Algoritam za rješavanje razlomačkih nejednadžbi s logaritmima. Složene logaritamske nejednadžbe

Mislite li da još ima vremena prije Jedinstvenog državnog ispita i da ćete imati vremena za pripremu? Možda je to tako. Ali u svakom slučaju, što student ranije započne pripreme, to uspješnije položi ispite. Danas smo odlučili posvetiti članak logaritamskim nejednakostima. Ovo je jedan od zadataka, što znači mogućnost dobivanja dodatnog kredita.

Znate li već što je logaritam? Zaista se nadamo. Ali čak i ako nemate odgovor na ovo pitanje, to nije problem. Vrlo je jednostavno razumjeti što je logaritam.

Zašto 4? Morate podići broj 3 na ovu potenciju da biste dobili 81. Nakon što shvatite princip, možete nastaviti sa složenijim izračunima.

Prošli ste kroz nejednakosti prije nekoliko godina. I od tada ih stalno susrećete u matematici. Ako imate problema s rješavanjem nejednakosti, pogledajte odgovarajući odjeljak.
Sada kada smo se upoznali s konceptima pojedinačno, prijeđimo na njihovo općenito razmatranje.

Najlakše logaritamska nejednakost.

Najjednostavnije logaritamske nejednakosti nisu ograničene na ovaj primjer; postoje još tri, samo s različitim predznacima. Zašto je to potrebno? Da bismo bolje razumjeli kako rješavati nejednadžbe logaritmima. Dajmo sada primjenjiviji primjer, još uvijek prilično jednostavan; složene logaritamske nejednakosti ostavit ćemo za kasnije.

Kako to riješiti? Sve počinje s ODZ-om. Vrijedno je znati više o tome ako želite uvijek lako riješiti svaku nejednadžbu.

Što je ODZ? ODZ za logaritamske nejednadžbe

Skraćenica označava područje prihvatljive vrijednosti. Ova se formulacija često pojavljuje u zadacima za Jedinstveni državni ispit. ODZ će vam biti od koristi ne samo u slučaju logaritamskih nejednakosti.

Ponovno pogledajte gornji primjer. Na temelju njega ćemo razmotriti ODZ, kako biste razumjeli princip, a rješavanje logaritamskih nejednakosti ne postavlja pitanja. Iz definicije logaritma slijedi da 2x+4 mora biti veće od nule. U našem slučaju to znači sljedeće.

Ovaj broj, po definiciji, mora biti pozitivan. Riješite gornju nejednadžbu. To se može učiniti čak i usmeno, ovdje je jasno da X ne može biti manji od 2. Rješenje nejednakosti bit će definiranje raspona prihvatljivih vrijednosti.
Sada prijeđimo na rješavanje najjednostavnije logaritamske nejednadžbe.

Odbacujemo same logaritme s obje strane nejednakosti. Što nam kao rezultat ostaje? Jednostavna nejednakost.

Nije teško riješiti. X mora biti veći od -0,5. Sada kombiniramo dvije dobivene vrijednosti u sustav. Tako,

Ovo će biti raspon prihvatljivih vrijednosti za logaritamsku nejednakost koja se razmatra.

Zašto nam uopće treba ODZ? Ovo je prilika za uklanjanje netočnih i nemogućih odgovora. Ako odgovor nije unutar raspona prihvatljivih vrijednosti, tada odgovor jednostavno nema smisla. Ovo je vrijedno zapamtiti dugo vremena, jer na Jedinstvenom državnom ispitu često postoji potreba za traženjem ODZ-a, a ne odnosi se samo na logaritamske nejednakosti.

Algoritam za rješavanje logaritamske nejednadžbe

Rješenje se sastoji od nekoliko faza. Prvo morate pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti. U ODZ-u će biti dva značenja, o tome smo gore razgovarali. Zatim morate riješiti samu nejednadžbu. Metode rješenja su sljedeće:

metoda zamjene množitelja;
raspad;
metoda racionalizacije.

Ovisno o situaciji, vrijedi koristiti jednu od gore navedenih metoda. Prijeđimo izravno na rješenje. Otkrijmo najpopularniju metodu, koja je prikladna za rješavanje zadataka Jedinstvenog državnog ispita u gotovo svim slučajevima. Zatim ćemo pogledati metodu dekompozicije. Može pomoći ako naiđete na posebno nezgodnu nejednakost. Dakle, algoritam za rješavanje logaritamske nejednadžbe.

Primjeri rješenja :

Nismo uzalud uzeli upravo ovu nejednakost! Obratite pozornost na bazu. Upamtite: ako je veći od jedan, znak ostaje isti pri pronalaženju raspona prihvatljivih vrijednosti; u suprotnom, trebate promijeniti znak nejednakosti.

Kao rezultat toga dobivamo nejednakost:

Sada predstavljamo lijeva strana obliku jednadžbe jednaka nuli. Umjesto znaka “manje od” stavimo “jednako” i riješimo jednadžbu. Tako ćemo pronaći ODZ. Nadamo se da nećete imati problema s rješavanjem tako jednostavne jednadžbe. Odgovori su -4 i -2. To nije sve. Morate prikazati ove točke na grafikonu, stavljajući "+" i "-". Što za to treba učiniti? Zamijenite brojeve iz intervala u izraz. Gdje su vrijednosti pozitivne, tamo stavljamo "+".

Odgovor: x ne može biti veći od -4 ni manji od -2.

Pronašli smo raspon prihvatljivih vrijednosti samo za lijevu stranu; sada moramo pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti za desnu stranu. Ovo je puno lakše. Odgovor: -2. Presijecamo oba rezultirajuća područja.

I tek sada počinjemo rješavati samu nejednakost.

Pojednostavimo ga što je moguće više kako bismo ga lakše riješili.

Ponovno koristimo metodu intervala u rješenju. Preskočimo izračune, sve je već jasno iz prethodnog primjera. Odgovor.

Ali ova je metoda prikladna ako logaritamska nejednadžba ima iste baze.

Rješavanje logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi sa iz različitih razloga pretpostavlja početno svođenje na jednu osnovicu. Zatim upotrijebite gore opisanu metodu. Ali postoji i kompliciraniji slučaj. Razmotrimo jednu od najsloženijih vrsta logaritamskih nejednakosti.

Logaritamske nejednadžbe s promjenjivom bazom

Kako riješiti nejednadžbe s takvim karakteristikama? Da, i takvi se ljudi mogu naći na Jedinstvenom državnom ispitu. Rješavanje nejednakosti na sljedeći način također će imati blagotvoran učinak na vaš obrazovni proces. Hajdemo razumjeti problem detaljno. Odbacimo teoriju i prijeđimo ravno na praksu. Za rješavanje logaritamskih nejednakosti dovoljno je jednom se upoznati s primjerom.

Za rješavanje logaritamske nejednadžbe prikazanog oblika potrebno je desnu stranu svesti na logaritam s istom bazom. Princip nalikuje ekvivalentnim prijelazima. Kao rezultat toga, nejednakost će izgledati ovako.

Zapravo, sve što preostaje je stvoriti sustav nejednakosti bez logaritama. Koristeći se metodom racionalizacije, prelazimo na ekvivalentni sustav nejednakosti. Razumjet ćete samo pravilo kada zamijenite odgovarajuće vrijednosti i pratite njihove promjene. Sustav će imati sljedeće nejednakosti.

Kada koristite metodu racionalizacije pri rješavanju nejednakosti, morate zapamtiti sljedeće: jedan se mora oduzeti od baze, x se, po definiciji logaritma, oduzima od obje strane nejednadžbe (desno od lijevo), dva izraza se množe. i postaviti pod izvorni znak u odnosu na nulu.

Daljnje rješenje provodi se metodom intervala, ovdje je sve jednostavno. Važno je da razumijete razlike u metodama rješenja, tada će sve početi funkcionirati lako.

Postoje mnoge nijanse u logaritamskim nejednadžbama. Najjednostavnije od njih prilično je lako riješiti. Kako možete riješiti svaki od njih bez problema? Sve odgovore ste već dobili u ovom članku. Sada je pred vama duga praksa. Konstantno vježbajte rješavanje raznih zadataka na ispitu i moći ćete dobiti najvišu ocjenu. Sretno vam u vašem teškom zadatku!

Logaritamske nejednadžbe

U prethodnim lekcijama upoznali smo se s logaritamskim jednadžbama i sada znamo što su i kako ih riješiti. Današnja lekcija bit će posvećena proučavanju logaritamskih nejednakosti. Koje su to nejednadžbe i koja je razlika između rješavanja logaritamske jednadžbe i nejednadžbe?

Logaritamske nejednadžbe su nejednadžbe koje imaju varijablu koja se pojavljuje ispod znaka logaritma ili u njegovoj osnovi.

Ili, također možemo reći da je logaritamska nejednadžba nejednadžba u kojoj će se njena nepoznata vrijednost, kao u logaritamskoj jednadžbi, pojaviti pod znakom logaritma.

Najjednostavnije logaritamske nejednadžbe imaju sljedeći oblik:

gdje su f(x) i g(x) neki izrazi koji ovise o x.

Pogledajmo ovo koristeći ovaj primjer: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Rješavanje logaritamskih nejednadžbi

Prije rješavanja logaritamskih nejednakosti, vrijedi napomenuti da su kada se riješe slične eksponencijalne nejednakosti, naime:

Prvo, kada prelazimo s logaritama na izraze pod znakom logaritma, također trebamo usporediti bazu logaritma s jedinicom;

Drugo, kada rješavamo logaritamsku nejednadžbu pomoću promjene varijabli, trebamo rješavati nejednadžbe s obzirom na promjenu dok ne dobijemo najjednostavniju nejednadžbu.

Ali vi i ja smo razmatrali slične aspekte rješavanja logaritamskih nejednakosti. Sada obratimo pažnju na prilično značajnu razliku. Vi i ja znamo da logaritamska funkcija ima ograničenu domenu definicije, stoga, kada prelazimo s logaritama na izraze pod znakom logaritma, moramo uzeti u obzir raspon dopuštenih vrijednosti (ADV).

Odnosno treba uzeti u obzir da prilikom odlučivanja logaritamska jednadžba Ti i ja možemo prvo pronaći korijene jednadžbe, a zatim provjeriti ovo rješenje. Ali rješavanje logaritamske nejednadžbe neće ići na ovaj način, budući da će od logaritama do izraza pod znakom logaritma biti potrebno zapisati ODZ nejednadžbe.

Osim toga, vrijedi podsjetiti da se teorija nejednakosti sastoji od realnih brojeva, a to su pozitivni i negativni brojevi, kao i broja 0.

Na primjer, kada je broj "a" pozitivan, tada morate koristiti sljedeću oznaku: a >0. U tom će slučaju i zbroj i umnožak ovih brojeva također biti pozitivni.

Glavni princip za rješavanje nejednadžbe je zamijeniti je jednostavnijom nejednadžbom, ali glavno je da je ekvivalentna zadanoj. Nadalje, dobili smo i nejednadžbu i opet je zamijenili onom koja ima jednostavniji oblik itd.

Kada rješavate nejednadžbe s varijablom, morate pronaći sva njezina rješenja. Ako dvije nejednadžbe imaju istu varijablu x, tada su te nejednadžbe ekvivalentne, pod uvjetom da se njihova rješenja podudaraju.

Prilikom izvođenja zadataka rješavanja logaritamskih nejednakosti, morate imati na umu da kada je a > 1, tada logaritamska funkcija raste, a kada je 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Metode rješavanja logaritamskih nejednadžbi

Sada pogledajmo neke od metoda koje se koriste pri rješavanju logaritamskih nejednadžbi. Radi boljeg razumijevanja i asimilacije pokušat ćemo ih razumjeti na konkretnim primjerima.

Svi znamo da najjednostavnija logaritamska nejednadžba ima sljedeći oblik:

U ovoj nejednakosti V – je jedan od sljedećih znakova nejednakosti:<,>, ≤ ili ≥.

Kada je baza zadanog logaritma veća od jedan (a>1), čime se prelazi sa logaritama na izraze pod znakom logaritma, tada je u ovoj verziji znak nejednakosti sačuvan, a nejednakost će imati sljedeći oblik:

što je ekvivalentno ovom sustavu:

U slučaju kada je baza logaritma veća od nule i manja od jedinice (0

Ovo je ekvivalentno ovom sustavu:

Pogledajmo još primjera rješavanja najjednostavnijih logaritamskih nejednakosti prikazanih na slici ispod:

Rješavanje primjera

Vježbajte. Pokušajmo riješiti ovu nejednakost:

Rješavanje raspona prihvatljivih vrijednosti.

Sada pokušajmo pomnožiti njegovu desnu stranu s:

Da vidimo što možemo smisliti:

Sada prijeđimo na pretvaranje sublogaritamskih izraza. Zbog činjenice da je baza logaritma 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

A iz ovoga slijedi da interval koji smo dobili u cijelosti pripada ODZ i rješenje je takve nejednadžbe.

Evo odgovora koji smo dobili:

Što je potrebno za rješavanje logaritamskih nejednadžbi?

Pokušajmo sada analizirati što nam je potrebno za uspješno rješavanje logaritamskih nejednakosti?

Prvo koncentrirajte svu svoju pozornost i pokušajte ne pogriješiti pri izvođenju transformacija koje su dane u ovoj nejednadžbi. Također, treba imati na umu da je pri rješavanju takvih nejednadžbi potrebno izbjegavati proširenja i skupljanja nejednadžbi, što može dovesti do gubitka ili dobivanja stranih rješenja.

Drugo, pri rješavanju logaritamskih nejednadžbi morate naučiti logično razmišljati i razumjeti razliku između pojmova kao što su sustav nejednadžbi i skup nejednadžbi, kako biste lakše birali rješenja nejednadžbe, vodeći se njezinim DL-om.

Treće, da biste uspješno riješili takve nejednakosti, svatko od vas mora savršeno poznavati sva svojstva elementarnih funkcija i jasno razumjeti njihovo značenje. Takve funkcije uključuju ne samo logaritamske, već i racionalne, snage, trigonometrijske itd., Jednom riječju, sve one koje ste učili tijekom školske algebre.

Kao što vidite, nakon što ste proučili temu logaritamskih nejednakosti, nema ništa teško u rješavanju ovih nejednakosti, pod uvjetom da ste pažljivi i uporni u postizanju svojih ciljeva. Kako biste izbjegli probleme u rješavanju nejednadžbi, potrebno je što više vježbati rješavanje različitih zadataka i pritom se prisjetiti osnovnih metoda rješavanja takvih nejednadžbi i njihovih sustava. Ako ne uspijete riješiti logaritamske nejednadžbe, trebali biste pažljivo analizirati svoje pogreške kako im se u budućnosti više ne bi vraćali.

Domaća zadaća

Za bolje razumijevanje teme i učvršćivanje pređenog gradiva riješite sljedeće nejednadžbe:

Nejednadžba se naziva logaritamskom ako sadrži logaritamsku funkciju.

Metode za rješavanje logaritamskih nejednakosti ne razlikuju se od, osim u dvije stvari.

Prvo, kada se prelazi s logaritamske nejednadžbe na nejednakost sublogaritamskih funkcija, treba slijedi znak dobivene nejednakosti. Poštuje sljedeće pravilo.

Ako je baza logaritamske funkcije veća od $1$, tada se pri prelasku s logaritamske nejednakosti na nejednakost podlogaritamskih funkcija znak nejednadžbe zadržava, ali ako je manji od $1$, tada se mijenja u suprotan .

Drugo, rješenje svake nejednadžbe je interval, pa je stoga na kraju rješavanja nejednakosti sublogaritamskih funkcija potrebno napraviti sustav dviju nejednadžbi: prva nejednadžba tog sustava bit će nejednakost sublogaritamskih funkcija, a drugi će biti interval domene definicije logaritamskih funkcija uključenih u logaritamsku nejednadžbu.

Praksa.

Riješimo nejednakosti:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Baza logaritma je $2>1$, pa se predznak ne mijenja. Koristeći definiciju logaritma, dobivamo:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x\in\)

Jako važno! U bilo kojoj nejednakosti, prijelaz s oblika $\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))$ na usporedbu izraza pod logaritmima može se izvršiti samo ako:

Primjer . Riješite nejednadžbu: $\log$$≤-1$

Riješenje:

$\log$ $_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))$$≤-1$	Ispišimo ODZ.
ODZ: $\frac(3x-2)(2x-3)$ $>0$
$⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)$$≥$ $0$	Otvaramo zagrade i donosimo .
$⁡\frac(-3x+7)(2x-3)$ $≥$ $0$	Nejednakost množimo s $-1$, ne zaboravljajući obrnuti znak usporedbe.
$⁡\frac(3x-7)(2x-3)$ $≤$ $0$
$⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))$$≤$ $0$	Konstruirajmo brojevni pravac i na njemu označimo točke $\frac(7)(3)$ i $\frac(3)(2)$. Imajte na umu da je točka uklonjena iz nazivnika, unatoč činjenici da nejednakost nije stroga. Činjenica je da ova točka neće biti rješenje, jer kada se zamijeni u nejednadžbu dovest će nas do dijeljenja s nulom.
$x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$	Sada crtamo ODZ na istoj numeričkoj osi i kao odgovor zapisujemo interval koji ulazi u ODZ.
	Zapisujemo konačni odgovor.

Odgovor: $x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$

Primjer . Riješite nejednadžbu: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$

Riješenje:

$\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Ispišimo ODZ.
ODZ: $x>0$	Idemo do rješenja.
Rješenje: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Ovdje imamo tipičnu kvadratno-logaritamsku nejednakost. Učinimo to.
$t=\log_3⁡x$ $t^2-t-2>0$	Proširujemo lijevu stranu nejednadžbe u .
$D=1+8=9$ $t_1= \frac(1+3)(2)=2$ $t_2=\frac(1-3)(2)=-1$ $(t+1)(t-2)>0$
	Sada se moramo vratiti na izvornu varijablu - x. Da bismo to učinili, idemo na , koji ima isto rješenje, i napravimo obrnutu zamjenu.
$\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.$	Transformacija $2=\log_3⁡9$, $-1=\log_3⁡\frac(1)(3)$.
$\lijevo[ \begin(sakupljeno) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Prijeđimo na usporedbu argumenata. Baze logaritama veće su od $1$, pa se predznak nejednakosti ne mijenja.
$\lijevo[ \begin(sakupljeno) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Spojimo rješenje nejednadžbe i ODZ na jednoj slici.
	Zapišimo odgovor.

Odgovor: $(0; \frac(1)(3))∪(9;∞)$

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Ispišimo ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Otvaramo zagrade i donosimo .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Nejednakost množimo s \(-1\), ne zaboravljajući obrnuti znak usporedbe.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Konstruirajmo brojevni pravac i na njemu označimo točke \(\frac(7)(3)\) i \(\frac(3)(2)\). Imajte na umu da je točka uklonjena iz nazivnika, unatoč činjenici da nejednakost nije stroga. Činjenica je da ova točka neće biti rješenje, jer kada se zamijeni u nejednadžbu dovest će nas do dijeljenja s nulom.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Sada crtamo ODZ na istoj numeričkoj osi i kao odgovor zapisujemo interval koji ulazi u ODZ.
	Zapisujemo konačni odgovor.

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Ispišimo ODZ.
ODZ: \(x>0\)	Idemo do rješenja.
Rješenje: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Ovdje imamo tipičnu kvadratno-logaritamsku nejednakost. Učinimo to.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Proširujemo lijevu stranu nejednadžbe u .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Sada se moramo vratiti na izvornu varijablu - x. Da bismo to učinili, idemo na , koji ima isto rješenje, i napravimo obrnutu zamjenu.
\(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Transformacija \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\lijevo[ \begin(sakupljeno) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Prijeđimo na usporedbu argumenata. Baze logaritama veće su od \(1\), pa se predznak nejednakosti ne mijenja.
\(\lijevo[ \begin(sakupljeno) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Spojimo rješenje nejednadžbe i ODZ na jednoj slici.
	Zapišimo odgovor.