Logaritamske jednadžbe! Rješavanje logaritamskih jednadžbi. Kako riješiti, s primjerima

Logaritmi se, kao i svi brojevi, mogu zbrajati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali budući da logaritmi nisu baš obični brojevi, postoje ovdje pravila, koja se zovu glavna svojstva.

Ova pravila svakako morate znati - bez njih se ne može riješiti niti jedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, vrlo ih je malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa krenimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istim bazama: log a x i log a g. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati, i:

log a x+ log a g= log a (x · g);
log a x− trupac a g= log a (x : g).

Dakle, zbroj logaritama jednak je logaritmu umnoška, a razlika je jednaka logaritmu kvocijenta. Bilješka: ključni trenutak ovdje - identične osnove. Ako su razlozi drugačiji, ova pravila ne rade!

Ove formule pomoći će vam izračunati logaritamski izraz čak i kada se ne uzimaju u obzir njegovi pojedinačni dijelovi (pogledajte lekciju “Što je logaritam”). Pogledajte primjere i pogledajte:

Log 6 4 + log 6 9.

Budući da logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu zbroja:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 2 48 − log 2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 3 135 − log 3 5.

Opet su baze iste, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kao što vidite, izvorni izrazi sastoje se od "loših" logaritama koji se ne izračunavaju zasebno. No nakon transformacija dobivaju se posve normalni brojevi. Mnogi su izgrađeni na ovoj činjenici testni radovi. Da, izrazi slični testovima nude se ozbiljno (ponekad bez gotovo ikakvih promjena) na Jedinstvenom državnom ispitu.

Izdvajanje eksponenta iz logaritma

Sada malo zakomplicirajmo zadatak. Što ako je baza ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz znaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali bolje ga je ipak zapamtiti - u nekim će slučajevima to značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se promatra ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x> 0. I još nešto: naučite primijeniti sve formule ne samo slijeva na desno, već i obrnuto, tj. Brojeve ispred znaka logaritma možete unijeti u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 7 49 6 .

Riješimo se stupnja u argumentu pomoću prve formule:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite značenje izraza:
[Natpis za sliku]

Imajte na umu da nazivnik sadrži logaritam čija su baza i argument točne potencije: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Imamo:

[Natpis za sliku]

Mislim da posljednji primjer zahtijeva malo pojašnjenja. Gdje su nestali logaritmi? Do zadnjeg trenutka radimo samo s nazivnikom. Predstavili smo bazu i argument logaritma koji tamo stoji u obliku potencija i izvadili eksponente - dobili smo "trokatni" razlomak.

Sada pogledajmo glavnu frakciju. Brojnik i nazivnik sadrže isti broj: log 2 7. Budući da je log 2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema aritmetičkim pravilima, četvorka se može prenijeti u brojnik, što je i učinjeno. Rezultat je bio odgovor: 2.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da ona rade samo s istim bazama. Što ako su razlozi drugačiji? Što ako nisu točne potencije istog broja?

Formule za prijelaz na novi temelj dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teorema:

Neka je zadan log logaritma a x. Zatim za bilo koji broj c takav da c> 0 i c≠ 1, vrijedi jednakost:
[Natpis za sliku]
Konkretno, ako stavimo c = x, dobivamo:
[Natpis za sliku]

Iz druge formule proizlazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz “okreće”, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.

Ove se formule rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodni moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

Međutim, postoje problemi koji se uopće ne mogu riješiti osim prelaskom na novi temelj. Pogledajmo nekoliko od njih:

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže točne potencije. Izvadimo indikatore: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sada "obrnimo" drugi logaritam:

[Natpis za sliku]

Budući da se umnožak ne mijenja preslagivanjem faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log 9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su egzaktne potencije. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:

[Natpis za sliku]

Sada se riješimo decimalnog logaritma prelaskom na novu bazu:

[Natpis za sliku]

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam zadane baze. U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:

U prvom slučaju broj n postaje pokazatelj stupnja stajališta u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula zapravo je parafrazirana definicija. To je ono što se zove: osnovni logaritamski identitet.

Zapravo, što će se dogoditi ako broj b podići na takvu snagu da broj b ovoj moći daje broj a? Tako je: dobivate isti broj a. Ponovno pažljivo pročitajte ovaj odlomak - mnogi ljudi zapnu na njemu.

Poput formula za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:
[Natpis za sliku]

Imajte na umu da je log 25 64 = log 5 8 - jednostavno uzeo kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Razmatrajući pravila za množenje potencije s ista osnova, dobivamo:

[Natpis za sliku]

Ako netko ne zna, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja se teško mogu nazvati svojstvima - prije su posljedice definicije logaritma. Stalno se pojavljuju u problemima i, začudo, stvaraju probleme čak i “naprednim” učenicima.

log a a= 1 je logaritamska jedinica. Zapamtite jednom zauvijek: logaritam prema bilo kojoj bazi a iz ove same baze jednako je jedan.
log a 1 = 0 je logaritamska nula. Baza a može biti bilo što, ali ako argument sadrži jedinicu, logaritam je jednak nuli! Jer a 0 = 1 izravna je posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite varalicu na početku lekcije, isprintajte je i riješite zadatke.

Algebra 11. razred

Tema: “Metode rješavanja logaritamskih jednadžbi”

Ciljevi lekcije:

obrazovni: formiranje znanja o na različite načine rješavanje logaritamskih jednadžbi, vještine njihove primjene u svakoj konkretna situacija i odaberite bilo koju metodu za rješavanje;

razvijanje: razvijanje vještina promatranja, uspoređivanja, primjene znanja u novoj situaciji, prepoznavanja obrazaca, generaliziranja; razvijanje vještina međusobne kontrole i samokontrole;

odgojni: njegovanje odgovornog odnosa prema odgojno-obrazovnom radu, pažljivo sagledavanje gradiva na satu i pažljivo bilježenje.

Vrsta lekcije: sat uvođenja novog gradiva.

“Izum logaritama, iako je smanjio astronomov rad, produžio mu je život.”
Francuski matematičar i astronom P.S. Laplace

Tijekom nastave

I. Postavljanje cilja lekcije

Proučena definicija logaritma, svojstva logaritama i logaritamske funkcije omogućit će nam rješavanje logaritamskih jednadžbi. Sve logaritamske jednadžbe, bez obzira koliko su složene, rješavaju se pomoću jedinstvenih algoritama. Pogledat ćemo ove algoritme u današnjoj lekciji. Nema ih puno. Ako ih svladate, svaka jednadžba s logaritmima bit će izvediva za svakog od vas.

Zapišite temu lekcije u svoju bilježnicu: “Metode rješavanja logaritamskih jednadžbi.” Pozivam sve na suradnju.

II. Aktualizacija referentnog znanja

Pripremimo se za proučavanje teme lekcije. Svaki zadatak rješavate i upisujete odgovor, ne morate pisati uvjet. Raditi u parovima.

1) Za koje vrijednosti x funkcija ima smisla:

(Odgovori se provjeravaju za svaki slajd i greške se razvrstavaju)

2) Da li se grafovi funkcija podudaraju?

3) Jednakosti prepišite kao logaritamske jednakosti:

4) Zapišite brojeve kao logaritme s bazom 2:

5) Izračunajte:

6) Pokušajte vratiti ili nadopuniti elemente koji nedostaju u ovim jednakostima.

III. Upoznavanje s novim gradivom

Na ekranu se prikazuje sljedeća izjava:

“Jednadžba je zlatni ključ koji otvara sve matematičke sezame.”
Moderni poljski matematičar S. Kowal

Pokušajte formulirati definiciju logaritamske jednadžbe. (Jednadžba koja ispod predznaka logaritma sadrži nepoznanicu).

Razmotrimo najjednostavnija logaritamska jednadžba:logAx = b(gdje je a>0, a ≠ 1). Budući da logaritamska funkcija raste (ili opada) na skupu pozitivnih brojeva i poprima sve realne vrijednosti, onda prema teoremu o korijenu slijedi da za bilo koje b ova jednadžba ima, i to samo jedno, rješenje, i to pozitivno.

Zapamtite definiciju logaritma. (Logaritam broja x na bazu a pokazatelj je potencije na koju se baza a mora podići da bi se dobio broj x). Iz definicije logaritma odmah slijedi da AV je takvo rješenje.

Zapiši naslov: Metode rješavanja logaritamskih jednadžbi

1. Po definiciji logaritma.

Tako se rješavaju najjednostavnije jednadžbe oblika.

Razmotrimo br. 514(a)): Riješite jednadžbu

Kako to predlažete riješiti? (Prema definiciji logaritma)

Riješenje. , Stoga je 2x - 4 = 4; x = 4.

U ovom zadatku, 2x - 4 > 0, budući da je > 0, tako da se ne mogu pojaviti vanjski korijeni i nema potrebe za provjerom. U ovom zadatku nema potrebe ispisivati uvjet 2x - 4 > 0.

2. Potenciranje(prijelaz s logaritma zadanog izraza na sam ovaj izraz).

Razmotrimo br. 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Koju ste značajku primijetili? (Baze su iste i logaritmi dvaju izraza su jednaki.) Što može biti učinjeno? (Potencirati).

Treba uzeti u obzir da je svako rješenje sadržano među svim x za koje su logaritamski izrazi pozitivni.

Rješenje: ODZ:

X2+8>0 je nepotrebna nejednakost

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

Potencirajmo izvornu jednadžbu

dobivamo jednadžbu x2+8= 8x+8

Riješimo to: x2-8x=0

Odgovor: 0; 8

Općenito prelazak na ekvivalentni sustav:

Jednadžba

(Sustav sadrži redundantni uvjet - jedna od nejednakosti se ne mora razmatrati).

Pitanje za razred: Koje vam se od ova tri rješenja najviše svidjelo? (Rasprava o metodama).

Imate pravo odlučiti na bilo koji način.

3. Uvođenje nove varijable.

Razmotrimo br. 520(g). .

Što ste primijetili? (Ovaj kvadratna jednadžba u vezi log3x) Vaši prijedlozi? (Uvedite novu varijablu)

Riješenje. ODZ: x > 0.

Neka , tada jednadžba ima oblik:. Diskriminanta D > 0. Korijeni prema Vietaovom teoremu:.

Vratimo se zamjeni: odn.

Rješavanjem najjednostavnijih logaritamskih jednadžbi dobivamo:

Odgovor: 27;

4. Logaritmirajte obje strane jednadžbe.

Riješite jednadžbu:.

Rješenje: ODZ: x>0, uzmite logaritam obje strane jednadžbe u bazi 10:

Primijenimo svojstvo logaritma potencije:

(logx + 3) logx = 4

Neka je logx = y, tada je (y + 3)y = 4

, (D > 0) korijeni prema Vietinom teoremu: y1 = -4 i y2 = 1.

Vratimo se na zamjenu, dobivamo: lgx = -4,; lgx = 1, .

Odgovor: 0,0001; 10.

5. Svođenje na jednu bazu.

br. 523(c). Riješite jednadžbu:

Rješenje: ODZ: x>0. Prijeđimo na bazu 3.

6. Funkcionalno-grafička metoda.

№ 509(d). Grafički riješite jednadžbu: = 3 - x.

Kako predlažete riješiti? (Napraviti grafove dviju funkcija y = log2x i y = 3 - x pomoću točaka i tražiti apscisu točaka presjeka grafova).

Pogledajte svoje rješenje na slajdu.

Postoji način da se izbjegne izrada grafikona . To je kako slijedi : ako jedna od funkcija y = f(x) povećava, a drugi y = g(x) opada na intervalu X, tada jednadžba f(x)= g(x) ima najviše jedan korijen na intervalu X.

Ako postoji korijen, onda se može pogoditi.

U našem slučaju funkcija raste za x>0, a funkcija y = 3 - x opada za sve vrijednosti x, uključujući i za x>0, što znači da jednadžba nema više od jednog korijena. Imajte na umu da se pri x = 2 jednadžba pretvara u pravu jednakost, jer .

« Ispravna uporaba metode se mogu naučiti
samo primjenom istih na razni primjeri».
Danski povjesničar matematike G. G. Zeiten

jaV. Domaća zadaća

39. razmotrite primjer 3, riješite br. 514(b), br. 529(b), br. 520(b), br. 523(b)

V. Sažimanje lekcije

Koje smo metode rješavanja logaritamskih jednadžbi promatrali na satu?

U sljedećim lekcijama ćemo pogledati složenije jednadžbe. Za njihovo rješavanje bit će korisne proučavane metode.

Zadnji prikazan slajd:

“Što je više od svega na svijetu?
Prostor.
Što je najmudrije?
Vrijeme.
Koji je najbolji dio?
Postignite ono što želite."
Thales

Želim svima da postignu ono što žele. Zahvaljujemo na suradnji i razumijevanju.

glavna svojstva.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

identične osnove

Log6 4 + log6 9.

Sada malo zakomplicirajmo zadatak.

Primjeri rješavanja logaritama

Što ako je baza ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz znaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se promatra ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x >

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Prijelaz na novi temelj

Neka je dan logaritam logax. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Vidi također:

Osnovna svojstva logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je jednak 2,7 i dvostrukoj godini rođenja Lava Nikolajeviča Tolstoja.

Osnovna svojstva logaritama

Poznavajući ovo pravilo, znat ćete i točnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

Primjeri za logaritme

Logaritamski izrazi

Primjer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Koristeći svojstva 3.5 izračunavamo

4. Gdje .

Primjer 2. Nađi x ako

Primjer 3. Neka je zadana vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi se, kao i svi brojevi, mogu zbrajati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali budući da logaritmi nisu baš obični brojevi, postoje ovdje pravila, koja se zovu glavna svojstva.

Ova pravila svakako morate znati - bez njih se ne može riješiti niti jedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, vrlo ih je malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa krenimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istim bazama: logax i logay. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati, i:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Dakle, zbroj logaritama jednak je logaritmu umnoška, a razlika je jednaka logaritmu kvocijenta. Imajte na umu: ključna točka ovdje je identične osnove. Ako su razlozi drugačiji, ova pravila ne rade!

Ove formule će vam pomoći izračunati logaritamski izraz čak i kada se ne uzimaju u obzir njegovi pojedinačni dijelovi (pogledajte lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Budući da logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu zbroja:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet su baze iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kao što vidite, izvorni izrazi sastoje se od "loših" logaritama koji se ne izračunavaju zasebno. No nakon transformacija dobivaju se posve normalni brojevi. Mnogi testovi temelje se na ovoj činjenici. Da, izrazi slični testovima nude se ozbiljno (ponekad bez gotovo ikakvih promjena) na Jedinstvenom državnom ispitu.

Izdvajanje eksponenta iz logaritma

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali bolje ga je ipak zapamtiti - u nekim će slučajevima to značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se promatra ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primijeniti sve formule ne samo slijeva na desno, već i obrnuto , tj. Brojeve ispred znaka logaritma možete unijeti u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Riješimo se stupnja u argumentu pomoću prve formule:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da nazivnik sadrži logaritam čija su baza i argument točne potencije: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer zahtijeva malo pojašnjenja. Gdje su nestali logaritmi? Do zadnjeg trenutka radimo samo s nazivnikom.

Logaritamske formule. Logaritmi primjeri rješenja.

Predstavili smo bazu i argument logaritma koji tamo stoji u obliku potencija i izvadili eksponente - dobili smo "trokatni" razlomak.

Sada pogledajmo glavnu frakciju. Brojnik i nazivnik sadrže isti broj: log2 7. Budući da je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema aritmetičkim pravilima, četvorka se može prenijeti u brojnik, što je i učinjeno. Rezultat je bio odgovor: 2.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da ona rade samo s istim bazama. Što ako su razlozi drugačiji? Što ako nisu točne potencije istog broja?

Formule za prijelaz na novi temelj dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teorema:

Neka je dan logaritam logax. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Konkretno, ako postavimo c = x, dobivamo:

Iz druge formule proizlazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz “okreće”, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.

Ove se formule rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodni moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

Međutim, postoje problemi koji se uopće ne mogu riješiti osim prelaskom na novi temelj. Pogledajmo nekoliko od njih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže točne potencije. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada "obrnimo" drugi logaritam:

Budući da se umnožak ne mijenja preslagivanjem faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su egzaktne potencije. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma prelaskom na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam zadane baze. U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:

U prvom slučaju broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je samo logaritamska vrijednost.

Druga formula zapravo je parafrazirana definicija. Tako se zove: .

Zapravo, što se događa ako se broj b podigne na takvu potenciju da broj b na tu potenciju daje broj a? Tako je: rezultat je isti broj a. Ponovno pažljivo pročitajte ovaj odlomak - mnogi ljudi zapnu na njemu.

Poput formula za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - jednostavno uzeo kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Uzimajući u obzir pravila množenja potencije s istom bazom, dobivamo:

Ako netko ne zna, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

logaa = 1 je. Zapamtite jednom zauvijek: logaritam bilo koje baze a same te baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo što, ali ako argument sadrži jedinicu, logaritam je jednak nuli! Budući da je a0 = 1 izravna posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite varalicu na početku lekcije, isprintajte je i riješite zadatke.

Vidi također:

Logaritam od b na bazi a označava izraz. Izračunati logaritam znači pronaći potenciju x () pri kojoj je jednakost zadovoljena

Osnovna svojstva logaritma

Navedena svojstva potrebno je poznavati jer se gotovo svi zadaci i primjeri vezani uz logaritme rješavaju na temelju njih. Odmor egzotična svojstva može se izvesti matematičkom manipulacijom ovih formula

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Kod izračunavanja formule za zbroj i razliku logaritama (3.4) često se susrećete. Ostali su donekle složeni, ali su u nizu zadataka nezamjenjivi za pojednostavljenje složenih izraza i izračunavanje njihovih vrijednosti.

Uobičajeni slučajevi logaritma

Neki od uobičajenih logaritama su oni kod kojih je baza čak deset, eksponencijalna ili dva.
Logaritam na bazi deset obično se naziva decimalni logaritam i jednostavno se označava s lg(x).

Na snimci se jasno vidi da u snimci nisu zapisane osnovne stvari. Na primjer

Prirodni logaritam je logaritam čija je baza eksponent (označen s ln(x)).

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je jednak 2,7 i dvostrukoj godini rođenja Lava Nikolajeviča Tolstoja. Poznavajući ovo pravilo, znat ćete i točnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

I još jedan važan logaritam za bazu dva je označen sa

Derivacija logaritma funkcije jednaka je jedinici podijeljenoj s varijablom

Integralni ili antiderivacijski logaritam određen je odnosom

Zadani materijal dovoljan vam je za rješavanje široke klase zadataka vezanih uz logaritme i logaritme. Da biste lakše razumjeli gradivo, navest ću samo nekoliko uobičajenih primjera iz školski plan i program i sveučilišta.

Primjeri za logaritme

Logaritamski izrazi

Primjer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Koristeći svojstva 3.5 izračunavamo

2.
Po svojstvu razlike logaritama imamo

3.
Koristeći svojstva 3.5 nalazimo

4. Gdje .

Naizgled složeni izraz pojednostavljuje se u obliku pomoću niza pravila

Pronalaženje logaritamskih vrijednosti

Primjer 2. Nađi x ako

Riješenje. Za izračun primjenjujemo na posljednji izraz 5 i 13 svojstava

Stavili smo to u zapisnik i tugujemo

Budući da su baze jednake, izjednačavamo izraze

Logaritmi. Prva razina.

Neka je dana vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Rješenje: Uzmimo logaritam varijable da zapišemo logaritam kroz zbroj njenih članova

Ovo je tek početak našeg upoznavanja s logaritmima i njihovim svojstvima. Vježbajte izračune, obogatite svoje praktične vještine - uskoro će vam trebati stečeno znanje za rješavanje logaritamskih jednadžbi. Nakon što smo proučili osnovne metode rješavanja takvih jednadžbi, proširit ćemo vaše znanje na još jednu jednako važnu temu - logaritamske nejednadžbe...

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi se, kao i svi brojevi, mogu zbrajati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali budući da logaritmi nisu baš obični brojevi, postoje ovdje pravila, koja se zovu glavna svojstva.

Ova pravila svakako morate znati - bez njih se ne može riješiti niti jedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, vrlo ih je malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa krenimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istim bazama: logax i logay. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati, i:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Ove formule će vam pomoći izračunati logaritamski izraz čak i kada se ne uzimaju u obzir njegovi pojedinačni dijelovi (pogledajte lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log6 4 + log6 9.

Budući da logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu zbroja:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet su baze iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Izdvajanje eksponenta iz logaritma

Sada malo zakomplicirajmo zadatak. Što ako je baza ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz znaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali bolje ga je ipak zapamtiti - u nekim će slučajevima to značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se promatra ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primijeniti sve formule ne samo slijeva na desno, već i obrnuto , tj. Brojeve ispred znaka logaritma možete unijeti u sam logaritam.

Kako riješiti logaritme

To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Riješimo se stupnja u argumentu pomoću prve formule:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da nazivnik sadrži logaritam čija su baza i argument točne potencije: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Sada pogledajmo glavnu frakciju. Brojnik i nazivnik sadrže isti broj: log2 7. Budući da je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema aritmetičkim pravilima, četvorka se može prenijeti u brojnik, što je i učinjeno. Rezultat je bio odgovor: 2.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da ona rade samo s istim bazama. Što ako su razlozi drugačiji? Što ako nisu točne potencije istog broja?

Formule za prijelaz na novi temelj dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teorema:

Neka je dan logaritam logax. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Konkretno, ako postavimo c = x, dobivamo:

Iz druge formule proizlazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz “okreće”, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.

Ove se formule rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodni moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

Međutim, postoje problemi koji se uopće ne mogu riješiti osim prelaskom na novi temelj. Pogledajmo nekoliko od njih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže točne potencije. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada "obrnimo" drugi logaritam:

Budući da se umnožak ne mijenja preslagivanjem faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su egzaktne potencije. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma prelaskom na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam zadane baze. U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:

U prvom slučaju broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je samo logaritamska vrijednost.

Druga formula zapravo je parafrazirana definicija. Tako se zove: .

Poput formula za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - jednostavno uzeo kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Uzimajući u obzir pravila množenja potencije s istom bazom, dobivamo:

Ako netko ne zna, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

logaa = 1 je. Zapamtite jednom zauvijek: logaritam bilo koje baze a same te baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo što, ali ako argument sadrži jedinicu, logaritam je jednak nuli! Budući da je a0 = 1 izravna posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite varalicu na početku lekcije, isprintajte je i riješite zadatke.

Kao što znate, kod množenja izraza s potencijama, njihovi eksponenti uvijek se zbrajaju (a b *a c = a b+c). Ovaj matematički zakon je izveo Arhimed, a kasnije, u 8. stoljeću, matematičar Virasen stvorio je tablicu cjelobrojnih eksponenata. Upravo su oni poslužili za daljnje otkriće logaritama. Primjeri korištenja ove funkcije mogu se naći gotovo posvuda gdje trebate pojednostaviti glomazno množenje jednostavnim zbrajanjem. Ako provedete 10 minuta čitajući ovaj članak, objasnit ćemo vam što su logaritmi i kako s njima raditi. Jednostavnim i pristupačnim jezikom.

Definicija u matematici

Logaritam je izraz sljedećeg oblika: log a b=c, to jest, logaritam bilo kojeg nenegativnog broja (to jest, bilo kojeg pozitivnog) "b" na njegovu bazu "a" smatra se potencijom "c ” na koju se mora podići baza “a” da bi se u konačnici dobila vrijednost “b”. Analizirajmo logaritam koristeći primjere, recimo da postoji izraz log 2 8. Kako pronaći odgovor? Vrlo je jednostavno, trebate pronaći takvu potenciju da od 2 do tražene potencije dobijete 8. Nakon što malo izračunate u glavi, dobivamo broj 3! I to je istina, jer 2 na potenciju 3 daje odgovor kao 8.

Vrste logaritama

Za mnoge učenike i studente ova se tema čini kompliciranom i nerazumljivom, ali zapravo logaritmi nisu tako strašni, glavna stvar je razumjeti njihovo opće značenje i zapamtiti njihova svojstva i neka pravila. Postoje tri odvojene vrste logaritamskih izraza:

Prirodni logaritam ln a, gdje je baza Eulerov broj (e = 2,7).
Decimala a, gdje je baza 10.
Logaritam bilo kojeg broja b na bazu a>1.

Svaki od njih je odlučen na standardan način, što uključuje pojednostavljenje, redukciju i naknadnu redukciju na jedan logaritam pomoću logaritamskih teorema. Da biste dobili točne vrijednosti logaritama, trebali biste se sjetiti njihovih svojstava i slijeda radnji prilikom njihovog rješavanja.

Pravila i neka ograničenja

U matematici postoji nekoliko pravila-ograničenja koja su prihvaćena kao aksiom, odnosno ne podliježu raspravi i istinita su. Na primjer, nemoguće je podijeliti brojeve s nulom, a također je nemoguće izvući parni korijen negativnih brojeva. Logaritmi također imaju svoja pravila, nakon kojih možete lako naučiti raditi čak i s dugim i prostranim logaritamskim izrazima:

Baza "a" uvijek mora biti veća od nule, a ne jednaka 1, inače će izraz izgubiti svoje značenje, jer su "1" i "0" u bilo kojem stupnju uvijek jednake svojim vrijednostima;
ako je a > 0, tada je a b >0, ispada da i “c” mora biti veće od nule.

Kako riješiti logaritme?

Na primjer, dan je zadatak pronaći odgovor na jednadžbu 10 x = 100. To je vrlo jednostavno, potrebno je odabrati potenciju dizanjem broja deset na koji dobijemo 100. To je, naravno, 10 2 = 100.

Sada predstavimo ovaj izraz u logaritamskom obliku. Dobivamo log 10 100 = 2. Kod rješavanja logaritama sve radnje praktički konvergiraju da se nađe potencija kojoj je potrebno unijeti bazu logaritma da bi se dobio zadani broj.

Da biste točno odredili vrijednost nepoznatog stupnja, morate naučiti kako raditi s tablicom stupnjeva. Ovako izgleda:

Kao što vidite, neke eksponente možete pogoditi intuitivno ako imate tehnički um i znanje o tablici množenja. Međutim, za veće vrijednosti trebat će vam tablica snage. Mogu ga koristiti čak i oni koji ne znaju baš ništa o složenim matematičkim temama. Lijevi stupac sadrži brojeve (baza a), Gornji red brojeva je vrijednost potencije c na koju je podignut broj a. Na raskrižju ćelije sadrže brojčane vrijednosti koje su odgovor (a c =b). Uzmimo, na primjer, prvu ćeliju s brojem 10 i kvadriramo je, dobivamo vrijednost 100, koja je naznačena na sjecištu naše dvije ćelije. Sve je tako jednostavno i lako da će i najveći humanist razumjeti!

Jednadžbe i nejednadžbe

Ispada da je pod određenim uvjetima eksponent logaritam. Stoga se svaki matematički numerički izraz može napisati kao logaritamska jednakost. Na primjer, 3 4 =81 može se napisati kao logaritam baze 3 od 81 jednak četiri (log 3 81 = 4). Za negativne potencije pravila su ista: 2 -5 = 1/32 zapisujemo kao logaritam, dobivamo log 2 (1/32) = -5. Jedan od najfascinantnijih dijelova matematike je tema "logaritmi". U nastavku ćemo pogledati primjere i rješenja jednadžbi, odmah nakon proučavanja njihovih svojstava. Sada pogledajmo kako nejednadžbe izgledaju i kako ih razlikovati od jednadžbi.

Zadan je izraz sljedećeg oblika: log 2 (x-1) > 3 - jest logaritamska nejednakost, budući da je nepoznata vrijednost "x" pod predznakom logaritma. Također se u izrazu uspoređuju dvije količine: logaritam željenog broja na osnovicu dva veći je od broja tri.

Najvažnija razlika između logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi je u tome što jednadžbe s logaritmima (primjer - logaritam 2 x = √9) podrazumijevaju jednu ili više specifičnih brojčanih vrijednosti u odgovoru, dok se kod rješavanja nejednadžbi definiraju kao područje prihvatljive vrijednosti, i prijelomne točke ove funkcije. Kao posljedica toga, odgovor nije jednostavan skup pojedinačnih brojeva, kao u odgovoru na jednadžbu, već kontinuirani niz ili skup brojeva.

Osnovni teoremi o logaritmima

Prilikom rješavanja primitivnih zadataka pronalaženja vrijednosti logaritma, njegova svojstva možda neće biti poznata. Međutim, kada su u pitanju logaritamske jednadžbe ili nejednadžbe, prije svega, potrebno je jasno razumjeti i u praksi primijeniti sva osnovna svojstva logaritama. Kasnije ćemo pogledati primjere jednadžbi; pogledajmo prvo svako svojstvo detaljnije.

Glavni identitet izgleda ovako: a logaB =B. Primjenjuje se samo kada je a veće od 0, nije jednako jedan, a B je veće od nule.
Logaritam umnoška može se predstaviti sljedećom formulom: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. U ovom slučaju preduvjet je: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Možete dati dokaz za ovu logaritamsku formulu, s primjerima i rješenjem. Neka je log a s 1 = f 1 i log a s 2 = f 2, tada je a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dobivamo da je s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (svojstva od stupnjeva ), a zatim po definiciji: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, što je i trebalo dokazati.
Logaritam kvocijenta izgleda ovako: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Teorem u obliku formule ima sljedeći oblik: log a q b n = n/q log a b.

Ova se formula naziva "svojstvo stupnja logaritma". Sliči svojstvima običnih stupnjeva, što i ne čudi, jer se sva matematika temelji na prirodnim postulatima. Pogledajmo dokaz.

Neka je log a b = t, ispada da je a t =b. Podignemo li oba dijela na potenciju m: a tn = b n ;

ali budući da je a tn = (a q) nt/q = b n, stoga je log a q b n = (n*t)/t, tada je log a q b n = n/q log a b. Teorem je dokazan.

Primjeri problema i nejednakosti

Najčešći tipovi zadataka o logaritmima su primjeri jednadžbi i nejednadžbi. Nalaze se u gotovo svim knjigama zadataka, a također su obavezan dio ispita iz matematike. Za upis na sveučilište ili polaganje prijemni ispiti u matematici treba znati pravilno rješavati takve zadatke.

Nažalost, ne postoji jedinstveni plan ili shema za rješavanje i određivanje nepoznate vrijednosti logaritma, ali se može primijeniti na svaku matematičku nejednadžbu ili logaritamsku jednadžbu određena pravila. Prije svega, trebali biste saznati može li se izraz pojednostaviti ili dovesti do Opća pojava. Duge logaritamske izraze možete pojednostaviti ako ispravno koristite njihova svojstva. Brzo ih upoznajmo.

Kada rješavamo logaritamske jednadžbe, moramo odrediti koju vrstu logaritma imamo: primjer izraza može sadržavati prirodni logaritam ili decimalni.

Evo primjera ln100, ln1026. Njihovo se rješenje svodi na to da trebaju odrediti potenciju kojoj će baza 10 biti jednaka 100, odnosno 1026. Za rješenja prirodni logaritmi trebate primijeniti logaritamske identitete ili njihova svojstva. Pogledajmo primjere rješavanja logaritamskih problema raznih vrsta.

Kako koristiti logaritamske formule: s primjerima i rješenjima

Dakle, pogledajmo primjere korištenja osnovnih teorema o logaritmima.

Svojstvo logaritma umnoška može se koristiti u zadacima gdje je potrebno proširivanje veliki značaj brojeve b na jednostavnije faktore. Na primjer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odgovor je 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kao što vidite, koristeći četvrto svojstvo potencije logaritma uspjeli smo riješiti naizgled složen i nerješiv izraz. Samo trebate faktorizirati bazu, a zatim uzeti vrijednosti eksponenta iz znaka logaritma.

Zadaci s jedinstvenog državnog ispita

Logaritmi se često nalaze na prijemnim ispitima, osobito mnogi logaritamski problemi na Jedinstvenom državnom ispitu (državni ispit za sve maturante). Obično su ti zadaci prisutni ne samo u dijelu A (najlakši ispitni dio ispita), već i u dijelu C (najsloženiji i najobimniji zadaci). Ispit zahtijeva točno i savršeno poznavanje teme “Prirodni logaritmi”.

Primjeri i rješenja problema preuzeti su sa službenih Mogućnosti jedinstvenog državnog ispita. Pogledajmo kako se takvi zadaci rješavaju.

Zadani je log 2 (2x-1) = 4. Rješenje:
prepišimo izraz, malo ga pojednostavimo log 2 (2x-1) = 2 2, po definiciji logaritma dobivamo da je 2x-1 = 2 4, dakle 2x = 17; x = 8,5.

Najbolje je svesti sve logaritme na istu bazu kako rješenje ne bi bilo glomazno i zbunjujuće.
Svi izrazi pod znakom logaritma označeni su kao pozitivni, stoga, kada se eksponent izraza koji je pod znakom logaritma i kao njegova baza izuzme kao množitelj, izraz koji ostaje ispod logaritma mora biti pozitivan.

Nastavljamo proučavati logaritme. U ovom članku ćemo govoriti o računanje logaritama, ovaj proces se zove logaritam. Prvo ćemo razumjeti izračun logaritama po definiciji. Zatim, pogledajmo kako se vrijednosti logaritama pronalaze pomoću njihovih svojstava. Nakon toga, usredotočit ćemo se na izračunavanje logaritama kroz početno navedene vrijednosti drugih logaritama. Na kraju, naučimo kako koristiti logaritamske tablice. Cjelokupna teorija je opremljena primjerima s detaljnim rješenjima.

Navigacija po stranici.

Računanje logaritama po definiciji

U najjednostavnijim slučajevima to je moguće izvesti vrlo brzo i jednostavno nalaženje logaritma po definiciji. Pogledajmo pobliže kako se taj proces odvija.

Njegova suština je predstaviti broj b u obliku a c, iz kojeg je, po definiciji logaritma, broj c vrijednost logaritma. To jest, po definiciji, sljedeći lanac jednakosti odgovara pronalaženju logaritma: log a b=log a a c =c.

Dakle, izračunavanje logaritma po definiciji se svodi na pronalaženje broja c tako da je a c = b, a sam broj c je željena vrijednost logaritma.

Uzimajući u obzir informacije iz prethodnih odlomaka, kada je broj ispod znaka logaritma dan određenom potencijom baze logaritma, možete odmah naznačiti čemu je logaritam jednak - jednak je eksponentu. Pokažimo rješenja na primjerima.

Primjer.

Nađite log 2 2 −3, a također izračunajte prirodni logaritam broja e 5,3.

Riješenje.

Definicija logaritma nam omogućuje da odmah kažemo da je log 2 2 −3 =−3. Zaista, broj ispod znaka logaritma jednak je bazi 2 na −3 potenciju.

Slično, nalazimo drugi logaritam: lne 5,3 =5,3.

Odgovor:

log 2 2 −3 =−3 i lne 5,3 =5,3.

Ako broj b ispod znaka logaritma nije naveden kao potencija baze logaritma, tada morate pažljivo pogledati je li moguće doći do prikaza broja b u obliku a c . Često je ovaj prikaz prilično očigledan, pogotovo kada je broj ispod znaka logaritma jednak bazi na potenciju 1, ili 2, ili 3, ...

Primjer.

Izračunajte logaritme log 5 25 , i .

Riješenje.

Lako je vidjeti da je 25=5 2, što vam omogućuje izračunavanje prvog logaritma: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Prijeđimo na računanje drugog logaritma. Broj se može predstaviti kao potencija broja 7: (pogledajte ako je potrebno). Stoga, .

Prepišimo treći logaritam u sljedećem obliku. Sada to možete vidjeti , iz čega zaključujemo da . Prema tome, po definiciji logaritma .

Ukratko bi se rješenje moglo napisati na sljedeći način: .

Odgovor:

log 5 25=2 , I .

Kada se ispod znaka logaritma nalazi dovoljno velik prirodni broj, onda ne bi škodilo da ga rastavite na proste faktore. Često pomaže predstaviti takav broj kao neku potenciju baze logaritma i stoga izračunati taj logaritam po definiciji.

Primjer.

Pronađite vrijednost logaritma.

Riješenje.

Neka svojstva logaritama omogućuju vam da odmah odredite vrijednost logaritama. Ova svojstva uključuju svojstvo logaritma od jedan i svojstvo logaritma od broja jednakog bazi: log 1 1=log a a 0 =0 i log a a=log a a 1 =1. Odnosno, kada ispod znaka logaritma stoji broj 1 ili broj a jednak osnovici logaritma, tada su u tim slučajevima logaritmi jednaki 0 odnosno 1.

Primjer.

Čemu su jednaki logaritmi i log10?

Riješenje.

Budući da , onda iz definicije logaritma slijedi .

U drugom primjeru broj 10 ispod znaka logaritma poklapa se sa svojom bazom, pa je decimalni logaritam desetice jednak jedan, odnosno lg10=lg10 1 =1.

Odgovor:

I lg10=1 .

Imajte na umu da izračun logaritama po definiciji (o čemu smo raspravljali u prethodnom paragrafu) podrazumijeva korištenje jednakosti log a a p =p, što je jedno od svojstava logaritama.

U praksi, kada se broj pod znakom logaritma i baza logaritma lako predstavi kao potencija određenog broja, vrlo je zgodno koristiti formulu , što odgovara jednom od svojstava logaritama. Pogledajmo primjer pronalaženja logaritma koji ilustrira korištenje ove formule.

Primjer.

Izračunajte logaritam.

Riješenje.

Odgovor:

Svojstva logaritama koja nisu gore spomenuta također se koriste u izračunima, ali o tome ćemo govoriti u sljedećim paragrafima.

Pronalaženje logaritama preko drugih poznatih logaritama

Informacije u ovom odlomku nastavljaju temu korištenja svojstava logaritama pri njihovom izračunavanju. Ali ovdje je glavna razlika u tome što se svojstva logaritama koriste za izražavanje izvornog logaritma u smislu drugog logaritma, čija je vrijednost poznata. Navedimo primjer radi pojašnjenja. Recimo da znamo da je log 2 3≈1,584963, tada možemo pronaći, na primjer, log 2 6 radeći malu transformaciju koristeći svojstva logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

U gornjem primjeru bilo nam je dovoljno koristiti svojstvo logaritma umnoška. Međutim, puno je češće potrebno koristiti širi arsenal svojstava logaritama kako bi se preko zadanih izračunao izvorni logaritam.

Primjer.

Izračunajte logaritam od 27 na bazu 60 ako znate da je log 60 2=a i log 60 5=b.

Riješenje.

Dakle, moramo pronaći dnevnik 60 27 . Lako je vidjeti da je 27 = 3 3 , a izvorni logaritam, zbog svojstva logaritma potencije, može se prepisati kao 3·log 60 3 .

Sada da vidimo kako izraziti log 60 3 u smislu poznati logaritmi. Svojstvo logaritma broja jednakog bazi omogućuje nam da zapisujemo log jednakosti 60 60=1. S druge strane, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Tako, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Stoga, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Na kraju izračunavamo izvorni logaritam: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Odgovor:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Zasebno je vrijedno spomenuti značenje formule za prijelaz na novu bazu logaritma oblika . Omogućuje vam prijelaz s logaritama s bilo kojom bazom na logaritme s određenom bazom, čije su vrijednosti poznate ili ih je moguće pronaći. Obično se od izvornog logaritma, koristeći formulu prijelaza, prelazi na logaritme u jednoj od baza 2, e ili 10, jer za te baze postoje tablice logaritama koje omogućuju izračunavanje njihovih vrijednosti s određenim stupnjem točnost. U sljedećem paragrafu pokazat ćemo kako se to radi.

Logaritamske tablice i njihova upotreba

Za približan izračun mogu se koristiti vrijednosti logaritma logaritamske tablice. Najčešće korištena tablica logaritma baze 2, tablica prirodnog logaritma i tablica decimalnog logaritma. Kada radite u decimalnom brojevnom sustavu, zgodno je koristiti tablicu logaritama temeljenu na bazi deset. Uz njegovu pomoć naučit ćemo pronaći vrijednosti logaritama.

Prikazana tablica omogućuje vam da pronađete vrijednosti decimalnih logaritama brojeva od 1.000 do 9.999 (s tri decimalna mjesta) s točnošću od jedne desettisućinke. Analizirat ćemo princip pronalaženja vrijednosti logaritma pomoću tablice decimalnih logaritama u konkretan primjer– tako je jasnije. Pronađimo log1.256.

U lijevom stupcu tablice decimalnih logaritama nalazimo prve dvije znamenke broja 1,256, odnosno nalazimo 1,2 (ovaj broj je zaokružen plavom bojom radi jasnoće). Treću znamenku od 1,256 (znamka 5) nalazimo u prvom ili zadnji redak lijevo od dvostruke crte (ovaj broj je zaokružen crvenom bojom). Četvrta znamenka izvornog broja 1.256 (znamenka 6) nalazi se u prvom ili zadnjem retku desno od dvostrukog retka (ovaj broj je zaokružen zelenom crtom). Sada nalazimo brojeve u ćelijama tablice logaritama na sjecištu označenog retka i označenih stupaca (ovi su brojevi označeni naranča). Zbroj označenih brojeva daje željenu vrijednost decimalnog logaritma točno do četvrte decimale, tj. log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Je li moguće pomoću gornje tablice pronaći vrijednosti decimalnih logaritama brojeva koji imaju više od tri znamenke iza decimalne točke, kao i onih koji izlaze iz raspona od 1 do 9,999? Da, možete. Pokažimo na primjeru kako se to radi.

Izračunajmo lg102,76332. Prvo morate zapisati broj u standardna forma : 102,76332=1,0276332·10 2. Nakon toga mantisu treba zaokružiti na treću decimalu, imamo 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, dok je izvorni decimalni logaritam približno jednak logaritmu dobivenog broja, odnosno uzimamo log102,76332≈lg1,028·10 2. Sada primjenjujemo svojstva logaritma: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Konačno, nalazimo vrijednost logaritma lg1,028 iz tablice decimalnih logaritama lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Kao rezultat toga, cijeli postupak izračuna logaritma izgleda ovako: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Zaključno, vrijedi napomenuti da pomoću tablice decimalnih logaritama možete izračunati približnu vrijednost bilo kojeg logaritma. Da biste to učinili, dovoljno je upotrijebiti formulu prijelaza za odlazak na decimalne logaritme, pronaći njihove vrijednosti u tablici i izvršiti preostale izračune.

Na primjer, izračunajmo log 2 3 . Prema formuli za prijelaz na novu bazu logaritma imamo . Iz tablice decimalnih logaritama nalazimo log3≈0,4771 i log2≈0,3010. Tako, .

Bibliografija.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: Udžbenik za 10. - 11. razrede općeobrazovnih ustanova.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola).