit 5, 10, 3.

Ang haba ng pinakamalaki ay 10.

Sagot: 10

10. Hanapin ang bilang ng mga punto kung saan ang padaplis sa graph ng function f(X) kahanay o tumutugma sa tuwid na linya y = 2x + 3.

Ang halaga ng derivative sa punto ng tangency ay katumbas ng slope ng tangent. Dahil ang padaplis ay parallel sa tuwid na linya y = 2x + 3 o kasabay nito, ang kanilang mga angular coefficient ay katumbas ng 2. Nangangahulugan ito na kinakailangan upang mahanap ang bilang ng mga puntos kung saan ang y′(x 0) = 2. Sa geometriko, ito ay tumutugma sa bilang ng mga punto ng intersection ng derivative graph na may tuwid na linya na y = 2. Mayroong 4 na ganoong mga punto sa pagitan na ito.

Sagot: 4

11. Hanapin ang extremum point ng function f(X), na kabilang sa segment.

Ang extremum point ng isang function ay ang punto kung saan ang derivative nito ay katumbas ng zero, at sa paligid ng puntong ito ang derivative ay nagbabago ng sign (mula sa positibo patungo sa negatibo o vice versa). Sa segment, ang derivative graph ay nag-intersect sa x-axis, ang derivative ay nagbabago ng sign mula negatibo patungo sa positibo. Samakatuwid, ang puntong x = 3 ay isang extremum point.

Sagot: 3

12. Hanapin ang abscissa ng mga punto kung saan ang mga tangent sa graph y = f (x) ay parallel sa abscissa axis o nag-tutugma dito. Sa iyong sagot, ipahiwatig ang pinakamalaki sa kanila.

Ang tangent sa graph na y = f (x) ay maaaring maging parallel sa abscissa axis o kasabay nito, sa mga punto lamang kung saan ang derivative ay katumbas ng zero (ito ay maaaring maging extremum point o stationary point sa paligid kung saan ang derivative ay ginagawa. huwag baguhin ang tanda nito). Ipinapakita ng graph na ito na ang derivative ay zero sa mga puntos na 3, 6, 16,18. Ang pinakamalaki ay 18.

Maaari mong buuin ang iyong pangangatwiran sa ganitong paraan:

Ang halaga ng derivative sa punto ng tangency ay katumbas ng slope ng tangent. Dahil ang tangent ay parallel sa o coincides sa x-axis, ang slope nito ay 0 (sa katunayan, ang tangent ng isang anggulo ng zero degrees ay zero). Samakatuwid, hinahanap namin ang punto kung saan ang slope ay katumbas ng zero, at samakatuwid ang derivative ay katumbas ng zero. Ang derivative ay katumbas ng zero sa punto kung saan ang graph nito ay nag-intersect sa x-axis, at ito ay mga puntos na 3, 6, 16,18.

Sagot: 18

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph y =f'(X)- derivative ng isang function f(X), tinukoy sa pagitan (–8;4). Sa anong punto ng segment [–7;–3] ang function f(X) kumukuha ng pinakamaliit na halaga.

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph y =f'(X)- derivative ng isang function f(X), tinukoy sa pagitan (–7;14). Hanapin ang bilang ng mga maximum na puntos ng function f(X), na kabilang sa segment [–6;9].

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph y =f'(X)- derivative ng isang function f(X), tinukoy sa pagitan (–18;6). Hanapin ang bilang ng pinakamababang punto ng function f(X), na kabilang sa segment [–13;1].

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph y =f'(X)- derivative ng isang function f(X), tinukoy sa pagitan (–11; –11). Hanapin ang bilang ng mga extremum point ng function f(X), kabilang sa segment [–10; –10].

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph y =f'(X)- derivative ng isang function f(X), tinukoy sa pagitan (–7;4). Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas ng function f(X). Sa iyong sagot, ipahiwatig ang kabuuan ng mga integer na puntos na kasama sa mga agwat na ito.

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph y =f'(X)- derivative ng isang function f(X), tinukoy sa pagitan (–5;7). Hanapin ang mga pagitan ng pagpapababa ng function f(X). Sa iyong sagot, ipahiwatig ang kabuuan ng mga integer na puntos na kasama sa mga agwat na ito.

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph y =f'(X)- derivative ng isang function f(X), tinukoy sa pagitan (–11;3). Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas ng function f(X). Sa iyong sagot, ipahiwatig ang haba ng pinakamalaki sa kanila.

F Ang figure ay nagpapakita ng isang graph

Ang mga kondisyon ng problema ay pareho (na aming isinasaalang-alang). Hanapin ang kabuuan ng tatlong numero:

1. Ang kabuuan ng mga parisukat ng extrema ng function na f (x).

2. Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga parisukat ng kabuuan ng pinakamataas na puntos at ang kabuuan ng pinakamababang puntos ng function na f (x).

3. Ang bilang ng mga tangent sa f (x) na kahanay sa tuwid na linya y = –3x + 5.

Ang unang magbibigay ng tamang sagot ay makakatanggap ng premyong insentibo na 150 rubles. Isulat ang iyong mga sagot sa mga komento. Kung ito ang iyong unang komento sa blog, hindi ito lalabas kaagad, ngunit ilang sandali pa (huwag mag-alala, ang oras na isinulat ang komento ay naitala).

Good luck sa iyo!

Pinakamahusay na pagbati, Alexander Krutitsikh.

P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo sa akin ang tungkol sa site sa mga social network.

Ang maximum at minimum na mga puntos ay ang mga extremum point ng function, na matatagpuan ayon sa isang tiyak na algorithm. Ito ang pangunahing tagapagpahiwatig kapag naghahanap ng isang function. Ang isang puntong x0 ay isang pinakamababang punto kung para sa lahat ng x mula sa isang tiyak na kapitbahayan x0 ang hindi pagkakapantay-pantay f(x) ? f(x0) (para sa pinakamataas na punto, ang objectly inverse inequality ay f(x) ? f(x0)).

Mga tagubilin

1. Hanapin ang derivative ng function. Ang derivative ay nagpapakilala sa metamorphosis ng isang function sa isang tiyak na punto at tinukoy bilang ang limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento, ang isa na may posibilidad na zero. Upang mahanap ito, gamitin ang talahanayan ng mga derivatives. Sabihin nating ang derivative ng function na y = x3 ay magiging katumbas ng y’ = x2.

2. I-equate ang derivative na ito sa zero (sa kasong ito x2=0).

3. Hanapin ang variable na halaga ng isang ibinigay na expression. Ito ang magiging mga halaga kung saan ang derivative na ito ay magiging katumbas ng 0. Upang gawin ito, palitan ang mga arbitrary na numero sa expression sa halip na x, kung saan ang buong expression ay magiging zero. Sabihin nating:2-2×2= 0(1-x)(1+x) = 0x1= 1, x2 = -1

4. I-plot ang mga nakuhang halaga sa linya ng coordinate at kalkulahin ang sign ng derivative para sa lahat ng nakuhang pagitan. Ang mga puntos ay minarkahan sa linya ng coordinate, na kinuha bilang paunang salita ng sanggunian. Upang kalkulahin ang halaga sa mga pagitan, palitan ang mga arbitrary na halaga na nakakatugon sa pamantayan. Sabihin nating, para sa nakaraang pag-andar hanggang sa pagitan -1, pinapayagan na mas gusto ang halaga -2. Sa pagitan mula -1 hanggang 1, maaari kang pumili ng 0, at para sa mga value na higit sa 1, piliin ang 2. Ipalit ang mga numerong ito sa derivative at alamin ang sign ng derivative. Sa kasong ito, ang derivative na may x = -2 ay magiging katumbas ng -0.24, i.e. negatibo at magkakaroon ng minus sign sa pagitan na ito. Kung x=0, kung gayon ang halaga ay magiging katumbas ng 2, na nangangahulugang isang positibong tanda ang inilalagay sa pagitan na ito. Kung x=1, kung gayon ang derivative ay magiging katumbas din ng -0.24 at samakatuwid ay naglalagay ng minus.

5. Kung, kapag dumadaan sa isang punto sa linya ng coordinate, binago ng derivative ang sign nito mula minus hanggang plus, kung gayon ito ay isang minimum na punto, at kung mula sa plus hanggang minus, kung gayon ito ay isang maximum na punto.

Ang pinakamataas na punto ng isang function, kasama ang pinakamababang puntos, ay tinatawag na extremum point. Sa mga puntong ito binabago ng function ang kalikasan ng pag-uugali. Ang Extrema ay tinutukoy sa limitadong mga agwat ng numero at palaging lokal.

Mga tagubilin

1. Ang proseso ng paghahanap ng local extrema ay tinatawag na function mining at ginagawa sa pamamagitan ng pagtingin sa una at pangalawang derivatives ng function. Bago simulan ang iyong pananaliksik, siguraduhin na ang hanay ng mga halaga ng argumento ay kabilang sa mga posibleng halaga. Sabihin nating, para sa function na F=1/x, ang halaga ng argument na x=0 ay hindi katanggap-tanggap. O para sa function na Y=tg(x) ang argument ay hindi maaaring magkaroon ng value na x=90°.

2. Siguraduhin na ang Y function ay naiba-iba sa bawat ibinigay na pagitan. Hanapin ang unang derivative ng Y'. Tila, bago maabot ang punto ng lokal na maximum, ang pag-andar ay tumataas, at kapag dumaan sa maximum, ang pag-andar ay bumababa. Ang unang derivative, sa pisikal na kahulugan nito, ay nagpapakilala sa rate ng metamorphosis ng isang function. Habang tumataas ang function, positibong halaga ang rate ng prosesong ito. Kapag dumadaan sa lokal na maximum, ang function ay nagsisimulang bumaba, at ang rate ng proseso ng metamorphosis ng function ay nagiging negatibo. Ang paglipat ng rate ng metamorphosis ng isang function sa pamamagitan ng zero ay nangyayari sa punto ng lokal na maximum.

3. Dahil dito, sa segment ng pagtaas ng function, ang unang derivative nito ay positibo para sa lahat ng mga halaga ng argumento sa pagitan na ito. At kabaligtaran - sa rehiyon kung saan bumababa ang function, ang halaga ng unang derivative ay mas mababa sa zero. Sa lokal na pinakamataas na punto, ang halaga ng unang derivative ay zero. Tila, upang makita ang lokal na maximum ng isang function, ito ay kinakailangan upang makita ang punto x kung saan ang unang derivative ng function na ito ay katumbas ng zero. Para sa anumang halaga ng argumento sa segment sa ilalim ng pag-aaral xx? - negatibo.

4. Para mahanap si x? lutasin ang equation na Y’=0. Ang halaga ng Y(x?) ay magiging lokal na maximum kung ang pangalawang derivative ng function sa puntong ito ay mas mababa sa zero. Hanapin ang pangalawang derivative ng Y", palitan ang halaga ng argumentong x = x sa resultang expression? at ihambing ang resulta ng mga kalkulasyon sa zero.

5. Sabihin nating ang function na Y=-x?+x+1 sa pagitan mula -1 hanggang 1 ay may pare-parehong derivative na Y’=-2x+1. Sa x=1/2 ang derivative ay zero, at kapag dumadaan sa puntong ito ang derivative ay nagbabago ng sign mula sa "+" hanggang sa "-". Ang pangalawang derivative ng function na Y"=-2. Mag-plot ng point-by-point graph ng function na Y=-x?+x+1 at suriin kung ang puntong may abscissa x=1/2 ay lokal na maximum sa isang partikular na segment ng number axis.

Video sa paksa

Kapaki-pakinabang na payo
Upang mahanap ang derivative, may mga online na serbisyo na kinakalkula ang mga kinakailangang halaga at ipinapakita ang resulta. Sa mga naturang site, posibleng makakita ng mga derivatives hanggang sa ika-5 order.

Mula sa artikulong ito matututunan ng mambabasa ang tungkol sa kung ano ang isang extremum ng functional na halaga, pati na rin ang tungkol sa mga tampok ng paggamit nito sa mga praktikal na aktibidad. Ang pag-aaral ng gayong konsepto ay lubhang mahalaga para sa pag-unawa sa mga pundasyon ng mas mataas na matematika. Ang paksang ito ay mahalaga para sa mas malalim na pag-aaral ng kurso.

Ano ang isang extremum?

Sa kurso sa paaralan, maraming mga kahulugan ng konseptong "extremum" ang ibinigay. Nilalayon ng artikulong ito na magbigay ng pinakamalalim at pinakamalinaw na pag-unawa sa termino para sa mga walang alam sa isyu. Kaya, ang termino ay nauunawaan kung hanggang saan ang functional interval ay nakakakuha ng isang minimum o maximum na halaga sa isang partikular na hanay.

Ang extremum ay parehong pinakamababang halaga ng isang function at ang maximum sa parehong oras. Mayroong isang minimum na punto at isang maximum na punto, iyon ay, ang matinding halaga ng argumento sa graph. Ang mga pangunahing agham na gumagamit ng konseptong ito ay:

mga istatistika;
kontrol ng makina;
econometrics.

Ang mga extremum point ay may mahalagang papel sa pagtukoy ng sequence ibinigay na function. Ang coordinate system sa graph sa sa kanyang pinakamahusay nagpapakita ng pagbabago sa matinding posisyon depende sa pagbabago sa functionality.

Extrema ng derivative function

Mayroon ding ganitong kababalaghan bilang "derivative". Ito ay kinakailangan upang matukoy ang extremum point. Mahalagang huwag malito ang pinakamababa o pinakamataas na puntos sa pinakamataas at pinakamababang halaga. Ang mga ito ay magkakaibang mga konsepto, bagaman maaaring sila ay magkatulad.

Ang halaga ng function ay ang pangunahing kadahilanan sa pagtukoy kung paano hanapin ang pinakamataas na punto. Ang derivative ay hindi nabuo mula sa mga halaga, ngunit eksklusibo mula sa matinding posisyon nito sa isa o ibang pagkakasunud-sunod.

Ang derivative mismo ay tinutukoy batay sa mga extremum point na ito, at hindi ang pinakamalaking o pinakamababang halaga. Sa mga paaralang Ruso, ang linya sa pagitan ng dalawang konsepto na ito ay hindi malinaw na iginuhit, na nakakaapekto sa pag-unawa sa paksang ito sa pangkalahatan.

Isaalang-alang natin ngayon ang ganitong konsepto bilang "acute extremum". Ngayon, mayroong isang matinding minimum na halaga at isang matinding maximum na halaga. Ang kahulugan ay ibinigay alinsunod sa pag-uuri ng Russia ng mga kritikal na punto ng isang function. Ang konsepto ng isang extremum point ay ang batayan para sa paghahanap ng mga kritikal na punto sa isang graph.

Upang tukuyin ang gayong konsepto, ginamit nila ang teorama ni Fermat. Ito ang pinakamahalaga sa pag-aaral ng mga matinding punto at nagbibigay ng isang malinaw na ideya ng kanilang pag-iral sa isang anyo o iba pa. Upang matiyak ang sukdulan, mahalagang lumikha ng ilang partikular na kundisyon para sa pagbaba o pagtaas sa graph.

Upang tumpak na masagot ang tanong na "paano mahahanap ang pinakamataas na punto", dapat mong sundin ang mga alituntuning ito:

Paghahanap ng eksaktong domain ng kahulugan sa graph.
Hanapin ang derivative ng isang function at ang extremum point.
Lutasin ang mga karaniwang hindi pagkakapantay-pantay para sa domain kung saan matatagpuan ang argumento.
Mapatunayan kung aling mga function ang isang punto sa isang graph ay tinukoy at tuloy-tuloy.

Pansin! Ang paghahanap para sa kritikal na punto ng isang function ay posible lamang kung mayroong isang derivative ng hindi bababa sa pangalawang order, na sinisiguro ng isang mataas na proporsyon ng pagkakaroon ng isang extremum point.

Kinakailangang kundisyon para sa extremum ng isang function

Upang magkaroon ng extremum, mahalaga na mayroong parehong minimum at maximum na mga puntos. Kung ang panuntunang ito ay bahagyang sinusunod lamang, kung gayon ang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum ay nilabag.

Ang bawat pag-andar sa anumang posisyon ay dapat na maiiba upang makilala ang mga bagong kahulugan nito. Mahalagang maunawaan na ang kaso ng isang puntong papunta sa zero ay hindi ang pangunahing prinsipyo para sa paghahanap ng naiba-iba na punto.

Ang isang matinding extremum, pati na rin ang isang minimum ng isang function, ay isang napakahalagang aspeto ng paglutas ng isang mathematical na problema gamit ang matinding mga halaga. Upang mas maunawaan ang bahaging ito, mahalagang sumangguni sa mga halaga ng tabular para sa pagtukoy ng pag-andar.

Pananaliksik ng Buong Kahulugan

Pag-plot ng Value Graph

1. Pagpapasiya ng mga punto ng pagtaas at pagbaba ng mga halaga.

2. Paghahanap ng mga discontinuity point, extremum at intersection na may mga coordinate axes.

3. Ang proseso ng pagtukoy ng mga pagbabago sa posisyon sa isang graph.

4. Pagpapasiya ng tagapagpahiwatig at direksyon ng convexity at convexity, na isinasaalang-alang ang pagkakaroon ng mga asymptotes.

5. Paglikha ng isang talahanayan ng buod ng pananaliksik mula sa punto ng view ng pagtukoy ng mga coordinate nito.

6. Paghahanap ng mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng sukdulan at matalim na mga punto.

7. Pagpapasiya ng convexity at concavity ng isang curve.

8. Ang pag-plot ng isang graph na isinasaalang-alang ang pananaliksik ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang minimum o maximum.

Ang pangunahing elemento pagdating sa pagtatrabaho sa mga sukdulan ay ang tumpak na pagbuo ng graph nito.

Ang mga guro ng paaralan ay hindi madalas na binibigyang pansin ang gayong mahalagang aspeto, na isang matinding paglabag sa proseso ng edukasyon.

Ang pagbuo ng isang graph ay nangyayari lamang batay sa mga resulta ng pag-aaral ng functional data, pagtukoy ng acute extrema, pati na rin ang mga punto sa graph.

Ang matalim na extrema ng derivative function ay ipinapakita sa isang plot ng eksaktong mga halaga, gamit karaniwang pamamaraan pagpapasiya ng mga asymptotes.