Mga halimbawa:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4.8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Paano Lutasin ang mga Exponential Equation

Kapag nilulutas ang anumang exponential equation, sinisikap naming dalhin ito sa anyong \(a^(f(x))=a^(g(x))\), at pagkatapos ay gawin ang paglipat sa pagkakapantay-pantay ng mga exponent, iyon ay:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Halimbawa:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Mahalaga! Mula sa parehong lohika, dalawang kinakailangan para sa naturang paglipat ay sumusunod:
- numero sa kaliwa at kanan ay dapat na pareho;
- ang mga degree sa kaliwa at kanan ay dapat na "dalisay", ibig sabihin, hindi dapat magkaroon ng multiplications, divisions, etc.

Halimbawa:

Upang bawasan ang equation sa anyong \(a^(f(x))=a^(g(x))\) at ginagamit.

Halimbawa . Lutasin ang exponential equation \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Solusyon:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Alam namin na \(27 = 3^3\). Isinasaalang-alang ito, binabago namin ang equation.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Sa pamamagitan ng pag-aari ng ugat na \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) nakuha namin na \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Susunod, gamit ang pag-aari ng degree \((a^b)^c=a^(bc)\), makuha namin ang \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Alam din natin na \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Paglalapat nito sa kaliwang bahagi, makukuha natin ang: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)\).
\(3^(x+0.5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Ngayon tandaan na: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Ang formula na ito ay maaari ding gamitin sa reverse side: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Pagkatapos ay \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)		Ang paglalapat ng ari-arian \((a^b)^c=a^(bc)\) sa kanang bahagi, makuha namin ang: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)		At ngayon ang aming mga base ay pantay-pantay at walang mga nakakasagabal na coefficients, atbp. Para magawa natin ang transition.
		Halimbawa . Lutasin ang exponential equation \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) Solusyon: \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) Muli naming ginagamit ang power property \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) sa kabilang direksyon. \(4^x 4^(0.5)-5 2^x+2=0\) Ngayon tandaan na \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0\) Gamit ang mga katangian ng mga degree, binabago namin: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Tinitingnan namin nang mabuti ang equation at nakikita na ang kapalit na \(t=2^x\) ay nagmumungkahi ng sarili nito. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Gayunpaman, natagpuan namin ang mga halaga ng \(t\), at kailangan namin ng \(x\). Bumalik kami sa X's, na gumagawa ng reverse replacement. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Ibahin natin ang pangalawang equation gamit ang property ng negative power... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...at nagpasya kami hanggang sa sagot. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Sagot : \(-1; 1\). Ang tanong ay nananatili - kung paano maunawaan kung kailan gagamitin ang aling paraan? Ito ay kasama ng karanasan. Hanggang sa makuha mo ito, gamitin ito pangkalahatang rekomendasyon upang malutas ang mga kumplikadong problema - "kung hindi mo alam kung ano ang gagawin, gawin ang iyong makakaya." Iyon ay, hanapin kung paano mo mababago ang equation sa prinsipyo, at subukang gawin ito - paano kung ano ang mangyayari? Ang pangunahing bagay ay gumawa lamang ng mga pagbabagong batay sa matematika. Exponential equation na walang solusyon Tingnan natin ang dalawa pang sitwasyon na kadalasang nakakalito sa mga mag-aaral: - isang positibong numero sa kapangyarihan ay katumbas ng zero, halimbawa, \(2^x=0\); - ang isang positibong numero ay katumbas ng isang kapangyarihan ng isang negatibong numero, halimbawa, \(2^x=-4\). Subukan nating lutasin sa pamamagitan ng malupit na puwersa. Kung ang x ay isang positibong numero, kung gayon habang lumalaki ang x, ang buong kapangyarihan \(2^x\) ay tataas lamang: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Gayundin sa pamamagitan ng. Nananatili ang negatibong X. Inaalala ang property na \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), sinusuri namin: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Sa kabila ng katotohanan na ang bilang ay nagiging mas maliit sa bawat hakbang, hindi ito aabot sa zero. Kaya ang negatibong antas ay hindi nagligtas sa amin. Dumating tayo sa isang lohikal na konklusyon: Ang positibong numero sa anumang antas ay mananatiling positibong numero. Kaya, ang parehong mga equation sa itaas ay walang mga solusyon. Exponential equation na may iba't ibang base Sa pagsasagawa, kung minsan ay nakatagpo tayo ng mga exponential equation na may iba't ibang mga base na hindi mababawasan sa isa't isa, at sa parehong oras na may parehong mga exponent. Ganito ang hitsura nila: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), kung saan ang \(a\) at \(b\) ay mga positibong numero. Halimbawa: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Ang mga naturang equation ay madaling malulutas sa pamamagitan ng paghahati sa alinman sa mga gilid ng equation (karaniwang hinahati sa kanang bahagi, iyon ay, sa pamamagitan ng \(b^(f(x))\). Maaari mong hatiin sa ganitong paraan dahil ang isang positibong numero ay positibo sa anumang kapangyarihan (iyon ay, hindi namin hinahati sa zero). \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Halimbawa . Lutasin ang exponential equation \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Solusyon: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Dito hindi namin magagawang gawing tatlo ang lima, o kabaliktaran (kahit hindi gumagamit ng ). Nangangahulugan ito na hindi tayo maaaring dumating sa anyong \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Gayunpaman, ang mga tagapagpahiwatig ay pareho. Hatiin natin ang equation sa kanang bahagi, iyon ay, sa pamamagitan ng \(3^(x+7)\) (magagawa natin ito dahil alam natin na ang tatlo ay hindi magiging zero sa anumang antas). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Ngayon tandaan ang property \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) at gamitin ito sa kaliwa sa kabilang direksyon. Sa kanan, binabawasan lang namin ang fraction. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Mukhang hindi naging maayos ang lahat. Ngunit tandaan ang isa pang katangian ng kapangyarihan: \(a^0=1\), sa madaling salita: "anumang numero sa zero power ay katumbas ng \(1\)." Ang kabaligtaran ay totoo rin: "ang isa ay maaaring katawanin bilang anumang numero sa zero na kapangyarihan." Samantalahin natin ito sa pamamagitan ng paggawa ng base sa kanan katulad ng sa kaliwa. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Alisin natin ang mga base. Nagsusulat kami ng tugon. Sagot : \(-7\). Minsan ang "pagkakapareho" ng mga exponent ay hindi halata, ngunit ang mahusay na paggamit ng mga katangian ng mga exponent ay nireresolba ang isyung ito. Halimbawa . Lutasin ang exponential equation \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Solusyon: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Ang equation ay mukhang napakalungkot... Hindi lamang ang mga base ay hindi maaaring bawasan sa parehong numero (pito ay hindi sa anumang paraan ay katumbas ng \(\frac(1)(3)\)), ngunit pati na rin ang mga exponent ay iba. .. Gayunpaman, gamitin natin ang kaliwang exponent deuce. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Inaalala ang property \((a^b)^c=a^(b·c)\) , binabago namin mula sa kaliwa: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Ngayon, naaalala ang pag-aari ng negatibong antas \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), binabago namin mula sa kanan: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Aleluya! Ang mga tagapagpahiwatig ay pareho! Kumilos ayon sa pamamaraan na pamilyar sa amin, malulutas namin bago ang sagot. Sagot : \(2\).

Belgorod State University

DEPARTMENT algebra, teorya ng numero at geometry

Paksa: Exponential power equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Thesis mag-aaral ng Faculty of Physics and Mathematics

Scientific superbisor:

______________________________

Tagasuri: ______________________________

________________________

Belgorod. 2006

Panimula			3
Paksa ako.	Pagsusuri ng panitikan sa paksa ng pananaliksik.
Paksa II.	Mga function at ang kanilang mga katangian na ginagamit sa paglutas ng mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay.
	I.1.	Power function at ang mga katangian nito.
	I.2.	Exponential function at mga katangian nito.
Paksa III.	Paglutas ng mga exponential power equation, algorithm at mga halimbawa.
Paksa IV.	Paglutas ng mga exponential inequalities, plano ng solusyon at mga halimbawa.
Paksa V.	Karanasan sa pagsasagawa ng mga klase sa mga mag-aaral sa paksang: "Paglutas ng mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay."
V. 1.	Materyal na pang-edukasyon.
V. 2.	Mga problema para sa malayang solusyon.
Konklusyon.	Konklusyon at mungkahi.
Listahan ng ginamit na panitikan.
Mga aplikasyon

Panimula.

“...ang saya ng makita at maunawaan...”

A. Einstein.

Sa gawaing ito, sinubukan kong ihatid ang aking karanasan bilang isang guro sa matematika, upang maiparating kahit papaano ang aking saloobin sa pagtuturo nito - isang pagsisikap ng tao kung saan ang agham sa matematika, pedagogy, didactics, sikolohiya, at maging ang pilosopiya ay nakakagulat na magkakaugnay.

Nagkaroon ako ng pagkakataon na magtrabaho kasama ang mga bata at nagtapos, kasama ang mga bata na nakatayo sa mga poste pag-unlad ng intelektwal: mga nakarehistro sa isang psychiatrist at talagang interesado sa matematika

Nagkaroon ako ng pagkakataong lutasin ang maraming mga problema sa pamamaraan. Susubukan kong pag-usapan ang mga nalutas ko. Ngunit lalo pang nabigo, at maging sa mga tila nalutas na, may mga bagong tanong na bumangon.

Ngunit ang mas mahalaga kaysa sa mismong karanasan ay ang mga pagninilay at pagdududa ng guro: bakit eksaktong ganito, ang karanasang ito?

At ang tag-araw ay iba na ngayon, at ang pag-unlad ng edukasyon ay naging mas kawili-wili. Ang "Under the Jupiters" ay hindi na ngayon isang paghahanap para sa gawa-gawa pinakamainam na sistema nagtuturo sa "lahat at lahat", ngunit ang bata mismo. Ngunit pagkatapos - ng pangangailangan - ang guro.

Sa kurso ng paaralan ng algebra at nagsimulang pagsusuri, mga grado 10 - 11, na may pagpasa sa Unified State Exam Sa kurso ng mataas na paaralan at sa mga pagsusulit sa pasukan sa mga unibersidad, ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ay nakatagpo na naglalaman ng hindi alam sa base at mga exponent - ito ay mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Nakatanggap sila ng kaunting atensyon sa paaralan; halos walang mga takdang-aralin sa paksang ito sa mga aklat-aralin. Gayunpaman, ang mastering ang pamamaraan ng paglutas ng mga ito, tila sa akin, ay lubhang kapaki-pakinabang: ito ay nagdaragdag ng kaisipan at pagkamalikhain mga mag-aaral, ganap na bagong abot-tanaw ang nagbubukas sa harap natin. Sa paglutas ng mga problema, ang mga mag-aaral ay nakakakuha ng mga unang kasanayan gawaing pananaliksik, ang kanilang kultura sa matematika ay pinayaman, ang kanilang mga kakayahan upang lohikal na pag-iisip. Ang mga mag-aaral ay nagkakaroon ng mga katangian ng personalidad gaya ng determinasyon, pagtatakda ng layunin, at pagsasarili, na magiging kapaki-pakinabang sa kanila sa susunod na buhay. At mayroon ding pag-uulit, pagpapalawak at malalim na asimilasyon ng materyal na pang-edukasyon.

Sinimulan kong gawin ang paksang ito para sa aking thesis sa pamamagitan ng pagsulat ng aking coursework. Sa kurso kung saan ko malalim na pinag-aralan at sinuri ang matematikal na literatura sa paksang ito, natukoy ko ang pinaka-angkop na paraan para sa paglutas ng mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Ito ay nakasalalay sa katotohanan na bilang karagdagan sa pangkalahatang tinatanggap na diskarte kapag nilulutas ang mga exponential equation (ang base ay kinukuha na mas malaki kaysa sa 0) at kapag ang paglutas ng parehong mga hindi pagkakapantay-pantay (ang base ay kinuha na mas malaki kaysa sa 1 o mas malaki kaysa sa 0, ngunit mas mababa sa 1) , ang mga kaso ay isinasaalang-alang din kapag ang mga base ay negatibo, katumbas ng 0 at 1.

Ang isang pagsusuri sa mga nakasulat na papel sa pagsusulit ng mga mag-aaral ay nagpapakita na ang kakulangan ng saklaw ng tanong ng negatibong halaga ng argumento ng isang exponential function sa mga aklat-aralin sa paaralan ay nagdudulot sa kanila ng ilang mga paghihirap at humahantong sa mga pagkakamali. At mayroon din silang mga problema sa yugto ng pag-systematize ng mga resulta na nakuha, kung saan, dahil sa paglipat sa isang equation - isang kinahinatnan o isang hindi pagkakapantay-pantay - isang kahihinatnan, ang mga extraneous na ugat ay maaaring lumitaw. Upang maalis ang mga error, gumagamit kami ng pagsubok gamit ang orihinal na equation o hindi pagkakapantay-pantay at isang algorithm para sa paglutas ng mga exponential equation, o isang plano para sa paglutas ng mga exponential inequalities.

Upang matagumpay na makapasa ang mga mag-aaral sa mga final at entrance exam, naniniwala ako na kailangang bigyan ng higit na pansin ang paglutas ng mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay sa mga klase, o bukod pa sa mga elective at club.

Sa gayon paksa , ang aking thesis ay tinukoy bilang mga sumusunod: "Exponential power equation and inequalities."

Mga layunin ng gawaing ito ay:

1. Suriin ang literatura sa paksang ito.

2. Magbigay ng kumpletong pagsusuri sa solusyon ng mga exponential equation at inequalities.

3. Magbigay ng sapat na bilang ng mga halimbawa ng iba't ibang uri sa paksang ito.

4. Suriin sa klase, elective at club classes kung paano mapapansin ang mga iminungkahing pamamaraan para sa paglutas ng mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay. Magbigay ng mga angkop na rekomendasyon para sa pag-aaral ng paksang ito.

Paksa Ang aming pananaliksik ay upang bumuo ng isang pamamaraan para sa paglutas ng mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Ang layunin at paksa ng pag-aaral ay nangangailangan ng paglutas ng mga sumusunod na problema:

1. Pag-aralan ang literatura sa paksang: "Exponential power equation and inequalities."

2. Kabisaduhin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay.

3. Pumili ng materyal sa pagsasanay at bumuo ng isang sistema ng mga pagsasanay sa iba't ibang antas sa paksa: "Paglutas ng mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay."

Sa panahon ng thesis research, higit sa 20 mga gawa na nakatuon sa paggamit ng iba't ibang pamamaraan paglutas ng mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay. Mula dito nakukuha natin.

Thesis plan:

Panimula.

Kabanata I. Pagsusuri ng literatura sa paksa ng pananaliksik.

Kabanata II. Mga function at ang kanilang mga katangian na ginagamit sa paglutas ng mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay.

II.1. Power function at ang mga katangian nito.

II.2. Exponential function at mga katangian nito.

Kabanata III. Paglutas ng mga exponential power equation, algorithm at mga halimbawa.

Kabanata IV. Paglutas ng mga exponential inequalities, plano ng solusyon at mga halimbawa.

Kabanata V. Karanasan sa pagsasagawa ng mga klase sa mga mag-aaral sa paksang ito.

1.Materyal sa pagsasanay.

2.Mga gawain para sa malayang solusyon.

Konklusyon. Konklusyon at mungkahi.

Listahan ng ginamit na panitikan.

Sinusuri ng Kabanata I ang panitikan

Paglutas ng mga exponential equation. Mga halimbawa.

Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga taong "hindi masyadong..."
At para sa mga “napaka…”)

Anong nangyari exponential equation? Ito ay isang equation kung saan ang mga hindi alam (x) at mga expression na kasama nila ay nasa mga tagapagpahiwatig ilang degree. At doon lang! Ito ay mahalaga.

Eto na mga halimbawa mga exponential equation :

3 x 2 x = 8 x+3

pansinin mo! Sa mga base ng degree (sa ibaba) - mga numero lamang. SA mga tagapagpahiwatig degrees (sa itaas) - isang malawak na iba't ibang mga expression na may X. Kung biglang lumitaw ang isang X sa equation sa isang lugar maliban sa isang indicator, halimbawa:

ito ay magiging isang equation ng halo-halong uri. Ang ganitong mga equation ay walang malinaw na mga panuntunan para sa paglutas ng mga ito. Hindi natin sila isasaalang-alang sa ngayon. Dito natin haharapin paglutas ng mga exponential equation sa pinakadalisay nitong anyo.

Sa katunayan, kahit na ang mga purong exponential equation ay hindi palaging nalutas nang malinaw. Ngunit may ilang uri ng mga exponential equation na maaari at dapat lutasin. Ito ang mga uri na ating isasaalang-alang.

Paglutas ng mga simpleng exponential equation.

Una, lutasin natin ang isang bagay na napakasimple. Halimbawa:

Kahit na walang anumang mga teorya, sa simpleng pagpili ay malinaw na ang x = 2. Wala na, diba!? Walang ibang value ng X ang gumagana. Ngayon tingnan natin ang solusyon sa nakakalito na exponential equation na ito:

Ano ang nagawa natin? Kami, sa katunayan, ay itinapon lamang ang parehong mga base (triple). Ganap na itinapon. At, ang magandang balita ay, natamaan namin ang ulo!

Sa katunayan, kung sa isang exponential equation ay may kaliwa at kanan magkapareho mga numero sa anumang kapangyarihan, ang mga numerong ito ay maaaring alisin at ang mga exponent ay maaaring ipantay. Pinapayagan ng matematika. Ito ay nananatiling upang malutas ang isang mas simpleng equation. Mahusay, tama?)

Gayunpaman, tandaan nating mabuti: Maaari mo lamang tanggalin ang mga base kapag ang mga batayang numero sa kaliwa at kanan ay nasa napakagandang paghihiwalay! Nang walang anumang mga kapitbahay at coefficients. Sabihin natin sa mga equation:

2 x +2 x+1 = 2 3, o

hindi matatanggal ang dalawa!

Buweno, pinagkadalubhasaan namin ang pinakamahalagang bagay. Paano lumipat mula sa masasamang exponential expression patungo sa mas simpleng mga equation.

"Iyon ang mga oras!" - sabi mo. "Sino ang magbibigay ng gayong primitive na aralin sa mga pagsusulit at pagsusulit!?"

Kailangan kong pumayag. Walang sinuman. Ngunit ngayon alam mo na kung saan maglalayon kapag nilulutas ang mga nakakalito na halimbawa. Ito ay kinakailangan upang dalhin ito sa form kung saan ang parehong base number ay nasa kaliwa at sa kanan. Pagkatapos ang lahat ay magiging mas madali. Sa totoo lang, ito ay isang klasiko ng matematika. Kinukuha namin ang orihinal na halimbawa at binabago ito sa ninanais sa amin isip. Ayon sa mga patakaran ng matematika, siyempre.

Tingnan natin ang mga halimbawa na nangangailangan ng ilang karagdagang pagsisikap upang bawasan ang mga ito sa pinakasimple. Tawagan natin sila simpleng exponential equation.

Paglutas ng mga simpleng exponential equation. Mga halimbawa.

Kapag nilulutas ang mga exponential equation, ang mga pangunahing panuntunan ay mga aksyon na may mga antas. Kung walang kaalaman sa mga pagkilos na ito walang gagana.

Sa mga aksyon na may mga antas, ang isa ay dapat magdagdag ng personal na pagmamasid at katalinuhan. Kailangan ba natin ng parehong base number? Kaya hinahanap namin ang mga ito sa halimbawa sa tahasang o naka-encrypt na anyo.

Tingnan natin kung paano ito ginagawa sa pagsasanay?

Bigyan tayo ng isang halimbawa:

2 2x - 8 x+1 = 0

Ang unang matalas na tingin ay sa bakuran. Sila... Iba sila! Dalawa at walo. Ngunit masyado pang maaga para masiraan ng loob. Oras na para tandaan iyon

Ang dalawa at walo ay magkamag-anak sa degree.) Posibleng isulat:

8 x+1 = (2 3) x+1

Kung naaalala natin ang formula mula sa mga operasyon na may mga degree:

(a n) m = a nm ,

ito ay mahusay na gumagana:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Ang orihinal na halimbawa ay nagsimulang magmukhang ganito:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Transfer kami 2 3 (x+1) sa kanan (walang kinansela ang elementarya na operasyon ng matematika!), nakukuha natin:

2 2x = 2 3(x+1)

Halos iyon lang. Pag-alis ng mga base:

Malutas namin ang halimaw na ito at makuha

Ito ang tamang sagot.

Sa halimbawang ito, nakatulong sa amin ang pag-alam sa kapangyarihan ng dalawa. Kami nakilala sa walo ay may naka-encrypt na dalawa. Ang diskarteng ito (pag-encode ng mga karaniwang base sa ilalim ng iba't ibang numero) ay isang napakasikat na pamamaraan sa mga exponential equation! Oo, at sa logarithms din. Dapat mong makilala ang mga kapangyarihan ng iba pang mga numero sa mga numero. Napakahalaga nito para sa paglutas ng mga exponential equation.

Ang katotohanan ay ang pagtaas ng anumang numero sa anumang kapangyarihan ay hindi isang problema. Paramihin, kahit sa papel, at iyon na. Halimbawa, kahit sino ay maaaring magtaas ng 3 hanggang sa ikalimang kapangyarihan. Gagana ang 243 kung alam mo ang multiplication table.) Ngunit sa mga exponential equation, mas madalas na hindi kinakailangan na itaas sa isang kapangyarihan, ngunit vice versa... Alamin anong numero hanggang sa anong antas ay nakatago sa likod ng numerong 243, o, sabihin nating, 343... Walang calculator ang tutulong sa iyo dito.

Kailangan mong malaman ang kapangyarihan ng ilang numero sa pamamagitan ng paningin, tama... Magsanay tayo?

Tukuyin kung anong mga kapangyarihan at kung anong mga numero ang mga numero:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Mga sagot (sa gulo, siyempre!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Kung titingnang mabuti, makikita mo ang isang kakaibang katotohanan. Mayroong higit pang mga sagot kaysa sa mga gawain! Well, nangyayari ito... Halimbawa, 2 6, 4 3, 8 2 - 64 lang iyon.

Ipagpalagay natin na itinala mo ang impormasyon tungkol sa pagiging pamilyar sa mga numero.) Ipaalala ko rin sa iyo na para malutas ang mga exponential equation ay ginagamit namin lahat stock ng kaalaman sa matematika. Kabilang ang mga mula sa junior at middle class. Hindi ka dumiretso sa high school, tama ba?)

Halimbawa, kapag nilulutas ang mga exponential equation, kadalasang nakakatulong ang paglalagay ng common factor sa mga bracket (hello to 7th grade!). Tingnan natin ang isang halimbawa:

3 2x+4 -11 9 x = 210

At muli, ang unang sulyap ay sa mga pundasyon! Magkaiba ang base ng mga degree... Tatlo at siyam. Ngunit gusto naming maging pareho sila. Well, sa kasong ito ang pagnanais ay ganap na natupad!) Dahil:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Gamit ang parehong mga patakaran para sa pagharap sa mga degree:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Iyan ay mahusay, maaari mong isulat ito:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Nagbigay kami ng isang halimbawa para sa parehong mga kadahilanan. At ano ang susunod!? Hindi mo maitatapon ang tatlo... Dead end?

Hindi naman. Alalahanin ang pinaka-unibersal at makapangyarihang tuntunin sa pagpapasya lahat mga gawain sa matematika:

Kung hindi mo alam kung ano ang kailangan mo, gawin mo ang iyong makakaya!

Tingnan mo, gagana ang lahat).

Ano ang nasa exponential equation na ito Pwede gawin? Oo, sa kaliwang bahagi ito ay nagmamakaawa lamang na alisin sa mga bracket! Ang pangkalahatang multiplier ng 3 2x ay malinaw na nagpapahiwatig nito. Subukan natin, at pagkatapos ay makikita natin:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Ang halimbawa ay patuloy na nagiging mas mahusay at mas mahusay!

Naaalala namin na upang maalis ang mga batayan kailangan namin ng isang purong antas, nang walang anumang mga coefficient. Ang numero 70 ay bumabagabag sa amin. Kaya hinati namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 70, nakukuha namin:

Oops! Ang lahat ay naging mas mahusay!

Ito ang huling sagot.

Ito ay nangyayari, gayunpaman, na ang pag-taxi sa parehong batayan ay nakakamit, ngunit ang kanilang pag-aalis ay hindi posible. Nangyayari ito sa iba pang uri ng mga exponential equation. Kabisaduhin natin ang ganitong uri.

Pagpapalit ng variable sa paglutas ng mga exponential equation. Mga halimbawa.

Lutasin natin ang equation:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Una - gaya ng dati. Lumipat tayo sa isang base. Sa isang deuce.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Nakukuha namin ang equation:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

At dito kami tumatambay. Ang mga nakaraang pamamaraan ay hindi gagana, gaano man ka tumingin dito. Kailangan nating makakuha ng isa pang makapangyarihan at unibersal na pamamaraan. Ito ay tinatawag variable na kapalit.

Ang kakanyahan ng pamamaraan ay nakakagulat na simple. Sa halip na isang kumplikadong icon (sa aming kaso - 2 x) sumulat kami ng isa pa, mas simple (halimbawa - t). Ang gayong tila walang kahulugan na kapalit ay humahantong sa mga kamangha-manghang resulta!) Ang lahat ay nagiging malinaw at naiintindihan!

Kaya hayaan

Pagkatapos 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Sa aming equation pinapalitan namin ang lahat ng kapangyarihan ng x's ng t:

Buweno, nababaliw ka na ba?) Nakalimutan mo na ba ang mga quadratic equation? Ang paglutas sa pamamagitan ng discriminant, makukuha natin ang:

Ang pangunahing bagay dito ay hindi huminto, gaya ng nangyayari... Hindi pa ito ang sagot, kailangan natin ng x, hindi t. Balik tayo sa X's, i.e. gumagawa kami ng reverse replacement. Una para sa t 1:

Samakatuwid,

Isang ugat ang natagpuan. Hinahanap namin ang pangalawa mula sa t 2:

Hm... 2 x sa kaliwa, 1 sa kanan... Problema? Hindi naman! Ito ay sapat na tandaan (mula sa mga operasyon na may mga kapangyarihan, oo...) na ang isang yunit ay anuman numero sa zero na kapangyarihan. Anuman. Anuman ang kailangan, i-install namin ito. Kailangan natin ng dalawa. Ibig sabihin:

Iyan na ngayon. Mayroon kaming 2 ugat:

Ito ang sagot.

Sa paglutas ng mga exponential equation sa dulo kung minsan nauuwi ka sa isang uri ng awkward na ekspresyon. Uri:

Ang pito ay hindi maaaring gawing dalawa sa pamamagitan ng isang simpleng kapangyarihan. Hindi sila kamag-anak... Paano tayo? Maaaring may nalilito... Ngunit ang taong nagbasa sa site na ito ng paksang "Ano ang logarithm?" , ngumiti lang ng tipid at magsulat na may matatag na kamay ganap na tamang sagot:

Hindi maaaring magkaroon ng ganoong sagot sa mga gawain na "B" sa Pinag-isang Pagsusuri ng Estado. Mayroong isang tiyak na numero ay kinakailangan. Ngunit sa mga gawaing "C" ito ay madali.

Ang araling ito ay nagbibigay ng mga halimbawa ng paglutas ng mga pinakakaraniwang exponential equation. I-highlight natin ang mga pangunahing punto.

Praktikal na payo:

1. Una sa lahat, tinitingnan natin bakuran digri. Iniisip namin kung posible bang gawin ang mga ito magkapareho. Subukan nating gawin ito sa pamamagitan ng aktibong paggamit mga aksyon na may mga antas. Huwag kalimutan na ang mga numerong walang x ay maaari ding ma-convert sa powers!

2. Sinusubukan naming dalhin ang exponential equation sa form kapag sa kaliwa at sa kanan ay mayroong magkapareho mga numero sa anumang kapangyarihan. Ginagamit namin mga aksyon na may mga antas At factorization. Kung ano ang mabibilang sa mga numero, binibilang natin.

3. Kung hindi gumana ang pangalawang tip, subukang gumamit ng variable replacement. Ang resulta ay maaaring isang equation na madaling malutas. Kadalasan - parisukat. O fractional, na binabawasan din sa parisukat.

4. Upang matagumpay na malutas ang mga exponential equation, kailangan mong malaman ang mga kapangyarihan ng ilang mga numero sa pamamagitan ng paningin.

Gaya ng nakasanayan, sa pagtatapos ng aralin ay inaanyayahan kang magdesisyon nang kaunti.) Mag-isa. Mula sa simple hanggang sa kumplikado.

Lutasin ang mga exponential equation:

Mas mahirap:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0

Hanapin ang produkto ng mga ugat:

2 3's + 2 x = 9

gumana ba?

Kung gayon ang pinaka kumplikadong halimbawa(nagpasya, gayunpaman, sa isip...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

Ano ang mas kawili-wili? At narito ang isang masamang halimbawa para sa iyo. Medyo naakit sa nadagdagang kahirapan. Hayaan akong magpahiwatig na sa halimbawang ito, ang nagliligtas sa iyo ay ang katalinuhan at ang pinaka-unibersal na tuntunin para sa paglutas ng lahat ng mga problema sa matematika.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Isang mas simpleng halimbawa, para sa pagpapahinga):

9 2 x - 4 3 x = 0

At para sa dessert. Hanapin ang kabuuan ng mga ugat ng equation:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Oo, oo! Ito ay isang mixed type equation! Na hindi natin isinaalang-alang sa araling ito. Bakit isaalang-alang ang mga ito, kailangan nilang malutas!) Ang araling ito ay sapat na upang malutas ang equation. Well, kailangan mo ng talino sa paglikha... At nawa'y matulungan ka ng ikapitong baitang (ito ay isang pahiwatig!).

Mga sagot (magulo, pinaghihiwalay ng mga semicolon):

1; 2; 3; 4; walang mga solusyon; 2; -2; -5; 4; 0.

Ang lahat ba ay matagumpay? Mahusay.

Anumang problema? Walang tanong! Ang Espesyal na Seksyon 555 ay nilulutas ang lahat ng mga exponential equation na may mga detalyadong paliwanag. Ano, bakit, at bakit. At, siyempre, mayroong karagdagang mahalagang impormasyon sa pagtatrabaho sa lahat ng uri ng mga exponential equation. Hindi lang ang mga ito.)

Isang huling nakakatuwang tanong na dapat isaalang-alang. Sa araling ito nagtrabaho kami sa mga exponential equation. Bakit hindi ako nag salita tungkol sa ODZ dito? Sa mga equation, ito ay isang napakahalagang bagay, sa pamamagitan ng paraan...

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Entry level

Exponential equation. Komprehensibong Gabay (2019)

Hello! Ngayon ay tatalakayin namin sa iyo kung paano lutasin ang mga equation na maaaring elementarya (at inaasahan kong pagkatapos basahin ang artikulong ito, halos lahat ng mga ito ay magiging para sa iyo), at ang mga karaniwang ibinibigay "para sa pagpuno". Malamang sa wakas ay makatulog na. Ngunit susubukan kong gawin ang lahat ng posible upang hindi ka na magkaroon ng problema kapag nahaharap sa ganitong uri ng mga equation. Hindi na ako magpapatalo, pero bubuksan ko na agad maliit na sikreto: mag-aaral tayo ngayon mga exponential equation.

Bago magpatuloy sa pag-aaral ng mga paraan upang malutas ang mga ito, agad kong babalangkasin para sa iyo ang isang hanay ng mga tanong (medyo maliit) na dapat mong ulitin bago magmadaling salakayin ang paksang ito. Kaya, upang makakuha ng pinakamahusay na resulta, Pakiusap, ulitin:

1. Mga Katangian at
2. Solusyon at mga equation

naulit? Kahanga-hanga! Kung gayon hindi magiging mahirap para sa iyo na mapansin na ang ugat ng equation ay isang numero. Naiintindihan mo ba kung paano ko ito ginawa? totoo ba? Pagkatapos ay magpatuloy tayo. Ngayon sagutin ang aking tanong, ano ang katumbas ng ikatlong kapangyarihan? Talagang tama ka: . Anong kapangyarihan ng dalawa ang walo? Tama iyon - ang pangatlo! kasi. Kaya, ngayon subukan nating lutasin ang sumusunod na problema: Hayaan akong i-multiply ang numero sa sarili nito nang isang beses at makuha ang resulta. Ang tanong, ilang beses ba akong dumami sa sarili ko? Siyempre, maaari mong suriin ito nang direkta:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( ihanay)

Pagkatapos ay maaari mong tapusin na pinarami ko sa aking sarili ang mga beses. Paano mo pa ito masusuri? Narito kung paano: direkta sa pamamagitan ng kahulugan ng degree: . Ngunit, dapat mong aminin, kung tatanungin ko kung gaano karaming beses ang dalawa ay kailangang i-multiply sa kanyang sarili upang makakuha, sabihin, sasabihin mo sa akin: Hindi ko lolokohin ang aking sarili at paramihin ang sarili hanggang sa ako ay asul sa mukha. At siya ay magiging ganap na tama. Dahil paano mo kaya isulat nang maikli ang lahat ng mga hakbang(at ang kaiklian ay kapatid ng talento)

kung saan - pareho ang mga ito "mga oras", kapag dumami ka sa sarili mo.

Sa tingin ko, alam mo (at kung hindi mo alam, mapilit, napaka-apurahang ulitin ang mga degree!) na ang aking problema ay isusulat sa form:

Paano mo makatuwirang mahihinuha na:

Kaya, nang hindi napapansin, isinulat ko ang pinakasimpleng exponential equation:

At nahanap ko pa siya ugat. Hindi mo ba naisip na ang lahat ay ganap na walang halaga? Pareho lang talaga ang tingin ko. Narito ang isa pang halimbawa para sa iyo:

Ngunit ano ang gagawin? Pagkatapos ng lahat, hindi ito maaaring isulat bilang isang kapangyarihan ng isang (makatwirang) numero. Huwag tayong mawalan ng pag-asa at tandaan na ang parehong mga numerong ito ay perpektong ipinahayag sa pamamagitan ng kapangyarihan ng parehong numero. alin? Kanan: . Pagkatapos ang orihinal na equation ay binago sa anyo:

Kung saan, gaya ng naintindihan mo na, . Huwag na nating ipagpaliban pa at isulat ito kahulugan:

Sa aming kaso: .

Ang mga equation na ito ay nalulutas sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga ito sa anyo:

sinusundan ng paglutas ng equation

Sa katunayan, sa nakaraang halimbawa ginawa namin iyon: nakuha namin ang sumusunod: At nalutas namin ang pinakasimpleng equation.

Parang walang complicated diba? Magsanay muna tayo sa mga pinakasimple mga halimbawa:

Muli nating nakikita na ang kanan at kaliwang bahagi ng equation ay kailangang katawanin bilang mga kapangyarihan ng isang numero. Totoo, nagawa na ito sa kaliwa, ngunit sa kanan ay may isang numero. Ngunit ayos lang, dahil ang aking equation ay mahimalang magbabago sa ganito:

Ano ang kailangan kong gamitin dito? Anong tuntunin? Panuntunan ng "degrees within degrees" na nagbabasa:

Paano kung:

Bago sagutin ang tanong na ito, punan natin ang sumusunod na talahanayan:

Madaling mapansin natin na ang mas kaunti, ang mas kaunting halaga, ngunit gayunpaman, ang lahat ng mga halagang ito ay mas malaki kaysa sa zero. AT MAGIGING GANYAN LAGI!!! Ang parehong ari-arian ay totoo PARA SA ANUMANG BATAYAN NA MAY ANUMANG INDICATOR!! (para sa anuman at). Kung gayon ano ang maaari nating tapusin tungkol sa equation? Narito kung ano ito: ito walang ugat! Tulad ng anumang equation ay walang mga ugat. Ngayon ay magsanay tayo at Lutasin natin ang mga simpleng halimbawa:

Suriin natin:

1. Dito walang hihingin sa iyo maliban sa kaalaman sa mga katangian ng mga degree (na, sa pamamagitan ng paraan, hiniling ko sa iyo na ulitin!) Bilang isang patakaran, ang lahat ay humahantong sa pinakamaliit na base: , . Kung gayon ang orihinal na equation ay magiging katumbas ng sumusunod: Ang kailangan ko lang ay gamitin ang mga katangian ng mga kapangyarihan: Kapag nagpaparami ng mga numero na may parehong mga base, ang mga kapangyarihan ay idinagdag, at kapag hinahati, ang mga ito ay ibinabawas. Pagkatapos ay makukuha ko: Buweno, ngayon na may malinis na budhi ay lilipat ako mula sa exponential equation patungo sa linear: \begin(align)
at 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
at 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(align)

2. Sa pangalawang halimbawa, kailangan nating maging mas maingat: ang problema ay na sa kaliwang bahagi ay hindi natin maaaring katawanin ang parehong bilang bilang isang kapangyarihan. Sa kasong ito, minsan ito ay kapaki-pakinabang kumakatawan sa mga numero bilang isang produkto ng mga kapangyarihan na may iba't ibang mga base, ngunit ang parehong mga exponent:

Ang kaliwang bahagi ng equation ay magiging ganito: Ano ang ibinigay nito sa amin? Narito kung ano: Ang mga numero na may iba't ibang mga base ngunit ang parehong mga exponent ay maaaring i-multiply.Sa kasong ito, ang mga base ay pinarami, ngunit ang tagapagpahiwatig ay hindi nagbabago:

Sa aking sitwasyon ito ay magbibigay:

\begin(align)
at 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
at 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
at ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
at ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(align)

Hindi masama, tama ba?

3. Hindi ko gusto ito kapag, hindi kinakailangan, mayroon akong dalawang termino sa isang bahagi ng equation at wala sa kabilang panig (kung minsan, siyempre, ito ay makatwiran, ngunit ngayon ay hindi ganoong kaso). Ililipat ko ang minus term sa kanan:

Ngayon, tulad ng dati, isusulat ko ang lahat sa mga tuntunin ng kapangyarihan ng tatlo:

Idinaragdag ko ang mga degree sa kaliwa at kumuha ng katumbas na equation

Madali mong mahahanap ang ugat nito:

4. Gaya sa halimbawa tatlo, ang minus term ay may lugar sa kanang bahagi!

Sa aking kaliwa, halos lahat ay maayos, maliban sa ano? Oo, ang "wrong degree" ng dalawa ay bumabagabag sa akin. Ngunit madali kong maaayos ito sa pamamagitan ng pagsulat ng: . Eureka - sa kaliwa ang lahat ng mga base ay iba, ngunit ang lahat ng mga degree ay pareho! Paramihan tayo agad!

Narito muli, malinaw ang lahat: (kung hindi mo naiintindihan kung paano ko nakuha ang huling pagkakapantay-pantay, magpahinga muna sandali, huminga at basahin nang mabuti ang mga katangian ng degree. Sino ang nagsabi na maaari mong laktawan ang isang degree na may negatibong exponent? Ngayon ay makakakuha ako ng:

\begin(align)
at ((2)^(4\kaliwa((x) -9 \kanan)))=((2)^(-1)) \\
at 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(align)

Narito ang ilang mga problema para sa iyo na magsanay, kung saan ibibigay ko lamang ang mga sagot (ngunit sa isang "halo-halong" form). Lutasin ang mga ito, suriin ang mga ito, at ikaw at ako ay magpapatuloy sa aming pananaliksik!

handa na? Mga sagot ganito:

1. anumang numero

Okay, okay, nagjo-joke ako! Narito ang ilang sketch ng mga solusyon (ang ilan ay napakaikli!)

Hindi mo ba naisip na hindi nagkataon na ang isang fraction sa kaliwa ay "invert" ang isa? Magiging kasalanan kung hindi mo ito samantalahin:

Ang panuntunang ito ay kadalasang ginagamit kapag nilulutas ang mga exponential equation, tandaan itong mabuti!

Pagkatapos ang orihinal na equation ay magiging ganito:

Napagpasyahan ito quadratic equation, makukuha mo ang mga ugat na ito:

2. Isa pang solusyon: paghahati sa magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng expression sa kaliwa (o kanan). Hatiin sa kung ano ang nasa kanan, pagkatapos ay makukuha ko:

Saan (bakit?!)

3. Ayoko nang ulitin, masyado nang "nguya" ang lahat.

4. katumbas ng isang quadratic equation, mga ugat

5. Kailangan mong gamitin ang formula na ibinigay sa unang problema, pagkatapos ay makukuha mo iyon:

Ang equation ay naging isang maliit na pagkakakilanlan na totoo para sa sinuman. Kung gayon ang sagot ay anumang tunay na numero.

Well, ngayon ay nagsanay ka na sa paglutas simpleng exponential equation. Ngayon gusto kong bigyan ka ng ilang totoong buhay na mga halimbawa na tutulong sa iyo na maunawaan kung bakit kailangan ang mga ito sa prinsipyo. Dito ay magbibigay ako ng dalawang halimbawa. Ang isa sa mga ito ay pang-araw-araw, ngunit ang isa ay mas malamang na pang-agham sa halip na praktikal na interes.

Halimbawa 1 (mercantile) Hayaan kang magkaroon ng mga rubles, ngunit nais mong gawing rubles. Inaalok ka ng bangko na kunin ang perang ito mula sa iyo sa taunang rate na may buwanang capitalization ng interes (buwanang accrual). Ang tanong, ilang buwan ang kailangan mong magbukas ng deposito para maabot ang kinakailangang huling halaga? Isang makamundong gawain, hindi ba? Gayunpaman, ang solusyon nito ay nauugnay sa pagbuo ng kaukulang exponential equation: Hayaan - ang paunang halaga, - ang huling halaga, - ang rate ng interes para sa panahon, - ang bilang ng mga panahon. Pagkatapos:

Sa aming kaso (kung ang rate ay taunang, pagkatapos ito ay kinakalkula bawat buwan). Bakit ito hinati ng? Kung hindi mo alam ang sagot sa tanong na ito, tandaan ang paksang ""! Pagkatapos makuha namin ang equation na ito:

Ang exponential equation na ito ay maaari lamang malutas gamit ang isang calculator (its hitsura mga pahiwatig dito, at nangangailangan ito ng kaalaman sa logarithms, na makikilala natin sa ibang pagkakataon), na gagawin ko: ... Kaya, upang makatanggap ng isang milyon, kakailanganin nating magdeposito sa loob ng isang buwan ( hindi masyadong mabilis, tama?).

Halimbawa 2 (medyo siyentipiko). Sa kabila ng kanyang tiyak na "paghihiwalay", inirerekumenda ko na bigyan mo siya ng pansin: siya ay regular na "nadudulas sa Unified State Examination!! (Ang problema ay kinuha mula sa "tunay" na bersyon) Sa panahon ng pagkabulok ng isang radioactive isotope, ang masa nito ay bumababa ayon sa batas, kung saan ang (mg) ay ang inisyal na masa ng isotope, (min.) ay ang oras na lumipas mula sa paunang sandali, (min.) ay ang kalahating buhay. Sa unang sandali ng oras, ang masa ng isotope ay mg. Ang kalahating buhay nito ay min. Pagkatapos ng ilang minuto magiging katumbas ng mg ang masa ng isotope? Okay lang: kinukuha at pinapalitan lang namin ang lahat ng data sa formula na iminungkahi sa amin:

Hatiin natin ang parehong bahagi sa pamamagitan ng, "sa pag-asa" na sa kaliwa ay makakakuha tayo ng isang bagay na natutunaw:

Well, napakaswerte namin! Ito ay nasa kaliwa, pagkatapos ay lumipat tayo sa katumbas na equation:

Nasaan si min.

Tulad ng nakikita mo, ang mga exponential equation ay may tunay na mga aplikasyon sa pagsasanay. Ngayon gusto kong ipakita sa iyo ang isa pang (simple) na paraan upang malutas ang mga exponential equation, na batay sa pagkuha ng karaniwang kadahilanan sa labas ng mga bracket at pagkatapos ay pagpangkatin ang mga termino. Huwag kang matakot sa aking mga salita, nakita mo na ang pamamaraang ito noong ika-7 baitang noong nag-aral ka ng polynomial. Halimbawa, kung kailangan mong i-factor ang expression:

Magpangkat tayo: ang una at ikatlong termino, gayundin ang pangalawa at ikaapat. Malinaw na ang una at pangatlo ay ang pagkakaiba ng mga parisukat:

at ang pangalawa at ikaapat ay may karaniwang salik na tatlo:

Kung gayon ang orihinal na expression ay katumbas nito:

Kung saan makukuha ang karaniwang kadahilanan ay hindi na mahirap:

Kaya naman,

Ito ay halos kung ano ang gagawin natin kapag nilulutas ang mga exponential equation: hanapin ang "commonality" sa mga termino at alisin ito sa mga bracket, at pagkatapos - kahit anong mangyari, naniniwala ako na magiging masuwerte tayo =)) Halimbawa:

Sa kanan ay malayo sa pagiging isang kapangyarihan ng pito (nasuri ko!) At sa kaliwa - ito ay medyo mas mahusay, maaari mong, siyempre, "putulin" ang kadahilanan a mula sa pangalawa mula sa unang termino, at pagkatapos ay harapin sa kung ano ang nakuha mo, ngunit maging mas maingat tayo sa iyo. Hindi ko nais na harapin ang mga fraction na hindi maiiwasang mabuo kapag "pinipili" , kaya hindi ba dapat ko bang alisin ito? Kung gayon hindi ako magkakaroon ng anumang mga fraction: gaya ng sinasabi nila, ang mga lobo ay pinakain at ang mga tupa ay ligtas:

Kalkulahin ang expression sa mga bracket. Magically, magically, lumalabas na (nakakagulat, bagaman ano pa ang dapat nating asahan?).

Pagkatapos ay binabawasan namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng salik na ito. Nakukuha namin ang: , mula sa.

Narito ang isang mas kumplikadong halimbawa (medyo, talaga):

Anong problema! Wala tayong common ground dito! Hindi lubos na malinaw kung ano ang gagawin ngayon. Gawin natin ang ating makakaya: una, ilipat ang "fours" sa isang gilid, at ang "fives" sa isa pa:

Ngayon kunin natin ang "pangkalahatan" sa kaliwa at kanan:

Ano ngayon? Ano ang pakinabang ng gayong hangal na grupo? Sa unang sulyap ay hindi ito nakikita, ngunit tingnan natin nang mas malalim:

Buweno, ngayon ay titiyakin natin na sa kaliwa ay mayroon lamang tayong ekspresyong c, at sa kanan - lahat ng iba pa. Paano natin ito gagawin? Ganito: Hatiin muna ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng (para maalis natin ang exponent sa kanan), at pagkatapos ay hatiin ang magkabilang panig sa (para maalis natin ang numeric factor sa kaliwa). Sa wakas makuha namin:

Hindi kapani-paniwala! Sa kaliwa ay mayroon kaming isang expression, at sa kanan mayroon kaming isang simpleng expression. Pagkatapos ay agad naming na-conclude iyon

Narito ang isa pang halimbawa para palakasin mo:

Ibibigay ko ang kanyang maikling solusyon (nang hindi inaabala ang aking sarili sa mga paliwanag), subukang maunawaan ang lahat ng "subtleties" ng solusyon sa iyong sarili.

Ngayon para sa pangwakas na pagsasama-sama ng materyal na sakop. Subukang lutasin ang mga sumusunod na problema sa iyong sarili. Magbibigay lang ako ng mga maikling rekomendasyon at tip para sa paglutas ng mga ito:

1. Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket: Saan:
2. Ipakita natin ang unang expression sa anyo: , hatiin ang magkabilang panig at kunin iyon
3. , pagkatapos ay ang orihinal na equation ay binago sa anyo: Well, ngayon ay isang pahiwatig - hanapin kung saan mo at ako ay nalutas na ang equation na ito!
4. Isipin kung paano, paano, ah, mabuti, pagkatapos ay hatiin ang magkabilang panig, upang makuha mo ang pinakasimpleng exponential equation.
5. Ilabas ito sa mga bracket.
6. Ilabas ito sa mga bracket.

EXPONENTARY EQUATIONS. MIDDLE LEVEL

Ipinapalagay ko na pagkatapos basahin ang unang artikulo, na pinag-uusapan ano ang mga exponential equation at kung paano lutasin ang mga ito, nakabisado mo na ang kinakailangang minimum kaalaman na kailangan upang malutas ang mga simpleng halimbawa.

Ngayon ay titingnan ko ang isa pang paraan para sa paglutas ng mga exponential equation, ito ay

"paraan ng pagpapakilala ng bagong variable" (o pagpapalit). Nilulutas nito ang karamihan sa mga "mahirap" na problema sa paksa ng mga exponential equation (at hindi lamang mga equation). Ang pamamaraang ito ay isa sa mga madalas na ginagamit sa pagsasanay. Una, inirerekomenda ko na maging pamilyar ka sa paksa.

Tulad ng naintindihan mo na mula sa pangalan, ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay upang ipakilala ang gayong pagbabago ng variable na ang iyong exponential equation ay mahimalang magbabago sa isa na madali mong malulutas. Ang natitira lang para sa iyo pagkatapos malutas ang napaka "pinasimpleng equation" na ito ay gumawa ng "reverse replacement": ibig sabihin, bumalik mula sa pinalitan sa pinalitan. Ilarawan natin ang sinabi natin sa isang napakasimpleng halimbawa:

Halimbawa 1:

Ang equation na ito ay nalutas gamit ang isang "simpleng pagpapalit," bilang mathematicians disparagingly tawag dito. Sa katunayan, ang kapalit dito ay ang pinaka-halata. Isa lang ang dapat makakita nito

Pagkatapos ang orihinal na equation ay magiging ganito:

Kung iisipin din natin kung paano, kung gayon ay ganap na malinaw kung ano ang kailangang palitan: siyempre, . Ano ang nagiging orihinal na equation? Narito kung ano:

Madali mong mahahanap ang mga ugat nito sa iyong sarili: . Ano ang dapat nating gawin ngayon? Oras na para bumalik sa orihinal na variable. Ano ang nakalimutan kong banggitin? Namely: kapag pinapalitan ang isang tiyak na antas ng isang bagong variable (iyon ay, kapag pinapalitan ang isang uri), ako ay magiging interesado sa positive roots lang! Ikaw mismo ay madaling makasagot kung bakit. Kaya, ikaw at ako ay hindi interesado, ngunit ang pangalawang ugat ay angkop para sa amin:

Saka saan galing.

Sagot:

Tulad ng makikita mo, sa nakaraang halimbawa, ang isang kapalit ay humihingi lamang ng aming mga kamay. Sa kasamaang palad, hindi ito palaging nangyayari. Gayunpaman, huwag tayong dumiretso sa malungkot na bagay, ngunit magsanay tayo sa isa pang halimbawa na may medyo simpleng kapalit.

Halimbawa 2.

Malinaw na malamang na kailangan nating gumawa ng kapalit (ito ang pinakamaliit sa mga kapangyarihang kasama sa ating equation), ngunit bago magpakilala ng kapalit, ang ating equation ay kailangang "ihanda" para dito, ibig sabihin: , . Pagkatapos ay maaari mong palitan, bilang isang resulta nakukuha ko ang sumusunod na expression:

Oh horror: isang cubic equation na may ganap na kahila-hilakbot na mga formula para sa paglutas nito (well, nagsasalita sa pangkalahatang pananaw). Ngunit huwag tayong mawalan ng pag-asa kaagad, ngunit isipin natin kung ano ang dapat nating gawin. Imumungkahi ko ang pagdaraya: alam natin na para makakuha ng "maganda" na sagot, kailangan nating makuha ito sa anyo ng ilang kapangyarihan ng tatlo (bakit ganoon, eh?). Subukan nating hulaan ang hindi bababa sa isang ugat ng ating equation (magsisimula akong manghula gamit ang mga kapangyarihan ng tatlo).

Unang hula. Hindi ugat. Sayang at ah...

.
Ang kaliwang bahagi ay pantay.
kanang bahagi:!
kumain ka na! Nahulaan ang unang ugat. Ngayon ang mga bagay ay magiging mas madali!

Alam mo ba ang tungkol sa "sulok" na pamamaraan ng paghahati? Siyempre ginagawa mo, ginagamit mo ito kapag hinati mo ang isang numero sa isa pa. Ngunit kakaunti ang nakakaalam na ang parehong ay maaaring gawin sa mga polynomial. Mayroong isang kahanga-hangang teorama:

Paglalapat sa aking sitwasyon, ito ay nagsasabi sa akin na ito ay nahahati nang walang nalalabi sa. Paano isinasagawa ang paghahati? Ganito:

Tinitingnan ko kung aling monomial ang dapat kong i-multiply para makakuha ng Malinaw, kung gayon:

Ibinabawas ko ang nagresultang expression mula sa, nakukuha ko:

Ngayon, ano ang kailangan kong i-multiply para makuha? Ito ay malinaw na sa, pagkatapos ay makakakuha ako ng:

at muli ibawas ang nagresultang expression mula sa natitira:

Well huling hakbang, multiply sa, at ibawas mula sa natitirang expression:

Hurray, tapos na ang dibisyon! Ano ang naipon natin nang pribado? Syempre: .

Pagkatapos ay nakuha namin ang sumusunod na pagpapalawak ng orihinal na polynomial:

Lutasin natin ang pangalawang equation:

Ito ay may mga ugat:

Pagkatapos ang orihinal na equation:

may tatlong ugat:

Siyempre, itatapon namin ang huling ugat, dahil mas mababa ito sa zero. At ang unang dalawa pagkatapos ng reverse replacement ay magbibigay sa atin ng dalawang ugat:

Sagot:..

Sa halimbawang ito ay hindi ko nais na takutin ka, sa halip ang layunin ko ay ipakita na kahit na mayroon kaming isang medyo simpleng kapalit, gayunpaman ay humantong sa isang medyo kumplikadong equation, ang solusyon na nangangailangan ng ilang mga espesyal na kasanayan mula sa amin. Well, walang immune mula dito. Ngunit ang kapalit sa kasong ito ay medyo halata.

Narito ang isang halimbawa na may bahagyang hindi gaanong halatang kapalit:

Hindi malinaw kung ano ang dapat nating gawin: ang problema ay sa ating equation mayroong dalawa iba't ibang base at ang isang pundasyon ay hindi makukuha mula sa isa pa sa pamamagitan ng pagtataas nito sa anumang (makatwiran, natural) na antas. Gayunpaman, ano ang nakikita natin? Ang parehong mga base ay naiiba lamang sa sign, at ang kanilang produkto ay ang pagkakaiba ng mga parisukat na katumbas ng isa:

Kahulugan:

Kaya, ang mga numero na ang mga base sa aming halimbawa ay conjugate.

Sa kasong ito, ang matalinong hakbang ay magiging i-multiply ang magkabilang panig ng equation sa conjugate number.

Halimbawa, sa, pagkatapos ay ang kaliwang bahagi ng equation ay magiging katumbas ng, at ang kanan. Kung gagawa tayo ng pagpapalit, ang ating orihinal na equation ay magiging ganito:

ang mga ugat nito, kung gayon, at pag-alala niyan, nakukuha natin iyon.

Sagot: , .

Bilang isang tuntunin, ang paraan ng pagpapalit ay sapat upang malutas ang karamihan sa mga equation ng exponential na "paaralan". Ang mga sumusunod na gawain ay kinuha mula sa Unified State Examination C1 ( tumaas na antas pagiging kumplikado). Mayroon ka nang sapat na literate upang malutas ang mga halimbawang ito sa iyong sarili. Ibibigay ko lang ang kinakailangang kapalit.

1. Lutasin ang equation:
2. Hanapin ang mga ugat ng equation:
3. Lutasin ang equation: . Hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation na ito na kabilang sa segment:

At ngayon ilang maikling paliwanag at sagot:

1. Narito ito ay sapat na para sa amin na tandaan na... Kung gayon ang orihinal na equation ay magiging katumbas nito: Ang equation na ito ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pagpapalit Gawin ang karagdagang mga kalkulasyon sa iyong sarili. Sa huli, ang iyong gawain ay mababawasan sa paglutas ng mga simpleng problema sa trigonometriko (depende sa sine o cosine). Titingnan natin ang mga solusyon sa mga katulad na halimbawa sa ibang mga seksyon.
2. Dito maaari mo ring gawin nang walang pagpapalit: ilipat lamang ang subtrahend sa kanan at kumakatawan sa parehong mga base sa pamamagitan ng mga kapangyarihan ng dalawang: , at pagkatapos ay dumiretso sa quadratic equation.
3. Ang ikatlong equation ay nalutas din nang medyo pamantayan: isipin natin kung paano. Pagkatapos, pinapalitan, nakakakuha tayo ng isang parisukat na equation: pagkatapos,

   Alam mo na kung ano ang logarithm, di ba? Hindi? Pagkatapos basahin ang paksa nang mapilit!

   Ang unang ugat ay malinaw na hindi kabilang sa segment, ngunit ang pangalawa ay hindi malinaw! Ngunit malalaman natin ito sa lalong madaling panahon! Dahil, pagkatapos (ito ay isang pag-aari ng logarithm!) Paghambingin natin:

   Ibawas mula sa magkabilang panig, pagkatapos ay makuha namin:

   Kaliwang bahagi maaaring katawanin bilang:

   i-multiply ang magkabilang panig sa pamamagitan ng:

   maaaring i-multiply sa, kung gayon

   Pagkatapos ay ihambing:

   mula noon:

   Pagkatapos ang pangalawang ugat ay kabilang sa kinakailangang agwat

   Sagot:

Tulad ng nakikita mo, Ang pagpili ng mga ugat ng exponential equation ay nangangailangan ng medyo malalim na kaalaman sa mga katangian ng logarithms, kaya ipinapayo ko sa iyo na maging maingat hangga't maaari sa paglutas ng mga exponential equation. Tulad ng naiintindihan mo, sa matematika ang lahat ay magkakaugnay! Tulad ng sinabi ng aking guro sa matematika: "ang matematika, tulad ng kasaysayan, ay hindi mababasa nang magdamag."

Bilang isang tuntunin, lahat Ang kahirapan sa paglutas ng mga problema C1 ay tiyak ang pagpili ng mga ugat ng equation. Magsanay tayo sa isa pang halimbawa:

Malinaw na ang equation mismo ay nalutas nang simple. Sa pamamagitan ng paggawa ng pagpapalit, binabawasan namin ang aming orihinal na equation sa mga sumusunod:

Tingnan muna natin ang unang ugat. Paghambingin natin at: simula noon. (pag-aari ng isang logarithmic function, at). Pagkatapos ay malinaw na ang unang ugat ay hindi kabilang sa aming pagitan. Ngayon ang pangalawang ugat: . Ito ay malinaw na (dahil ang function sa ay tumataas). Ito ay nananatiling ihambing at...

mula noon, pagkatapos, sa parehong oras. Sa ganitong paraan maaari akong "magmaneho ng peg" sa pagitan ng at. Ang peg na ito ay isang numero. Ang unang expression ay mas kaunti at ang pangalawa ay mas malaki. Pagkatapos ang pangalawang expression ay mas malaki kaysa sa una at ang ugat ay kabilang sa pagitan.

Sagot: .

Sa wakas, tingnan natin ang isa pang halimbawa ng isang equation kung saan ang pagpapalit ay medyo hindi pamantayan:

Magsimula tayo kaagad sa kung ano ang maaaring gawin, at kung ano - sa prinsipyo, ay maaaring gawin, ngunit mas mahusay na huwag gawin ito. Maaari mong isipin ang lahat sa pamamagitan ng kapangyarihan ng tatlo, dalawa at anim. Ano ang hahantong dito? Hindi ito hahantong sa anumang bagay: isang paghalu-halo ng mga degree, ang ilan sa mga ito ay medyo mahirap alisin. Ano ang kailangan? Pansinin natin na a At ano ang ibibigay nito sa atin? At ang katotohanan na maaari naming bawasan ang desisyon halimbawang ito Ang isang simpleng exponential equation ay sapat na upang malutas! Una, muling isulat natin ang ating equation bilang:

Ngayon, hatiin natin ang magkabilang panig ng resultang equation sa pamamagitan ng:

Eureka! Ngayon ay maaari naming palitan, makuha namin:

Buweno, ngayon na ang iyong pagkakataon upang lutasin ang mga problema sa pagpapakita, at bibigyan ko lamang sila ng mga maikling komento upang hindi ka maligaw! Good luck!

1. Ang pinakamahirap! Napakahirap makakita ng kapalit dito! Ngunit gayunpaman, ang halimbawang ito ay maaaring ganap na malutas gamit pag-highlight ng isang kumpletong parisukat. Upang malutas ito, sapat na tandaan na:

Pagkatapos ay narito ang iyong kapalit:

(Pakitandaan na dito sa panahon ng ating pagpapalit ay hindi natin maaaring itapon ang negatibong ugat!!! Bakit sa palagay mo?)

Ngayon upang malutas ang halimbawa kailangan mo lamang lutasin ang dalawang equation:

Pareho silang nalutas" karaniwang kapalit"(ngunit ang pangalawa sa isang halimbawa!)

2. Pansinin iyon at gumawa ng kapalit.

3. I-decompose ang bilang sa mga coprime factor at pasimplehin ang resultang expression.

4. Hatiin ang numerator at denominator ng fraction sa pamamagitan ng (o, kung gusto mo) at gawin ang pagpapalit o.

5. Pansinin na ang mga numero at ay conjugate.

EXPONENTARY EQUATIONS. ADVANCED LEVEL

Bilang karagdagan, tingnan natin ang isa pang paraan - paglutas ng mga exponential equation gamit ang logarithm method. Hindi ko masasabi na ang paglutas ng mga exponential equation gamit ang paraang ito ay napakapopular, ngunit sa ilang mga kaso ay maaari lamang itong maghatid sa atin sa tamang solusyon ng ating equation. Ito ay kadalasang ginagamit upang malutas ang tinatawag na " halo-halong equation": iyon ay, ang mga kung saan nagaganap ang mga function ng iba't ibang uri.

Halimbawa, isang equation ng form:

sa pangkalahatang kaso, ito ay malulutas lamang sa pamamagitan ng pagkuha ng mga logarithms ng magkabilang panig (halimbawa, sa base), kung saan ang orihinal na equation ay magiging sumusunod:

Tingnan natin ang sumusunod na halimbawa:

Ito ay malinaw na ayon sa ODZ ng logarithmic function, kami ay interesado lamang. Gayunpaman, ito ay sumusunod hindi lamang mula sa ODZ ng logarithm, ngunit para sa isa pang dahilan. Sa tingin ko hindi magiging mahirap para sa iyo na hulaan kung alin ito.

Dalhin natin ang logarithm ng magkabilang panig ng ating equation sa base:

Tulad ng nakikita mo, ang pagkuha ng logarithm ng aming orihinal na equation ay mabilis na humantong sa amin sa tamang (at maganda!) na sagot. Magsanay tayo sa isa pang halimbawa:

Wala ring mali dito: dalhin natin ang logarithm ng magkabilang panig ng equation sa base, pagkatapos ay makukuha natin:

Gumawa tayo ng kapalit:

Gayunpaman, may napalampas kami! Napansin mo ba kung saan ako nagkamali? Pagkatapos ng lahat, pagkatapos:

na hindi nakakatugon sa kinakailangan (isipin kung saan ito nanggaling!)

Sagot:

Subukang isulat ang solusyon sa mga exponential equation sa ibaba:

Ngayon ihambing ang iyong desisyon dito:

1. I-logarithm natin ang magkabilang panig sa base, na isinasaalang-alang na:

(ang pangalawang ugat ay hindi angkop para sa amin dahil sa kapalit)

2. Logarithm sa base:

Ibahin natin ang resultang expression sa sumusunod na anyo:

EXPONENTARY EQUATIONS. MAIKLING PAGLALARAWAN AT MGA BATAYANG FORMULA

Exponential equation

Equation ng form:

tinawag ang pinakasimpleng exponential equation.

Mga katangian ng mga degree

Mga diskarte sa solusyon

• Nangunguna sa parehong batayan
• Pagbawas sa parehong exponent
• Pagpapalit ng variable
• Pagpapasimple ng expression at paglalapat ng isa sa itaas.

Ang paggamit ng mga equation ay laganap sa ating buhay. Ginagamit ang mga ito sa maraming mga kalkulasyon, pagtatayo ng mga istruktura at maging sa sports. Gumamit ang tao ng mga equation noong sinaunang panahon, at mula noon ay tumaas lamang ang kanilang paggamit. Ang power o exponential equation ay mga equation kung saan ang mga variable ay nasa powers at ang base ay isang numero. Halimbawa:

Ang solusyon sa exponential equation ay bumababa sa 2 medyo mga simpleng aksyon:

1. Kailangan mong suriin kung ang mga base ng equation sa kanan at kaliwa ay pareho. Kung ang mga dahilan ay hindi pareho, naghahanap kami ng mga pagpipilian upang malutas ang halimbawang ito.

2. Matapos maging pareho ang mga base, tinutumbasan namin ang mga degree at nilulutas ang nagresultang bagong equation.

Ipagpalagay na binigyan tayo ng exponential equation ng sumusunod na form:

Ito ay nagkakahalaga ng pagsisimula ng solusyon ng equation na ito sa isang pagsusuri ng batayan. Magkaiba ang mga base - 2 at 4, ngunit upang malutas kailangan natin silang maging pareho, kaya binago natin ang 4 gamit ang sumusunod na formula -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

Idinagdag namin sa orihinal na equation:

Alisin natin ito sa mga bracket \

Ipahayag natin \

Dahil ang mga degree ay pareho, itinatapon namin ang mga ito:

Sagot: \

Saan ko malulutas ang isang exponential equation gamit ang isang online solver?

Maaari mong lutasin ang equation sa aming website https://site. Ang isang libreng online na solver ay magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang equation online kahit ano pagiging kumplikado sa ilang segundo. Ang kailangan mo lang gawin ay ipasok lamang ang iyong data sa solver. Maaari ka ring manood ng mga tagubilin sa video at matutunan kung paano lutasin ang equation sa aming website. At kung mayroon ka pa ring mga katanungan, maaari mong tanungin ang mga ito sa aming VKontakte group http://vk.com/pocketteacher. Sumali sa aming grupo, lagi kaming masaya na tulungan ka.