Pinapayagan ka ng calculator na i-convert ang buo at fractional na mga numero mula sa isang sistema ng numero patungo sa isa pa. Ang base ng sistema ng numero ay hindi maaaring mas mababa sa 2 at higit sa 36 (10 digit at 26 Latin na titik, kung tutuusin). Ang mga numero ay hindi dapat lumampas sa 30 character. Upang magpasok ng mga fractional na numero, gamitin ang simbolo. o, . Upang i-convert ang isang numero mula sa isang system patungo sa isa pa, ilagay ang orihinal na numero sa unang field, ang base ng orihinal na sistema ng numero sa pangalawa, at ang base ng system ng numero kung saan mo gustong i-convert ang numero sa ikatlong field, pagkatapos ay i-click ang "Kumuha ng Entry" na buton.

orihinal na numero naitala sa 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 -ika na sistema ng numero.

Gusto kong makakuha ng isang talaan ng isang numero sa 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ika na sistema ng numero.

Kumuha ng entry

Nakumpleto ang mga pagsasalin: 3722471

Maaari rin itong maging interesado:

• Truth table calculator. SDNF. SKNF. Zhegalkin polynomial

Mga sistema ng numero

Ang mga sistema ng numero ay nahahati sa dalawang uri: posisyonal At hindi positional. Ginagamit namin ang Arabic system, ito ay positional, at mayroon ding Romano - ito ay hindi lamang positional. Sa mga positional system, ang posisyon ng isang digit sa isang numero ay natatanging tumutukoy sa halaga ng numerong iyon. Ito ay madaling maunawaan sa pamamagitan ng pagtingin sa halimbawa ng ilang numero.

Halimbawa 1. Kunin natin ang numerong 5921 sa sistema ng decimal na numero. Binibilang namin ang numero mula kanan hanggang kaliwa simula sa zero:

Ang numerong 5921 ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo: 5921 = 5000+900+20+1 = 5 10 3 +9 10 2 +2 10 1 +1 10 0 . Ang numero 10 ay isang katangian na tumutukoy sa sistema ng numero. Ang mga halaga ng posisyon ng ibinigay na numero ay kinuha bilang mga degree.

Halimbawa 2. Isaalang-alang ang totoong decimal na numero 1234.567. Binibilang namin ito simula sa zero na posisyon ng numero mula sa decimal point sa kaliwa at sa kanan:

Ang bilang na 1234.567 ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1 10 3 +2 10 2 +3 10 1 +4 10 0 +5 10 -1 + 6 +7 10 -3 .

Pag-convert ng mga numero mula sa isang sistema ng numero patungo sa isa pa

Ang pinakamadaling paraan upang isalin ang isang numero mula sa isang sistema ng numero patungo sa isa pa ay ang pag-convert muna ng numero sa sistema ng decimal na numero, at pagkatapos, ang resulta na nakuha sa kinakailangang sistema ng numero.

Pag-convert ng mga numero mula sa anumang sistema ng numero patungo sa sistema ng decimal na numero

Upang i-convert ang isang numero mula sa anumang sistema ng numero sa decimal, sapat na upang bilangin ang mga digit nito, simula sa zero (ang digit sa kaliwa ng decimal point) katulad ng mga halimbawa 1 o 2. Hanapin natin ang kabuuan ng mga produkto ng mga digit ng numero sa pamamagitan ng base ng sistema ng numero sa kapangyarihan ng posisyon ng digit na ito:

1. I-convert ang numero 1001101.1101 2 sa decimal number system.
Solusyon: 10011.1101 2 = 1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 +1 2 -1 +1 2 -2 +0 2 -3 +1 2 - 4 = 16+2+1+0.5 +0.25+0.0625 = 19.8125 10
Sagot: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. I-convert ang numero E8F.2D 16 sa decimal number system.
Solusyon: E8F.2D 16 = 14 16 2 +8 16 1 +15 16 0 +2 16 -1 +13 16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
Sagot: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Pag-convert ng mga numero mula sa isang decimal number system patungo sa isa pang number system

Upang i-convert ang mga numero mula sa isang decimal number system patungo sa isa pang number system, ang integer at fractional na bahagi ng numero ay dapat na isalin nang hiwalay.

Pag-convert ng integer na bahagi ng isang numero mula sa isang decimal number system patungo sa isa pang number system

Ang bahagi ng integer ay isinalin mula sa sistema ng decimal na numero patungo sa isa pang sistema ng numero sa pamamagitan ng sunud-sunod na paghahati sa integer na bahagi ng numero sa base ng sistema ng numero hanggang sa makuha ang isang natitira sa integer, mas mababa kaysa sa base ng sistema ng numero. Ang resulta ng paglipat ay isang talaan mula sa mga labi, simula sa huli.

3. I-convert ang numero 273 10 sa octal number system.
Solusyon: 273 / 8 = 34 at natitirang 1, 34 / 8 = 4 at ang natitirang 2, 4 ay mas mababa sa 8, kaya kumpleto ang pagkalkula. Ang talaan mula sa mga labi ay magiging ganito: 421
Pagsusulit: 4 8 2 +2 8 1 +1 8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , pareho ang resulta. Kaya tama ang pagsasalin.
Sagot: 273 10 = 421 8

Isaalang-alang natin ang pagsasalin ng mga tamang decimal fraction sa iba't ibang sistema ng numero.

Pag-convert ng fractional na bahagi ng isang numero mula sa isang decimal number system patungo sa isa pang number system

Alalahanin na ang wastong decimal fraction ay tunay na numero na may zero integer na bahagi. Upang isalin ang naturang numero sa isang sistema ng numero na may base N, kailangan mong patuloy na i-multiply ang numero sa N hanggang sa ma-zero ang fractional na bahagi o makuha ang kinakailangang bilang ng mga digit. Kung sa panahon ng pagpaparami ng isang numero na may isang bahagi ng integer maliban sa zero ay nakuha, kung gayon ang bahagi ng integer ay hindi na isinasaalang-alang pa, dahil ito ay sunud-sunod na ipinasok sa resulta.

4. I-convert ang numero 0.125 10 sa binary number system.
Solusyon: 0.125 2 = 0.25 (0 ang integer na bahagi, na magiging unang digit ng resulta), 0.25 2 = 0.5 (0 ang pangalawang digit ng resulta), 0.5 2 = 1.0 (1 ang ikatlong digit ng resulta , at dahil ang fractional na bahagi ay zero , kumpleto na ang pagsasalin).
Sagot: 0.125 10 = 0.001 2

Bago natin simulan ang paglutas ng mga problema, kailangan nating maunawaan ang ilang simpleng mga punto.

Isaalang-alang ang decimal na numero 875. Ang huling digit ng numero (5) ay ang natitira sa dibisyon ng numerong 875 sa pamamagitan ng 10. Ang huling dalawang numero ay bumubuo sa numerong 75 - ito ang natitira sa dibisyon ng numerong 875 sa pamamagitan ng 100. . Ang mga katulad na pahayag ay totoo para sa anumang sistema ng numero:

Ang huling digit ng isang numero ay ang natitira sa paghahati ng numerong iyon sa base ng sistema ng numero.

Ang huling dalawang digit ng isang numero ay ang natitira sa paghahati ng numero sa base ng squared number system.

Halimbawa, . Hinahati namin ang 23 sa base ng system 3, nakukuha namin ang 7 at 2 sa natitira (2 ang huling digit ng numero sa ternary system). Hatiin ang 23 sa 9 (base squared), makakakuha tayo ng 18 at 5 sa natitira (5 = ).

Bumalik tayo sa karaniwang sistema ng decimal. Numero = 100000. 10 sa kapangyarihan ng k ay isa at k zero.

Ang isang katulad na pahayag ay totoo para sa anumang sistema ng numero:

Ang batayan ng sistema ng numero sa kapangyarihan ng k sa sistema ng numero na ito ay nakasulat bilang isang yunit at mga k zero.

Halimbawa, .

1. Hanapin ang base ng sistema ng numero

Halimbawa 1

Sa isang sistema ng numero na may ilang base, ang decimal na numero 27 ay isinusulat bilang 30. Tukuyin ang base na ito.

Solusyon:

Tukuyin ang kinakailangang base x. Tapos .i.e. x=9.

Halimbawa 2

Sa isang sistema ng numero na may ilang base, ang decimal na numero 13 ay isinusulat bilang 111. Tukuyin ang base na ito.

Solusyon:

Tukuyin ang kinakailangang base x. Pagkatapos

Nalulutas namin ang quadratic equation, nakuha namin ang mga ugat 3 at -4. Dahil ang base ng sistema ng numero ay hindi maaaring negatibo, ang sagot ay 3.

Sagot: 3

Halimbawa 3

Ipahiwatig, na pinaghihiwalay ng mga kuwit, sa pataas na pagkakasunud-sunod, ang lahat ng mga base ng mga sistema ng numero kung saan ang pagpasok ng numero 29 ay nagtatapos sa 5.

Solusyon:

Kung sa ilang sistema ang numero 29 ay nagtatapos sa 5, ang bilang na binawasan ng 5 (29-5=24) ay nagtatapos sa 0. Nasabi na natin na ang numero ay nagtatapos sa 0 kapag ito ay nahahati nang walang natitira sa base ng system . Yung. kailangan nating hanapin ang lahat ng naturang numero na mga divisors ng numero 24. Ang mga numerong ito ay: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Tandaan na sa mga sistema ng numero na may base 2, 3, 4 ay walang numero 5 (at sa problema sa pagbabalangkas, ang numero 29 ay nagtatapos sa 5), ​​kaya mayroong mga sistema na may mga base: 6, 8, 12,

Sagot: 6, 8, 12, 24

Halimbawa 4

Ipahiwatig, na pinaghihiwalay ng mga kuwit, sa pataas na pagkakasunud-sunod, ang lahat ng mga base ng mga sistema ng numero kung saan ang pagpasok ng numerong 71 ay nagtatapos sa 13.

Solusyon:

Kung sa ilang sistema ang numero ay nagtatapos sa 13, kung gayon ang base ng sistemang ito ay hindi bababa sa 4 (kung hindi man ay walang numero 3).

Ang isang numero na binawasan ng 3 (71-3=68) ay nagtatapos sa 10. Ibig sabihin, Ang 68 ay ganap na nahahati ng kinakailangang base ng system, at ang quotient nito, kapag hinati sa base ng system, ay nagbibigay ng natitirang 0.

Isulat natin ang lahat ng integer divisors ng numerong 68: 2, 4, 17, 34, 68.

2 ay hindi angkop, dahil ang base ay hindi bababa sa 4. Suriin ang natitirang bahagi ng mga divisors:

68:4 = 17; 17:4 \u003d 4 (pahinga 1) - angkop

68:17 = 4; 4:17 = 0 (pahinga 4) - hindi angkop

68:34 = 2; 2:17 = 0 (pahinga 2) - hindi angkop

68:68 = 1; 1:68 = 0 (pahinga 1) - angkop

Sagot: 4, 68

2. Maghanap ng mga numero ayon sa mga kundisyon

Halimbawa 5

Ipahiwatig, na pinaghihiwalay ng kuwit, sa pataas na pagkakasunud-sunod, ang lahat ng mga decimal na numero na hindi hihigit sa 25, ang notasyon kung saan sa base apat na sistema ng numero ay nagtatapos sa 11?

Solusyon:

Una, alamin natin kung ano ang hitsura ng numero 25 sa isang sistema ng numero na may base 4.

Yung. kailangan nating hanapin ang lahat ng mga numero, hindi hihigit sa , na ang notasyon ay nagtatapos sa 11. Sa pamamagitan ng panuntunan ng sequential counting sa isang system na may base 4,
nakakakuha kami ng mga numero at . Isinasalin namin ang mga ito sa sistema ng decimal na numero:

Sagot: 5, 21

3. Solusyon ng mga equation

Halimbawa 6

Lutasin ang equation:

Isulat ang sagot sa ternary system (ang base ng number system sa sagot ay hindi kailangang isulat).

Solusyon:

I-convert natin ang lahat ng mga numero sa sistema ng decimal na numero:

Ang quadratic equation ay may mga ugat -8 at 6. (dahil ang base ng system ay hindi maaaring negatibo). .

Sagot: 20

4. Pagbibilang ng bilang ng mga isa (zero) sa binary notation ng halaga ng expression

Upang malutas ang ganitong uri ng problema, kailangan nating tandaan kung paano gumagana ang pagdaragdag at pagbabawas "sa isang hanay":

Kapag nagdadagdag, nangyayari ang bitwise na pagsusuma ng mga digit na nakasulat sa ilalim ng isa, simula sa pinakamaliit na makabuluhang mga digit. Kung ang resultang kabuuan ng dalawang digit ay mas malaki kaysa o katumbas ng base ng sistema ng numero, ang natitira sa paghahati ng halagang ito sa base ng system ay isusulat sa ilalim ng summed figure, at ang integer na bahagi ng paghahati sa halagang ito sa base ng system ay idinaragdag sa kabuuan ng mga sumusunod na digit.

Kapag binabawasan, nangyayari ang isang bit-by-bit na pagbabawas ng mga digit na nakasulat sa ilalim ng isa pa, simula sa hindi bababa sa makabuluhang mga digit. Kung ang unang digit ay mas mababa sa pangalawa, "hiram" namin ang isa mula sa katabing (mas malaking) digit. Ang yunit na inookupahan sa kasalukuyang digit ay katumbas ng base ng sistema ng numero. Sa decimal ito ay 10, sa binary ito ay 2, sa ternary ito ay 3, at iba pa.

Halimbawa 7

Ilang unit ang nakapaloob sa binary notation ng value ng expression: ?

Solusyon:

Katawanin natin ang lahat ng mga numero ng expression bilang mga kapangyarihan ng dalawa:

Sa binary notation, ang dalawa sa kapangyarihan ng n ay mukhang 1 na sinusundan ng n zero. Pagkatapos ay nagsusuma at , nakakakuha tayo ng isang numero na naglalaman ng 2 unit:

Ngayon ibawas ang 10000 mula sa resultang numero.Ayon sa mga tuntunin ng pagbabawas, humiram tayo mula sa susunod na digit.

Ngayon magdagdag ng 1 sa resultang numero:

Nakikita namin na ang resulta ay may 2013+1+1=2015 units.

Number system (English numeral system o system of numeration) - isang simbolikong paraan ng pagsulat ng mga numero, na kumakatawan sa mga numero gamit ang nakasulat na mga character

Ano ang base at base ng sistema ng numero?

Kahulugan: Ang batayan ng sistema ng numero ay ang bilang ng iba't ibang karakter o simbolo na
ay ginagamit upang kumatawan sa mga digit sa sistemang ito.
Ang anumang natural na numero ay kinuha bilang base - 2, 3, 4, 16, atbp. Ibig sabihin, may walang hanggan
maraming positional system. Halimbawa, para sa decimal system, ang base ay 10.

Ang pagtukoy sa base ay napakadali, kailangan mo lamang kalkulahin ang bilang ng mga makabuluhang digit sa system. Sa madaling salita, ito ang numero kung saan nagsisimula ang pangalawang digit ng numero. Halimbawa, ginagamit natin ang mga numerong 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Eksaktong 10 ang mga ito, kaya ang base ng ating sistema ng numero ay 10 din, at ang sistema ng numero ay tinatawag na "decimal". Ang halimbawa sa itaas ay gumagamit ng mga numero 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (auxiliary 10, 100, 1000, 10000, atbp. ay hindi binibilang). Mayroon ding 10 pangunahing digit, at ang sistema ng numero ay decimal.

System base ay ang pagkakasunod-sunod ng mga digit na ginamit sa pagsulat . Sa walang sistema ay mayroong digit na katumbas ng base ng system.

Tulad ng maaari mong hulaan, kung gaano karaming mga numero ang mayroon, maaaring mayroong maraming mga base ng mga sistema ng numero. Ngunit tanging ang pinaka-maginhawang mga base ng mga sistema ng numero ang ginagamit. Bakit sa palagay mo ang base ng pinakakaraniwang sistema ng numero ng tao ay 10? Oo, tiyak dahil mayroon tayong 10 daliri sa ating mga kamay. "Ngunit mayroon lamang limang daliri sa isang kamay," sasabihin ng ilan, at magiging tama sila. Alam ng kasaysayan ng sangkatauhan ang mga halimbawa ng five-fold number system. "At may mga binti - dalawampung daliri" - sasabihin ng iba, at magiging tama din sila. Iyon ang naisip ng mga Mayan. Makikita mo pa ito sa kanilang mga numero.

Sistema ng desimal na numero

Lahat tayo ay nakasanayan na gumamit ng mga numero at numerong pamilyar sa atin mula pagkabata kapag nagbibilang. Isa, dalawa, tatlo, apat, atbp. Sa aming pang-araw-araw na sistema ng numero, mayroon lamang sampung digit (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), kung saan binubuo namin ang anumang mga numero. Sa pag-abot sa sampu, nagdaragdag kami ng isa sa digit sa kaliwa at muling magsisimulang magbilang mula sa zero sa pinakakanang digit. Ang sistema ng numero na ito ay tinatawag na decimal.

Hindi mahirap hulaan na pinili ito ng ating mga ninuno dahil ang bilang ng mga daliri sa magkabilang kamay ay sampu. Ngunit ano ang iba pang mga sistema ng numero doon? Lagi bang ginagamit ang decimal system, o may iba pa ba?

Ang kasaysayan ng paglitaw ng mga sistema ng numero

Bago ang pag-imbento ng zero, ang mga espesyal na palatandaan ay ginamit upang magsulat ng mga numero. Ang bawat bansa ay may kanya-kanyang sarili. Sa sinaunang Roma, halimbawa, isang non-positional number system ang nangingibabaw.

Ang isang sistema ng numero ay tinatawag na non-positional kung ang halaga ng isang digit ay hindi nakadepende sa lugar na sinasakop nito. Ang pinaka-advanced na mga sistema ng numero ay itinuturing na mga sistema ng numero na ginamit sa Rus' at Sinaunang Greece.

Sa kanila, ang malalaking numero ay tinukoy ng mga titik, ngunit kasama ang pagdaragdag ng mga karagdagang palatandaan (1 - a, 100 - i, atbp.). Ang isa pang non-positional number system ay ang ginamit sa sinaunang Babylon. Sa kanilang sistema, ang mga naninirahan sa Babylon ay gumamit ng talaan ng “dalawang palapag” at tatlong palatandaan lamang: Isa sa Babylonian number system para sa isa, Sampu sa Babylonian number system para sa sampu, at Zero sa Babylonian number system para sa zero.

Mga sistema ng numero ng posisyon

Ang mga sistema ng posisyon ay naging isang hakbang pasulong. Ngayon ang decimal ay nanalo sa lahat ng dako, ngunit may iba pang mga sistema na kadalasang ginagamit sa mga inilapat na agham. Ang isang halimbawa ng naturang sistema ng numero ay ang sistema ng binary number.
Binary number system

Dito nakikipag-ugnayan ang mga computer at lahat ng electronics sa iyong tahanan. Sa sistemang ito ng numero, dalawang digit lamang ang ginagamit: 0 at 1. Itanong mo, bakit hindi posible na turuan ang isang computer na magbilang hanggang sampu, tulad ng isang tao? Ang sagot ay nasa ibabaw.

Madaling turuan ang isang makina na makilala ang dalawang karakter: on means 1, off means 0; mayroong kasalukuyang - 1, walang kasalukuyang - 0. May mga pagtatangka na gumawa ng mga makina na maaaring makilala ang mas malaking bilang ng mga digit. Ngunit lahat sila ay naging hindi mapagkakatiwalaan, ang mga computer ay palaging nalilito: alinman sa 1 ang dumating sa kanila, o 2.

Napapaligiran tayo ng maraming iba't ibang sistema ng numero. Ang bawat isa sa kanila ay kapaki-pakinabang sa sarili nitong lugar. At ang sagot sa tanong kung alin at kailan gagamitin ay nananatili sa amin.

Sa kurso ng computer science, anuman ang paaralan o unibersidad, ang isang espesyal na lugar ay ibinibigay sa isang konsepto bilang mga sistema ng numero. Bilang isang patakaran, maraming mga aralin o praktikal na pagsasanay ang inilalaan para dito. Ang pangunahing layunin ay hindi lamang upang matutunan ang mga pangunahing konsepto ng paksa, upang pag-aralan ang mga uri ng mga sistema ng numero, ngunit din upang maging pamilyar sa binary, octal at hexadecimal na arithmetic.

Ano ang ibig sabihin nito?

Magsimula tayo sa kahulugan ng pangunahing konsepto. Tulad ng tala ng aklat-aralin na "Computer Science", ang sistema ng numero ay isang talaan ng mga numero na gumagamit ng isang espesyal na alpabeto o isang tiyak na hanay ng mga numero.

Depende sa kung ang halaga ng isang digit ay nagbabago mula sa posisyon nito sa numero, dalawa ang nakikilala: positional at non-positional number system.

Sa mga positional system, nagbabago ang halaga ng isang digit sa posisyon nito sa numero. Kaya, kung kukunin natin ang numero 234, kung gayon ang numero 4 sa loob nito ay nangangahulugang mga yunit, ngunit kung isasaalang-alang natin ang numero 243, kung gayon narito na ito ay nangangahulugang sampu, hindi mga yunit.

Sa mga non-positional system, ang halaga ng isang digit ay static, anuman ang posisyon nito sa numero. Ang pinaka-kapansin-pansin na halimbawa ay ang stick system, kung saan ang bawat yunit ay ipinahiwatig ng isang gitling. Kahit saan mo italaga ang wand, ang halaga ng numero ay magbabago lamang ng isa.

Non-positional system

Ang mga non-positional number system ay kinabibilangan ng:

1. Isang solong sistema, na itinuturing na isa sa una. Gumamit ito ng mga stick sa halip na mga numero. Kung mas marami, mas malaki ang halaga ng numero. Maaari mong matugunan ang isang halimbawa ng mga numero na nakasulat sa ganitong paraan sa mga pelikula kung saan pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga taong nawala sa dagat, mga bilanggo na nagmamarka araw-araw sa tulong ng mga bingot sa isang bato o puno.
2. Roman, kung saan ginamit ang mga letrang Latin sa halip na mga numero. Gamit ang mga ito, maaari kang sumulat ng anumang numero. Kasabay nito, natukoy ang halaga nito gamit ang kabuuan at pagkakaiba ng mga digit na bumubuo sa numero. Kung mayroong isang mas maliit na numero sa kaliwa ng digit, pagkatapos ay ang kaliwang digit ay ibinawas mula sa kanan, at kung ang digit sa kanan ay mas mababa sa o katumbas ng digit sa kaliwa, pagkatapos ay ang kanilang mga halaga ay summed pataas. Halimbawa, ang bilang na 11 ay isinulat bilang XI, at 9 - IX.
3. Mga titik, kung saan ang mga numero ay tinukoy gamit ang alpabeto ng isang partikular na wika. Ang isa sa mga ito ay ang Slavic system, kung saan ang isang bilang ng mga titik ay hindi lamang isang phonetic, kundi isang numerical na halaga.
4. kung saan dalawang pagtatalaga lamang ang ginamit para sa pag-record - mga wedge at arrow.
5. Sa Egypt, masyadong, ang mga espesyal na simbolo ay ginamit upang tukuyin ang mga numero. Kapag nagsusulat ng isang numero, ang bawat karakter ay maaaring gamitin nang hindi hihigit sa siyam na beses.

Mga sistema ng posisyon

Malaking pansin ang binabayaran sa computer science sa mga positional number system. Kabilang dito ang mga sumusunod:

• binary;
• octal;
• decimal;
• hexadecimal;
• sexagesimal, ginagamit kapag nagbibilang ng oras (halimbawa, sa isang minuto - 60 segundo, sa isang oras - 60 minuto).

Ang bawat isa sa kanila ay may sariling alpabeto para sa pagsusulat, mga panuntunan sa pagsasalin at mga operasyon sa aritmetika.

Decimal system

Ang sistemang ito ang pinakapamilyar sa atin. Gumagamit ito ng mga numero mula 0 hanggang 9 upang magsulat ng mga numero. Tinatawag din silang Arabic. Depende sa posisyon ng digit sa numero, maaari itong magpahiwatig ng iba't ibang mga digit - mga yunit, sampu, daan-daan, libo-libo o milyon-milyon. Ginagamit namin ito kahit saan, alam namin ang mga pangunahing panuntunan kung saan isinasagawa ang mga operasyon ng aritmetika sa mga numero.

Binary system

Ang isa sa mga pangunahing sistema ng numero sa computer science ay binary. Ang pagiging simple nito ay nagpapahintulot sa computer na magsagawa ng masalimuot na mga kalkulasyon nang maraming beses nang mas mabilis kaysa sa decimal system.

Upang magsulat ng mga numero, dalawang digit lamang ang ginagamit - 0 at 1. Kasabay nito, depende sa posisyon ng 0 o 1 sa numero, magbabago ang halaga nito.

Sa una, ito ay sa tulong ng mga computer na natanggap nila ang lahat ng kinakailangang impormasyon. Kasabay nito, ang isa ay nangangahulugan ng pagkakaroon ng isang signal na ipinadala gamit ang boltahe, at ang zero ay nangangahulugan ng kawalan nito.

Octal system

Isa pang kilalang computer number system, na gumagamit ng mga numero mula 0 hanggang 7. Ginamit ito pangunahin sa mga lugar ng kaalaman na nauugnay sa mga digital device. Ngunit kamakailan lamang ay hindi gaanong madalas itong gamitin, dahil pinalitan ito ng sistema ng numerong hexadecimal.

Binary Decimal

Ang kumakatawan sa malalaking numero sa binary system para sa isang tao ay isang medyo kumplikadong proseso. Upang gawing simple ito, ito ay binuo.Karaniwang ginagamit ito sa mga elektronikong relo, mga calculator. Sa sistemang ito, hindi ang buong numero ay na-convert mula sa decimal system patungo sa binary, ngunit ang bawat digit ay isinasalin sa kaukulang hanay ng mga zero at isa sa binary system. Ang parehong napupunta para sa pag-convert mula sa binary sa decimal. Ang bawat digit, na kinakatawan bilang isang apat na digit na hanay ng mga zero at isa, ay isinasalin sa isang digit sa sistema ng decimal na numero. Sa prinsipyo, walang kumplikado.

Upang gumana sa mga numero, sa kasong ito, ang isang talahanayan ng mga sistema ng numero ay kapaki-pakinabang, na magsasaad ng pagsusulatan sa pagitan ng mga numero at ng kanilang binary code.

Hexadecimal system

Kamakailan, ang sistema ng hexadecimal na numero ay lalong naging popular sa programming at computer science. Gumagamit ito ng hindi lamang mga numero mula 0 hanggang 9, kundi pati na rin ang isang bilang ng mga Latin na titik - A, B, C, D, E, F.

Kasabay nito, ang bawat isa sa mga titik ay may sariling kahulugan, kaya A=10, B=11, C=12 at iba pa. Ang bawat numero ay kinakatawan bilang isang set ng apat na character: 001F.

Pag-convert ng numero: mula decimal hanggang binary

Ang pagsasalin sa mga sistema ng numero ay nangyayari ayon sa ilang mga patakaran. Ang pinakakaraniwang conversion ay mula sa binary hanggang decimal at vice versa.

Upang ma-convert ang isang numero mula sa decimal patungo sa binary, kinakailangan na palagiang hatiin ito sa base ng sistema ng numero, iyon ay, ang numerong dalawa. Sa kasong ito, ang natitira sa bawat dibisyon ay dapat na maayos. Ito ay magpapatuloy hanggang ang natitirang bahagi ng dibisyon ay mas mababa sa o katumbas ng isa. Pinakamabuting magsagawa ng mga kalkulasyon sa isang hanay. Pagkatapos, ang mga natitirang bahagi ng paghahati ay isusulat sa string sa reverse order.

Halimbawa, i-convert natin ang numero 9 sa binary:

Hinahati namin ang 9, dahil ang numero ay hindi pantay na nahahati, pagkatapos ay kinuha namin ang numero 8, ang natitira ay magiging 9 - 1 = 1.

Pagkatapos hatiin ang 8 sa 2, makakakuha tayo ng 4. Muli nating hinati, dahil ang numero ay nahahati sa dalawa - nakakakuha tayo ng 4 - 4 = 0 sa natitira.

Isinasagawa namin ang parehong operasyon na may 2. Ang natitira ay 0.

Bilang resulta ng paghahati, nakakakuha tayo ng 1.

Anuman ang panghuling sistema ng numero, ang paglipat ng mga numero mula sa decimal patungo sa anumang iba ay magaganap ayon sa prinsipyo ng paghahati ng numero sa batayan ng positional system.

Pag-convert ng numero: mula sa binary hanggang decimal

Napakadaling i-convert ang mga numero sa decimal mula sa binary. Upang gawin ito, sapat na malaman ang mga patakaran para sa pagpapataas ng mga numero sa isang kapangyarihan. Sa kasong ito, sa isang kapangyarihan ng dalawa.

Ang algorithm ng pagsasalin ay ang mga sumusunod: ang bawat digit mula sa binary number code ay dapat na i-multiply ng dalawa, at ang unang dalawa ay magiging kapangyarihan ng m-1, ang pangalawa - m-2, at iba pa, kung saan ang m ay ang numero. ng mga digit sa code. Pagkatapos ay idagdag ang mga resulta ng karagdagan, pagkuha ng isang integer.

Para sa mga mag-aaral, ang algorithm na ito ay maaaring ipaliwanag nang mas simple:

Upang magsimula, kinukuha namin at isulat ang bawat digit na pinarami ng dalawa, pagkatapos ay ibinaba namin ang kapangyarihan ng dalawa mula sa dulo, simula sa zero. Pagkatapos ay idagdag ang resultang numero.

Halimbawa, pag-aralan natin kasama mo ang numerong 1001 na nakuha nang mas maaga, i-convert ito sa decimal system, at sa parehong oras suriin ang kawastuhan ng aming mga kalkulasyon.

Magiging ganito ang hitsura:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Kapag pinag-aaralan ang paksang ito, maginhawang gumamit ng talahanayan na may dalawang kapangyarihan. Ito ay makabuluhang bawasan ang dami ng oras na kinakailangan para sa mga kalkulasyon.

Iba pang mga opsyon sa pagsasalin

Sa ilang mga kaso, maaaring isagawa ang pagsasalin sa pagitan ng binary at octal, binary at hexadecimal. Sa kasong ito, maaari kang gumamit ng mga espesyal na talahanayan o patakbuhin ang application ng calculator sa iyong computer sa pamamagitan ng pagpili sa opsyong "Programmer" sa tab na view.

Mga operasyon sa aritmetika

Anuman ang anyo kung saan kinakatawan ang numero, posible na magsagawa ng mga kalkulasyon na pamilyar sa amin dito. Ito ay maaaring paghahati at pagpaparami, pagbabawas at pagdaragdag sa sistema ng numero na iyong pinili. Siyempre, ang bawat isa sa kanila ay may sariling mga patakaran.

Kaya para sa binary system na binuo ng sarili nitong mga talahanayan para sa bawat isa sa mga operasyon. Ang parehong mga talahanayan ay ginagamit sa iba pang mga positional system.

Hindi kinakailangang kabisaduhin ang mga ito - i-print lamang at nasa kamay. Maaari mo ring gamitin ang calculator sa iyong PC.

Isa sa mga pinakamahalagang paksa sa computer science ay ang sistema ng numero. Ang pag-alam sa paksang ito, ang pag-unawa sa mga algorithm para sa pagsasalin ng mga numero mula sa isang system patungo sa isa pa ay isang garantiya na mauunawaan mo ang mas kumplikadong mga paksa, tulad ng algorithmization at programming, at magagawa mong isulat ang iyong unang programa nang mag-isa.

I-convert sa decimal number system

Ehersisyo 1. Anong numero sa sistema ng decimal na numero ang tumutugma sa numerong 24 16?

Solusyon.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

Sagot. 24 16 = 36 10

Gawain 2. Nabatid na X = 12 4 + 4 5 + 101 2 . Ano ang numero X sa decimal notation?

Solusyon.

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Hanapin ang numero: X = 6 + 4 + 5 = 15

Sagot. X = 15 10

Gawain 3. Kalkulahin ang halaga ng kabuuan 10 2 + 45 8 + 10 16 sa decimal notation.

Solusyon.

Isalin natin ang bawat termino sa sistema ng decimal na numero:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Ang kabuuan ay: 2 + 37 + 16 = 55

I-convert sa binary number system

Ehersisyo 1. Ano ang numero 37 sa binary number system?

Solusyon.

Maaari kang mag-convert sa pamamagitan ng paghahati sa 2 at pagsasama-sama ng mga natitira sa reverse order.

Ang isa pang paraan ay upang palawakin ang numero sa kabuuan ng mga kapangyarihan ng dalawa, simula sa pinakamataas, ang kinakalkula na resulta ay mas mababa sa ibinigay na numero. Kapag nagko-convert, ang mga nawawalang kapangyarihan ng isang numero ay dapat mapalitan ng mga zero:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

Sagot. 37 10 = 100101 2 .

Gawain 2. Ilang makabuluhang zero ang nasa binary na representasyon ng decimal na numero 73?

Solusyon.

Binubulok namin ang bilang na 73 sa kabuuan ng mga kapangyarihan ng dalawa, simula sa pinakamataas at pagpaparami ng mga nawawalang kapangyarihan sa mga zero, at ang umiiral na mga kapangyarihan sa pamamagitan ng isa:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

Sagot. Mayroong apat na makabuluhang zero sa binary notation para sa decimal na numero 73.

Gawain 3. Kalkulahin ang kabuuan ng x at y para sa x = D2 16 , y = 37 8 . Ipakita ang resulta sa binary number system.

Solusyon.

Alalahanin na ang bawat digit ng isang hexadecimal na numero ay binubuo ng apat na binary digit, ang bawat digit ng isang octal na numero ay tatlo:

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

Idagdag natin ang mga numero:

11010010 11111 -------- 11110001

Sagot. Ang kabuuan ng mga numero D2 16 at y = 37 8 , na kinakatawan sa binary system, ay 11110001.

Gawain 4. Ibinigay: a= D7 16 , b= 331 8 . Alin sa mga numero c, na nakasulat sa binary notation, ay nakakatugon sa kundisyon a< c < b ?

1. 11011001
2. 11011100
3. 11010111
4. 11011000

Solusyon.

I-convert natin ang mga numero sa binary number system:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

Ang unang apat na digit para sa lahat ng mga numero ay pareho (1101). Samakatuwid, ang paghahambing ay pinasimple sa isang paghahambing ng hindi bababa sa makabuluhang apat na digit.

Ang unang numero sa listahan ay ang numero b, samakatuwid, ay hindi magkasya.

Ang pangalawang numero ay mas malaki kaysa sa b. Ang pangatlong numero ay a.

Ang pang-apat na numero lang ang akma: 0111< 1000 < 1001.

Sagot. Ang ikaapat na opsyon (11011000) ay nakakatugon sa kundisyon a< c < b .

Mga gawain para sa pagtukoy ng mga halaga sa iba't ibang mga sistema ng numero at ang kanilang mga base

Ehersisyo 1. Ang mga character na @, $, &, % ay naka-encode sa dalawang-digit na magkakasunod na binary na numero. Ang unang character ay tumutugma sa numerong 00. Gamit ang mga character na ito, ang sumusunod na pagkakasunod-sunod ay na-encode: $%&&@$. I-decode ang sequence na ito at i-convert ang resulta sa hexadecimal.

Solusyon.

1. Ihambing natin ang mga binary na numero sa mga character na kanilang na-encode:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. Isalin natin ang binary number sa hexadecimal number system:
0111 1010 0001 = 7A1

Sagot. 7A1 16 .

Gawain 2. Mayroong 100 x na puno ng prutas sa hardin, kung saan 33 x ay puno ng mansanas, 22 x ay peras, 16 x ay plum, 17 x ay seresa. Ano ang batayan ng sistema ng numero (x).

Solusyon.

1. Tandaan na ang lahat ng mga termino ay dalawang-digit na numero. Sa anumang sistema ng numero, maaari silang katawanin tulad ng sumusunod:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, kung saan ang a at b ay ang mga digit ng mga katumbas na digit ng numero.
Para sa tatlong digit na numero ito ay magiging ganito:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. Ang kondisyon ng problema ay ang mga sumusunod:
33x + 22x + 16x + 17x = 100x
Palitan ang mga numero sa mga formula:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x2

3. Lutasin ang quadratic equation:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 - 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Ang square root ng D ay 11.
Ang mga ugat ng quadratic equation:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 o x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Ang isang negatibong numero ay hindi maaaring maging batayan ng sistema ng numero. Kaya ang x ay maaari lamang maging katumbas ng 9.

Sagot. Ang nais na base ng sistema ng numero ay 9.

Gawain 3. Sa isang sistema ng numero na may ilang base, ang decimal na numero 12 ay isinusulat bilang 110. Hanapin ang base na ito.

Solusyon.

Una, isulat natin ang numerong 110 sa pamamagitan ng pormula para sa pagsusulat ng mga numero sa mga positional number system upang mahanap ang halaga sa decimal number system, at pagkatapos ay hanapin ang base sa pamamagitan ng brute force.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

Kailangan nating makakuha ng 12. Subukan natin ang 2: 2 2 + 2 = 6. Subukan natin ang 3: 3 2 + 3 = 12.

Kaya ang base ng sistema ng numero ay 3.

Sagot. Ang nais na base ng sistema ng numero ay 3.

Gawain 4. Sa anong sistema ng numero ire-represent ang decimal na numero 173 bilang 445?

Solusyon.
Tinutukoy namin ang hindi kilalang base sa pamamagitan ng X. Isinulat namin ang sumusunod na equation:
173 10 \u003d 4 * X 2 + 4 * X 1 + 5 * X 0
Dahil ang anumang positibong numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng 1, muling isusulat namin ang equation (base 10 ay hindi ipahiwatig).
173 = 4*X 2 + 4*X + 5
Siyempre, ang naturang quadratic equation ay maaaring malutas gamit ang discriminant, ngunit mayroong isang mas simpleng solusyon. Ibawas mula sa kanan at kaliwang bahagi ng 4. Nakukuha namin
169 \u003d 4 * X 2 + 4 * X + 1 o 13 2 \u003d (2 * X + 1) 2
Mula dito nakakakuha kami ng 2 * X + 1 \u003d 13 (tinatapon namin ang negatibong ugat). O X = 6.
Sagot: 173 10 = 445 6

Mga gawain para sa paghahanap ng ilang base ng mga sistema ng numero

Mayroong isang pangkat ng mga gawain kung saan kinakailangan na ilista (sa pataas o pababang pagkakasunud-sunod) ang lahat ng mga base ng mga sistema ng numero kung saan ang representasyon ng isang ibinigay na numero ay nagtatapos sa isang naibigay na digit. Ang gawaing ito ay nalutas nang simple. Una kailangan mong ibawas ang ibinigay na digit mula sa orihinal na numero. Ang resultang numero ang magiging unang base ng sistema ng numero. At lahat ng iba pang base ay maaari lamang maging mga divisors ng numerong ito. (Ang pahayag na ito ay pinatunayan batay sa panuntunan para sa paglilipat ng mga numero mula sa isang sistema ng numero patungo sa isa pa - tingnan ang aytem 4). Basta tandaan mo yan ang base ng sistema ng numero ay hindi maaaring mas mababa sa ibinigay na digit!

Halimbawa
Ipahiwatig, na pinaghihiwalay ng mga kuwit, sa pataas na pagkakasunud-sunod, ang lahat ng mga base ng mga sistema ng numero kung saan ang pagpasok ng numero 24 ay nagtatapos sa 3.

Solusyon
24 - 3 \u003d 21 ang unang base (13 21 \u003d 13 * 21 1 + 3 * 21 0 \u003d 24).
Ang 21 ay nahahati sa 3 at 7. Ang bilang 3 ay hindi angkop, dahil Walang 3 sa base 3 number system.
Sagot: 7, 21