Триангуляционная сеть. Триангуляция - что это такое? Триангуляция мобильного телефона в сотовой сети
Что собой представляет триангуляция? Следует отметить, что это слово имеет несколько значений. Так, оно используется в геометрии, геодезии и информационных технологиях. В рамках статьи внимание будет уделено всем темам, но наибольшее получит самое популярное направление - использование в технической аппаратуре.
В геометрии
Итак, начинаем разбирать, что собой представляет триангуляция. Что это такое в геометрии? Допустим, у нас есть неразвертываемая поверхность. Но при этом необходимо иметь представление о её строении. А для этого нужно развернуть её. Звучит невозможно? А вот и нет! И в этом нам поможет метод триангуляции. Следует отметить, что его использование предоставляет возможность построить только приближенную развертку. Метод триангуляции предусматривает использование примыкающих один ко второму треугольников, где можно вымерять все три угла. При этом должны быть известны координаты как минимум двух пунктов. Остальные подлежат определению. При этом создаётся или сплошная сеть, или цепочка треугольников.
Для получения более точных данных используют электронно-вычислительные машины. Отдельно следует упомянуть про такой момент, как триангуляция Делоне. Её суть в том, что при имеющемся множестве точек, за исключением вершин, все они лежат вне окружности, что описывается вокруг треугольника. Впервые это описал советский математик Борис Делоне в 1934 году. Его разработки используются в евклидовой задаче о коммивояжере, билинейной интерполяции и Вот что собой представляет триангуляция Делоне.
В геодезии
В данном случае предусматривается, что создаётся пункт триангуляции, который в последующем включается в сеть. Причем последняя строится таким образом, что напоминает группу треугольников на местности. У полученных фигур измеряют все углы, а также некоторые базисные стороны. То, как будет проведена триангуляция поверхности, зависит от геометрии объекта, квалификации исполнителя, доступного парка приборов и технико-экономических условий. Всё это и решает уровень сложности работ, что могут быть осуществлены, а также качество их проведения.
В информационных сетях
И постепенно подходим к самому интересному толкованию слова «триангуляция». Что это такое в информационных сетях? Следует отметить, что здесь существует большое количество различных вариантов трактовки и использования. Но в рамках статьи из-за ограничения её размера внимание получит только GPS (глобальная система позиционирования) и Несмотря на определённую схожесть, они довольно сильно различаются. И мы сейчас выясним, чем же именно.
Глобальная система позиционирования
Уже прошло не одно десятилетие с тех пор, как GPS был запущен и успешно функционирует. Глобальная система позиционирования состоит из центральной станции управления, размещённой в Колорадо, и наблюдательных пунктов по всему миру. За время её работы успело смениться уже несколько поколений спутников.
Сейчас GPS представляет собой мировую радионавигационную систему, которая базируется на ряде спутников и земных станций. Её преимуществом является возможность расчета координаты объекта с точностью до считанных метров. Как может быть представлена триангуляция? Что это и как работает? Представьте, что каждый метр на планете имеет свой уникальный адрес. И если есть пользовательский приёмник, то можно запросить координаты своего местонахождения.
Как это работает на практике?
Условно здесь можно выделить четыре основных этапа. Первоначально осуществляется триангуляция спутников. Затем измеряется расстояние от них. Проводится абсолютное измерение времени и определение спутников в космосе. И напоследок проводится дифференциальная коррекция. Это если кратко. Но не совсем понятно, как в данном случае работает триангуляция. Что это не хорошо, понятно. Давайте детализируем.
Итак, первоначально до спутника. Установили, что оно составляет 17 тысяч километров. И поиски нашего местоположения существенно сужаются. Точно известно, что мы находимся на конкретном расстоянии, и нас необходимо искать в той части земной сферы, которая находится в 17 тысячах километрах от засеченного спутника. Но это ещё не всё. Мы измеряем расстояние до второго спутника. И выявляется, что мы от него удалены на 18 тысяч километров. Итак, нас следует искать в месте, где пересекаются сферы этих спутников на установленном расстоянии.
Обращение к третьему спутнику позволит ещё дополнительно уменьшить территорию поиска. И так далее. Местонахождения определяется как минимум по трем спутникам. Определение точных параметров идёт согласно заложенным данным. Допустим, что радиосигнал двигается со скоростью близкой к световой (то есть, немногим меньше 300 тысяч километров в секунду). Определяется время, за которое он проходит от спутника к приёмнику. Если объект находится на высоте в 17 тысяч километров, то это будет около 0,06 секунды. Затем устанавливается позиция в пространственно-временной системе координат. Так, каждый спутник имеет четко заданную орбиту вращения. И зная все эти данные, техника и осуществляет расчет местонахождения человека.
Специфика глобальной системы позиционирования
По документации её точность колеблется в диапазоне от 30 до 100 метров. На практике, использование дифференциальной коррекции позволяет получать детализацию данных до сантиметров. Поэтому сфера применения глобальной системы позиционирования просто огромна. Она используется для отслеживания транспортировки дорогостоящих грузов, помогает точно посадить самолёты, вести судна в туманную погоду. Ну и самое известное - это применение в автомобильных
Алгоритмы триангуляции благодаря своей универсальности и охвате всей планеты позволяет свободно путешествовать даже по незнакомым местам. При этом система сама прокладывает путь, указывает, где необходимо свернуть, чтобы добраться до установленной конечной цели. Благодаря постепенному удешевлению GPS, даже есть автомобильные сигнализации на основе этой технологии, и сейчас если машину угонят, найти и вернуть её не составит труда.
А что там с мобильной связью?
Здесь, увы, не всё так гладко. Если GPS может определить координаты с точностью до метра, то триангуляция в сотовой связи такого качества обеспечить не может. Почему? Дело в том, что в данном случае в качестве выступает базовая станция. Считается, что если есть две БС, то можно получить одну из координат телефона. А если их три, то точное местоположение - это не проблема. Частично это верно. Но триангуляция мобильного телефона имеет свои особенности. Но тут встаёт вопрос о точности. Перед этим нами была рассмотрена система глобального позиционирования, которая может достигать феноменальной точности. А вот, несмотря на то, что мобильная связь имеет значительно больше аппаратуры, говорить о каком-то качественном соответствии не приходится. Но обо всём по порядку.
Ищем ответы
Но первоначально давайте сформируем вопросы. Поддаётся ли определению расстояние от базовой станции к телефону при использовании стандартных средств. Да. Но будет ли это кратчайшее расстояние? Кто занимается измерениями - телефон или базовая станция? Какова точность полученных данных? Во время обслуживания разговора базовая станция замеряет время прохождения сигнала от неё к телефону. Вот только при этом он может отражаться, скажем, от зданий. Следует понимать, что расстояние считается по прямой. И помните - только во время процесса обслуживания звонка.
Ещё один существенный минус - это довольно значительный уровень погрешности. Так, она может достигать значения в пятьсот метров. Триангуляция мобильного телефона осложняется ещё и тем, что базовые станции не знают, какие устройства есть на подконтрольной у них территории. Аппарат ловит их сигналы, но не информирует про себя. К тому же телефону под силу измерить сигнал базовой станции (что он, впрочем, постоянно делает), но вот величина затухания ему неизвестна. И здесь возникает идея!
Базовые станции знают свои координаты и мощность передатчиков. Телефон может определить, насколько хорошо он слышит их. В таком случае необходимо засекать все станции, которые работают, обмениваться данными (для этого понадобится специальная программа, рассылающая проверочные пакеты), собирать координаты и при надобности передавать их другим системам. Казалось бы всё, дело в шляпе. Но, увы, для этого необходимо осуществить ряд модификаций, в том числе и сим-карты, доступ к которой вовсе не гарантирован. И для того чтобы теоретическую возможность превратить в практическую, необходимо существенно поработать.
Заключение
Несмотря на то что телефоны есть практически у всех людей, утверждать, что человека можно запросто отследить, всё же не следует. Ведь это не такое легкое дело, как может показаться на первый взгляд. Более-менее уверенно можно говорить об удаче только при использовании глобальной системы позиционирования, но для неё необходим специальный передатчик. В целом, после прочтения этой статьи, надеемся, что у читателя больше не осталось вопросов относительного того, что же собой представляет триангуляция.
Известно, что триангуляция как геодезический термин означает способ создания геодезических сетей . Да, это так. Но следует начать с другого.
Изначально с возникновением потребности человека в познании, обычное мышление приводит его к накоплению определенного багажа знаний. С развитием научного мышления все эти знания систематизируются, в том числе разъясняются на основе фактов, явлений и доказательств. Применяя теоретические предположения на практике, возникают своего рода критерии истины. То есть имеют ли подтверждения практическим путем все те предположения, которые с помощью определенных способов дают конкретный результат. Пожалуй, одним из таких научных методов, решающих задачу по высокоточному измерению больших расстояний между пунктами на земной поверхности с построением примыкающих друг к другу треугольников и измерений внутри них стал способ триангуляции.
Первым кто изобрел и применил метод триангуляции (1614-1616), был великий голландский ученый Виллеброрд Снелл (Снеллиус). В те годы уже были предположения о том, что Земля является планетой в космическом пространстве и имеет форму сферы (из космологии Джордано Бруно 1548-1600). Установление точных размеров планеты имело большое практическое значение по ее освоению в дальнейшем. Вот для этого в Нидерландах через постройку ряда треугольников были впервые выполнены градусные измерения дуги меридиана способом триангуляции. Что имеется ввиду. Выполнив измерения между жесткими геодезическими пунктами с разностью широт между ними в один градус (у Снеллиуса 1º11´30") способом триангуляции и получив конкретное расстояние дуги, голландский математик обычным расчетом мог получить длину всей окружности меридиана. Очевидно, что вычислить радиус Земли, приняв ее фигуру за форму шара (эллипса), оставалось делом техники.
В завершение исторического экскурса можно выделить взаимосвязанность и выборность научных познаний для будущего практического применения человеком. И не удивительно, что изобретение способа триангуляции произошло именно в Нидерландах, которые на тот момент считались ведущей морской державой с потребностью новых познаний в навигации, географии, астрономии и конечно геодезии .
Сущность метода
Триангуляция заключается в определении пространственного местоположения специально закрепленных на местности геодезических пунктов в вершинах целого ряда треугольников. Изначально, с высокой степенью точности (до долей секунд) определяют азимуты исходных направлений ab , ba , mn , nm (рис.1.Триангуляционный ряд треугольников по меридиану). Следующим этапом будет определение астрономических координат (широты и долготы) в пунктах измерений азимутов двух исходных базисов. В каждой паре жестких сторон (ab , mn ) координаты измеряются только в одной точке, например a , m (рис.1). При этом следует обратить особое внимание на определение астрономических широт в ряду треугольников, расположенных по направлению меридианов. При измерениях в треугольниках, сформированных вдоль параллелей, необходимо уделить должное внимание определению астрономических долгот. Далее производят измерения длин двух базисных сторон (ab , mn ). Эти стороны имеют сравнительно не большие длины (порядка 8-10 км). Поэтому их измерения более экономичные и точные относительно сторон cd , tq , составляющих расстояния от 30 до 40 км. В следующую очередь выполняется переход от базисов ab , mn через угловые измерения в ромбах abcd и mntq к сторонам cd , tq . А затем последовательно практически в каждой вершине треугольников cde , def , efg и других измеряются горизонтальные углы до примыкания к следующей основной стороне tq всего ряда треугольников. Через измеренные углы треугольника с измеренной базисной или вычисленной основной стороной последовательно вычисляются все другие стороны, их азимуты и координаты вершин треугольников.
Рис.1. Триангуляционный ряд треугольников по меридиану.
Триангуляционные сети
После первого применения градусного измерения дуги Снеллиусом триангуляционный метод становится основным способом в геодезических высокоточных измерениях. С XIX века, когда триангуляционные работы стали более совершенными с его помощью стали формироваться целые геодезические сети , строящиеся вдоль параллелей и меридианов. Самая знаменитая из всех известна под наименованием геодезической меридианной дуги Струве и Теннера (1816-1852) в последствие зачислена в мировое наследие по ЮНЕСКО. Ее триангуляционный ряд протянулся по Норвегии, Швеции, Финляндии и России от Северного Ледовитого океана до Черного моря в устье Дуная и составил дугу в 25º20´(рис.2).
Рис.2.
За основу геодезических сетей триангуляции в нашей стране принята схема профессора Ф.Н.Красовского (рис.3). Ее суть заключается в применении принципа построений от общего к частному. Изначально закладываются вдоль меридианов и параллелей пункты, образующие ряды треугольников протяженностью в пределах 200-240 км. Длины сторон в самих треугольниках составляют 25-40км. Все астрономические измерения азимутов, координат (широт и долгот) выходных точек на пунктах Лапласа (1) и промежуточных астрономических точках (2), высокоточные базисные (3) геодезические измерения и в каждой точке этой цепи должно соответствовать установленным требованиям I класса точности (рис.3). Замкнутый полигон из четырех триангуляционных рядов представляет собой фигуру, напоминающую квадрат с периметром равным ориентировочно около 800 км. Через центральные части первоклассных рядов триангуляции устраиваются в направлении друг к другу основные ряды триангуляционной сети II класса (рис.3) соответствующей точности. Базисные длины сторон в этих рядах не измеряются, а принимаются базисы со сторон триангуляции I класса. Аналогично отсутствуют и астрономические пункты. Возникшие четыре пространства заполняются сплошными триангуляционными сетями и II, и III классов.
Рис.3.Государственные сети триангуляции.
Безусловно описанная схема развития сетей триангуляции по Красовскому не может закрыть всю территорию страны ввиду понятных причин больших лесных и не заселенных территорий страны. Поэтому с запада на восток вдоль параллелей были проложены отдельные ряды первоклассной триангуляции и полигонометрии , а не сплошная триангуляционная сеть.
Достоинства триангуляции
В развитии геодезической науки и ее практического применения очевидны достоинства триангуляционного способа измерений. С помощью этого универсального метода возможно:
- определение положения геодезических точек на значительно удаленных расстояниях;
- выполнение основных работ по строительству геодезических сетей на всей территории страны;
- обеспечение основой всех топографических съемок ;
- выстраивание через основные геодезические работы различных систем координат ;
- производство инженерных и изыскательских работ;
- периодическое определение размеров Земли;
- изучение перемещений земной поверхности.
Ф.Н. Красовский разработал фундаментальную программу построения государственной триангуляции в СССР, которая была опубликована в 1928 г. В 1939 г. она нашла отражение в Основных положениях о построении опорной геодезической сети СССР. Согласно этой программе государственная триангуляция создавалась по принципу перехода от общего к частному (рис. 1.6 ), состояла из:
- рядов триангуляции (астрономо-геодезической сети) 1-го класса длиной 200-250 км, прокладываемых примерно вдоль параллелей и меридианов;
- основных рядов триангуляции 2-го класса длиной 100-120 км;
- заполняющей сети 2-го класса, сети 3-го класса и определяемых засечками пунктов 4-го класса.
Рис. 1.6 . Схема Ф.Н. Красовского государственной триангуляции: 1 - пункт Лапласа; 2 - промежуточный астропункт; 3 - базис
На пересечениях рядов 1-го класса определяли длину и азимут выходных сторон триангуляции. Длины выходных сторон находили путем построения базисных сетей, в которых измеряли все углы и базис (проволоками) длиной 6-8 км; углы против базиса должны быть не менее 36°. Базисы измеряли с относительной средней квадратической ошибкой не более 1:500 000, а длины сторон определяли с ошибкой не более 1:300 000.
На концах выходных сторон - пунктах Лапласа 1 - определяли астрономические широты φ, долготы λ и азимуты α. В каждом звене триангуляции 1-го класса (звеном называют часть триангуляции 1-го класса между соседними выходными сторонами) кроме пунктов Лапласа через 70-100 км устанавливали промежуточные астрономические пункты 2, на которых измеряли φ и λ.
В 1932 г. начали выполнять общую гравиметрическую съемку территории СССР. Гравиметрические измерения по специальной программе стали выполнять при создании астрономо-геодезической сети. Совместное использование геодезических, астрономических и гравиметрических измерений позволяет вычислить астрономо-геодезические уклонения отвесных линий, детально изучить форму Земли и математически строго редуцировать результаты геодезических измерений с поверхности Земли на поверхность референц-эллипсоида.
Каждый полигон 1-го класса делился на четыре части основными рядами 2-го класса (см. рис. 1.6), в пересечении рядов строилась базисная 3 сеть для определения выходной стороны, на концах которой размещали пункты Лапласа для определения φ, λ, α.
Топографические съемки в масштабах 1:5000, 1: 2000 для удовлетворения потребностей различных отраслей народного хозяйства СССР привели в конце 40-х гг. к необходимости увеличить плотность и точность государственных геодезических сетей. Проект новой программы был опубликован для обсуждения в 1948 г. В 1954 г. были утверждены «Основные положения о государственной геодезической сети СССР» (сокращенно - Положения 1954 г.). В 1961 г. в Положения 1954 г. внесены изменения и дополнения в связи с применением высокоточных свето- и радиодальномеров. Действующая в настоящее время программа изложена в Основных положениях 1954-1961 гг., на ее основе в 1966 г. издана Инструкция о построении государственной геодезической сети СССР.
Общим в новой и старой программах является соблюдение принципа перехода от общего к частному. Государственная геодезическая сеть (ГГС) России является главной геодезической основой топографических съемок всех масштабов, должна удовлетворять требованиям народного хозяйства и обороны страны при решении соответствующих научных и инженерно-технических задач. ГГС создается методами триангуляции, полигонометрии, трилате-рации и их сочетаниями, позволяющими при прочих равных условиях обеспечивать требуемую точность и наибольшую экономическую эффективность.
ГГС подразделяют на сети 1, 2, 3 и 4-го классов. Астрономо-геодезическая сеть (АГС) 1 класса создается полигонами длиной около 800 км, длина звена 200 км, используется для научных исследований по изучению формы и размеров Земли, ее внешнего гравитационного поля и для распространения единой системы координат на всю территорию страны. Геодезические сети 2-го класса являются основой для создания сетей 3-го и 4-го классов.
Астрономо-геодезическая сеть
Схема построения АГС по Основным положениям 1954-1961 гг. приведена на рисунке 1.7 . В таблице 1 приведены основные характеристики ГГС, построенных по Основным положениям 1939 г. и по Основным положениям 1954-1961 гг. ...
Геодезические сети 2-го класса
Геодезические сети 2-го класса в основном являются сплошной сетью треугольников, заполняющих полигоны АГС 1-го класса. Базисные стороны размещают равномерно не более чем через 25 треугольников, одна из базисных сторон должна быть примерно в середине полигона 1-го класса, на концах этой стороны определяют пункты Лапласа. При экономической целесообразности сети 2-го класса могут создаваться полигонометрическими ходами, образующими сплошную сеть замкнутых полигонов с равномерным расположением пунктов внутри полигона 1-го класса. Возможно комбинирование триангуляции и полигонометрии.
Геодезические сети 3 и 4-го классов
Сети 3 и 4-го классов сгущают до требуемой плотности сети 2-го класса, они могут создаваться методами триангуляции, полигонометрии и трилатерации. Выбирают тот метод, который при обеспечении требуемой точности дает наибольшую экономическую эффективность. Характеристика этих сетей приведена в таблице 1. При использовании метода полигонометрии между узловыми и исходными пунктами допускается не более двух точек поворота. При расстоянии между ходами менее 4 км в сети 3-го класса и менее 3 км в сети 4-го класса их необходимо связывать между собой, т. е. прокладывать между ними ход.
На всех пунктах ГГС 1-4-го классов устанавливают два ориентирных пункта (ОРП) с подземными центрами, расстояния до ОРП 0,5-1,0 км (в лесу не менее 250 м). ОРП должны быть видны в теодолит, установленный на штативе над центром знака. За один из ориентирных пунктов можно принимать хорошо видимый с земли геодезический пункт или местный предмет (крест колокольни, шпиль башни и т. п.) при его расстоянии до данного пункта сети не более 3 км. ОРП необходимы для азимутальной привязки последующих геодезических построений (полигонометрии 1 и 2-го разрядов, теодолитных ходов и т. п.).
Высоты всех пунктов ГГС определяют методами геометрического (в равнинных и всхолмленных районах) и тригонометрического нивелирования. В среднем точность измерения углов построенной ГГС оказалась выше, установленной Основными положениями 1954-1961 гг.: 0,65"; 0,75"; 1,1"; l,5" в сетях 1, 2, 3, 4-го классов соответственно. Средняя квадратическая ошибка определения азимутов Лапласа, полученная в результате уравнивания блоков АГС, равна 1,1", т. е. примерно в два раза больше предусмотренной Основными положениями 1954-1961 гг.
В целом ГГС России по точности обеспечивает картографирование страны во всех масштабах вплоть до 1:2000 и позволяет решать научные и инженерно-технические задачи народного хозяйства страны. Дальнейшее совершенствование АГС может быть сведено к следующему. Совместное уравнивание сети 1 и 2-го классов с использованием всех измеренных направлений, азимутов на пунктах Лапласа, базисных или выходных сторон с учетом их весов и определением поправок в непосредственно измеренные величины, при этом будут устранены значительные деформации сети 2-го класса вблизи АГС 1-го класса и повышена точность определения координат всех пунктов. На следующем этапе предусмотрено построение фундаментальной геодезической сети (ФГС) с длинами сторон 2000-3000 км с сантиметровой и более высокой точностью измерения этих сторон. Каждый пункт ФГС должен стать обсерваторией или стационарной фундаментальной геодезической станцией, на которой периодически по определенной программе должен выполняться комплекс точнейших измерений: спутниковые - для определения геоцентрических координат; астрономические - для нахождения широт, долгот, азимутов; гравиметрические - для получения ускорения силы тяжести и т. п. Высоты всех пунктов ФГС целесообразно определить из нивелирования 1-го класса. Совместная обработка перечисленных и, возможно, других измерений позволит определить с высокой точностью координаты пунктов ФГС на данный момент времени и использовать их в качестве исходных при построении системы опорных пунктов на территории страны и, кроме того, для высокоточного определения координат ИСЗ, что в свою очередь позволит повысить точность автономного определения координат точек земной поверхности из наблюдений ИСЗ.
Метод триангуляции. Принято считать, что метод триангуляции впервые был предложен голландским ученым Снеллиусом в 1614 г. Этот метод широко применяется во всех странах. Сущность метода: на командных высотах местности закрепляют систему геодезических пунктов, образующих сеть треугольников. В Сеть триангуляции этой сети определяют координаты исходного пункта А, измеряют горизонтальные углы в каждом треугольнике, а также длины b и азимуты а базисных сторон, задающих масштаб и ориентировку сети по азимуту.
Сеть триангуляции может быть построена в виде отдельного ряда треугольников, системы рядов треугольников, а также в виде сплошной сети треугольников. Элементами сети триангуляции могут служить не только треугольники, но и более сложные фигуры: геодезические четырехугольники и центральные системы.
Основными достоинствами метода триангуляции являются его оперативность и возможность использования в разнообразных физико-географических условиях; большое число избыточных измерений в сети, позволяющих непосредственно в поле осуществлять надежный контроль всех измеренных величин; высокая точность определения взаимного положения смежных пунктов в сети, особенно сплошной. Метод триангуляции получил наибольшее распространение при построении государственных геодезических сетей.
Метод полигонометрии . Полигонометрия - это метод построения геодезической сети в виде системы замкнутых или разомкнутых ломаных линий, в которых непосредственно измеряют все элементы: углы поворота и длины сторон d
Сущность этого метода состоит в следующем. На местности закрепляют систему геодезических пунктов, образующих вытянутый одиночный ход или систему пересекающихся ходов, образующих сплошную сеть. Между смежными пунктами хода измеряют длины сторон s,-, а на пунктах - углы поворота р. Азимутальное ориентирование полигонометрического хода осуществляют с помощью азимутов, определяемых или заданных, как правило, на конечных пунктах его, измеряя при этом примычные углы у. Иногда прокладывают полигонометрические ходы между пунктами с заданными координатами геодезической сети более высокого класса точности.
Углы в полигонометрии измеряют точными теодолитами, а стороны - мерными проволоками или светодаль-номерами. Ходы, в которых стороны измеряют стальнымиз емлемерными лентами, а углы - теодолитами технической точности 30" или Г, называются теодолитными ходами. Теодолитные ходы находят применение при создании съемочных геодезических сетей, а также в инженерно-геодезических и съемочных работах. В методе поли тонометрии все элементы построения измеряются непосредственно, а дирекционные углы а и координаты вершин углов поворота определяют так же, как и в методе триангуляции.
Порядок построения планов сетей: по принципу от общего к частному, от крупного к мелкому, от точного к менее точному.
Метод трилатерации. Данный метод, как и метод триангуляции, предусматривает создание на местности геодезических сетей либо в виде цепочки треугольников, геодезических четырехугольников и центральных систем, либо в виде сплошных сетей треугольников, в которых измеряются не углы, а длины сторон. В трилатерации, как и в триангуляции, для ориентирования сетей на местности должны быть определены азимуты ряда сторон.
По мере развития и повышения точности свето- и радиодальномерной техники измерений расстояний метод трилатерации постепенно приобретает все большее значение, особенно в практике инженерно-геодезических работ.
Спутниковые методы построения геодезической сети.
Методы с использованием спутниковых технологий, в которых координаты пунктов определяются с помощью спутниковых систем - российской Глонасс и американской GPS. Эти методы имеет революционное научно-техническое значение по достигнутым результатам в точности, оперативности получения результатов, всепогодности и относительно невысокой стоимости работ по сравнению с традиционными методами восстановления и поддержания государственной геодезической основы на должном уровне.
Спутниковые методы создания геодезических сетей состоят из геометрических и динамических . В геометрическом методе ИСЗ используют как высокую визирную цель, в динамическом - ИСЗ (искусственный спутник Земли) является носителем координат. В геометрическом методе спутники фотографируют на фоне опорных звезд, что позволяет определить направления со станции слежения на спутники. Фотографирование нескольких положений ИСЗ с двух и более исходных и нескольких определяемых пунктов позволяет получить координаты определяемых пунктов. Эту же задачу решают путем измерения расстояния до спутников. Создание навигационных систем (в России - Глонасс и в США - Navstar), состоящих не менее чем из 18 ИСЗ, позволяет в любой момент в любой части Земли определять геоцентрические координаты X, Y, Z , с более высокой точностью, чем используемая ранее американская навигационная система Transit, которая позволяет определять координаты X, Y, Z, с ошибкой 3-5 м.
№16 Плановое обоснование топографических съемок. Полевые работы.
Пункты государственных геодезических сетей и сетей сгущения не имеют достаточной густоты для производства топографических съемок. Поэтому на территории предполагаемого строительства создают съемочное обоснование. Пункты этого обоснования расположены таким образом, чтобы все измерения при съемке ситуации и рельефа производились непосредственно с его точек. Съемочное обоснование создается на основе общего принципа построения геодезических сетей - от общего к частному. Оно опирается на пункты государственной сети и сетей сгущения, погрешности которых пренебрежительно малы по сравнению с погрешностями съемочного обоснования.
Точность создания обоснования обеспечивает проведение топографических съемок с погрешностями в пределах графической точности построений на плане данного масштаба. В соответствии с этими требованиями в инструкциях по топографическим съемкам регламентируют точность измерений и предельные значения длин ходов.
Наиболее часто в качестве планового обоснования используют теодолитные ходы. На открытой местности теодолитные ходы иногда заменяют рядами или сетью микротриангуляции, а на застроенной или залесенной территории - сетями из четырехугольников без диагоналей.
Плановые высотные съёмки. При которых определяется и плановое и высотное положение снимаемых точек. В результате получается план или карта с изображением и ситуации и рельефа.Полевые геодезические работы выполняются непосредственно на местности и в зависимости от назначения в них входят:
разбивка пикетажа;
создание плановой основы;
документация
№17Камеральная обработка материалов теодолитного хода.
Камерные работы-работы,которые производятся зимой в кабинете (камера по-латыни означает комната) с целью окончательной обработки в летнее время полученного материала полевой работы. Делаются подсчеты, составляются карты, отчеты, статьи, книги для печати, являющиеся результатом произведенных на месте геологических, геофизических, разведочных и проч. работ.
Назначение: автоматизация обработки инженерно-геодезических изысканий, полученных из журналов полевых измерений.
Функции программного обеспечения:
расчет и уравнивание теодолитных ходов различной конфигурации;
обработка результатов тахеометрической съемки местности;
обработка результатов нивелирования;
решение задач геодезической привязки (снесение координат, треугольник и др.);
вычисление площади замкнутого полигона по координатам его граничных точек;
нанесение результатов расчета и уравнивания на карту;
формирование и печать ведомостей решения геодезических задач.
Описание применения:
Для выполнения камеральной обработки инженерно-геодезических изысканий в ГИС «Карта 2008» предусмотрен программный комплекс «Геодезические вычисления». Процедуры, входящие в состав программного комплекса позволяют выполнить обработку данных полевых измерений, нанести результаты расчетов на карту и составить отчетную документацию в виде расчетных ведомостей данными в ходе выполнения расчетов.
Процедуры, входящие в состав комплекса позволяют выполнить расчеты и уравнивание геодезических измерений для последующего использования результатов в целях составления топографических планов, формирования землеустроительной документации, проектирования и мониторинга сооружений линейного типа, построения моделей рельефа и пр. Все режимы предназначены для обработки «сырых» измерений и предусматривают табличную форму ввода данных. Внешний вид и порядок ввода максимально приближены к традиционным формам заполнения полевых журналов. Обязательные поля для ввода информации выделяются цветом.
№18 Высотное обоснование топографических съемок. Полевые работы
Точки высотного обоснования, как правило, совмещают с точками планового обоснования. Высотное обоснование создают методами геометрического или тригонометрического нивелирования. Удаление нивелира от реек должно превышать 150м. Разность плеч не должна превышать 20м. Нивелируют по двум сторонам рейки. Расхождение превышений не должно превышать ±4мм.
Высотное съёмочное обоснование обычно создается в виде сетей нивелирования IV класса или технического нивелирования. На больших площадях при создании высотного обоснования методом геометрического нивелирования получают редкую сеть пунктов, которая в последующем сгущается высотными ходами. В этих ходах превышения определяют тригонометрическим способом. Для получения необходимой точности в инструкциях по топографическим съемкам регламентируют точность измерений превышений, методику их определения и предельные длины высотных ходов.
По назначению, составу и методам исполнения полевых и камеральных работ различают два вида фототеодолитной съемки - топографическую и специальную.
При топографической фототеодолитной съемке, выполняемой с целью получения топографических карт и планов в масштабах 1:500, 1:1000, 1:2000, 1:5000, 1:10 000, в состав работ входят:
1) составление проекта работ (выбор масштаба съемки, составление программы работ и сметы на них, календарного плана)
2) рекогносцировка участка съемки (осмотр ситуации и рельефа местности, выбор типа геодезической опорной сети съемочного обоснования, мест расположения базисов фотографирования и контрольных точек);
3) создание геодезической опорной сети (установка знаков сети, измерения в сети, предварительное вычисление координат и отметок точек сети);
4) создание съемочного рабочего обоснования и планово-высотная привязка точек базисов и контрольных точек;
5) фотографирование местности;
6) измерение длин базисов фотографирования;
7) лабораторные и камеральные работы.
Плановые высотные съёмки. При которых определяется и плановое и высотное положение снимаемых точек. В результате получается план или карта с изображением и ситуации и рельефа.Полевые геодезические работы выполняются непосредственно на местности и в зависимости от назначения в них входят:
разбивка пикетажа;
создание плановой основы;
привязка геодезической основы участков съемки к пунктам государственной основы или ведомственных съемок;
съемка подробностей ситуации, рельефа, профилей и отдельных объектов;
разбивка по перенесению проекта на местность при капитальных работах и при текущем содержании пути;
наблюдения за режимом рек и водоемов и ряд других видов геодезических работ.
При выполнении полевых работ ведется документация : пикетажные, нивелировочные, тахеометрические журналы, журналы углов поворота, абрисы и др.
№19 Камеральная обработка материалов нивелирного хода.
Камеральная обработка материалов нивелирования делится на предварительные (обработка полевых журналов) и окончательные вычисления. При окончательных вычислениях оценивается точность результатов нивелирования, уравниваются результаты и вычисляются отметки точек.
Предварительные вычисления начинают с тщательной проверки всех записей и вычислений в журналах. Затем на каждой странице подсчитывают суммы задних (∑З ) и передних (∑П ) отсчетов и находят их полуразность. После этого вычисляют сумму средних превышений (∑ h ср ). Постраничным контролем вычислений является равенство
Расхождение объясняется возможными отклонениями вследствие округлений при выведении среднего.
В случае нивелирного хода, опирающегося на две твердые точки, известное превышение h
0 вычисляется как разность известных отметок конечной H к
и начальной H н
точек хода, и тогда
h 0 = H к - H н .
Если нивелирование производится по замкнутому полигону, то известное превышение h 0 будет равно нулю.
Висячие нивелирные ходы нивелируются дважды и тогда превышение h 0 вычисляется как полусумма превышений двух нивелирных ходов
№20 Методы топографических съемок.
Топографической съемкой называется комплекс геодезических работ, результатом которых является топографическая карта или план местности. Топографические съемки выполняют аэрофототопографическим и наземным методами. Наземные методы делятся на тахеометрическую, теодолитную, фототеодолитную и мензульную съемки. Выбор метода съемки определяется технической возможностью и экономической целесообразностью при этом учитываются следущие основные факторы: - размер территории, сложность рельефа, степень застроености и т.д. При съемке больших территорий наиболее эффективно применять аэрофототопографическую съемку, на небольших участка местности, как правило используют тахеометрическую и теодолитную съемку. Мензульная съемка в настоящее время используется достаточно редко, как технологически устаревший вид съемки. Наиболее распространенный вид наземной топографической съемки - тахеометрическая съемка. Преимущественно выполняется с помощью электронного тахеометра, также возможно выполнять съемку с помощью теодолита. При тахеометрической съемке в поле выполняются все необходимые измерения, которые заносятся в память прибора либо в журнал, а план составляется в камеральных условиях. Теодолитная съемка выполняется в два этапа: построение съемочной сети и съемка контуров. Съемочная сеть строится с помощью теодолитных ходов. Съемочные работы выполняют с пунктов съемочной сети способами: прямоугольных координат, линейных засечек, угловых засечек, полярных координат. Результаты теодолитной съемки отражают в абрисе. Все зарисовки в абрисах необходимо вести четко и аккуратно, располагая объекты с таким расчетом, чтобы оставалось свободное место для записей результатов измерений. При мензульной съемке, план местности вычерчивается непосредственно на месте проведения съемки на заранее подготовленном планшете, в полевых условиях.
Мензульная съемка - топографическая съемка, выполняемая непосредственно в поле с использованием мензулы и кипрегеля. Горизонтальные углы не измеряют, а строят графически, поэтому мензульную съемку называют углоначертательной. При съемке ситуации и рельефа расстояния измеряют, как правило, дальномером, а превышения определяют тригонометрическим нивелированием. Построение плана непосредственно в поле дает возможность устранить грубые ошибки при съемке и достигнуть наиболее полного соответствия между топографическим планом и местностью.
№21 Теодолитно-высотная съемка
Теодолитно-высотный ход представляет собой теодолитный ход, в котором кроме определения координат точек хода методом тригонометрического нивелирования определяют их высоты. Измерения и вычисления, выполняемые с целью определения плановых координат х , у . Рассмотрим определение высот.
На каждой стороне хода теодолитом технической точности измеряют углы наклона. Измерение угла выполняют одним приемом. Превышение вычисляют по формуле. Для контроля и повышения точности каждое превышение определяют дважды - в прямом и обратном направлениях. Прямое и обратное превышения, имея разный знак, не должны различаться по абсолютной величине больше чем на 4 см на каждые 100 м длины линии. За окончательное значение превышения принимают среднее, со знаком прямого.
Теодолитно-высотные ходы начинаются и заканчиваются на исходных пунктах, высоты которых известны. По форме ход может быть замкнутым (с одним исходным пунктом) или разомкнутым (с двумя исходными пунктами).
№22 Тахеометрическая съемка
Тахеометрическая съемка – комбинированная съемка, в процессе которой одновременно определяют плановое и высотное положение точек, что позволяет сразу получать топографический план местности. Тахеометрия в буквальном переводе означает быстрое измерение.
Положение точек определяют относительно пунктов съемочного обоснования: плановое – полярным способом, высотное – тригонометрическим нивелированием. Длины полярных расстояний и густота пикетных (реечных) точек (максимальное расстояние между ними) регламентированы в инструкции по топографо-геодезическим работам. При производстве тахеометрической съемки используют геодезический прибортахеометр, предназначенный для измерения горизонтальных и вертикальных углов, длин линий и превышений. Теодолит, имеющий вертикальный круг, устройство для измерения расстояний и буссоль для ориентирования лимба, относится к теодолитам-тахеометрам. Теодолитами-тахеометрами является большинство теодолитов технической точности, например Т30. Наиболее удобными для выполнения тахеометрической съемки являются тахеометры с номограммным определением превышений и горизонтальных проложений линий. В настоящее время широко используются электронные тахеометры.
№23 Методы нивелирования поверхности.
Нивелирование - вид геодезических работ, в результате которых определяют разности высот (превышения) точек земной поверхности, а также высоты этих точек над принятой отсчетной поверхностью.
По методам нивелирование разделяют на геометрическое, тригонометрическое, физическое, автоматическое, стереофотограмметрическое.
1. Геометрическое нивелирование – определение превышения одной точки над другой посредством горизонтального визирного луча. Осуществляют его обычно с помощью нивелиров, но можно использовать и другие приборы, позволяющие получать горизонтальный луч. 2. Тригонометрическое нивелирование – определение превышений с помощью наклонного визирного луча. Превышение при этом определяют как функцию измеренного расстояния и угла наклона, для измерения которых используют соответствующие геодезические приборы (тахеометр, кипрегель).
3. Барометрическое нивелирование – в его основу положена зависимость между атмосферным давлением и высотой точек на местности. h=16000*(1+0.004*T)P0/P1
4. Гидростатическое нивелирование – определение превышений основывается на свойстве жидкости в сообщающихся сосудах всегда находиться на одном уровне, независимо от высоты точек, на которых установлены сосуды.
5. Аэрорадионивелирование - превышения определяются путем измерения высот полета летательного аппарата радиовысотомером. 6. Механическое нивелирование - выполняется с помощью приборов, устанавливаемых в путеизмерительных вагонах, тележках, автомобилях, которые при движении вычерчивают профиль пройденного пути. Такие приборы называются профилографы. 7. Стереофотограмметрическое нивелирование основано на определении превышения по паре фотоснимков одной и той же местности, полученных из двух точек базиса фотографирования. 8. Определение превышений по результатам спутниковых измерений. Использование спутниковой системы ГЛОНАСС – Глобальная Навигационная Спутниковая Система позволяет определять пространственные координаты точек.
При проектировании сетей триангуляции должны соблюдаться требования, приведенные в табл.1
Таблица 1
| Показатель | Класс | |||
| Средняя длина стороны треугольника, км | 20-25 | 7-20 | 5-8 | 2-5 |
| Относительная ошибка базисной выходной стороны | 1:400000 | 1:300000 | 1:200000 | 1:100000 |
| Примерная относительная ошибка стороны в слабом месте | 1:150000 | 1:200000 | 1:120000 | 1:70000 |
| Наименьшее значение угла треугольника, градус | 40 | 20 | 20 | 20 |
| Допустимая невязка треугольника, угл. с | 3 | 4 | 6 | 6 |
| Средняя квадртическая ошибка угла по невязкам треугольника, угл. с | 0,7 | 1 | 1,5 | 2,0 |
| Средняя квадратическая ошибка взаимного положения смежных пунктов, м | 0,15 | 0,06 | 0,06 | 0,06 |
3.1. Расчет количества знаков
При проектировании сети триангуляции 3 и 4 классов необходимо рассчитать количество пунктов отдельного класса.
Требуемая плотность геодезических пунктов при общегосударственном картографировании территории страны зависит от масштаба топографической съемки, методов ее выполнения, а также от методов создания съемочного геодезического обоснования.
Таблица 2
Между длинами сторон треугольников разных классов должны соблюдаться следующие приближенные соотношения:
s 1= s 1 s 2 =0,58s 1 s 3 =0,33s 1 s 4 =0,19s 1 . (1)
Если за исходную принять длину стороны в триангуляции 1 класса, равную в среднем S 1 = 23 км, то по формулам (1) получим следующие длины сторон треугольников в сетях триангуляции 2-4 классов (табл. 3).
Таблица 3
В реальных сетях триангуляции треугольники несколько отступают от равносторонней формы. Однако в среднем для обширной по размерам геодезической сети соотношения (1) длин сторон треугольников должны более или менее точно соблюдаться, в противном случае общее число пунктов в сети может оказаться неоправданно завышенным. Среднее число пунктов разных классов на любой площади Р картографируемой территории можно рассчитать по формулам
где - площадь, обслуживаемая одним пунктом -го класса (i =1,2,3,4).Результаты вычислений следует округлять до целого десятка. В качестве примера по этим формулам определим число пунктов 3-4 классов на площади Р = 200 км 2 при n 1 = 0, n 2 =2 .
Для триангуляции 3 класса:
Для триангуляции 4 класса:
Следовательно, на площади снимаемой территории Р=200 км 2 должны запроектировать 11 пунктов, то есть 2 пункта 2 класса, 2 пункта 3 класса и 7 пунктов 4 класса.
3.2. Построение триангуляционной сети
При разработке графического проекта сети особое внимание следует обращать на выбор местоположения каждого отдельного пункта. Все пункты государственной геодезической сети должны быть расположены на командных вершинах местности. Это необходимо для того, чтобы, во-первых, обеспечить взаимную видимость между смежными пунктами при минимальных высотах геодезических знаков, во-вторых, возможность развития в будущем сети в любом направлении. Длины сторон между смежными пунктами должны соответствовать требованиям инструкции. Во всех случаях геодезические пункты должны находиться в таких местах, где будет обеспечена сохранность их положения в плане и по высоте в течение длительного времени. Поскольку на постройку геодезических знаков расходуется в среднем 50-60 % всех затрат на создание сети, необходимо уделять самое серьезное внимание выбору мест для установки пунктов на местности с целью снижения их высоты.
При проектировании сетей триангуляции разных классов важное значение имеет обеспечение надежной привязки сетей более низкого класса к сетям более высокого класса.
Рис. 1. Схемы привязки геодезических сетей к сторонам (а) и пунктам (б) триангуляции высшего класса
Рис.2. Схемы построения сетей триангуляции
После того как все пункты будут нанесены на карту, их соединяют прямыми линиями. На отдельном листе вычерчивают схему запроектированной сети, на которую выносят названия пунктов, длины сторон в километрах, значения углов в треугольниках с точностью до градуса, высоты земной поверхности с точностью до метра. Углы измеряют транспортиром по топографической карте. Суммы углов в треугольниках должны равняться 180º, а в полюсе центральной системы 360º. Длины сторон измеряются линейкой. Под схемой приводятся условные обозначения исходных сторон, сторон триангуляции и пунктов сети.
3.3. Расчет высот знаков
На пунктах геодезической сети строят геодезические знаки такой высоты, чтобы визирные лучи при угловых и линейных измерениях проходили по каждому направлению на заданной минимальной высоте над препятствием, не касаясь его. Сначала определяют приближенные высоты знаков l 1 ’ и l 2 ’ для каждой пары смежных пунктов, а затем корректируют их и находят окончательные значения высот l 1 и l 2 . Приближенные высоты знаков l 1 ’ и l 2 ’ (рис.3) вычисляют по формулам
где h 1 и h 2 - превышения вершины препятствия в точке С (c учетом высоты леса) над основаниями первого и второго знаков соответственно; а- установленная действующей инструкцией допустимая высота происхождения визирного луча над препятствием; u 1 и u 2 - поправки за кривизну Земли и рефракцию.
Знаки при h 1 и h 2 определяют по знакам разностей
h 1 =H c -H 1 ,
h 2 = H c -H 2 , (5)
где Н с - высота вершины препятствия в точке С; Н 1 и Н 2 - высота земной поверхности в местах установки первого и второго знаков.
Рис.3. Схема определения высоты геодезических знаков
Поправки v за кривизну Земли и рефракцию вычисляют по формуле
где k - коэффициент земной рефракции; R- радиус Земли; s- расстояние от препятствия до соответствующего пункта. При k = 0,13 и R=6371 км формула (6) примет вид
V=0,068s 2 , (7)
где v получают в метрах, a s выражено в километрах.
В том случае, если превышения h 1 и h 2 имеют один и тот же знак, а расстояния s 1 и s 2 существенно разные, высоты знаков l ’ 1 и l ’ 2 , вычисленные по формулам (4), будут значительно отличаться друг от друга: один знак низкий, а другой чрезмерно высокий (рис.4). Высокие знаки строить экономически невыгодно. Поэтому высоты знаков, вычисленные по формулам (4), необходимо откорректировать так, чтобы сумма квадратов окончательных высот знаков l 1 и l 2 была наименьшей, т. е. = min. При соблюдении данного требования расходы на постройку данной пары знаков будут, как правило, наименьшими, поскольку стоимость постройки каждого знака при прочих равных условиях почти пропорциональна квадрату его высоты.
Откорректированные высоты каждой пары знаков на концах стороны при соблюдении условия = min и выполнении требования о прохождении визирного луча на заданной высоте а над препятствием вычисляются по формулам
Рис.4. Схема корректирования высоты геодезического знака
На пункте с n направлениями будет получено n значений высоты знака, так как вычисления по каждой отдельной стороне (направлению) дадут разные значения высоты знака на данном пункте. За окончательную высоту принимают ту, при которой обеспечивается видимость по всем направлениям при минимальной (допустимой) высоте прохождения визирных лучей над препятствиями. Результаты расчетов высот геодезических знаков представить в таблице 4.
Таблица 4
| Название точек | Расстояния s 1 и s 2 | Высоты Н,м | Превышения h 1 и h 2 | v, м | а,м | Приближенные высоты l 1 ’ и l 2 ’ | Откорректи-рованные высоты | Стандартные высоты знаков |
| Лискино | 2,4 | 137,5 | 3,5 | 0,4 | 1,0 | 4,9 | 6,2 | |
| С | 141,0 | |||||||
| Попово | 5,2 | 138,2 | 2,8 | 1,8 | 1,0 | 5,6 | 2,8 |
Для наиболее сложных сторон построить профили, на которых кроме поверхности земли красной линией показать открывшуюся видимость после установки геодезического знака.
3.4. Предрасчет точности элементов сети триангуляции
Для уверенного использования окончательного варианта проекта геодезической сети необходимо иметь надежные численные характеристики слабых ее элементов. На составленной схеме находим слабые стороны сети. Слабая сторона находится по принципу равно удаленности ее от исходной стороны.
В качестве критерия точности принимается средняя квадратическая ошибка измеренных величин
где µ - средняя квадратическая ошибка единицы веса;
Р F – вес рассматриваемой функции.
За ошибку единицы веса принимается ошибка измеренных величин. Так как сеть еще проектируется, углы и длины, участвующие в предрасчете, определяются по топографической карте.
Средняя квадратическая ошибка слабой стороны n-треугольника, входящего в центральную систему или геодезический четырехугольник, определяется по формуле
где m lgb - средняя квадратическая ошибка логарифма исходной стороны;
m β - средняя квадратическая ошибка измерения угла в рассматриваемом классе триангуляции;
R i – ошибка геометрической связи трегольника.
Средняя квадратическая ошибка слабой стороны n-треугольника, являющегося элементом простой цепи треугольников определяется по формуле
Вычисление ошибки геометрической связи выполняется по формуле:
R i =δ 2 А i + δ 2 В i + δ А i * δ В i , (12)
где А i и B i – связующие углы в треугольниках;
δ А i , δ В i - приращения логарифмов синусов углов А и В при изменении углов на 1" в единицах 6-го знака логарифма. Значение δ можно определить по формуле
δ А i =МctgA i (1¤ρ")10 6 =2,11ctgA i . (13)
При предрасчете точности слабой стороны по средним квадратическим ошибкам, полученным по двум ходам, вычисляется среднее весовое значение по формуле:
где m lgS 1 и m lgS 2 средние квадратические ошибки определения от базиса по 1 и 2 ходам.
Относительную ошибку найдем по формуле
Пример. Запроектированная сеть триангуляции 3 класса состоит из центральной системы (рис.5). Слабой является сторона «Кленово-Завихрастово», выполним предрасчет ее точности, результаты вычисления ошибки геометрической связи по первому и второму ходу представим в таблице 5.
Рис.5.Фрагмент сети
Таблица 5
| Ход 1 | Ход 2 | ||||||
| № | А | В | R i | № | А | В | R i |
| 5,44 | 5,05 | ||||||
| 5,62 | 5,40 | ||||||
| 6,28 | 4,81 | ||||||
| Сумма | 17,34 | Сумма | 15,25 |
m lgS1 =5,11 ; m lgS2 =4,86; m Sn(ср) =3,52;
Вывод: Полученная относительная ошибка слабой стороны удовлетворяет требованиям инструкции для сети триангуляции 3 класса.
Предрасчет точности в триангуляции 4 класса выполняется аналогичным способом.
3.5. Расчет качества сети строгим способом
Расчет качества сети строгим способом произведем на примере сети, изображенной на рис.6. Для этой сети имеем имеем 9 независимых условных уравнений: 7 уравнений фигур, 1 условие горизонта, 1 полюсное условное уравнение. Исходные данные приведены в табл. 6
Таблица 6
| Название пункта | № угла | Угол, º | δ | Название пункта | № угла | Угол, º | δ |
| A | 0.68 | F | 1.08 | ||||
| 1.71 | J | 1.17 | |||||
| B | 0.73 | 1.37 | |||||
| 1.27 | 1.65 | ||||||
| C | 1.37 | O | 0.60 | ||||
| 0.60 | 1.12 | ||||||
| D | 1.59 | 1.97 | |||||
| 1.71 | 1.32 | ||||||
| E | 1.59 | 1.03 | |||||
| 1.17 | 1.48 | ||||||
| 0.98 |
Рис.6. Сеть триангуляции 3 класса
Условные уравнения фигур:
(1) + (2) + (3) + W1 = 0
(4) + (5) + (6) + W2 = 0
(7) + (8) + (9) + W3 = 0
(10) + (11) + (12) + W4 = 0
(13) + (14) + (15) + W5 = 0
(16) + (17) + (18) + W6 = 0
(19) + (20) + (21) + W7 = 0
Условные уравнения горизонта
(1) + (5) + (8) + (11) + (14) + (17)+ W8 = 0
Полюсные условные уравнения.
После логарифмирования, приведя к линейному виду, будем иметь
δ 2 (2)-δ 3 (3)+δ 4 (4)-δ 6 (6)+δ 7 (7)-δ 9 (9)+δ 10 (10)-δ 12 (12)+δ 13 (13)-δ 15 (15)+δ 16 (16)-δ 18 (18)+W9=0
Для составления весовой функции определяем слабую сторону по известному базису.
На основании полученной системы уравнений составим таблицу коэффициентов условных уравнений и весовой функции (табл. 7). Значения δ n вычислены по формуле δ=2,11ctgβ.
Таблица 7
Коэффициенты условных уравнений
| № п/п | a | b | c | d | e | g | h | i | k | f | s |
| +1 | +1 | -0.60 | +1.40 | ||||||||
| +1 | +1.59 | +1.59 | +4.18 | ||||||||
| +1 | -1.59 | -0.59 | |||||||||
| +1 | +1.37 | +2.37 | |||||||||
| +1 | +1 | +2.00 | |||||||||
| +1 | -1.17 | -0.17 | |||||||||
| +0.68 | |||||||||||
| +1 | +0.68 | +1.68 | |||||||||
| +1 | +1 | +2.00 | |||||||||
| +1 | -1.17 | -0.17 | |||||||||
| 0.7 | |||||||||||
| +1 | +0.73 | +1.73 | |||||||||
| +1 | +1 | +1.32 | +3.32 | ||||||||
| +1 | -1.71 | -1.71 | -2.42 | ||||||||
| +1 | +1.37 | +1.37 | +3.74 | ||||||||
| +1 | +1 | +2.00 | |||||||||
| +1 | -1.27 | -1.27 | -1.54 | ||||||||
| +1 | +1.71 | +1.71 | +4.42 | ||||||||
| +1 | +1 | +2.00 | |||||||||
| +1 | -0.60 | -0.60 | -0.20 | ||||||||
| +1.00 | |||||||||||
| +1 | +1.00 | ||||||||||
| +1 | +1.00 | ||||||||||
| +1 | +1.00 | ||||||||||
| Σ | -0.06 | 1.81 | 28.75 |
Так как мы имеем большое число условных уравнений, наиболее целесообразно вычислять обратный вес функции методом двухгруппового уравнивания. Обратный вес вычисляется по формуле
где f – коэффициенты заданной функции, для которой находят среднюю квадратическую ошибку; a, b, … - коэффициенты первичного, вторичного и т.д. преобразованных уравнений второй группы; , , … - суммы коэффициентов заданной функции по тем поправкам первого, второго и т.д. уравнений фигур первой группы, которые входят в выражение функции;
n 1, n 2 , … - число поправок, входящих соответственно в первые, вторые и т.д. уравнения фигур первой группы.
При разделении уравнений на две группы в первую группу включают все уравнения фигур (для нашей сети, т.к. нет перекрывающихся треугольников). Во вторую группу войдут все остальные уравнения и весовая функция, т.е. уравнение горизонта, полюса и уравнение функции.
Таблица 8
Коэффициенты условных уравнений первой группы
| № п/п | a | b | c | d | e | g | h | f |
| -0.60 | ||||||||
| 1.59 | ||||||||
| =0.99 | ||||||||
| =0 | ||||||||
| =0 | ||||||||
| 1.32 | ||||||||
| -1.71 | ||||||||
| =-0.39 | ||||||||
| 1.37 | ||||||||
| -1.27 | ||||||||
| =0.10 | ||||||||
| 1.71 | ||||||||
| -0.60 | ||||||||
| =1.11 | ||||||||
| =0 |
I= 2 /n 1 + …+ 7 /n 7 = 0,33+0,05+0,003+0,41=0,79
Преобразованные коэффициенты вычисляются по формуле
А=а-[а]/n; В=b-[b]/n,
где А, В – преобразованные коэффициенты; n – число углов, входящих в треугольник; [а]/n – среднее значение непреобразованных коэффициентов в треугольнике; [а] – сумма непреобразованных коэффициентов в треугольнике.
Таблица 9
Таблица преобразованных уравнений второй группы и определение коэффициентов нормальных уравнений
| N поправки | i | k | I | K | f | s |
| 0,67 | -0,60 | 0,07 | ||||
| 1,59 | -0,33 | 1,59 | 1,59 | 2,85 | ||
| -1,59 | -0,34 | -1,59 | -1,93 | |||
| 0,33 | ||||||
| 1,37 | -0,33 | 1,30 | 0,97 | |||
| 0,67 | -0,06 | 0,61 | ||||
| -1,17 | -0,34 | -1,24 | -1,58 | |||
| 0,33 | 0,07 | |||||
| 0,68 | -0,33 | ,84 | 0,51 | |||
| 0,67 | 0,17 | 0,84 | ||||
| -1,17 | -0,34 | -1,01 | -1,35 | |||
| 0,33 | -0,16 | |||||
| 0,73 | -0,33 | 1,06 | 0,73 | |||
| 0,67 | 0,32 | 1,32 | 2,31 | |||
| -1,71 | -0,34 | -1,38 | -1,71 | -3,43 | ||
| 0,33 | -0,33 | |||||
| 1,37 | -0,33 | 1,34 | 1,37 | 2,38 | ||
| 0,67 | -0,04 | 0,63 | ||||
| -1,27 | -0,34 | -1,30 | -1,27 | -2,91 | ||
| 0,33 | 0,03 | |||||
| 1,71 | -0,33 | 1,34 | 1,71 | 2,72 | ||
| 0,67 | -0,37 | 0,30 | ||||
| -0,60 | -0,34 | -0,97 | -0,60 | -1,91 | ||
| 0,33 | 0,37 | |||||
| } |