Paano malutas ang mga exponential equation? Exponential equation. Mga solusyon
Exponential equation. Tulad ng alam mo, ang Pinag-isang State Examination ay may kasamang mga simpleng equation. Napag-isipan na namin ang ilan - ito ay logarithmic, trigonometric, rational. Narito ang mga exponential equation.
Sa isang kamakailang artikulo na nagtrabaho kami sa mga exponential expression, magiging kapaki-pakinabang ito. Ang mga equation mismo ay nalutas nang simple at mabilis. Kailangan mo lang malaman ang mga katangian ng mga exponent at... Tungkol ditokaragdagang.
Ilista natin ang mga katangian ng mga exponent:
Ang zero power ng anumang numero ay katumbas ng isa.
Isang bunga ng property na ito:
Kaunting teorya pa.
Ang exponential equation ay isang equation na naglalaman ng variable sa exponent, iyon ay, ito ay isang equation ng form:
f(x) expression na naglalaman ng variable
Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga exponential equation
1. Bilang resulta ng mga pagbabago, ang equation ay maaaring bawasan sa anyo:
Pagkatapos ay inilapat namin ang ari-arian:
2. Sa pagkuha ng equation ng form isang f (x) = b gamit ang kahulugan ng logarithm, nakukuha natin ang:
3. Bilang resulta ng mga pagbabago, maaari kang makakuha ng equation ng form:
Inilapat ang logarithm:
Ipahayag at hanapin ang x.
Sa mga gawain Mga opsyon sa Pinag-isang State Exam Ito ay sapat na upang gamitin ang unang paraan.
Iyon ay, ito ay kinakailangan upang kumatawan sa kaliwa at kanang panig sa anyo ng mga kapangyarihan na may parehong base, at pagkatapos ay equate namin ang mga exponents at lutasin ang karaniwang linear equation.
Isaalang-alang ang mga equation:
Hanapin ang ugat ng equation 4 1–2x = 64.
Kinakailangang tiyakin na ang kaliwa at kanang bahagi ay naglalaman ng mga exponential expression na may parehong base. Maaari nating katawanin ang 64 bilang 4 sa kapangyarihan ng 3. Nakukuha natin ang:
4 1–2x = 4 3
1 – 2x = 3
– 2x = 2
x = – 1
Pagsusuri:
4 1–2 (–1) = 64
4 1 + 2 = 64
4 3 = 64
64 = 64
Sagot: –1
Hanapin ang ugat ng equation 3 x–18 = 1/9.
Ito ay kilala na
Kaya 3 x-18 = 3 -2
Ang mga base ay pantay-pantay, maaari nating ipantay ang mga tagapagpahiwatig:
x – 18 = – 2
x = 16
Pagsusuri:
3 16–18 = 1/9
3 –2 = 1/9
1/9 = 1/9
Sagot: 16
Hanapin ang ugat ng equation:
Katawanin natin ang fraction 1/64 bilang one-fourth sa ikatlong power:
2x – 19 = 3
2x = 22
x = 11
Pagsusuri:
Sagot: 11
Hanapin ang ugat ng equation:
Isipin natin ang 1/3 bilang 3 –1, at 9 bilang 3 squared, makuha natin ang:
(3 –1) 8–2x = 3 2
3 –1∙(8–2x) = 3 2
3 –8+2x = 3 2
Ngayon ay maaari nating itumbas ang mga tagapagpahiwatig:
– 8+2x = 2
2x = 10
x = 5
Pagsusuri:
Sagot: 5
26654. Hanapin ang ugat ng equation:
Solusyon:
Sagot: 8.75
Sa katunayan, kahit anong kapangyarihan ang itaas natin ang isang positibong numero a, hindi tayo makakakuha ng negatibong numero.
Anumang exponential equation pagkatapos ng naaangkop na mga pagbabago ay binabawasan sa paglutas ng isa o higit pang mga simple.Sa seksyong ito ay titingnan din natin ang paglutas ng ilang mga equation, huwag palampasin ito!Iyon lang. Good luck sa iyo!
Taos-puso, Alexander Krutitskikh.
P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo sa akin ang tungkol sa site sa mga social network.
Paglutas ng mga exponential equation. Mga halimbawa.
Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga taong "hindi masyadong..."
At para sa mga “napaka…”)
Anong nangyari exponential equation? Ito ay isang equation kung saan ang mga hindi alam (x) at mga expression na kasama nila ay nasa mga tagapagpahiwatig ilang degree. At doon lang! Ito ay mahalaga.
Eto na mga halimbawa ng exponential equation:
3 x 2 x = 8 x+3
pansinin mo! Sa mga base ng degree (sa ibaba) - mga numero lamang. SA mga tagapagpahiwatig degrees (sa itaas) - isang malawak na iba't ibang mga expression na may X. Kung biglang lumitaw ang isang X sa equation sa isang lugar maliban sa isang indicator, halimbawa:
ito ay magiging isang equation ng halo-halong uri. Ang ganitong mga equation ay walang malinaw na mga panuntunan para sa paglutas ng mga ito. Hindi natin sila isasaalang-alang sa ngayon. Dito natin haharapin paglutas ng mga exponential equation sa pinakadalisay nitong anyo.
Sa katunayan, kahit na ang mga purong exponential equation ay hindi laging nalutas nang malinaw. Ngunit may ilang uri ng mga exponential equation na maaari at dapat lutasin. Ito ang mga uri na ating isasaalang-alang.
Paglutas ng mga simpleng exponential equation.
Una, lutasin natin ang isang bagay na napakasimple. Halimbawa:
Kahit na walang anumang mga teorya, sa simpleng pagpili ay malinaw na ang x = 2. Wala na, diba!? Walang ibang value ng X ang gumagana. Ngayon tingnan natin ang solusyon sa nakakalito na exponential equation na ito:
Ano ang nagawa natin? Kami, sa katunayan, ay itinapon lamang ang parehong mga base (triple). Ganap na itinapon. At, ang magandang balita ay, natamaan namin ang ulo!
Sa katunayan, kung sa isang exponential equation ay may kaliwa at kanan magkapareho mga numero sa anumang kapangyarihan, ang mga numerong ito ay maaaring alisin at ang mga exponent ay maaaring ipantay. Pinapayagan ng matematika. Ito ay nananatiling upang malutas ang isang mas simpleng equation. Mahusay, tama?)
Gayunpaman, tandaan nating mabuti: Maaari mo lamang tanggalin ang mga base kapag ang mga batayang numero sa kaliwa at kanan ay nasa napakagandang paghihiwalay! Nang walang anumang mga kapitbahay at coefficients. Sabihin natin sa mga equation:
2 x +2 x+1 = 2 3, o
hindi matatanggal ang dalawa!
Buweno, pinagkadalubhasaan namin ang pinakamahalagang bagay. Paano lumipat mula sa masasamang exponential expression patungo sa mas simpleng mga equation.
"Iyan ang mga oras!" - sabi mo. "Sino ang magbibigay ng gayong primitive na aralin sa mga pagsusulit at pagsusulit!?"
Kailangan kong pumayag. Walang sinuman. Ngunit ngayon alam mo na kung saan maglalayon kapag nilulutas ang mga nakakalito na halimbawa. Ito ay kinakailangan upang dalhin ito sa form kung saan ang parehong base number ay nasa kaliwa at sa kanan. Pagkatapos ang lahat ay magiging mas madali. Sa totoo lang, ito ay isang klasiko ng matematika. Kinukuha namin ang orihinal na halimbawa at binabago ito sa ninanais sa amin isip. Ayon sa mga patakaran ng matematika, siyempre.
Tingnan natin ang mga halimbawa na nangangailangan ng ilang karagdagang pagsisikap upang bawasan ang mga ito sa pinakasimple. Tawagan natin sila simpleng exponential equation.
Pumunta sa youtube channel ng aming website upang manatiling napapanahon sa lahat ng mga bagong aralin sa video.
Una, tandaan natin ang mga pangunahing pormula ng mga kapangyarihan at ang kanilang mga katangian.
Produkto ng isang numero a nangyayari sa sarili ng n beses, maaari nating isulat ang expression na ito bilang a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = isang nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m = a n - m
Power o exponential equation– ito ay mga equation kung saan ang mga variable ay nasa kapangyarihan (o mga exponent), at ang base ay isang numero.
Mga halimbawa ng exponential equation:
SA sa halimbawang ito ang numero 6 ay ang base, ito ay palaging nasa ibaba, at ang variable x antas o tagapagpahiwatig.
Magbigay tayo ng higit pang mga halimbawa ng mga exponential equation.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0
Ngayon tingnan natin kung paano nalutas ang mga exponential equation?
Kumuha tayo ng isang simpleng equation:
2 x = 2 3
Ang halimbawang ito ay maaaring malutas kahit na sa iyong ulo. Makikita na x=3. Pagkatapos ng lahat, upang maging pantay ang kaliwa at kanang bahagi, kailangan mong ilagay ang numero 3 sa halip na x.
Ngayon tingnan natin kung paano gawing pormal ang desisyong ito:
2 x = 2 3
x = 3
Upang malutas ang gayong equation, inalis namin magkatulad na batayan(iyon ay, dalawa) at isinulat kung ano ang natitira, ito ay mga degree. Nakuha namin ang sagot na hinahanap namin.
Ngayon ay ibubuod natin ang ating desisyon.
Algorithm para sa paglutas ng exponential equation:
1. Kailangang suriin magkapareho kung ang equation ay may mga batayan sa kanan at kaliwa. Kung ang mga dahilan ay hindi pareho, naghahanap kami ng mga pagpipilian upang malutas ang halimbawang ito.
2. Matapos maging pareho ang mga base, itumbas degrees at lutasin ang nagresultang bagong equation.
Ngayon tingnan natin ang ilang halimbawa:
Magsimula tayo sa isang bagay na simple.
Ang mga base sa kaliwa at kanang bahagi ay katumbas ng numero 2, na nangangahulugang maaari nating itapon ang base at ipantay ang kanilang mga kapangyarihan.
x+2=4 Ang pinakasimpleng equation ay nakuha.
x=4 – 2
x=2
Sagot: x=2
Sa sumusunod na halimbawa makikita mo na ang mga base ay magkaiba: 3 at 9.
3 3x - 9 x+8 = 0
Una, ilipat ang siyam sa kanang bahagi, makuha namin:
Ngayon ay kailangan mong gawin ang parehong mga base. Alam natin na 9=3 2. Gamitin natin ang power formula (a n) m = a nm.
3 3x = (3 2) x+8
Nakukuha natin ang 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 Ngayon ay malinaw na sa kaliwa at kanang bahagi ang mga base ay pareho at katumbas ng tatlo, na nangangahulugan na maaari nating itapon ang mga ito at ipantay ang mga degree.
3x=2x+16 nakukuha natin ang pinakasimpleng equation
3x - 2x=16
x=16
Sagot: x=16.
Tingnan natin ang sumusunod na halimbawa:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
Una sa lahat, tinitingnan natin ang mga base, base dalawa at apat. At kailangan natin silang maging pareho. Binabago namin ang apat gamit ang formula (a n) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
At gumagamit din kami ng isang formula a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Idagdag sa equation:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Nagbigay kami ng isang halimbawa ng sa parehong mga batayan. Ngunit ang ibang mga numero 10 at 24 ay nakakaabala sa amin. Kung titingnan mong mabuti makikita mo na sa kaliwang bahagi mayroon tayong 2 2x na paulit-ulit, narito ang sagot - maaari tayong maglagay ng 2 2x sa mga bracket:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Kalkulahin natin ang expression sa mga bracket:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Hinahati namin ang buong equation sa 6:
Isipin natin 4=2 2:
Ang 2 2x = 2 2 base ay pareho, itinatapon namin ang mga ito at tinutumbasan ang mga degree.
Ang 2x = 2 ay ang pinakasimpleng equation. Hatiin ito ng 2 at makuha natin
x = 1
Sagot: x = 1.
Lutasin natin ang equation:
9 x – 12*3 x +27= 0
Ibahin natin:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Nakukuha namin ang equation:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Ang aming mga base ay pareho, katumbas ng tatlo Sa halimbawang ito, makikita mo na ang unang tatlo ay may degree na dalawang beses (2x) kaysa sa pangalawa (x lang). Sa kasong ito, maaari mong malutas paraan ng pagpapalit. Pinapalitan namin ang numero ng pinakamaliit na antas:
Pagkatapos 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Pinapalitan namin ang lahat ng x na kapangyarihan sa equation ng t:
t 2 - 12t+27 = 0
Nakukuha namin quadratic equation. Paglutas sa pamamagitan ng discriminant, nakukuha natin ang:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3
Pagbabalik sa variable x.
Kunin ang t 1:
t 1 = 9 = 3 x
Samakatuwid,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Isang ugat ang natagpuan. Hinahanap namin ang pangalawa mula sa t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Sagot: x 1 = 2; x 2 = 1.
Sa website maaari kang magtanong ng anumang mga katanungan na maaaring mayroon ka sa seksyong HELP DECIDE, tiyak na sasagutin ka namin.
Sumali sa grupo
Sa yugto ng paghahanda para sa panghuling pagsubok Kailangang pagbutihin ng mga mag-aaral sa high school ang kanilang kaalaman sa paksang “Exponential Equation.” Ang karanasan ng mga nakaraang taon ay nagpapahiwatig na ang gayong mga gawain ay nagdudulot ng ilang mga paghihirap para sa mga mag-aaral. Samakatuwid, ang mga mag-aaral sa high school, anuman ang kanilang antas ng paghahanda, ay kailangang lubusang makabisado ang teorya, tandaan ang mga formula at maunawaan ang prinsipyo ng paglutas ng mga naturang equation. Ang pagkakaroon ng natutunan upang makayanan ang ganitong uri ng problema, ang mga nagtapos ay maaaring umasa sa matataas na marka kapag pumasa sa Unified State Exam sa matematika.
Maghanda para sa pagsusulit sa pagsusulit kasama si Shkolkovo!
Kapag sinusuri ang mga materyal na kanilang nasasakupan, maraming mga mag-aaral ang nahaharap sa problema sa paghahanap ng mga formula na kailangan upang malutas ang mga equation. Ang isang aklat-aralin sa paaralan ay hindi palaging nasa kamay, at ang pagpili ng kinakailangang impormasyon sa isang paksa sa Internet ay tumatagal ng mahabang panahon.
Iniimbitahan ng portal na pang-edukasyon ng Shkolkovo ang mga mag-aaral na gamitin ang aming base ng kaalaman. Kami ay nagpapatupad ng isang ganap na bagong paraan ng paghahanda para sa panghuling pagsubok. Sa pamamagitan ng pag-aaral sa aming website, matutukoy mo ang mga gaps sa kaalaman at mabibigyang-pansin ang mga gawaing nagdudulot ng pinakamahirap.
Ang mga guro ng Shkolkovo ay nakolekta, nag-systematize at ipinakita ang lahat ng kailangan matagumpay na pagkumpleto Pinag-isang State Exam material sa pinakasimple at pinakanaa-access na anyo.
Ang mga pangunahing kahulugan at formula ay ipinakita sa seksyong "Theoretical background".
Upang mas maunawaan ang materyal, inirerekomenda namin na magsanay ka sa pagkumpleto ng mga takdang-aralin. Maingat na suriin ang mga halimbawa ng mga exponential equation na may mga solusyon na ipinakita sa pahinang ito upang maunawaan ang algorithm ng pagkalkula. Pagkatapos nito, magpatuloy upang magsagawa ng mga gawain sa seksyong "Mga Direktoryo". Maaari kang magsimula sa pinakamadaling gawain o dumiretso sa paglutas ng mga kumplikadong exponential equation na may ilang hindi alam o . Ang database ng mga pagsasanay sa aming website ay patuloy na pupunan at ina-update.
Ang mga halimbawang iyon na may mga tagapagpahiwatig na nagdulot sa iyo ng mga paghihirap ay maaaring idagdag sa "Mga Paborito". Sa ganitong paraan madali mong mahahanap ang mga ito at matalakay ang solusyon sa iyong guro.
Upang matagumpay na makapasa sa Unified State Exam, mag-aral sa portal ng Shkolkovo araw-araw!
Sa araling ito, titingnan natin ang paglutas ng mas kumplikadong mga exponential equation at aalalahanin ang mga pangunahing teoretikal na prinsipyo tungkol sa exponential function.
1. Kahulugan at katangian ng exponential function, mga pamamaraan para sa paglutas ng pinakasimpleng exponential equation
Alalahanin natin ang kahulugan at mga pangunahing katangian ng exponential function. Ang solusyon ng lahat ng exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay ay batay sa mga katangiang ito.
Exponential function ay isang function ng form , kung saan ang base ay ang degree at Narito ang x ay ang independent variable, argument; y ang dependent variable, function.
kanin. 1. Graph ng exponential function
Ipinapakita ng graph ang pagtaas at pagbaba ng mga exponent, na naglalarawan ng exponential function na may base na mas malaki sa isa at mas mababa sa isa ngunit mas malaki sa zero, ayon sa pagkakabanggit.
Ang parehong mga kurba ay dumadaan sa punto (0;1)
Mga Katangian ng Exponential Function:
Saklaw: ;
Saklaw ng mga halaga: ;
Ang function ay monotonic, tumataas nang may, bumababa nang may.
Kinukuha ng monotonic function ang bawat value nito na binibigyan ng isang value ng argument.
Kapag tumaas ang argumento mula minus hanggang plus infinity, tataas ang function mula sa zero inclusive hanggang plus infinity. Sa kabaligtaran, kapag ang argument ay tumaas mula minus hanggang plus infinity, bumababa ang function mula sa infinity hanggang zero, hindi kasama.
2. Paglutas ng mga karaniwang exponential equation
Paalalahanan ka namin kung paano lutasin ang pinakasimpleng mga exponential equation. Ang kanilang solusyon ay batay sa monotonicity ng exponential function. Halos lahat ng mga kumplikadong exponential equation ay maaaring bawasan sa mga naturang equation.
Ang pagkakapantay-pantay ng mga exponent na may pantay na base ay dahil sa pag-aari ng exponential function, lalo na ang monotonicity nito.
Paraan ng solusyon:
I-equalize ang mga base ng degrees;
Equate ang exponents.
Magpatuloy tayo upang isaalang-alang ang mas kumplikadong mga equation ng exponential;
Tanggalin natin ang ugat sa kaliwang bahagi at dalhin ang mga degree sa parehong base:
Upang mabawasan ang isang kumplikadong exponential equation sa pinakasimple nito, madalas na ginagamit ang pagpapalit ng mga variable.
Gamitin natin ang power property:
Kami ay nagpapakilala ng kapalit. Hayaan mo na. Sa ganoong kapalit, malinaw na ang y ay tumatagal sa mahigpit na positibong mga halaga. Nakukuha namin:
I-multiply ang resultang equation sa dalawa at ilipat ang lahat ng termino sa kaliwang bahagi:
Ang unang ugat ay hindi nakakatugon sa hanay ng mga halaga ng y, kaya itinatapon namin ito. Nakukuha namin:
Bawasan natin ang mga degree sa parehong indicator:
Magpakilala tayo ng kapalit:
Hayaan mo na 
. Sa ganoong kapalit, malinaw na ang y ay tumatagal sa mahigpit na positibong mga halaga. Nakukuha namin:
Alam namin kung paano lutasin ang mga naturang quadratic equation, maaari naming isulat ang sagot:
Upang matiyak na ang mga ugat ay matatagpuan nang tama, maaari mong suriin gamit ang Vieta's theorem, ibig sabihin, hanapin ang kabuuan ng mga ugat at ang kanilang produkto at ihambing ang mga ito sa kaukulang coefficient ng equation.
Nakukuha namin:
3. Pamamaraan para sa paglutas ng mga homogenous exponential equation ng pangalawang degree
Pag-aralan natin ang sumusunod na mahalagang uri ng exponential equation:
Ang mga equation ng ganitong uri ay tinatawag na homogenous ng pangalawang degree na may paggalang sa mga function f at g. Sa kaliwang bahagi nito ay may isang parisukat na trinomial na may paggalang sa f na may parameter na g o isang parisukat na trinomial na may paggalang sa g na may parameter na f.
Paraan ng solusyon:
Ang equation na ito ay maaaring malutas bilang isang quadratic equation, ngunit mas madaling gawin ito sa ibang paraan. Mayroong dalawang mga kaso upang isaalang-alang:
Sa unang kaso nakuha namin
Sa pangalawang kaso, may karapatan tayong hatiin ayon sa pinakamataas na antas at makuha ang:
Ito ay kinakailangan upang ipakilala ang isang pagbabago ng mga variable, kumuha kami ng isang quadratic equation para sa y:
Tandaan natin na ang mga function na f at g ay maaaring maging anuman, ngunit kami ay interesado sa kaso kung ang mga ito ay exponential function.
4. Mga halimbawa ng paglutas ng mga homogenous equation
Ilipat natin ang lahat ng termino sa kaliwang bahagi ng equation:
Dahil ang mga exponential function ay nakakakuha ng mahigpit na positibong mga halaga, may karapatan kaming agad na hatiin ang equation sa pamamagitan ng , nang hindi isinasaalang-alang ang kaso kapag:
Nakukuha namin:
Magpakilala tayo ng kapalit: 
(ayon sa mga katangian ng exponential function)
Nakakuha kami ng isang quadratic equation:
Tinutukoy namin ang mga ugat gamit ang teorama ni Vieta:
Ang unang ugat ay hindi nakakatugon sa hanay ng mga halaga ng y, itinatapon namin ito, nakukuha namin:
Gamitin natin ang mga katangian ng mga degree at bawasan ang lahat ng degree sa mga simpleng base:
Madaling mapansin ang mga function na f at g:
Dahil ang mga exponential function ay nakakakuha ng mahigpit na positibong mga halaga, mayroon kaming karapatan na agad na hatiin ang equation sa pamamagitan ng , nang hindi isinasaalang-alang ang kaso kung kailan .