D 0 mga halimbawa. Quadratic equation

Kopyevskaya rural secondary school

10 Paraan para Malutas ang Mga Quadratic Equation

Pinuno: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

guro sa matematika

nayon Kopevo, 2007

1. Kasaysayan ng pagbuo ng mga quadratic equation

1.1 Quadratic equation V Sinaunang Babylon

1.2 Paano binubuo at nalulutas ni Diophantus ang mga quadratic equation

1.3 Mga parisukat na equation sa India

1.4 Quadratic equation ni al-Khorezmi

1.5 Quadratic equation sa Europe XIII - XVII siglo

1.6 Tungkol sa teorama ni Vieta

2. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation

Konklusyon

Panitikan

1. Kasaysayan ng pagbuo ng mga quadratic equation

1.1 Quadratic equation sa Sinaunang Babylon

Ang pangangailangan upang malutas ang mga equation hindi lamang ng una, kundi pati na rin ng pangalawang antas, pabalik sa sinaunang panahon, ay sanhi ng pangangailangan upang malutas ang mga problema na may kaugnayan sa paghahanap ng mga lugar ng mga plot ng lupa at gawaing lupa ng kalikasang militar, gayundin sa pag-unlad ng astronomiya at matematika mismo. Ang mga quadratic equation ay maaaring malutas sa paligid ng 2000 BC. e. Babylonians.

Gamit ang modernong algebraic notation, maaari nating sabihin na sa kanilang mga cuneiform na teksto ay mayroong, bilang karagdagan sa mga hindi kumpleto, tulad, halimbawa, kumpletong quadratic equation:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Ang panuntunan para sa paglutas ng mga equation na ito, na itinakda sa mga teksto ng Babylonian, ay mahalagang tumutugma sa modernong isa, ngunit hindi alam kung paano nakarating ang mga Babylonians sa panuntunang ito. Halos lahat ng mga tekstong cuneiform na natagpuan sa ngayon ay nagbibigay lamang ng mga problema sa mga solusyon na inilatag sa anyo ng mga recipe, na walang indikasyon kung paano sila natagpuan.

Sa kabila mataas na antas pag-unlad ng algebra sa Babylon, ang mga tekstong cuneiform ay kulang sa konsepto ng negatibong numero at pangkalahatang pamamaraan paglutas ng mga quadratic equation.

1.2 Paano binubuo at nalulutas ni Diophantus ang mga quadratic equation.

Ang Arithmetic ng Diophantus ay hindi naglalaman ng isang sistematikong pagtatanghal ng algebra, ngunit naglalaman ito ng isang sistematikong serye ng mga problema, na sinamahan ng mga paliwanag at nalutas sa pamamagitan ng pagbuo ng mga equation ng iba't ibang antas.

Kapag bumubuo ng mga equation, mahusay na pinipili ni Diophantus ang mga hindi alam upang gawing simple ang solusyon.

Narito, halimbawa, ang isa sa kanyang mga gawain.

Suliranin 11."Maghanap ng dalawang numero, alam na ang kanilang kabuuan ay 20 at ang kanilang produkto ay 96"

Ang mga dahilan ni Diophantus ay ang mga sumusunod: mula sa mga kondisyon ng problema ay sumusunod na ang mga kinakailangang numero ay hindi pantay, dahil kung sila ay pantay, kung gayon ang kanilang produkto ay hindi magiging katumbas ng 96, ngunit sa 100. Kaya, ang isa sa kanila ay higit pa sa kalahati ng kanilang kabuuan, ibig sabihin. 10 + x, ang isa ay mas mababa, i.e. 10's. Ang pagkakaiba sa pagitan nila 2x .

Kaya ang equation:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Mula dito x = 2. Ang isa sa mga kinakailangang numero ay katumbas ng 12 , iba pa 8 . Solusyon x = -2 para sa Diophantus ay hindi umiiral, dahil ang Griyego matematika alam lamang positibong numero.

Kung malulutas natin ang problemang ito sa pamamagitan ng pagpili ng isa sa mga kinakailangang numero bilang hindi alam, pagkatapos ay darating tayo sa isang solusyon sa equation

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Malinaw na sa pamamagitan ng pagpili ng kalahating pagkakaiba ng mga kinakailangang numero bilang hindi alam, pinapasimple ni Diophantus ang solusyon; nagagawa niyang bawasan ang problema sa paglutas ng hindi kumpletong quadratic equation (1).

1.3 Mga Quadratic Equation sa India

Ang mga problema sa quadratic equation ay matatagpuan na sa astronomical treatise na "Aryabhattiam", na pinagsama-sama noong 499 ng Indian mathematician at astronomer na si Aryabhatta. Ang isa pang Indian scientist, si Brahmagupta (ika-7 siglo), ay nagbalangkas ng pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation na binawasan sa isang solong canonical form:

ah 2 + b x = c, a > 0. (1)

Sa equation (1), ang mga coefficient, maliban A, maaari ding maging negatibo. Ang pamumuno ni Brahmagupta ay mahalagang pareho sa atin.

SA Sinaunang India Ang mga pampublikong kumpetisyon sa paglutas ng mahihirap na problema ay karaniwan. Ganito ang sabi ng isa sa mga lumang aklat ng India tungkol sa gayong mga kompetisyon: “Kung paanong ang araw ay nanggagaling sa mga bituin sa taglay nitong kinang, gayundin ang isang may-aral na tao ay hihigit sa kaluwalhatian ng iba sa mga pampublikong asembliya, na nagmumungkahi at naglulutas ng mga problema sa algebraikong.” Ang mga problema ay madalas na iniharap sa anyong patula.

Ito ay isa sa mga problema ng sikat na Indian mathematician noong ika-12 siglo. Mga Bhaskar.

Suliranin 13.

“Isang kawan ng mga malikot na unggoy, at labindalawa sa tabi ng mga baging...

Ang mga awtoridad, pagkatapos kumain, ay nagsaya. Nagsimula silang tumalon, magbitin...

Nandiyan sila sa square, part eight. Ilang unggoy ang naroon?

Nagsasaya ako sa clearing. Sabihin mo sa akin, sa paketeng ito?

Ang solusyon ni Bhaskara ay nagpapahiwatig na alam niya na ang mga ugat ng quadratic equation ay may dalawang halaga (Fig. 3).

Ang equation na tumutugma sa problema 13 ay:

( x /8) 2 + 12 = x

Sumulat si Bhaskara sa ilalim ng pagkukunwari:

x 2 - 64x = -768

at upang umakma kaliwang bahagi ng equation na ito sa parisukat, nagdaragdag sa magkabilang panig 32 2 , pagkatapos ay makakakuha ng:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Quadratic equation sa al - Khorezmi

Sa algebraic treatise ng al-Khorezmi, isang klasipikasyon ng linear at quadratic equation ang ibinigay. Ang may-akda ay nagbibilang ng 6 na uri ng mga equation, na nagpapahayag ng mga ito bilang mga sumusunod:

1) "Ang mga parisukat ay katumbas ng mga ugat," i.e. palakol 2 + c = b X.

2) "Ang mga parisukat ay katumbas ng mga numero", i.e. palakol 2 = c.

3) "Ang mga ugat ay katumbas ng bilang," i.e. ah = s.

4) "Ang mga parisukat at mga numero ay katumbas ng mga ugat," i.e. palakol 2 + c = b X.

5) "Ang mga parisukat at ugat ay katumbas ng mga numero", i.e. ah 2 + bx = s.

6) "Ang mga ugat at numero ay katumbas ng mga parisukat," i.e. bx + c = palakol 2 .

Para kay al-Khorezmi, na umiwas sa paggamit ng mga negatibong numero, ang mga termino ng bawat isa sa mga equation na ito ay mga addend at hindi mga subtractable. Sa kasong ito, ang mga equation na walang positibong solusyon ay malinaw na hindi isinasaalang-alang. Binabalangkas ng may-akda ang mga solusyon ang mga equation sa itaas, gamit ang mga pamamaraan ng al-jabr at al-muqabala. Ang kanyang mga desisyon, siyempre, ay hindi ganap na tumutugma sa atin. Hindi banggitin na ito ay purong retorika, dapat tandaan, halimbawa, na kapag nilutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng unang uri

Si al-Khorezmi, tulad ng lahat ng mga mathematician bago ang ika-17 siglo, ay hindi isinasaalang-alang ang zero na solusyon, marahil dahil sa mga partikular na praktikal na problema ay hindi ito mahalaga. Kapag nilulutas ang kumpletong quadratic equation, itinakda ni al-Khorezmi ang mga patakaran para sa paglutas ng mga ito gamit ang mga partikular na halimbawang numero, at pagkatapos ay mga geometric na patunay.

Suliranin 14.“Ang parisukat at ang bilang na 21 ay katumbas ng 10 ugat. Hanapin ang ugat" (nagpapahiwatig ng ugat ng equation x 2 + 21 = 10x).

Ang solusyon ng may-akda ay ganito: hatiin ang bilang ng mga ugat sa kalahati, makakakuha ka ng 5, i-multiply ang 5 sa sarili nito, ibawas ang 21 mula sa produkto, ang natitira ay 4. Kunin ang ugat mula sa 4, makakakuha ka ng 2. Ibawas ang 2 mula sa 5 , makakakuha ka ng 3, ito ang magiging ninanais na ugat. O magdagdag ng 2 hanggang 5, na nagbibigay ng 7, ito ay ugat din.

Ang treatise ng al-Khorezmi ay ang unang libro na dumating sa amin, na sistematikong nagtatakda ng pag-uuri ng mga quadratic equation at nagbibigay ng mga formula para sa kanilang solusyon.

1.5 Quadratic equation sa Europe XIII - XVII bb

Ang mga formula para sa paglutas ng mga quadratic equation sa mga linya ng al-Khorezmi sa Europe ay unang itinakda sa Book of Abacus, na isinulat noong 1202 ng Italian mathematician na si Leonardo Fibonacci. Ang malaking gawaing ito, na sumasalamin sa impluwensya ng matematika, parehong mga bansang Islamiko at Sinaunang Greece, ay nakikilala sa pamamagitan ng parehong pagkakumpleto at kalinawan ng presentasyon. Ang may-akda ay nakapag-iisa na bumuo ng ilang mga bagong algebraic na halimbawa ng paglutas ng mga problema at siya ang una sa Europa na lumapit sa pagpapakilala ng mga negatibong numero. Ang kanyang libro ay nag-ambag sa paglaganap ng kaalaman sa algebraic hindi lamang sa Italya, kundi pati na rin sa Alemanya, Pransya at iba pang mga bansa sa Europa. Maraming mga problema mula sa Aklat ng Abacus ang ginamit sa halos lahat ng mga aklat-aralin sa Europa noong ika-16 - ika-17 siglo. at bahagyang XVIII.

Pangkalahatang tuntunin mga solusyon ng quadratic equation na binawasan sa iisang canonical form:

x 2 + bx = c,

para sa lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga coefficient sign b , Sa ay binuo sa Europa lamang noong 1544 ni M. Stiefel.

Derivation ng formula para sa paglutas ng isang quadratic equation sa pangkalahatang pananaw Ang Viet ay mayroon nito, ngunit ang Viet ay nakilala lamang ang mga positibong ugat. Ang mga Italian mathematician na sina Tartaglia, Cardano, Bombelli ay kabilang sa mga una noong ika-16 na siglo. Bilang karagdagan sa mga positibo, ang mga negatibong ugat ay isinasaalang-alang din. Noong ika-17 siglo lamang. Salamat sa gawain ni Girard, Descartes, Newton at iba pang mga siyentipiko, ang paraan ng paglutas ng mga quadratic equation ay tumatagal sa isang modernong anyo.

1.6 Tungkol sa teorama ni Vieta

Ang theorem na nagpapahayag ng relasyon sa pagitan ng mga coefficient ng isang quadratic equation at ang mga ugat nito, na pinangalanan sa Vieta, ay binuo niya sa unang pagkakataon noong 1591 bilang mga sumusunod: "Kung B + D, pinarami ng A - A 2 , katumbas BD, Iyon A katumbas SA at pantay D ».

Upang maunawaan ang Vieta, dapat nating tandaan iyon A, tulad ng anumang titik ng patinig, ay nangangahulugang hindi alam (aming X), patinig SA, D- coefficients para sa hindi alam. Sa wika ng modernong algebra, ang nasa itaas na pagbabalangkas ng Vieta ay nangangahulugang: kung mayroon

(isang + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Sa pagpapahayag ng ugnayan sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng mga equation na may mga pangkalahatang formula na nakasulat gamit ang mga simbolo, itinatag ni Viète ang pagkakapareho sa mga paraan ng paglutas ng mga equation. Gayunpaman, malayo pa rin ang simbolismo ng Viet modernong hitsura. Hindi niya nakilala ang mga negatibong numero at samakatuwid, sa paglutas ng mga equation, isinasaalang-alang lamang niya ang mga kaso kung saan ang lahat ng mga ugat ay positibo.

2. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation

Ang mga quadratic equation ay ang pundasyon kung saan nakasalalay ang maringal na edipisyo ng algebra. Quadratic equation ay matatagpuan malawak na aplikasyon kapag nilulutas ang trigonometric, exponential, logarithmic, irrational at transendental equation at inequalities. Alam nating lahat kung paano lutasin ang mga quadratic equation mula sa paaralan (ika-8 baitang) hanggang sa pagtatapos.

Ang ilang mga problema sa matematika ay nangangailangan ng kakayahang kalkulahin ang halaga ng square root. Kasama sa mga naturang problema ang paglutas ng mga equation ng pangalawang order. Sa artikulong ito ipapakita namin mabisang paraan pagkalkula ng mga square root at gamitin ito kapag nagtatrabaho sa mga formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation.

Ano ang square root?

Sa matematika, ang konseptong ito ay tumutugma sa simbolo na √. Sinasabi ng makasaysayang data na ito ay unang ginamit noong unang kalahati ng ika-16 na siglo sa Alemanya (ang unang gawaing Aleman sa algebra ni Christoph Rudolf). Naniniwala ang mga siyentipiko na ang simbolo ay isang binagong Latin na letrang r (radix ay nangangahulugang "ugat" sa Latin).

Ang ugat ng anumang numero ay katumbas ng halaga na ang parisukat ay tumutugma sa radikal na expression. Sa wika ng matematika, ang kahulugang ito ay magiging ganito: √x = y, kung y 2 = x.

Ang ugat ng isang positibong numero (x > 0) ay isa ring positibong numero (y > 0), ngunit kung kukunin mo ang ugat ng isang negatibong numero (x< 0), то его результатом уже будет kumplikadong numero, kabilang ang imaginary unit i.

Narito ang dalawang simpleng halimbawa:

√9 = 3, dahil 3 2 = 9; √(-9) = 3i, dahil i 2 = -1.

Ang iterative formula ng Heron para sa paghahanap ng mga halaga ng square roots

Ang mga halimbawa sa itaas ay napaka-simple, at ang pagkalkula ng mga ugat sa kanila ay hindi mahirap. Nagsisimulang lumitaw ang mga paghihirap kapag naghahanap ng mga halaga ng ugat para sa anumang halaga na hindi maaaring katawanin bilang isang parisukat natural na numero, halimbawa √10, √11, √12, √13, hindi banggitin ang katotohanan na sa pagsasagawa ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga ugat para sa mga non-integer na numero: halimbawa √(12,15), √(8,5) at iba pa.

Sa lahat ng mga kaso sa itaas, dapat mong gamitin espesyal na pamamaraan square root kalkulasyon. Sa kasalukuyan, maraming mga pamamaraan ang kilala: halimbawa, pagpapalawak ng serye ng Taylor, paghahati ng haligi at ilang iba pa. Sa lahat ng kilalang pamamaraan, marahil ang pinakasimple at pinakaepektibo ay ang paggamit ng iterative formula ni Heron, na kilala rin bilang Babylonian na paraan ng pagtukoy ng square roots (may ebidensya na ginamit ito ng mga sinaunang Babylonians sa kanilang praktikal na kalkulasyon).

Hayaang kailanganin upang matukoy ang halaga ng √x. Ang formula para sa paghahanap ng square root ay ang mga sumusunod:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), kung saan lim n->∞ (a n) => x.

I-decipher natin ito mathematical notation. Upang kalkulahin ang √x, dapat kang kumuha ng isang tiyak na numero a 0 (maaari itong maging arbitrary, ngunit upang mabilis na makuha ang resulta, dapat mong piliin ito upang ang (a 0) 2 ay mas malapit hangga't maaari sa x. Pagkatapos ay palitan ito ng ipinahiwatig na formula para sa pagkalkula ng square root at makakuha ng isang bagong numero a 1, na magiging mas malapit sa nais na halaga Pagkatapos nito, kinakailangan na palitan ang isang 1 sa expression at makakuha ng 2. Ang pamamaraang ito ay dapat na ulitin hanggang. nakuha ang kinakailangang katumpakan.

Isang halimbawa ng paggamit ng iterative formula ni Heron

Ang algorithm na inilarawan sa itaas para sa pagkuha ng square root ng isang naibigay na numero ay maaaring mukhang medyo kumplikado at nakalilito sa marami, ngunit sa katotohanan ang lahat ay nagiging mas simple, dahil ang formula na ito ay mabilis na nagtatagpo (lalo na kung ang isang matagumpay na numero ay 0 ang napili) .

Magbigay tayo ng isang simpleng halimbawa: kailangan mong kalkulahin ang √11. Pumili tayo ng 0 = 3, dahil ang 3 2 = 9, na mas malapit sa 11 kaysa sa 4 2 = 16. Ang pagpapalit sa formula, makuha natin ang:

a 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3.333333;

a 2 = 1/2(3.33333 + 11/3.33333) = 3.316668;

a 3 = 1/2(3.316668 + 11/3.316668) = 3.31662.

Walang punto sa pagpapatuloy ng mga kalkulasyon, dahil nalaman namin na ang isang 2 at isang 3 ay nagsisimulang mag-iba lamang sa ika-5 decimal na lugar. Kaya, sapat na upang ilapat ang formula nang 2 beses lamang upang makalkula ang √11 na may katumpakan na 0.0001.

Sa ngayon, ang mga calculator at computer ay malawakang ginagamit upang kalkulahin ang mga ugat, gayunpaman, ito ay kapaki-pakinabang na tandaan ang minarkahang formula upang ma-manu-manong kalkulahin ang kanilang eksaktong halaga.

Mga equation ng pangalawang order

Ang pag-unawa kung ano ang square root at ang kakayahang kalkulahin ito ay ginagamit sa paglutas ng mga quadratic equation. Ang mga equation na ito ay tinatawag na equalities na may isang hindi alam, ang pangkalahatang anyo nito ay ipinapakita sa figure sa ibaba.

Dito ang c, b at a ay kumakatawan sa ilang mga numero, at ang a ay hindi dapat katumbas ng zero, at ang mga halaga ng c at b ay maaaring ganap na arbitrary, kabilang ang katumbas ng zero.

Anumang mga halaga ng x na nakakatugon sa pagkakapantay-pantay na ipinahiwatig sa figure ay tinatawag na mga ugat nito (ang konsepto na ito ay hindi dapat malito sa square root √). Dahil ang equation na isinasaalang-alang ay nasa 2nd order (x 2), kung gayon ay hindi maaaring higit sa dalawang ugat para dito. Tingnan pa natin ang artikulo kung paano mahahanap ang mga ugat na ito.

Paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation (formula)

Ang pamamaraang ito ng paglutas ng uri ng pagkakapantay-pantay na isinasaalang-alang ay tinatawag ding unibersal na pamamaraan, o ang discriminant na pamamaraan. Maaari itong magamit para sa anumang mga quadratic equation. Ang formula para sa discriminant at mga ugat ng quadratic equation ay ang mga sumusunod:

Ipinapakita nito na ang mga ugat ay nakasalalay sa halaga ng bawat isa sa tatlong coefficient ng equation. Bukod dito, ang pagkalkula ng x 1 ay naiiba sa pagkalkula ng x 2 lamang sa pamamagitan ng pag-sign sa harap ng square root. Ang radikal na expression, na katumbas ng b 2 - 4ac, ay walang iba kundi ang diskriminasyon sa pagkakapantay-pantay na pinag-uusapan. Ang discriminant sa formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation ay gumaganap ng isang mahalagang papel dahil tinutukoy nito ang bilang at uri ng mga solusyon. Kaya, kung ito ay katumbas ng zero, magkakaroon lamang ng isang solusyon, kung ito ay positibo, kung gayon ang equation ay may dalawang tunay na ugat, at sa wakas, ang isang negatibong diskriminasyon ay humahantong sa dalawang kumplikadong mga ugat x 1 at x 2.

Vieta's theorem o ilang mga katangian ng mga ugat ng pangalawang-order na equation

Sa pagtatapos ng ika-16 na siglo, isa sa mga tagapagtatag ng modernong algebra, isang Pranses, na nag-aaral ng mga pangalawang-order na equation, ay nakuha ang mga katangian ng mga ugat nito. Sa matematika maaari silang isulat tulad nito:

x 1 + x 2 = -b / a at x 1 * x 2 = c / a.

Ang parehong pagkakapantay-pantay ay madaling makuha ng sinuman; mga operasyong matematikal na may mga ugat na nakuha sa pamamagitan ng isang formula na may discriminant.

Ang kumbinasyon ng dalawang expression na ito ay maaaring wastong tawaging pangalawang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, na ginagawang posible na hulaan ang mga solusyon nito nang hindi gumagamit ng discriminant. Dapat pansinin dito na kahit na ang parehong mga expression ay palaging wasto, ito ay maginhawa upang gamitin ang mga ito upang malutas ang isang equation lamang kung ito ay maaaring i-factorize.

Ang gawain ng pagsasama-sama ng nakuha na kaalaman

Malutas natin ang isang problema sa matematika kung saan ipapakita natin ang lahat ng mga pamamaraan na tinalakay sa artikulo. Ang mga kondisyon ng problema ay ang mga sumusunod: kailangan mong makahanap ng dalawang numero kung saan ang produkto ay -13 at ang kabuuan ay 4.

Ang kundisyong ito ay agad na nagpapaalala sa amin ng Vieta's theorem gamit ang mga formula para sa kabuuan ng mga square root at ang kanilang produkto, isinulat namin:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Kung ipagpalagay natin na a = 1, kung gayon b = -4 at c = -13. Ang mga coefficient na ito ay nagbibigay-daan sa amin na lumikha ng pangalawang-order na equation:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Gamitin natin ang formula sa discriminant at makuha ang mga sumusunod na ugat:

x 1.2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Ibig sabihin, nabawasan ang problema sa paghahanap ng numerong √68. Tandaan na 68 = 4 * 17, pagkatapos, gamit ang square root property, makukuha natin ang: √68 = 2√17.

Ngayon gamitin natin ang itinuturing na square root formula: a 0 = 4, pagkatapos:

a 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4.125;

a 2 = 1/2(4.125 + 17/4.125) = 4.1231.

Hindi na kailangang kalkulahin ang isang 3 dahil ang mga halaga na natagpuan ay naiiba lamang ng 0.02. Kaya, √68 = 8.246. Ang pagpapalit nito sa formula para sa x 1,2, nakukuha natin:

x 1 = (4 + 8.246)/2 = 6.123 at x 2 = (4 - 8.246)/2 = -2.123.

Tulad ng nakikita natin, ang kabuuan ng mga numerong natagpuan ay talagang katumbas ng 4, ngunit kung mahahanap natin ang kanilang produkto, kung gayon ito ay magiging katumbas ng -12.999, na nakakatugon sa mga kondisyon ng problema na may katumpakan na 0.001.

Ang paksang ito ay maaaring mukhang mahirap sa una dahil marami ang hindi ganoon mga simpleng formula. Hindi lamang ang mga quadratic equation mismo ay may mahabang notasyon, ngunit ang mga ugat ay matatagpuan din sa pamamagitan ng discriminant. Sa kabuuan, tatlong bagong formula ang nakuha. Hindi masyadong madaling tandaan. Ito ay posible lamang pagkatapos malutas ang mga naturang equation nang madalas. Pagkatapos ang lahat ng mga formula ay maaalala ng kanilang mga sarili.

Pangkalahatang view ng isang quadratic equation

Dito namin iminumungkahi ang kanilang tahasang notasyon, kapag ang pinakamalaking antas ay unang nakasulat, at pagkatapos ay sa pababang pagkakasunud-sunod. Kadalasan mayroong mga sitwasyon kung saan ang mga tuntunin ay hindi naaayon. Pagkatapos ay mas mahusay na muling isulat ang equation sa pababang pagkakasunud-sunod ng antas ng variable.

Ipakilala natin ang ilang notasyon. Ang mga ito ay ipinakita sa talahanayan sa ibaba.

Kung tatanggapin namin ang mga notasyong ito, ang lahat ng mga quadratic equation ay mababawasan sa sumusunod na notasyon.

Bukod dito, ang koepisyent a ≠ 0. Hayaang ang formula na ito ay italaga bilang numero uno.

Kapag ibinigay ang isang equation, hindi malinaw kung gaano karaming mga ugat ang magkakaroon sa sagot. Dahil laging posible ang isa sa tatlong opsyon:

• ang solusyon ay magkakaroon ng dalawang ugat;
• ang sagot ay isang numero;
• ang equation ay walang mga ugat sa lahat.

At hanggang sa ma-finalize ang desisyon, mahirap maunawaan kung aling opsyon ang lalabas sa isang partikular na kaso.

Mga uri ng pag-record ng mga quadratic equation

Maaaring may iba't ibang mga entry sa mga gawain. Hindi sila palaging magiging kamukha pangkalahatang pormula quadratic equation. Minsan ito ay nawawala ang ilang mga termino. Ang nakasulat sa itaas ay ang kumpletong equation. Kung aalisin mo ang pangalawa o pangatlong termino dito, makakakuha ka ng iba. Ang mga talaang ito ay tinatawag ding mga quadratic equation, hindi kumpleto lamang.

Bukod dito, ang mga termino lamang na may mga coefficient na "b" at "c" ang maaaring mawala. Ang numerong "a" ay hindi maaaring katumbas ng zero sa anumang pagkakataon. Dahil sa kasong ito ang formula ay nagiging isang linear equation. Ang mga formula para sa hindi kumpletong anyo ng mga equation ay ang mga sumusunod:

Kaya, may dalawang uri lamang; Hayaang ang unang formula ay numero dalawa, at ang pangalawa - tatlo.

Diskriminasyon at pag-asa ng bilang ng mga ugat sa halaga nito

Kailangan mong malaman ang numerong ito upang makalkula ang mga ugat ng equation. Maaari itong palaging kalkulahin, kahit na ano ang formula ng quadratic equation. Upang makalkula ang discriminant, kailangan mong gamitin ang pagkakapantay-pantay na nakasulat sa ibaba, na magkakaroon ng numero apat.

Matapos palitan ang mga halaga ng koepisyent sa formula na ito, maaari kang makakuha ng mga numero gamit ang iba't ibang palatandaan. Kung oo ang sagot, ang sagot sa equation ay dalawang magkaibang ugat. Kung negatibo ang numero, walang magiging ugat ng quadratic equation. Kung ito ay katumbas ng zero, magkakaroon lamang ng isang sagot.

Paano malutas ang isang kumpletong quadratic equation?

Sa katunayan, ang pagsasaalang-alang sa isyung ito ay nagsimula na. Dahil kailangan mo munang maghanap ng discriminant. Matapos matukoy na may mga ugat ng quadratic equation, at ang kanilang numero ay kilala, kailangan mong gumamit ng mga formula para sa mga variable. Kung mayroong dalawang ugat, kailangan mong ilapat ang sumusunod na formula.

Dahil naglalaman ito ng tanda na "±", magkakaroon ng dalawang kahulugan. Ang ekspresyon sa ilalim ng square root sign ay ang discriminant. Samakatuwid, ang formula ay maaaring muling isulat sa ibang paraan.

Limang formula. Mula sa parehong talaan ay malinaw na kung ang discriminant ay katumbas ng zero, ang parehong mga ugat ay kukuha ng parehong mga halaga.

Kung ang paglutas ng mga quadratic equation ay hindi pa nagagawa, mas mahusay na isulat ang mga halaga ng lahat ng mga coefficient bago ilapat ang mga discriminant at variable na mga formula. Sa ibang pagkakataon ang sandaling ito ay hindi magiging sanhi ng mga paghihirap. Ngunit sa umpisa pa lang ay may pagkalito.

Paano malutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation?

Ang lahat ay mas simple dito. Hindi na kailangan ng karagdagang mga formula. At ang mga naisulat na para sa discriminant at hindi kilala ay hindi na kakailanganin.

Una, tingnan natin ang hindi kumpletong equation number two. Sa pagkakapantay-pantay na ito, kinakailangan na alisin ang hindi kilalang dami sa mga bracket at lutasin ang linear equation, na mananatili sa mga bracket. Ang sagot ay magkakaroon ng dalawang ugat. Ang una ay kinakailangang katumbas ng zero, dahil mayroong isang multiplier na binubuo ng variable mismo. Ang pangalawa ay makukuha sa pamamagitan ng paglutas ng isang linear equation.

Ang hindi kumpletong equation number three ay nalulutas sa pamamagitan ng paglipat ng numero mula sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay patungo sa kanan. Pagkatapos ay kailangan mong hatiin sa pamamagitan ng koepisyent na nakaharap sa hindi alam. Ang natitira na lang ay kunin ang square root at tandaan na isulat ito ng dalawang beses na may kabaligtaran na mga palatandaan.

Nasa ibaba ang ilang aksyon na makakatulong sa iyong matutunan kung paano lutasin ang lahat ng uri ng equalities na nagiging quadratic equation. Tutulungan nila ang mag-aaral na maiwasan ang mga pagkakamali dahil sa kawalan ng pansin. Ang mga pagkukulang na ito ay maaaring magdulot ng mahinang mga marka kapag pinag-aaralan ang malawak na paksang “Quadratic Equation (Grade 8).” Kasunod nito, ang mga pagkilos na ito ay hindi kailangang isagawa nang palagian. Dahil lalabas ang isang matatag na kasanayan.

• Una kailangan mong isulat ang equation sa karaniwang anyo. Iyon ay, una ang termino na may pinakamalaking antas ng variable, at pagkatapos - walang degree, at huli - isang numero lamang.

• Kung lumilitaw ang isang minus bago ang koepisyent na "a", maaari nitong gawing kumplikado ang trabaho para sa isang baguhan na nag-aaral ng mga quadratic equation. Mas mabuting tanggalin na ito. Para sa layuning ito, ang buong pagkakapantay-pantay ay dapat na i-multiply sa "-1". Nangangahulugan ito na ang lahat ng mga termino ay magbabago ng sign sa kabaligtaran.

• Inirerekomenda na tanggalin ang mga fraction sa parehong paraan. I-multiply lamang ang equation sa naaangkop na salik upang makansela ang mga denominador.

Mga halimbawa

Kinakailangang lutasin ang mga sumusunod na quadratic equation:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Ang unang equation: x 2 − 7x = 0. Ito ay hindi kumpleto, kaya ito ay nalutas tulad ng inilarawan para sa formula number two.

Pagkatapos alisin ito sa mga bracket, lumalabas na: x (x - 7) = 0.

Ang unang ugat ay kumukuha ng halaga: x 1 = 0. Ang pangalawa ay makikita mula sa linear equation: x - 7 = 0. Madaling makita na x 2 = 7.

Pangalawang equation: 5x 2 + 30 = 0. Muli ay hindi kumpleto. Tanging ito ay nalutas tulad ng inilarawan para sa ikatlong formula.

Pagkatapos ilipat ang 30 sa kanang bahagi ng equation: 5x 2 = 30. Ngayon ay kailangan mong hatiin sa 5. Lumalabas na: x 2 = 6. Ang mga sagot ay ang mga numero: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Ang ikatlong equation: 15 − 2х − x 2 = 0. Dito at higit pa, ang paglutas ng mga quadratic equation ay magsisimula sa kanilang muling pagsulat sa karaniwang view: − x 2 − 2x + 15 = 0. Oras na para gamitin ang pangalawa kapaki-pakinabang na payo at i-multiply ang lahat sa minus one. Lumalabas na x 2 + 2x - 15 = 0. Gamit ang ikaapat na formula, kailangan mong kalkulahin ang discriminant: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Isa itong positibong numero. Mula sa sinabi sa itaas, lumalabas na ang equation ay may dalawang ugat. Kailangang kalkulahin ang mga ito gamit ang ikalimang formula. Lumalabas na x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Pagkatapos x 1 = 3, x 2 = - 5.

Ang ikaapat na equation x 2 + 8 + 3x = 0 ay binago sa ganito: x 2 + 3x + 8 = 0. Ang discriminant nito ay katumbas ng halagang ito: -23. Dahil negatibo ang numerong ito, ang sagot sa gawaing ito ay ang sumusunod na entry: "Walang mga ugat."

Ang ikalimang equation na 12x + x 2 + 36 = 0 ay dapat na muling isulat tulad ng sumusunod: x 2 + 12x + 36 = 0. Pagkatapos ilapat ang formula para sa discriminant, ang numerong zero ay nakuha. Nangangahulugan ito na magkakaroon ito ng isang ugat, ibig sabihin: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Ang ikaanim na equation (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) ay nangangailangan ng mga pagbabagong-anyo, na binubuo sa katotohanan na kailangan mong magdala ng mga katulad na termino, unang buksan ang mga bracket. Sa halip ng una ay magkakaroon ng sumusunod na expression: x 2 + 2x + 1. Pagkatapos ng pagkakapantay-pantay, lalabas ang entry na ito: x 2 + 3x + 2. Pagkatapos mabilang ang mga katulad na termino, ang equation ay kukuha ng anyo: x 2 - x = 0. Ito ay naging hindi kumpleto . Ang isang bagay na katulad nito ay napag-usapan nang mas mataas. Ang magiging ugat nito ay ang mga numerong 0 at 1.

paglalarawan ng bibliograpiya: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation // Young scientist. 2016. Hindi. 6.1. P. 17-20..03.2019).



Ang aming proyekto ay tungkol sa mga paraan upang malutas ang mga quadratic equation. Layunin ng proyekto: matutong lutasin ang mga quadratic equation sa mga paraang hindi kasama sa kurikulum ng paaralan. Gawain: hanapin ang lahat mga posibleng paraan paglutas ng mga quadratic equation at pag-aaral kung paano gamitin ang mga ito sa iyong sarili at pagpapakilala ng mga pamamaraang ito sa iyong mga kaklase.

Ano ang "quadratic equation"?

Quadratic equation- equation ng form palakol2 + bx + c = 0, Saan a, b, c- ilang mga numero ( isang ≠ 0), x- hindi kilala.

Ang mga numerong a, b, c ay tinatawag na coefficients ng quadratic equation.

• a ay tinatawag na unang koepisyent;
• b ay tinatawag na pangalawang koepisyent;
• c - libreng miyembro.

Sino ang unang "nag-imbento" ng mga quadratic equation?

Ang ilang mga algebraic technique para sa paglutas ng mga linear at quadratic na equation ay kilala 4000 taon na ang nakakaraan sa Ancient Babylon. Ang pagtuklas ng mga sinaunang Babylonian clay tablet, na mula sa isang lugar sa pagitan ng 1800 at 1600 BC, ay nagbibigay ng pinakamaagang ebidensya ng pag-aaral ng mga quadratic equation. Ang parehong mga tablet ay naglalaman ng mga pamamaraan para sa paglutas ng ilang uri ng mga quadratic equation.

Ang pangangailangan upang malutas ang mga equation hindi lamang ng una, kundi pati na rin ng pangalawang antas, kahit na noong sinaunang panahon, ay sanhi ng pangangailangan upang malutas ang mga problema na may kaugnayan sa paghahanap ng mga lugar ng mga plot ng lupa at sa gawaing paghuhukay ng isang militar na kalikasan, pati na rin tulad ng pag-unlad ng astronomiya at matematika mismo.

Ang panuntunan para sa paglutas ng mga equation na ito, na itinakda sa mga teksto ng Babylonian, ay mahalagang tumutugma sa modernong isa, ngunit hindi alam kung paano nakarating ang mga Babylonians sa panuntunang ito. Halos lahat ng mga tekstong cuneiform na natagpuan sa ngayon ay nagbibigay lamang ng mga problema sa mga solusyon na inilatag sa anyo ng mga recipe, na walang indikasyon kung paano sila natagpuan. Sa kabila ng mataas na antas ng pag-unlad ng algebra sa Babylon, ang mga tekstong cuneiform ay kulang sa konsepto ng negatibong numero at mga pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation.

Babylonian mathematician mula noong mga ika-4 na siglo BC. ginamit ang paraan ng komplemento ng parisukat upang malutas ang mga equation na may mga positibong ugat. Mga 300 BC Nakaisip si Euclid ng isang mas pangkalahatang paraan ng solusyong geometriko. Ang unang mathematician na nakahanap ng mga solusyon sa mga equation na may negatibong mga ugat sa anyo ng isang algebraic formula ay isang Indian scientist. Brahmagupta(India, ika-7 siglo AD).

Inilatag ni Brahmagupta ang isang pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation na binawasan sa isang solong canonical form:

ax2 + bx = c, a>0

Ang mga coefficient sa equation na ito ay maaari ding maging negatibo. Ang pamumuno ni Brahmagupta ay mahalagang pareho sa atin.

Ang mga pampublikong kumpetisyon sa paglutas ng mahihirap na problema ay karaniwan sa India. Ganito ang sinabi ng isa sa mga lumang aklat sa India tungkol sa gayong mga kompetisyon: “Kung paanong ang araw ay nanggagaling sa mga bituin sa pamamagitan ng ningning nito, gayundin ang isang may-alam na tao ay hihigit sa kanyang kaluwalhatian sa mga pampublikong pagtitipon sa pamamagitan ng pagmumungkahi at paglutas ng mga problema sa algebraic.” Ang mga problema ay madalas na iniharap sa anyong patula.

Sa isang algebraic treatise Al-Khawarizmi isang pag-uuri ng linear at quadratic equation ay ibinigay. Ang may-akda ay nagbibilang ng 6 na uri ng mga equation, na nagpapahayag ng mga ito bilang mga sumusunod:

1) "Ang mga parisukat ay katumbas ng mga ugat," i.e. ax2 = bx.

2) "Ang mga parisukat ay katumbas ng mga numero," ibig sabihin, ax2 = c.

3) "Ang mga ugat ay katumbas ng bilang," i.e. ax2 = c.

4) "Ang mga parisukat at numero ay katumbas ng mga ugat," ibig sabihin, ax2 + c = bx.

5) "Ang mga parisukat at ugat ay katumbas ng bilang," ibig sabihin, ax2 + bx = c.

6) "Ang mga ugat at numero ay katumbas ng mga parisukat," i.e. bx + c == ax2.

Para kay Al-Khwarizmi, na umiwas sa paggamit ng mga negatibong numero, ang mga tuntunin ng bawat isa sa mga equation na ito ay mga addend, hindi mga subtractable. Sa kasong ito, ang mga equation na walang positibong solusyon ay malinaw na hindi isinasaalang-alang. Ang may-akda ay nagtakda ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na ito gamit ang mga pamamaraan ng al-jabr at al-mukabal. Ang kanyang desisyon, siyempre, ay hindi ganap na tumutugma sa atin. Hindi sa banggitin na ito ay purong retorika, dapat tandaan, halimbawa, na kapag nilutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng unang uri, si Al-Khorezmi, tulad ng lahat ng mga mathematician hanggang sa ika-17 siglo, ay hindi isinasaalang-alang ang zero na solusyon, marahil dahil sa tiyak na praktikal na ito ay hindi mahalaga sa mga gawain. Kapag nilulutas ang kumpletong mga parisukat na equation, itinakda ni Al-Khwarizmi ang mga tuntunin ng solusyon gamit ang mga partikular na halimbawang numero, at pagkatapos ang kanilang mga geometric na patunay.

Ang mga form para sa paglutas ng mga quadratic equation na sumusunod sa modelo ng Al-Khwarizmi sa Europe ay unang itinakda sa "Book of the Abacus," na isinulat noong 1202. Italyano na matematiko Leonard Fibonacci. Ang may-akda ay nakapag-iisa na bumuo ng ilang mga bagong algebraic na halimbawa ng paglutas ng mga problema at siya ang una sa Europa na lumapit sa pagpapakilala ng mga negatibong numero.

Ang aklat na ito ay nag-ambag sa pagkalat ng kaalaman sa algebraic hindi lamang sa Italya, kundi pati na rin sa Alemanya, Pransya at iba pang mga bansa sa Europa. Maraming mga problema mula sa aklat na ito ang ginamit sa halos lahat ng mga aklat-aralin sa Europa noong ika-14-17 siglo. Ang pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation ay binawasan sa isang kanonikal na anyo x2 + bх = с para sa lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga palatandaan at mga coefficient b, c ay nabuo sa Europa noong 1544. M. Stiefel.

Ang derivation ng formula para sa paglutas ng isang quadratic equation sa pangkalahatang anyo ay makukuha mula sa Vieth, ngunit ang Vieth ay kumikilala lamang ng mga positibong ugat. Italyano mathematician Tartaglia, Cardano, Bombelli kabilang sa mga una noong ika-16 na siglo. Bilang karagdagan sa mga positibo, ang mga negatibong ugat ay isinasaalang-alang din. Noong ika-17 siglo lamang. salamat sa mga pagsisikap Girard, Descartes, Newton at iba pang mga siyentipiko, ang paraan ng paglutas ng mga quadratic equation ay tumatagal ng isang modernong anyo.

Tingnan natin ang ilang paraan upang malutas ang mga quadratic equation.

Mga karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation mula sa kurikulum ng paaralan:

1. Factoring ang kaliwang bahagi ng equation.
2. Paraan para sa pagpili ng isang kumpletong parisukat.
3. Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang formula.
4. Graphic na solusyon quadratic equation.
5. Paglutas ng mga equation gamit ang Vieta's theorem.

Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang solusyon ng pinababa at hindi nabawas na mga quadratic na equation gamit ang teorem ni Vieta.

Alalahanin na upang malutas ang mga parisukat na equation sa itaas, sapat na upang makahanap ng dalawang numero na ang produkto ay katumbas ng libreng termino, at ang kabuuan ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda.

Halimbawa.x 2 -5x+6=0

Kailangan mong maghanap ng mga numero na ang produkto ay 6 at ang kabuuan ay 5. Ang mga numerong ito ay magiging 3 at 2.

Sagot: x 1 =2, x 2 =3.

Ngunit maaari mo ring gamitin ang paraang ito para sa mga equation na ang unang koepisyent ay hindi katumbas ng isa.

Halimbawa.3x 2 +2x-5=0

Kunin ang unang coefficient at i-multiply ito sa libreng term: x 2 +2x-15=0

Ang mga ugat ng equation na ito ay mga numero na ang produkto ay katumbas ng - 15, at ang kabuuan ay katumbas ng - 2. Ang mga numerong ito ay 5 at 3. Upang mahanap ang mga ugat ng orihinal na equation, hatiin ang mga resultang ugat sa unang koepisyent.

Sagot: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Paglutas ng mga equation gamit ang "throw" method.

Isaalang-alang ang quadratic equation ax 2 + bx + c = 0, kung saan a≠0.

Ang pag-multiply ng magkabilang panig ng a, makuha natin ang equation na a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Hayaan ang ax = y, kung saan ang x = y/a; pagkatapos ay dumating tayo sa equation y 2 + by + ac = 0, katumbas ng ibinigay na isa. Nahanap natin ang mga ugat nito para sa 1 at 2 gamit ang teorem ng Vieta.

Sa wakas ay nakukuha natin ang x 1 = y 1 /a at x 2 = y 2 /a.

Sa pamamaraang ito, ang koepisyent a ay pinarami ng libreng termino, na parang "itinapon" dito, kung kaya't ito ay tinatawag na "pagtapon" na paraan. Ginagamit ang paraang ito kapag madali mong mahahanap ang mga ugat ng equation gamit ang theorem ng Vieta at, higit sa lahat, kapag ang discriminant ay isang eksaktong parisukat.

Halimbawa.2x 2 - 11x + 15 = 0.

"Itapon" natin ang coefficient 2 sa libreng term at gumawa ng substitution at makuha ang equation na y 2 - 11y + 30 = 0.

Ayon sa converse theorem ni Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5;

Sagot: x 1 =2.5; X 2 = 3.

7. Mga katangian ng mga coefficient ng isang quadratic equation.

Hayaang ibigay ang quadratic equation na ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Kung a+ b + c = 0 (i.e. ang kabuuan ng mga coefficient ng equation ay zero), kung gayon ang x 1 = 1.

2. Kung a - b + c = 0, o b = a + c, kung gayon x 1 = - 1.

Halimbawa.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Dahil a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), kung gayon x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Sagot: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Halimbawa.132x 2 + 247x + 115 = 0

kasi a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), pagkatapos x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Sagot: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Mayroong iba pang mga katangian ng mga coefficient ng isang quadratic equation. ngunit ang kanilang paggamit ay mas kumplikado.

8. Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang isang nomogram.

Fig 1. Nomogram

Ito ay isang luma at kasalukuyang nakalimutang paraan ng paglutas ng mga quadratic equation, na inilagay sa p 83 ng koleksyon: Bradis V.M. Apat na digit na mga talahanayan sa matematika. - M., Edukasyon, 1990.

Talahanayan XXII. Nomogram para sa paglutas ng equation z 2 + pz + q = 0. Ang nomogram na ito ay nagbibigay-daan, nang hindi nilulutas ang isang quadratic equation, na matukoy ang mga ugat ng equation mula sa mga coefficient nito.

Ang curvilinear scale ng nomogram ay binuo ayon sa mga formula (Larawan 1):

Naniniwala OS = p, ED = q, OE = a(lahat sa cm), mula sa Fig. 1 pagkakatulad ng mga tatsulok SAN At CDF nakukuha natin ang proporsyon

na, pagkatapos ng mga pagpapalit at pagpapasimple, ay nagbubunga ng equation z 2 + pz + q = 0, at ang sulat z nangangahulugang ang marka ng anumang punto sa isang hubog na sukat.

kanin. 2 Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang isang nomogram

Mga halimbawa.

1) Para sa equation z 2 - 9z + 8 = 0 binibigyan ng nomogram ang mga ugat z 1 = 8.0 at z 2 = 1.0

Sagot:8.0; 1.0.

2) Gamit ang isang nomogram, nilulutas namin ang equation

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Hatiin ang mga coefficient ng equation na ito ng 2, makuha natin ang equation z 2 - 4.5z + 1 = 0.

Ang nomogram ay nagbibigay ng mga ugat z 1 = 4 at z 2 = 0.5.

Sagot: 4; 0.5.

9. Geometric na paraan para sa paglutas ng mga quadratic equation.

Halimbawa.X 2 + 10x = 39.

Sa orihinal, ang problemang ito ay nabuo tulad ng sumusunod: "Ang parisukat at sampung ugat ay katumbas ng 39."

Isaalang-alang ang isang parisukat na may gilid x, ang mga parihaba ay itinayo sa mga gilid nito upang ang kabilang panig ng bawat isa sa kanila ay 2.5, samakatuwid ang lugar ng bawat isa ay 2.5x. Ang resultang figure ay pagkatapos ay pupunan sa isang bagong parisukat ABCD, pagbuo ng apat na pantay na mga parisukat sa mga sulok, ang gilid ng bawat isa sa kanila ay 2.5, at ang lugar ay 6.25

kanin. 3 Grapikong pamamaraan para sa paglutas ng equation x 2 + 10x = 39

Ang lugar S ng parisukat ABCD ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng mga lugar ng: ang orihinal na parisukat x 2, apat na parihaba (4∙2.5x = 10x) at apat na karagdagang parisukat (6.25∙4 = 25), i.e. S = x 2 + 10x = 25. Ang pagpapalit ng x 2 + 10x sa numerong 39, makuha natin na S = 39+ 25 = 64, na nangangahulugan na ang gilid ng parisukat ay ABCD, i.e. segment AB = 8. Para sa kinakailangang panig x ng orihinal na parisukat na nakuha namin

10. Paglutas ng mga equation gamit ang theorem ni Bezout.

Ang teorama ni Bezout. Ang natitira sa paghahati ng polynomial P(x) sa binomial na x - α ay katumbas ng P(α) (i.e., ang halaga ng P(x) sa x = α).

Kung ang bilang na α ay ang ugat ng polynomial P(x), kung gayon ang polynomial na ito ay mahahati ng x -α na walang nalalabi.

Halimbawa.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Hatiin ang P(x) sa (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, o x-3=0, x=3; Sagot: x1 =2, x2 =3.

Konklusyon: Ang kakayahang mabilis at makatwiran na malutas ang mga quadratic equation ay kailangan lamang para sa paglutas ng mas kumplikadong mga equation, halimbawa, fractional rational equation, equation. mas mataas na antas, biquadratic equation, at sa high school trigonometric, exponential at logarithmic equation. Ang pagkakaroon ng pag-aaral sa lahat ng mga nahanap na paraan upang malutas ang mga quadratic equation, maaari naming payuhan ang aming mga kaklase, maliban karaniwang pamamaraan, solusyon sa pamamagitan ng paraan ng paglipat (6) at solusyon ng mga equation gamit ang mga katangian ng mga coefficient (7), dahil mas madaling maunawaan ang mga ito.

Panitikan:

1. Bradis V.M. Apat na digit na mga talahanayan sa matematika. - M., Edukasyon, 1990.
2. Algebra ika-8 baitang: aklat-aralin para sa ika-8 baitang. pangkalahatang edukasyon mga institusyon Makarychev Yu N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Teleyakovsky ika-15 ed., binago. - M.: Edukasyon, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Kasaysayan ng matematika sa paaralan. Manwal para sa mga guro. / Ed. V.N. Mas bata. - M.: Edukasyon, 1964.

Higit pa sa simpleng paraan. Upang gawin ito, ilagay ang z sa labas ng mga bracket. Makakakuha ka ng: z(аz + b) = 0. Ang mga salik ay maaaring isulat: z=0 at аz + b = 0, dahil ang dalawa ay maaaring magresulta sa zero. Sa notasyong az + b = 0, inililipat namin ang pangalawa sa kanan na may ibang tanda. Mula dito nakukuha natin ang z1 = 0 at z2 = -b/a. Ito ang mga ugat ng orihinal.

Kung mayroong isang hindi kumpletong equation ng form na аz² + с = 0, sa kasong ito makikita natin simpleng paglipat libreng termino sa kanang bahagi ng equation. Baguhin din ang tanda nito. Ang magiging resulta ay az² = -с. Ipahayag ang z² = -c/a. Kunin ang ugat at isulat ang dalawang solusyon - isang positibo at negatibong square root.

Mangyaring tandaan

Kung mayroong mga fractional coefficient sa equation, i-multiply ang buong equation sa naaangkop na salik upang maalis ang mga fraction.

Ang kaalaman sa kung paano lutasin ang mga quadratic equation ay kinakailangan para sa parehong mga mag-aaral at mag-aaral kung minsan ay makakatulong din ito sa isang nasa hustong gulang ordinaryong buhay. Mayroong ilang mga tiyak na paraan ng solusyon.

Paglutas ng mga Quadratic Equation

Quadratic equation ng anyong a*x^2+b*x+c=0. Ang coefficient x ay ang gustong variable, a, b, c ay mga numerical coefficients. Tandaan na ang “+” sign ay maaaring magpalit ng “-” sign.

Upang malutas ang equation na ito, kinakailangang gamitin ang theorem ng Vieta o hanapin ang discriminant. Ang pinakakaraniwang paraan ay ang paghahanap ng discriminant, dahil para sa ilang mga halaga ng a, b, c hindi posible na gamitin ang teorem ng Vieta.

Upang mahanap ang discriminant (D), kailangan mong isulat ang formula D=b^2 - 4*a*c. Ang halaga ng D ay maaaring mas malaki sa, mas mababa sa, o katumbas ng zero. Kung ang D ay mas malaki o mas mababa sa zero, magkakaroon ng dalawang ugat, kung D = 0, pagkatapos ay isang ugat lamang ang natitira, maaari nating sabihin na ang D sa kasong ito ay may dalawang katumbas na ugat. Palitan ang mga kilalang coefficient a, b, c sa formula at kalkulahin ang halaga.

Pagkatapos mong mahanap ang discriminant, gamitin ang mga formula upang mahanap ang x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, kung saan ang sqrt ay isang function na nangangahulugan ng pagkuha ng square root ng isang naibigay na numero. Pagkatapos kalkulahin ang mga expression na ito, makikita mo ang dalawang ugat ng iyong equation, pagkatapos kung saan ang equation ay itinuturing na nalutas.

Kung ang D ay mas mababa sa zero, kung gayon mayroon pa itong mga ugat. Ang seksyong ito ay halos hindi pinag-aralan sa paaralan. Dapat malaman ng mga mag-aaral sa unibersidad na may lumalabas na negatibong numero sa ilalim ng ugat. Inaalis nila ito sa pamamagitan ng pag-highlight sa haka-haka na bahagi, iyon ay, -1 sa ilalim ng ugat ay palaging katumbas ng haka-haka na elemento na "i", na pinarami ng ugat na may parehong positibong numero. Halimbawa, kung D=sqrt(-20), pagkatapos ng pagbabago ay makukuha natin ang D=sqrt(20)*i. Pagkatapos ng pagbabagong ito, ang paglutas ng equation ay nabawasan sa parehong paghahanap ng mga ugat tulad ng inilarawan sa itaas.

Ang teorama ni Vieta ay binubuo ng pagpili ng mga halaga ng x(1) at x(2). Dalawang magkaparehong equation ang ginagamit: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. At napaka mahalagang punto ay ang sign sa harap ng coefficient b, tandaan na ang sign na ito ay kabaligtaran ng isa sa equation. Sa unang sulyap, tila ang pagkalkula ng x(1) at x(2) ay napakasimple, ngunit kapag nag-solve, mahaharap ka sa katotohanang kailangan mong piliin ang mga numero.

Mga elemento ng paglutas ng mga quadratic equation

Ayon sa mga tuntunin ng matematika, ang ilan ay maaaring i-factorize: (a+x(1))*(b-x(2))=0, kung nagawa mong baguhin ang quadratic equation na ito sa katulad na paraan gamit ang mga mathematical formula, pagkatapos ay huwag mag-atubiling isulat ang sagot. Ang x(1) at x(2) ay magiging katumbas ng mga katabing coefficient sa mga bracket, ngunit may kabaligtaran na tanda.

Gayundin, huwag kalimutan ang tungkol sa hindi kumpletong quadratic equation. Maaaring nawawala ang ilan sa mga termino kung gayon, ang lahat ng mga coefficient nito ay katumbas lang ng zero. Kung walang anuman sa harap ng x^2 o x, kung gayon ang mga coefficient a at b ay katumbas ng 1.