Ograničenje funkcije- broj a bit će granica neke varijabilne veličine ako se u procesu svoje promjene ta varijabilna veličina neograničeno približava a.

Ili drugim riječima, broj A je granica funkcije y = f(x) u točki x 0, ako za bilo koji niz točaka iz domene definicije funkcije , nisu jednaki x 0, a koja konvergira u točku x 0 (lim x n = x0), niz odgovarajućih vrijednosti funkcije konvergira u broj A.

Graf funkcije čija je granica, s obzirom na argument koji teži beskonačnosti, jednaka L:

Značenje A je granica (granična vrijednost) funkcije f(x) u točki x 0 u slučaju za bilo koji niz točaka , koji konvergira u x 0, ali koji ne sadrži x 0 kao jedan od njegovih elemenata (tj. u probušenoj blizini x 0), niz vrijednosti funkcije konvergira u A.

Limit Cauchyjeve funkcije.

Značenje A bit će granica funkcije f(x) u točki x 0 ako za bilo koji unaprijed uzet nenegativan broj ε pronaći će se odgovarajući nenegativan broj δ = δ(ε) tako da za svaki argument x, zadovoljavajući uvjet 0 < | x - x0 | < δ , nejednakost će biti zadovoljena | f(x)A |< ε .

Bit će vrlo jednostavno ako razumijete bit granice i osnovna pravila za njezino pronalaženje. Što je granica funkcije f (x) na x težeći za a jednaki A, piše se ovako:

Štoviše, vrijednost kojoj varijabla teži x, može biti ne samo broj, već i beskonačnost (∞), ponekad +∞ ili -∞, ili možda uopće ne postoji ograničenje.

Da shvatim kako pronaći limite funkcije, najbolje je pogledati primjere rješenja.

Potrebno je pronaći limite funkcije f (x) = 1/x na:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Pronađimo rješenje prve granice. Da biste to učinili, možete jednostavno zamijeniti x broj kojem teži, tj. 2, dobivamo:

Nađimo drugu granicu funkcije. Ovdje umjesto toga zamijenite čistu 0 x to je nemoguće, jer Ne možete dijeliti s 0. Ali možemo uzeti vrijednosti blizu nule, na primjer, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 i tako dalje, te vrijednost funkcije f (x) povećat će se: 100; 1000; 10000; 100 000 i tako dalje. Dakle, može se razumjeti da kada x→ 0 vrijednost funkcije koja je ispod granice raste neograničeno, tj. stremi ka beskonačnosti. Što znači:

Što se tiče treće granice. Ista situacija kao u prethodnom slučaju, nemoguće je zamijeniti ∞ u svom najčišćem obliku. Moramo razmotriti slučaj neograničenog povećanja x. Zamjenjujemo 1000 jedan po jedan; 10000; 100 000 i tako dalje, imamo tu vrijednost funkcije f (x) = 1/x smanjit će se: 0,001; 0,0001; 0,00001; i tako dalje, težeći nuli. Zato:

Potrebno je izračunati limit funkcije

Počinjući rješavati drugi primjer, vidimo nesigurnost. Odavde nalazimo najviši stupanj brojnika i nazivnika - ovo je x 3, izvadimo ga iz zagrada u brojniku i nazivniku i zatim smanjimo za:

Odgovor

Prvi korak u pronalaženje ove granice, umjesto toga zamijenite vrijednost 1 x, što dovodi do neizvjesnosti. Da bismo ga riješili, faktorizirajmo brojnik i učinimo to koristeći metodu traženja korijena kvadratna jednadžba x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Dakle, brojnik će biti:

Odgovor

Ovo je definicija njezine specifične vrijednosti ili određenog područja u koje funkcija spada, a koje je ograničeno limitom.

Za rješavanje ograničenja slijedite pravila:

Shvativši bit i glavno pravila za rješavanje granice, dobit ćete osnovno razumijevanje kako ih riješiti.

Dana je formulacija glavnih teorema i svojstava limita funkcije. Dane su definicije konačnih i beskonačnih limita u konačnim točkama i u beskonačnosti (dvostrano i jednostrano) prema Cauchyju i Heineu. Razmatraju se aritmetička svojstva; teoremi vezani uz nejednakosti; Cauchyjev kriterij konvergencije; limit složene funkcije; svojstva infinitezimalnih, beskonačno velikih i monotonih funkcija. Dana je definicija funkcije.

Definicija funkcije

Funkcija y = f (x) je zakon (pravilo) prema kojem je svakom elementu x skupa X pridružen jedan i samo jedan element y skupa Y.

Element x ∈ X nazvao argument funkcije ili neovisna varijabla.
Element y ∈ Y nazvao vrijednost funkcije ili zavisna varijabla.

Skup X naziva se domena funkcije.
Skup elemenata y ∈ Y, koje imaju praslike u skupu X, nazivamo područje ili skup vrijednosti funkcije.

Poziva se stvarna funkcija ograničeno odozgo (odozdo), ako postoji broj M takav da nejednakost vrijedi za sve:
.
Poziva se funkcija broja ograničeno, ako postoji broj M takav da za sve:
.

Gornji rub ili točna gornja granica Prava funkcija naziva se najmanji broj koji ograničava svoj raspon vrijednosti odozgo. To jest, ovo je broj s za koji, za sve i za bilo koje, postoji argument čija vrijednost funkcije prelazi s′: .
Gornja granica funkcije može se označiti na sljedeći način:
.

Odnosno donji rub ili točna donja granica Realna funkcija naziva se najvećim brojem koji ograničava njezin raspon vrijednosti odozdo. To jest, ovo je broj i za koji, za sve i za bilo koje, postoji argument čija je vrijednost funkcije manja od i′: .
Infimum funkcije može se označiti na sljedeći način:
.

Određivanje limita funkcije

Određivanje limesa funkcije po Cauchyju

Konačne granice funkcije na krajnjim točkama

Neka je funkcija definirana u nekoj okolini krajnje točke, uz moguću iznimku same točke. u točki ako za bilo koju postoji takva stvar, ovisno o , da za sve x za koje , vrijedi nejednakost
.
Granica funkcije se označava na sljedeći način:
.
Ili u .

Koristeći logičke simbole postojanja i univerzalnosti, definicija limita funkcije može se napisati na sljedeći način:
.

Jednostrana ograničenja.
Lijeva granica u točki (lijeva granica):
.
Desna granica u točki (desna granica):
.
Lijeva i desna granica često se označavaju na sljedeći način:
; .

Konačni limiti funkcije u točkama u beskonačnosti

Granice u točkama u beskonačnosti određuju se na sličan način.
.
.
.
Često se nazivaju:
; ; .

Korištenje koncepta susjedstva točke

Ako uvedemo koncept probušene okoline točke, tada možemo dati jedinstvenu definiciju konačnog limita funkcije na konačnim i beskonačno udaljenim točkama:
.
Ovdje za krajnje točke
; ;
.
Svako susjedstvo točaka u beskonačnosti je probušeno:
; ; .

Beskonačna ograničenja funkcija

Definicija
Neka je funkcija definirana u nekoj punktiranoj okolini točke (konačnoj ili u beskonačnosti). f (x) kao x → x 0 jednako beskonačnosti, ako za koga, proizvoljno veliki broj M > 0 , postoji broj δ M > 0 , ovisno o M, da za sve x koji pripadaju punktiranoj δ M - okolini točke: , vrijedi nejednakost:
.
Beskonačna granica je označena na sljedeći način:
.
Ili u .

Koristeći logičke simbole postojanja i univerzalnosti, definicija beskonačne granice funkcije može se napisati na sljedeći način:
.

Također možete uvesti definicije beskonačnih granica određenih znakova jednakih i :
.
.

Univerzalna definicija limita funkcije

Koristeći koncept susjedstva točke, možemo dati univerzalnu definiciju konačnog i beskonačnog limita funkcije, primjenjivu i na konačne (dvostrane i jednostrane) i beskonačno udaljene točke:
.

Određivanje limita funkcije po Heineu

Neka je funkcija definirana na nekom skupu X:.
Broj a naziva se limitom funkcije u točki:
,
ako za bilo koji niz koji konvergira x 0 :
,
čiji elementi pripadaju skupu X: ,
.

Zapišimo ovu definiciju koristeći se logičkim simbolima postojanja i univerzalnosti:
.

Ako uzmemo lijevu okolinu točke x kao skup X 0 , tada dobivamo definiciju lijeve granice. Ako je desna, tada dobivamo definiciju desne granice. Ako okolinu točke u beskonačnosti uzmemo kao skup X, dobivamo definiciju limita funkcije u beskonačnosti.

Teorema
Cauchyjeva i Heineova definicija limita funkcije su ekvivalentne.
Dokaz

Svojstva i teoremi limita funkcije

Nadalje, pretpostavljamo da su funkcije koje razmatramo definirane u odgovarajućoj okolini točke, koja je konačan broj ili jedan od simbola: . Može biti i jednostrana granična točka, odnosno imati oblik ili . Susjedstvo je dvostrano za dvostrano ograničenje i jednostrano za jednostrano ograničenje.

Osnovna svojstva

Ako su vrijednosti funkcije f (x) promijeniti (ili učiniti nedefiniranim) konačan broj točaka x 1, x 2, x 3, ... x n, tada ova promjena neće utjecati na postojanje i vrijednost limita funkcije u proizvoljnoj točki x 0 .

Ako postoji konačna granica, tada postoji probušena okolina točke x 0 , na kojoj je funkcija f (x) ograničeno:
.

Neka funkcija ima u točki x 0 konačna granica različita od nule:
.
Tada za bilo koji broj c iz intervala postoji takva probušena okolina točke x 0 , za što ,
, Ako ;
, Ako .

Ako je, na nekoj probušenoj okolini točke, , konstanta, tada je .

Ako postoje konačne granice i i na nekoj punktiranoj okolini točke x 0
,
taj .

Ako je , i na nekoj okolini točke
,
taj .
Konkretno, ako je u nekoj blizini točke
,
onda ako , onda i ;
ako , onda i .

Ako na nekoj punktiranoj okolini točke x 0 :
,
i postoje konačne (ili beskonačne određenog predznaka) jednake granice:
, To
.

Dokazi glavnih svojstava navedeni su na stranici
"Osnovna svojstva limesa funkcije."

Aritmetička svojstva limita funkcije

Neka su funkcije i definirane u nekoj punktiranoj okolini točke . I neka postoje konačne granice:
i .
I neka je C konstanta, odnosno zadani broj. Zatim
;
;
;
, Ako .

Ako tada.

Dokazi aritmetičkih svojstava dati su na stranici
"Aritmetička svojstva limesa funkcije".

Cauchyjev kriterij postojanja limita funkcije

Teorema
Kako bi funkcija definirana na nekoj probušenoj okolini konačne ili beskonačne točke x 0 , imao konačnu granicu u ovoj točki, potrebno je i dovoljno da za bilo koji ε > 0 postojala je takva punktirana okolina točke x 0 , da za bilo koje točke i iz ove okoline vrijedi nejednakost:
.

Limit složene funkcije

Teorem o limitu kompleksne funkcije
Neka funkcija ima granicu i preslikaj probušenu okolinu točke na probušenu okolinu točke. Neka je funkcija definirana na ovoj okolini i ima limit na njoj.
Evo krajnjih ili beskonačno udaljenih točaka: . Susjedstva i njihova odgovarajuća ograničenja mogu biti dvostrani ili jednostrani.
Tada postoji limes složene funkcije i on je jednak:
.

Limitni teorem složene funkcije primjenjuje se kada funkcija nije definirana u točki ili ima vrijednost različitu od limita. Da bismo primijenili ovaj teorem, mora postojati probušeno susjedstvo točke u kojoj skup vrijednosti funkcije ne sadrži točku:
.

Ako je funkcija kontinuirana u točki , tada se znak granice može primijeniti na argument kontinuirane funkcije:
.
Slijedi teorem koji odgovara ovom slučaju.

Teorem o limitu kontinuirane funkcije funkcije
Neka postoji limes funkcije g (t) kao t → t 0 , a jednak je x 0 :
.
Ovdje je točka t 0 mogu biti konačno ili beskonačno udaljeni: .
I neka funkcija f (x) kontinuirana je u točki x 0 .
Tada postoji limit kompleksne funkcije f (g(t)), a jednak je f (x0):
.

Dokazi teorema dati su na stranici
"Limit i kontinuitet složene funkcije".

Infinitezimalne i beskonačno velike funkcije

Infinitezimalne funkcije

Definicija
Za funkciju se kaže da je infinitezimalna ako
.

Zbroj, razlika i umnožak konačnog broja infinitezimalnih funkcija na je infinitezimalna funkcija na .

Umnožak ograničene funkcije na nekoj probušenoj okolini točke, na infinitezimalnu at je infinitezimalna funkcija na.

Da bi funkcija imala konačan limit potrebno je i dovoljno da
,
gdje je infinitezimalna funkcija na .

"Svojstva infinitezimalnih funkcija".

Beskonačno velike funkcije

Definicija
Za funkciju se kaže da je beskonačno velika ako
.

Zbroj ili razlika ograničene funkcije, na nekom probušenom susjedstvu točke , i beskonačno velike funkcije na je beskonačno velika funkcija na .

Ako je funkcija beskonačno velika za , a funkcija je ograničena na neku probušenu okolinu točke , tada
.

Ako funkcija , na nekoj punktiranoj okolini točke , zadovoljava nejednakost:
,
a funkcija je infinitezimalna na:
, i (na nekom punktiranom susjedstvu točke), zatim
.

Dokazi svojstava prikazani su u odjeljku
"Svojstva beskonačno velikih funkcija".

Odnos između beskonačno velikih i infinitezimalnih funkcija

Iz prethodna dva svojstva slijedi povezanost beskonačno velikih i infinitezimalnih funkcija.

Ako je funkcija beskonačno velika na , tada je funkcija infinitezimalna na .

Ako je funkcija infinitezimalna za , i , tada je funkcija beskonačno velika za .

Odnos između infinitezimalne i beskonačno velike funkcije može se izraziti simbolički:
, .

Ako infinitezimalna funkcija ima određeni predznak na , to jest, pozitivna je (ili negativna) na nekoj probušenoj okolini točke , tada se ta činjenica može izraziti na sljedeći način:
.
Na isti način, ako beskonačno velika funkcija ima određeni predznak na , tada se piše:
.

Tada se simbolička veza između beskonačno male i beskonačno velike funkcije može nadopuniti sljedećim relacijama:
, ,
, .

Dodatne formule koje se odnose na simbole beskonačnosti mogu se pronaći na stranici
"Točke u beskonačnosti i njihova svojstva."

Granice monotonih funkcija

Definicija
Poziva se funkcija definirana na nekom skupu realnih brojeva X strogo rastući, ako za sve takve vrijedi sljedeća nejednakost:
.
Sukladno tome, za strogo opadajući funkcija vrijedi sljedeća nejednakost:
.
Za neopadajući:
.
Za nerastući:
.

Slijedi da je strogo rastuća funkcija također neopadajuća. Strogo padajuća funkcija također je nerastuća.

Funkcija se zove monoton, ako je neopadajuća ili nerastuća.

Teorema
Neka funkcija ne opada na intervalu gdje je .
Ako je odozgo omeđen brojem M: tada postoji konačna granica. Ako nije ograničeno odozgo, tada .
Ako je ograničena odozdo brojem m: tada postoji konačna granica. Ako nije ograničeno odozdo, tada .

Ako su točke a i b u beskonačnosti, onda u izrazima granični znakovi znače da .
Ovaj se teorem može formulirati i kompaktnije.

Neka funkcija ne opada na intervalu gdje je . Zatim postoje jednostrane granice u točkama a i b:
;
.

Sličan teorem za nerastuću funkciju.

Neka funkcija ne raste na intervalu gdje je . Zatim postoje jednostrana ograničenja:
;
.

Dokaz teorema je prikazan na stranici
"Granice monotonih funkcija".

Reference:
L.D. Kudrjavcev. Tečaj matematičke analize. Svezak 1. Moskva, 2003.
CM. Nikolskog. Tečaj matematičke analize. Svezak 1. Moskva, 1983.

Neka je funkcija y = ƒ (x) definirana u nekoj okolini točke x o, osim možda same točke x o.

Formulirajmo dvije ekvivalentne definicije limesa funkcije u točki.

Definicija 1 (u “jeziku nizova”, ili prema Heineu).

Broj A naziva se granica funkcije y=ƒ(x) u peći x 0 (ili na x® x o), ako za bilo koji niz prihvatljive vrijednosti argumenti x n, n ê N (x n ¹ x 0), konvergirajući na x, niz odgovarajućih vrijednosti funkcije ƒ(x n), n ê N, konvergira na broj A

U ovom slučaju pišu
ili ƒ(x)->A na x→x o. Geometrijsko značenje limita funkcije: znači da se za sve točke x koje su dovoljno blizu točki xo odgovarajuće vrijednosti funkcije razlikuju onoliko malo koliko se želi od broja A.

Definicija 2 (na “jeziku ε”, ili po Cauchyju).

Broj A naziva se limitom funkcije u točki x o (ili u x→x o) ako za bilo koji pozitivan ε postoji pozitivan broj δ takav da za sve x¹ x o koji zadovoljavaju nejednakost |x-x o |<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

Geometrijsko značenje limita funkcije:

ako za bilo koju ε-okolicu točke A postoji δ-okolina točke x o takva da za sve x1 xo iz te δ-okoline odgovarajuće vrijednosti funkcije ƒ(x) leže u ε-okolici točke točka A. Drugim riječima, točke grafa funkcije y = ƒ(x) leže unutar trake širine 2ε, omeđene ravnim linijama y=A+ ε, y=A-ε (vidi sliku 110). Očito, vrijednost δ ovisi o izboru ε, pa pišemo δ=δ(ε).

<< Пример 16.1

Dokaži to

Rješenje: Uzmite proizvoljno ε>0, pronađite δ=δ(ε)>0 tako da za sve x koji zadovoljavaju nejednakost |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.

Uzimajući δ=ε/2, vidimo da za sve x koji zadovoljavaju nejednakost |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.

<< Пример 16.2

16.2. Jednostrana ograničenja

U definiranju limita funkcije, smatra se da x teži x 0 na bilo koji način: ostaje manji od x 0 (lijevo od x 0), veći od x o (desno od x o), ili oscilira oko točka x 0.

Postoje slučajevi kada metoda aproksimacije argumenta x u x o značajno utječe na vrijednost limita funkcije. Stoga se uvode pojmovi jednostranih granica.

Broj A 1 naziva se limitom funkcije y=ƒ(x) lijevo u točki x o ako za bilo koji broj ε>0 postoji broj δ=δ(ε)> 0 takav da je u x ê (x 0 -δ;x o), nejednakost |ƒ(x)-A|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>x 0 -0 ili kratko: ƒ(x o- 0) = A 1 (Dirichletov zapis) (vidi sliku 111).

Granica funkcije s desne strane određena je na sličan način, zapisujemo je simbolima:

Ukratko, granica na desnoj strani je označena sa ƒ(x o +0)=A.

Lijeva i desna granica funkcije nazivaju se jednostrane granice. Očito, ako postoji, onda postoje obje jednostrane granice i A = A 1 = A 2.

Vrijedi i obrnuto: ako obje granice ƒ(x 0 -0) i ƒ(x 0 +0) postoje i jednake su, tada postoji granica i A = ƒ(x 0 -0).

Ako je A 1 ¹ A 2, onda ova kapela ne postoji.

16.3. Limit funkcije na x ® ∞

Neka je funkcija y=ƒ(x) definirana u intervalu (-∞;∞). Broj A se zove granica funkcijeƒ(x) na x→ ∞ , ako za bilo koji pozitivan broj ε postoji broj M=M()>0 takav da za sve x koji zadovoljavaju nejednakost |x|>M vrijedi nejednakost |ƒ(x)-A|<ε. Коротко это определение можно записать так:

Geometrijsko značenje ove definicije je sljedeće: za " ε>0 $ M>0, da su za x ê(-∞; -M) ili x ê(M; +∞) odgovarajuće vrijednosti funkcije ƒ( x) padaju u ε-okolicu točke A , odnosno točke grafa leže u traci širine 2ε, ograničenoj ravnim linijama y=A+ε i y=A-ε (vidi sliku 112) .

16.4. Beskonačno velika funkcija (b.b.f.)

Funkcija y=ƒ(x) se zove beskonačno velika za x→x 0 ako za bilo koji broj M>0 postoji broj δ=δ(M)>0, koji za sve x koji zadovoljavaju nejednakost 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>M.

Na primjer, funkcija y=1/(x-2) je b.b.f. za x->2.

Ako ƒ(x) teži beskonačnosti kao x→x o i uzima samo pozitivne vrijednosti, tada pišu

ako su samo negativne vrijednosti, onda

Funkcija y=ƒ(x), definirana na cijelom brojevnom pravcu, nazivaju beskrajno velikim kao x→∞, ako za bilo koji broj M>0 postoji broj N=N(M)>0 takav da za sve x koji zadovoljavaju nejednakost |x|>N vrijedi nejednakost |ƒ(x)|>M. Kratak:

Na primjer, y=2x ima b.b.f. kao x→∞.

Imajte na umu da ako argument x, koji teži beskonačnosti, uzima samo prirodne vrijednosti, tj. xêN, tada odgovarajući b.b.f. postaje beskonačno velik niz. Na primjer, niz v n =n 2 +1, n ê N, je beskonačno velik niz. Očito, svaki b.b.f. u susjedstvu točke x o je neograničeno u tom susjedstvu. Obrnuto nije točno: neograničena funkcija ne mora biti b.b.f. (Na primjer, y=xsinx.)

Međutim, ako je limƒ(x)=A za x→x 0, gdje je A konačan broj, tada je funkcija ƒ(x) ograničena u blizini točke x o.

Doista, iz definicije limesa funkcije slijedi da pri x→ x 0 vrijedi uvjet |ƒ(x)-A|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.

Dokazujući svojstva limita funkcije uvjerili smo se da se od punktiranih okolina u kojima su naše funkcije definirane i koje su nastale u procesu dokazivanja zapravo ništa ne traži osim svojstava naznačenih u uvodu prethodnog paragrafa 2. Ova okolnost služi kao opravdanje za identifikaciju sljedećeg matematičkog objekta.

A. Baza; definicija i osnovni primjeri

Definicija 11. Skup B podskupova skupa X nazivat ćemo bazom u skupu X ako su ispunjena dva uvjeta:

Drugim riječima, elementi kolekcije B su neprazni skupovi, a presjek bilo koja dva od njih sadrži neki element iz iste kolekcije.

Naznačimo neke od najčešće korištenih baza u analizi.

Ako tada umjesto toga napišu i kažu da x teži a s desne strane ili sa strane većih vrijednosti (odnosno, s lijeve ili sa strane manjih vrijednosti). Kada se umjesto toga prihvati kratki zapis

Unos će se koristiti umjesto Ona znači da a; teži preko skupa E k a, ostajući veći (manji) od a.

onda umjesto toga pišu i kažu da x teži plus beskonačno (odnosno minus beskonačno).

Umjesto toga koristit će se unos

Kada umjesto (ako to ne dovodi do nesporazuma) ćemo, kao što je uobičajeno u teoriji limita niza, napisati

Primijetimo da sve navedene baze imaju tu posebnost da je presjek bilo koja dva elementa baze i sam element te baze, a ne samo da sadrži neki element baze. Druge baze ćemo susresti pri proučavanju funkcija koje nisu specificirane na brojevnoj osi.

Napomenimo također da je pojam "baza" koji se ovdje koristi kratka oznaka onoga što se u matematici naziva "baza filtra", a osnovna granica uvedena u nastavku najvažniji je dio za analizu koncepta granice filtra stvorenog modernim francuski matematičar A. Cartan

b. Ograničenje funkcije prema bazi

Definicija 12. Neka je funkcija na skupu X; B je baza u X. Broj se naziva limitom funkcije s obzirom na bazu B ako za bilo koju okolinu točke A postoji element baze čija je slika sadržana u okolini

Ako je A limes funkcije s obzirom na bazu B, onda napiši

Ponovimo definiciju limita bazom u logičkoj simbolici:

Budući da sada gledamo funkcije s numeričkim vrijednostima, korisno je imati na umu sljedeći oblik ove osnovne definicije:

U ovoj formulaciji, umjesto proizvoljne okoline V (A), uzima se simetrična (u odnosu na točku A) okolina (e-susjedstvo). Ekvivalentnost ovih definicija za funkcije s realnim vrijednostima proizlazi iz činjenice da, kao što je već spomenuto, svaka okolina točke sadrži neku simetričnu okolinu iste točke (izvedite dokaz u cijelosti!).

Dali smo opću definiciju limita funkcije nad bazom. Gore smo raspravljali o primjerima baza podataka koje se najčešće koriste u analizi. U konkretnom problemu gdje se pojavljuje jedna ili druga od ovih baza, potrebno je znati dešifrirati opću definiciju i zapisati je za konkretnu bazu.

Razmatrajući primjere baza, posebno smo uveli pojam susjedstva beskonačnosti. Ako koristimo ovaj koncept, tada je u skladu s općom definicijom granice razumno prihvatiti sljedeće konvencije:

ili, što je isto,

Obično mislimo na malu vrijednost. To, naravno, nije slučaj u gornjim definicijama. U skladu s prihvaćenim konvencijama, na primjer, možemo pisati

Da bi se svi teoremi o limitima koje smo dokazali u paragrafu 2 za posebnu bazu smatrali dokazanima u općem slučaju limita nad proizvoljnom bazom, potrebno je dati odgovarajuće definicije: finalno konstantna, finalno ograničena i infinitezimalna za datu bazu funkcija.

Definicija 13. Za funkciju se kaže da je konačno konstantna s bazom B ako postoji broj i element baze takav da u bilo kojoj točki

Trenutačno je glavna korist promatranja i koncepta baze koji je uveden u vezi s tim to što nas spašavaju od provjera i formalnih dokaza graničnih teorema za svaku specifičnu vrstu graničnih prolaza ili, u našoj trenutnoj terminologiji, za svaki specifičan tip baza

Kako bismo se konačno upoznali s pojmom limita nad proizvoljnom bazom, provest ćemo dokaze daljnjih svojstava limita funkcije u općem obliku.

Ovaj online matematički kalkulator pomoći će vam ako vam zatreba izračunati limit funkcije. Program granice rješenja ne samo da daje odgovor na problem, on vodi detaljno rješenje s objašnjenjima, tj. prikazuje postupak izračuna ograničenja.

Ovaj program može biti koristan učenicima srednjih škola u općim školama kada se pripremaju za testove i ispite, kada testiraju znanje prije Jedinstvenog državnog ispita, a roditeljima za kontrolu rješenja mnogih problema iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti učitelja ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite završiti svoju zadaću iz matematike ili algebre što je brže moguće? U tom slučaju također možete koristiti naše programe s detaljnim rješenjima.

Na taj način možete provoditi vlastitu obuku i/ili obuku svoje mlađe braće ili sestara, dok se razina edukacije u području rješavanja problema povećava.

Unesite izraz funkcije

Izračunajte granicu

Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript je onemogućen u vašem pregledniku.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Ovdje su upute o tome kako omogućiti JavaScript u svom pregledniku.

Jer Puno je ljudi voljnih riješiti problem, vaš zahtjev je u redu čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Molimo pričekajte sekund...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u obrascu za povratne informacije.
Ne zaboravi navesti koji zadatak ti odluči što unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Limit funkcije na x->x 0

Neka je funkcija f(x) definirana na nekom skupu X i neka točka \(x_0 \u X\) ili \(x_0 \ne u X\)

Uzmimo iz X niz točaka različitih od x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
konvergirajući prema x*. Vrijednosti funkcije u točkama ovog niza također čine numerički niz
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
te se može postaviti pitanje postojanja njegove granice.

Definicija. Broj A naziva se granica funkcije f(x) u točki x = x 0 (ili u x -> x 0), ako je za bilo koji niz (1) vrijednosti argumenta x različit od x 0 konvergirajući na x 0, odgovarajući niz (2) funkcije vrijednosti konvergira na broj A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Funkcija f(x) može imati samo jednu granicu u točki x 0. To proizlazi iz činjenice da slijed
(f(x n)) ima samo jednu granicu.

Postoji još jedna definicija limita funkcije.

Definicija Broj A naziva se limitom funkcije f(x) u točki x = x 0 ako za bilo koji broj \(\varepsilon > 0\) postoji broj \(\delta > 0\) takav da za sve \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), zadovoljavajući nejednakost \(|x-x_0| Korištenjem logičkih simbola, ova se definicija može napisati kao
\((\forall \varepsilon > 0) (\postoji \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Primijetite da nejednakosti \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| Prva definicija temelji se na konceptu limita brojčanog niza, pa se često naziva definicijom “u jeziku nizova.” Druga definicija se naziva definicijom “u jeziku \(\varepsilon - \delta \)”.
Ove dvije definicije limita funkcije su ekvivalentne i možete koristiti bilo koju od njih ovisno o tome koja je prikladnija za rješavanje određenog problema.

Imajte na umu da se definicija limita funkcije “u jeziku nizova” također naziva definicijom limita funkcije prema Heineu, a definicija limita funkcije “u jeziku \(\varepsilon - \delta \)” naziva se i definicija limita funkcije prema Cauchyju.

Limit funkcije pri x->x 0 - i pri x->x 0 +

U nastavku ćemo koristiti pojmove jednostranih limesa funkcije koji su definirani na sljedeći način.

Definicija Broj A naziva se desnom (lijevom) granicom funkcije f(x) u točki x 0 ako za bilo koji niz (1) koji konvergira k x 0, čiji su elementi x n veći (manji od) x 0, odgovarajući niz (2) konvergira u A.

Simbolično je napisano ovako:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \lijevo(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \desno) $$

Možemo dati ekvivalentnu definiciju jednostranih limita funkcije “u jeziku \(\varepsilon - \delta \)”:

Definicija broj A naziva se desna (lijeva) granica funkcije f(x) u točki x 0 ako za bilo koji \(\varepsilon > 0\) postoji \(\delta > 0\) takav da za sve x zadovoljavajući nejednakosti \(x_0 Simbolični unosi:

\((\forall \varepsilon > 0) (\postoji \delta > 0) (\forall x, \; x_0