Granica funkcji- numer A będzie granicą jakiejś zmiennej wielkości, jeśli w procesie jej zmiany ta zmienna wielkość będzie się zbliżać w nieskończoność A.

Inaczej mówiąc, liczba A jest granicą funkcji y = f(x) w tym punkcie x 0, jeśli dla dowolnego ciągu punktów z dziedziny definicji funkcji , nie jest równy x 0, i który jest zbieżny do punktu x 0 (lim x n = x0), sekwencja odpowiednich wartości funkcji zbiega się do liczby A.

Wykres funkcji, której granica, przy danym argumencie dążącym do nieskończoności, jest równa L:

Oznaczający A Jest granica (wartość graniczna) funkcji k(x) w tym punkcie x 0 w przypadku dowolnego ciągu punktów , co zbiega się do x 0, ale który nie zawiera x 0 jako jeden z jego elementów (tj. w okolicy przebicia x 0), sekwencja wartości funkcji zbiega się do A.

Granica funkcji Cauchy'ego.

Oznaczający A będzie granica funkcji k(x) w tym punkcie x 0 jeśli dla dowolnej liczby nieujemnej pobranej z góry ε zostanie znaleziona odpowiednia liczba nieujemna δ = δ(ε) tak, że dla każdego argumentu X, spełniający warunek 0 < | x - x0 | < δ , nierówność zostanie spełniona | f(x)A |< ε .

Będzie to bardzo proste, jeśli zrozumiesz istotę granicy i podstawowe zasady jej znajdowania. Jaka jest granica funkcji F (X) Na X dążenie do A równa się A, jest napisane w ten sposób:

Ponadto wartość, do której dąży zmienna X, może być nie tylko liczbą, ale także nieskończonością (∞), czasami +∞ lub -∞, lub może w ogóle nie być limitu.

Aby zrozumieć jak znaleźć granice funkcji, najlepiej przyjrzeć się przykładom rozwiązań.

Trzeba znaleźć granice funkcji F (x) = 1/X Na:

X→ 2, X→ 0, X→ ∞.

Znajdźmy rozwiązanie pierwszego ograniczenia. Aby to zrobić, możesz po prostu zastąpić X liczba, do której zmierza, tj. 2, otrzymujemy:

Znajdźmy drugą granicę funkcji. Zamiast tego zamień czyste 0 X jest to niemożliwe, ponieważ Nie można dzielić przez 0. Ale możemy przyjąć wartości bliskie zeru, na przykład 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 i tak dalej, oraz wartość funkcji F (X) wzrośnie: 100; 1000; 10000; 100 000 i tak dalej. Można zatem zrozumieć, że kiedy X→ 0 wartość funkcji znajdująca się pod znakiem ograniczenia będzie rosła bez ograniczeń, tj. dążyć do nieskończoności. Co oznacza:

Jeśli chodzi o trzecią granicę. Ta sama sytuacja, co w poprzednim przypadku, jest niemożliwa do zastąpienia ∞ w najczystszej postaci. Musimy rozważyć przypadek nieograniczonego wzrostu X. Podstawiamy 1000 jeden po drugim; 10000; 100000 i tak dalej, mamy wartość funkcji F (x) = 1/X zmniejszy się: 0,001; 0,0001; 0,00001; i tak dalej, dążąc do zera. Dlatego:

Konieczne jest obliczenie granicy funkcji

Rozpoczynając rozwiązywanie drugiego przykładu widzimy niepewność. Stąd znajdujemy najwyższy stopień licznika i mianownika - to jest x 3, usuwamy go z nawiasów w liczniku i mianowniku, a następnie zmniejszamy przez:

Odpowiedź

Pierwszy krok znalezienie tej granicy zamiast tego zamień wartość 1 X, powodując niepewność. Aby rozwiązać ten problem, rozłóżmy licznik na czynniki i zróbmy to metodą znajdowania pierwiastków równanie kwadratowe x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Zatem licznik będzie wynosił:

Odpowiedź

Jest to określenie jej konkretnej wartości lub pewnego obszaru, w którym funkcja spada, który jest ograniczony granicą.

Aby rozwiązać limity, postępuj zgodnie z zasadami:

Po zrozumieniu istoty i istoty zasady rozwiązywania granicy, uzyskasz podstawową wiedzę o tym, jak je rozwiązać.

Podano sformułowanie głównych twierdzeń i własności granicy funkcji. Podano definicje granic skończonych i nieskończonych w punktach skończonych i w nieskończoności (dwustronnych i jednostronnych) według Cauchy'ego i Heinego. Uwzględniane są właściwości arytmetyczne; twierdzenia dotyczące nierówności; kryterium zbieżności Cauchy'ego; granica funkcji zespolonej; własności funkcji nieskończenie małych, nieskończenie dużych i monotonicznych. Podano definicję funkcji.

Definicja funkcji

Funkcjonować y = f (X) jest prawem (regułą), zgodnie z którym każdy element x zbioru X jest powiązany z jednym i tylko jednym elementem y zbioru Y.

Element x ∈X zwany argument funkcji Lub zmienna niezależna.
Element y ∈ Y zwany wartość funkcji Lub zmienna zależna.

Zbiór X nazywa się dziedzina funkcji.
Zbiór elementów y ∈ Y, które mają preobrazy w zbiorze X, nazywa się obszar lub zbiór wartości funkcji.

Wywoływana jest rzeczywista funkcja ograniczone od góry (od dołu), jeśli istnieje liczba M taka, że ​​nierówność zachodzi dla wszystkich:
.
Wywoływana jest funkcja liczbowa ograniczony, jeśli istnieje liczba M taka, że ​​dla wszystkich:
.

Górna krawędź Lub dokładna górna granica Funkcja rzeczywista nazywana jest najmniejszą liczbą, która ogranicza jej zakres wartości z góry. Oznacza to, że jest to liczba s, dla której dla każdego i dla dowolnego istnieje argument, którego wartość funkcji przekracza s′: .
Górną granicę funkcji można oznaczyć w następujący sposób:
.

Odpowiednio dolna krawędź Lub dokładny dolny limit Funkcja rzeczywista nazywana jest największą liczbą, która ogranicza jej zakres wartości od dołu. Oznacza to, że jest to liczba i, dla której dla każdego i dla dowolnego istnieje argument, którego wartość funkcji jest mniejsza niż i′: .
Dolną część funkcji można oznaczyć w następujący sposób:
.

Wyznaczanie granicy funkcji

Wyznaczanie granicy funkcji według Cauchy'ego

Skończone granice funkcji w punktach końcowych

Niech funkcja będzie zdefiniowana w jakimś sąsiedztwie punktu końcowego, z możliwym wyjątkiem samego punktu.
.
w pewnym momencie, jeśli dla dowolnego istnieje coś takiego, w zależności od , że dla wszystkich x dla których , zachodzi nierówność
.
Granicę funkcji oznacza się następująco:

Lub o godz.
.

Używając logicznych symboli istnienia i powszechności, definicję granicy funkcji można zapisać w następujący sposób:
Granice jednostronne.
.
Lewy limit w punkcie (lewy limit):
.
Granica prawa w punkcie (granica prawa):
; .

Granice lewą i prawą są często oznaczane w następujący sposób:

Granice skończone funkcji w punktach w nieskończoności
.
.
.
W podobny sposób wyznacza się granice w punktach w nieskończoności.
; ; .

Często określa się je jako:

Wykorzystanie pojęcia sąsiedztwa punktu
.
Jeśli wprowadzimy koncepcję przebitego sąsiedztwa punktu, wówczas możemy podać ujednoliconą definicję skończonej granicy funkcji w skończonych i nieskończenie odległych punktach:
; ;
.
Tutaj dla punktów końcowych
; ; .

Przebijane jest dowolne sąsiedztwo punktów w nieskończoności:

Nieskończone granice funkcji
Definicja Niech funkcja będzie zdefiniowana w jakimś przebitym sąsiedztwie punktu (skończonego lub w nieskończoności). (X) F 0 jako x → x równa się nieskończoności , jeśli dla kogokolwiek, arbitralnie duża liczba > 0 M > 0 , istnieje liczba δ M
.
, w zależności od M, że dla wszystkich x należących do przebitego δ M - sąsiedztwa punktu: , zachodzi nierówność:
.
Granicę funkcji oznacza się następująco:

Nieskończoną granicę oznacza się następująco:
.

Używając logicznych symboli istnienia i powszechności, definicję nieskończonej granicy funkcji można zapisać w następujący sposób:
.
.

Można też wprowadzić definicje nieskończonych granic pewnych znaków równych i :

Uniwersalna definicja granicy funkcji
.

Korzystając z koncepcji sąsiedztwa punktu, można podać uniwersalną definicję skończonej i nieskończonej granicy funkcji, mającą zastosowanie zarówno do punktów skończonych (dwustronnych i jednostronnych), jak i nieskończenie odległych:

Wyznaczanie granicy funkcji według Heinego
Niech funkcja będzie zdefiniowana na pewnym zbiorze X:. Liczbę a nazywa się granicą funkcji
,
w punkcie: 0 :
,
których elementy należą do zbioru X: ,
.

Zapiszmy tę definicję posługując się logicznymi symbolami istnienia i uniwersalności:
.

Jeśli przyjmiemy lewe sąsiedztwo punktu x jako zbiór X 0 , wówczas otrzymujemy definicję lewej granicy. Jeżeli jest prawostronny, wówczas otrzymujemy definicję granicy właściwej. Jeżeli otoczenie punktu w nieskończoności przyjmiemy jako zbiór X, otrzymamy definicję granicy funkcji w nieskończoności.

Twierdzenie
Definicje Cauchy'ego i Heinego granicy funkcji są równoważne.
Dowód

Własności i twierdzenia granicy funkcji

Dalej zakładamy, że rozważane funkcje są zdefiniowane w odpowiednim sąsiedztwie punktu, którym jest liczba skończona lub jeden z symboli: .

Może to być także jednostronny punkt graniczny, czyli mieć postać lub .

Sąsiedztwo jest dwustronne w przypadku granicy dwustronnej i jednostronne w przypadku granicy jednostronnej. (X) Podstawowe właściwości Jeśli wartości funkcji f zmienić (lub uczynić niezdefiniowanym) skończoną liczbę punktów x 0 .

1, x 2, x 3, ... x n 0 , to zmiana ta nie będzie miała wpływu na istnienie i wartość granicy funkcji w dowolnym punkcie x (X) Jeśli istnieje skończona granica, to istnieje przebite sąsiedztwo punktu x
.

, na którym funkcja f 0 ograniczony:
.
Niech funkcja będzie miała punkt x 0 skończona niezerowa granica:
Wtedy dla dowolnej liczby c z przedziału , istnieje takie przebite sąsiedztwo punktu x
, po co ,

, Jeśli ;

, Jeśli . 0
,
Jeśli w pewnym przebitym sąsiedztwie punktu , jest stałą, to .

Jeśli istnieją skończone granice i oraz w pewnym przebitym sąsiedztwie punktu x
,
Jeśli w pewnym przebitym sąsiedztwie punktu , jest stałą, to .
To .
,
Jeśli , i w pewnym sąsiedztwie punktu
W szczególności, jeśli znajduje się w jakimś sąsiedztwie punktu

to jeśli , to i ; 0 :
,
jeśli , to i .
Jeśli w jakimś przebitym sąsiedztwie punktu x
.

i istnieją skończone (lub nieskończone pewnego znaku) równe granice:
, To

Dowody głównych właściwości podano na stronie

„Podstawowe własności granic funkcji.”
Własności arytmetyczne granicy funkcji
Niech funkcje i będą określone w jakimś przebitym sąsiedztwie punktu .
;
;
;
, po co ,

I niech istnieją skończone granice:

I .
I niech C będzie stałą, czyli daną liczbą. Następnie

Jeśli więc.

Twierdzenie
Dowody własności arytmetycznych podano na stronie 0 „Właściwości arytmetyczne granic funkcji”. > 0 było takie przebite sąsiedztwo punktu x 0 , że dla dowolnych punktów i z tego sąsiedztwa zachodzi nierówność:
.

Granica funkcji zespolonej

Twierdzenie o granicy funkcji zespolonej
Niech funkcja ma granicę i odwzorowuje przebite sąsiedztwo punktu na przebite sąsiedztwo punktu.
Niech funkcja będzie zdefiniowana w tym sąsiedztwie i będzie na niej ograniczona.
Oto punkty końcowe, czyli nieskończenie odległe: .
.

Okolice i odpowiadające im granice mogą być dwustronne lub jednostronne.
.

Wtedy istnieje granica funkcji zespolonej i jest ona równa:
.
Twierdzenie graniczne funkcji zespolonej stosuje się, gdy funkcja nie jest zdefiniowana w punkcie lub ma wartość różną od granicy.

Aby zastosować to twierdzenie, musi istnieć przebite sąsiedztwo punktu, w którym zbiór wartości funkcji nie zawiera punktu:
Jeżeli funkcja jest ciągła w punkcie , to znak graniczny można zastosować do argumentu funkcji ciągłej: Poniżej znajduje się twierdzenie odpowiadające temu przypadkowi. Twierdzenie o granicy funkcji ciągłej 0 Niech będzie granica funkcji g 0 :
.
(T) 0 jako t → t
i jest równe x (X) Oto punkt t 0 .
może być skończony lub nieskończenie odległy: . I niech funkcja f jest ciągła w punkcie x Wtedy istnieje granica funkcji zespolonej f:
.

(g(t))
i jest równe f

(x0)

Dowody twierdzeń podano na stronie

Nieskończone granice funkcji
„Granica i ciągłość funkcji złożonej”.
.

Funkcje nieskończenie małe i nieskończenie duże Funkcje nieskończenie małe

Mówi się, że funkcja jest nieskończenie mała, jeśli Suma, różnica i iloczyn

skończonej liczby nieskończenie małych funkcji w jest nieskończenie małą funkcją w .
,
Iloczyn funkcji ograniczonej

w pewnym przebitym sąsiedztwie punktu , do nieskończenie małego at jest nieskończenie małą funkcją w .

Aby funkcja miała skończoną granicę, jest to konieczne i wystarczające

Nieskończone granice funkcji
gdzie jest nieskończenie funkcją w .
.

„Właściwości funkcji nieskończenie małych”.

Nieskończenie duże funkcje
.

Mówi się, że funkcja jest nieskończenie duża, jeśli
,
Suma lub różnica funkcji ograniczonej w pewnym przebitym sąsiedztwie punktu i nieskończenie dużej funkcji w jest nieskończenie dużą funkcją w .
Jeśli funkcja jest nieskończenie duża dla , a funkcja jest ograniczona w pewnym przebitym sąsiedztwie punktu , to
.

Jeżeli funkcja , w pewnym przebitym sąsiedztwie punktu, spełnia nierówność:
„Właściwości nieskończenie dużych funkcji”.

Zależność pomiędzy funkcjami nieskończenie dużymi i nieskończenie małymi

Z dwóch poprzednich właściwości wynika związek między nieskończenie dużymi i nieskończenie małymi funkcjami.

Jeśli funkcja jest nieskończenie duża w , to jest ona nieskończenie mała w .

Jeśli funkcja jest nieskończenie mała dla , i , to funkcja jest nieskończenie duża dla .

Związek między nieskończenie małą a nieskończenie dużą funkcją można wyrazić symbolicznie:
, .

Jeśli nieskończenie mała funkcja ma pewien znak w , to znaczy jest dodatnia (lub ujemna) w jakimś przebitym sąsiedztwie punktu , to fakt ten można wyrazić w następujący sposób:
.
W ten sam sposób, jeśli nieskończenie duża funkcja ma pewien znak w , to piszą:
.

Wówczas symboliczne powiązanie pomiędzy nieskończenie małymi i nieskończenie dużymi funkcjami można uzupełnić następującymi relacjami:
, ,
, .

Dodatkowe wzory dotyczące symboli nieskończoności można znaleźć na stronie
„Punkty w nieskończoności i ich właściwości”.

Granice funkcji monotonicznych

Nieskończone granice funkcji
Wywołuje się funkcję zdefiniowaną na pewnym zbiorze liczb rzeczywistych X ściśle rosnący, jeśli dla wszystkich takich, że zachodzi nierówność:
.
Odpowiednio dla ściśle malejące funkcji zachodzi nierówność:
.
Dla nie malejący:
.
Dla nierosnące:
.

Wynika z tego, że funkcja ściśle rosnąca jest również niemalejąca. Funkcja ściśle malejąca jest również nierosnąca.

Funkcja nazywa się monotonny, jeśli nie maleje lub nie rośnie.

Twierdzenie
Niech funkcja nie maleje w przedziale gdzie .
Jeśli jest ograniczone powyżej przez liczbę M: to istnieje skończona granica.
Jeśli nie jest to ograniczone z góry, to .

Jeśli jest ograniczone od dołu przez liczbę m: to istnieje granica skończona.
Jeśli nie jest ograniczony od dołu, to .

Jeśli punkty a i b znajdują się w nieskończoności, to w wyrażeniach znaki graniczne oznaczają, że .
;
.

Twierdzenie to można sformułować bardziej zwięźle.

Niech funkcja nie maleje na przedziale, gdzie .
;
.

Następnie istnieją jednostronne granice w punktach a i b:
Podobne twierdzenie dla funkcji nierosnącej.

Niech funkcja nie rośnie w przedziale gdzie .
Następnie istnieją granice jednostronne:
Dowód twierdzenia przedstawiono na stronie

„Granice funkcji monotonicznych”.

Sformułujmy dwie równoważne definicje granicy funkcji w punkcie.

Definicja 1 (w „języku sekwencji”, czyli według Heinego).

Liczbę A nazywamy granicą funkcji y=ƒ(x) w piecu x 0 (lub przy x® x o), jeśli dla dowolnego ciągu dopuszczalne wartości argumenty x n, n є N (x n ¹ x 0), zbieżny do x, ciąg odpowiednich wartości funkcji ƒ(x n), n є N, zbiega się do liczby A

W tym przypadku piszą
lub ƒ(x)->A w x →x o. Geometryczne znaczenie granicy funkcji: oznacza, że ​​dla wszystkich punktów x, które są wystarczająco blisko punktu xo, odpowiadające im wartości funkcji różnią się w wymaganym stopniu od liczby A.

Definicja 2 (w „języku ε”, czyli według Cauchy’ego).

Liczbę A nazywamy granicą funkcji w punkcie x o (lub w x →x o), jeśli dla dowolnego dodatniego ε istnieje liczba dodatnia δ taka, że ​​dla wszystkich x¹ x o spełniająca nierówność |x-x o |<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

Geometryczne znaczenie granicy funkcji:

jeśli dla dowolnego ε-sąsiedztwa punktu A istnieje δ-sąsiedztwo punktu xo takie, że dla wszystkich x1 xo z tego δ-sąsiedztwa odpowiadające wartości funkcji ƒ(x) leżą w ε-sąsiedztwie punktu A punkt A. Inaczej mówiąc, punkty wykresu funkcji y = ƒ(x) leżą wewnątrz paska o szerokości 2ε, ograniczonego liniami prostymi y=A+ ε, y=A-ε (patrz rys. 110). Oczywiście wartość δ zależy od wyboru ε, dlatego piszemy δ=δ(ε).

<< Пример 16.1

Udowodnij to

Rozwiązanie: Weź dowolne ε>0 i znajdź δ=δ(ε)>0 takie, że dla wszystkich x spełniających nierówność |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.

Biorąc δ=ε/2, widzimy, że dla wszystkich x spełniających nierówność |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.

<< Пример 16.2

16.2. Granice jednostronne

Definiując granicę funkcji, bierze się pod uwagę, że x dąży do x 0 w dowolny sposób: pozostając mniejszym od x 0 (na lewo od x 0), większym niż x o (na prawo od x o) lub oscylując wokół punkt x 0.

Zdarzają się przypadki, gdy sposób aproksymacji argumentu x do x o znacząco wpływa na wartość granicy funkcji. Dlatego wprowadzono pojęcia granic jednostronnych.

Liczbę A 1 nazywamy granicą funkcji y=ƒ(x) po lewej stronie w punkcie x o, jeśli dla dowolnej liczby ε>0 istnieje liczba δ=δ(ε)> 0 taka, że ​​w x є (x 0 -δ;x o), nierówność |ƒ(x)-A|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>x 0 -0 lub krótko: ƒ(x o- 0) = A 1 (notacja Dirichleta) (patrz rys. 111).

W podobny sposób wyznaczamy granicę funkcji po prawej stronie; zapisujemy ją za pomocą symboli:

W skrócie, granica po prawej stronie jest oznaczona przez ƒ(x o +0)=A.

Granice lewa i prawa funkcji nazywane są granicami jednostronnymi. Oczywiście, jeśli istnieje, to istnieją obie granice jednostronne i A = A 1 = A 2.

Odwrotna sytuacja jest również prawdziwa: jeśli istnieją obie granice ƒ(x 0 -0) i ƒ(x 0 +0) i są równe, to istnieje granica i A = ƒ(x 0 -0).

Jeśli A 1 ¹ A 2, to ta kaplica nie istnieje.

16.3. Granica funkcji przy x ® ∞

Niech funkcja y=ƒ(x) będzie zdefiniowana w przedziale (-∞;∞). Nazywa się numer A granica funkcjiƒ(x) Na x → ∞ , jeśli dla dowolnej liczby dodatniej ε istnieje liczba M=M()>0 taka, że ​​dla wszystkich x spełniających nierówność |x|>M nierówność |ƒ(x)-A|<ε. Коротко это определение можно записать так:

Geometryczne znaczenie tej definicji jest następujące: dla „ ε>0 $ M>0, że dla x є(-∞; -M) lub x є(M; +∞) odpowiednie wartości funkcji ƒ( x) mieszczą się w ε-otoczeniu punktu A, czyli punkty wykresu leżą w pasie o szerokości 2ε, ograniczonym prostymi y=A+ε i y=A-ε (patrz rys. 112) .

16.4. Nieskończenie duża funkcja (b.b.f.)

Funkcję y=ƒ(x) nazywamy nieskończenie dużą dla x→x 0, jeżeli dla dowolnej liczby M>0 istnieje liczba δ=δ(M)>0, która dla wszystkich x spełnia nierówność 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>M.

Na przykład funkcja y=1/(x-2) to b.b.f. dla x->2.

Jeśli ƒ(x) dąży do nieskończoności jako x→x o i przyjmuje tylko wartości dodatnie, to piszą

jeśli tylko wartości ujemne, to

Funkcja y=ƒ(x), określona na całej osi liczbowej, nazywany nieskończenie dużym jako x→∞, jeśli dla dowolnej liczby M>0 istnieje liczba N=N(M)>0 taka, że ​​dla wszystkich x spełniających nierówność |x|>N zachodzi nierówność |ƒ(x)|>M. Krótki:

Na przykład y=2x ma b.b.f. jako x → ∞.

Należy zauważyć, że jeśli argument x dążący do nieskończoności przyjmuje tylko wartości naturalne, tj. xєN, to odpowiadający mu b.b.f. staje się nieskończenie dużym ciągiem. Na przykład ciąg v n = n 2 +1, n є N jest ciągiem nieskończenie dużym. Oczywiście każdy b.b.f. w otoczeniu punktu xo jest nieograniczona w tym otoczeniu. Odwrotna sytuacja nie jest prawdą: funkcja nieograniczona nie może być b.b.f. (Na przykład y=xsinx.)

Jeżeli jednak limƒ(x)=A dla x→x 0, gdzie A jest liczbą skończoną, to funkcja ƒ(x) jest ograniczona w sąsiedztwie punktu x o.

Rzeczywiście, z definicji granicy funkcji wynika, że ​​gdy x → x 0 warunek |ƒ(x)-A|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.

Dowodząc własności granicy funkcji, byliśmy przekonani, że tak naprawdę nic nie jest potrzebne od przebitych okolic, w których określono nasze funkcje, a które powstały w procesie dowodu, z wyjątkiem właściwości wskazanych we wstępie do poprzedniego akapitu 2. Okoliczność ta stanowi uzasadnienie dla identyfikacji następującego obiektu matematycznego.

A. Opierać; definicja i podstawowe przykłady

Definicja 11. Zbiór B podzbiorów zbioru X będzie nazywany bazą w zbiorze X, jeśli zostaną spełnione dwa warunki:

Inaczej mówiąc, elementy kolekcji B są zbiorami niepustymi, a na przecięciu dowolnych dwóch z nich znajduje się jakiś element z tego samego zbioru.

Wskażmy niektóre z najczęściej stosowanych baz w analizach.

Jeśli wtedy zamiast tego napiszą i powiedzą, że x dąży do a z prawej strony lub ze strony większych wartości (odpowiednio z lewej lub ze strony mniejszych wartości). Kiedy zamiast tego akceptowany jest krótki zapis

Wpis zostanie użyty zamiast Ona oznacza, że ​​a; dąży do zbioru E do a, pozostając większym (mniejszym) niż a.

zamiast tego piszą i mówią, że x dąży do plus nieskończoności (odpowiednio do minus nieskończoności).

Zamiast tego zostanie użyty wpis

Kiedy zamiast (o ile nie powoduje to nieporozumień) napiszemy, jak to zwykle bywa w teorii granicy ciągu,

Należy zauważyć, że wszystkie wymienione podstawy mają tę cechę, że przecięcie dowolnych dwóch elementów podstawy samo w sobie jest elementem tej podstawy, a nie tylko zawiera jakiś element podstawy. Inne podstawy napotkamy badając funkcje, które nie są określone na osi liczb.

Zauważmy też, że użyte tu określenie „baza” jest krótkim określeniem tego, co w matematyce nazywa się „bazą filtra”, a wprowadzona poniżej granica bazowa jest najbardziej istotną częścią analizy koncepcji granicy filtra stworzonej przez współczesny Francuski matematyk A. Cartan

B. Limit funkcji według podstawy

Definicja 12. Niech będzie funkcją na zbiorze X; B jest bazą w X. Liczbę nazywamy granicą funkcji względem podstawy B, jeśli dla dowolnego otoczenia punktu A istnieje element podstawy, którego obraz zawiera się w sąsiedztwie

Jeżeli A jest granicą funkcji względem podstawy B, to napisz

Powtórzmy definicję granicy nad bazą w symbolice logicznej:

Ponieważ teraz przyglądamy się funkcjom z wartościami liczbowymi, warto pamiętać o następującej formie tej podstawowej definicji:

W tym sformułowaniu zamiast dowolnego sąsiedztwa V (A) przyjmuje się symetryczne (w stosunku do punktu A) sąsiedztwo (e-sąsiedztwo). Równoważność tych definicji dla funkcji o wartościach rzeczywistych wynika z faktu, że jak już wspomniano, w dowolnym sąsiedztwie punktu znajduje się pewne symetryczne sąsiedztwo tego samego punktu (wykonaj dowód w całości!).

Podaliśmy ogólną definicję granicy funkcji po podstawie. Powyżej omówiliśmy przykłady najczęściej używanych baz danych w analizach. W konkretnym problemie, w którym pojawia się jedna lub druga z tych zasad, należy umieć rozszyfrować ogólną definicję i zapisać ją dla konkretnej bazy.

Rozważając przykłady baz, wprowadziliśmy w szczególności pojęcie sąsiedztwa nieskończoności. Jeśli zastosujemy to pojęcie, to zgodnie z ogólną definicją granicy zasadne jest przyjęcie następujących konwencji:

lub, co jest takie samo,

Zwykle mamy na myśli małą wartość. W powyższych definicjach oczywiście tak nie jest. Zgodnie z przyjętymi konwencjami możemy np. pisać

Aby wszystkie twierdzenia o granicach, które udowodniliśmy w paragrafie 2 dla specjalnej bazy, można było uznać za udowodnione w ogólnym przypadku granicy na dowolnej podstawie, konieczne jest podanie odpowiednich definicji: ostatecznie stała, ostatecznie ograniczona i nieskończenie mała dla danej bazy funkcji.

Definicja 13. Mówi się, że funkcja jest ostatecznie stała o podstawie B, jeśli istnieje liczba i element podstawy taki, że w dowolnym punkcie

W tej chwili główną zaletą dokonanej obserwacji i wprowadzonej w związku z nią koncepcji bazy jest to, że oszczędzają nam one kontroli i formalnych dowodów twierdzeń granicznych dla każdego konkretnego typu przejść granicznych lub, w naszej obecnej terminologii, dla każdy konkretny typ baz

Aby w końcu zapoznać się z pojęciem granicy na dowolnej podstawie przeprowadzimy dowody dalszych własności granicy funkcji w postaci ogólnej.

Ten kalkulator matematyczny online pomoże Ci, jeśli go potrzebujesz obliczyć granicę funkcji. Program granice rozwiązań nie tylko daje odpowiedź na problem, ale także prowadzi szczegółowe rozwiązanie z objaśnieniami, tj. wyświetla proces obliczania limitu.

Program ten może być przydatny dla uczniów szkół średnich w szkołach ogólnokształcących podczas przygotowań do sprawdzianów i egzaminów, podczas sprawdzania wiedzy przed egzaminem Unified State Exam, a także dla rodziców do kontroli rozwiązania wielu problemów z matematyki i algebry.

A może wynajęcie korepetytora lub zakup nowych podręczników jest dla Ciebie zbyt kosztowny? A może po prostu chcesz jak najszybciej odrobić zadanie domowe z matematyki lub algebry? W tym przypadku możesz także skorzystać z naszych programów ze szczegółowymi rozwiązaniami.

W ten sposób możesz prowadzić własne szkolenie i/lub szkolenie swoich młodszych braci, a jednocześnie wzrasta poziom edukacji w zakresie rozwiązywania problemów.

Oblicz limit

Odkryto, że niektóre skrypty niezbędne do rozwiązania tego problemu nie zostały załadowane i program może nie działać.
Być może masz włączonego AdBlocka.
W takim przypadku wyłącz ją i odśwież stronę.

JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce.
Aby rozwiązanie się pojawiło, musisz włączyć JavaScript.
Poniżej znajdują się instrukcje dotyczące włączania JavaScript w Twojej przeglądarce.

Ponieważ Chętnych do rozwiązania problemu jest wiele, Twoja prośba została umieszczona w kolejce.
Za kilka sekund rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę czekać sekunda...

Jeśli ty zauważył błąd w rozwiązaniu, możesz napisać o tym w Formularzu opinii.
Nie zapomnij wskaż, które zadanie ty decydujesz co wpisz w pola.

Nasze gry, puzzle, emulatory:

Trochę teorii.

Granica funkcji w miejscu x->x 0

Niech będzie zdefiniowana funkcja f(x) na jakimś zbiorze X i niech punkt \(x_0 \in X\) lub \(x_0 \notin X\)

Weźmy z X ciąg punktów różny od x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
zbieżny do x*. Wartości funkcji w punktach tej sekwencji również tworzą ciąg liczbowy
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
i można postawić pytanie o istnienie jej granicy.

Nieskończone granice funkcji. Liczbę A nazywa się granicą funkcji f(x) w punkcie x = x 0 (lub w x -> x 0), jeśli dla dowolnego ciągu (1) wartości argumentu x różnych od x 0 zbieżny do x 0, odpowiadająca mu funkcja ciągu (2) wartości zbiega się do liczby A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Funkcja f(x) może mieć tylko jedną granicę w punkcie x 0. Wynika to z faktu, że sekwencja
(f(x n)) ma tylko jedną granicę.

Istnieje inna definicja granicy funkcji.

Nieskończone granice funkcji Liczbę A nazywa się granicą funkcji f(x) w punkcie x = x 0, jeśli dla dowolnej liczby \(\varepsilon > 0\) istnieje liczba \(\delta > 0\) taka, że ​​dla wszystkich \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), spełniając nierówność \(|x-x_0| Używając symboli logicznych, definicję tę można zapisać jako
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Zauważ, że nierówności \(x \neq x_0 , \; |x-x_0|. Pierwsza definicja opiera się na koncepcji granicy ciągu liczbowego, dlatego często nazywana jest definicją „w języku ciągów”. Druga definicja nazywana jest „w języku \(\varepsilon - \delta \)”.
Te dwie definicje granicy funkcji są równoważne i można zastosować dowolną z nich, w zależności od tego, która jest wygodniejsza do rozwiązania konkretnego problemu.

Należy zauważyć, że definicja granicy funkcji „w języku ciągów” nazywana jest także definicją granicy funkcji według Heinego, a definicja granicy funkcji „w języku \(\varepsilon - \delta \)” nazywana jest także definicją granicy funkcji według Cauchy’ego.

Granica funkcji w x->x 0 - i w x->x 0 +

W dalszej części będziemy posługiwać się pojęciami jednostronnych granic funkcji, które definiuje się w następujący sposób.

Nieskończone granice funkcji Liczbę A nazywamy prawą (lewą) granicą funkcji f(x) w punkcie x 0, jeżeli dla dowolnego ciągu (1) zbieżnego do x 0, którego elementy x n są większe (mniejsze od) x 0, odpowiedni ciąg (2) zbiega się do A.

Symbolicznie jest to napisane tak:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Równoważną definicję jednostronnych granic funkcji możemy podać „w języku \(\varepsilon - \delta \)”:

Nieskończone granice funkcji liczbę A nazywa się prawą (lewą) granicą funkcji f(x) w punkcie x 0, jeśli dla dowolnego \(\varepsilon > 0\) istnieje \(\delta > 0\) takie, że dla wszystkich x spełniających nierówności \(x_0 Wpisy symboliczne:

\((\forall \varepsilon > 0) (\istnieje \delta > 0) (\forall x, \; x_0