Mga halimbawa ng paglutas ng mga kumplikadong logarithmic inequalities sa Unified State Exam. Lahat tungkol sa logarithmic inequalities
LOGARITHMIC INEQUALITIES SA PAGGAMIT
Sechin Mikhail Alexandrovich
Maliit na Academy of Sciences para sa mga Mag-aaral ng Republika ng Kazakhstan "Iskatel"
MBOU "Sovetskaya Secondary School No. 1", ika-11 baitang, bayan. Sovetsky Sovetsky distrito
Gunko Lyudmila Dmitrievna, guro ng MBOU"Soviet Secondary School No. 1"
distrito ng Sovetsky
Layunin ng gawain: pag-aaral ng mekanismo ng solusyon hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic C3 gamit ang hindi karaniwang mga pamamaraan, pagkilala kawili-wiling mga katotohanan logarithm
Paksa ng pananaliksik:
3) Matutong lutasin ang mga partikular na logarithmic inequalities C3 gamit ang mga non-standard na pamamaraan.
Mga resulta:
Nilalaman
Panimula………………………………………………………………………………………….4
Kabanata 1. Kasaysayan ng isyu……………………………………………………...5
Kabanata 2. Koleksyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ……………………… 7
2.1. Katumbas na mga transition at ang pangkalahatang paraan ng mga agwat…………… 7
2.2. Paraan ng rasyonalisasyon……………………………………………………………… 15
2.3. Hindi pamantayang pagpapalit………………………………………………………… ............ ..... 22
2.4. Mga gawaing may mga bitag……………………………………………………27
Konklusyon………………………………………………………………………… 30
Panitikan………………………………………………………………. 31
Panimula
Ako ay nasa ika-11 na baitang at planong pumasok sa isang unibersidad kung saan ang pangunahing asignatura ay matematika. Iyon ang dahilan kung bakit madalas akong nagtatrabaho sa mga problema sa bahagi C. Sa gawain C3, kailangan kong lutasin ang isang hindi karaniwang hindi pagkakapantay-pantay o sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay, kadalasang nauugnay sa logarithms. Kapag naghahanda para sa pagsusulit, nahaharap ako sa problema ng kakulangan ng mga pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ng pagsusulit na inaalok sa C3. Mga pamamaraan na pinag-aaralan sa kurikulum ng paaralan sa paksang ito, huwag magbigay ng batayan para sa paglutas ng mga gawain sa C3. Iminungkahi ng guro sa matematika na magtrabaho ako sa mga takdang-aralin sa C3 nang nakapag-iisa sa ilalim ng kanyang patnubay. Bilang karagdagan, interesado ako sa tanong: nakatagpo ba tayo ng mga logarithms sa ating buhay?
Dahil dito, napili ang paksa:
"Mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic sa Pinag-isang State Exam"
Layunin ng gawain: pag-aaral ng mekanismo para sa paglutas ng mga problema sa C3 gamit ang mga di-karaniwang pamamaraan, pagkilala sa mga kagiliw-giliw na katotohanan tungkol sa logarithm.
Paksa ng pananaliksik:
1) Hanapin ang kinakailangang impormasyon tungkol sa hindi karaniwang mga pamamaraan mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic.
2) Maghanap ng karagdagang impormasyon tungkol sa logarithms.
3) Matutong magdesisyon mga tiyak na gawain C3 gamit ang mga di-karaniwang pamamaraan.
Mga resulta:
Ang praktikal na kahalagahan ay nakasalalay sa pagpapalawak ng kagamitan para sa paglutas ng mga problema sa C3. Ang materyal na ito maaaring gamitin sa ilang mga aralin, para sa mga club, at mga elective na klase sa matematika.
Ang produkto ng proyekto ay ang koleksyon na "C3 Logarithmic Inequalities with Solutions."
Kabanata 1. Background
Sa buong ika-16 na siglo, ang bilang ng tinatayang mga kalkulasyon ay mabilis na tumaas, pangunahin sa astronomiya. Ang pagpapabuti ng mga instrumento, pag-aaral ng mga paggalaw ng planeta at iba pang gawain ay nangangailangan ng napakalaki, minsan maraming taon, mga kalkulasyon. Ang Astronomy ay nasa tunay na panganib na malunod sa hindi natutupad na mga kalkulasyon. Ang mga paghihirap ay lumitaw sa ibang mga lugar, halimbawa, sa negosyo ng seguro, kailangan ang mga talahanayan ng tambalang interes iba't ibang kahulugan porsyento. Ang pangunahing kahirapan ay ang pagpaparami at paghahati ng mga multi-digit na numero, lalo na ang mga trigonometriko na dami.
Ang pagtuklas ng logarithms ay batay sa mga katangian ng mga pag-unlad na kilala sa pagtatapos ng ika-16 na siglo. Nagsalita si Archimedes tungkol sa koneksyon sa pagitan ng mga termino ng geometric progression q, q2, q3, ... at ang arithmetic progression ng kanilang mga exponents 1, 2, 3,... sa Psalm. Ang isa pang kinakailangan ay ang pagpapalawig ng konsepto ng degree sa negatibo at fractional exponents. Itinuro ng maraming may-akda na ang multiplication, division, exponentiation at root extraction sa geometric progression ay tumutugma sa arithmetic - sa parehong pagkakasunud-sunod - karagdagan, pagbabawas, multiplikasyon at paghahati.
Narito ang ideya ng logarithm bilang isang exponent.
Sa kasaysayan ng pag-unlad ng doktrina ng logarithms, maraming mga yugto ang lumipas.
Stage 1
Ang logarithms ay naimbento nang hindi lalampas sa 1594 nang nakapag-iisa ng Scottish Baron Napier (1550-1617) at makalipas ang sampung taon ng Swiss mekaniko na si Bürgi (1552-1632). Parehong gustong magbigay ng bago, maginhawang paraan ng mga kalkulasyon ng aritmetika, bagama't nilapitan nila ang problemang ito sa iba't ibang paraan. Napier kinematically ipinahayag ang logarithmic function at sa gayon ay pumasok sa isang bagong larangan ng function theory. Nanatili si Bürgi sa batayan ng pagsasaalang-alang sa mga discrete progressions. Gayunpaman, ang kahulugan ng logarithm para sa pareho ay hindi katulad ng modernong isa. Ang terminong "logarithm" (logarithmus) ay kabilang sa Napier. Ito ay lumitaw mula sa isang kumbinasyon ng mga salitang Griyego: logos - "relasyon" at ariqmo - "numero", na nangangahulugang "bilang ng mga relasyon". Sa una, gumamit si Napier ng ibang termino: numeri artificiales - "artificial number", kumpara sa numeri naturalts - "natural na mga numero".
Noong 1615, sa pakikipag-usap kay Henry Briggs (1561-1631), isang propesor ng matematika sa Gresh College sa London, iminungkahi ni Napier na kunin ang zero bilang logarithm ng isa, at 100 bilang logarithm ng sampu, o, kung ano ang katumbas ng pareho. bagay, 1 lang. Ganito ang mga decimal logarithms at Ang unang logarithmic table ay na-print. Nang maglaon, ang mga talahanayan ni Briggs ay dinagdagan ng Dutch bookeller at mahilig sa matematika na si Adrian Flaccus (1600-1667). Napier at Briggs, bagama't mas maaga silang dumating sa logarithms kaysa sa iba, inilathala ang kanilang mga talahanayan nang mas huli kaysa sa iba - noong 1620. Ang mga sign log at Log ay ipinakilala noong 1624 ni I. Kepler. Ang terminong "natural logarithm" ay ipinakilala ni Mengoli noong 1659 at sinundan ni N. Mercator noong 1668, at ang guro sa London na si John Speidel ay naglathala ng mga talahanayan ng natural na logarithms ng mga numero mula 1 hanggang 1000 sa ilalim ng pangalang "New Logarithms".
Ang unang logarithmic table ay nai-publish sa Russian noong 1703. Ngunit sa lahat ng logarithmic table mayroong mga error sa pagkalkula. Ang unang mga talahanayan na walang error ay nai-publish noong 1857 sa Berlin, na pinoproseso ng German mathematician na si K. Bremiker (1804-1877).
Stage 2
Ang karagdagang pag-unlad ng teorya ng logarithms ay nauugnay sa higit pa malawakang paggamit analytical geometry at infinitesimal calculus. Sa oras na iyon, ang koneksyon sa pagitan ng squaring ng isang equilateral hyperbola at natural na logarithm. Ang teorya ng logarithms ng panahong ito ay nauugnay sa mga pangalan ng isang bilang ng mga mathematician.
German mathematician, astronomer at engineer na si Nikolaus Mercator sa isang sanaysay
Ang "Logarithmotechnics" (1668) ay nagbibigay ng isang serye na nagbibigay ng pagpapalawak ng ln(x+1) sa
kapangyarihan ng x:
Ang ekspresyong ito ay eksaktong tumutugma sa kanyang tren ng pag-iisip, bagaman, siyempre, hindi niya ginamit ang mga palatandaan d, ..., ngunit mas masalimuot na simbolismo. Sa pagkatuklas ng logarithmic series, nagbago ang pamamaraan para sa pagkalkula ng logarithms: nagsimula silang matukoy gamit ang infinite series. Sa kanyang mga lektura" Elementarya na matematika mula sa mas mataas na pananaw,” nabasa noong 1907-1908, iminungkahi ni F. Klein ang paggamit ng pormula bilang panimulang punto para sa pagbuo ng teorya ng logarithms.
Stage 3
Kahulugan ng isang logarithmic function bilang isang inverse function
exponential, logarithm bilang isang exponent ng isang ibinigay na base
ay hindi na-formula kaagad. Sanaysay ni Leonhard Euler (1707-1783)
"Introduction to the Analysis of Infinitesimals" (1748) nagsilbi sa karagdagang
pagbuo ng teorya ng logarithmic function. kaya,
134 na taon na ang lumipas mula noong unang ipinakilala ang logarithms
(nagbibilang mula 1614), bago dumating ang mga mathematician sa kahulugan
ang konsepto ng logarithm, na ngayon ay batayan ng kurso sa paaralan.
Kabanata 2. Koleksyon ng mga logarithmic inequalities
2.1. Mga katumbas na transition at ang pangkalahatang paraan ng mga agwat.
Mga katumbas na transition
, kung a > 1
, kung 0 <
а <
1
Pangkalahatang paraan ng pagitan
Ang pamamaraang ito ay ang pinaka-unibersal para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng halos anumang uri. Ang diagram ng solusyon ay ganito:
1. Dalhin ang hindi pagkakapantay-pantay sa anyo kung saan ang function sa kaliwang bahagi ay 
, at sa kanan 0.
2. Hanapin ang domain ng function .
3. Hanapin ang mga zero ng function , ibig sabihin, lutasin ang equation 
(at ang paglutas ng isang equation ay karaniwang mas madali kaysa sa paglutas ng isang hindi pagkakapantay-pantay).
4. Iguhit ang domain ng kahulugan at mga zero ng function sa number line.
5. Tukuyin ang mga palatandaan ng function sa mga nakuhang pagitan.
6. Pumili ng mga agwat kung saan kinukuha ng function ang mga kinakailangang halaga at isulat ang sagot.
Halimbawa 1.
Solusyon:
Ilapat natin ang paraan ng pagitan
saan
Para sa mga halagang ito, ang lahat ng mga expression sa ilalim ng logarithmic sign ay positibo.
Sagot:
Halimbawa 2.
Solusyon:
1st paraan . Ang ADL ay tinutukoy ng hindi pagkakapantay-pantay x> 3. Pagkuha ng logarithms para sa ganoon x sa base 10, nakukuha namin
Ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring malutas sa pamamagitan ng paglalapat ng mga panuntunan sa pagpapalawak, i.e. paghahambing ng mga kadahilanan sa zero. Gayunpaman, sa kasong ito ay madaling matukoy ang mga agwat ng patuloy na pag-sign ng function
samakatuwid, ang paraan ng pagitan ay maaaring ilapat.
Function f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ ay tuloy-tuloy sa x> 3 at naglalaho sa mga punto x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Kaya, tinutukoy namin ang mga pagitan ng pare-parehong pag-sign ng function f(x):
Sagot:
2nd paraan . Direktang ilapat natin ang mga ideya ng paraan ng pagitan sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.
Upang gawin ito, tandaan na ang mga expression a b- a c at ( a - 1)(b- 1) magkaroon ng isang tanda. Pagkatapos ang aming hindi pagkakapantay-pantay sa x> 3 ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay
o
Ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay nalulutas gamit ang paraan ng pagitan
Sagot:
Halimbawa 3.
Solusyon:
Ilapat natin ang paraan ng pagitan
Sagot:
Halimbawa 4.
Solusyon:
Mula noong 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 para sa lahat ng tunay x, Iyon
Upang malutas ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ginagamit namin ang paraan ng pagitan
Sa unang hindi pagkakapantay-pantay ginagawa namin ang kapalit
pagkatapos ay dumating tayo sa hindi pagkakapantay-pantay 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay -0.5< y < 1.
Mula saan, mula noon
nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay
na isinasagawa kapag x, para saan 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Ngayon, isinasaalang-alang ang solusyon sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema, sa wakas ay nakuha natin
Sagot:
Halimbawa 5.
Solusyon:
Ang hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng isang koleksyon ng mga sistema
o
Gamitin natin ang interval method o
Sagot:
Halimbawa 6.
Solusyon:
Ang hindi pagkakapantay-pantay ay sistema
Hayaan
Pagkatapos y > 0,
at ang unang hindi pagkakapantay-pantay
sistema ay tumatagal ng form
o, paglalahad
quadratic trinomial factored,
Paglalapat ng paraan ng pagitan sa huling hindi pagkakapantay-pantay,
nakikita natin na ang mga solusyon nito ay nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon y> 0 ang magiging lahat y > 4.
Kaya, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng sistema:
Kaya, ang mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay lahat
2.2. Paraan ng rasyonalisasyon.
Dati, hindi nalutas ang hindi pagkakapantay-pantay gamit ang paraan ng rasyonalisasyon; Ito ang "bagong moderno" mabisang paraan mga solusyon sa exponential at logarithmic inequalities" (sipi mula sa aklat ni S.I. Kolesnikova)
At kahit na kilala siya ng guro, may takot - kilala ba siya ng eksperto sa Unified State Exam, at bakit hindi nila siya ibigay sa paaralan? May mga sitwasyon nang sinabi ng guro sa mag-aaral: "Saan mo ito nakuha - 2."
Ngayon ang pamamaraan ay itinataguyod sa lahat ng dako. At para sa mga eksperto ay mayroon mga alituntunin nauugnay sa pamamaraang ito, at sa "The Most kumpletong mga edisyon tipikal na mga pagpipilian..." Ginagamit ng Solution C3 ang paraang ito.
MAGANDANG PAMAMARAAN!
"Magic Table"
Sa ibang source
Kung a >1 at b >1, pagkatapos ay mag-log a b >0 at (a -1)(b -1)>0;
Kung a >1 at 0 kung 0<a<1 и b
>1, pagkatapos ay mag-log a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
kung 0<a<1 и 00 at (a -1)(b -1)>0. Ang pangangatwiran na isinasagawa ay simple, ngunit makabuluhang pinapasimple ang solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic. Halimbawa 4.
log x (x 2 -3)<0
Solusyon:
Halimbawa 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Solusyon: Halimbawa 6.
Upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay na ito, sa halip na denominator, isinusulat namin ang (x-1-1)(x-1), at sa halip na numerator, isinusulat namin ang produkto (x-1)(x-3-9 + x). Halimbawa 7.
Halimbawa 8.
2.3. Hindi karaniwang pagpapalit. Halimbawa 1.
Halimbawa 2.
Halimbawa 3.
Halimbawa 4.
Halimbawa 5.
Halimbawa 6.
Halimbawa 7.
log 4 (3 x -1)log 0.25 Gawin natin ang kapalit na y=3 x -1; pagkatapos ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay magkakaroon ng anyo Log 4 log 0.25 kasi log 0.25 Gawin natin ang kapalit na t =log 4 y at makuha ang hindi pagkakapantay-pantay t 2 -2t +≥0, ang solusyon kung saan ay ang mga pagitan - Kaya, upang mahanap ang mga halaga ng y mayroon kaming isang hanay ng dalawang simpleng hindi pagkakapantay-pantay Samakatuwid, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng set ng dalawang exponential inequalities, Ang solusyon sa unang hindi pagkakapantay-pantay ng set na ito ay ang interval 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Halimbawa 8.
Solusyon:
Ang hindi pagkakapantay-pantay ay sistema Ang solusyon sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay na tumutukoy sa ODZ ay ang hanay ng mga iyon x,
para saan x > 0.
Upang malutas ang unang hindi pagkakapantay-pantay ginagawa namin ang pagpapalit Pagkatapos ay nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay o Ang hanay ng mga solusyon sa huling hindi pagkakapantay-pantay ay matatagpuan sa pamamagitan ng pamamaraan mga pagitan: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, nakukuha namin o Ang daming ganyan x, na nagbibigay-kasiyahan sa huling hindi pagkakapantay-pantay kabilang sa ODZ ( x> 0), samakatuwid, ay isang solusyon sa system, at samakatuwid ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay. Sagot: 2.4. Mga gawaing may mga bitag. Halimbawa 1.
Solusyon. Ang ODZ ng hindi pagkakapantay-pantay ay lahat ng x ay nakakatugon sa kundisyon 0 Halimbawa 2.
log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.
Sagot. (0; 0.5)U.
Sagot :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , pagkatapos ay muling isusulat namin ang huling hindi pagkakapantay-pantay bilang 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Ang solusyon sa set na ito ay ang mga pagitan 0<у≤2 и 8≤у<+.
ibig sabihin, mga pinagsama-sama 
. Kaya, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan para sa lahat ng mga halaga ng x mula sa mga pagitan 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Samakatuwid, ang lahat ng x ay mula sa pagitan 0
Konklusyon
Hindi madaling makahanap ng mga partikular na pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa C3 mula sa isang malaking kasaganaan ng iba't ibang mga mapagkukunang pang-edukasyon. Sa kurso ng gawaing ginawa, nakapag-aral ako ng mga di-karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga kumplikadong hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic. Ang mga ito ay: katumbas na mga transition at ang pangkalahatang paraan ng mga pagitan, ang paraan ng rasyonalisasyon , hindi karaniwang pagpapalit , mga gawain na may mga bitag sa ODZ. Ang mga pamamaraang ito ay hindi kasama sa kurikulum ng paaralan.
Gamit ang iba't ibang paraan, nalutas ko ang 27 hindi pagkakapantay-pantay na iminungkahi sa Unified State Exam sa bahagi C, katulad ng C3. Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito sa mga solusyon sa pamamagitan ng mga pamamaraan ay naging batayan ng koleksyon na "C3 Logarithmic Inequalities with Solutions," na naging produkto ng proyekto ng aking aktibidad. Ang hypothesis na ipinakita ko sa simula ng proyekto ay nakumpirma: Ang mga problema sa C3 ay mabisang malulutas kung alam mo ang mga pamamaraang ito.
Bilang karagdagan, natuklasan ko ang mga kagiliw-giliw na katotohanan tungkol sa logarithms. Ito ay kawili-wili para sa akin na gawin ito. Ang aking mga produkto ng proyekto ay magiging kapaki-pakinabang para sa parehong mga mag-aaral at guro.
Mga konklusyon:
Kaya, ang layunin ng proyekto ay nakamit at ang problema ay nalutas na. At natanggap ko ang pinakakumpleto at iba't ibang karanasan ng mga aktibidad ng proyekto sa lahat ng yugto ng trabaho. Habang nagtatrabaho sa proyekto, ang aking pangunahing epekto sa pag-unlad ay sa kakayahan sa pag-iisip, mga aktibidad na nauugnay sa mga lohikal na operasyon ng kaisipan, ang pagbuo ng kakayahang malikhain, personal na inisyatiba, responsibilidad, tiyaga, at aktibidad.
Isang garantiya ng tagumpay kapag gumagawa ng isang proyekto sa pananaliksik para sa Nakuha ko ang: makabuluhang karanasan sa paaralan, ang kakayahang makakuha ng impormasyon mula sa iba't ibang mga mapagkukunan, suriin ang pagiging maaasahan nito, at ranggo ito ayon sa kahalagahan.
Bilang karagdagan sa direktang kaalaman sa paksa sa matematika, pinalawak ko ang aking mga praktikal na kasanayan sa larangan ng computer science, nakakuha ng bagong kaalaman at karanasan sa larangan ng sikolohiya, nakipag-ugnayan sa mga kaklase, at natutong makipagtulungan sa mga matatanda. Sa panahon ng mga aktibidad ng proyekto, nabuo ang mga kasanayan sa pang-organisasyon, intelektwal at komunikasyon sa pangkalahatang edukasyon.
Panitikan
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable (karaniwang mga gawain C3).
2. Malkova A. G. Paghahanda para sa Unified State Exam sa Mathematics.
3. Samarova S. S. Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic.
4. Matematika. Koleksyon ng mga gawa sa pagsasanay na na-edit ni A.L. Semenov at I.V. Yashchenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-
Sa tingin mo ba may oras pa bago ang Unified State Exam at magkakaroon ka ng oras para maghanda? Marahil ay ganito. Ngunit sa anumang kaso, mas maaga ang mag-aaral ay nagsisimula sa paghahanda, mas matagumpay na naipasa niya ang mga pagsusulit. Ngayon kami ay nagpasya na magtalaga ng isang artikulo sa logarithmic inequalities. Ito ay isa sa mga gawain, na nangangahulugan ng isang pagkakataon upang makakuha ng karagdagang kredito.
Alam mo na ba kung ano ang logarithm? Sana talaga. Ngunit kahit na wala kang sagot sa tanong na ito, hindi ito problema. Ang pag-unawa kung ano ang logarithm ay napakasimple.
Bakit 4? Kailangan mong itaas ang numero 3 sa kapangyarihang ito upang makakuha ng 81. Kapag naunawaan mo na ang prinsipyo, maaari kang magpatuloy sa mas kumplikadong mga kalkulasyon.
Dumaan ka sa hindi pagkakapantay-pantay ilang taon na ang nakalipas. At mula noon ay palagi mo na silang nakatagpo sa matematika. Kung mayroon kang mga problema sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay, tingnan ang naaangkop na seksyon.
Ngayong naging pamilyar na tayo sa mga konsepto nang paisa-isa, magpatuloy tayo sa pagsasaalang-alang sa mga ito sa pangkalahatan.
Ang pinakasimpleng logarithmic inequality.
Ang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ay hindi limitado sa halimbawang ito, mayroong tatlo pa, na may iba't ibang mga palatandaan. Bakit kailangan ito? Upang mas maunawaan kung paano lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang logarithms. Ngayon magbigay tayo ng mas naaangkop na halimbawa, medyo simple pa rin;
Paano ito lutasin? Nagsisimula ang lahat sa ODZ. Ito ay nagkakahalaga ng pag-alam ng higit pa tungkol dito kung gusto mong palaging madaling malutas ang anumang hindi pagkakapantay-pantay.
Ano ang ODZ? ODZ para sa logarithmic inequalities
Ang pagdadaglat ay kumakatawan sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Ang pormulasyon na ito ay madalas na lumalabas sa mga gawain para sa Pinag-isang Pagsusulit ng Estado. Ang ODZ ay magiging kapaki-pakinabang sa iyo hindi lamang sa kaso ng logarithmic inequalities.
Tingnan muli ang halimbawa sa itaas. Isasaalang-alang namin ang ODZ batay dito, upang maunawaan mo ang prinsipyo, at ang paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ay hindi nagtataas ng mga katanungan. Mula sa kahulugan ng isang logarithm, sumusunod na ang 2x+4 ay dapat na mas malaki kaysa sa zero. Sa aming kaso, nangangahulugan ito ng sumusunod.
Ang numerong ito, ayon sa kahulugan, ay dapat na positibo. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay na ipinakita sa itaas. Maaari itong gawin kahit pasalita; dito malinaw na ang X ay hindi maaaring mas mababa sa 2. Ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang kahulugan ng hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga.
Ngayon ay magpatuloy tayo sa paglutas ng pinakasimpleng logarithmic inequality.
Itinatapon namin ang mga logarithms mismo mula sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay. Ano ang naiiwan nito sa atin? Simpleng hindi pagkakapantay-pantay.
Hindi ito mahirap lutasin. Ang X ay dapat na mas malaki sa -0.5. Ngayon pinagsasama namin ang dalawang nakuhang halaga sa isang sistema. kaya,
Ito ang magiging hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga para sa logarithmic inequality na isinasaalang-alang.
Bakit kailangan natin ng ODZ? Ito ay isang pagkakataon upang alisin ang mga mali at imposibleng mga sagot. Kung ang sagot ay wala sa saklaw ng mga katanggap-tanggap na halaga, kung gayon ang sagot ay walang katuturan. Ito ay nagkakahalaga ng pag-alala sa loob ng mahabang panahon, dahil sa Unified State Exam ay madalas na kailangang maghanap para sa ODZ, at ito ay hindi lamang tungkol sa logarithmic inequalities.
Algorithm para sa paglutas ng logarithmic inequality
Ang solusyon ay binubuo ng ilang mga yugto. Una, kailangan mong hanapin ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Magkakaroon ng dalawang kahulugan sa ODZ, tinalakay natin ito sa itaas. Susunod na kailangan nating lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay mismo. Ang mga pamamaraan ng solusyon ay ang mga sumusunod:
- paraan ng pagpapalit ng multiplier;
- pagkabulok;
- paraan ng rasyonalisasyon.
Depende sa sitwasyon, ito ay nagkakahalaga ng paggamit ng isa sa mga pamamaraan sa itaas. Direktang lumipat tayo sa solusyon. Ibunyag natin ang pinakasikat na paraan, na angkop para sa paglutas ng mga gawain ng Pinag-isang Estado sa Pagsusuri sa halos lahat ng kaso. Susunod na titingnan natin ang paraan ng agnas. Makakatulong ito kung makatagpo ka ng isang partikular na nakakalito na hindi pagkakapantay-pantay. Kaya, isang algorithm para sa paglutas ng logarithmic inequality.
Mga halimbawa ng solusyon :
Ito ay hindi para sa wala na kinuha namin ang eksaktong hindi pagkakapantay-pantay na ito! Bigyang-pansin ang base. Tandaan: kung ito ay mas malaki sa isa, ang tanda ay nananatiling pareho kapag hinahanap ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga; kung hindi, kailangan mong baguhin ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay.
Bilang resulta, nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay:
Ngayon binabawasan namin ang kaliwang bahagi sa anyo ng equation na katumbas ng zero. Sa halip na "mas mababa sa" sign inilalagay namin ang "katumbas" at lutasin ang equation. Kaya, mahahanap natin ang ODZ. Umaasa kami na hindi ka magkakaroon ng mga problema sa paglutas ng gayong simpleng equation. Ang mga sagot ay -4 at -2. Hindi lang yan. Kailangan mong ipakita ang mga puntong ito sa graph, paglalagay ng "+" at "-". Ano ang kailangang gawin para dito? Palitan ang mga numero mula sa mga pagitan sa expression. Kung ang mga halaga ay positibo, inilalagay namin ang "+" doon.
Sagot: Ang x ay hindi maaaring mas malaki sa -4 at mas mababa sa -2.
Natagpuan namin ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga para lamang sa kaliwang bahagi; Ito ay mas madali. Sagot: -2. Nag-intersect kami sa parehong mga resultang lugar.
At ngayon pa lamang tayo nagsisimulang tugunan ang mismong hindi pagkakapantay-pantay.
Pasimplehin natin ito hangga't maaari para mas madaling malutas.
Muli naming ginagamit ang paraan ng pagitan sa solusyon. Laktawan natin ang mga kalkulasyon; ang lahat ay malinaw na kasama nito mula sa nakaraang halimbawa. Sagot.
Ngunit ang pamamaraang ito ay angkop kung ang logarithmic inequality ay may parehong mga batayan.
Ang paglutas ng mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay na may iba't ibang base ay nangangailangan ng paunang pagbawas sa parehong base. Susunod, gamitin ang pamamaraang inilarawan sa itaas. Ngunit mayroong isang mas kumplikadong kaso. Isaalang-alang natin ang isa sa mga pinaka-kumplikadong uri ng logarithmic inequalities.
Logarithmic inequalities na may variable na base
Paano lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay na may ganitong mga katangian? Oo, at ang gayong mga tao ay matatagpuan sa Pinag-isang Pagsusuri ng Estado. Ang paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa sumusunod na paraan ay magkakaroon din ng kapaki-pakinabang na epekto sa iyong proseso ng edukasyon. Tingnan natin ang isyu nang detalyado. Iwaksi natin ang teorya at dumiretso sa pagsasanay. Upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic, sapat na upang maging pamilyar sa halimbawa nang isang beses.
Upang malutas ang isang logarithmic inequality ng form na ipinakita, ito ay kinakailangan upang bawasan ang kanang bahagi sa isang logarithm na may parehong base. Ang prinsipyo ay kahawig ng mga katumbas na transition. Bilang resulta, ang hindi pagkakapantay-pantay ay magiging ganito.
Sa totoo lang, ang natitira na lang ay lumikha ng isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay na walang logarithms. Gamit ang paraan ng rasyonalisasyon, lumipat tayo sa isang katumbas na sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Mauunawaan mo ang mismong panuntunan kapag pinalitan mo ang mga naaangkop na halaga at sinusubaybayan ang kanilang mga pagbabago. Ang sistema ay magkakaroon ng mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay.
Kapag ginagamit ang paraan ng rasyonalisasyon kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, kailangan mong tandaan ang sumusunod: ang isa ay dapat ibawas mula sa base, x, sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm, ay ibawas mula sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay (kanan mula sa kaliwa), dalawang expression ay pinarami. at itakda sa ilalim ng orihinal na tanda na may kaugnayan sa zero.
Ang karagdagang solusyon ay isinasagawa gamit ang paraan ng agwat, ang lahat ay simple dito. Mahalaga para sa iyo na maunawaan ang mga pagkakaiba sa mga pamamaraan ng solusyon, kung gayon ang lahat ay magsisimulang gumana nang madali.
Mayroong maraming mga nuances sa logarithmic inequalities. Ang pinakasimpleng sa kanila ay medyo madaling malutas. Paano mo malulutas ang bawat isa sa kanila nang walang mga problema? Natanggap mo na ang lahat ng sagot sa artikulong ito. Ngayon ay mayroon kang mahabang pagsasanay sa unahan mo. Patuloy na magsanay sa paglutas ng iba't ibang mga problema sa pagsusulit at magagawa mong makuha ang pinakamataas na marka. Good luck sa iyo sa iyong mahirap na gawain!
Kadalasan, kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic, may mga problema sa isang variable na base ng logarithm. Kaya, isang hindi pagkakapantay-pantay ng anyo
ay isang karaniwang hindi pagkakapantay-pantay ng paaralan. Bilang isang patakaran, upang malutas ito, ginagamit ang isang paglipat sa isang katumbas na hanay ng mga system:
Ang kawalan ng pamamaraang ito ay ang pangangailangan upang malutas ang pitong hindi pagkakapantay-pantay, hindi binibilang ang dalawang sistema at isang populasyon. Mayroon nang mga quadratic function na ito, ang paglutas ng populasyon ay maaaring tumagal ng maraming oras.
Posibleng magmungkahi ng alternatibo, hindi gaanong labor-intensive na paraan upang malutas ang pamantayang hindi pagkakapantay-pantay na ito. Upang gawin ito, isinasaalang-alang namin ang sumusunod na teorama.
Theorem 1. Hayaang magkaroon ng patuloy na pagtaas ng function sa isang set X. Pagkatapos sa set na ito ang sign ng increment ng function ay mag-tutugma sa sign ng increment ng argument, i.e. , Saan 
.
Tandaan: kung patuloy na bumababa ang function sa isang set X, pagkatapos ay .
Bumalik tayo sa hindi pagkakapantay-pantay. Lumipat tayo sa decimal logarithm (maaari kang lumipat sa alinman na may pare-parehong base na mas malaki kaysa sa isa).
Ngayon ay maaari mong gamitin ang theorem, na napansin ang pagtaas ng mga function sa numerator 
at sa denominator. Kaya totoo
Bilang resulta, ang bilang ng mga kalkulasyon na humahantong sa sagot ay nabawasan ng humigit-kumulang kalahati, na nakakatipid hindi lamang ng oras, ngunit nagbibigay-daan din sa iyo na potensyal na makagawa ng mas kaunting mga aritmetika at walang ingat na mga error.
Halimbawa 1.
Ang paghahambing sa (1) nahanap natin 
, 
, .
Ang paglipat sa (2) magkakaroon tayo ng:
Halimbawa 2.
Kung ihahambing sa (1) makikita natin ang , , .
Ang paglipat sa (2) magkakaroon tayo ng:
Halimbawa 3.
Dahil ang kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay isang pagtaas ng function bilang at 
, kung gayon ang sagot ay marami.
Ang maraming halimbawa kung saan maaaring mailapat ang Tema 1 ay madaling mapalawak sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa Tema 2.
Hayaan sa set X ang mga function , , , ay tinukoy, at sa set na ito ang mga palatandaan at nag-tutugma, i.e. , kung gayon ito ay magiging patas.
Halimbawa 4.
Halimbawa 5.
Gamit ang karaniwang diskarte, ang halimbawa ay nalutas ayon sa sumusunod na pamamaraan: ang produkto ay mas mababa sa zero kapag ang mga kadahilanan ay may iba't ibang mga palatandaan. Yung. isang set ng dalawang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay isinasaalang-alang, kung saan, gaya ng ipinahiwatig sa simula, ang bawat hindi pagkakapantay-pantay ay nahahati sa pito pa.
Kung isasaalang-alang natin ang theorem 2, kung gayon ang bawat isa sa mga kadahilanan, na isinasaalang-alang (2), ay maaaring mapalitan ng isa pang function na may parehong pag-sign sa halimbawang ito O.D.Z.
Ang paraan ng pagpapalit ng pagtaas ng isang function na may pagtaas ng argumento, na isinasaalang-alang ang Theorem 2, ay nagiging napaka-maginhawa kapag nilutas ang mga karaniwang problema sa C3 Unified State Examination.
Halimbawa 6.
Halimbawa 7.
. Tukuyin natin ang . Nakukuha namin
. Tandaan na ang kapalit ay nagpapahiwatig ng: . Pagbabalik sa equation, nakukuha natin
.
Halimbawa 8.
Sa mga theorems na ginagamit namin walang mga paghihigpit sa mga klase ng mga function. Sa artikulong ito, bilang isang halimbawa, ang mga teorema ay inilapat sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic. Ang mga sumusunod na ilang halimbawa ay magpapakita ng pangako ng pamamaraan para sa paglutas ng iba pang mga uri ng hindi pagkakapantay-pantay.
Kabilang sa buong iba't ibang logarithmic inequalities, ang mga inequalities na may variable na base ay pinag-aaralan nang hiwalay. Nalutas ang mga ito gamit ang isang espesyal na pormula, na sa ilang kadahilanan ay bihirang itinuro sa paaralan:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0
Sa halip na "∨" na checkbox, maaari kang maglagay ng anumang palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay: higit pa o mas kaunti. Ang pangunahing bagay ay sa parehong hindi pagkakapantay-pantay ang mga palatandaan ay pareho.
Sa ganitong paraan, inaalis natin ang logarithms at binabawasan ang problema sa isang rational inequality. Ang huli ay mas madaling malutas, ngunit kapag itinatapon ang mga logarithms, maaaring lumitaw ang mga karagdagang ugat. Upang putulin ang mga ito, sapat na upang mahanap ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Kung nakalimutan mo ang ODZ ng isang logarithm, mariing inirerekumenda kong ulitin ito - tingnan ang "Ano ang logarithm".
Ang lahat ng nauugnay sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ay dapat na isulat at lutasin nang hiwalay:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Ang apat na hindi pagkakapantay-pantay na ito ay bumubuo ng isang sistema at dapat masiyahan nang sabay-sabay. Kapag ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ay natagpuan, ang natitira lamang ay upang i-intersect ito sa solusyon ng rational inequality - at ang sagot ay handa na.
Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:
Una, isulat natin ang ODZ ng logarithm:
Ang unang dalawang hindi pagkakapantay-pantay ay awtomatikong nasiyahan, ngunit ang huli ay kailangang isulat. Dahil ang parisukat ng isang numero ay zero kung at kung ang numero mismo ay zero, mayroon tayong:
x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Lumalabas na ang ODZ ng logarithm ay lahat ng mga numero maliban sa zero: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Ngayon malulutas namin ang pangunahing hindi pagkakapantay-pantay:
Ginagawa namin ang paglipat mula sa logarithmic inequality hanggang sa makatuwiran. Ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay may "mas mababa sa" na senyales, na nangangahulugan na ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay ay dapat ding magkaroon ng isang "mas mababa sa" na senyales. Mayroon kaming:
(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.
Ang mga zero ng expression na ito ay: x = 3; x = −3; x = 0. Bukod dito, ang x = 0 ay isang ugat ng pangalawang multiplicity, na nangangahulugang kapag dumaan dito, ang tanda ng function ay hindi nagbabago. Mayroon kaming:
Nakukuha namin ang x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ang set na ito ay ganap na nakapaloob sa ODZ ng logarithm, na nangangahulugang ito ang sagot.
Pag-convert ng logarithmic inequalities
Kadalasan ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay naiiba sa isa sa itaas. Madali itong maitama gamit ang karaniwang mga panuntunan para sa pagtatrabaho sa logarithms - tingnan ang "Mga pangunahing katangian ng logarithms". Namely:
- Anumang numero ay maaaring katawanin bilang isang logarithm na may ibinigay na base;
- Ang kabuuan at pagkakaiba ng mga logarithm na may parehong mga base ay maaaring mapalitan ng isang logarithm.
Hiwalay, gusto kong ipaalala sa iyo ang tungkol sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Dahil maaaring mayroong ilang logarithms sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, kinakailangang hanapin ang VA ng bawat isa sa kanila. Kaya, ang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ay ang mga sumusunod:
- Hanapin ang VA ng bawat logarithm na kasama sa hindi pagkakapantay-pantay;
- Bawasan ang hindi pagkakapantay-pantay sa isang pamantayan gamit ang mga formula para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms;
- Lutasin ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay ayon sa iskema na ibinigay sa itaas.
Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:
Hanapin natin ang domain ng kahulugan (DO) ng unang logarithm:
Malutas namin gamit ang paraan ng agwat. Paghahanap ng mga zero ng numerator:
3x − 2 = 0;
x = 2/3.
Pagkatapos - ang mga zero ng denominator:
x − 1 = 0;
x = 1.
Minarkahan namin ang mga zero at sign sa coordinate arrow:
Nakukuha namin ang x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Ang pangalawang logarithm ay magkakaroon ng parehong VA. Kung hindi ka naniniwala sa akin, maaari mong suriin ito. Ngayon binabago namin ang pangalawang logarithm upang ang base ay dalawa:
Tulad ng makikita mo, ang tatlo sa base at sa harap ng logarithm ay nabawasan. Nakakuha kami ng dalawang logarithms na may parehong base. Idagdag natin sila:
log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
Nakuha namin ang karaniwang logarithmic inequality. Inaalis namin ang logarithms gamit ang formula. Dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay naglalaman ng isang "mas mababa sa" na senyales, ang resultang nakapangangatwiran na expression ay dapat ding mas mababa sa zero. Mayroon kaming:
(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Mayroon kaming dalawang set:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Sagot ng kandidato: x ∈ (−1; 3).
Ito ay nananatiling bumalandra sa mga hanay na ito - nakuha namin ang tunay na sagot:
Interesado kami sa intersection ng mga set, kaya pipili kami ng mga agwat na may kulay sa parehong mga arrow. Nakukuha namin ang x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - lahat ng puntos ay nabutas.