Kup dyplom wyższej uczelni niedrogo. Pochodna logarytmu naturalnego i logarytmu o podstawie a

Najczęściej zadawane pytania

Czy możliwe jest wykonanie stempla na dokumencie według dostarczonego wzoru? Odpowiedź Tak, to możliwe. Wyślij zeskanowaną kopię lub zdjęcie na nasz adres e-mail dobra jakość, a my wykonamy niezbędny duplikat.

Jakie rodzaje płatności akceptujesz? Odpowiedź Za dokument możesz zapłacić przy odbiorze przez kuriera, po sprawdzeniu poprawności wypełnienia i jakości wykonania dyplomu. Można tego również dokonać w placówkach firm pocztowych oferujących usługę płatności za pobraniem.
Wszelkie warunki dostawy i płatności za dokumenty opisane są w dziale „Płatność i dostawa”. Chętnie wysłuchamy także Państwa sugestii dotyczących warunków dostawy i płatności za dokument.

Czy mogę mieć pewność, że po złożeniu zamówienia nie znikniesz z moimi pieniędzmi? Odpowiedź Mamy dość długie doświadczenie w zakresie produkcji dyplomów. Mamy kilka stron internetowych, które są stale aktualizowane. Nasi specjaliści pracują w różnych częściach kraju, wytwarzając ponad 10 dokumentów dziennie. Na przestrzeni lat nasze dokumenty pomogły wielu osobom rozwiązać problemy z zatrudnieniem lub przejść na kolejne dobrze płatna praca. Zdobyliśmy zaufanie i uznanie wśród klientów, więc nie ma powodu, abyśmy to robili. Co więcej, fizycznie nie da się tego zrobić: płacisz za swoje zamówienie, gdy otrzymasz je do rąk, nie ma przedpłaty.

Czy mogę zamówić dyplom z dowolnej uczelni? Odpowiedź Ogólnie rzecz biorąc, tak. Działamy w tej branży już prawie 12 lat. W tym czasie powstała niemal kompletna baza dokumentów wydawanych przez niemal wszystkie uczelnie w kraju i poza nim. różne lata wydanie. Wystarczy wybrać uczelnię, specjalność, dokument i wypełnić formularz zamówienia.

Co zrobić, jeśli znajdziesz literówki i błędy w dokumencie? Odpowiedź Otrzymując dokument od naszej firmy kurierskiej lub pocztowej, zalecamy dokładne sprawdzenie wszystkich szczegółów. W przypadku stwierdzenia literówki, błędu lub nieścisłości masz prawo nie odebrać dyplomu, ale wykryte braki musisz zgłosić osobiście kurierowi lub pisemnie, wysyłając list na adres e-mail.
W tak szybko, jak to możliwe Poprawimy dokument i wyślemy go ponownie pod wskazany adres. Oczywiście przesyłkę pokrywa nasza firma.
Aby uniknąć takich nieporozumień, przed wypełnieniem oryginalnego formularza przesyłamy klientowi e-mailem makietę przyszłego dokumentu w celu weryfikacji i zatwierdzenia. wersja ostateczna. Przed wysłaniem dokumentu kurierem lub pocztą również to robimy dodatkowe zdjęcie i wideo (w tym w świetle ultrafioletowym), abyś miał jasny obraz tego, co ostatecznie otrzymasz.

Co zrobić, żeby zamówić dyplom w Waszej firmie? Odpowiedź Aby zamówić dokument (świadectwo, dyplom, świadectwo akademickie itp.) należy wypełnić formularz zamówienia online na naszej stronie internetowej lub podać swój adres e-mail, abyśmy mogli przesłać Państwu formularz zgłoszeniowy, który należy wypełnić i odesłać do nas.
Jeśli nie wiesz co wpisać w którymkolwiek polu formularza zamówienia/ankiety, zostaw je puste. Dlatego wszelkie brakujące informacje wyjaśnimy telefonicznie.

Najnowsze recenzje

Aleksiej:

Musiałem zdobyć dyplom, żeby dostać pracę na stanowisku menadżera. A najważniejsze, że mam doświadczenie i umiejętności, ale bez dokumentu nie dostanę pracy. Kiedy trafiłem na Waszą stronę, w końcu zdecydowałem się na zakup dyplomu. Dyplom powstał w 2 dni!! Teraz mam pracę o jakiej nigdy wcześniej nie marzyłam!! Dziękuję!

Obliczenia pochodne często można znaleźć w Zadania z egzaminu jednolitego stanu. Ta strona zawiera listę wzorów do wyszukiwania pochodnych.

Zasady różnicowania

(k⋅ f(x))′=k⋅ fa ′(x).
(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
(f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
Pochodna funkcji zespolonej. Jeśli y=F(u) i u=u(x), to funkcję y=f(x)=F(u(x)) nazywa się funkcją zespoloną x. Równe y′(x)=Fu′⋅ ux′.
Pochodna funkcji ukrytej. Funkcja y=f(x) nazywana jest funkcją ukrytą określoną zależnością F(x,y)=0, jeśli F(x,f(x))≡0.
Pochodna funkcji odwrotnej. Jeżeli g(f(x))=x, to funkcję g(x) nazywamy funkcją odwrotną funkcji y=f(x).
Pochodna funkcji parametrycznie zdefiniowanej. Niech x i y zostaną określone jako funkcje zmiennej t: x=x(t), y=y(t). Mówią, że y=y(x) parametrycznie dana funkcja na przedziale x∈ (a;b), jeżeli na tym przedziale równanie x=x(t) można wyrazić jako t=t(x) i funkcję y=y(t(x))=y(x) można zdefiniować.
Pochodna funkcji potęgowo-wykładniczej. Znaleziono poprzez przeniesienie logarytmów do podstawy logarytm naturalny.

Radzimy zapisać link, ponieważ ta tabela może być potrzebna wiele razy. Obliczanie pochodnej- jedna z najważniejszych operacji rachunku różniczkowego. Poniżej znajduje się tabela do znajdowania pochodnych prostych funkcji. Aby zapoznać się z bardziej złożonymi regułami różnicowania, zobacz inne lekcje:

Tabela pochodnych funkcji wykładniczych i logarytmicznych

Użyj podanych wzorów jako wartości referencyjnych. Pomogą w rozwiązywaniu równań i problemów różniczkowych. Na obrazku w tabeli pochodnych prostych funkcji znajduje się „ściągawka” głównych przypadków znajdowania pochodnej w zrozumiałej w użyciu formie, obok niej znajdują się wyjaśnienia dla każdego przypadku.

Pochodne funkcji prostych

1. Pochodna liczby wynosi zero
с´ = 0
Przykład:
5' = 0

Wyjaśnienie:
Pochodna pokazuje szybkość, z jaką zmienia się wartość funkcji, gdy zmienia się jej argument. Ponieważ liczba nie zmienia się w żaden sposób w żadnych warunkach, tempo jej zmian wynosi zawsze zero.

2. Pochodna zmiennej równy jeden
x´ = 1

Wyjaśnienie:
Z każdym zwiększeniem argumentu (x) o jeden wartość funkcji (wynik obliczeń) wzrasta o tę samą kwotę. Zatem szybkość zmiany wartości funkcji y = x jest dokładnie równa szybkości zmiany wartości argumentu.

3. Pochodna zmiennej i współczynnika jest równa temu czynnikowi
сx' = с
Przykład:
(3x)” = 3
(2x)” = 2
Wyjaśnienie:
W tym przypadku za każdym razem, gdy zmienia się argument funkcji ( X) jego wartość (y) wzrasta w Z raz. Zatem szybkość zmiany wartości funkcji w stosunku do szybkości zmiany argumentu jest dokładnie równa tej wartości Z.

Skąd to wynika
(cx + b)” = do
czyli różniczka funkcji liniowej y=kx+b jest równa nachyleniu prostej (k).

4. Pochodna modulo zmiennej równy ilorazowi tej zmiennej do jej modułu
|x|"= x / |x| pod warunkiem, że x ≠ 0
Wyjaśnienie:
Ponieważ pochodna zmiennej (patrz wzór 2) jest równa jedności, pochodna modułu różni się tylko tym, że wartość szybkości zmiany funkcji zmienia się na przeciwną podczas przechodzenia przez punkt początkowy (spróbuj narysować wykres funkcji y = |x| i przekonaj się, jaka to jest dokładnie wartość i zwraca wyrażenie x / |x|< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - jeden. Oznacza to, że dla ujemnych wartości zmiennej x przy każdym wzroście zmiany argumentu wartość funkcji maleje dokładnie o tę samą wartość, a dla wartości dodatnich wręcz przeciwnie, wzrasta, ale dokładnie o tę samą wartość.

5. Pochodna zmiennej do potęgi równy iloczynowi liczby tej potęgi i zmiennej do potęgi zmniejszonej o jeden
(x c)"= cx c-1, pod warunkiem, że zdefiniowane są x c i cx c-1 oraz c ≠ 0
Przykład:
(x 2)” = 2x
(x 3)" = 3x 2
Aby zapamiętać formułę:
Przesuń stopień zmiennej w dół jako współczynnik, a następnie zmniejsz sam stopień o jeden. Na przykład dla x 2 - dwójka była przed x, a wtedy zmniejszona moc (2-1 = 1) dała nam po prostu 2x. To samo stało się z x 3 - „przesuwamy” trójkę w dół, zmniejszamy ją o jeden i zamiast sześcianu mamy kwadrat, czyli 3x 2. Trochę „nienaukowe”, ale bardzo łatwe do zapamiętania.

6.Pochodna ułamka 1/x
(1/x)” = - 1 / x 2
Przykład:
Ponieważ ułamek można przedstawić jako podniesienie do potęgi ujemnej
(1/x)" = (x -1)", wówczas można zastosować wzór z zasady 5 tabeli instrumentów pochodnych
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Pochodna ułamka ze zmienną dowolnego stopnia w mianowniku
(1 / x c)” = - c / x c+1
Przykład:
(1 / x 2)” = - 2 / x 3

8. Pochodna pierwiastka(pochodna zmiennej pod pierwiastkiem kwadratowym)
(√x)” = 1 / (2√x) lub 1/2 x -1/2
Przykład:
(√x)" = (x 1/2)" oznacza, że możesz zastosować wzór z reguły 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Pochodna zmiennej pod pierwiastkiem dowolnego stopnia
(n √x)” = 1 / (n n √x n-1)

Dowód i wyprowadzenie wzorów na pochodną logarytmu naturalnego i logarytmu o podstawie a. Przykłady obliczania pochodnych ln 2x, ln 3x i ln nx. Dowód wzoru na pochodną logarytmu n-tego rzędu metodą indukcji matematycznej.

Wyprowadzenie wzorów na pochodne logarytmu naturalnego i logarytmu o podstawie a

Pochodna logarytmu naturalnego x jest równa jedności podzielonej przez x:
(1) (lnx)′ =.

Pochodna logarytmu o podstawie a jest równa jedności podzielonej przez zmienną x pomnożoną przez logarytm naturalny a:
(2) (zaloguj x)′ =.

Dowód

Niech będzie jakaś liczba dodatnia, która nie jest równa jedności. Rozważmy funkcję zależną od zmiennej x, która jest logarytmem o podstawie:
.
Funkcja ta jest zdefiniowana w .
(3) .

Znajdźmy jego pochodną względem zmiennej x.
Z definicji pochodną jest następująca granica: Przekształćmy to wyrażenie, aby zredukować je do znanych właściwości i reguł matematycznych. Aby to zrobić, musimy znać następujące fakty:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
A) Własności logarytmu. Będziemy potrzebować następujących formuł:
(7) .
B)
Ciągłość logarytmu i własność granic funkcji ciągłej: Oto funkcja, która ma granicę i ta granica jest dodatnia.
(8) .

W)
.
Znaczenie drugiego niezwykłego limitu:

.

Zastosujmy te fakty do naszego limitu. Najpierw przekształcamy wyrażenie algebraiczne W tym celu stosujemy właściwości (4) i (5). (8):
.

Skorzystajmy z własności (7) i drugiej
.
niezwykły limit I na koniec stosujemy własność (6): Logarytm do podstawy mi zwany
.
Następnie ;
.

W ten sposób otrzymaliśmy wzór (2) na pochodną logarytmu.

Pochodna logarytmu naturalnego

Jeszcze raz zapisujemy wzór na pochodną logarytmu opartego na a:
.
Wzór ten ma najprostszą postać logarytmu naturalnego, dla którego , .
(1) .

Następnie Ze względu na tę prostotę logarytm naturalny jest bardzo szeroko stosowany analiza matematyczna
.

oraz w innych gałęziach matematyki związanych z rachunkiem różniczkowym. Funkcje logarytmiczne o innych podstawach można wyrazić w postaci logarytmu naturalnego za pomocą własności (6):
.

Pochodną logarytmu po podstawie można znaleźć ze wzoru (1), jeśli odejmiemy stałą od znaku różniczkowania:

Inne sposoby udowadniania pochodnej logarytmu
(9) .
Zakładamy tutaj, że znamy wzór na pochodną wykładniczą:

Następnie możemy wyprowadzić wzór na pochodną logarytmu naturalnego, zakładając, że logarytm jest odwrotną funkcją wykładniczą. Udowodnijmy wzór na pochodną logarytmu naturalnego,:
.
stosując wzór na pochodną funkcji odwrotnej
.
W naszym przypadku.
.
Funkcja odwrotna do logarytmu naturalnego jest funkcją wykładniczą:
.
Jej pochodną wyznacza się wzorem (9). Zmienne mogą być oznaczone dowolną literą. We wzorze (9) zamień zmienną x na y:
.
Od tego czasu

Następnie Formuła jest sprawdzona. Teraz udowodnimy wzór na pochodną logarytmu naturalnego za pomocą
.
zasady różniczkowania funkcji złożonych
(10) .
. Ponieważ funkcje i są względem siebie odwrotne, zatem
.
Zróżniczkujmy to równanie ze względu na zmienną x:
.
Pochodna x jest równa jeden:
.
Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonych:
.

Tutaj . Podstawmy w (10):

Stąd Przykład Znajdź pochodne w 2x, W 3x.

I

lnnx Rozwiązanie Oryginalne funkcje mają podobną postać. Zatem znajdziemy pochodną funkcji y = log nx. Następnie podstawiamy n = 2 i n = 3. I w ten sposób otrzymujemy wzory na pochodne Znajdź pochodne .

w 2x
Rozwiązanie .
I
1) Zatem szukamy pochodnej funkcji
2) Wyobraźmy sobie tę funkcję jako funkcję złożoną składającą się z dwóch funkcji:
Funkcje zależne od zmiennej: ;
.

Funkcje zależne od zmiennej: .
.
Wtedy oryginalna funkcja składa się z funkcji i :
.
Znajdźmy pochodną funkcji po zmiennej x:
.
Znajdźmy pochodną funkcji po zmiennej:

Stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej.
(11) .
Tutaj to ustaliliśmy.
.
Znaleźliśmy więc:
.

Widzimy, że pochodna nie zależy od n.

; ; .

Pochodna logarytmu modułu x

Znajdźmy pochodną innej bardzo ważnej funkcji - logarytmu naturalnego modułu x:
(12) .

Rozważmy sprawę.
.
Wtedy funkcja wygląda następująco:
.

Jego pochodną określa się wzorem (1):
,
Rozważmy teraz sprawę.
Wtedy funkcja wygląda następująco:
.
Jej pochodną wyznacza się wzorem (9). Zmienne mogą być oznaczone dowolną literą. We wzorze (9) zamień zmienną x na y:
.

Gdzie .
.

Ale w powyższym przykładzie znaleźliśmy także pochodną tej funkcji. To nie zależy od n i jest równe
.

Łączymy te dwa przypadki w jeden wzór:

Odpowiednio, aby logarytm miał podstawę a, mamy:
.
Pochodne wyższych rzędów logarytmu naturalnego
(13) .

Rozważ funkcję
.
Znaleziono jego pochodną pierwszego rzędu:
.
Znajdźmy pochodną drugiego rzędu:
.

Znajdźmy pochodną trzeciego rzędu:
(14) .
Znajdźmy pochodną czwartego rzędu:

Dowód

Można zauważyć, że pochodna n-tego rzędu ma postać:
.
Udowodnijmy to za pomocą indukcji matematycznej. 1 Podstawiamy wartość n = 1 do wzoru (14):

Od , to kiedy n = + 1 .

, obowiązuje wzór (14).
.
Załóżmy, że wzór (14) jest spełniony dla n = k.

.
Udowodnimy, że oznacza to, że wzór jest ważny dla n = k
.
Rzeczywiście, dla n = k mamy: 1 Różniczkuj ze względu na zmienną x: 1 .

Więc mamy:

Wzór ten pokrywa się ze wzorem (14) dla n = k +

.
.
Zatem z założenia, że wzór (14) obowiązuje dla n = k, wynika, że wzór (14) obowiązuje dla n = k +
.

Zatem wzór (14) na pochodną n-tego rzędu obowiązuje dla dowolnego n. Pochodne wyższych rzędów logarytmu o podstawie a Aby znaleźć pochodną logarytmu o podstawie n-tego rzędu, należy wyrazić ją w postaci logarytmu naturalnego: Pochodne wyższych rzędów logarytmu o podstawie a Stosując wzór (14) znajdujemy n-tą pochodną:

Wyprowadzając pierwszy wzór tabeli, zaczniemy od definicji funkcji pochodnej w punkcie. Weźmy gdzie

X – dowolna liczba rzeczywista, tj.– dowolna liczba z dziedziny definicji funkcji. Zapiszmy granicę stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu w punkcie:.

Należy zauważyć, że pod znakiem granicznym uzyskuje się wyrażenie, które nie jest niepewnością zera podzieloną przez zero, ponieważ licznik nie zawiera wartości nieskończenie małej, ale dokładnie zero. Innymi słowy, przyrost funkcji stałej wynosi zawsze zero.

Zatem, pochodna funkcji stałej jest równa zeru w całym obszarze definicji Pochodna funkcji potęgowej.

Wzór na pochodną funkcji potęgowej ma postać , gdzie wykładnik

Będziemy korzystać z definicji pochodnej. Zapiszmy granicę stosunku przyrostu funkcji potęgowej do przyrostu argumentu:

Aby uprościć wyrażenie w liczniku, zwracamy się do wzoru dwumianu Newtona:

Stąd,

Dowodzi to wzoru na pochodną funkcji potęgowej dla wykładnika naturalnego.

Pochodna funkcji wykładniczej.

Przedstawiamy wyprowadzenie wzoru na pochodną w oparciu o definicję:

Dotarliśmy do niepewności. Aby ją rozwinąć, wprowadzamy nową zmienną, a na . Następnie . W ostatnim przejściu wykorzystaliśmy wzór na przejście do nowej podstawy logarytmicznej.

Podstawmy do pierwotnej granicy:

Jeśli przypomnimy sobie drugą niezwykłą granicę, dochodzimy do wzoru na pochodną funkcji wykładniczej:

Pochodna funkcji logarytmicznej.

Udowodnijmy wzór na pochodną funkcji logarytmicznej dla wszystkich Pochodne wyższych rzędów logarytmu o podstawie a z dziedziny definicji i wszystkich ważnych wartości podstawy A logarytm Z definicji pochodnej mamy:

Jak zauważyłeś, w trakcie dowodu przekształcenia przeprowadzono wykorzystując własności logarytmu. Równość jest prawdziwe ze względu na drugą niezwykłą granicę.

Pochodne funkcji trygonometrycznych.

Aby wyprowadzić wzory na pochodne funkcji trygonometrycznych, będziemy musieli przypomnieć sobie niektóre wzory trygonometryczne, a także pierwszą niezwykłą granicę.

Z definicji pochodnej funkcji sinus mamy .

Skorzystajmy ze wzoru na różnicę sinusów:

Pozostaje przejść do pierwszego niezwykłego ograniczenia:

Zatem pochodna funkcji grzech x Jest bo x.

Wzór na pochodną cosinusa dowodzi się dokładnie w ten sam sposób.

Zatem pochodna funkcji bo x Jest –grzech x.

Wzory na tablicę pochodnych na tangens i cotangens wyprowadzimy korzystając ze sprawdzonych zasad różniczkowania (pochodna ułamka).

Pochodne funkcji hiperbolicznych.

Reguły różniczkowania oraz wzór na pochodną funkcji wykładniczej z tabeli pochodnych pozwalają nam wyprowadzić wzory na pochodne sinusa, cosinusa hiperbolicznego, tangensa i kotangensa.

Pochodna funkcji odwrotnej.

Aby uniknąć zamieszania podczas prezentacji, oznaczmy w indeksie dolnym argument funkcji, za pomocą której dokonuje się różniczkowania, czyli jest to pochodna funkcji k(x) Przez Pochodne wyższych rzędów logarytmu o podstawie a.

Teraz sformułujmy zasada znajdowania pochodnej funkcji odwrotnej.

Niech funkcje y = f(x) w 2x, x = g(y) wzajemnie odwrotne, określone odpowiednio na przedziałach i. Jeśli w punkcie istnieje skończona niezerowa pochodna funkcji k(x), to w tym punkcie istnieje skończona pochodna funkcji odwrotnej g(y), I . W innym poście .

Zasadę tę można przeformułować dla dowolnego Pochodne wyższych rzędów logarytmu o podstawie a z przedziału , to otrzymujemy .

Sprawdźmy zasadność tych formuł.

Znajdźmy funkcję odwrotną logarytmu naturalnego (Tutaj y jest funkcją oraz Pochodne wyższych rzędów logarytmu o podstawie a- argumentacja). Po rozwiązaniu tego równania dla Pochodne wyższych rzędów logarytmu o podstawie a, otrzymujemy (tutaj Pochodne wyższych rzędów logarytmu o podstawie a jest funkcją oraz y– jej argumentacja). To jest, i funkcje wzajemnie odwrotne.

Widzimy to z tabeli instrumentów pochodnych I .

Upewnijmy się, że wzory na znalezienie pochodnych funkcji odwrotnej prowadzą nas do tych samych wyników: