Logaritam s korijenom u bazi. Logaritam

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: Udžbenik za 10. - 11. razrede općeobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola).

Logaritam broja b (b > 0) na bazu a (a > 0, a ≠ 1)– eksponent na koji treba podići broj a da bi se dobilo b.

Logaritam s bazom 10 od b može se napisati kao log(b), a logaritam na bazi e (prirodni logaritam) je ln(b).

Često se koristi pri rješavanju problema s logaritmima:

Svojstva logaritama

Četiri su glavna svojstva logaritama.

Neka je a > 0, a ≠ 1, x > 0 i y > 0.

Svojstvo 1. Logaritam umnoška

Logaritam umnoška jednak zbroju logaritama:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Svojstvo 2. Logaritam kvocijenta

Logaritam kvocijenta jednak razlici logaritama:

log a (x / y) = log a x – log a y

Svojstvo 3. Logaritam potencije

Logaritam stupnja jednak proizvodu potencije i logaritma:

Ako je baza logaritma u stupnju, tada se primjenjuje druga formula:

Svojstvo 4. Logaritam korijena

Ovo se svojstvo može dobiti iz svojstva logaritma potencije, jer je n-ti korijen potencije jednak potenciji od 1/n:

Formula za pretvorbu iz logaritma jedne baze u logaritam druge baze

Ova se formula također često koristi pri rješavanju raznih zadataka o logaritmima:

Poseban slučaj:

Uspoređivanje logaritama (nejednakosti)

Neka imamo 2 funkcije f(x) i g(x) pod logaritmima s istim bazama i između njih stoji znak nejednakosti:

Da biste ih usporedili, prvo morate pogledati bazu logaritama a:

• Ako je a > 0, tada je f(x) > g(x) > 0
• Ako je 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Kako riješiti probleme s logaritmima: primjeri

Problemi s logaritmima uključeni u Jedinstveni državni ispit iz matematike za 11. razred u zadatku 5 i zadatku 7, zadatke s rješenjima možete pronaći na našoj web stranici u odgovarajućim odjeljcima. Također, zadaci s logaritmima nalaze se u matematičkoj bazi zadataka. Sve primjere možete pronaći pretraživanjem stranice.

Što je logaritam

Logaritmi su se uvijek smatrali teškom temom u školskim tečajevima matematike. Postoji mnogo različitih definicija logaritma, ali iz nekog razloga većina udžbenika koristi najsloženiju i najneuspješniju od njih.

Logaritam ćemo definirati jednostavno i jasno. Da bismo to učinili, napravimo tablicu:

Dakle, imamo potencije dvojke.

Logaritmi - svojstva, formule, kako se rješavaju

Ako uzmete broj iz donje crte, lako možete pronaći snagu na koju ćete morati podići dva da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, trebate podići dva na četvrtu potenciju. A da biste dobili 64, trebate podići dva na šestu potenciju. To se vidi iz tablice.

A sada - zapravo, definicija logaritma:

baza a argumenta x je potencija na koju se broj a mora podići da bi se dobio broj x.

Oznaka: log a x = b, gdje je a baza, x argument, b je ono čemu je zapravo jednak logaritam.

Na primjer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritam s bazom 2 od 8 je tri jer je 2 3 = 8). S istim uspjehom, zapišite 2 64 = 6, budući da je 2 6 = 64.

Operacija pronalaženja logaritma broja prema danoj bazi naziva se. Dakle, dodajmo novi red u našu tablicu:

Nažalost, ne izračunavaju se svi logaritmi tako lako. Na primjer, pokušajte pronaći log 2 5. Broj 5 nije u tablici, ali logika nalaže da će logaritam ležati negdje na intervalu. Jer 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takvi se brojevi nazivaju iracionalnim: brojevi iza decimalne točke mogu se pisati ad infinitum i nikada se ne ponavljaju. Ako se logaritam pokaže iracionalnim, bolje ga je ostaviti takvim: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Važno je razumjeti da je logaritam izraz s dvije varijable (baza i argument). U početku mnogi brkaju gdje je osnova, a gdje argument. Kako biste izbjegli dosadne nesporazume, samo pogledajte sliku:

Pred nama je ništa više od definicije logaritma. Zapamtiti: logaritam je potencija, u koju se mora ugraditi baza da bi se dobio argument. To je baza koja je podignuta na potenciju - na slici je označena crvenom bojom. Ispada da je baza uvijek na dnu! Svojim učenicima govorim ovo divno pravilo na prvoj lekciji - i ne dolazi do zabune.

Kako računati logaritme

Shvatili smo definiciju - preostaje samo naučiti brojati logaritme, tj. riješite se znaka "log". Za početak napominjemo da iz definicije proizlaze dvije važne činjenice:

1. Argument i baza uvijek moraju biti veći od nule. To proizlazi iz definicije stupnja pomoću racionalnog eksponenta, na koji se svodi definicija logaritma.
2. Baza mora biti drugačija od jedne, budući da jedno u bilo kojem stupnju i dalje ostaje jedno. Zbog toga je besmisleno pitanje "na koju se snagu treba uzdići da bi se dobilo dvoje". Ne postoji takva diploma!

Takva se ograničenja nazivaju raspon prihvatljivih vrijednosti(ODZ). Ispada da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Imajte na umu da nema ograničenja za broj b (vrijednost logaritma). Na primjer, logaritam može biti negativan: log 2 0,5 = −1, jer 0,5 = 2 −1.

Međutim, sada razmatramo samo numeričke izraze, gdje nije potrebno znati VA logaritma. Sva su ograničenja autori zadataka već uzeli u obzir. Ali kada logaritamske jednadžbe i nejednadžbe uđu u igru, DL zahtjevi postat će obvezni. Uostalom, osnova i argument mogu sadržavati vrlo jake konstrukcije koje ne moraju nužno odgovarati gornjim ograničenjima.

Sada pogledajmo opću shemu za izračunavanje logaritama. Sastoji se od tri koraka:

1. Izrazite bazu a i argument x kao potenciju s najmanjom mogućom bazom većom od jedan. Usput, bolje je riješiti se decimala;
2. Riješite jednadžbu za varijablu b: x = a b ;
3. Rezultirajući broj b bit će odgovor.

To je sve! Ako se logaritam pokaže iracionalnim, to će biti vidljivo već u prvom koraku. Zahtjev da baza bude veća od jedan vrlo je važan: to smanjuje vjerojatnost pogreške i uvelike pojednostavljuje izračune. Isto je i s decimalnim razlomcima: ako ih odmah pretvorite u obične, bit će puno manje pogrešaka.

Pogledajmo kako ova shema funkcionira koristeći konkretne primjere:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 5 25

1. Zamislimo bazu i argument kao potenciju broja pet: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Kreirajmo i riješimo jednadžbu:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Dobili smo odgovor: 2.

Zadatak. Izračunajte logaritam:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 4 64

1. Zamislimo bazu i argument kao potenciju dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Kreirajmo i riješimo jednadžbu:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Dobili smo odgovor: 3.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 16 1

1. Zamislimo bazu i argument kao potenciju dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Kreirajmo i riješimo jednadžbu:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Dobili smo odgovor: 0.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 7 14

1. Zamislimo bazu i argument kao potenciju broja sedam: 7 = 7 1 ; 14 se ne može predstaviti kao stepen od sedam, budući da je 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iz prethodnog odlomka proizlazi da se logaritam ne računa;
3. Odgovor je bez promjene: log 7 14.

Mala napomena o posljednjem primjeru. Kako možete biti sigurni da broj nije točna potencija drugog broja? Vrlo je jednostavno - samo ga rastavite na proste faktore. Ako proširenje ima najmanje dva različita faktora, broj nije točna potencija.

Zadatak. Utvrdite jesu li brojevi točne potencije: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - točan stupanj, jer postoji samo jedan množitelj;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nije točna potencija, jer postoje dva faktora: 3 i 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - točan stupanj;
35 = 7 · 5 - opet nije točna potencija;
14 = 7 · 2 - opet nije točan stupanj;

Primijetite također da su sami prosti brojevi uvijek sami sebi točne potencije.

Decimalni logaritam

Neki logaritmi su toliko uobičajeni da imaju poseban naziv i simbol.

argumenta x je logaritam na bazu 10, tj. Potencija na koju treba podići broj 10 da bi se dobio broj x. Oznaka: lg x.

Na primjer, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od sada, kada se u udžbeniku pojavi fraza poput "Pronađi lg 0,01", znajte da to nije tipfeler. Ovo je decimalni logaritam. Međutim, ako niste upoznati s ovim zapisom, uvijek ga možete prepisati:
log x = log 10 x

Sve što vrijedi za obične logaritme vrijedi i za decimalne logaritme.

Prirodni logaritam

Postoji još jedan logaritam koji ima svoju oznaku. Na neki način, to je čak i važnije od decimalnog broja. Govorimo o prirodnom logaritmu.

argumenta x je logaritam prema bazi e, tj. potenciju na koju treba podići broj e da bi se dobio broj x. Oznaka: ln x.

Mnogi će se pitati: što je broj e? Ovo je iracionalan broj, njegova točna vrijednost se ne može pronaći i zapisati. Navest ću samo prve brojke:
e = 2,718281828459…

Nećemo ulaziti u detalje o tome koji je to broj i zašto je potreban. Samo zapamtite da je e baza prirodnog logaritma:
ln x = log e x

Stoga je ln e = 1; ln e 2 = 2; U 16 = 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. Općenito, prirodni logaritam svakog racionalnog broja je iracionalan. Osim, naravno, jednog: ln 1 = 0.

Za prirodne logaritme vrijede sva pravila koja vrijede za obične logaritme.

Vidi također:

Logaritam. Svojstva logaritma (potencija logaritma).

Kako predstaviti broj kao logaritam?

Koristimo se definicijom logaritma.

Logaritam je eksponent na koji se mora podići baza da bi se dobio broj ispod znaka logaritma.

Dakle, da biste određeni broj c predstavili kao logaritam s bazom a, trebate ispod znaka logaritma staviti potenciju s istom bazom kao i baza logaritma i taj broj c napisati kao eksponent:

Apsolutno bilo koji broj može se predstaviti kao logaritam - pozitivan, negativan, cijeli broj, razlomak, racionalan, iracionalan:

Kako ne biste pobrkali a i c u stresnim uvjetima testa ili ispita, možete koristiti sljedeće pravilo za pamćenje:

ono što je ispod pada, ono gore ide gore.

Na primjer, trebate predstaviti broj 2 kao logaritam s bazom 3.

Imamo dva broja - 2 i 3. Ti brojevi su baza i eksponent, koje ćemo napisati ispod znaka logaritma. Ostaje odrediti koji od ovih brojeva treba zapisati dolje, do baze stupnja, a koji - gore, do eksponenta.

Baza 3 u zapisu logaritma je na dnu, što znači da kada dva predstavljamo kao logaritam na bazu 3, također ćemo 3 zapisati na bazu.

2 je veće od tri. A u zapisu stupnja dva pišemo iznad trojke, odnosno kao eksponent:

Logaritmi. Prva razina.

Logaritmi

Logaritam pozitivan broj b na temelju a, Gdje a > 0, a ≠ 1, naziva se eksponent na koji se broj mora podići a, Dobiti b.

Definicija logaritma može se ukratko napisati ovako:

Ova jednakost vrijedi za b > 0, a > 0, a ≠ 1. Obično se zove logaritamski identitet.
Radnja pronalaženja logaritma broja naziva se logaritmom.

Svojstva logaritama:

Logaritam proizvoda:

Logaritam kvocijenta:

Zamjena baze logaritma:

Logaritam stupnja:

Logaritam korijena:

Logaritam s bazom potencije:

Decimalni i prirodni logaritmi.

Decimalni logaritam brojevi nazivaju logaritam ovog broja na bazu 10 i pišu   lg b
Prirodni logaritam brojevi se nazivaju logaritmom tog broja na bazu e, Gdje e- iracionalan broj približno jednak 2,7. Istodobno pišu ln b.

Ostale bilješke o algebri i geometriji

Osnovna svojstva logaritama

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi se, kao i svi brojevi, mogu zbrajati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali budući da logaritmi nisu baš obični brojevi, postoje ovdje pravila, koja se zovu glavna svojstva.

Ova pravila svakako morate znati - bez njih se ne može riješiti niti jedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, vrlo ih je malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa krenimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istim bazama: log a x i log a y. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati, i:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x − log a y = log a (x: y).

Dakle, zbroj logaritama jednak je logaritmu umnoška, ​​a razlika je jednaka logaritmu kvocijenta. Imajte na umu: ključna točka ovdje je identične osnove. Ako su razlozi drugačiji, ova pravila ne rade!

Ove formule će vam pomoći izračunati logaritamski izraz čak i kada se ne uzimaju u obzir njegovi pojedinačni dijelovi (pogledajte lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Log 6 4 + log 6 9.

Budući da logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu zbroja:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 2 48 − log 2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 3 135 − log 3 5.

Opet su baze iste, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kao što vidite, izvorni izrazi sastoje se od "loših" logaritama koji se ne izračunavaju zasebno. No nakon transformacija dobivaju se posve normalni brojevi. Mnogi testovi temelje se na ovoj činjenici. Da, izrazi slični testovima nude se ozbiljno (ponekad bez gotovo ikakvih promjena) na Jedinstvenom državnom ispitu.

Izdvajanje eksponenta iz logaritma

Sada malo zakomplicirajmo zadatak. Što ako je baza ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz znaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali bolje ga je ipak zapamtiti - u nekim će slučajevima to značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se promatra ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primijeniti sve formule ne samo slijeva na desno, već i obrnuto , tj. Brojeve ispred znaka logaritma možete unijeti u sam logaritam.

Kako riješiti logaritme

To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 7 49 6 .

Riješimo se stupnja u argumentu pomoću prve formule:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da nazivnik sadrži logaritam čija su baza i argument točne potencije: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Imamo:

Mislim da posljednji primjer zahtijeva malo pojašnjenja. Gdje su nestali logaritmi? Do zadnjeg trenutka radimo samo s nazivnikom. Predstavili smo bazu i argument logaritma koji tamo stoji u obliku potencija i izvadili eksponente - dobili smo "trokatni" razlomak.

Sada pogledajmo glavnu frakciju. Brojnik i nazivnik sadrže isti broj: log 2 7. Budući da je log 2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema aritmetičkim pravilima, četvorka se može prenijeti u brojnik, što je i učinjeno. Rezultat je bio odgovor: 2.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da ona rade samo s istim bazama. Što ako su razlozi drugačiji? Što ako nisu točne potencije istog broja?

Formule za prijelaz na novi temelj dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teorema:

Neka je dan logaritam log a x. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Konkretno, ako postavimo c = x, dobivamo:

Iz druge formule proizlazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz “okreće”, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.

Ove se formule rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodni moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

Međutim, postoje problemi koji se uopće ne mogu riješiti osim prelaskom na novi temelj. Pogledajmo nekoliko od njih:

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže točne potencije. Izvadimo indikatore: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sada "obrnimo" drugi logaritam:

Budući da se umnožak ne mijenja preslagivanjem faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log 9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su egzaktne potencije. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma prelaskom na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam zadane baze.

U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:

U prvom slučaju broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je samo logaritamska vrijednost.

Druga formula zapravo je parafrazirana definicija. Tako se zove: .

Zapravo, što se događa ako se broj b podigne na takvu potenciju da broj b na tu potenciju daje broj a? Tako je: rezultat je isti broj a. Ponovno pažljivo pročitajte ovaj odlomak - mnogi ljudi zapnu na njemu.

Poput formula za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da je log 25 64 = log 5 8 - jednostavno uzeo kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Uzimajući u obzir pravila množenja potencije s istom bazom, dobivamo:

Ako netko ne zna, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja se teško mogu nazvati svojstvima - prije su posljedice definicije logaritma. Stalno se pojavljuju u problemima i, začudo, stvaraju probleme čak i “naprednim” učenicima.

1. log a a = 1 je. Zapamtite jednom zauvijek: logaritam bilo koje baze a same te baze jednak je jedan.
2. log a 1 = 0 je. Baza a može biti bilo što, ali ako argument sadrži jedinicu, logaritam je jednak nuli! Budući da je 0 = 1 izravna posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite varalicu na početku lekcije, isprintajte je i riješite zadatke.

Daju se osnovna svojstva logaritma, graf logaritma, domena definiranja, skup vrijednosti, osnovne formule, rastuće i opadajuće. Razmatra se nalaženje izvoda logaritma. Kao i integral, ekspanzija u potencijski niz i reprezentacija pomoću kompleksnih brojeva.

Domena, skup vrijednosti, rastuće, opadajuće

Logaritam je monotona funkcija, pa nema ekstrema. Glavna svojstva logaritma prikazana su u tablici.

Privatne vrijednosti

Logaritam s bazom 10 naziva se decimalni logaritam i označava se na sljedeći način:

Logaritam prema bazi e nazvao prirodni logaritam:

Osnovne formule za logaritme

Svojstva logaritma koja proizlaze iz definicije inverzne funkcije:

Glavno svojstvo logaritama i njegove posljedice

Formula za zamjenu baze

Logaritam je matematička operacija uzimanja logaritma. Kod logaritmiranja umnošci faktora pretvaraju se u zbroje članova.
Potenciranje je matematička operacija inverzna logaritmu. Tijekom potenciranja, dana baza se podiže na stupanj ekspresije nad kojim se vrši potenciranje. U tom se slučaju zbrojevi članova pretvaraju u umnoške faktora.

Dokaz osnovnih formula za logaritme

Formule vezane uz logaritme slijede iz formula za eksponencijalne funkcije i iz definicije inverzne funkcije.

Razmotrimo svojstvo eksponencijalne funkcije
.
Zatim
.
Primijenimo svojstvo eksponencijalne funkcije
:
.

Dokažimo formulu zamjene baze.
;
.
Uz pretpostavku c = b, imamo:

Inverzna funkcija

Inverz logaritma s bazom a je eksponencijalna funkcija s eksponentom a.

Ako tada

Ako tada

Derivacija logaritma

Derivacija logaritma modula x:
.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula >>>

Da bismo pronašli izvod logaritma, on se mora svesti na bazu e.
;
.

Sastavni

Integral logaritma izračunava se integriranjem po dijelovima: .
Tako,

Izrazi koji koriste složene brojeve