Brojevi su apstraktan pojam. Oni su kvantitativne karakteristike objekti i su realni, racionalni, negativni, cijeli i frakcijski, kao i prirodni.

Pri prebrojavanju obično se koristi prirodni niz, u kojem prirodno nastaju oznake količine. Upoznavanje s brojanjem počinje u ranom djetinjstvu. Koje je dijete izbjegavalo smiješne pjesmice koje su koristile elemente prirodnog brojanja? "Jedan, dva, tri, četiri, pet... Zeko je izašao u šetnju!" ili "1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, kralj je odlučio da me objesi..."

Za svaki prirodan broj možete pronaći drugi veći od njega. Taj se skup obično označava slovom N i treba ga smatrati beskonačnim u smjeru povećanja. Ali ovaj skup ima početak – on je jedan. Iako postoje francuski prirodni brojevi, čiji skup također uključuje nulu. Ali glavni razlikovna obilježja Razlika između oba skupa je činjenica da ne uključuju ni razlomke ni negativne brojeve.

Potreba za brojanjem raznih predmeta pojavila se u prapovijesti. Tada je navodno nastao koncept “prirodnih brojeva”. Njegovo formiranje odvijalo se kroz cijeli proces promjene svjetonazora osobe i razvoja znanosti i tehnologije.

Međutim, još nisu mogli apstraktno razmišljati. Bilo im je teško razumjeti u čemu je zajedništvo pojmova "tri lovca" ili "tri stabla". Dakle, kod označavanja broja ljudi korištena je jedna definicija, a kod označavanja istog broja predmeta različite vrste korištena je sasvim druga definicija.

I bilo je izuzetno kratko. Sadržavao je samo brojeve 1 i 2, a brojanje je završavalo pojmovima "mnogo", "stado", "gomila", "hrpa".

Kasnije je formiran progresivniji i širi prikaz. Zanimljiva je činjenica da su postojala samo dva broja - 1 i 2, a sljedeći su brojevi dobiveni zbrajanjem.

Primjer za to su podaci koji su došli do nas o numeričkom nizu australskog plemena, koji je imao 1 za riječ "Enza", a 2 za riječ "petcheval". Broj 3 je stoga zvučao kao "petcheval-Enza", a 4 kao "petcheval-petcheval".

Većina ljudi je prepoznala prste kao standard brojanja. Daljnji razvoj apstraktni pojam“prirodni brojevi” slijedili su put korištenja zareza na štapiću. A onda je postalo potrebno deseticu označiti drugim znakom. Drevni ljudi su pronašli naš izlaz - počeli su koristiti drugi štap, na kojem su napravljeni zarezi za označavanje desetica.

Sposobnost reprodukcije brojeva enormno se proširila s pojavom pisma. Isprva su se brojevi prikazivali kao crte na glinenim pločicama ili papirusu, ali su se postupno počeli koristiti i druge ikone za pisanje.Tako su se pojavili rimski brojevi.

Mnogo kasnije pojavili su se oni koji su otvorili mogućnost pisanja brojeva s relativno malim skupom znakova. Danas nije teško zapisati tako velike brojke kao što su udaljenost između planeta i broj zvijezda. Samo morate naučiti koristiti diplome.

Euklid u 3. stoljeću prije Krista u knjizi “Elementi” utvrđuje beskonačnost numeričkog skupa, a Arhimed u “Psamiti” otkriva principe proizvoljne konstrukcije imena. veliki brojevi. Gotovo do sredine 19. stoljeća ljudi se nisu suočili s potrebom za jasnom formulacijom pojma “prirodnih brojeva”. Definicija je bila potrebna s pojavom aksiomatike matematička metoda.

A 70-ih godina 19. stoljeća formulirao je jasnu definiciju prirodnih brojeva, temeljenu na pojmu skupa. A danas već znamo da su svi prirodni brojevi cijeli brojevi, počevši od 1 do beskonačnosti. Mala djeca, čineći prvi korak u upoznavanju s kraljicom svih znanosti - matematikom - počinju proučavati upravo te brojeve.

Prirodni brojevi su ljudima poznati i intuitivni jer nas okružuju od djetinjstva. U članku ispod dat ćemo osnovno razumijevanje značenja prirodnih brojeva i opisati osnovne vještine pisanja i čitanja istih. Cijeli teorijski dio bit će popraćen primjerima.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Opće razumijevanje prirodnih brojeva

U određenoj fazi razvoja čovječanstva pojavio se zadatak brojanja određenih predmeta i označavanja njihove količine, što je pak zahtijevalo pronalaženje alata za rješavanje tog problema. Prirodni brojevi postali su takav alat. Također je jasno da je glavna svrha prirodnih brojeva dati ideju o broju predmeta ili serijskom broju određenog predmeta, ako govorimo o skupu.

Logično je da je za korištenje prirodnih brojeva potrebno imati način da ih percipira i reproducira. Dakle, prirodni broj se može izraziti ili prikazati, što je prirodnim putevima prijenos informacija.

Pogledajmo osnovne vještine izgovaranja (čitanja) i predstavljanja (pisanja) prirodnih brojeva.

Decimalni zapis prirodnog broja

Prisjetimo se kako su prikazani slijedeći znakovi(navedite ih odvojene zarezima): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Ove znakove nazivamo brojevima.

Sada uzmimo kao pravilo da se pri prikazivanju (snimanju) bilo kojeg prirodnog broja koriste samo navedeni brojevi bez sudjelovanja bilo kojih drugih simbola. Neka znamenke pri pisanju prirodnog broja imaju istu visinu, pišu se jedna za drugom u retku i s lijeve strane uvijek stoji znamenka različita od nule.

Navedimo primjere pravilnog zapisivanja prirodnih brojeva: 703, 881, 13, 333, 1.023, 7, 500.001. Razmak između brojeva nije uvijek isti; o tome će biti više riječi u nastavku kada proučavamo klase brojeva. Navedeni primjeri pokazuju da pri pisanju prirodnog broja ne moraju biti prisutne sve znamenke iz gornjeg niza. Neki ili svi od njih mogu se ponoviti.

Definicija 1

Zapisi oblika: 065, 0, 003, 0791 nisu zapisi prirodnih brojeva, jer S lijeve strane je broj 0.

Točan zapis prirodnog broja, napravljen uzimajući u obzir sve opisane zahtjeve, naziva se decimalni zapis prirodnog broja.

Kvantitativno značenje prirodnih brojeva

Kao što je već spomenuto, prirodni brojevi u početku, između ostalog, imaju i kvantitativno značenje. O prirodnim brojevima, kao alatu za numeriranje, govori se u temi o usporedbi prirodnih brojeva.

Prijeđimo na prirodne brojeve čiji se unosi podudaraju s unosima znamenki, tj. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Zamislimo određeni objekt, na primjer, ovako: Ψ. Možemo zapisati ono što vidimo 1 artikal. Prirodni broj 1 čita se kao "jedan" ili "jedan". Pojam "jedinica" također ima drugo značenje: nešto što se može smatrati jedinstvenom cjelinom. Ako postoji skup, tada se bilo koji njegov element može označiti kao jedan. Na primjer, iz skupa miševa, svaki miš je jedan; svaki cvijet iz skupa cvijeća je jedan.

Sada zamislite: Ψ Ψ . Vidimo jedan i drugi predmet, tj. u snimci će to biti 2 stavke. Prirodni broj 2 čita se kao “dva”.

Nadalje, po analogiji: Ψ Ψ Ψ – 3 stavke (“tri”), Ψ Ψ Ψ Ψ – 4 (“četiri”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 5 (“pet”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 6 (“šest”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 7 (“sedam”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 8 (“osam”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 9 (“ devet").

Iz naznačenog položaja funkcija prirodnog broja je da ukazuje količinama stavke.

Definicija 1

Ako se zapis broja podudara sa zapisom broja 0, tada se takav broj naziva "nula". Nula nije prirodan broj, ali se smatra zajedno s drugim prirodnim brojevima. Nula označava odsutnost, tj. nula stavki znači ništa.

Jednoznamenkasti prirodni brojevi

Očigledna je činjenica da za svaki od navedenih prirodnih brojeva (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) koristimo jedan znak – jednu znamenku.

Definicija 2

Jednoznamenkasti prirodni broj– prirodni broj, koji se piše jednim znakom – jednom znamenkom.

Postoji devet jednoznamenkastih prirodnih brojeva: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Dvoznamenkasti i troznamenkasti prirodni brojevi

Definicija 3

Dvoznamenkasti prirodni brojevi- prirodni brojevi, pri pisanju kojih se koriste dva znaka - dvije znamenke. U tom slučaju korišteni brojevi mogu biti isti ili različiti.

Na primjer, prirodni brojevi 71, 64, 11 su dvoznamenkasti.

Razmotrimo kakvo je značenje sadržano u dvoznamenkastim brojevima. Oslonit ćemo se na kvantitativno značenje jednoznamenkastih prirodnih brojeva koje nam je već poznato.

Uvedimo takav koncept kao "deset".

Zamislimo skup predmeta koji se sastoji od devet i još jednog. U ovom slučaju možemo govoriti o 1 deset (“jedan tucet”) objekata. Ako zamislite jednu deseticu i jednu više, onda govorimo o 2 desetice (“dvije desetice”). Dodavanjem još jedne dvjema deseticama dobivamo tri desetice. I tako dalje: nastavljajući zbrajati jednu po jednu deseticu, dobit ćemo četiri desetice, pet desetica, šest desetica, sedam desetica, osam desetica i na kraju devet desetica.

Promatrajmo dvoznamenkasti broj kao skup jednoznamenkastih brojeva od kojih je jedan napisan s desne, drugi s lijeve strane. Broj s lijeve strane označava broj desetica u prirodnom broju, a broj s desne strane broj jedinica. U slučaju da se broj 0 nalazi s desne strane, tada govorimo o nedostatku jedinica. Gore navedeno je kvantitativno značenje dvoznamenkastih prirodnih brojeva. Ukupno ih je 90.

Definicija 4

Troznamenkasti prirodni brojevi– prirodni brojevi, pri pisanju koja se tri znaka koriste – tri znamenke. Brojevi mogu biti različiti ili se ponavljati u bilo kojoj kombinaciji.

Na primjer, 413, 222, 818, 750 su troznamenkasti prirodni brojevi.

Da bismo razumjeli kvantitativno značenje troznamenkastih prirodnih brojeva, uvodimo pojam "sto".

Definicija 5

Sto (1 stotina) je skup koji se sastoji od deset desetica. Stotica i još jedna stotina čine 2 stotice. Dodamo još jednu stoticu i dobijemo 3 stotice. Postupnim zbrajanjem po stotinu dobivamo: četiristo, petsto, šeststo, sedamsto, osamsto, devetsto.

Razmotrimo sam zapis troznamenkastog broja: jednoznamenkasti prirodni brojevi koji su u njemu uključeni zapisani su jedan za drugim slijeva nadesno. Krajnji desni jednoznamenkasti broj označava broj jedinica; sljedeći jednoznamenkasti broj lijevo je po broju desetica; krajnji lijevi jednoznamenkasti broj je u broju stotina. Ako unos sadrži broj 0, to znači da nema jedinica i/ili desetica.

Dakle, troznamenkasti prirodni broj 402 znači: 2 jedinice, 0 desetica (nema desetica koje se ne spajaju u stotine) i 4 stotine.

Analogno je dana definicija četveroznamenkastih, peteroznamenkastih i tako dalje prirodnih brojeva.

Višeznamenkasti prirodni brojevi

Iz svega navedenog sada je moguće prijeći na definiciju višeznačnih prirodnih brojeva.

Definicija 6

Višeznamenkasti prirodni brojevi– prirodni brojevi, pri čijem pisanju se koriste dva ili više znakova. Višeznamenkasti prirodni brojevi su dvoznamenkasti, troznamenkasti i tako dalje brojevi.

Tisuća je skup koji uključuje deset stotina; milijun se sastoji od tisuću tisuća; milijarda – tisuću milijuna; jedan trilijun – tisuću milijardi. Čak i veći skupovi također imaju nazive, ali se rijetko koriste.

Slično gornjem principu, svaki višeznamenkasti prirodni broj možemo smatrati skupom jednoznamenkastih prirodnih brojeva, od kojih svaki, budući da se nalazi na određenom mjestu, označava prisutnost i broj jedinica, desetica, stotina, tisuća, desetica od tisuća, stotina tisuća, milijuna, desetaka milijuna, stotina milijuna, milijardi i tako dalje (s desna na lijevo).

Na primjer, višeznamenkasti broj 4.912.305 sadrži: 5 jedinica, 0 desetica, tri stotine, 2 tisuće, 1 deset tisuća, 9 sto tisuća i 4 milijuna.

Ukratko, osvrnuli smo se na vještinu grupiranja jedinica u razne skupove (desetice, stotice i sl.) i vidjeli da brojevi u zapisu višeznamenkastog prirodnog broja označavaju broj jedinica u svakom od takvih skupova.

Čitanje prirodnih brojeva, klase

U gornjoj teoriji naveli smo nazive prirodnih brojeva. U tablici 1 navodimo kako pravilno koristiti nazive jednoznamenkastih prirodnih brojeva u govoru i pisanju:

Broj	Muški	Ženski	Srednji spol
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Jedan Dva Tri četiri Pet Šest sedam Osam Devet	Jedan Dva Tri četiri Pet Šest sedam Osam Devet	Jedan Dva Tri četiri Pet Šest sedam Osam Devet

Broj	Nominativ padeža	Genitiv	Dativ	Akuzativ	Instrumentalni slučaj	Prijedložni
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Jedan Dva Tri četiri Pet Šest sedam Osam Devet	Jedan Dva Tri četiri Pet Šest Polu Osam Devet	sama Dva Tri četiri Pet Šest Polu Osam Devet	Jedan Dva Tri četiri Pet Šest sedam Osam Devet	Jedan Dva Tri četiri Pet Šest Obitelj Osam Devet	O jednoj stvari Oko dva Oko tri Oko četiri Opet Oko šest Oko sedam Oko osam Oko devet

Za ispravno čitanje i pisanje dvoznamenkastih brojeva potrebno je zapamtiti podatke u tablici 2:

Broj	Muški, ženski i srednji rod
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	Deset Jedanaest Dvanaest Trinaest Četrnaest Petnaest Šesnaest Sedamnaest Osamnaest Devetnaest Dvadeset Trideset Četrdeset Pedeset Šezdeset Sedamdeset Osamdeset Devedeset

Broj	Nominativ padeža	Genitiv	Dativ	Akuzativ	Instrumentalni slučaj	Prijedložni
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	Deset Jedanaest Dvanaest Trinaest Četrnaest Petnaest Šesnaest Sedamnaest Osamnaest Devetnaest Dvadeset Trideset Četrdeset Pedeset Šezdeset Sedamdeset Osamdeset Devedeset	Deset Jedanaest Dvanaest Trinaest Četrnaest Petnaest Šesnaest Sedamnaest Osamnaest Devetnaest Dvadeset Trideset Svraka Pedeset Šezdeset Sedamdeset Osamdeset Devedeset	Deset Jedanaest Dvanaest Trinaest Četrnaest Petnaest Šesnaest Sedamnaest Osamnaest Devetnaest Dvadeset Trideset Svraka Pedeset Šezdeset Sedamdeset Osamdeset Devedeset	Deset Jedanaest Dvanaest Trinaest Četrnaest Petnaest Šesnaest Sedamnaest Osamnaest Devetnaest Dvadeset Trideset Četrdeset Pedeset Šezdeset Sedamdeset Osamdeset Devedeset	Deset Jedanaest dvanaest Trinaest Četrnaest Petnaest Šesnaest Sedamnaest Osamnaest Devetnaest Dvadeset Trideset Svraka Pedeset šezdeset Sedamdeset Osamdeset devetnaest	Oko deset Oko jedanaest Oko dvanaest Oko trinaest Oko četrnaest Oko petnaest Oko šesnaest Oko sedamnaest Oko osamnaest Oko devetnaest Dvadesetak Oko trideset O svrako Pedesetak Oko šezdeset Oko sedamdeset Oko osamdeset Oh devedeset

Za čitanje ostalih dvoznamenkastih prirodnih brojeva koristit ćemo podatke iz obje tablice, što ćemo razmotriti na primjeru. Recimo da trebamo pročitati dvoznamenkasti prirodni broj 21. Ovaj broj sadrži 1 jedinicu i 2 desetice, tj. 20 i 1. Prelazeći na tablice, označeni broj čitamo kao “dvadeset i jedan”, dok veznik “i” između riječi ne treba izgovarati. Recimo da trebamo upotrijebiti naznačeni broj 21 u određenoj rečenici, označavajući broj objekata u genitivnom slučaju: "nema 21 jabuke." U ovom slučaju, izgovor će zvučati ovako: "nema dvadeset i jedne jabuke."

Navedimo još jedan primjer radi jasnoće: broj 76, koji se čita kao "sedamdeset i šest" i, na primjer, "sedamdeset i šest tona".

Broj	Nominativ	Genitiv	Dativ	Akuzativ	Instrumentalni slučaj	Prijedložni
100 200 300 400 500 600 700 800 900	Jedna stotina dvije stotine Tristo Četiri stotine Petsto Šesto Sedamsto Osamsto Devet stotina	stotina dvije stotine Tristo Četiri stotine Petsto Šesto Sedamsto Osamsto Devet stotina	stotina dvije stotine Tristo Četiri stotine Petsto Šesto Semistam Osamsto Devet stotina	Jedna stotina dvije stotine Tristo Četiri stotine Petsto Šesto Sedamsto Osamsto Devet stotina	stotina dvije stotine Tristo Četiri stotine Petsto Šesto Sedamsto Osamsto Devet stotina	O sto Oko dvije stotine Oko tri stotine Oko četiri stotine Oko pet stotina Oko šest stotina Oko sedam stotina Oko osam stotina Oko devet stotina

Za potpuno očitavanje troznamenkastog broja koristimo i podatke iz svih navedenih tablica. Na primjer, dat je prirodni broj 305. Ovaj broj odgovara 5 jedinica, 0 desetica i 3 stotine: 300 i 5. Uzimajući tablicu kao osnovu, čitamo: "tri stotine i pet" ili u deklinaciji po padežima, na primjer, ovako: "tri stotine i pet metara".

Pročitajmo još jedan broj: 543. Prema pravilima tablica, naznačeni broj će zvučati ovako: "petsto četrdeset i tri" ili u deklinaciji prema slučajevima, na primjer, ovako: "nema petsto četrdeset i tri rublje".

Prijeđimo na opći principčitanje višeznamenkastih prirodnih brojeva: da biste pročitali višeznamenkasti broj, potrebno ga je s desna na lijevo podijeliti u skupine od po tri znamenke, a krajnja lijeva skupina može imati 1, 2 ili 3 znamenke. Takve grupe se nazivaju klasama.

Krajnja desna klasa je klasa jedinica; zatim sljedeći razred, lijevo - razred tisućica; dalje – milijunska klasa; zatim dolazi klasa milijardi, nakon koje slijedi klasa bilijuna. Sljedeće klase također imaju ime, ali se prirodni brojevi sastoje od velika količina znakovi (16, 17 ili više) rijetko se koriste u čitanju; prilično ih je teško percipirati na uho.

Radi lakšeg čitanja zapisa razredi su međusobno odvojeni malim udubljenjem. Na primjer, 31.013.736, 134.678, 23.476.009.434, 2.533.467.001.222.

Klasa bilijun	Klasa milijarde	Klasa milijuni	Klasa tisuća	Klasa jedinice
			134	678
		31	013	736
	23	476	009	434
2	533	467	001	222

Za čitanje višeznamenkastog broja nazivamo redom brojeve koji ga čine (slijeva na desno po razredu, dodajući naziv razreda). Naziv razreda jedinica se ne izgovara, a ne izgovaraju se ni oni razredi koji čine tri znamenke 0. Ako jedna klasa sadrži jednu ili dvije znamenke s lijeve strane, tada se one ne koriste ni na koji način pri čitanju. Na primjer, 054 će se čitati kao "pedeset četiri" ili 001 kao "jedan".

Primjer 1

Pogledajmo detaljno čitanje broja 2.533.467.001.222:

Broj 2 čitamo kao sastavnicu klase trilijuna - “dva”;

Dodavanjem naziva klase dobivamo: “dva bilijuna”;

Čitamo sljedeći broj, dodajući naziv odgovarajuće klase: “petsto trideset tri milijarde”;

Nastavljamo analogijom, čitajući sljedeću klasu s desne strane: “četiristo šezdeset sedam milijuna”;

U sljedećoj klasi vidimo dvije znamenke 0 koje se nalaze s lijeve strane. Prema gornjim pravilima čitanja, znamenke 0 se odbacuju i ne sudjeluju u čitanju zapisa. Tada dobivamo: “tisuću”;

Zadnju klasu jedinica čitamo bez dodavanja njenog imena - "dvjesto dvadeset i dvije".

Dakle, broj 2 533 467 001 222 zvučat će ovako: dva trilijuna petsto trideset tri milijarde četiri stotine šezdeset sedam milijuna tisuću dvjesto dvadeset dva. Koristeći ovaj princip, pročitat ćemo ostale zadane brojeve:

31.013.736 – trideset jedan milijun trinaest tisuća sedamsto trideset šest;

134 678 – sto trideset i četiri tisuće šeststo sedamdeset i osam;

23 476 009 434 – dvadeset tri milijarde četiri stotine sedamdeset šest milijuna devet tisuća četiri stotine trideset četiri.

Dakle, osnova za pravilno čitanje višeznamenkastih brojeva je vještina dijeljenja višeznamenkastog broja na klase, poznavanje odgovarajućih naziva i razumijevanje principa čitanja dvoznamenkastih i troznamenkastih brojeva.

Kao što je već jasno iz svega navedenog, njegova vrijednost ovisi o poziciji na kojoj se znamenka pojavljuje u zapisu broja. To jest, na primjer, broj 3 u prirodnom broju 314 označava broj stotina, odnosno 3 stotine. Broj 2 je broj desetica (1 desetica), a broj 4 je broj jedinica (4 jedinice). U ovom slučaju ćemo reći da je broj 4 na mjestu jedinica i da je vrijednost mjesta jedinica u zadanom broju. Broj 1 nalazi se na mjestu desetica i služi kao vrijednost mjesta desetica. Broj 3 nalazi se na mjestu stotica i vrijednost je mjesta stotica.

Definicija 7

Pražnjenje- ovo je položaj znamenke u zapisu prirodnog broja, kao i vrijednost te znamenke, koja je određena njezinim položajem u danom broju.

Kategorije imaju svoje nazive, već smo ih koristili gore. S desna na lijevo idu znamenke: jedinice, desetice, stotine, tisuće, desetke tisuća itd.

Za lakše pamćenje možete koristiti sljedeću tablicu (navodimo 15 znamenki):

Razjasnimo ovaj detalj: broj znamenki u danom višeznamenkastom broju jednak je broju znakova u zapisu broja. Na primjer, ova tablica sadrži nazive svih znamenki za broj od 15 znamenki. Naknadna pražnjenja također imaju imena, ali se koriste izuzetno rijetko i vrlo su nezgodna za čuti.

Uz pomoć takve tablice moguće je razvijati vještinu određivanja znamenke upisivanjem zadanog prirodnog broja u tablicu tako da se krajnja desna znamenka upiše u znamenku jedinica, a zatim u svaku znamenku pojedinačno. Na primjer, zapišimo višeznamenkasti prirodni broj 56,402,513,674 ovako:

Obratite pozornost na broj 0, koji se nalazi u znamenki desetaka milijuna - to znači nepostojanje jedinica ove znamenke.

Uvedimo i pojmove najniže i najviše znamenke višeznamenkastog broja.

Definicija 8

Najniži (mlađi) rang bilo kojeg višeznamenkastog prirodnog broja – znamenka jedinica.

Najviša (seniorska) kategorija bilo kojeg višeznamenkastog prirodnog broja – znamenka koja odgovara krajnjoj lijevoj znamenki u zapisu danog broja.

Tako, na primjer, u broju 41.781: najniža znamenka je znamenka jedinica; Najviši rang je rang desetaka tisuća.

Logično slijedi da je moguće govoriti o seniornosti znamenki jedna u odnosu na drugu. Svaka sljedeća znamenka, kada se kreće s lijeva na desno, niža je (mlađa) od prethodne. I obrnuto: pri pomicanju s desna na lijevo svaka sljedeća znamenka je viša (starija) od prethodne. Na primjer, mjesto tisuća je starije od mjesta stotina, ali je mlađe od mjesta milijuna.

Razjasnimo to pri rješavanju nekih praktični primjeri Ne koristi se sam prirodni broj, već zbroj članova znamenki danog broja.

Ukratko o decimalnom brojevnom sustavu

Definicija 9

Notacija– način zapisivanja brojeva pomoću znakova.

Pozicijski brojevni sustavi– one u kojima značenje znamenke u broju ovisi o njezinu položaju u zapisu broja.

Prema ovu definiciju, možemo reći da smo, proučavajući prirodne brojeve i način na koji su gore zapisani, koristili položajni brojevni sustav. Broj 10 ovdje ima posebno mjesto. Brojimo deseticama: deset jedinica čini deseticu, deset desetica će se spojiti u stotinu itd. Broj 10 služi kao baza ovog brojevnog sustava, a sam sustav se još naziva i decimalni.

Osim njega, postoje i drugi sustavi brojeva. Na primjer, informatika koristi binarni sustav. Kada pratimo vrijeme, koristimo seksagezimalni brojevni sustav.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Prirodni brojevi i njihova svojstva

Prirodni brojevi se koriste za brojanje objekata u životu. Pri pisanju bilo kojeg prirodnog broja koriste se brojevi $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$.

Niz prirodnih brojeva, u kojem je svaki sljedeći broj za $1$ veći od prethodnog, čini prirodni niz, koji počinje s jedinicom (jer je jedan najmanji prirodni broj) i nema najveća vrijednost, tj. beskonačan.

Nula se ne smatra prirodnim brojem.

Svojstva nasljednog odnosa

Sva svojstva prirodnih brojeva i operacija nad njima proizlaze iz četiriju svojstava sukcesijskih odnosa koje je 1891. godine formulirao D. Peano:

Jedan je prirodni broj koji ne slijedi ni jedan prirodni broj.

Iza svakog prirodnog broja slijedi jedan i samo jedan broj

Svaki prirodni broj osim $1$ slijedi jedan i samo jedan prirodni broj

Podskup prirodnih brojeva koji sadrži broj $1$, a uz svaki broj i broj iza njega, sadrži sve prirodne brojeve.

Ako se unos prirodnog broja sastoji od jedne znamenke, naziva se jednoznamenkasti (npr. $2,6.9$ itd.), ako se unos sastoji od dvije znamenke, naziva se dvoznamenkasti (npr. $12 ,18,45$) itd. Na sličan način. Dvoznamenkasti, troznamenkasti, četveroznamenkasti itd. U matematici se brojevi nazivaju višeznačnima.

Svojstvo zbrajanja prirodnih brojeva

Komutativno svojstvo: $a+b=b+a$

Zbroj se ne mijenja kada se članovi preuređuju

Kombinativno svojstvo: $a+ (b+c) =(a+b) +c$

Da biste zbroju dvaju brojeva dodali broj, prvo možete dodati prvi član, a zatim, dobivenom zbroju, dodati drugi član

Dodavanje nule ne mijenja broj, a ako nuli dodate bilo koji broj, dobit ćete dodani broj.

Svojstva oduzimanja

Svojstvo oduzimanja zbroja od broja $a-(b+c) =a-b-c$ ako je $b+c ≤ a$

Da biste od broja oduzeli zbroj, prvo morate od tog broja oduzeti prvi član, a zatim od dobivene razlike drugi član.

Svojstvo oduzimanja broja od zbroja $(a+b) -c=a+(b-c)$ ako je $c ≤ b$

Da biste od zbroja oduzeli broj, možete ga oduzeti od jednog člana i dodati drugi član dobivenoj razlici.

Ako od broja oduzmete nulu, broj se neće promijeniti

Ako ga oduzmete od samog broja, dobit ćete nulu

Svojstva množenja

Komunikativni $a\cdot b=b\cdot a$

Umnožak dvaju brojeva ne mijenja se kad se faktori preslože

Konjunktiv $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

Da biste broj pomnožili s umnoškom dvaju brojeva, prvo ga pomnožite s prvim faktorom, a zatim dobiveni umnožak s drugim faktorom

Kada se pomnoži s jedan, proizvod se ne mijenja $m\cdot 1=m$

Kada se pomnoži s nulom, proizvod je nula

Kada u zapisu umnoška nema zagrada, množenje se izvodi redom s lijeva na desno

Svojstva množenja u odnosu na zbrajanje i oduzimanje

Svojstvo distribucije množenja u odnosu na zbrajanje

$(a+b)\cdot c=ac+bc$

Da biste pomnožili zbroj s brojem, možete pomnožiti svaki izraz s tim brojem i zbrojiti dobivene umnoške

Na primjer, $5(x+y)=5x+5y$

Svojstvo distribucije množenja u odnosu na oduzimanje

$(a-b)\cdot c=ac-bc$

Da biste razliku pomnožili s brojem, pomnožite umanjenik i oduzetak s tim brojem i oduzmite drugi od prvog umnoška

Na primjer, $5(x-y)=5x-5y$

Usporedba prirodnih brojeva

Za bilo koje prirodne brojeve $a$ i $b$ može biti zadovoljena samo jedna od tri relacije: $a=b$, $a

Broj koji se pojavi ranije u prirodnom nizu smatra se manjim, a broj koji se pojavi kasnije većim. Nula je manja od bilo kojeg prirodnog broja.

Primjer 1

Usporedite brojeve $a$ i $555$, ako je poznato da postoji određeni broj $b$, a vrijede relacije $a

Riješenje: Na temelju navedenog svojstva, jer prema uvjetu $a

u svakom podskupu prirodnih brojeva koji sadrži barem jedan broj postoji najmanji broj

U matematici, podskup je dio skupa. Za skup se kaže da je podskup drugog ako je svaki element podskupa ujedno i element većeg skupa

Često, da bi usporedili brojeve, pronađu njihovu razliku i usporede je s nulom. Ako je razlika veća od $0$, ali je prvi broj veći od drugog, ako je razlika manja od $0$, tada je prvi broj manji od drugog.

Zaokruživanje prirodnih brojeva

Kada puna preciznost nije potrebna ili nije moguća, brojevi se zaokružuju, odnosno zamjenjuju se bliskim brojevima s nulama na kraju.

Prirodni brojevi se zaokružuju na desetice, stotine, tisuće itd.

Kada se broj zaokružuje na desetice, zamjenjuje se najbližim brojem koji se sastoji od cijelih desetica; takav broj na mjestu jedinica ima znamenku $0$

Kada se broj zaokružuje na najbližu stotinu, zamjenjuje se najbližim brojem koji se sastoji od cijelih stotina; takav broj mora imati znamenku $0$ na mjestu desetica i jedinica. itd

Brojevi na koje se ovo zaokružuje nazivaju se približnom vrijednošću broja s točnošću naznačenih znamenki. Na primjer, ako zaokružite broj $564$ na desetice, nalazimo da ga možete zaokružiti prema dolje i dobiti $560$, ili s viškom i dobiti 570$.

Pravilo zaokruživanja prirodnih brojeva

Ako se desno od znamenke na koju je broj zaokružen nalazi znamenka $5$ ili znamenka veća od $5$, tada se znamenki te znamenke dodaje $1$; inače se ova brojka ne mijenja

Sve znamenke koje se nalaze desno od znamenke na koju je broj zaokružen zamjenjuju se nulama

Prirodni brojevi jedan su od najstarijih matematičkih pojmova.

U dalekoj prošlosti ljudi nisu poznavali brojeve i kada su trebali prebrojati predmete (životinje, ribe i sl.), radili su to drugačije nego mi sada.

Broj predmeta uspoređivali su s dijelovima tijela, na primjer, s prstima na ruci i govorili: "Imam onoliko oraha koliko ima prstiju na ruci."

S vremenom su ljudi shvatili da pet oraha, pet koza i pet zečeva imaju zajedničko svojstvo - njihov broj je jednak pet.

Zapamtiti!

Cijeli brojevi- to su brojevi, počevši od 1, dobiveni prebrojavanjem predmeta.

1, 2, 3, 4, 5…

Najmanji prirodni broj — 1 .

Najveći prirodni broj ne postoji.

Pri brojanju se ne koristi broj nula. Stoga se nula ne smatra prirodnim brojem.

Ljudi su mnogo kasnije naučili pisati brojeve nego brojati. Prije svega, počeli su prikazivati ​​jedan s jednim štapom, zatim s dva štapa - broj 2, s tri - broj 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Zatim su se pojavili posebni znakovi za označavanje brojeva - prethodnika modernih brojeva. Brojevi koje koristimo za pisanje brojeva potječu iz Indije prije otprilike 1500 godina. Arapi su ih donijeli u Europu, po čemu se i zovu arapski brojevi.

Ukupno ima deset brojeva: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Pomoću ovih brojeva možete napisati bilo koji prirodni broj.

Zapamtiti!

Prirodne serije je niz svih prirodnih brojeva:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

U prirodnom nizu svaki broj je veći od prethodnog za 1.

Prirodni niz je beskonačan, u njemu ne postoji najveći prirodni broj.

Sustav brojanja koji koristimo zove se decimalni pozicijski.

Decimala jer 10 jedinica svake znamenke čini 1 jedinicu najznačajnije znamenke. Pozicijski jer značenje znamenke ovisi o njezinu mjestu u zapisu broja, odnosno o znamenki kojom je zapisana.

Važno!

Klase iza milijarde nazvane su prema latinskim nazivima brojeva. Svaka sljedeća jedinica sadrži tisuću prethodnih.

• 1.000 milijardi = 1.000.000.000.000 = 1 trilijun ("tri" je latinski za "tri")
• 1.000 trilijuna = 1.000.000.000.000.000 = 1 kvadrilijun ("quadra" je latinski za "četiri")
• 1.000 kvadrilijuna = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 kvintilijun ("kvinta" je latinski za "pet")

Međutim, fizičari su pronašli brojku koja premašuje broj svih atoma (najsitnijih čestica materije) u cijelom Svemiru.

Ovaj broj je dobio posebno ime - googol. Googol je broj sa 100 nula.

Gdje počinje učenje matematike? Da, tako je, iz proučavanja prirodnih brojeva i operacija s njima.Cijeli brojevi (izlat. naturalis- prirodno; prirodni brojevi) -brojevima koji se prirodno javljaju pri brojanju (npr. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...). Niz svih prirodnih brojeva poredanih rastućim redoslijedom nazivamo prirodnim nizom.

Postoje dva pristupa definiranju prirodnih brojeva:

1. brojanje (numeriranje) stavke ( prvi, drugi, treći, Četvrta, peti"…);
2. prirodni brojevi su brojevi koji nastaju kada oznaka količine stavke ( 0 stavki, 1 stavka, 2 stavke, 3 predmeta, 4 predmeta, 5 predmeta ).

U prvom slučaju, niz prirodnih brojeva počinje s jedinicom, u drugom - s nulom. Ne postoji konsenzus među većinom matematičara o tome je li prvi ili drugi pristup bolji (odnosno, treba li nulu smatrati prirodnim brojem ili ne). Ogromna većina ruskih izvora tradicionalno prihvaća prvi pristup. Drugi pristup, na primjer, koristi se u radovimaNicolas Bourbaki , gdje su prirodni brojevi definirani kaovlast konačni skupovi .

Negativan i cijeli broj (racionalan , stvaran ,...) brojevi se ne smatraju prirodnim brojevima.

Skup svih prirodnih brojeva obično se označava simbolom N (odlat. naturalis- prirodno). Skup prirodnih brojeva je beskonačan, jer za svaki prirodni broj n postoji prirodni broj veći od n.

Prisutnost nule olakšava formuliranje i dokazivanje mnogih teorema u aritmetici prirodnih brojeva, tako da prvi pristup uvodi koristan koncept prošireni prirodni raspon , uključujući nulu. Proširena serija označena je N 0 ili Z 0 .

DOzatvorene operacije (operacije koje ne izvode rezultat iz skupa prirodnih brojeva) nad prirodnim brojevima uključuju sljedeće aritmetičke operacije:

• dodatak: pojam + pojam = zbroj;
• množenje: faktor × faktor = proizvod;
• potenciranje: a b , gdje je a baza stupnja, b je eksponent. Ako su a i b prirodni brojevi, tada će rezultat biti prirodan broj.

Uz to, razmatraju se još dvije operacije (s formalnog gledišta, one nisu operacije nad prirodnim brojevima, jer nisu definirane za sveparovi brojeva (ponekad postoje, ponekad ne)):

• oduzimanje: minuend - subtrahend = razlika. U tom slučaju umanjenik mora biti veći od oduzetika (ili mu jednak ako nulu smatramo prirodnim brojem)
• dijeljenje s ostatkom: dividenda / djelitelj = (količnik, ostatak). Kvocijent p i ostatak r od dijeljenja a s b definirani su na sljedeći način: a=p*r+b, s 0<=r

Treba napomenuti da su operacije zbrajanja i množenja temeljne. Posebno,