Navedite jednadžbu ravnine koja je okomita na ravnu liniju. Jednadžba ravnine: kako sastaviti? Vrste jednadžbi ravnina

Promotrimo ravninu Q u prostoru. Njen položaj je potpuno određen zadavanjem vektora N okomitog na tu ravninu i neke fiksne točke koja leži u ravnini Q. Vektor N okomit na ravninu Q naziva se vektor normale te ravnine. Ako s A, B i C označimo projekcije vektora normale N, tada

Izvedimo jednadžbu ravnine Q koja prolazi kroz zadanu točku i ima zadani vektor normale. Da bismo to učinili, razmotrimo vektor koji povezuje točku s proizvoljnom točkom na Q ravnini (slika 81).

Za bilo koji položaj točke M na ravnini Q, vektor MHM je okomit na vektor normale N ravnine Q. Stoga skalarni produkt Zapišimo skalarni produkt u terminima projekcija. Od , i je vektor, onda

i stoga

Pokazali smo da koordinate bilo koje točke u Q ravnini zadovoljavaju jednadžbu (4). Lako je vidjeti da koordinate točaka koje ne leže na Q ravnini ne zadovoljavaju ovu jednadžbu (u potonjem slučaju). Time smo dobili traženu jednadžbu za ravninu Q. Jednadžbu (4) nazivamo jednadžbom ravnine koja prolazi kroz zadanu točku. Ona je prvog stupnja u odnosu na trenutne koordinate

Dakle, pokazali smo da svaka ravnina odgovara jednadžbi prvog stupnja s obzirom na trenutne koordinate.

Primjer 1. Napišite jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točku okomitu na vektor.

Riješenje. ovdje . Na temelju formule (4) dobivamo

ili, nakon pojednostavljenja,

Davanje koeficijenata A, B i C jednadžbi (4) različita značenja, možemo dobiti jednadžbu bilo koje ravnine koja prolazi točkom . Skup ravnina koje prolaze kroz danu točku naziva se snop ravnina. Jednadžba (4), u kojoj koeficijenti A, B i C mogu poprimiti bilo koje vrijednosti, naziva se jednadžba skupa ravnina.

Primjer 2. Napravite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz tri točke (slika 82).

Riješenje. Napišimo jednadžbu za hrpu ravnina koje prolaze kroz točku

Da bi se kroz bilo koje tri točke u prostoru povukla jedna ravnina, potrebno je da te točke ne leže na istoj pravoj liniji.

Promotrimo točke M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) u općem Kartezijevom koordinatnom sustavu.

Da bi proizvoljna točka M(x, y, z) ležala u istoj ravnini s točkama M 1, M 2, M 3, potrebno je da vektori budu komplanarni.

(
) = 0

Tako,

Jednadžba ravnine koja prolazi kroz tri točke:

Jednadžba ravnine s dvije točke i vektorom kolinearnim na ravninu.

Neka su zadane točke M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) i vektor
.

Napravimo jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz zadane točke M 1 i M 2 i proizvoljnu točku M (x, y, z) paralelnu s vektorom .

Vektori
i vektor
mora biti komplanarna, tj.

(
) = 0

Jednadžba ravnine:

Jednadžba ravnine koja koristi jednu točku i dva vektora,

kolinearno ravnini.

Neka su dana dva vektora
I
, kolinearne ravnine. Tada za proizvoljnu točku M(x, y, z) koja pripada ravnini vektori
mora biti komplanarna.

Jednadžba ravnine:

Jednadžba ravnine s točkom i vektorom normale .

Teorema. Ako je u prostoru dana točka M 0 (X 0 , g 0 , z 0 ), zatim jednadžba ravnine koja prolazi točkom M 0 okomito na vektor normale (A, B, C) ima oblik:

A(x – x 0 ) + B(g – g 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Dokaz. Za proizvoljnu točku M(x, y, z) koja pripada ravnini sastavljamo vektor. Jer vektor normalni vektor, onda je okomit na ravninu i, prema tome, okomit na vektor
. Zatim skalarni produkt

= 0

Tako dobivamo jednadžbu ravnine

Teorem je dokazan.

Jednadžba ravnine u segmentima.

Ako u općoj jednadžbi Ax + Bi + Cz + D = 0 obje strane podijelimo s (-D)

zamjenjujući
, dobivamo jednadžbu ravnine u segmentima:

Brojevi a, b, c su sjecišne točke ravnine s osi x, y, z.

Jednadžba ravnine u vektorskom obliku.

Gdje

- radijus vektor trenutne točke M(x, y, z),

Jedinični vektor koji ima smjer okomice spuštene na ravninu iz ishodišta.

,  i  su kutovi koje tvori ovaj vektor s osima x, y, z.

p je duljina ove okomice.

U koordinatama ova jednadžba izgleda ovako:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Udaljenost od točke do ravnine.

Udaljenost od proizvoljne točke M 0 (x 0, y 0, z 0) do ravnine Ax+By+Cz+D=0 je:

Primjer. Nađite jednadžbu ravnine znajući da je točka P(4; -3; 12) osnovica okomice spuštene iz ishodišta na tu ravninu.

Dakle, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13 koristimo formulu:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Primjer. Nađite jednadžbu ravnine koja prolazi kroz dvije točke P(2; 0; -1) i

Q(1; -1; 3) okomito na ravninu 3x + 2y – z + 5 = 0.

Vektor normale na ravninu 3x + 2y – z + 5 = 0
paralelno sa željenom ravninom.

Dobivamo:

Primjer. Nađite jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točke A(2, -1, 4) i

B(3, 2, -1) okomito na ravninu x + na + 2z – 3 = 0.

Tražena jednadžba ravnine ima oblik: A x+B g+C z+ D = 0, vektor normale na ovu ravninu (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) pripada ravnini. Zadana nam ravnina, okomita na željenu, ima normalni vektor (1, 1, 2). Jer točke A i B pripadaju objema ravninama, a ravnine su međusobno okomite, dakle

Dakle normalni vektor (11, -7, -2). Jer točka A pripada željenoj ravnini, tada njezine koordinate moraju zadovoljavati jednadžbu te ravnine, tj. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Ukupno, dobivamo jednadžbu ravnine: 11 x - 7g – 2z – 21 = 0.

Primjer. Nađite jednadžbu ravnine znajući da je točka P(4, -3, 12) osnovica okomice spuštene iz ishodišta na tu ravninu.

Određivanje koordinata vektora normale
= (4, -3, 12). Tražena jednadžba ravnine ima oblik: 4 x – 3g + 12z+ D = 0. Da bismo pronašli koeficijent D, zamijenimo koordinate točke P u jednadžbu:

16 + 9 + 144 + D = 0

Ukupno dobivamo traženu jednadžbu: 4 x – 3g + 12z – 169 = 0

Primjer. Zadane su koordinate vrhova piramide A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Odredi duljinu brida A 1 A 2.

Odredite kut između bridova A 1 A 2 i A 1 A 4.

Odredi kut između ruba A 1 A 4 i plohe A 1 A 2 A 3.

Prvo nalazimo vektor normale na plohu A 1 A 2 A 3 kao umnožak vektora
I
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Nađimo kut između vektora normale i vektora
.

-4 – 4 = -8.

Željeni kut  između vektora i ravnine bit će jednak  = 90 0 - .

Nađite površinu lica A 1 A 2 A 3.

Nađi obujam piramide.

Nađite jednadžbu ravnine A 1 A 2 A 3.

Upotrijebimo formulu za jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tri točke.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Kada koristite računalnu verziju “ Tečaj više matematike” možete pokrenuti program koji će riješiti gornji primjer za bilo koje koordinate vrhova piramide.

Za pokretanje programa dvaput kliknite na ikonu:

U prozoru programa koji se otvori unesite koordinate vrhova piramide i pritisnite Enter. Na taj se način sve točke odluke mogu dobiti jedna po jedna.

Napomena: Da biste pokrenuli program, morate imati program Maple ( Waterloo Maple Inc.) instaliran na vašem računalu, bilo koju verziju počevši od MapleV Release 4.

U ovom ćemo članku govoriti o tome kako konstruirati jednadžbu ravnine koja prolazi kroz danu točku u trodimenzionalnom prostoru okomito na danu ravnu liniju. Prvo ćemo analizirati princip nalaženja jednadžbe ravnine koja prolazi kroz zadanu točku okomito na zadani pravac, nakon čega ćemo detaljno analizirati rješenja tipičnih primjera i zadataka.

Navigacija po stranici.

Pronalaženje jednadžbe ravnine koja prolazi kroz zadanu točku u prostoru okomito na zadani pravac.

Postavimo si sljedeći zadatak.

Neka je Oxyz fiksiran u trodimenzionalnom prostoru, zadane su točka i pravac a te je potrebno napisati jednadžbu ravnine koja prolazi točkom M 1 okomito na pravac a.

Prvo, zapamtimo jednu važnu činjenicu.

Na nastavi geometrije u srednjoj školi dokazuje se teorem: kroz zadanu točku u trodimenzionalnom prostoru prolazi jedna ravnina okomita na zadani pravac (dokaz ovog teorema možete pronaći u udžbeniku geometrije za 10.-11. naveden u popisu literature na kraju članka).

Sada ćemo pokazati kako pronaći jednadžbu ove pojedinačne ravnine koja prolazi kroz danu točku okomito na danu ravnu liniju.

U postavci zadatka zadane su koordinate x 1, y 1, z 1 točke M 1 kroz koju prolazi ravnina. Zatim, ako nađemo koordinate vektora normale ravnine, tada možemo konstruirati traženu jednadžbu ravnine koja prolazi kroz danu točku okomitu na dani pravac.

Primjeri sastavljanja jednadžbe ravnine koja prolazi zadanom točkom okomito na zadani pravac.

Razmotrimo rješenja nekoliko primjera u kojima je pronađena jednadžba ravnine koja prolazi kroz zadanu točku u prostoru okomito na zadani pravac.

Primjer.

Napišite jednadžbu ravnine koja prolazi točkom i okomita je na koordinatni pravac Oz.

Riješenje.

Vektor smjera koordinatne linije Oz očito je koordinatni vektor. Tada vektor normale ravnine, čiju jednadžbu trebamo sastaviti, ima koordinate . Napišimo jednadžbu ravnine koja prolazi točkom i ima normalni vektor s koordinatama:
.

Pokažimo drugi način rješavanja ovog problema.

Ravnina okomita na koordinatnu liniju Oz određuje nepotpunu opću jednadžbu ravnine oblika . Nađimo vrijednosti C i D na kojima ravnina prolazi kroz točku zamjenom koordinata ove točke u jednadžbu: . Dakle, brojevi C i D povezani su relacijom. Uzimajući C=1, dobivamo D=-5. Pronađene C=1 i D=-5 zamijenimo u jednadžbu i dobijemo željenu jednadžbu ravnine koja je okomita na pravac Oz i prolazi točkom . Izgleda kao .

Odgovor:

Primjer.

Napišite jednadžbu ravnine koja prolazi kroz ishodište i okomita je na pravac .

Riješenje.

Budući da je ravnina čiju jednadžbu trebamo dobiti okomita na pravac , tada se normalni vektor ravnine može uzeti kao vektor smjera dane ravne linije. Zatim . Ostaje napisati jednadžbu ravnine koja prolazi točkom i ima vektor normale : . Ovo je željena jednadžba ravnine koja prolazi kroz ishodište koordinata okomito na danu ravnu liniju.

Odgovor:

Primjer.

U pravokutnom koordinatnom sustavu Oxyz u trodimenzionalnom prostoru zadane su dvije točke i . Ravnina prolazi točkom A okomito na pravac AB. Napiši jednadžbu ravnine u segmentima.

Riješenje.

Opća jednadžba ravnine koja prolazi točkom i ima normalni vektor ravnine , bit će napisano kao .

Ostaje ići na traženu jednadžbu ravnine u segmentima:

.

Odgovor:

Zaključno, napominjemo da postoje zadaci u kojima je potrebno napisati jednadžbu ravnine koja prolazi kroz zadanu točku i okomita je na dvije zadane ravnine koje se sijeku. U biti, rješenje ovog problema svodi se na sastavljanje jednadžbe za ravninu koja prolazi kroz zadanu točku okomito na zadanu ravnu liniju, budući da dvije ravnine koje se sijeku određuju ravnu liniju. U ovom slučaju, glavna poteškoća je proces pronalaženja koordinata normalnog vektora ravnine čiju jednadžbu treba sastaviti. Zatim, kao vektor usmjeravanja pravca a uzimamo i:

Prema tome, vektor je vektor normale ravnine okomite na pravac a. Napišimo jednadžbu ravnine koja prolazi točkom i ima normalni vektor :
.

Ovo je željena jednadžba ravnine koja prolazi kroz danu točku okomito na danu ravnu liniju.

Odgovor:

Bibliografija.

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrija. 7. – 9. razred: udžbenik za općeobrazovne ustanove.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrija. Udžbenik za 10-11 razred srednje škole.
Pogorelov A.V., Geometrija. Udžbenik za razrede 7-11 u općeobrazovnim ustanovama.
Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Viša matematika. Svezak prvi: elementi linearne algebre i analitičke geometrije.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitička geometrija.

Ovaj članak daje ideju o tome kako napraviti jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz danu točku u trodimenzionalnom prostoru okomito na danu liniju. Analizirajmo zadani algoritam na primjeru rješavanja tipičnih problema.

Pronalaženje jednadžbe ravnine koja prolazi kroz zadanu točku u prostoru okomito na zadani pravac

Neka je u njemu zadan trodimenzionalni prostor i pravokutni koordinatni sustav O x y z. Dana je i točka M 1 (x 1, y 1, z 1), pravac a i ravnina α koja prolazi točkom M 1 okomito na pravac a. Potrebno je napisati jednadžbu ravnine α.

Prije nego počnemo rješavati ovaj problem, prisjetimo se geometrijskog teorema iz nastavnog plana i programa za 10-11 razred koji kaže:

Definicija 1

Kroz zadanu točku u trodimenzionalnom prostoru prolazi jedna ravnina okomita na zadanu ravnu crtu.

Sada pogledajmo kako pronaći jednadžbu ove jedne ravnine koja prolazi kroz početnu točku i okomita je na dani pravac.

Opću jednadžbu ravnine moguće je napisati ako su poznate koordinate točke koja pripada toj ravnini, kao i koordinate vektora normale ravnine.

Uvjeti zadatka daju nam koordinate x 1, y 1, z 1 točke M 1 kroz koju prolazi ravnina α. Odredimo li koordinate vektora normale ravnine α, tada ćemo moći napisati traženu jednadžbu.

Vektor normale ravnine α, budući da je različit od nule i leži na pravcu a, okomitom na ravninu α, bit će bilo koji vektor smjera pravca a. Time se problem određivanja koordinata vektora normale ravnine α transformira u problem određivanja koordinata vektora usmjerivača pravca a.

Koordinate vektora smjera pravca a mogu se odrediti različite metode: ovisi o mogućnosti zadavanja ravne linije a u početnim uvjetima. Na primjer, ako je pravac a u tvrdnji problema dan kanonskim jednadžbama oblika

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

ili parametarske jednadžbe oblika:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

tada će vektor smjera pravca imati koordinate a x, a y i a z. U slučaju kada je pravac a predstavljen dvjema točkama M 2 (x 2, y 2, z 2) i M 3 (x 3, y 3, z 3), tada će koordinate vektora pravca biti određene kao ( x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

Definicija 2

Algoritam za pronalaženje jednadžbe ravnine koja prolazi kroz zadanu točku okomito na zadani pravac:

Određujemo koordinate vektora smjera prave a: a → = (a x, a y, a z) ;

Koordinate vektora normale ravnine α definiramo kao koordinate vektora usmjerivača pravca a:

n → = (A , B , C) , gdje je A = a x, B = a y, C = a z;

Napišemo jednadžbu ravnine koja prolazi točkom M 1 (x 1, y 1, z 1) i ima normalni vektor n → = (A, B, C) u obliku A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. To će biti tražena jednadžba ravnine koja prolazi kroz zadanu točku u prostoru i okomita je na zadani pravac.

Rezultirajuća opća jednadžba ravnine je: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 omogućuje dobivanje jednadžbe ravnine u segmentima ili normalne jednadžbe ravnine.

Riješimo nekoliko primjera koristeći gore dobiveni algoritam.

Primjer 1

Zadana je točka M 1 (3, - 4, 5) kroz koju prolazi ravnina, a ta je ravnina okomita na koordinatni pravac O z.

Riješenje

vektor smjera koordinatne linije O z bit će koordinatni vektor k ⇀ = (0, 0, 1). Dakle, vektor normale ravnine ima koordinate (0, 0, 1). Napišimo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz zadanu točku M 1 (3, - 4, 5), čiji normalni vektor ima koordinate (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Odgovor: z – 5 = 0 .

Razmotrimo još jedan način rješavanja ovog problema:

Primjer 2

Ravnina koja je okomita na pravac O z bit će dana nepotpunom općom jednadžbom ravnine oblika C z + D = 0, C ≠ 0. Odredimo vrijednosti C i D: one na kojima ravnina prolazi kroz datu točku. Zamijenimo koordinate ove točke u jednadžbu C z + D = 0, dobivamo: C · 5 + D = 0. Oni. brojevi, C i D povezani su relacijom - D C = 5. Uzimajući C = 1, dobivamo D = - 5.

Zamijenimo ove vrijednosti u jednadžbu C z + D = 0 i dobijemo traženu jednadžbu ravnine okomite na ravnu liniju O z i koja prolazi kroz točku M 1 (3, - 4, 5).

To će izgledati ovako: z – 5 = 0.

Odgovor: z – 5 = 0 .

Primjer 3

Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz ishodište i okomita je na pravac x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Riješenje

Na temelju uvjeta problema može se tvrditi da se vektor smjera zadane ravne crte može uzeti kao normalni vektor n → zadane ravnine. Dakle: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Napišimo jednadžbu ravnine koja prolazi točkom O (0, 0, 0) i ima vektor normale n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Dobili smo traženu jednadžbu ravnine koja prolazi kroz ishodište koordinata okomito na zadani pravac.

Odgovor:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Primjer 4

U trodimenzionalnom prostoru zadan je pravokutni koordinatni sustav O x y z u kojem se nalaze dvije točke A (2, - 1, - 2) i B (3, - 2, 4). Ravnina α prolazi kroz točku A okomito na pravac A B. Potrebno je napraviti jednadžbu za ravninu α u segmentima.

Riješenje

Ravnina α je okomita na pravac A B, tada će vektor A B → biti vektor normale ravnine α. Koordinate ovog vektora definirane su kao razlika između odgovarajućih koordinata točaka B (3, - 2, 4) i A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Opća jednadžba ravnine bit će zapisana na sljedeći način:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Sada sastavimo traženu jednadžbu ravnine u segmentima:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Odgovor:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Također treba napomenuti da postoje zadaci čiji je zahtjev da se napiše jednadžba ravnine koja prolazi kroz zadanu točku i okomita je na dvije zadane ravnine. Općenito, rješenje ovog problema je konstruirati jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz danu točku okomito na danu liniju, jer dvije ravnine koje se sijeku određuju ravnu liniju.

Primjer 5

Zadan je pravokutni koordinatni sustav O x y z u kojem se nalazi točka M 1 (2, 0, - 5). Zadane su i jednadžbe dviju ravnina 3 x + 2 y + 1 = 0 i x + 2 z – 1 = 0 koje se sijeku duž pravca a. Potrebno je izraditi jednadžbu za ravninu koja prolazi točkom M 1 okomito na pravac a.

Riješenje

Odredimo koordinate vektora usmjerivača pravca a. Okomit je na vektor normale n 1 → (3, 2, 0) ravnine n → (1, 0, 2) i na vektor normale 3 x + 2 y + 1 = 0 x + 2 z - 1 = 0 ravnina.

Tada kao usmjerivač α → pravac a uzimamo vektorski produkt vektora n 1 → i n 2 →:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Dakle, vektor n → = (4, - 6, - 2) bit će vektor normale ravnine okomite na pravac a. Zapišimo traženu jednadžbu ravnine:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Odgovor: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Ako su svi brojevi A, B, C i D različiti od nule, tada se opća jednadžba ravnine naziva potpuna. Inače se opća jednadžba ravnine naziva nepotpun.

Razmotrimo sve moguće opće nepotpune jednadžbe ravnine u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxyz u trodimenzionalnom prostoru.

Neka je D = 0, tada imamo opću nepotpunu jednadžbu ravnine oblika . Ova ravnina u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxyz prolazi kroz ishodište. Doista, kada zamjenimo koordinate točke u rezultirajuću nepotpunu jednadžbu ravnine, dolazimo do identiteta .

Za , ili , ili imamo opće nepotpune jednadžbe ravnina , ili , odnosno . Ove jednadžbe definiraju ravnine paralelne s koordinatnim ravninama Oxy, Oxz i Oyz (pogledajte članak za uvjete paralelnih ravnina) i prolaze kroz točke i shodno tome. Na. Od točke pripada ravnini po uvjetu, tada koordinate te točke moraju zadovoljavati jednadžbu ravnine, odnosno jednakost mora biti istinita. Odavde nalazimo. Dakle, tražena jednadžba ima oblik .

Predstavimo drugi način rješavanja ovog problema.

Kako je ravnina, čiju opću jednadžbu trebamo sastaviti, paralelna s ravninom Oyz, onda kao njen vektor normale možemo uzeti vektor normale ravnine Oyz. Vektor normale koordinatne ravnine Oyz je koordinatni vektor. Sada znamo vektor normale ravnine i točku ravnine, stoga možemo napisati njezinu opću jednadžbu (sličan problem riješili smo u prethodnom odlomku ovog članka):
, tada njegove koordinate moraju zadovoljavati jednadžbu ravnine. Dakle, jednakost je istinita odakle ga nalazimo. Sada možemo napisati željenu opću jednadžbu ravnine, ona ima oblik .

Odgovor:

Bibliografija.

Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Viša matematika. Svezak prvi: elementi linearne algebre i analitičke geometrije.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitička geometrija.