Rješavanje logaritamskih nejednadžbi s istim bazama. Sve o logaritamskim nejednakostima


Među cijelom raznolikošću logaritamskih nejednakosti posebno se proučavaju nejednadžbe s promjenjivom bazom. Rješavaju se pomoću posebne formule, koja se iz nekog razloga rijetko uči u školi:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Umjesto potvrdnog okvira “∨” možete staviti bilo koji znak nejednakosti: više ili manje. Glavna stvar je da su u obje nejednakosti predznaci isti.

Na taj se način rješavamo logaritama i problem svodimo na racionalnu nejednadžbu. Potonje je mnogo lakše riješiti, ali kada se odbace logaritmi, mogu se pojaviti dodatni korijeni. Da biste ih odrezali, dovoljno je pronaći područje prihvatljive vrijednosti. Ako ste zaboravili ODZ logaritma, preporučujem da ga ponovite - pogledajte “Što je logaritam”.

Sve što se odnosi na raspon prihvatljivih vrijednosti mora se posebno napisati i riješiti:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Ove četiri nejednakosti čine sustav i moraju biti zadovoljene istovremeno. Kada se pronađe raspon prihvatljivih vrijednosti, ostaje samo presjeći ga s rješenjem racionalna nejednakost- i odgovor je spreman.

Zadatak. Riješite nejednadžbu:

Prvo napišimo ODZ logaritma:

Prve dvije nejednakosti su automatski zadovoljene, ali posljednju ćemo morati ispisati. Budući da je kvadrat broja nula ako i samo ako je sam broj nula, imamo:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Ispada da su ODZ logaritma svi brojevi osim nule: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Sada rješavamo glavnu nejednakost:

Vršimo prijelaz iz logaritamska nejednakost do racionalnog. Izvorna nejednakost ima predznak "manje od", što znači da rezultirajuća nejednakost također mora imati predznak "manje od". Imamo:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Nule ovog izraza su: x = 3; x = −3; x = 0. Štoviše, x = 0 je korijen druge množine, što znači da se pri prolasku kroz njega predznak funkcije ne mijenja. Imamo:

Dobivamo x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ovaj skup je u potpunosti sadržan u ODZ logaritma, što znači da je ovo odgovor.

Pretvaranje logaritamskih nejednakosti

Često se izvorna nejednakost razlikuje od gornje. To se može lako ispraviti korištenjem standardnih pravila za rad s logaritmima - pogledajte “Osnovna svojstva logaritama”. Naime:

  1. Bilo koji broj može se prikazati kao logaritam sa zadanom bazom;
  2. Zbroj i razlika logaritama s istim bazama mogu se zamijeniti jednim logaritmom.

Zasebno bih vas želio podsjetiti na raspon prihvatljivih vrijednosti. Budući da u izvornoj nejednadžbi može postojati nekoliko logaritama, potrebno je pronaći VA svakog od njih. Tako, opća shema Rješenja logaritamskih nejednakosti su sljedeća:

  1. Pronađite VA svakog logaritma uključenog u nejednadžbu;
  2. Svesti nejednadžbu na standardnu ​​pomoću formula za zbrajanje i oduzimanje logaritama;
  3. Riješite dobivenu nejednadžbu pomoću gornje sheme.

Zadatak. Riješite nejednadžbu:

Nađimo domenu definicije (DO) prvog logaritma:

Rješavamo metodom intervala. Pronalaženje nula brojnika:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Zatim - nule nazivnika:

x − 1 = 0;
x = 1.

Na koordinatnoj strelici označavamo nule i znakove:

Dobivamo x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Drugi logaritam će imati isti VA. Ako ne vjerujete, možete provjeriti. Sada transformiramo drugi logaritam tako da je baza dva:

Kao što vidite, trojke na bazi i ispred logaritma su smanjene. Dobili smo dva logaritma s istom bazom. Zbrojimo ih:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Dobili smo standardnu ​​logaritamsku nejednakost. Rješavamo se logaritama pomoću formule. Budući da izvorna nejednadžba sadrži znak "manje od", rezultirajući racionalni izraz također mora biti manji od nule. Imamo:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Imamo dva kompleta:

  1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
  2. Odgovor kandidata: x ∈ (−1; 3).

Preostaje presjeći te skupove - dobivamo pravi odgovor:

Zanima nas presjek skupova, pa odabiremo intervale koji su osjenčani na obje strelice. Dobivamo x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - sve točke su punktirane.

Mislite li da još ima vremena prije Jedinstvenog državnog ispita i da ćete imati vremena za pripremu? Možda je to tako. Ali u svakom slučaju, što student ranije započne pripreme, to uspješnije položi ispite. Danas smo odlučili posvetiti članak logaritamskim nejednakostima. Ovo je jedan od zadataka, što znači mogućnost dobivanja dodatnog kredita.

Znate li već što je logaritam? Zaista se nadamo. Ali čak i ako nemate odgovor na ovo pitanje, to nije problem. Vrlo je jednostavno razumjeti što je logaritam.

Zašto 4? Morate podići broj 3 na ovu potenciju da biste dobili 81. Nakon što shvatite princip, možete nastaviti sa složenijim izračunima.

Prošli ste kroz nejednakosti prije nekoliko godina. I od tada ih stalno susrećete u matematici. Ako imate problema s rješavanjem nejednakosti, pogledajte odgovarajući odjeljak.
Sada kada smo se upoznali s konceptima pojedinačno, prijeđimo na njihovo općenito razmatranje.

Najjednostavnija logaritamska nejednadžba.

Najjednostavnije logaritamske nejednakosti nisu ograničene na ovaj primjer; postoje još tri, samo s različitim predznacima. Zašto je to potrebno? Da bismo bolje razumjeli kako rješavati nejednadžbe logaritmima. Dajmo sada primjenjiviji primjer, još uvijek prilično jednostavan; složene logaritamske nejednakosti ostavit ćemo za kasnije.

Kako to riješiti? Sve počinje s ODZ-om. Vrijedno je znati više o tome ako želite uvijek lako riješiti svaku nejednadžbu.

Što je ODZ? ODZ za logaritamske nejednadžbe

Kratica označava raspon prihvatljivih vrijednosti. Ova se formulacija često pojavljuje u zadacima za Jedinstveni državni ispit. ODZ će vam biti od koristi ne samo u slučaju logaritamskih nejednakosti.

Ponovno pogledajte gornji primjer. Na temelju njega ćemo razmotriti ODZ, kako biste razumjeli princip, a rješavanje logaritamskih nejednakosti ne postavlja pitanja. Iz definicije logaritma slijedi da 2x+4 mora biti veće od nule. U našem slučaju to znači sljedeće.

Ovaj broj, po definiciji, mora biti pozitivan. Riješite gornju nejednadžbu. To se može učiniti čak i usmeno, ovdje je jasno da X ne može biti manji od 2. Rješenje nejednakosti bit će definiranje raspona prihvatljivih vrijednosti.
Sada prijeđimo na rješavanje najjednostavnije logaritamske nejednadžbe.

Odbacujemo same logaritme s obje strane nejednakosti. Što nam kao rezultat ostaje? Jednostavna nejednakost.

Nije teško riješiti. X mora biti veći od -0,5. Sada kombiniramo dvije dobivene vrijednosti u sustav. Tako,

Ovo će biti raspon prihvatljivih vrijednosti za logaritamsku nejednakost koja se razmatra.

Zašto nam uopće treba ODZ? Ovo je prilika za uklanjanje netočnih i nemogućih odgovora. Ako odgovor nije unutar raspona prihvatljivih vrijednosti, tada odgovor jednostavno nema smisla. Ovo je vrijedno zapamtiti dugo vremena, jer na Jedinstvenom državnom ispitu često postoji potreba za traženjem ODZ-a, a ne odnosi se samo na logaritamske nejednakosti.

Algoritam za rješavanje logaritamske nejednadžbe

Rješenje se sastoji od nekoliko faza. Prvo morate pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti. U ODZ-u će biti dva značenja, o tome smo gore razgovarali. Zatim morate riješiti samu nejednadžbu. Metode rješenja su sljedeće:

  • metoda zamjene množitelja;
  • raspad;
  • metoda racionalizacije.

Ovisno o situaciji, vrijedi koristiti jednu od gore navedenih metoda. Prijeđimo izravno na rješenje. Otkrijmo najpopularniju metodu, koja je prikladna za rješavanje zadataka Jedinstvenog državnog ispita u gotovo svim slučajevima. Zatim ćemo pogledati metodu dekompozicije. Može pomoći ako naiđete na posebno nezgodnu nejednakost. Dakle, algoritam za rješavanje logaritamske nejednadžbe.

Primjeri rješenja :

Nismo uzalud uzeli upravo ovu nejednakost! Obratite pozornost na bazu. Upamtite: ako je veći od jedan, znak ostaje isti pri pronalaženju raspona prihvatljivih vrijednosti; u suprotnom, trebate promijeniti znak nejednakosti.

Kao rezultat toga dobivamo nejednakost:

Sada predstavljamo lijeva strana obliku jednadžbe jednaka nuli. Umjesto znaka “manje od” stavimo “jednako” i riješimo jednadžbu. Tako ćemo pronaći ODZ. Nadamo se da nećete imati problema s rješavanjem tako jednostavne jednadžbe. Odgovori su -4 i -2. To nije sve. Morate prikazati ove točke na grafikonu, stavljajući "+" i "-". Što za to treba učiniti? Zamijenite brojeve iz intervala u izraz. Gdje su vrijednosti pozitivne, tamo stavljamo "+".

Odgovor: x ne može biti veći od -4 ni manji od -2.

Pronašli smo raspon prihvatljivih vrijednosti samo za lijevu stranu; sada moramo pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti za desnu stranu. Ovo je puno lakše. Odgovor: -2. Presijecamo oba rezultirajuća područja.

I tek sada počinjemo rješavati samu nejednakost.

Pojednostavimo ga što je više moguće kako bismo ga lakše riješili.

Ponovno koristimo metodu intervala u rješenju. Preskočimo izračune, sve je već jasno iz prethodnog primjera. Odgovor.

Ali ova je metoda prikladna ako logaritamska nejednadžba ima iste baze.

Riješenje logaritamske jednadžbe a nejednakosti sa iz različitih razloga pretpostavlja početno svođenje na jednu osnovicu. Zatim upotrijebite gore opisanu metodu. Ali postoji i kompliciraniji slučaj. Razmotrimo jednu od najsloženijih vrsta logaritamskih nejednakosti.

Logaritamske nejednadžbe s promjenjivom bazom

Kako riješiti nejednadžbe s takvim karakteristikama? Da, i takvi se ljudi mogu naći na Jedinstvenom državnom ispitu. Rješavanje nejednakosti na sljedeći način također će imati blagotvoran učinak na vaš obrazovni proces. Hajdemo razumjeti problem detaljno. Odbacimo teoriju i prijeđimo ravno na praksu. Za rješavanje logaritamskih nejednakosti dovoljno je jednom se upoznati s primjerom.

Za rješavanje logaritamske nejednadžbe prikazanog oblika potrebno je desnu stranu svesti na logaritam s istom bazom. Princip nalikuje ekvivalentnim prijelazima. Kao rezultat toga, nejednakost će izgledati ovako.

Zapravo, sve što preostaje je stvoriti sustav nejednakosti bez logaritama. Koristeći se metodom racionalizacije, prelazimo na ekvivalentni sustav nejednakosti. Razumjet ćete samo pravilo kada zamijenite odgovarajuće vrijednosti i pratite njihove promjene. Sustav će imati sljedeće nejednakosti.

Kada koristite metodu racionalizacije pri rješavanju nejednakosti, morate zapamtiti sljedeće: jedan se mora oduzeti od baze, x se, po definiciji logaritma, oduzima od obje strane nejednadžbe (desno od lijevo), dva izraza se množe. i postaviti pod izvorni znak u odnosu na nulu.

Daljnje rješenje provodi se metodom intervala, ovdje je sve jednostavno. Važno je da razumijete razlike u metodama rješenja, tada će sve početi funkcionirati lako.

Postoje mnoge nijanse u logaritamskim nejednadžbama. Najjednostavnije od njih prilično je lako riješiti. Kako možete riješiti svaki od njih bez problema? Sve odgovore ste već dobili u ovom članku. Sada je pred vama duga praksa. Konstantno vježbajte rješavanje raznih zadataka na ispitu i moći ćete dobiti najvišu ocjenu. Sretno vam u vašem teškom zadatku!

Nejednadžba se naziva logaritamskom ako sadrži logaritamsku funkciju.

Metode za rješavanje logaritamskih nejednakosti ne razlikuju se od, osim u dvije stvari.

Prvo, kada se prelazi s logaritamske nejednadžbe na nejednakost sublogaritamskih funkcija, treba slijedi znak dobivene nejednakosti. Poštuje sljedeće pravilo.

Ako je baza logaritamske funkcije veća od $1$, tada se pri prelasku s logaritamske nejednakosti na nejednakost podlogaritamskih funkcija znak nejednadžbe zadržava, ali ako je manji od $1$, tada se mijenja u suprotan .

Drugo, rješenje svake nejednadžbe je interval, pa je stoga na kraju rješavanja nejednakosti sublogaritamskih funkcija potrebno napraviti sustav dviju nejednadžbi: prva nejednadžba tog sustava bit će nejednakost sublogaritamskih funkcija, a drugi će biti interval domene definicije logaritamskih funkcija uključenih u logaritamsku nejednadžbu.

Praksa.

Riješimo nejednakosti:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Baza logaritma je $2>1$, pa se predznak ne mijenja. Koristeći definiciju logaritma, dobivamo:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )