Marami sa atin ang nakatagpo ng hindi maintindihan na mga termino sa iba't ibang agham. Ngunit kakaunti ang mga taong hindi natatakot sa mga salitang hindi maintindihan, ngunit sa kabaligtaran, sila ay hinihikayat at pinipilit na palalimin pa ang paksang kanilang pinag-aaralan. Ngayon ay pag-uusapan natin ang tungkol sa isang bagay tulad ng interpolation. Ito ay isang paraan ng pagbuo ng mga graph gamit ang mga kilalang puntos, na nagbibigay-daan, na may pinakamababang halaga ng impormasyon tungkol sa isang function, na mahulaan ang pag-uugali nito sa mga partikular na seksyon ng curve.

Bago lumipat sa esensya ng mismong kahulugan at pag-usapan ito nang mas detalyado, suriin natin nang kaunti ang kasaysayan.

Kwento

Ang interpolation ay kilala mula pa noong sinaunang panahon. Gayunpaman, ang hindi pangkaraniwang bagay na ito ay may utang sa pag-unlad nito sa ilan sa mga pinakanamumukod-tanging mathematician sa nakaraan: Newton, Leibniz at Gregory. Sila ang bumuo ng konseptong ito gamit ang mas advanced na mga pamamaraan sa matematika na magagamit sa panahong iyon. Bago ito, ang interpolation, siyempre, ay inilapat at ginamit sa mga kalkulasyon, ngunit ginawa nila ito sa ganap na hindi tumpak na mga paraan na kinakailangan malaking dami data upang bumuo ng isang modelo nang higit pa o mas malapit sa katotohanan.

Ngayon ay maaari pa nating piliin kung aling paraan ng interpolation ang mas angkop. Ang lahat ay isinalin sa isang wika ng computer, na may mahusay na katumpakan ay maaaring mahulaan ang pag-uugali ng isang function sa isang tiyak na lugar na limitado ng mga kilalang puntos.

Ang interpolation ay isang medyo makitid na konsepto, kaya ang kasaysayan nito ay hindi masyadong mayaman sa mga katotohanan. Sa susunod na seksyon, malalaman natin kung ano talaga ang interpolation at kung paano ito naiiba sa kabaligtaran nito - extrapolation.

Ano ang interpolation?

Tulad ng nasabi na namin, ito ang pangkalahatang pangalan para sa mga pamamaraan na nagpapahintulot sa iyo na bumuo ng isang graph ayon sa mga puntos. Sa paaralan, ito ay pangunahing ginagawa sa pamamagitan ng pagguhit ng isang talahanayan, pagtukoy ng mga punto sa isang graph at halos pagguhit ng mga linya na nagkokonekta sa kanila. Huling aksyon ay ginagawa batay sa mga pagsasaalang-alang ng pagkakapareho ng function na pinag-aaralan sa iba, ang uri ng mga graph na alam natin.

Gayunpaman, may iba pang mas kumplikado at tumpak na mga paraan upang maisakatuparan ang gawain ng pag-plot ng point-by-point na graph. Kaya, ang interpolation ay talagang isang "hula" ng pag-uugali ng isang function sa isang partikular na lugar na nililimitahan ng mga kilalang puntos.

Mayroong katulad na konsepto na nauugnay sa parehong lugar - extrapolation. Kinakatawan din nito ang isang hula ng graph ng isang function, ngunit lampas sa mga kilalang punto ng graph. Sa pamamaraang ito, ang isang hula ay ginawa batay sa pag-uugali ng isang function sa isang kilalang interval, at pagkatapos ang function na ito ay inilapat sa hindi kilalang interval. Ang pamamaraang ito ay napaka-maginhawa para sa praktikal na aplikasyon at aktibong ginagamit, halimbawa, sa ekonomiya upang hulaan ang mga pagtaas at pagbaba sa merkado at upang mahulaan ang demograpikong sitwasyon sa bansa.

Ngunit lumayo kami sa pangunahing paksa. Sa susunod na seksyon, aalamin natin kung anong interpolation ang mangyayari at kung anong mga formula ang maaaring gamitin upang maisagawa ang operasyong ito.

Mga uri ng interpolation

Ang pinaka simpleng view ay interpolation gamit ang pinakamalapit na neighbor method. Gamit ang paraang ito, nakakakuha tayo ng napakagapang na graph na binubuo ng mga parihaba. Kung nakakita ka na ng paliwanag ng geometric na kahulugan ng isang integral sa isang graph, mauunawaan mo kung anong uri ng graphical na anyo ang pinag-uusapan natin.

Bilang karagdagan, mayroong iba pang mga pamamaraan ng interpolation. Ang pinakasikat at tanyag ay nauugnay sa mga polynomial. Ang mga ito ay mas tumpak at nagbibigay-daan sa iyong hulaan ang pag-uugali ng isang function na may medyo maliit na hanay ng mga halaga. Ang unang paraan ng interpolation na titingnan natin ay linear polynomial interpolation. Ito ang pinakasimpleng paraan sa kategoryang ito, at malamang na ginamit ito ng bawat isa sa inyo sa paaralan. Ang kakanyahan nito ay ang pagbuo ng mga tuwid na linya sa pagitan ng mga kilalang punto. Tulad ng alam mo, ang isang solong tuwid na linya ay dumadaan sa dalawang punto sa isang eroplano, ang equation na maaaring matagpuan batay sa mga coordinate ng mga puntong ito. Ang pagkakaroon ng pagtatayo ng mga tuwid na linya na ito, nakakakuha kami ng isang sirang graph, na, sa pinakamaliit, ay sumasalamin sa tinatayang mga halaga ng mga pag-andar at sa pangkalahatang mga termino ay tumutugma sa katotohanan. Ito ay kung paano isinasagawa ang linear interpolation.

Mga advanced na uri ng interpolation

Mayroong isang mas kawili-wili, ngunit sa parehong oras higit pa ang mahirap na paraan interpolation. Ito ay naimbento ng French mathematician na si Joseph Louis Lagrange. Iyon ang dahilan kung bakit ang pagkalkula ng interpolation gamit ang paraang ito ay ipinangalan dito: interpolation gamit ang Lagrange method. Ang trick dito ay ito: kung ang pamamaraan na nakabalangkas sa nakaraang talata ay gumagamit lamang ng isang linear na function para sa pagkalkula, kung gayon ang pagpapalawak ng pamamaraang Lagrange ay nagsasangkot din ng paggamit ng mga polynomial nang higit pa. mataas na grado. Ngunit hindi napakadali na hanapin ang mga formula ng interpolation mismo para sa iba't ibang mga function. At mas maraming puntos ang nalalaman, mas tumpak ang interpolation formula. Ngunit mayroong maraming iba pang mga pamamaraan.

Mayroong mas advanced na paraan ng pagkalkula na mas malapit sa katotohanan. Ang interpolation formula na ginamit dito ay isang set ng polynomials, ang aplikasyon ng bawat isa ay depende sa seksyon ng function. Ang pamamaraang ito ay tinatawag na spline function. Bilang karagdagan, mayroon ding mga paraan upang gawin ang isang bagay bilang interpolate function ng dalawang variable. Mayroon lamang dalawang pamamaraan. Kabilang sa mga ito ay bilinear o double interpolation. Ang pamamaraang ito ay nagbibigay-daan sa iyo na madaling bumuo ng isang graph gamit ang mga puntos sa tatlong-dimensional na espasyo. Hindi namin hawakan ang iba pang mga pamamaraan. Sa pangkalahatan, ang interpolation ay isang unibersal na pangalan para sa lahat ng mga pamamaraang ito ng pagbuo ng mga graph, ngunit ang iba't ibang paraan kung saan maaaring isagawa ang pagkilos na ito ay pumipilit sa amin na hatiin ang mga ito sa mga grupo depende sa uri ng function na napapailalim sa aksyon na ito. Iyon ay, ang interpolation, isang halimbawa na aming tiningnan sa itaas, ay tumutukoy sa mga direktang pamamaraan. Mayroon ding inverse interpolation, na naiiba sa na ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang makalkula hindi isang direkta, ngunit isang inverse function (iyon ay, x mula sa y). Hindi namin isasaalang-alang ang mga huling pagpipilian, dahil ito ay medyo kumplikado at nangangailangan ng isang mahusay na base ng kaalaman sa matematika.

Lumipat tayo sa marahil isa sa pinakamahalagang seksyon. Dito natin natutunan kung paano at saan inilalapat sa buhay ang set ng mga pamamaraan na ating tinatalakay.

Aplikasyon

Ang matematika, tulad ng alam natin, ay ang reyna ng mga agham. Samakatuwid, kahit na sa una ay hindi mo nakikita ang punto sa ilang mga operasyon, hindi ito nangangahulugan na sila ay walang silbi. Halimbawa, tila ang interpolation ay isang walang kwentang bagay, sa tulong ng kung saan ang mga graph lamang ang maaaring itayo, na kakaunti ang kailangan ng mga tao ngayon. Gayunpaman, para sa anumang mga kalkulasyon sa teknolohiya, pisika at maraming iba pang mga agham (halimbawa, biology), napakahalaga na ipakita ang isang medyo kumpletong larawan ng kababalaghan, habang mayroong isang tiyak na hanay ng mga halaga. Ang mga halaga mismo, na nakakalat sa buong graph, ay hindi palaging nagbibigay ng isang malinaw na ideya ng pag-uugali ng function sa isang tiyak na lugar, ang mga halaga ng mga derivatives nito at mga punto ng intersection sa mga axes. At ito ay napakahalaga para sa maraming bahagi ng ating buhay.

Paano ito magiging kapaki-pakinabang sa buhay?

Ang tanong na tulad nito ay maaaring napakahirap sagutin. Ngunit ang sagot ay simple: hindi. Ang kaalamang ito ay hindi magiging kapaki-pakinabang sa iyo. Ngunit kung naiintindihan mo ang materyal na ito at ang mga pamamaraan kung saan isinasagawa ang mga pagkilos na ito, sanayin mo ang iyong lohika, na magiging lubhang kapaki-pakinabang sa buhay. Ang pangunahing bagay ay hindi ang kaalaman mismo, ngunit ang mga kasanayan na nakukuha ng isang tao sa proseso ng pag-aaral. Ito ay hindi para sa wala na mayroong isang kasabihan: "Mabuhay magpakailanman, matuto magpakailanman."

Mga Kaugnay na Konsepto

Maiintindihan mo para sa iyong sarili kung gaano kahalaga ang larangang ito ng matematika (at hanggang ngayon) sa pamamagitan ng pagtingin sa iba't ibang mga konsepto na nauugnay dito. Napag-usapan na natin ang tungkol sa extrapolation, ngunit mayroon ding approximation. Marahil ay narinig mo na ang salitang ito. Sa anumang kaso, tinalakay din namin kung ano ang ibig sabihin nito sa artikulong ito. Ang approximation, tulad ng interpolation, ay mga konseptong nauugnay sa pagbuo ng mga graph ng mga function. Ngunit ang pagkakaiba sa pagitan ng una at ng pangalawa ay ito ay isang tinatayang pagbuo ng isang graph batay sa mga katulad na kilalang mga graph. Ang dalawang konsepto na ito ay halos magkapareho sa isa't isa, na ginagawang mas kawili-wiling pag-aralan ang bawat isa sa kanila.

Konklusyon

Ang matematika ay hindi kasing kumplikado ng agham na tila sa unang tingin. Medyo interesting siya. At sa artikulong ito sinubukan naming patunayan ito sa iyo. Tiningnan namin ang mga konseptong nauugnay sa paglalagay, natutunan kung ano ang double interpolation, at tumingin sa mga halimbawa kung saan ito ginagamit.

Ito ay isang kabanata mula sa aklat ni Bill Jelen.

Hamon: Ang ilang mga problema sa disenyo ng engineering ay nangangailangan ng paggamit ng mga talahanayan upang kalkulahin ang mga halaga ng parameter. Dahil discrete ang mga talahanayan, gumagamit ang taga-disenyo ng linear interpolation upang makakuha ng intermediate na value ng parameter. Kasama sa talahanayan (Larawan 1) ang taas sa itaas ng lupa (parameter ng kontrol) at bilis ng hangin (kinakalkula na parameter). Halimbawa, kung kailangan mong hanapin ang bilis ng hangin na tumutugma sa taas na 47 metro, dapat mong ilapat ang formula: 130 + (180 – 130) * 7 / (50 – 40) = 165 m/sec.

I-download ang tala sa o format, mga halimbawa sa format

Paano kung mayroong dalawang mga parameter ng kontrol? Posible bang magsagawa ng mga kalkulasyon gamit ang isang formula? Ang talahanayan (Larawan 2) ay nagpapakita ng mga halaga ng presyon ng hangin para sa iba't ibang taas at span ng mga istruktura. Kinakailangang kalkulahin ang presyon ng hangin sa taas na 25 metro at isang span na 300 metro.

Solusyon: Niresolba namin ang problema sa pamamagitan ng pagpapalawak ng paraan na ginamit para sa kaso na may isang control parameter. Sundin ang mga hakbang na ito:

Magsimula sa talahanayan na ipinapakita sa Fig. 2. Magdagdag ng mga source cell para sa taas at span sa J1 at J2 ayon sa pagkakabanggit (Figure 3).

kanin. 3. Ipinapaliwanag ng mga formula sa mga cell J3:J17 ang operasyon ng megaformula

Para sa kadalian ng paggamit ng mga formula, tukuyin ang mga pangalan (Larawan 4).

Panoorin ang formula na gumagana sa pamamagitan ng sunud-sunod na paglipat mula sa cell J3 patungo sa cell J17.

Gumamit ng reverse sequential substitution para mabuo ang megaformula. Kopyahin ang formula text mula sa cell J17 hanggang J19. Palitan ang reference sa J15 sa formula ng value sa cell J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. At iba pa. Ang resulta ay isang formula na binubuo ng 984 character, na hindi makikita sa form na ito. Maaari mong tingnan ito sa naka-attach na Excel file. Hindi ako sigurado na ang ganitong uri ng megaformula ay kapaki-pakinabang na gamitin.

Buod: ang linear interpolation ay ginagamit upang makakuha ng isang intermediate na halaga ng parameter kung ang mga halaga ng talahanayan ay tinukoy lamang para sa mga hangganan ng hanay; Ang isang paraan ng pagkalkula gamit ang dalawang mga parameter ng kontrol ay iminungkahi.

May mga kaso kung kailan kailangan mong malaman ang mga resulta ng isang pagkalkula ng function sa labas ng kilalang lugar. Ang isyung ito ay partikular na nauugnay para sa pamamaraan ng pagtataya. Sa Excel mayroong ilang mga paraan kung saan maaari mong gawin ang operasyong ito. Tingnan natin ang mga ito gamit ang mga tiyak na halimbawa.

Paraan 2: Extrapolation para sa graph

Maaari kang magsagawa ng extrapolation procedure para sa isang graph sa pamamagitan ng paglalagay ng trend line.

1. Una sa lahat, binubuo namin ang tsart mismo. Upang gawin ito, gamitin ang cursor habang pinipindot ang kaliwang pindutan ng mouse upang piliin ang buong lugar ng talahanayan, kasama ang mga argumento at kaukulang mga halaga ng pag-andar. Pagkatapos, lumipat sa tab "Ipasok", i-click ang button "Iskedyul". Ang icon na ito ay matatagpuan sa block "Mga diagram" sa tool belt. May lalabas na listahan magagamit na mga opsyon mga graph. Pinipili namin ang pinaka-angkop sa aming paghuhusga.



2. Matapos mabuo ang graph, alisin ang karagdagang linya ng argumento mula dito sa pamamagitan ng pagpili dito at pag-click sa pindutan Tanggalin sa keyboard ng computer.



3. Susunod, kailangan nating baguhin ang mga dibisyon ng pahalang na sukat, dahil hindi nito ipinapakita ang mga halaga ng mga argumento ayon sa kailangan natin. Upang gawin ito, mag-right-click sa diagram at sa listahan na lilitaw, piliin ang halaga "Pumili ng data".



4. Sa window ng pagpili ng data source na bubukas, mag-click sa button "Baguhin" sa horizontal axis label editing block.



5. Ang window para sa pagtatakda ng axis signature ay bubukas. Ilagay ang cursor sa field ng window na ito, at pagkatapos ay piliin ang lahat ng data sa column "X" walang pangalan nito. Pagkatapos ay mag-click sa pindutan "OK".



6. Pagkatapos bumalik sa window ng pagpili ng mapagkukunan ng data, inuulit namin ang parehong pamamaraan, iyon ay, mag-click sa pindutan "OK".



7. Ngayon ang aming tsart ay inihanda at maaari kaming direktang magsimulang bumuo ng isang trend line. Mag-click sa tsart, pagkatapos nito ang isang karagdagang hanay ng mga tab ay isaaktibo sa laso - "Paggawa gamit ang mga diagram". Lumipat sa tab "Layout" at pindutin ang pindutan "Trend line" sa block "Pagsusuri". Mag-click sa item "Linear approximation" o "Exponential Approximation".



8. Ang linya ng trend ay naidagdag, ngunit ito ay ganap na nasa ibaba ng linya ng mismong graph, dahil hindi namin tinukoy ang halaga ng argumento kung saan ito dapat magtungo. Upang gawin ito, mag-click muli sa pindutan. "Trend line", ngunit ngayon piliin ang item "Mga Advanced na Pagpipilian sa Trendline".



9. Bubukas ang window ng format ng trendline. Sa seksyon "Mga Pagpipilian sa Linya ng Trend" mayroong isang bloke ng mga setting "Pagtataya". Tulad ng sa nakaraang pamamaraan, kunin natin ang argumento para sa extrapolation 55 . Tulad ng nakikita natin, sa ngayon ang graph ay may haba hanggang sa argumento 50 kasama. Kakailanganin pala natin itong i-extend para sa isa pa 5 mga yunit. Sa pahalang na axis makikita mo na ang 5 unit ay katumbas ng isang dibisyon. Kaya ito ay isang panahon. Sa bukid "Ipasa sa" ipasok ang halaga "1". Mag-click sa pindutan "malapit" sa kanang sulok sa ibaba ng bintana.



10. Tulad ng nakikita mo, ang tsart ay pinalawak ng tinukoy na haba gamit ang linya ng trend.

Kaya, tiningnan namin ang pinakasimpleng mga halimbawa ng extrapolation para sa mga talahanayan at mga graph. Sa unang kaso, ginagamit ang function PAGHULA, at sa pangalawa - ang linya ng trend. Ngunit batay sa mga halimbawang ito, ang mas kumplikadong mga problema sa pagtataya ay maaaring malutas.

Mayroong isang sitwasyon kapag nasa array kilalang halaga kailangan nating maghanap ng mga intermediate na resulta. Sa matematika ito ay tinatawag na interpolation. Sa Excel ang pamamaraang ito maaaring magamit kapwa para sa tabular na data at para sa pagbuo ng mga graph. Tingnan natin ang bawat isa sa mga pamamaraang ito.

Ang pangunahing kondisyon kung saan maaaring gamitin ang interpolation ay ang nais na halaga ay dapat nasa loob ng array ng data at hindi sa labas ng limitasyon nito. Halimbawa, kung mayroon tayong hanay ng mga argumento 15, 21, at 29, maaari nating gamitin ang interpolation upang mahanap ang function para sa argument 25. Ngunit wala nang anumang paraan upang mahanap ang katumbas na halaga para sa argumento 30. Ito ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng pamamaraang ito at extrapolation.

Paraan 1: Interpolation para sa Tabular Data

Una sa lahat, tingnan natin ang mga aplikasyon ng interpolation para sa data na matatagpuan sa isang talahanayan. Halimbawa, kunin natin ang isang hanay ng mga argumento at ang kanilang mga katumbas na halaga ng pag-andar, ang kaugnayan nito ay maaaring ilarawan ng isang linear equation. Ang data na ito ay ipinapakita sa talahanayan sa ibaba. Kailangan nating hanapin ang kaukulang function para sa argumento 28 . Ang pinakamadaling paraan upang gawin ito ay ang paggamit ng operator PAGHULA.

Paraan 2: Interpolate ang graph gamit ang mga setting nito

Ang interpolation procedure ay maaari ding gamitin kapag gumagawa ng mga function graph. May kaugnayan ito kung ang talahanayan kung saan nakabatay ang graph ay hindi nagpapahiwatig ng katumbas na halaga ng function para sa isa sa mga argumento, tulad ng sa larawan sa ibaba.

Gaya ng nakikita mo, ang graph ay naitama, at ang gap ay inalis gamit ang interpolation.

Paraan 3: Interpolate ang graph gamit ang isang function

Maaari mo ring i-interpolate ang graph gamit ang espesyal na ND function. Ibinabalik nito ang mga hindi natukoy na halaga sa tinukoy na cell.

Magagawa mo ito nang mas madali nang hindi tumatakbo Function Wizard, at gamitin lamang ang keyboard upang ipasok ang halaga sa isang walang laman na cell "#N/A" walang quotes. Ngunit ito ay depende sa kung ano ang mas maginhawa para sa kung aling user.

Tulad ng nakikita mo, sa Excel maaari mong i-interpolate bilang tabular na data gamit ang function PAGHULA, at mga graphics. Sa huling kaso, maaari itong gawin gamit ang mga setting ng tsart o gamit ang function ND nagdudulot ng error "#N/A". Ang pagpili kung aling paraan ang gagamitin ay depende sa pahayag ng problema, pati na rin ang mga personal na kagustuhan ng gumagamit.

Interpolation. Panimula. Pangkalahatang pahayag ng problema

Kapag nilulutas ang iba't ibang mga praktikal na problema, ang mga resulta ng pananaliksik ay ipinakita sa anyo ng mga talahanayan na nagpapakita ng pag-asa ng isa o higit pang nasusukat na dami sa isang pagtukoy ng parameter (argumento). Ang mga ganitong uri ng mga talahanayan ay karaniwang ipinakita sa anyo ng dalawa o higit pang mga hilera (column) at ginagamit upang bumuo ng mga modelo ng matematika.

Ang mga function na tinukoy sa mga modelo ng matematika ay karaniwang nakasulat sa mga talahanayan ng form:

Y1(X)	Y(X0)	Y(X1)		Y(Xn)
Ym(X)	Y(X0)	Y(X1)		Y(Xn)

Ang limitadong impormasyon na ibinigay ng naturang mga talahanayan sa ilang mga kaso ay nangangailangan ng pagkuha ng mga halaga ng mga function Y j (X) (j=1,2,…,m) sa mga punto X na hindi tumutugma sa mga nodal na punto ng talahanayan X i ( i=0,1,2,… ,n) . Sa ganitong mga kaso, kinakailangan upang matukoy ang ilang analytical expression φ j (X) upang makalkula ang mga tinatayang halaga ng function sa ilalim ng pag-aaral Y j (X) sa arbitraryong tinukoy na mga punto X. Ang function na φ j (X) na ginamit upang matukoy ang mga tinatayang halaga ng function na Y j (X) ay tinatawag na approximating function (mula sa Latin approximo - approaching). Ang lapit ng approximating function φ j (X) sa approximated function Y j (X) ay sinisiguro sa pamamagitan ng pagpili ng naaangkop na approximation algorithm.

Gagawin namin ang lahat ng karagdagang pagsasaalang-alang at konklusyon para sa mga talahanayan na naglalaman ng paunang data ng isang function na pinag-aaralan (ibig sabihin, para sa mga talahanayan na may m=1).

1. Mga pamamaraan ng interpolation

1.1 Pahayag ng problema sa interpolation

Kadalasan, upang matukoy ang function na φ(X), ginagamit ang isang formulation, na tinatawag na formulation ng interpolation problem.

Sa klasikal na pagbabalangkas na ito ng problema sa interpolation, kinakailangan upang matukoy ang tinatayang analytical function φ(X), ang mga halaga kung saan sa mga nodal point X i tumugma sa mga halaga Y(Х i ) ng orihinal na talahanayan, i.e. kundisyon

ϕ (X i )= Y i (i = 0,1,2,...,n)

Ang approximating function na φ(X) na binuo sa ganitong paraan ay nagbibigay-daan sa isa na makakuha ng medyo malapit na approximation sa interpolated function Y(X) sa loob ng hanay ng mga value ng argument [X 0 ; X n ], tinutukoy ng talahanayan. Kapag tinukoy ang mga halaga ng argumento X, hindi pag-aari ang agwat na ito, ang problema sa interpolation ay binago sa isang problema sa extrapolation. Sa mga kasong ito, ang katumpakan

ang mga halagang nakuha kapag kinakalkula ang mga halaga ng function na φ(X) ay depende sa distansya ng halaga ng argumento X mula sa X 0, kung X<Х 0 , или отХ n , еслиХ >Xn.

Sa pagmomodelo ng matematika, ang interpolating function ay maaaring gamitin upang kalkulahin ang mga tinatayang halaga ng function na pinag-aaralan sa mga intermediate point ng subintervals [Х i ; X i+1 ]. Ang pamamaraang ito ay tinatawag na compaction ng mesa.

Ang interpolation algorithm ay tinutukoy ng paraan ng pagkalkula ng mga halaga ng function φ(X). Ang pinakasimple at pinaka-halatang opsyon para sa pagpapatupad ng interpolating function ay upang palitan ang function sa ilalim ng pag-aaral Y(X) sa pagitan [X i ; X i+1 ] sa pamamagitan ng isang tuwid na linya na nagdudugtong sa mga punto Y i , Y i+1 . Ang pamamaraang ito ay tinatawag na linear interpolation method.

1.2 Linear interpolation

Sa linear interpolation, ang halaga ng function sa point X, na matatagpuan sa pagitan ng mga node X i at X i+1, ay tinutukoy ng formula ng isang tuwid na linya na nagkokonekta sa dalawang katabing punto ng talahanayan

Y(X) = Y(Xi )+	Y(Xi + 1 )− Y(Xi )	(X − Xi ) (i= 0,1,2, ...,n),
	X i+ 1− X i

Sa Fig. Ang Figure 1 ay nagpapakita ng isang halimbawa ng isang talahanayan na nakuha bilang isang resulta ng mga sukat ng isang tiyak na dami Y(X). Naka-highlight ang mga row ng source table. Sa kanan ng talahanayan ay isang scatter plot na naaayon sa talahanayang ito. Ang talahanayan ay siksik gamit ang formula

(3) mga halaga ng tinatayang function sa mga puntong X na tumutugma sa mga midpoint ng mga subinterval (i=0, 1, 2, …, n).

Fig.1. Condensed table ng function na Y(X) at ang kaukulang diagram nito

Kapag isinasaalang-alang ang graph sa Fig. 1 makikita na ang mga puntos na nakuha bilang resulta ng pag-compact ng talahanayan gamit ang linear interpolation na paraan ay nasa mga tuwid na segment na nagkokonekta sa mga punto ng orihinal na talahanayan. Linear na katumpakan

interpolation, makabuluhang nakasalalay sa likas na katangian ng interpolated function at sa distansya sa pagitan ng mga node ng talahanayan X i, , X i+1.

Malinaw, kung ang pag-andar ay makinis, kung gayon, kahit na may medyo mahabang distansya sa pagitan ng mga node, ang isang graph na binuo sa pamamagitan ng pagkonekta ng mga punto na may mga segment ng tuwid na linya ay nagbibigay-daan sa iyo upang medyo tumpak na masuri ang likas na katangian ng function na Y(X). Kung ang function ay mabilis na nagbabago, at ang mga distansya sa pagitan ng mga node ay malaki, kung gayon ang linear interpolating function ay hindi pinapayagan ang pagkuha ng isang sapat na tumpak na approximation sa tunay na function.

Ang linear interpolating function ay maaaring gamitin para sa pangkalahatang paunang pagsusuri at pagtatasa ng kawastuhan ng mga resulta ng interpolation, na pagkatapos ay nakuha ng iba pang mas tumpak na mga pamamaraan. Ang pagtatasa na ito ay nagiging partikular na nauugnay sa mga kaso kung saan ang mga kalkulasyon ay isinasagawa nang manu-mano.

1.3 Interpolation sa pamamagitan ng canonical polynomial

Ang paraan ng interpolating ng function sa pamamagitan ng canonical polynomial ay batay sa pagbuo ng interpolating function bilang polynomial sa anyo [1]

ϕ (x) = Pn (x) = c0 + c1 x+ c2 x2 + ... + cn xn

Ang mga coefficient c i ng polynomial (4) ay mga libreng interpolation na parameter, na tinutukoy mula sa mga kundisyon ng Lagrange:

Pn (xi )= Yi , (i= 0 , 1 , ... , n)

Gamit ang (4) at (5) isinusulat natin ang sistema ng mga equation

	C x+ c x2				C xn = Y
	C x+ c x2				C xn
			C x2			C xn = Y

Ang vector ng solusyon na may i (i = 0, 1, 2, …, n) ng sistema ng mga linear algebraic equation (6) ay umiiral at maaaring matagpuan kung walang tugmang node sa i. Ang determinant ng system (6) ay tinatawag na Vandermonde determinant1 at may analytical expression [2].

1 Vandermonde determinant tinatawag na determinant

Ito ay katumbas ng zero kung at kung xi = xj lamang para sa ilan. (Materyal mula sa Wikipedia - ang libreng encyclopedia)

Upang matukoy ang mga halaga ng mga coefficient na may i (i = 0, 1, 2, … , n)

ang mga equation (5) ay maaaring isulat sa anyong vector-matrix

A* C= Y,

kung saan ang A, matrix ng mga coefficient na tinutukoy ng talahanayan ng mga degree ng vector ng mga argumento X = (x i 0, x i, x i 2, …, x i n) T (i = 0, 1, 2, …, n)

				x0 2		x0 n
				xn 2		xn n

Ang C ay ang column vector ng mga coefficients i (i = 0, 1, 2, … , n), at Y ang column vector ng mga value Y i (i = 0, 1, 2, … , n) ng interpolated function sa mga interpolation node.

Ang solusyon sa sistemang ito ng mga linear algebraic equation ay maaaring makuha gamit ang isa sa mga pamamaraan na inilarawan sa [3]. Halimbawa, ayon sa formula

C = A− 1 Y,

kung saan ang A -1 ay ang inverse matrix ng matrix A. Upang makuha ang inverse matrix A -1, maaari mong gamitin ang MOBR() function, na kasama sa set ng mga standard na function ng Microsoft Excel program.

Matapos matukoy ang mga halaga ng mga coefficient na may i gamit ang function (4), ang mga halaga ng interpolated function ay maaaring kalkulahin para sa anumang halaga ng mga argumento.

Isulat natin ang matrix A para sa talahanayan na ipinapakita sa Fig. 1, nang hindi isinasaalang-alang ang mga hilera na nagpapadikit sa talahanayan.

Fig.2 Matrix ng sistema ng mga equation para sa pagkalkula ng mga coefficient ng canonical polynomial

Gamit ang MOBR() function, nakukuha namin ang matrix A -1 inverse sa matrix A (Fig. 3). Pagkatapos nito, ayon sa formula (9) nakukuha natin ang vector ng mga coefficient C = (c 0 , c 1 , c 2 , …, c n ) T na ipinapakita sa Fig. 4.

Upang kalkulahin ang mga halaga ng canonical polynomial sa cell ng column Y canonical na naaayon sa mga halaga x 0, ipinakilala namin ang isang formula na na-convert sa sumusunod na form, na tumutugma sa zero row ng system (6)

=((((c 5	* x 0 +c 4 )*x 0 +c 3 )*x 0 +c 2 )*x 0 +c 1 )*x 0 +c 0

C0 +x *(c1 + x *(c2 + x*(c3 + x*(c4 + x* c5 ))))

Sa halip na isulat ang " c i " sa formula na ipinasok sa isang Excel table cell, dapat mayroong ganap na link sa kaukulang cell na naglalaman ng coefficient na ito (tingnan ang Fig. 4). Sa halip na "x 0" - isang kamag-anak na sanggunian sa isang cell sa column X (tingnan ang Fig. 5).

Y canonical(0) ng value na tumutugma sa value sa cell Ylin(0) . Kapag iniunat ang formula na nakasulat sa cell Y canonical (0), ang mga halaga ng Y canonical (i) na tumutugma sa mga nodal point ng orihinal ay dapat ding magkasabay

mga talahanayan (tingnan ang Fig. 5).

kanin. 5. Mga diagram na binuo gamit ang linear at canonical interpolation table

Ang paghahambing ng mga graph ng mga function na binuo mula sa mga talahanayan na kinakalkula gamit ang linear at canonical interpolation formula, nakikita natin sa isang bilang ng mga intermediate node ang isang makabuluhang paglihis ng mga value na nakuha gamit ang linear at canonical interpolation formula. Ang isang mas makatwirang paghatol sa katumpakan ng interpolation ay maaaring batay sa pagkuha karagdagang impormasyon tungkol sa likas na katangian ng ginawang proseso.