Ang paksang "Inscribed at circumscribed circles in triangles" ay isa sa pinakamahirap sa kursong geometry. Napakakaunting oras niya sa klase.

Ang mga geometriko na problema ng paksang ito ay kasama sa ikalawang bahagi ng pagsusulit Gawain ng Pinag-isang Estado na Pagsusuri para sa kursong high school. Ang matagumpay na pagkumpleto ng mga gawaing ito ay nangangailangan ng matatag na kaalaman sa mga pangunahing geometriko na katotohanan at ilang karanasan sa paglutas mga problemang geometriko.
Para sa bawat tatsulok mayroon lamang isang circumcircle. Ito ay isang bilog kung saan nakahiga ang lahat ng tatlong vertice ng isang tatsulok na may ibinigay na mga parameter. Ang paghahanap ng radius nito ay maaaring kailanganin hindi lamang sa isang aralin sa geometry. Ang mga taga-disenyo, pamutol, mekaniko at kinatawan ng maraming iba pang mga propesyon ay kailangang patuloy na harapin ito. Upang mahanap ang radius nito, kailangan mong malaman ang mga parameter ng tatsulok at mga katangian nito. Ang gitna ng circumcircle ay nasa punto ng intersection ng patayo bisectors ng tatsulok.
Dinadala ko sa iyong pansin ang lahat ng mga formula para sa paghahanap ng radius ng isang circumscribed na bilog at hindi lamang isang tatsulok. Maaaring tingnan ang mga formula para sa naka-inscribe na bilog.

a, b. kasama si - gilid ng tatsulok

α - kabaligtaran angguloa,
S-lugar ng isang tatsulok,

p- semi-perimeter

Pagkatapos ay upang mahanap ang radius ( R) ng circumcircle gamit ang mga formula:

Sa turn, ang lugar ng tatsulok ay maaaring kalkulahin gamit ang isa sa mga sumusunod na formula:

Narito ang ilan pang mga formula.

1. Ang radius ng circumscribed circle sa paligid ng equilateral triangle. Kung a gilid ng tatsulok noon

2. Ang radius ng circumscribed circle tungkol sa isosceles triangle. Hayaan a, b- mga gilid ng tatsulok, pagkatapos

Sa modernong mechanical engineering, maraming mga elemento at ekstrang bahagi ang ginagamit, na may parehong panlabas at panloob na mga bilog sa kanilang istraktura. Ang pinaka-kapansin-pansin na mga halimbawa ay ang mga pabahay ng tindig, mga bahagi ng makina, hub assemblies at marami pang iba. Sa kanilang produksyon, hindi lamang mga high-tech na device ang ginagamit, kundi pati na rin ang kaalaman mula sa geometry, sa partikular na impormasyon tungkol sa mga bilog ng isang tatsulok. Makikilala natin ang kaalamang ito nang mas detalyado sa ibaba.

Aling bilog ang naka-inscribe at alin ang naka-circumscribe?

Una sa lahat, tandaan na ang isang bilog ay isang walang hanggan set ng mga puntos sa pantay na distansya mula sa gitna. Kung sa loob ng isang polygon posible na bumuo ng isang bilog na mayroon lamang isang karaniwang intersection point sa bawat panig, kung gayon ito ay tatawaging inscribed. Ang isang circumscribed na bilog (hindi isang bilog, ito ay iba't ibang mga konsepto) ay isang geometric na locus ng mga punto na ang itinayong figure na may isang binigay na polygon ay may mga karaniwang punto lamang sa mga vertices ng polygon. Kilalanin natin ang dalawang konsepto na ito nang mas detalyado. malinaw na halimbawa(Tingnan ang Larawan 1.).

Figure 1. Inscribed at circumscribed na bilog ng isang tatsulok

Sa imahe, ang dalawang figure ng malaki at maliit na diameter ay itinayo, ang mga sentro nito ay G at I. Ang bilog na may mas malaking halaga ay tinatawag na circumscribed circle Δ ABC, at ang maliit, sa kabaligtaran, ay nakasulat sa Δ ABC.

Upang mailarawan ang paligid sa paligid ng isang tatsulok, ito ay kinakailangan gumuhit ng patayo na linya sa gitna ng bawat panig(i.e. sa isang anggulo ng 90°) ay ang punto ng intersection, ito ay gumaganap pangunahing tungkulin. Ito ang magiging sentro ng circumscribed na bilog. Bago makahanap ng isang bilog, ang sentro nito sa isang tatsulok, kailangan mong bumuo para sa bawat anggulo, at pagkatapos ay piliin ang punto ng intersection ng mga linya. Ito naman, ang magiging sentro ng inscribed na kapitbahayan, at ang radius nito sa ilalim ng anumang kundisyon ay magiging patayo sa alinman sa mga gilid.

Sa tanong na: "Ilan ang mga naka-inscribe na bilog para sa isang polygon na may tatlo?" Sagutin natin kaagad na ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa anumang tatsulok, at isa lamang. Dahil mayroon lamang isang punto ng intersection ng lahat ng bisectors at isang punto ng intersection ng mga perpendicular na nagmumula sa mga midpoint ng mga gilid.

Pag-aari ng bilog kung saan nabibilang ang mga vertex ng isang tatsulok

Ang circumscribed na bilog, na depende sa haba ng mga gilid sa base, ay may sariling mga katangian. Ipahiwatig natin ang mga katangian ng circumscribed na bilog:

Upang mas malinaw na maunawaan ang prinsipyo ng circumscribed circle, malulutas namin simpleng gawain. Ipagpalagay natin na binigyan tayo ng isang tatsulok Δ ABC, ang mga gilid nito ay 10, 15 at 8.5 cm Ang radius ng circumscribed na bilog sa paligid ng tatsulok (FB) ay 7.9 cm ang lugar ng tatsulok.

Figure 2. Paghahanap ng radius ng isang bilog gamit ang ratio ng mga gilid at sine ng mga anggulo

Solusyon: batay sa naunang nakasaad na theorem ng sines, nakita namin ang halaga ng sine ng bawat anggulo nang hiwalay. Sa kondisyon, alam na ang gilid ng AB ay 10 cm Kalkulahin natin ang halaga ng C:

Gamit ang mga halaga ng talahanayan ng Bradis, nalaman namin iyon sukat ng antas ang anggulo C ay 39°. Gamit ang parehong paraan, mahahanap natin ang natitirang mga sukat ng mga anggulo:

Paano natin malalaman na ang CAB = 33°, at ABC = 108°. Ngayon, alam ang mga halaga ng mga sine ng bawat isa sa mga anggulo at radius, hanapin natin ang lugar sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga nahanap na halaga:

Sagot: Ang lugar ng tatsulok ay 40.31 cm², at ang mga anggulo ay 33°, 108° at 39°, ayon sa pagkakabanggit.

Mahalaga! Kapag nilulutas ang mga problema sa ganitong uri, magiging kapaki-pakinabang na palaging mayroong mga talahanayan ng Bradis o isang kaukulang application sa iyong smartphone, dahil maaaring magtagal ang manu-manong proseso. Gayundin, upang makatipid ng mas maraming oras, hindi kinakailangan na buuin ang lahat ng tatlong midpoint ng patayo o tatlong bisector. Anumang ikatlong bahagi ng mga ito ay palaging magsa-intersect sa punto ng intersection ng unang dalawa. At para sa isang orthodox construction, ang pangatlo ay karaniwang nakumpleto. Marahil ito ay mali sa mga tuntunin ng algorithm, ngunit sa Unified State Exam o iba pang mga pagsusulit ay nakakatipid ito ng maraming oras.

Kinakalkula ang radius ng isang naka-inscribe na bilog

Ang lahat ng mga punto ng isang bilog ay pantay na layo mula sa sentro nito sa parehong distansya. Ang haba ng segment na ito (mula at hanggang) ay tinatawag na radius. Depende sa kung anong uri ng kapaligiran mayroon tayo, mayroong dalawang uri - panloob at panlabas. Ang bawat isa sa kanila ay kinakalkula gamit ang sarili nitong formula at direktang nauugnay sa pagkalkula ng mga parameter tulad ng:

• parisukat;
• sukat ng antas ng bawat anggulo;
• haba ng gilid at perimeter.

Figure 3. Lokasyon ng inscribed na bilog sa loob ng tatsulok

Maaari mong kalkulahin ang haba ng distansya mula sa gitna hanggang sa punto ng kontak sa magkabilang panig sa mga sumusunod na paraan: h sa pamamagitan ng mga gilid, gilid at sulok(para sa isang isosceles triangle).

Gamit ang isang semi-perimeter

Ang semiperimeter ay kalahati ng kabuuan ng mga haba ng lahat ng panig. Ang pamamaraang ito ay itinuturing na pinakasikat at unibersal, dahil kahit anong uri ng tatsulok ang ibinigay ayon sa kondisyon, ito ay angkop para sa lahat. Ang pamamaraan ng pagkalkula ay ang mga sumusunod:

Kung bibigyan ng "tama"

Isa sa mga maliit na bentahe ng "ideal" na tatsulok ay iyon ang inscribed at circumscribed na mga bilog ay may sentro sa parehong punto. Ito ay maginhawa kapag gumagawa ng mga figure. Gayunpaman, sa 80% ng mga kaso ang sagot ay "pangit." Ang ibig sabihin dito ay napakabihirang ang radius ng inscribed na kapitbahayan ay magiging buo, sa halip ang kabaligtaran. Para sa pinasimpleng pagkalkula, gamitin ang formula para sa radius ng inscribed na bilog sa isang tatsulok:

Kung magkapareho ang haba ng mga gilid

Isa sa mga subtype ng mga gawain para sa estado. Ang mga pagsusulit ay upang mahanap ang radius ng nakasulat na bilog ng isang tatsulok, ang dalawang panig nito ay pantay sa isa't isa at ang pangatlo ay hindi. Sa kasong ito, inirerekomenda namin ang paggamit ng algorithm na ito, na makabuluhang makakatipid ng oras sa paghahanap para sa diameter ng naka-inscribe na rehiyon. Ang radius ng isang nakasulat na bilog sa isang tatsulok na may pantay na "mga gilid" ay kinakalkula ng formula:

Magpapakita kami ng mas malinaw na aplikasyon ng mga formula na ito sa sumusunod na problema. Magkaroon tayo ng isang tatsulok (Δ HJI), kung saan ang kapitbahayan ay nakasulat sa punto K. Ang haba ng gilid HJ = 16 cm, JI = 9.5 cm at gilid HI ay 19 cm (Figure 4). Hanapin ang radius ng inscribed na kapitbahayan, alam ang mga gilid.

Figure 4. Paghahanap ng halaga ng radius ng inscribed na bilog

Solusyon: upang mahanap ang radius ng inscribed na kapaligiran, nakita namin ang semi-perimeter:

Mula dito, alam ang mekanismo ng pagkalkula, nalaman namin ang sumusunod na halaga. Upang gawin ito, kakailanganin mo ang mga haba ng bawat panig (ibinigay ayon sa kondisyon), pati na rin ang kalahati ng perimeter, lumiliko ito:

Ito ay sumusunod na ang kinakailangang radius ay 3.63 cm Ayon sa kondisyon, ang lahat ng panig ay pantay, kung gayon ang nais na radius ay magiging katumbas ng:

Sa kondisyon na ang polygon ay isosceles (halimbawa, i = h = 10 cm, j = 8 cm), ang diameter ng panloob na bilog na nakasentro sa punto K ay magiging katumbas ng:

Ang problema ay maaaring maglaman ng isang tatsulok na may isang anggulo ng 90 ° sa kasong ito, hindi na kailangang kabisaduhin ang formula. Ang hypotenuse ng tatsulok ay magiging katumbas ng diameter. Mukhang mas malinaw na ganito:

Mahalaga! Kung ang gawain ay upang mahanap ang panloob na radius, hindi namin inirerekumenda ang pagsasagawa ng mga kalkulasyon gamit ang mga halaga ng mga sine at cosine ng mga anggulo, ang halaga ng talahanayan na kung saan ay hindi tiyak na kilala. Kung imposibleng malaman ang haba kung hindi man, huwag subukang "hilahin" ang halaga mula sa ilalim ng ugat. Sa 40% ng mga problema, ang magreresultang halaga ay magiging transendental (i.e. infinite), at maaaring hindi mabilang ng komisyon ang sagot (kahit na ito ay tama) dahil sa kamalian nito o hindi regular na hugis mga pagsusumite. Espesyal na atensyon Bigyang-pansin kung paano maaaring baguhin ang formula para sa circumradius ng isang tatsulok depende sa iminungkahing data. Ang ganitong mga "blangko" ay nagbibigay-daan sa iyo upang "makita" ang sitwasyon para sa paglutas ng isang problema nang maaga at piliin ang pinaka-matipid na solusyon.

Inner circle radius at lugar

Upang kalkulahin ang lugar ng isang tatsulok na nakasulat sa isang bilog, gamitin lamang radius at haba ng gilid ng polygon:

Kung ang pahayag ng problema ay hindi direktang nagbibigay ng halaga ng radius, ngunit ang lugar lamang, kung gayon ang ipinahiwatig na formula ng lugar ay binago sa sumusunod:

Isaalang-alang natin ang epekto ng huling formula sa higit pa tiyak na halimbawa. Ipagpalagay na binigyan tayo ng isang tatsulok kung saan ang kapitbahayan ay nakasulat. Ang lugar ng kapitbahayan ay 4π, at ang mga gilid ay 4, 5 at 6 cm, ayon sa pagkakabanggit.

Gamit ang algorithm sa itaas, kinakalkula namin ang lugar ng tatsulok sa pamamagitan ng radius ng inscribed na bilog:

Dahil sa ang katunayan na ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa anumang tatsulok, ang bilang ng mga pagkakaiba-iba sa paghahanap ng lugar ay tumataas nang malaki. Yung. Ang paghahanap ng lugar ng isang tatsulok ay nangangailangan ng pag-alam sa haba ng bawat panig, pati na rin ang halaga ng radius.

Triangle na nakasulat sa isang bilog na geometry grade 7

Mga kanang tatsulok na nakasulat sa isang bilog

Konklusyon

Mula sa mga formula na ito maaari kang makatitiyak na ang pagiging kumplikado ng anumang problema sa paggamit ng mga naka-inscribe at circumscribed na bilog ay nakasalalay lamang sa mga karagdagang pagkilos upang mahanap ang mga kinakailangang halaga. Ang mga problema ng ganitong uri ay nangangailangan lamang ng isang masusing pag-unawa sa kakanyahan ng mga formula, pati na rin ang katwiran ng kanilang aplikasyon. Mula sa pagsasanay ng paglutas, tandaan namin na sa hinaharap ang gitna ng circumscribed na bilog ay lilitaw sa karagdagang mga paksa ng geometry, kaya hindi ito dapat gamitin. Kung hindi, ang solusyon ay maaaring maantala gamit ang mga hindi kinakailangang galaw at lohikal na konklusyon.

Paano mahahanap ang radius ng isang bilog? Ang tanong na ito ay palaging may kaugnayan para sa mga mag-aaral na nag-aaral ng planimetry. Sa ibaba ay titingnan natin ang ilang mga halimbawa kung paano mo makakayanan ang gawaing ito.

Depende sa mga kondisyon ng problema, maaari mong mahanap ang radius ng bilog tulad nito.

Formula 1: R = L / 2π, kung saan ang L ay at ang π ay pare-parehong katumbas ng 3.141...

Formula 2: R = √(S / π), kung saan ang S ay ang lugar ng bilog.

Formula 1: R = B/2, kung saan ang B ay ang hypotenuse.

Formula 2: R = M*B, kung saan ang B ay ang hypotenuse, at ang M ay ang median na iginuhit dito.

Paano mahahanap ang radius ng isang bilog kung ito ay nakapaligid sa isang regular na polygon

Formula: R = A / (2 * sin (360/(2*n))), kung saan ang A ay ang haba ng isa sa mga gilid ng figure, at n ang bilang ng mga gilid sa geometric figure na ito.

Paano mahanap ang radius ng isang inscribed na bilog

Tinatawag ang isang naka-inscribe na bilog kapag nahawakan nito ang lahat ng panig ng polygon. Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Formula 1: R = S / (P/2), kung saan - S at P ay ang lugar at perimeter ng figure, ayon sa pagkakabanggit.

Formula 2: R = (P/2 - A) * tg (a/2), kung saan ang P ay ang perimeter, A ay ang haba ng isa sa mga gilid, at ang anggulo sa tapat ng panig na ito.

Paano mahahanap ang radius ng isang bilog kung ito ay nakasulat sa isang tamang tatsulok

Formula 1:

Ang radius ng isang bilog na nakasulat sa isang rhombus

Ang bilog ay maaaring nakasulat sa anumang rhombus, parehong equilateral at hindi pantay.

Formula 1: R = 2 * H, kung saan ang H ay ang taas ng geometric figure.

Formula 2: R = S / (A*2), kung saan ang S ay at ang A ay ang haba ng gilid nito.

Formula 3: R = √((S * sin A)/4), kung saan ang S ay ang lugar ng rhombus, at ang sin A ay ang sine ng acute angle ng geometric figure na ito.

Formula 4: R = B*G/(√(B² + G²), kung saan ang B at G ay ang mga haba ng mga diagonal ng geometric figure.

Formula 5: R = B*sin (A/2), kung saan ang B ay ang dayagonal ng rhombus, at ang A ay ang anggulo sa mga vertices na nagkokonekta sa dayagonal.

Ang radius ng isang bilog na nakasulat sa isang tatsulok

Kung sa pahayag ng problema ay binibigyan ka ng mga haba ng lahat ng panig ng figure, pagkatapos ay kalkulahin muna ang (P), at pagkatapos ay ang semi-perimeter (p):

P = A+B+C, kung saan ang A, B, C ay ang mga haba ng mga gilid ng geometric figure.

Formula 1: R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).

At kung, alam ang lahat ng parehong tatlong panig, bibigyan ka rin ng isa, pagkatapos ay maaari mong kalkulahin ang kinakailangang radius tulad ng sumusunod.

Formula 2: R = S * 2(A + B + C)

Formula 3: R = S/n = S / (A+B+B)/2), kung saan - n ang semi-perimeter ng geometric figure.

Formula 4: R = (n - A) * tan (A/2), kung saan ang n ay ang semi-perimeter ng tatsulok, ang A ay isa sa mga gilid nito, at ang tan (A/2) ay ang tangent ng kalahating anggulo sa tapat ng panig na ito.

At ang formula sa ibaba ay tutulong sa iyo na mahanap ang radius ng bilog kung saan naka-inscribe

Formula 5: R = A * √3/6.

Ang radius ng isang bilog na nakasulat sa isang tamang tatsulok

Kung ang problema ay nagbibigay ng mga haba ng mga binti, pati na rin ang hypotenuse, kung gayon ang radius ng inscribed na bilog ay nalaman tulad nito.

Formula 1: R = (A+B-C)/2, kung saan ang A, B ay mga binti, ang C ay hypotenuse.

Kung sakaling bibigyan ka lamang ng dalawang paa, oras na upang tandaan ang Pythagorean theorem upang mahanap ang hypotenuse at gamitin ang formula sa itaas.

C = √(A²+B²).

Ang radius ng isang bilog na nakasulat sa isang parisukat

Ang isang bilog na nakasulat sa isang parisukat ay naghahati sa lahat ng 4 na panig nito nang eksakto sa kalahati sa mga punto ng contact.

Formula 1: R = A/2, kung saan ang A ay ang haba ng gilid ng parisukat.

Formula 2: R = S / (P/2), kung saan ang S at P ay ang lugar at perimeter ng parisukat, ayon sa pagkakabanggit.

Entry level

Circumscribed na bilog. Gabay sa Visual (2019)

Ang unang tanong na maaaring lumitaw ay: ano ang inilarawan - sa paligid ng ano?

Sa totoo lang, minsan nangyayari ito sa anumang bagay, ngunit pag-uusapan natin ang tungkol sa isang bilog na nakapaligid sa paligid (kung minsan ay sinasabi rin nila ang "tungkol sa") isang tatsulok. Ano ito?

At isipin na lang, isang kamangha-manghang katotohanan ang nagaganap:

Bakit nakakagulat ang katotohanang ito?

Ngunit ang mga tatsulok ay naiiba!

At para sa lahat ay may bilog na dadaanan sa lahat ng tatlong taluktok, iyon ay, ang circumscribed na bilog.

Patunay nito kamangha-manghang katotohanan mahahanap mo sa mga sumusunod na antas ng teorya, ngunit narito lamang namin tandaan na kung kukuha kami, halimbawa, isang quadrilateral, kung gayon hindi para sa lahat ay magkakaroon ng isang bilog na dumadaan sa apat na vertices. Halimbawa, ang paralelogram ay isang mahusay na may apat na gilid, ngunit walang bilog na dumadaan sa lahat ng apat na vertices nito!

At mayroon lamang para sa isang parihaba:

eto na, at ang bawat tatsulok ay palaging may sariling circumscribed na bilog! At kahit na palaging napakadaling hanapin ang gitna ng bilog na ito.

Alam mo ba kung ano ito perpendicular bisector?

Ngayon tingnan natin kung ano ang mangyayari kung isasaalang-alang natin ang kasing dami ng tatlong perpendicular bisector sa mga gilid ng tatsulok.

Ito ay lumalabas (at ito mismo ang kailangang patunayan, bagaman hindi namin gagawin) iyon lahat ng tatlong perpendicular ay nagsalubong sa isang punto. Tingnan ang larawan - lahat ng tatlong perpendicular bisector ay nagsalubong sa isang punto.

Sa palagay mo ba ang gitna ng circumscribed na bilog ay palaging nasa loob ng tatsulok? Isipin - hindi palaging!

Ngunit kung acute-angled, pagkatapos - sa loob:

Ano ang gagawin sa isang tamang tatsulok?

At may karagdagang bonus:

Dahil pinag-uusapan natin ang radius ng circumscribed circle: ano ang katumbas nito para sa isang arbitrary triangle? At may sagot sa tanong na ito: ang tinatawag na .

Namely:

At, siyempre,

1. Existence at circumcircle center

Dito lumitaw ang tanong: umiiral ba ang gayong bilog para sa bawat tatsulok? Lumalabas na oo, para sa lahat. At higit pa rito, bubuo tayo ngayon ng isang teorama na sumasagot din sa tanong kung saan matatagpuan ang sentro ng bilog na bilog.

Tingnan mo, ganito:

Maging matapang tayo at patunayan ang teorama na ito. Kung nabasa mo na ang paksang "" at naunawaan kung bakit tatlong bisector ang nagsalubong sa isang punto, kung gayon ito ay magiging mas madali para sa iyo, ngunit kung hindi mo pa ito nabasa, huwag mag-alala: ngayon ay malalaman natin ito.

Isasagawa natin ang patunay gamit ang konsepto ng locus of points (GLP).

Buweno, halimbawa, ang hanay ng mga bola ay ang "geometric locus" ng mga bilog na bagay? Hindi, siyempre, dahil may mga bilog...mga pakwan. Ito ba ay isang hanay ng mga tao, isang "geometric na lugar", na maaaring magsalita? Hindi rin, dahil may mga sanggol na hindi makapagsalita. Sa buhay, sa pangkalahatan ay mahirap makahanap ng isang halimbawa ng isang tunay na "geometric na lokasyon ng mga puntos." Mas madali ito sa geometry. Narito, halimbawa, ang eksaktong kailangan natin:

Narito ang set ay ang perpendicular bisector, at ang property na " " ay "maging katumbas ng distansya (isang punto) mula sa mga dulo ng segment."

Check natin? Kaya, kailangan mong tiyakin ang dalawang bagay:

1. Ang anumang punto na katumbas ng layo mula sa mga dulo ng isang segment ay matatagpuan sa perpendicular bisector dito.

Pagdugtungin natin ang c at c.Pagkatapos ang linya ay ang median at taas b. Nangangahulugan ito - isosceles - tiniyak namin na ang anumang puntong nakahiga sa perpendicular bisector ay pantay na malayo sa mga punto at.

Dumaan tayo sa gitna at kumonekta at. Ang resulta ay ang median. Ngunit ayon sa kondisyon, hindi lamang ang median ay isosceles, kundi pati na rin ang taas, iyon ay, ang perpendicular bisector. Nangangahulugan ito na ang punto ay eksaktong namamalagi sa perpendicular bisector.

Lahat! Ganap naming napatunayan ang katotohanang iyon Ang perpendicular bisector ng isang segment ay ang locus ng mga puntos na katumbas ng distansya mula sa mga dulo ng segment.

Lahat ng ito ay mabuti at mabuti, ngunit nakalimutan na ba natin ang tungkol sa circumscribed circle? Hindi naman, inihanda lang namin ang aming sarili ng isang "springboard para sa pag-atake."

Isaalang-alang ang isang tatsulok. Gumuhit tayo ng dalawang bisectoral perpendicular at, sabihin nating, sa mga segment at. Sila ay magsalubong sa isang punto, na aming pangalanan.

Ngayon, pansinin mo!

Ang punto ay nasa perpendicular bisector;
ang punto ay nasa perpendicular bisector.
At ibig sabihin, at.

Maraming mga bagay ang sumusunod mula dito:

Una, ang punto ay dapat na nasa ikatlong bisector na patayo sa segment.

Iyon ay, ang perpendicular bisector ay dapat ding dumaan sa punto, at lahat ng tatlong perpendicular bisector ay bumalandra sa isang punto.

Pangalawa: kung gumuhit tayo ng isang bilog na may sentro sa isang punto at isang radius, kung gayon ang bilog na ito ay dadaan din sa parehong punto at punto, iyon ay, ito ay magiging isang circumscribed na bilog. Nangangahulugan ito na umiiral na na ang intersection ng tatlong perpendicular bisector ay ang sentro ng circumscribed na bilog para sa anumang tatsulok.

At ang huling bagay: tungkol sa pagiging natatangi. Ito ay malinaw (halos) na ang punto ay maaaring makuha sa isang natatanging paraan, samakatuwid ang bilog ay natatangi. Well, iiwan namin ang "halos" para sa iyong pagmuni-muni. Kaya napatunayan namin ang teorama. Maaari kang sumigaw ng "Hurray!"

Paano kung ang problema ay magtanong ng "hanapin ang radius ng circumscribed circle"? O vice versa, ang radius ay ibinigay, ngunit kailangan mong maghanap ng iba pa? Mayroon bang formula na nag-uugnay sa radius ng circumcircle sa iba pang elemento ng tatsulok?

Mangyaring tandaan: ang sine theorem ay nagsasaad na upang mahanap ang radius ng circumscribed na bilog, kailangan mo ng isang gilid (anuman!) at ang anggulo sa tapat nito. Iyon lang!

3. Gitna ng bilog - sa loob o labas

Ngayon ang tanong ay: maaari bang ang gitna ng circumscribed na bilog ay nasa labas ng tatsulok?
Sagot: hangga't maaari. Bukod dito, ito ay palaging nangyayari sa isang mahinang tatsulok.

At sa pangkalahatan:

BILOG NA BILOG. MAIKLING TUNGKOL SA MGA PANGUNAHING BAGAY

1. Bilog na naka-circumscribe sa isang tatsulok

Ito ang bilog na dumadaan sa lahat ng tatlong vertice ng tatsulok na ito.

2. Existence at circumcircle center

Well, tapos na ang topic. Kung binabasa mo ang mga linyang ito, ibig sabihin ay napaka-cool mo.

Dahil 5% lamang ng mga tao ang nakakabisa ng isang bagay sa kanilang sarili. At kung magbabasa ka hanggang sa huli, ikaw ay nasa 5% na ito!

Ngayon ang pinakamahalagang bagay.

Naunawaan mo ang teorya sa paksang ito. At, inuulit ko, ito... super lang! Mas mahusay ka na kaysa sa karamihan ng iyong mga kapantay.

Ang problema ay maaaring hindi ito sapat...

Para saan?

Para sa matagumpay pagpasa sa Unified State Exam, para sa pagpasok sa kolehiyo sa isang badyet at, PINAKA MAHALAGA, habang buhay.

Hindi kita kukumbinsihin sa anumang bagay, isa lang ang sasabihin ko...

Ang mga taong nakatanggap ng magandang edukasyon ay kumikita ng higit pa kaysa sa mga hindi nakatanggap nito. Ito ay mga istatistika.

Ngunit hindi ito ang pangunahing bagay.

Ang pangunahing bagay ay MAS MASAYA sila (may mga ganyang pag-aaral). Marahil dahil marami pang pagkakataon ang nagbubukas sa harap nila at ang buhay ay nagiging mas maliwanag? hindi ko alam...

Pero isipin mo ang sarili mo...

Ano ang kailangan para makasiguradong maging mas mahusay kaysa sa iba sa Unified State Exam at sa huli ay... mas masaya?

AGAIN ANG IYONG KAMAY SA PAGLUTAS NG MGA PROBLEMA SA PAKSANG ITO.

Hindi ka hihilingin ng teorya sa panahon ng pagsusulit.

Kakailanganin mo lutasin ang mga problema laban sa oras.

At, kung hindi mo pa nalutas ang mga ito (MARAMING!), tiyak na makakagawa ka ng isang hangal na pagkakamali sa isang lugar o hindi magkakaroon ng oras.

Parang sa sports - kailangan mong ulitin ng maraming beses para siguradong manalo.

Hanapin ang koleksyon kahit saan mo gusto, kinakailangang may mga solusyon, detalyadong pagsusuri at magpasya, magpasya, magpasya!

Maaari mong gamitin ang aming mga gawain (opsyonal) at, siyempre, inirerekomenda namin ang mga ito.

Upang maging mas mahusay sa paggamit ng aming mga gawain, kailangan mong tumulong na palawigin ang buhay ng YouClever textbook na kasalukuyan mong binabasa.

Paano? Mayroong dalawang mga pagpipilian:

1. I-unlock ang lahat ng mga nakatagong gawain sa artikulong ito - 299 kuskusin.
2. I-unlock ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain sa lahat ng 99 na artikulo ng aklat-aralin - 499 kuskusin.

Oo, mayroon kaming 99 na mga artikulo sa aming aklat-aralin at ang access sa lahat ng mga gawain at lahat ng mga nakatagong teksto sa mga ito ay mabubuksan kaagad.

Ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain ay ibinibigay para sa BUONG buhay ng site.

At sa konklusyon...

Kung hindi mo gusto ang aming mga gawain, maghanap ng iba. Huwag lang tumigil sa teorya.

Ang "Naiintindihan" at "Maaari kong malutas" ay ganap na magkaibang mga kasanayan. Kailangan mo pareho.

Maghanap ng mga problema at lutasin ang mga ito!

Kahulugan 2

Ang isang polygon na nakakatugon sa kondisyon ng kahulugan 1 ay tinatawag na circumscribed tungkol sa isang bilog.

Figure 1. Inscribed na bilog

Theorem 1 (tungkol sa isang bilog na nakasulat sa isang tatsulok)

Teorama 1

Maaari mong isulat ang isang bilog sa anumang tatsulok, at isa lamang.

Patunay.

Isaalang-alang ang tatsulok na $ABC$. Gumuhit tayo ng mga bisector dito na bumabagtas sa puntong $O$ at gumuhit ng mga patayo mula dito hanggang sa mga gilid ng tatsulok (Larawan 2)

Figure 2. Ilustrasyon ng Theorem 1

Pag-iral: Gumuhit tayo ng isang bilog na may gitna sa puntong $O$ at radius na $OK.\ $Dahil ang puntong $O$ ay nasa tatlong bisector, ito ay katumbas ng layo mula sa mga gilid ng tatsulok na $ABC$. Ibig sabihin, $OM=OK=OL$. Dahil dito, ang itinayong bilog ay dumadaan din sa mga puntong $M\ at\ L$. Dahil ang $OM,OK\ at\ OL$ ay patayo sa mga gilid ng tatsulok, pagkatapos ay sa pamamagitan ng circle tangent theorem, ang constructed circle ay humipo sa lahat ng tatlong panig ng triangle. Samakatuwid, dahil sa arbitrariness ng isang tatsulok, ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa anumang tatsulok.

Kakaiba: Ipagpalagay na ang isa pang bilog na may sentro sa puntong $O"$ ay maaaring isulat sa tatsulok na $ABC$. Ang sentro nito ay katumbas ng layo mula sa mga gilid ng tatsulok, at, samakatuwid, ay tumutugma sa puntong $O$ at may radius na katumbas ng haba $OK$ Ngunit ang bilog na ito ay magkakasabay sa una.

Ang teorama ay napatunayan.

Corollary 1: Ang gitna ng isang bilog na nakasulat sa isang tatsulok ay nasa punto ng intersection ng mga bisector nito.

Narito ang ilan pang katotohanan na nauugnay sa konsepto ng isang naka-inscribe na bilog:

Hindi lahat ng quadrilateral ay maaaring magkasya sa isang bilog.

Sa anumang circumscribed quadrilateral, ang mga kabuuan ng magkabilang panig ay pantay.

Kung ang mga kabuuan ng magkasalungat na panig ng isang matambok na may apat na gilid ay pantay, kung gayon ang isang bilog ay maaaring nakasulat dito.

Kahulugan 3

Kung ang lahat ng mga vertices ng isang polygon ay nasa isang bilog, kung gayon ang bilog ay tinatawag na circumscribed tungkol sa polygon (Larawan 3).

Kahulugan 4

Ang isang polygon na nakakatugon sa kahulugan 2 ay sinasabing nakasulat sa isang bilog.

Figure 3. Circumscribed circle

Theorem 2 (tungkol sa circumcircle ng isang tatsulok)

Teorama 2

Sa paligid ng anumang tatsulok maaari mong ilarawan ang isang bilog, at isa lamang.

Patunay.

Isaalang-alang ang tatsulok na $ABC$. Gumuhit tayo ng mga perpendicular bisectors sa loob nito, intersecting sa point $O$, at ikonekta ito sa mga vertices ng triangle (Fig. 4)

Figure 4. Ilustrasyon ng Theorem 2

Pag-iral: Bumuo tayo ng isang bilog na may gitna sa puntong $O$ at radius na $OC$. Ang puntong $O$ ay katumbas ng layo mula sa mga vertices ng tatsulok, iyon ay, $OA=OB=OC$. Dahil dito, ang itinayong bilog ay dumadaan sa lahat ng mga vertices ng isang naibigay na tatsulok, na nangangahulugan na ito ay nakapaligid sa tatsulok na ito.

Kakaiba: Ipagpalagay na ang isa pang bilog ay maaaring ilarawan sa paligid ng tatsulok na $ABC$ na may sentro nito sa puntong $O"$. Ang sentro nito ay katumbas ng layo mula sa mga vertices ng tatsulok, at, samakatuwid, ay tumutugma sa puntong $O$ at may isang radius na katumbas ng haba $OC $ Ngunit ang bilog na ito ay magkakasabay sa una.

Ang teorama ay napatunayan.

Corollary 1: Ang gitna ng bilog na nakapaligid sa tatsulok ay tumutugma sa punto ng intersection ng bisectoral perpendiculars nito.

Narito ang ilan pang katotohanan na nauugnay sa konsepto ng isang circumcircle:

Hindi laging posible na ilarawan ang isang bilog sa paligid ng isang quadrilateral.

Sa anumang cyclic quadrilateral, ang kabuuan ng magkasalungat na anggulo ay $(180)^0$.

Kung ang kabuuan ng magkasalungat na anggulo ng isang quadrilateral ay $(180)^0$, kung gayon ang isang bilog ay maaaring iguhit sa paligid nito.

Isang halimbawa ng problema sa mga konsepto ng inscribed at circumscribed circles

Halimbawa 1

Sa isang isosceles triangle, ang base ay 8 cm at ang gilid ay 5 cm. Hanapin ang radius ng inscribed na bilog.

Solusyon.

Isaalang-alang ang tatsulok na $ABC$. Sa pamamagitan ng Corollary 1, alam natin na ang sentro ng incircle ay nasa intersection ng mga bisector. Iguhit natin ang mga bisector na $AK$ at $BM$, na nagsalubong sa puntong $O$. Gumuhit tayo ng patayo na $OH$ mula sa puntong $O$ hanggang sa gilid ng $BC$. Gumuhit tayo ng larawan:

Larawan 5.

Dahil ang tatsulok ay isosceles, ang $BM$ ay parehong median at ang taas. Sa pamamagitan ng Pythagorean theorem $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=$3. $OM=OH=r$ -- ang kinakailangang radius ng inscribed na bilog. Dahil ang $MC$ at $CH$ ay mga segment ng intersecting tangents, kung gayon sa pamamagitan ng theorem sa intersecting tangents, mayroon tayong $CH=MC=4\ cm$. Samakatuwid, $BH=5-4=1\ cm$. $BO=3-r$. Mula sa tatsulok na $OHB$, ayon sa Pythagorean theorem, nakuha namin ang:

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

Sagot:$\frac(4)(3)$.