Graphical na paraan para sa paglutas ng mga problema sa mga parameter. Mga problema sa isang parameter (graphical na solusyon) Panimula
Upang ganap na maihayag ang mga kakayahan ng pamamaraang ito, isasaalang-alang namin ang mga pangunahing uri ng mga problema.
Mga halimbawang gawain para sa pagsubok ng kaalaman at kasanayan kapag nilulutas ang mga problema sa mga parameter gamit ang graphical na pamamaraan (coordinate plane)
Gawain 1.
Sa anong halagaaang equation = ay may dalawang ugat?
Solusyon.
Lumipat tayo sa isang katumbas na sistema:
Ang sistemang ito sa coordinate plane (;) ay tumutukoy sa isang kurba. Malinaw na ang lahat ng mga punto ng parabolic arc na ito (at sila lamang) ay may mga coordinate na nakakatugon sa orihinal na equation. Samakatuwid, ang bilang ng mga solusyon sa equation para sa bawat nakapirming halaga ng parameter, katumbas ng bilang ng mga intersection point ng curve na may pahalang na linya na tumutugma sa value ng parameter na ito.
Malinaw, kapag ang mga ipinahiwatig na linya ay nagsalubong sa graph sa dalawang punto, na katumbas ng orihinal na equation na mayroong dalawang ugat.
Sagot: sa.
Gawain 2.
Hanapin ang lahat ng mga halaga ng isang kung saan ang system ay may natatanging solusyon.
Solusyon.
Isulat muli natin ang orihinal na sistema sa form na ito:
Ang lahat ng mga solusyon ng sistemang ito (mga pares ng form) ay bumubuo sa lugar na ipinapakita sa figure sa pamamagitan ng pagpisa. Ang pangangailangan para sa isang natatanging solusyon sa isang ibinigay na sistema ay isinalin sa graphical na wika tulad ng sumusunod: ang mga pahalang na linya ay dapat magkaroon lamang ng isang karaniwang punto sa resultang rehiyon. Ito ay madaling makita na tuwid lamangat matugunan ang nakasaad na pangangailangan.
Sagot: o.
Ang dalawang problemang napag-usapan pa lang ay nagpapahintulot sa amin na magbigay ng higit pa tiyak na rekomendasyon kumpara sa mga ibinigay kanina:
subukang ipahayag ang parameter sa pamamagitan ng isang variable, ibig sabihin, kumuha ng mga pagkakapantay-pantay ng form, pagkatapos
bumuo ng isang graph ng isang function sa isang eroplano.
Gawain 3.
Sa anong halagaA ang equation ba ay may eksaktong tatlong ugat?
Solusyon.
meron tayo
Ang graph ng set na ito ay ang unyon ng isang "sulok" at isang parabola. Malinaw, isang tuwid na linya lamang ang bumabagtas sa nagresultang unyon sa tatlong punto.
Sagot: .
Komento: Karaniwang isinasaalang-alang ang parameter bilang isang nakapirming ngunit hindi kilalang numero. Samantala, mula sa isang pormal na pananaw, ang isang parameter ay isang variable, at "katumbas" sa iba na naroroon sa problema. Sa ganitong view ng parameter ng form, ang mga function ay tinukoy hindi sa isa, ngunit sa dalawang variable.
Gawain 4.
Hanapin ang lahat ng value ng parameter, kung saan ang equation ay may isang solusyon.
Solusyon.
Ang isang fraction ay katumbas ng zero kung at kung ang numerator ng fraction ay zero at ang denominator ay di-zero.
Paghahanap ng mga ugat ng quadratic trinomial:
Gamit ang resultang sistema, madaling gumawa ng graph ng orihinal na equation. Ito ay ang pagkakaroon ng "mga butas" sa graph na ito na nagpapahintulot sa equation na magkaroon ng isang natatanging solusyon kapag at =. Ito ang determinadong salik sa desisyon.
Sagot: At.
Gawain 5.
Sa anong mga halaga ng parameter,A ang equation ay may natatanging solusyon.
Solusyon.
Sumulat tayo ng isang sistemang katumbas ng orihinal na equation
Mula dito nakukuha natin
Bumuo tayo ng isang graph at gumuhit ng mga tuwid na linya patayo sa mga axesA .
Ang unang dalawang hindi pagkakapantay-pantay ng system ay tumutukoy sa isang hanay ng mga puntos, na ipinapakita sa pamamagitan ng pagtatabing, at ang hanay na ito ay hindi kasama ang mga hyperbola at.
Pagkatapos ay ang segment at ang ray, ang segment at ang ray na nakahiga ayon sa pagkakabanggit sa mga linya at , ay ang graph ng orihinal na equation. Ang isang solusyon ay kung 2< < или < или = .
Sagot : 2 < < или < или = .
Gawain 6.
Hanapin ang lahat ng value ng parameterA , kung saan ang equation
may eksaktong dalawa iba't ibang solusyon
Solusyon.
Isaalang-alang ang isang hanay ng dalawang sistema
Kung , yun.
Kung < , yun.
Mula dito
o
Ang mga parabola at isang tuwid na linya ay may dalawang karaniwang punto:A (-2; - 2), SA(-1; -1), at, SA – ang tuktok ng unang parabola,D - tuktok ng pangalawa. Kaya, ang graph ng orihinal na equation ay ipinapakita sa figure.
Dapat mayroong eksaktong dalawang magkaibang solusyon. Ginagawa ito sa o.
Sagot: o.
Gawain 7.
Hanapin ang hanay ng lahat ng mga numero para sa bawat isa kung saan ang equation
mayroon lamang dalawang magkaibang ugat.
Solusyon.
Isulat muli natin ang equation na ito sa anyo
Ang mga ugat ng equation, sa kondisyon na.
Bumuo tayo ng graph ng equation na ito. Sa kasong ito, ito ay maginhawa upang bumuo ng isang graph sa pamamagitan ng pagtatalaga ng isang variable sa ordinate axis. Dito ay "binasa" natin ang sagot na may mga patayong tuwid na linya, nalaman natin na ang equation na ito ay may dalawang magkaibang ugat lamang sa = -1 o o.
Ang mga tuldok na linya ay nagpapahiwatig na.
Sagot: sa = -1 o o.
Gawain 8.
Kung saan ang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay naglalaman ng isang pagitan.
Solusyon.
Isulat natin ang isang set ng dalawang sistema na katumbas ng orihinal na equation:
o
Dahil sa solusyon ng unang sistema niA hindi maaaring isama sa segment, pagkatapos ay isasagawa namin ang kinakailangang pananaliksik para sa pangalawang sistema.
meron tayo
Tukuyin natin . Pagkatapos ay ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema ay tumatagal ng anyo< - at sa coordinate plane ay tumutukoy sa set na ipinapakita sa figure.
Gamit ang figure, itinatag namin na kapag ang resultang set ay naglalaman ng lahat ng mga punto kung saan ang abscissas ay tumatakbo sa lahat ng mga halaga ng agwat.
Pagkatapos, mula dito.
Sagot : .
Gawain 9.
Hanapin ang lahat ng hindi negatibong numero kung saan mayroon isahan, nagbibigay-kasiyahan sa sistema
Solusyon.
meron tayo
Ang unang equation sa coordinate plane ay tumutukoy sa isang pamilya ng mga patayong linya. Tuwid na linya at hatiin ang mga eroplano sa apat na lugar. Ang ilan sa mga ito ay mga solusyon sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Eksakto kung alin ang maaaring matukoy sa pamamagitan ng pagkuha ng isang punto ng pagsubok mula sa bawat rehiyon. Ang rehiyon na ang punto ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang solusyon nito (ang pamamaraan na ito ay nauugnay sa paraan ng mga pagitan kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa isang variable). Pagbuo ng mga tuwid na linya
Halimbawa, kumukuha kami ng isang punto at pinapalitan ito sa Mga Coordinate ng mga punto na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay.
Kumuha kami ng dalawang lugar (ako) At ( II), ngunit ibinigay na sa pamamagitan ng kundisyon, ang lugar lamang ang kinukuha namin (ako). Pagbuo ng mga tuwid na linya , k .
Kaya, ang orihinal na sistema ay nasiyahan sa lahat ng mga punto (at sila lamang) na nakahiga sa mga sinag at naka-highlight sa pagguhit na may mga naka-bold na linya (i.e., nagtatayo kami ng mga puntos sa isang naibigay na lugar).
Ngayon kailangan nating hanapin ang natatangi kapag naayos. Bumubuo kami ng mga parallel na linya na nagsa-intersect sa axis. at hanapin kung saan magkakaroon ng isang punto ng intersection sa linya.
Nalaman namin mula sa figure na ang pangangailangan ng pagiging natatangi ng solusyon ay nakamit kung (para sa 2 puntos na),
saan ang ordinate ng punto ng intersection ng mga linya at,
saan ang ordinate ng intersection point ng mga linya at.
Kaya nakuha namin< .
Sagot: < .
Gawain 10.
Sa anong mga halaga ng parameter ang sistema ay may mga solusyon?
Solusyon.
I-factor natin ang kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ng sistema, mayroon tayo
Bumubuo kami ng mga tuwid na linya at... Ipinapakita namin sa figure sa pamamagitan ng pagtatabing sa hanay ng mga punto ng eroplano na nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay ng system.
Bumubuo kami ng hyperbola = .
Pagkatapos ang abscissas ng mga napiling arko ng hyperbola ay mga solusyon ng orihinal na sistema.M , P , N , Q - mga nodal na puntos. Hanapin natin ang kanilang mga abscissas.
Para sa mga puntos P , Q meron tayo
Ito ay nananatiling isulat ang sagot: o.
Sagot: o.
Gawain 11.
Hanapin ang lahat ng mga halaga kung saan ang anumang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay sa modulus ay hindi lalampas sa dalawa ().
Solusyon .
Muli nating isulat ang hindi pagkakapantay-pantay na ito sa form na ito. Bumuo tayo ng mga graph ng mga equation at =.
Gamit ang "paraan ng mga agwat" itinatag namin na ang solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay ang mga may kulay na lugar.
Ngayon ay buuin natin ang lugar at tingnan kung aling bahagi nito ang nahuhulog sa may kulay na lugar.
Yung. ngayon, kung para sa ilang nakapirming halaga ang tuwid na linya sa intersection sa resultang lugar ay nagbibigay lamang ng mga puntos na ang abscissas ay nakakatugon sa kundisyon < 2, pagkatapos ay isa sa mga nais na halaga ng parameter.
Kaya nakikita natin iyon.
Sagot: .
Gawain 12.
Para sa anong mga halaga ng parameter ang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay naglalaman ng hindi hihigit sa apat na mga halaga ng integer?
Solusyon.
Ibahin natin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito sa anyo. Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang sistema
o
Gamit ang set na ito inilalarawan namin ang solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.
Gumuhit tayo ng mga tuwid na linya kung saan. Pagkatapos ay ang halaga kung saan ang linya ay nag-intersect sa mga linya nang hindi hihigit sa apat na puntos mula sa minarkahang hanay ang magiging ninanais. Kaya nakikita natin na ito ay alinman o.
Sagot: o o.
Gawain 13.
Sa anong mga halaga ng parameterA may sistema ng solusyon
Solusyon.
Mga ugat ng isang quadratic trinomial at.
Pagkatapos
Bumubuo kami ng mga tuwid na linya at...
Gamit ang "intervals" na paraan, nakakahanap kami ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ng system (shaded area).
Ang bahaging iyon ng bilog na may sentro sa pinanggalingan at radius 2 na nasa loob ng may kulay na lugar ang magiging solusyon sa sistemang ito. .
Nahanap namin ang mga halaga mula sa system
Ang kahulugan ng at ay mula sa sistema.
Sagot:
Gawain 14.
Depende sa mga halaga ng parameterA lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay > .
Solusyon.
Isulat muli natin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito sa anyo at isaalang-alang ang function, na, sa pagpapalawak ng mga module, isinusulat namin ang mga sumusunod:
Bumubuo kami ng iskedyul. Hinahati ng graph ang coordinate plane sa dalawang rehiyon. Ang pagkuha ng t. (0;0) at pagpapalit at sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, nakuha namin ang 0 > 1, at samakatuwid ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan sa lugar ng graph na nasa itaas.
Direkta mula sa figure na nakukuha namin:
walang mga solusyon;
sa ;
sa.
Sagot: walang mga solusyon;
sa ;
sa.
Gawain 15.
Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter kung saan ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay
ay nasiyahan sa isa lamang.
Solusyon.
Isulat muli natin ang sistemang ito sa form na ito:
Buuin natin ang rehiyon na tinukoy ng sistemang ito.
1) , ay ang vertex ng parabola.
2) - isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos at.
Ang pangangailangan ng pagiging natatangi ng solusyon ay isinalin sa graphic na wika tulad ng sumusunod: ang mga pahalang na linya na may resultang lugar ay dapat magkaroon lamang ng isang karaniwang punto. Ang nakasaad na kinakailangan ay natutugunan ng mga tuwid na linya at, kung saan ang ordinate ng punto ng intersection ng parabola at ang tuwid na linya.
Hanapin natin ang halaga:
= (hindi angkop para sa layunin ng problema),
Paghahanap ng ordinate:
Sagot: ,
Gawain 16.
Hanapin ang lahat ng value ng parameterA, sa ilalim kung saan ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay
nakakatugon lamang para sa isang x.
Solusyon .
Bumuo tayo ng mga parabola at ipakita sa pamamagitan ng pagtatabing sa solusyon ng huling sistema.
1) , .
2) , .
Ang figure ay nagpapakita na ang kondisyon ng problema ay nasiyahan kapag o.
Sagot: o.
Gawain 17.
Para sa anong mga halaga ang equation ay may eksaktong tatlong ugat?
Solusyon.
Ang equation na ito ay katumbas ng set
Ang graph ng populasyon ay isang kumbinasyon ng mga graph ng parabola at anggulo.
Ang mga linya ay bumalandra sa nagresultang unyon sa tatlong punto.
Sagot: sa.
Gawain 18.
Para sa anong mga halaga ang equation ay may eksaktong tatlong solusyon?
Solusyon.
Ibahin natin ang kaliwang bahagi ng equation na ito. Nakukuha namin quadratic equation medyo.
Nakukuha namin ang equation
Na katumbas ng kabuuan
Ang unyon ng mga graph ng mga parabola ay ang solusyon sa populasyon.
Hanapin ang mga ordinate na punto ng intersection ng mga parabola:
Nabasa namin ang kinakailangang impormasyon mula sa figure: ang equation na ito ay may tatlong solusyon sa o
Sagot: sa o
Gawain 19.
Depende sa parameter, tukuyin ang bilang ng mga ugat ng equation
Solusyon .
Isaalang-alang ang equation na ito bilang quadratic na may paggalang sa a.
,
.
Nakukuha namin ang kabuuan
Bumubuo kami ng mga graph ng mga equation ng populasyon at sinasagot ang tanong na ibinigay sa problema.
Sagot:: walang solusyon;
: isang solusyon;
: dalawang solusyon;
o: tatlong solusyon;
o: apat na solusyon.
Gawain 20.
Ilang solusyon mayroon ang sistema?
Solusyon.
Malinaw na ang bilang ng mga ugat ng pangalawang equation ng system ay katumbas ng bilang ng mga solusyon ng system mismo.
Mayroon kaming,.
Isinasaalang-alang ang equation na ito bilang isang quadratic equation, nakuha namin ang set.
Ang pag-access ngayon sa coordinate plane ay ginagawang simple ang gawain. Nahanap namin ang mga coordinate ng mga intersection point sa pamamagitan ng paglutas ng equation
Mula dito
Vertices ng parabolas at.
Sagot:: apat na solusyon;
: dalawang solusyon;
: isang solusyon;
: walang solusyon.
Gawain 21.
Hanapin ang lahat ng tunay na halaga ng parameter kung saan ang equation ay mayroon lamang dalawang natatanging ugat. Isulat ang mga ugat na ito.
Solusyon .
Hanapin natin ang mga ugat ng quadratic trinomial sa mga panaklong:
Ilarawan natin ang hanay ng mga solusyon sa equation na ito sa coordinate plane sa pamamagitan ng pagbuo ng mga graph sa ilalim ng kondisyon na
Nabasa namin ang kinakailangang impormasyon mula sa larawan. Kaya, ang equation na ito ay may dalawang magkaibang ugat sa (at) at sa (at)
Sagot: sa (at) at
sa (at).
Gawain 2 2 .
Lutasin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:
Solusyon.
Bumubuo kami ng mga graph ng mga parabola at tuwid na linya sa eroplano.
Ang lahat ng mga punto sa may kulay na lugar ay isang solusyon sa system. Hatiin natin ang itinayong lugar sa dalawang bahagi.
Kung gayon, walang mga solusyon.
Kung, kung gayon ang abscissa ng mga punto ng may kulay na lugar ay magiging mas malaki kaysa sa abscissa ng mga punto ng tuwid na linya, ngunit mas mababa kaysa sa abscissa (mas malaking ugat ng equation) ng parabola.
Ipahayag natin ito sa pamamagitan ng straight line equation:
Hanapin natin ang mga ugat ng equation:
Pagkatapos.
Kung gayon, kung gayon.
Sagot: para sa at 1 walang mga solusyon;
sa;
sa.
Gawain 23.
Lutasin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay
Solusyon.
– tuktok ng parabola.
Ang tuktok ng parabola.
Hanapin ang abscissa ng mga intersection point ng parabolas:
Ang may kulay na lugar ay ang solusyon ng system. Hatiin natin ito sa dalawang bahagi.
Sa mga equation ng parabola, ipinapahayag namin ang mga ito sa pamamagitan ng:
Isulat natin ito sagot:
kung at, pagkatapos ay walang mga solusyon;
kung, kung gayon< ;
kung, kung gayon.
Gawain 24.
Sa anong mga halaga, at ang equation walang solusyon?
Solusyon.
Ang equation ay katumbas ng system
Bumuo tayo ng maraming solusyon ng system.
Tatlong piraso ng parabola ang solusyon sa equation na ito.
Hanapin natin kung saan at ibukod ito.
Kaya, dahil walang mga solusyon;
kapag walang solusyon;
(tandaan: para sa ibaAmay isa o dalawang solusyon).
Sagot: ; .
Gawain 25.
Para sa kung anong mga tunay na halaga ng parameter ang mayroong hindi bababa sa isa na nakakatugon sa mga kondisyon:
Solusyon.
Lutasin natin ang hindi pagkakapantay-pantay sa graphical na paraan gamit ang "paraan ng pagitan" at bumuo ng isang graph. Tingnan natin kung aling bahagi ng graph ang nahuhulog sa itinayong lugar para sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay, at hanapin ang mga katumbas na halagaA.
Bumubuo kami ng mga graph ng mga tuwid na linya at
Hinahati nila ang coordinate plane sa 4 na rehiyon.
Lutasin natin ang huling hindi pagkakapantay-pantay nang grapiko gamit ang paraan ng agwat.
Ang may kulay na lugar ang solusyon nito. Ang bahagi ng parabola graph ay nahuhulog sa lugar na ito. Sa pagitan; (sa kondisyon, ang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema ay mahigpit) umiiral na nagbibigay-kasiyahan sa mga kondisyon ng ibinigay na sistema.
Sagot:
Gawain 26.
Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter para sa bawat isa kung saan ang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay hindi naglalaman ng isang solong solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay.
Solusyon.
Bumuo tayo ng isang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ("gamit ang paraan ng pagitan"). Pagkatapos ay gagawa kami ng isang "strip" ng mga kinakailangang halaga ng parameterq yaong kung saan wala sa mga punto ng tinukoy na mga lugar ang nabibilang sa "strip"
Sagot: o.
Gawain 27.
Para sa anong mga halaga ng parameter ang equation ay may natatanging solusyon?
Solusyon.
I-factorize natin ang numerator ng fraction.
Ang equation na ito ay katumbas ng system:
Bumuo tayo ng graph ng populasyon sa coordinate plane.
o
– punto ng intersection ng mga linya at. Ang graph ng populasyon ay isang unyon ng mga tuwid na linya.
"Punch out" ang mga graph point na may abscissas.
Gumuhit kami ng mga tuwid na linya at tingnan kung saan mayroong isang punto ng intersection sa graph.
Ito ay malinaw na para lamang sa o ang equation na ito ay may natatanging solusyon.
Sagot: o.
Gawain 28.
Para sa anong mga tunay na halaga ng parameter ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon?
Solusyon.
Ang hanay ng mga punto ng eroplano ng may kulay na rehiyon ay nakakatugon sa sistemang ito ng mga hindi pagkakapantay-pantay.
Bumubuo kami ng mga tuwid na linya. Mula sa figure natukoy namin na kapag ( ay ang abscissa ng punto ng intersection ng hyperbola at ang tuwid na linya), ang mga tuwid na linya ay hindi bumalandra sa may kulay na lugar.
Sagot: sa.
Gawain 29.
Sa anong mga halaga ng parameterA ang sistema ay may natatanging solusyon.
Solusyon.
Lumipat tayo sa isang sistemang katumbas ng isang ito.
Sa coordinate plane gagawa kami ng mga graph ng parabolas at Vertices ng parabolas, ayon sa pagkakabanggit, mga puntos at.
Kalkulahin natin ang abscissas ng mga intersection point ng mga parabola sa pamamagitan ng paglutas ng equation
Ang may kulay na lugar ay ang solusyon sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Direkta at
ay may isang karaniwang punto sa may kulay na lugar.
Sagot: sa i.
Gawain 30.
Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:
Solusyon.
Depende sa parameter, mahahanap natin ang halaga.
Malulutas natin ang hindi pagkakapantay-pantay gamit ang "paraan ng pagitan".
Bumuo tayo ng mga parabola
: .
Kalkulahin natin ang mga coordinate ng intersection point ng mga parabola:
Ang mga punto sa may kulay na rehiyon ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito. Pagguhit ng isang tuwid na linya, hinahati namin ang lugar na ito sa tatlong bahagi.
1) Kung, pagkatapos ay walang mga solusyon.
2) Kung, pagkatapos ay sa equation namin ipahayag ito sa pamamagitan ng:
Kaya, sa lugarako meron tayo.
Kung gayon, tingnan mo:
a) rehiyon II .
Ipahayag natin ito sa equation through.
Mas maliit na ugat
Mas malaking ugat.
Kaya, sa lugar II meron tayo.
b) rehiyon III : .
Sagot: kapag walang solusyon;
sa
sa, .
Panitikan:
Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Koleksyon ng mga problema sa algebra para sa grade 8 – 9: Tutorial para sa mga mag-aaral ng mga paaralan at mga klase na may advanced na pag-aaral ng matematika - 2nd ed. – M.: Edukasyon, 1994.
P. I. Gornshtein, V. B. Polonsky, M. S. Yakir. Mga problema sa mga parameter. 3rd edition, pinalawak at binago. – M.: Ilexa, Kharkov: Gymnasium, 2003.
Faddeev D.K. Algebra 6 – 8. – M.: Education, 1983 (b – ka guro sa matematika).
A.H. Shakhmeister. Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter. In-edit ni B. G. Ziv. S - Petersburg. Moscow. 2004.
V. V. Amelkin, V. L. Rabtsevich. Mga problema sa mga parameter Minsk "Asar", 2002.
A.H. Shakhmeister. Mga problema sa mga parameter sa Unified State Exam. Moscow University Publishing House, CheRo sa Neva MTsNMO.
Para sa bawat halaga ng parameter a a lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay | 2 x + a | ≤ x + 2 |2x+a| \leq x+2 .
Una, lutasin natin ang isang pantulong na problema. Isaalang-alang natin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito bilang isang hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable na x x at a a at iguhit sa coordinate plane x O a xOa ang lahat ng mga puntos na ang mga coordinate ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay.
Kung 2 x + a ≥ 0 2x+a \geq 0 (i.e. sa tuwid na linya a = - 2 x a=-2x at mas mataas), pagkatapos ay makakakuha tayo ng 2 x + a ≤ x + 2 ⇔ a ≤ 2 - x 2x+ a \leq x+2 \Leftrightarrow a \leq 2-x .
Ang set ay ipinapakita sa Fig. 11.
Ngayon lutasin natin ang orihinal na problema gamit ang pagguhit na ito. Kung aayusin natin ang a , pagkatapos ay makakakuha tayo ng pahalang na linya a = const a = \textrm(const) . Upang matukoy ang mga halaga ng x x, kailangan mong hanapin ang abscissa ng mga punto ng intersection ng linyang ito kasama ang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay. Halimbawa, kung a = 8 a=8, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon (ang tuwid na linya ay hindi sumasalubong sa hanay); kung a = 1 a=1 , kung gayon ang mga solusyon ay lahat x x mula sa pagitan [ - 1 ; 1 ] [-1;1], atbp. Kaya, tatlong opsyon ang posible.
1) Kung $$a>4$$, walang mga solusyon.
2) Kung a = 4 a=4, kung gayon x = - 2 x=-2.
SAGOT
sa $$a
para sa a = 4 a=4 - x = - 2 x=-2 ;
para sa $$a>4$$ - walang mga solusyon.
Hanapin ang lahat ng value ng parameter a a kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay ay $$3-|x-a| > x^2$$ a) ay may hindi bababa sa isang solusyon; b) may hindi bababa sa isang positibong solusyon.
Isulat muli natin ang hindi pagkakapantay-pantay sa anyong $$3-x^2 > |x-a)$$. Bumuo tayo ng mga graph ng kaliwa at kanang bahagi sa x O y xOy plane. Ang graph sa kaliwa ay isang parabola na may pababang mga sanga na may vertex sa punto (0; 3) (0;3). Bina-intersect ng graph ang x-axis sa mga punto (± 3 ; 0) (\pm \sqrt(3);0) . Ang graph ng kanang bahagi ay isang anggulo na may vertex sa x-axis, ang mga gilid nito ay nakadirekta paitaas sa isang anggulo na 45 ° 45^(\circ) sa mga coordinate axes. Ang abscissa ng vertex ay ang punto x = a x=a .
a) Upang magkaroon ng hindi bababa sa isang solusyon ang hindi pagkakapantay-pantay, kinakailangan at sapat na kahit isang punto ang parabola ay nasa itaas ng graph y = | x - a | y=|x-a| . Nagagawa ito kung ang vertex ng anggulo ay nasa pagitan ng mga punto A A at B B ng abscissa axis (tingnan ang Fig. 12 - hindi kasama ang mga puntos A A at B B). Kaya, kinakailangan upang matukoy kung anong posisyon ng vertex ang isa sa mga sanga ng anggulo ay humipo sa parabola.
Isaalang-alang natin ang kaso kapag ang vertex ng sulok ay nasa punto A A . Pagkatapos ay ang kanang sangay ng anggulo ay humipo sa parabola. Ang slope nito ay katumbas ng isa. Nangangahulugan ito na ang derivative ng function na y = 3 - x 2 y = 3-x^2 sa punto ng tangency ay katumbas ng 1 1, ibig sabihin - 2 x = 1 -2x=1, kung saan ang x = - 1 2 x = -\frac( 1)(2) . Kung gayon ang ordinate ng tangent point ay y = 3 - (1 2) 2 = 11 4 y = 3 - (\frac(1)(2))^2 = \frac(11)(4) . Ang equation ng isang tuwid na linya na mayroong isang angular coefficient k = 1 k=1 at dumadaan sa isang punto na may mga coordinate (- 1 2 ; 11 4) (-\frac(1)(2); \frac(11)(4) ) ay ang sumusunod * ( \^* : y - 11 4 = 1 · (x + 1 2) y - \frac{11}{4} = 1 \cdot (x+ \frac{1}{2}) , откуда y = x + 13 4 y = x + \frac{13}{4} .!}
Ito ang equation ng kanang sangay ng sulok. Ang abscissa ng punto ng intersection na may x axis ay katumbas ng - 13 4 -\frac(13)(4), ibig sabihin, ang point A A ay may mga coordinate A (- 13 4 ; 0) A(-\frac(13)(4 ); 0). Para sa mga kadahilanan ng mahusay na proporsyon, ang punto B B ay may mga coordinate: B (13 4 ; 0) B(\frac(13)(4); 0) .
Mula dito nakukuha natin na a ∈ (- 13 4 ; 13 4) a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)) .
b) Ang hindi pagkakapantay-pantay ay may mga positibong solusyon kung ang vertex ng sulok ay nasa pagitan ng mga punto F F at B B (tingnan ang Fig. 13). Ang paghahanap ng posisyon ng point F F ay hindi mahirap: kung ang vertex ng sulok ay nasa punto F F, ang kanang sangay nito (ang tuwid na linya na ibinigay ng equation na y = x - a y = x-a ay dumadaan sa punto (0; 3). ) (0;3). \in (-3; \frac(13)(4) ) .
SAGOT
a) a ∈ (- 13 4 ; 13 4) , a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)),\:\:\: b) a ∈ (- 3 ; 13 4) a \in (-3; \frac(13)(4)) .
* {\^* Полезные формулы: !}
- \-- isang tuwid na linya na dumadaan sa punto (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) at pagkakaroon ng isang angular coefficient k k ay ibinibigay ng equation na y - y 0 = k (x - x 0) y-y_0= k(x-x_0 );
- \-- ang angular coefficient ng tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) at (x 1 ; y 1) (x_1;y_1), kung saan x 0 ≠ x 1 x_0 \neq x_1, ay kinakalkula sa pamamagitan ng formula k = y 1 - y 0 x 1 - x 0 k = \dfrac(y_1-y_0)(x_1-x_0) .
Magkomento. Kung kailangan mong hanapin ang halaga ng parameter kung saan ang tuwid na linya y = k x + l y=kx+l at ang parabola y = a x 2 + b x + c y = ax^2+bx+c touch, pagkatapos ay maaari mong isulat ang kondisyon na ang equation k x + l = a x 2 + b x + c kx+l = ax^2+bx+c ay may eksaktong isang solusyon Pagkatapos ay isa pang paraan upang mahanap ang mga halaga ng parameter a a kung saan ang vertex ng anggulo ay nasa punto A A ay ang sumusunod: equation x - a = 3 - x 2 x-a = 3-x^2 ay may eksaktong isang solusyon ⇔ D = 1 + 4 (a + 3) = 0 ⇔ a = - 13 4 \Leftrightarrow D = 1 + 4(a+3) = 0 \Leftrightarrow a = -\ dfrac(13)(4) .
Pakitandaan na sa ganitong paraan imposibleng isulat ang kundisyon para sa isang linya na hawakan ang isang arbitrary na graph. Halimbawa, ang linyang y = 3 x - 2 y = 3x - 2 ay dumadampi sa kubiko na parabola y = x 3 y=x^3 sa punto (1 ; 1) (1;1) at nag-intersect ito sa punto (- 2 ; - 8) (-2;-8), ibig sabihin, ang equation na x 3 = 3 x + 2 x^3 = 3x+2 ay may dalawang solusyon.
Hanapin ang lahat ng value ng parameter a a , para sa bawat isa kung saan ang equation (a + 1 - | x + 2 |) (x 2 + 4 x + 1 - a) = 0 (a+1-|x+2| )(x^2 +4x+1-a) = 0 ay may a) eksaktong dalawang magkaibang ugat; b) eksaktong tatlong magkakaibang ugat.
Gawin natin ang katulad ng sa halimbawa 25. Ilarawan natin ang hanay ng mga solusyon sa equation na ito sa eroplano x O a xOa . Ito ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang equation:
1) a = | x + 2 | - 1 a = |x+2| Ang -1 ay isang anggulo na may mga sanga pataas at ang vertex sa punto (- 2 ; - 1) (-2;-1) .
2) a = x 2 + 4 x + 1 a = x^2 + 4x + 1 - ito ay isang parabola na may mga sanga pataas at ang vertex sa punto (- 2 ; - 3) (-2;-3) . Tingnan ang fig. 14.
Nahanap namin ang mga intersection point ng dalawang graph. Ang kanang sangay ng anggulo ay ibinibigay ng equation na y = x + 1 y=x+1 . Paglutas ng equation
x + 1 = x 2 + 4 x + 1 x+1 = x^2+4x+1
nakita namin na x = 0 x=0 o x = - 3 x=-3 . Ang halagang x = 0 x=0 lamang ang angkop (dahil para sa tamang sangay x + 2 ≥ 0 x+2 \geq 0). Pagkatapos a = 1 a=1 . Katulad nito, nakita natin ang mga coordinate ng pangalawang intersection point - (- 4 ; 1) (-4; 1) .
Bumalik tayo sa orihinal na problema. Ang equation ay may eksaktong dalawang solusyon para sa mga a a kung saan ang pahalang na linya na a = const a=\textrm(const) ay nag-intersect sa hanay ng mga solusyon sa equation sa dalawang punto. Mula sa graph makikita natin na totoo ito para sa isang ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 ) a\in (-3;-1)\bigcup\(1\) . Magkakaroon ng eksaktong tatlong solusyon sa kaso ng tatlong intersection point, na posible lamang kapag a = - 1 a=-1 .
SAGOT
a) a ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 );
a\in (-3;-1)\bigcup\(1\);\:\:\: b) a = - 1 a=-1 .
$$\begin(cases) x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \end(cases) $$
Ilarawan natin ang mga solusyon ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay sa eroplano x O a xOa . Isulat muli natin ang system sa anyong $$ \begin(cases) a \leq -x^2+x,\\ a \geq \dfrac(x^2+6x)(6) .\end(cases) $$
Ang unang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan sa pamamagitan ng mga puntos na nakahiga sa parabola a = - x 2 + x a = -x^2+x at sa ibaba nito, at ang pangalawa ay nasiyahan sa pamamagitan ng mga puntos na nakahiga sa parabola a = x 2 + 6 x 6 a = \dfrac(x^2 +6x)(6) at mas mataas. Hinahanap namin ang mga coordinate ng vertices ng mga parabola at ang kanilang mga intersection point, at pagkatapos ay bumuo ng isang graph. Ang tuktok ng unang parabola ay (1 2 ; 1 4) (\dfrac(1)(2);\dfrac(1)(4)), ang tuktok ng pangalawang parabola ay (- 1 ; - 1 6) ( -1; -\dfrac(1)(6)), ang mga intersection point ay (0; 0) (0;0) at (4 7; 12 49) (\dfrac(4)(7); \dfrac(12 )(49)). Ang hanay ng mga puntos na nagbibigay-kasiyahan sa sistema ay ipinapakita sa Fig. 15. Makikita na ang pahalang na linya a = const a=\textrm(const) ay may eksaktong isang karaniwang punto sa set na ito (na nangangahulugang ang sistema ay may eksaktong isang solusyon) sa mga kaso a = 0 a=0 at a = 1 4 a= \dfrac(1)(4) .
SAGOT
A = 0 , a = 1 4 a=0,\: a=\dfrac(1)(4)
Hanapin pinakamaliit na halaga parameter a a , para sa bawat isa kung saan ang system
$$\begin(cases) x^2+y^2 + 3a^2 = 2y + 2\sqrt(3)ax,\\ \sqrt(3)|x|-y=4 \end(cases) $$
ay may natatanging solusyon.
Ibahin natin ang unang equation, pag-highlight ng kumpletong mga parisukat:
(x 2 - 2 3 a x + 3 a 2) + (y 2 - 2 y + 1) = 1 ⇔ (x - a 3) 2 + (y - 1) 2 = 1.
18 (x^2- 2\sqrt(3)ax+3a^2)+(y^2-2y+1)=1 \Leftrightarrow (x-a\sqrt(3))^2+(y-1)^2 =1. \:\:\:\kaliwa(18\kanan)
Hindi tulad ng mga nakaraang problema, dito mas mahusay na ilarawan ang isang guhit sa x O y xOy plane (isang pagguhit sa "variable - parameter" na eroplano ay karaniwang ginagamit para sa mga problema sa isang variable at isang parameter - ang resulta ay isang set sa eroplano . In this problem we are dealing with two variables and a parameter. Drawing a set of points (x; y; a) (x;y;a) in three-dimensional space is a difficult task; moreover, such a drawing is unlikely upang maging biswal). Tinukoy ng equation (18) ang isang bilog na may sentro (a 3 ; 1) (a\sqrt(3);1) ng radius 1. Ang gitna ng bilog na ito, depende sa halaga ng a, ay matatagpuan sa anumang punto sa linya y = 1 y=1.
Ang pangalawang equation ng system ay y = 3 | x | - 4 y = \sqrt(3)|x|-4 ay nagtatakda ng anggulo na may mga panig na nakataas sa isang anggulo na 60 ° 60^(\circ) sa abscissa axis (ang angular coefficient ng tuwid na linya ay ang tangent ng anggulo ng pagkahilig tg 60 ° = 3 \textrm(tg )(60^(\circ)) = \sqrt(3)), na may vertex sa punto (0; - 4) (0;-4) . Ang mga equation ay may eksaktong isang solusyon kung ang bilog ay dumampi sa isa sa mga sangay ng anggulo. Posible ito sa apat na kaso (Larawan 16): ang gitna ng bilog ay maaaring nasa isa sa mga puntong A A, B B, C C, D D. Dahil kailangan nating hanapin ang pinakamaliit na halaga ng parameter a a , interesado kami sa abscissa ng punto D D . Isaalang-alang natin kanang tatsulok D H M D H M . Ang distansya mula sa punto D D hanggang sa tuwid na linya H M HM ay katumbas ng radius ng bilog, samakatuwid D H = 1 DH=1. Kaya, D M = D H sin 60 ° = 2 3 DM=\dfrac(DH)(\textrm(sin)(60^(\circ))) = \dfrac(2)(\sqrt(3)) . Ang mga coordinate ng point M M ay matatagpuan bilang mga coordinate ng intersection point ng dalawang linya y = 1 y=1 at y = - 3 x - 4 y=-\sqrt(3)x-4 (kaliwang bahagi ng sulok) .
Nakukuha namin ang M (- 5 3) M(-\dfrac(5)(\sqrt(3))) . Kung gayon ang abscissa ng punto D D ay katumbas ng - 5 3 - 2 3 = - 7 3 -\dfrac(5)(\sqrt(3))-\dfrac(2)(\sqrt(3))=-\dfrac( 7)(\ sqrt(3)) .
Dahil ang abscissa ng gitna ng bilog ay katumbas ng isang 3 a\sqrt(3) , ito ay sumusunod na a = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3) .
SAGOT
A = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3)
Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a a , para sa bawat isa kung saan ang system
$$\magsimula(mga kaso) |4x+3y| \leq 12a,\\ x^2+y^2 \leq 14ax +6ay -57a^2+16a+64 \end(cases) $$
$$\begin(cases) x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \end(cases) $$
Ilarawan natin ang mga hanay ng mga solusyon sa bawat hindi pagkakapantay-pantay sa eroplano x O y xOy .
Sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, pumili kami ng mga perpektong parisukat:
x 2 - 14 a x + 49 + y 2 - 6 a y + 9 a 2 ≤ a 2 + 16 a + 64 ⇔ (x - 7 a) 2 + (y - 3 a) 2 ≤ (a + 8) 2 ) x^2-14ax+49 + y^2-6ay + 9a^2 \leq a^2 + 16a + 64 \Leftrightarrow (x-7a)^2+(y-3a)^2 \leq (a+8 )^2 \:\:\:\: (19)
Kapag ang a + 8 = 0 a+8=0 (a = - 8 a=-8), ang hindi pagkakapantay-pantay (19) ay tumutukoy sa isang punto na may mga coordinate (7 a ; 3 a) (7a;3a), ibig sabihin, (- 56 ; - 24) (-56;-24) . Para sa lahat ng iba pang mga halaga ng isang a (19) ay tumutukoy sa isang bilog na nakasentro sa punto (7 a ; 3 a) (7a;3a) ng radius | a+8 | |a+8| .
Isaalang-alang natin ang unang hindi pagkakapantay-pantay.
1) Para sa negatibong a, wala itong mga solusyon. Nangangahulugan ito na ang sistema ay walang mga solusyon.
2) Kung a = 0 a=0, makuha natin ang tuwid na linya 4 x + 3 y = 0 4x+3y=0. Mula sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay nakakakuha tayo ng isang bilog na may sentro (0; 0) (0; 0) ng radius 8. Malinaw, mayroong higit sa isang solusyon.
3) Kung $$a>0$$, ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay - 12 a ≤ 4 x + 3 y ≤ 12 a -12a \leq 4x+3y \leq 12a . Tinutukoy nito ang isang strip sa pagitan ng dalawang tuwid na linya y = ± 4 a - 4 x 3 y=\pm 4a -\dfrac(4x)(3) , na ang bawat isa ay parallel sa tuwid na linya 4 x + 3 y = 0 4x+ 3y=0 (Larawan 17).
Dahil isinasaalang-alang namin ang $$a>0$$, ang gitna ng bilog ay matatagpuan sa unang quarter sa linyang y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) . Sa katunayan, ang mga coordinate ng sentro ay x = 7 a x=7a , y = 3 a y=3a ; pagpapahayag ng a at equating, makuha namin ang x 7 = y 3 \dfrac(x)(7)=\dfrac(y)(3) , kung saan y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) . Upang ang sistema ay magkaroon ng eksaktong isang solusyon, ito ay kinakailangan at sapat na ang bilog ay humipo sa tuwid na linya a 2 a_2 . Nangyayari ito kapag ang radius ng bilog ay katumbas ng distansya mula sa gitna ng bilog hanggang sa tuwid na linya a 2 a_2. Ayon sa formula para sa distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya * (\^{*} получаем, что расстояние от точки (7 a ; 3 a) (7a;3a) до прямой 4 x + 3 y - 12 a = 0 4x+3y-12a=0 равно | 4 · 7 a + 3 · 3 a - 12 a | 4 2 + 3 2 = 5 a \dfrac{|4\cdot 7a + 3\cdot 3a -12a|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 5\left|a\right| . Приравнивая к радиусу круга, получаем 5 a = | a + 8 | 5{a} = |a+8| . Так как $$a>0$$, опускаем модули и находим, что a = 2 a=2 .!}
SAGOT
A = 2 a=2
* {\^{*} Пусть даны точка M (x 0 ; y 0) M (x_0;y_0) и прямая l l , заданная уравнением a x + b y + c = 0 ax+by+c=0 . Тогда расстояние от точки M M до прямой l l определяется формулой ρ = | a x 0 + b x 0 + c | a 2 + b 2 \rho = \dfrac{|ax_0+bx_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} . !}
Sa anong mga halaga ng parameter a ang ginagawa ng system
$$\begin(cases) |x|+|y|=1,\\ |x+a|+|y+a|=1 \end(cases)$$ ay walang solusyon?
Ang unang equation ng system ay tumutukoy sa parisukat na A B C D ABCD sa eroplanong x O y xOy (upang mabuo ito, isaalang-alang ang x ≥ 0 x\geq 0 at y ≥ 0 y\geq 0 . Pagkatapos ang equation ay kumukuha ng anyo na x + y = 1 x+y=1 . Kumuha kami ng isang segment - bahagi ng tuwid na linya x + y = 1 x+y=1, na namamalagi sa unang quarter sumasalamin sa resultang set na may kaugnayan sa O y Oy axis (tingnan ang Fig. 18). Tinutukoy ng pangalawang equation ang parisukat P Q R S PQRS , katumbas ng parisukat A B C D ABCD , ngunit nakasentro sa punto (- a ; - a) (-a;-a) . Sa Fig. Bilang halimbawa, ipinapakita ng Fig. 18 ang parisukat na ito para sa a = - 2 a=-2. Ang sistema ay walang solusyon kung ang dalawang parisukat na ito ay hindi magsalubong.
Madaling makita na kung ang mga segment na P Q PQ at B C BC ay magkakasabay, kung gayon ang gitna ng pangalawang parisukat ay nasa punto (1; 1) (1;1). Ang mga halagang iyon ng a ay angkop para sa amin, kung saan ang sentro ay matatagpuan "sa itaas" at "sa kanan", ibig sabihin, $$a1$$.
SAGOT
A ∈ (- ∞ ; - 1) ∪ (1 ; + ∞) a\in (-\infty;-1)\bigcup(1;+\infty) .
Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter b b kung saan ang system
$$\begin(cases) y=|b-x^2|,\\ y=a(x-b) \end(cases) $$
ay may hindi bababa sa isang solusyon para sa anumang halaga ng isang a .
Isaalang-alang natin ang ilang mga kaso.
1) Kung $$b2) Kung b = 0 b=0 , ang sistema ay kukuha ng form na $$\begin(cases) y=x^2,\\ y=ax .\end(cases) $$
Para sa anumang a ang pares ng mga numero (0 ; 0) (0;0) ay isang solusyon sa sistemang ito, samakatuwid b = 0 b=0 ay angkop.
3) Ayusin natin ang ilang $$b>0$$. Ang unang equation ay nasiyahan sa hanay ng mga puntos na nakuha mula sa parabola y = x 2 - b y=x^2-b sa pamamagitan ng pagpapakita ng bahagi ng parabola na ito na may kaugnayan sa O x Ox axis (tingnan ang Fig. 19a, b). Ang pangalawang equation ay tumutukoy sa isang pamilya ng mga tuwid na linya (sa pamamagitan ng pagpapalit ng iba't ibang mga halaga ng a a , maaari mong makuha ang lahat ng uri ng mga tuwid na linya na dumadaan sa punto (b ; 0) (b;0), maliban sa patayo), pagpasa sa pamamagitan ng punto (b ; 0) (b;0) . Kung ang punto (b ; 0) (b;0) ay nasa segment [ - b ; b ] [-\sqrt(b);\sqrt(b)] . abscissa axis, pagkatapos ay i-intersect ng tuwid na linya ang graph ng unang function para sa anumang slope (Fig. 19a). Kung hindi man (Larawan 19b) sa anumang kaso magkakaroon ng isang tuwid na linya na hindi magsalubong sa graph na ito. Paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay - b ≤ b ≤ b -\sqrt(b)\leq b \leq \sqrt(b) at isinasaalang-alang na $$b>0$$, nakuha namin na b ∈ (0 ; 1 ] b \ sa ( 0;1] .
Pinagsasama namin ang mga resulta: $$b \sa $$.
SAGOT
$$b \sa $$
Hanapin ang lahat ng mga halaga ng a a , para sa bawat isa kung saan ang function f (x) = x 2 - | x - a 2 | - 3 x f(x) = x^2-|x-a^2|-3x ay may kahit isang maximum na punto.
Ang pagpapalawak ng modyul, nakukuha natin iyon
$$f(x) = \begin(cases) x^2-4x+a^2, \:\:\: x\geq a^2 ,\\ x^2-2x-a^2, \:\ :\: x\leq a^2 . \end(cases) $$
Sa bawat isa sa dalawang pagitan, ang graph ng function na y = f (x) y=f(x) ay isang parabola na may mga sanga pataas.
Dahil ang mga parabola na may pataas na mga sanga ay hindi maaaring magkaroon ng pinakamataas na puntos, ang tanging posibilidad ay ang pinakamataas na punto ay ang hangganang punto ng mga pagitan na ito - ang puntong x = a 2 x=a^2 . Sa puntong ito magkakaroon ng maximum kung ang vertex ng parabola y = x 2 - 4 x + a 2 y=x^2-4x+a^2 ay bumaba sa pagitan na $$x>a^2$$, at ang vertex ng parabola y = x 2 - 2 x - a 2 y=x^2-2x-a^2 - para sa pagitan na $$x\lt a^2$$ (tingnan ang Fig. 20). Ang kundisyong ito ay ibinibigay ng mga hindi pagkakapantay-pantay at $$2 \gt a^2$$ at $$1 \lt a^2$$, paglutas kung saan makikita natin na a ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\ sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2)) .
SAGOT
A ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2))
Hanapin ang lahat ng mga halaga ng isang a , para sa bawat isa kung saan ang mga pangkalahatang solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay
y + 2 x ≥ a y+2x \geq a at y - x ≥ 2 a (20) y-x \geq 2a \:\:\:\:\:\:\:\: (20)
ay mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay
$$2y-x>a+3 \:\:\:\:\:\:\:\:\: (21)$$
Upang i-navigate ang sitwasyon, kung minsan ay kapaki-pakinabang na isaalang-alang ang isang halaga ng parameter. Gumawa tayo ng drawing, halimbawa, para sa a = 0 a=0 . Ang mga hindi pagkakapantay-pantay (20) (sa katunayan, nakikitungo tayo sa isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay (20)) ay nasiyahan sa pamamagitan ng mga punto ng anggulo B A C BAC (tingnan ang Fig. 21) - mga punto, na ang bawat isa ay nasa itaas ng parehong tuwid na linya y = - 2 x y=-2x at y = x y =x (o sa mga linyang ito). Ang hindi pagkakapantay-pantay (21) ay nasisiyahan sa pamamagitan ng mga puntos na nasa itaas ng tuwid na linya y = 1 2 x + 3 2 y = \dfrac(1)(2)x + \dfrac(3)(2) . Makikita na kapag a = 0 a=0 ang kondisyon ng problema ay hindi nasiyahan.
Ano ang magbabago kung kukuha tayo ng ibang halaga para sa parameter a a ? Ang bawat isa sa mga linya ay lilipat at magiging isang linya parallel sa sarili nito, dahil ang mga angular coefficient ng mga linya ay hindi nakadepende sa isang a. Para matupad ang kondisyon ng problema, ang buong anggulo B A C BAC ay dapat nasa itaas ng tuwid na linya l l . Dahil ang mga angular coefficient ng mga tuwid na linya A B AB at A C AC ay mas malaki sa ganap na halaga kaysa sa angular coefficient ng tuwid na linya l l , kinakailangan at sapat na ang vertex ng anggulo ay nasa itaas ng tuwid na linya l l .
Paglutas ng isang sistema ng mga equation
$$\begin(cases) y+2x=a,\\ y-x=2a, \end(cases)$$
hanapin ang mga coordinate ng point A (- a 3 ; 5 a 3) A(-\dfrac(a)(3);\dfrac(5a)(3)) . Dapat nilang matugunan ang hindi pagkakapantay-pantay (21), kaya $$\dfrac(10a)(3)+\dfrac(a)(3) > a+3$$, kung saan $$a>\dfrac(9)(8)$$ .
SAGOT
$$a>\dfrac(9)(8)$$
FEDERAL AGENCY PARA SA EDUKASYON
INSTITUTE PARA SA EDUCATIONAL DEVELOPMENT
"Mga graphical na pamamaraan para sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter"
Nakumpleto
guro sa matematika
Munisipal na institusyong pang-edukasyon sekondaryang paaralan Blg. 62
Lipetsk 2008
PANIMULA................................................. ....................................................... ............. .3
X;sa) 4
1.1. Parallel transfer................................................ ... ............................... 5
1.2. Lumiko................................................. ................................................... ...... 9
1.3. Homothety. Compression sa tuwid na linya................................................. ................... 13
1.4. Dalawang tuwid na linya sa isang eroplano............................................ ....... ....................... 15
2. MGA GRAPHIC TECHNIQUES. COORDINATE EROPLO ( X;A) 17
KONKLUSYON................................................. ......................................... 20
LISTAHAN NG BIBLIOGRAPIKAL................................................ .................... ........ 22
PANIMULA
Mga problemang kinakaharap ng mga mag-aaral sa paglutas hindi karaniwang mga equation at ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay sanhi ng parehong pagiging kumplikado ng mga problemang ito at ng katotohanan na ang paaralan, bilang panuntunan, ay nakatuon sa paglutas ng mga karaniwang problema.
Maraming mga mag-aaral ang nakikita ang parameter bilang isang "regular" na numero. Sa katunayan, sa ilang mga problema ang isang parameter ay maaaring ituring na isang pare-parehong halaga, ngunit ang pare-parehong halaga na ito ay tumatagal sa hindi kilalang mga halaga! Samakatuwid, kinakailangang isaalang-alang ang problema para sa lahat ng posibleng mga halaga ng pare-parehong ito. Sa iba pang mga problema, maaaring maging maginhawa upang artipisyal na ideklara ang isa sa mga hindi alam bilang isang parameter.
Tinatrato ng ibang mga mag-aaral ang isang parameter bilang isang hindi kilalang dami at, nang walang kahihiyan, maaaring ipahayag ang parameter sa mga tuntunin ng isang variable sa kanilang sagot X.
Sa pangwakas at pasukan na mga pagsusulit, mayroong dalawang uri ng mga problema sa mga parameter. Maaari mong agad na makilala ang mga ito sa pamamagitan ng kanilang mga salita. Una: "Para sa bawat value ng parameter, hanapin ang lahat ng solusyon sa ilang equation o hindi pagkakapantay-pantay." Pangalawa: "Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter, para sa bawat isa kung saan ang ilang mga kundisyon ay nasiyahan para sa isang naibigay na equation o hindi pagkakapantay-pantay." Alinsunod dito, ang mga sagot sa mga problema ng dalawang uri na ito ay naiiba sa kakanyahan. Ang sagot sa isang problema ng unang uri ay naglilista ng lahat ng posibleng mga halaga ng parameter at para sa bawat isa sa mga halagang ito ang mga solusyon sa equation ay nakasulat. Ang sagot sa isang problema ng pangalawang uri ay nagpapahiwatig ng lahat ng mga halaga ng parameter kung saan ang mga kundisyon na tinukoy sa problema ay natutugunan.
Ang solusyon ng isang equation na may isang parameter para sa isang naibigay na nakapirming halaga ng parameter ay tulad ng isang halaga ng hindi alam, kapag pinapalitan ito sa equation, ang huli ay nagiging isang tamang pagkakapantay-pantay ng numero. Ang solusyon sa isang hindi pagkakapantay-pantay na may isang parameter ay tinutukoy nang katulad. Lutasin ang isang equation (hindi pagkakapantay-pantay) na may isang parameter - nangangahulugan ito para sa lahat pinahihintulutang halaga parameter, hanapin ang hanay ng lahat ng mga solusyon sa isang ibinigay na equation (hindi pagkakapantay-pantay).
1. MGA GRAPHIC TECHNIQUE. COORDINATE EROPLO ( X;sa)
Kasama ang mga pangunahing analytical na pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa mga parameter, may mga paraan upang magamit ang visual at graphical na mga interpretasyon.
Depende sa kung anong papel ang itinalaga ng parameter sa problema (hindi pantay o katumbas ng variable), dalawang pangunahing graphical na diskarte ang maaaring makilala nang naaayon: ang una ay ang pagbuo ng isang graphical na imahe sa coordinate plane (X;y), ang pangalawa - sa (X; A).
Sa eroplano (x; y) ang function y =f (X; A) tumutukoy sa isang pamilya ng mga kurba depende sa parameter A. Ito ay malinaw na ang bawat pamilya f ay may ilang mga katangian. Pangunahing magiging interesado kami sa kung anong uri ng pagbabagong-anyo ng eroplano (parallel na pagsasalin, pag-ikot, atbp.) ang maaaring gamitin upang lumipat mula sa isang kurba ng pamilya patungo sa isa pa. Isang hiwalay na talata ang ilalaan sa bawat pagbabagong ito. Tila sa amin na ang gayong pag-uuri ay ginagawang mas madali para sa nagpapasya na mahanap ang kinakailangang graphic na imahe. Tandaan na sa diskarteng ito, ang ideolohikal na bahagi ng solusyon ay hindi nakasalalay sa kung aling pigura (tuwid na linya, bilog, parabola, atbp.) ang magiging miyembro ng pamilya ng mga kurba.
Siyempre, ang graphic na imahe ng pamilya ay hindi palaging y =f (X;A) inilalarawan ng isang simpleng pagbabago. Samakatuwid sa mga katulad na sitwasyon Kapaki-pakinabang na tumuon hindi sa kung paano nauugnay ang mga kurba ng parehong pamilya, ngunit sa mga kurba mismo. Sa madaling salita, maaari nating makilala ang isa pang uri ng problema kung saan ang ideya ng isang solusyon ay pangunahing batay sa mga katangian ng tiyak mga geometric na hugis, at hindi ang pamilya sa kabuuan. Anong mga figure (mas tiyak, mga pamilya ng mga figure na ito) ang unang-una sa lahat ay interesado tayo? Ito ay mga tuwid na linya at parabola. Ang pagpipiliang ito ay dahil sa espesyal (basic) na posisyon ng mga linear at quadratic na function sa matematika ng paaralan.
Sa pagsasalita tungkol sa mga graphical na pamamaraan, imposibleng maiwasan ang isang problema na "ipinanganak" mula sa pagsasanay ng mga mapagkumpitensyang pagsusulit. Tinutukoy namin ang tanong ng higpit, at samakatuwid ang legalidad, ng isang desisyon batay sa mga graphic na pagsasaalang-alang. Walang alinlangan, mula sa isang pormal na pananaw, ang resulta na kinuha mula sa "larawan", hindi suportado nang analytical, ay hindi nakuha nang mahigpit. Gayunpaman, sino, kailan at saan tinutukoy ang antas ng higpit na dapat sundin ng isang mag-aaral sa high school? Sa aming opinyon, ang mga kinakailangan para sa antas ng mathematical rigor para sa isang mag-aaral ay dapat na matukoy ng sentido komun. Nauunawaan natin ang antas ng pagiging paksa ng gayong pananaw. Bukod dito, ang graphical na pamamaraan ay isa lamang sa mga paraan ng kalinawan. At ang visibility ay maaaring mapanlinlang..gif" width="232" height="28"> ay may isang solusyon lamang.
Solusyon. Para sa kaginhawahan, tinutukoy namin ang lg b = a. Sumulat tayo ng equation na katumbas ng orihinal: https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif" width="125" height="92">
Pagbuo ng isang graph ng isang function 
na may domain ng kahulugan at (Larawan 1). Ang resultang graph ay isang pamilya ng mga tuwid na linya y = a dapat bumalandra sa isang punto lamang. Ipinapakita ng figure na ang pangangailangang ito ay natutugunan lamang kapag isang > 2, ibig sabihin, lg b> 2, b> 100.
Sagot. https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif" width="15 height=16" height="16"> tukuyin ang bilang ng mga solusyon sa equation 
.
Solusyon. I-plot natin ang function na 102" height="37" style="vertical-align:top">
|
Isaalang-alang natin. Ito ay isang tuwid na linya parallel sa OX axis.
Sagot..gif" width="41" height="20">, pagkatapos ay 3 solusyon;
kung , pagkatapos ay 2 solusyon;
kung , 4 na solusyon.
Lumipat tayo sa isang bagong serye ng mga gawain..gif" width="107" height="27 src=">.
Solusyon. Bumuo tayo ng isang tuwid na linya sa= X+1 (Fig. 3)..gif" width="92" height="57">
magkaroon ng isang solusyon, na katumbas ng equation ( X+1)2 = x + A magkaroon ng isang ugat..gif" width="44 height=47" height="47"> walang solusyon ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay. Tandaan na maaaring makuha ng isang taong pamilyar sa derivative ang resultang ito sa ibang paraan.
Susunod, ang paglilipat ng "semi-parabola" sa kaliwa, aayusin namin ang huling sandali kapag ang mga graph sa = X+ 1 at may dalawang karaniwang puntos (posisyon III). Ang pag-aayos na ito ay tinitiyak ng kinakailangan A= 1.
Malinaw na para sa segment [ X 1; X 2], saan X 1 at X 2 – abscissas ng mga punto ng intersection ng mga graph, ang magiging solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay..gif" width="68 height=47" height="47">, pagkatapos 
Kapag ang isang "semi-parabola" at isang tuwid na linya ay nagsalubong sa isang punto lamang (ito ay tumutugma sa kaso isang > 1), kung gayon ang solusyon ay ang segment [- A; X 2"], saan X 2" – ang pinakamalaki sa mga ugat X 1 at X 2 (posisyon IV).
Halimbawa 4..gif" width="85" height="29 src=">.gif" width="75" height="20 src="> .
Mula dito nakukuha natin 
.
Tingnan natin ang mga pag-andar at . Kabilang sa mga ito, isa lamang ang tumutukoy sa isang pamilya ng mga kurba. Ngayon nakita namin na ang kapalit ay nagdala ng walang alinlangan na mga benepisyo. Kaayon, tandaan namin na sa nakaraang problema, gamit ang isang katulad na kapalit, hindi ka maaaring gumawa ng isang "semi-parabola" na paglipat, ngunit isang tuwid na linya. Tingnan natin ang Fig. 4. Malinaw, kung ang abscissa ng vertex ng "semi-parabola" ay mas malaki kaysa sa isa, i.e. -3 A > 1, , kung gayon ang equation ay walang mga ugat..gif" width="89" height="29"> at may ibang katangian ng monotonicity.
Sagot. Kung ang equation ay may isang ugat; kung https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif" width="141" height="81 src=">
may mga solusyon.
Solusyon. Malinaw na ang mga direktang pamilya https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif" width="61" height="52">..jpg" width="259" height="155 " >
Ibig sabihin k1 mahahanap natin sa pamamagitan ng pagpapalit ng pares (0;0) sa unang equation ng system. Mula dito k1 =-1/4. Ibig sabihin k 2 nakukuha natin sa pamamagitan ng paghingi sa sistema
https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif" width="151" height="47"> kapag k> 0 ay may isang ugat. Mula dito k2= 1/4.
Sagot. .
Gumawa tayo ng isang puna. Sa ilang mga halimbawa ng puntong ito, kakailanganin nating lutasin ang isang karaniwang problema: para sa isang line family, hanapin ang slope nito na tumutugma sa sandali ng tangency sa curve. Ipapakita namin sa iyo kung paano ito gagawin sa pangkalahatang pananaw gamit ang derivative.
Kung (x0; y 0) = sentro ng pag-ikot, pagkatapos ay ang mga coordinate (X 1; sa 1) mga punto ng tangency sa kurba y =f(x) ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng sistema
Ang kinakailangang slope k katumbas ng .
Halimbawa 6. Para sa anong mga halaga ng parameter ang equation ay may natatanging solusyon?
Solusyon..gif" width="160" height="29 src=">..gif" width="237" height="33">, arc AB.
Ang lahat ng mga sinag na dumadaan sa pagitan ng OA at OB ay bumalandra sa arko AB sa isang punto, at bumalandra din sa arko AB OB at OM (tangent) sa isang punto..gif" width="16" height="48 src=">. Ang angular coefficient ng padaplis ay katumbas ng
Kaya, direktang mga pamilya https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif" width="139" height="52">.
Sagot. 
.
Halimbawa 7..gif" width="160" height="25 src="> may solusyon ba?
Solusyon..gif" width="61" height="24 src="> at bumababa ng . Ang punto ay ang pinakamataas na punto.
Ang function ay isang pamilya ng mga tuwid na linya na dumadaan sa puntong https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif" width="153" height="28"> ay ang arc AB. Ang straight mga linya na matatagpuan sa pagitan ng mga tuwid na linya OA at OB, matugunan ang mga kondisyon ng problema..gif" width="17" height="47 src=">.
Sagot..gif" width="15" height="20">walang solusyon.
1.3. Homothety. Compression sa isang tuwid na linya.
Halimbawa 8. Ilang solusyon mayroon ang sistema?
https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif" width="41" height="20 src="> walang solusyon ang system. Para sa isang nakapirming isang > 0 ang graph ng unang equation ay isang parisukat na may mga vertices ( A; 0), (0;-A), (-a;0), (0;A). Kaya, ang mga miyembro ng pamilya ay mga homothetic na parisukat (ang sentro ng homothety ay ang puntong O(0; 0)).
Tingnan natin ang Fig. 8..gif" width="80" height="25"> bawat gilid ng parisukat ay may dalawang karaniwang punto sa bilog, na nangangahulugang magkakaroon ang system ng walong solusyon. Kapag ang bilog ay lumabas na nakasulat sa parisukat, ibig sabihin, magkakaroon muli ng apat na solusyon .
Sagot. Kung A< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, pagkatapos ay mayroong apat na solusyon; kung , kung gayon mayroong walong solusyon.
Halimbawa 9. Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter, para sa bawat isa kung saan ang equation ay https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif" width="181" height="29 src=">. Isaalang-alang ang function na ..jpg" width="195" height="162">
Ang bilang ng mga ugat ay tumutugma sa numerong 8 kapag ang radius ng kalahating bilog ay mas malaki at mas mababa sa , ibig sabihin. Tandaan na mayroong .
Sagot. 
o .
1.4. Dalawang tuwid na linya sa isang eroplano
Mahalaga, ang ideya ng paglutas ng mga problema ng talatang ito ay batay sa tanong ng pag-aaral ng kamag-anak na posisyon ng dalawang tuwid na linya: 
At 
. Madaling ipakita ang solusyon sa problemang ito sa pangkalahatang anyo. Direkta kaming bumaling sa mga partikular na tipikal na halimbawa, na, sa aming opinyon, ay hindi makakasira sa pangkalahatang bahagi ng isyu.
Halimbawa 10. Para sa kung ano ang a at b ang sistema
https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif" width="160" height="25 src=">..gif" width="67" height="24 src="> , t..gif" width="116" height="55">
Ang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema ay tumutukoy sa isang kalahating eroplano na may hangganan sa= 2x– 1 (Larawan 10). Madaling matanto na ang resultang sistema ay may solusyon kung ang tuwid na linya ah +ni = 5 bumabagtas sa hangganan ng isang kalahating eroplano o, na kahanay nito, namamalagi sa kalahating eroplano sa– 2x + 1 < 0.
Magsimula tayo sa kaso b = 0. Pagkatapos ay tila ang equation Oh+ ni = 5 ay tumutukoy sa isang patayong linya na malinaw na nagsa-intersect sa linya y = 2X - 1. Gayunpaman, ang pahayag na ito ay totoo lamang kapag ..gif" width="43" height="20 src="> ang system ay may mga solusyon ..gif" width="99" height="48">. Sa kasong ito, ang kundisyon para sa intersection ng mga linya ay nakakamit sa , ibig sabihin, ..gif" width="52" height="48">.gif" width="41" height="20"> at , o at , o at https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24 src=">.
− Sa coordinate plane xOa bumuo tayo ng graph ng function.
− Isaalang-alang ang mga tuwid na linya at piliin ang mga agwat ng Oa axis kung saan ang mga tuwid na linyang ito ay nakakatugon sa mga sumusunod na kundisyon: a) hindi bumabagtas sa graph ng function https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0 .gif" width="69" height ="24"> sa isang punto, c) sa dalawang puntos, d) sa tatlong puntos at iba pa.
− Kung ang gawain ay upang mahanap ang mga halaga ng x, pagkatapos ay ipinapahayag namin ang x sa mga tuntunin ng a para sa bawat isa sa mga natagpuang pagitan ng halaga ng isang hiwalay.
Ang view ng isang parameter bilang isang pantay na variable ay makikita sa mga graphical na pamamaraan..jpg" width="242" height="182">
Sagot. a = 0 o a = 1.
KONGKLUSYON
Umaasa kami na ang mga nasuri na problema ay nakakumbinsi na nagpapakita ng pagiging epektibo ng mga iminungkahing pamamaraan. Gayunpaman, sa kasamaang-palad, ang saklaw ng aplikasyon ng mga pamamaraang ito ay limitado ng mga paghihirap na maaaring makaharap kapag gumagawa ng isang graphic na imahe. Ganun ba talaga kalala? Malamang hindi. Sa katunayan, sa diskarteng ito, ang pangunahing halaga ng didactic ng mga problema sa mga parameter bilang isang modelo ng miniature na pananaliksik ay higit na nawala. Gayunpaman, ang mga pagsasaalang-alang sa itaas ay tinutugunan sa mga guro, at para sa mga aplikante ang pormula ay lubos na katanggap-tanggap: ang katapusan ay nagbibigay-katwiran sa mga paraan. Bukod dito, hayaan nating sabihin na sa isang malaking bilang ng mga unibersidad, ang mga compiler ng mapagkumpitensyang mga problema na may mga parameter ay sumusunod sa landas mula sa larawan hanggang sa kondisyon.
Sa mga problemang ito, tinalakay namin ang mga posibilidad para sa paglutas ng mga problema sa isang parameter na nagbubukas sa amin kapag gumuhit kami ng mga graph ng mga function na kasama sa kaliwa at kanang bahagi ng mga equation o hindi pagkakapantay-pantay sa isang piraso ng papel. Dahil sa katotohanan na ang parameter ay maaaring kumuha ng mga arbitrary na halaga, ang isa o pareho sa mga ipinapakitang graph ay gumagalaw sa isang tiyak na paraan sa eroplano. Maaari nating sabihin na ang isang buong pamilya ng mga graph ay nakuha na naaayon sa iba't ibang mga halaga ng parameter.
Mahigpit nating bigyang-diin ang dalawang detalye.
Una, hindi namin pinag-uusapan ang isang "graphical" na solusyon. Ang lahat ng mga halaga, coordinate, mga ugat ay kinakalkula nang mahigpit, analytically, bilang mga solusyon sa kaukulang mga equation at system. Ang parehong naaangkop sa mga kaso ng pagpindot o pagtawid sa mga graph. Natutukoy ang mga ito hindi sa pamamagitan ng mata, ngunit sa tulong ng mga discriminant, derivatives at iba pang mga tool na magagamit mo. Ang larawan ay nagbibigay lamang ng solusyon.
Pangalawa, kahit na hindi ka makahanap ng anumang paraan upang malutas ang problema na nauugnay sa mga graph na ipinakita, ang iyong pag-unawa sa problema ay lalawak nang malaki, makakatanggap ka ng impormasyon para sa self-testing at ang mga pagkakataon ng tagumpay ay tataas nang malaki. Sa pamamagitan ng tumpak na pag-iisip kung ano ang nangyayari sa isang problema kung kailan iba't ibang kahulugan parameter, maaari mong mahanap ang tamang algorithm ng solusyon.
Samakatuwid, tatapusin namin ang mga salitang ito na may isang kagyat na mungkahi: kung sa kahit na ang pinaka-malayuang kumplikadong problema ay may mga pag-andar kung saan alam mo kung paano gumuhit ng mga graph, siguraduhing gawin ito, hindi mo ito pagsisisihan.
LISTAHAN NG BIBLIOGRAPIKAL
1. Cherkasov,: Handbook para sa mga mag-aaral sa high school at mga aplikante sa mga unibersidad [Text] /, . – M.: AST-PRESS, 2001. – 576 p.
2. Gorshtein, na may mga parameter [Text]: 3rd edition, pinalawak at binagong / , . – M.: Ilexa, Kharkov: Gymnasium, 1999. – 336 p.
1. Pagpapasiya ng personal na motibasyon ng mga mag-aaral. Upang ipagpatuloy ang edukasyon, para sa pagpapaunlad ng sarili at paglago ng intelektwal, kinakailangang mag-aral ng masigasig at may kamalayan at pangalagaan ang iyong kalusugan. 2. Pagkuha sa konsepto ng "parameter". Ang parameter ay isang dami na nagpapakilala sa mga pangunahing katangian ng mga pagbabago sa isang sistema o phenomenon. ( diksyunaryo ng paliwanag)
Sa mga equation (hindi pagkakapantay-pantay), ang mga coefficient ng mga hindi alam o libreng termino na tinukoy hindi ng mga tiyak na halaga ng numero, ngunit ipinahiwatig ng mga titik, ay tinatawag na mga parameter. Halimbawa: Ang paglutas ng problema sa isang parameter ay nangangahulugan, para sa bawat halaga ng parameter, hanapin ang mga halaga ng x na nakakatugon sa mga kondisyon ng problemang ito.
X y x y a > 0 a 0, (2 ugat) 0 a 0, (2 ugat)"> 0 a 0, (2 ugat)"> 0 a 0, (2 ugat)" title="x y x y a > 0 a 0, (2 ugat)"> title="x y x y a > 0 a 0, (2 ugat)"> !}
Xuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu
2. kapag ang equation ay nasa anyo, at may ugat na x = 0. 3. sa mahanap natin ang mga ugat ng equation gamit ang formula Sagot: sa walang mga ugat; na may isang ugat x =0. na may dalawang ugat 1. kaliwang bahagi Ang equation ay hindi negatibo para sa anumang halaga ng hindi kilalang x. walang solusyon. x y 0 y = isang “TINGNAN!” Paraan 1 (analytical) Paraan 2 (graphical)
Sa anong mga halaga ng parameter a ang equation ay may isang solusyon? Isulat natin ang equation sa anyong: x Bumuo tayo ng mga graph ng mga function: Sagot: a = 3 at ang gumagalaw na tuwid na linya y = a. A
Para sa anong mga halaga ng parameter a ang equation ay walang mga solusyon? x y Bumuo tayo ng graph Mula sa figure na nakikita natin at ang tuwid na linya y = a. walang solusyon. isang sagot:
(Graphical na pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa isang parameter) Ang isang problema sa isang parameter ay maaaring ituring bilang isang function f (x; a) =0 1. Bumuo ng isang graphical na imahe 2. Intersect ang resultang graph na may mga tuwid na linya parallel sa abscissa 3. "Basahin" ang kinakailangang impormasyon Solusyon scheme: !!!
3 Sagot: 1 ugat " title=" Ipahiwatig ang bilang ng mga ugat ng equation f(x) = a para sa lahat ng value ng parameter a. 1 35-2 1 x a -5 3 1 ugat, a3 Sagot: 1 ugat" class="link_thumb"> 15 !} Ipahiwatig ang bilang ng mga ugat ng equation f(x) = a para sa lahat ng mga halaga ng parameter a x isang ugat, a3 Sagot: 1 ugat para sa isang 3 2 ugat para sa a = -5, a = 3 3 ugat para sa 1 3 Sagot: 1 ugat "> 3 Sagot: 1 ugat para sa isang 3 2 ugat para sa isang = -5, a = 3 3 ugat para sa 1 3 Sagot: 1 ugat " title=" Ipahiwatig ang bilang ng mga ugat ng equation f(x) = a para sa lahat ng value ng parameter a. 1 35-2 1 x a -5 3 1 ugat, a3 Sagot: 1 ugat"> title="Ipahiwatig ang bilang ng mga ugat ng equation f(x) = a para sa lahat ng mga halaga ng parameter a. 1 35-2 1 x a -5 3 1 ugat, a3 Sagot: 1 ugat">!}
X y y Para sa anong mga halaga ng parameter a ang equation ay may dalawang ugat? x y x
1) Kapag a = 3, ang vertex ng isang tamang anggulo; Hanapin ang kabuuan ng mga halaga ng integer ng parameter a kung saan ang equation ay may tatlong ugat. Ang orihinal na equation ay katumbas ng set B, na nagpapahayag ng parameter a, nakuha natin: Mula sa figure ay malinaw na ang equation ay may tatlong ugat sa 3 kaso x a a 1 = 3 a 2 = ? at 3 = ? Pagkatapos ay a = = 5. Sagutin. 8. 2) Kapag x 4, a 2 = 5 a 3 a 3 4, a 2 = 5 a 3 a 3"> 
