Wzór na fazę napięcia początkowego. Prąd sinusoidalny i jego główne cechy

Wykład 2 Prąd sinusoidalny.doc

WYKŁAD 2

PRĄD SINUSOIDALNY. FORMY JEJ REPREZENTACJI.
W praktyce elektrotechniki jako prąd przemienny szerokie zastosowanie Znalazłem prąd sinusoidalny. Wynika to z szeregu zalet:

Generatory fal sinusoidalnych są znacznie tańsze w produkcji niż generatory prądu stałego;

Prąd przemienny można łatwo przekształcić w prąd stały;

Transformacja i transmisja energia elektryczna prąd przemienny jest bardziej ekonomiczny niż prąd stały;

Silniki prądu przemiennego mają prosty projekt, wysoka niezawodność i niski koszt.

Obecnie AC stosowane w napędach przemysłowych i oświetleniu elektrycznym, m.in rolnictwo oraz w transporcie, technologiach komunikacyjnych i życiu codziennym. Produkcja energii elektrycznej odbywa się również przy wykorzystaniu prądu przemiennego. Rosyjscy naukowcy P.N. Yablochkov i M.O. Dolivo-Dobrovolsky odegrali ogromną rolę we wprowadzeniu prądu przemiennego.
^ 1.Podstawowe parametry prądu sinusoidalnego
Prąd zmienny to prąd (napięcie, SEM), który zmienia się w czasie pod względem wielkości i kierunku. Prąd sinusoidalny można przedstawić za pomocą funkcji czasu rzeczywistego - sinus i cosinus, na przykład:

(2.1)
Gdzie I M- maksymalna amplituda prądu (wartość amplitudy);

 - częstotliwość kątowa i ;

F- częstotliwość oscylacji [Hz];

T- okres [C];

 I- faza początkowa, określa wartość aktualną w danym momencie T=0, tj.

I(T=0) = I M grzech  I .
Na ryc. Rysunek 2.1 przedstawia wykres dwóch oscylacji z różnymi fazami początkowymi  1 i  2 i  1   2. Amplituda harmoniczna przechodzi przez zero, gdy:

 T  =  N (N= 0,1,2...), tj. za chwile


.
Ponieważ  1   2, zatem T 1 następuje wcześniej T 2:

Ryc.2.1
Fazę początkową często podaje się w stopniach. Dlatego przy ustalaniu wartość chwilowa bieżący argument sinus (warunki  T I  ) należy przeliczyć na jedną jednostkę miary (rad lub stopień).

Czasami wibracje harmoniczne są przedstawiane w postaci cosinusa. Łatwo zauważyć, że aby przejść do tej postaci w (2.1) wystarczy zmienić tylko fazę początkową, tj.:

Częstotliwość przemysłowa prądu przemiennego w Rosji i wszystkich krajach europejskich wynosi 50 Hz, w USA i Japonii - 60 Hz, w lotnictwie - 400 Hz. Zmniejszenie częstotliwości poniżej 50 Hz pogarsza jakość oświetlenia. Wzrost częstotliwości pogarsza warunki przesyłania energii elektrycznej na duże odległości.

Wyrażenie na napięcie sinusoidalne jest podobne do (2.1), tj.:
ty(T) = U M grzech (  T  ty) (2.2)
Główne parametry napięcia wyznacza się analogicznie do (2.1).

Oprócz wspomnianych już parametrów, w praktyce elektrotechniki często stosuje się pojęcia wartości średnich i skutecznych prądu i napięcia. Przyjrzyjmy się im.

Przez wartość średnią prądu sinusoidalnego rozumie się jego wartość średnią w półokresie:


(2.3)
Widzimy, że średnia wartość prądu sinusoidalnego wynosi 2/   0,64 amplitudy. W podobny sposób wyznacza się średnią wartość napięcia sinusoidalnego
.
Wartość skuteczna to średnia kwadratowa wartości prądu sinusoidalnego (napięcia) w okresie:
.
Ponieważ:

,
To:

.
Widzimy, że wartość skuteczna prądu sinusoidalnego wynosi 0,707 wartości amplitudy. Wartość skuteczną napięcia sinusoidalnego określa się w podobny sposób:
.
Jeśli mówią o wartościach prądu przemiennego lub napięcia, to z reguły mają na myśli wartość efektywna. Na przykład napięcie w jednofazowej sieci prądu przemiennego wynosi 220 V - efektywne. W tym przypadku wartość amplitudy U M 310 V.

^ 2.Reprezentacja sinusoidalnego promienia prądu (napięcia) za pomocą wektora.
Podczas analizy stanu obwody elektryczne prądu przemiennego należy obliczyć sumę lub różnicę oscylacji o tych samych częstotliwościach, ale o różnych amplitudach i fazach początkowych. Rozwiązanie takiego problemu przy użyciu rozważanej formy reprezentacji (czyli funkcji trygonometrycznych) jest dość trudne.

Załóżmy, że musimy znaleźć prąd I(T) = I 1 (T) I 2 (T), I:
I 1 (T) = I M 1  grzech (  T  1),
I 2 (T) = I M 2  grzech (  T  2).
Ponieważ częstotliwości oscylacji są takie same, problem sprowadza się do znalezienia całkowitych wartości amplitud I M i faza początkowa  . Jeśli do rozwiązania zastosujemy znane przekształcenia trygonometryczne, otrzymamy:
,
.
Widzimy, że nawet końcowy wynik ma nieporęczny i dyskretny wygląd.

Znaczące uproszczenie uzyskuje się stosując metodę graficzną. Reprezentacja wektorowa wielkości sinusoidalnych jest znana z trygonometrii. Prąd sinusoidalny (napięcie) jest przedstawiany jako wektor promienia obracający się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara z częstotliwością  . Długość wektora jest równa wartości amplitudy - I M. W tym okresie wektor wykonuje jeden obrót (ryc. 2.2).

Położenie wektora promienia względem osi X na początku odliczania T=0 jest określone przez kąt  . Rzut wektora na oś Y określa się za pomocą wyrażenia (2.1).

Jeden diagram wektorowy może na przykład przedstawiać wektory kilku oscylacji I 1 (T) I I 2 (T) (ryc. 2.3). Aby uprościć analizę, wszystkie wektory są przedstawiane w jednej chwili T=0. Następnie sumę dwóch wektorów wyznacza reguła równoległoboku. Powstały wektor promienia również obraca się wokół początku z częstotliwością  i jego rzut na oś Y jest określona przez wyrażenie
I(T) = I M grzech (  T  ),
Gdzie  - położenie wektora całkowitego względem osi X w pewnym momencie T=0.

Prostota rozwiązania jest oczywista. Jednakże metoda graficzna ma istotną wadę - niską dokładność. Dlatego najczęściej stosuje się go do jakościowej analizy obwodów elektrycznych z wykorzystaniem topograficznych wektorowych wykresów napięć.

Aby skonstruować wektorowy diagram topograficzny analizowanego obwodu elektrycznego, identyfikuje się kilka odcinków wzdłuż kierunku obejścia. Spadek napięcia w każdej sekcji można określić za pomocą wektora. Instalując każdy kolejny wektor (w kierunku obejścia) w punkcie końcowym poprzedniego wektora, otrzymujemy topograficzny wektorowy wykres napięcia. Wektor między dowolnymi dwoma punktami tego schematu charakteryzuje napięcie między odpowiednimi punktami obwodu elektrycznego.

1. 
   ^ Złożony obraz prądu sinusoidalnego.

Kompleksowa reprezentacja sinusoidalnych prądów i napięć pozwala połączyć prostotę i przejrzystość reprezentacji wektorowej z dokładnością reprezentacji za pomocą funkcji czasu rzeczywistego. Aby przejść od reprezentacji graficznej do złożonej, zastępujemy osie kartezjańskiego układu współrzędnych (ryc. 2.2) w następujący sposób:

Oś ^X do osi rzeczywistej R mi ;

Oś Y na osi liczb urojonych J M(ryc. 2.4).

W tym przypadku długość wektora prądu (napięcia) jest nadal określana przez wartość amplitudy, ale jest oznaczona jako ilość złożona, tj.

. Kąt nachylenia wektora do osi liczb rzeczywistych R mi w pewnym momencie T=0 pozostaje takie samo, tj.  .

Oznaczmy rzut wektora na oś liczby rzeczywiste I / = I Mkos  , oraz rzut na oś liczb urojonych = I M grzech  . Wtedy oczywiste jest, że:

, (2.5)
Gdzie J- jest jednostką urojoną, oraz -

Wyrażenie (2.5) definiuje złożoną postać algebraiczną przedstawiania prądu sinusoidalnego. Jest wygodny do wykonywania operacji dodawania i odejmowania prądów (napięć).

Rzeczywiście, aby dodać dwie liczby zespolone, wystarczy osobno dodać liczby rzeczywiste i urojone.

Zastąpmy ich wartości zamiast i w (2.5). Następnie otrzymujemy:
İ

, (2.6)
gdzie jest modułem złożonej reprezentacji prądu, liczbowo równym wartości amplitudy.

Wyrażenie (2.6) określa złożoną postać trygonometryczną sinusoidalnej reprezentacji prądu. Z ryc. 2.4 jest oczywiste, że:


, A

. (2.7)
Widzimy, że wyrażenia (2.7) charakteryzują parametry prądu sinusoidalnego niezależne od czasu - amplitudę rzeczywistą i fazę początkową . Ułatwiają przejście od złożonej formy reprezentacji do reprezentacji funkcji czasu rzeczywistego.

Wprowadźmy zależność od czasu do (2.5). Następnie:
İ

, (2.8)
Gdzie
Teraz jest oczywiste, że część rzeczywista (2.8) charakteryzuje rzeczywiście istniejące drgania, opisane przez rzeczywistą funkcję cosinus, natomiast część urojona jest tym samym drganiem w postaci sinusoidalnej.

Korzystając ze wzoru Eulera, przechodzimy od (2.6) do postaci wykładniczej złożonej reprezentacji prądu:
İ

, (2.9)
i biorąc pod uwagę zależność od czasu:

İ M İ M

. (2.10)
Złożona postać wykładnicza jest przydatna do operacji mnożenia, dzielenia, potęgowania i pierwiastkowania. Rzeczywiście, aby pomnożyć dwie liczby zespolone w postaci wykładniczej (2.9), wystarczy pomnożyć ich moduły i dodać argumenty (wykładniki).

Wyobraźmy sobie prądy i napięcia na elementach pasywnych, które mają czynną rezystancję, pojemność i indukcyjność w złożonej formie. Pozwól nam mieć:

İ

İ

;


Dla elementu z aktywnym oporem równość jest prawdziwa:


.
Zapiszmy tę równość w postaci wykładniczej:





(2.11)

Ale równość (2.11) jest możliwa tylko wtedy, gdy . Doszliśmy zatem do ważnego wniosku, że na elemencie z aktywnym oporem prąd i napięcie są w fazie, tj. maksima prądu i napięcia występują w tym samym momencie. Wektory prądu i napięcia będą się pokrywać (ryc. 2.5).

Dla elementu posiadającego pojemność znane jest następujące wyrażenie:



Stosując do niego złożoną formę przedstawienia prądu i napięcia, otrzymujemy:


.
Biorąc pod uwagę, że dochodzimy do wyrażenia:


,

Widzimy zatem, że napięcie na pojemności jest opóźnione w stosunku do prądu o 90 o (patrz ryc. 2.6)

W przypadku elementu z indukcyjnością używamy wyrażenia (1.11). Następnie:

(2.13)
Widzimy, że napięcie na indukcyjności wyprzedza prąd o 90 o (patrz ryc. 2.7).

Na koniec wykładu zauważamy, że wyrażenia (2.11), (2.12) i (2.13) nie mają zależności czasowych. Upraszcza to obliczenia obwodów elektrycznych, redukując je do operacji algebraicznych liczby zespolone. Z tego powodu w analizie obwodów elektrycznych prądu przemiennego szeroko stosuje się złożoną reprezentację.

Obecnie w technologii szeroko wykorzystuje się prąd przemienny, ponieważ można go łatwo przekształcić i przesyłać na duże odległości przy wysokim napięciu i małych stratach.

W elektrotechnice najczęściej stosowany jest sinusoidalny prąd przemienny, czyli prąd, którego wartość zmienia się zgodnie z prawem sinusoidalnym.

Dlatego chwilową wartość prądu sinusoidalnego wyraża się wzorem

Gdzie - amplituda prądu,

T – okres – czas, w którym następuje jedno pełne oscylowanie, s;

f = 1/T - częstotliwość równa liczbie drgań w ciągu 1 sekundy (jednostka miary częstotliwości - herc (Hz) lub s -1);

ω – częstotliwość kątowa (wyrażona w rad/s lub s -1).

Argument sinusoidalny, tzn

zwana fazą. Faza charakteryzuje stan oscylacji (jej wartość liczbowa) w zadanym czasie t.

Dowolną funkcję zmieniającą się sinusoidalnie wyznaczają trzy wielkości: amplituda, częstotliwość kątowa i faza początkowa.

Jeśli częstotliwość jest zbyt niska, wówczas zwiększają się wymiary maszyn elektrycznych, a co za tym idzie, zużycie materiałów do ich produkcji.

Przy zbyt wysokich częstotliwościach zwiększają się straty energii w rdzeniach maszyn elektrycznych i transformatorów.

Wartości średnie i efektywne o sinusoidalnie zmieniającej się wielkości

Przez wartość średnią wielkości zmieniającej się sinusoidalnie rozumie się jej wartość średnią w ciągu połowy okresu.

Oznacza to, że średnia wartość prądu sinusoidalnego wynosi

od wartości amplitudy.

Prąd przemienny charakteryzuje się zwykle wartością skuteczną .

Oznacza to, że wartość skuteczna prądu sinusoidalnego jest równa 0,707 prądu amplitudowego.

Uzyskanie sinusoidalnego pola elektromagnetycznego

W liniowych obwodach elektrycznych prąd sinusoidalny powstaje pod wpływem sinusoidalnego pola elektromagnetycznego. Zależność sinusoidalną można uzyskać obracając przewodnik w postaci prostokątnej ramki o powierzchni S ze stałą prędkością w jednorodnym polu magnetycznym, a następnie strumień magnetyczny przechodzący przez ramkę

Gdzie - kąt pomiędzy normalną do ramy oraz wektor indukcji magnetycznej .

Ponieważ przy równomiernym obrocie ramy prędkość kątowa

, a następnie kąt zostanie zmienione przez prawo

=>

Ponieważ gdy rama się obraca, przepływający przez nią strumień magnetyczny cały czas się zmienia, to zgodnie z prawem indukcji elektromagnetycznej indukuje się w niej pole elektromagnetyczne. wprowadzenie

gdzie E 0 jest amplitudą sinusoidalnego pola elektromagnetycznego.

Zatem w ramce pojawia się sinusoidalny E.M.F, a jeśli rama jest zamknięta na obciążenie, wówczas w obwodzie będzie płynął prąd sinusoidalny.

Metody wyświetlania wielkości sinusoidalnych

Graficzne przedstawienie wielkości sinusoidalnych.

Aby porównać wielkości elektryczne zmieniające się zgodnie z prawem sinusoidalnym, należy znać różnicę w ich fazach początkowych. Jeśli na przykład w jakimś obszarze prąd I i napięcie ty mają te same fazy początkowe, mówi się, że są w fazie. Jeśli wykres napięcia zmienia się w czasie ty w pewnym odcinku obwodu przecina współrzędną czasową t przed bieżącym wykresem I, to mówią, że napięcie wyprzedza prąd w czasie.

Na ryc. Rysunek 3.2 dla danego elementu obwodu przedstawia wykresy zmian w czasie dwóch wielkości elektrycznych: napięcia ty i aktualne I. Z tych dwóch wykresów jasno wynika, że ​​są one przesunięte w fazie względem siebie o kąt φ .

Prąd sinusoidalny

Wartość chwilową prądu sinusoidalnego określa się za pomocą wyrażenia


Gdzie - wartość maksymalna lub amplituda prądu . Argument sinusoidalny zwana fazą. Kąt y równy fazie w początkowym momencie czasu ( t= 0) i dlatego jest nazywany faza początkowa . Faza ta stale rośnie z biegiem czasu. Po zwiększeniu o 14:00 cały cykl bieżącej zmiany jest powtarzany. Dlatego też, mówiąc o fazie w dowolnym momencie, zwykle odrzucają liczbę całkowitą 14:00 tak, aby wartość fazy mieściła się w zakresielub w zasięgu 0 do 2 s . W okresie T faza wzrasta o 2 s. Wartość 2 p /T pokazuje szybkość zmiany fazy i jest oznaczona literą w . Biorąc to pod uwagę f =1/T, możemy napisać

To wyrażenie, które łączy w i f , było podstawą do wezwania w częstotliwość kątowa. mierzy się w liczba radianów, o jaką faza wzrasta na sekundę. Czyli na przykład kiedy f =50 Hz mamy w = 314 rad/s. Wprowadzając do (3.1) oznaczenie w dla częstotliwości kątowej otrzymujemy


Na ryc. 3.3 przedstawia wykres prądów sinusoidalnych o tej samej częstotliwości, ale o różnych amplitudach i fazach początkowych:

Oś odciętych reprezentuje czas t i ilość proporcjonalna do czasu wt .
Fazę początkową liczymy zawsze od momentu odpowiadającego początkowi sinusoidy (wartość zerowa). wartość sinusoidalna kiedy przechodzi z wartości ujemnych na dodatnie), aż do rozpoczęcia odliczania czasu T =0 (pochodzenie). Napoczątek bieżącej sinusoidyprzesunięty w lewo i kiedy dla prądu - na prawo od początku.
Chwilową wartość prądu sinusoidalnego można również przedstawić jako cosinusową funkcję czasu

Gdzie
Jeżeli dla kilku funkcji sinusoidalnych zmieniających się z tą samą częstotliwością początki sinusoid nie pokrywają się, to mówimy, że są przesunięty względem siebie w fazie. Przesunięcie fazowe mierzy się różnicą faz, która jest oczywiście równa różnicy faz początkowych. Na ryc. 3.3, na przykład, tj. aktualny do przodu w fazie prąd na kąt lub, co oznacza to samo, prąd jest opóźniony w fazie z prądem o kąt .
Jeśli funkcje sinusoidalne o tej samej częstotliwości mają te same fazy początkowe, to mówimy, że tak jestw fazie, jeśli ich różnica faz jest równa, wtedy mówią, że takprzeciwnej faziei wreszcie, jeśli ich różnica faz jest równa, wtedy mówią, że taksą w kwadraturze.