Rješavanje jednadžbi s promjenom varijable. Metoda integracije promjenom varijable
Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.
Prikupljanje i korištenje osobnih podataka
Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.
Koje osobne podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.
Kako koristimo vaše osobne podatke:
- Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Također možemo koristiti osobne podatke u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim stranama
Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.
Iznimke:
- Po potrebi - sukladno zakonu, sudskom postupku, u suđenje, i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na području Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.
Zaštita osobnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke
Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.
Lekcija i prezentacija na temu: "Metoda zamjene varijabli. Primjeri"
Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.
Nastavna sredstva i simulatori u Internet trgovini Integrala za 11. razred
1C: Škola. Rješavanje zadataka iz geometrije. Interaktivni zadaci o građenju u prostoru za 10.–11
Algebarski zadaci s parametrima, 9.–11
Ova metoda je prilično česta pri rješavanju jednadžbi, a koristili smo je više puta. Može se koristiti u sljedećim slučajevima:
- Ako je izvorna jednadžba $f(x)=0$ složenog oblika, ali ju je bilo moguće transformirati u jednadžbu oblika $h(g(x))=0$.
- Potrebno je izvršiti promjenu varijabli $u=g(x)$.
- Riješite jednadžbu $h(u)=0$, pronađite korijene $u_1$, $u_2$, … $u_n$.
- Unesite obrnutu supstituciju $g(x)=u_1$, $g(x)=u_2$, … , $g(x)=u_n$.
- Riješite svaku od jednadžbi $g(x)=u_1$, $g(x)=u_2$, …, $g(x)=u_n$. Korijeni svake jednadžbe bit će rješenja izvorne jednadžbe.
Primjer.
Riješite jednadžbu: $8x^6+7x^3-1=0$.
Riješenje.
Uvedimo zamjenu $y=x^3$. Tada se naša jednadžba svodi na kvadratnu jednadžbu:
$8y^2+7y-1=0$,
$(8y-1)(y+1)=0$,
$y_1=\frac(1)(8)$ i $y_2=-1$.
U ovoj fazi, kod rješavanja složenijih jednadžbi, treba provjeriti dobivene korijene.
Uvedimo obrnutu zamjenu: $x^3=\frac(1)(8)$ i $x^3=-1$.
Korijene ovih jednadžbi lako je pronaći: $x_1=\frac(1)(2)$ i $x_2=-1$.
Odgovor: $x=0,5$ i $x=-1$.
Primjer.
Riješite jednadžbu: $\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))+4\sqrt(\frac(2x-1)(2x+3))=4$.
Riješenje.
Provedimo ekvivalentne transformacije:
$\sqrt(\frac(2x-1)(2x+3))=(\frac(2x-1)(2x+3))^(\frac(1)(2))=(\frac(2x+ 3) )(2x-1))^(-\frac(1)(2))=((\frac(2x+3)(2x-1))^(\frac(1)(2)))^( - 1)=\frac(1)(\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1)))$.
Uvedimo zamjenu: $u=\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))$, tada se naša jednadžba svodi na $u+\frac(4)(u)=4$. $u^2-4u+4=0$, odakle $u=2$.
Uvedimo obrnutu promjenu: $\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))=2$.
$2x+3=4(2x-1)$ rješavanjem linearne jednadžbe $x=1\frac(1)(6)$.
Primjer.
Riješite jednadžbu: $2^x+2^(1-x)=3$.
Riješenje.
Naša se jednadžba svodi na ekvivalentna jednadžba: $2^x+\frac(2)(2^x)=3$.
Uvedimo zamjenu: $t=2^x$.
$t+\frac(2)(t)=3$,
$t^2-3t+2=0$,
$(t-2)(t-1)=0$,
$t_1=2$ i $t_2=1$.
Uvedimo obrnutu zamjenu: $2^x=2$ i $2^x=1$. Od: $x=1$ i $x=0$.
Odgovor: $x=1$ i $x=0$.
Primjer.
Riješite jednadžbu: $lg^2(x^2)+lg(10x)-6=0$.
Riješenje.
Transformirajmo našu jednadžbu.
$lg^2(x^2)=(lg(x^2))^2=(2lg(x))^2=4lg^2x$.
$lg(10x)=lg10+lgx=1+lgx$.
Izvorna jednadžba je ekvivalentna jednadžbi: $4lg^2x+lgx-5=0$.
Uvedimo zamjenu: $u=lg(x)$.
$4u^2+u-5=0$,
$(4u+5)(u-1)=0$.
Uvedimo obrnutu zamjenu: $lgx=-1,25$ i $lgx=1$.
Odgovor: $x=10^(-\frac(5)(4))$ i $x=10$.
Primjer.
Riješite jednadžbu: $sin(x)cos(x)-6sin(x)+6cos(x)+6=0$.
Riješenje.
Uvedimo zamjenu: $cos(x)-sin(x)=y$.
Zatim: $(cos(x)-sin(x))^2=1-2sin(x)cos(x)$.
$sin(x)cos(x)=\frac(1-y^2)(2)$.
Izvorna jednadžba je ekvivalentna:
$\frac(1-y^2)(2)+6y+6=0$,
$1-y^2+12y+12=0$,
$y^2-12y-13=0$,
$(y-13)(y+1)=0$.
Uvedimo inverznu zamjenu: $cos(x)-sin(x)=13$ - očito je da rješenja nema jer su kosinus i sinus ograničeni u modulu za jedan.
$cos(x)-sin(x)=-1$ - pomnožite obje strane jednadžbe s $\frac(\sqrt(2))(2)$.
$\frac(\sqrt(2))(2)cos(x)-\frac(\sqrt(2))(2)sin(x)=-\frac(\sqrt(2))(2)$.
$sin(\frac(π)(4)-x)=-\frac(\sqrt(2))(2)$.
$\begin (slučajevi) \frac(π)(4)-x=-\frac(π)(4)+2πn, \\ \frac(π)(4)-x=-\frac(3π)(4 )+2πn. \kraj (slučajevi)$
$\početak (slučajevi) x=\frac(π)(2)+2πn, \\ x=π+2πn. \kraj (slučajevi)$
Odgovor: $x=\frac(π)(2)+2πn$ i $π+2πn$.
Problemi koje treba samostalno riješiti
Riješite sljedeće jednadžbe:1. $x^8+3x^4-4=0$.
2. $\sqrt(\frac(5x-1)(x+3))+5\sqrt(\frac(x+3)(5x-1))=6$.
3. $5^x+5^(2x+1)=-4$.
4. $2cos^2(x)-7cos-4=0$.
5. $5sin(2x)-11sin(x)=11cos(x)-7$.
Rješavanje jednadžbi metodom promjene varijabli
Većina životnih zadataka
rješavaju se kao algebarske jednadžbe:
dovodeći ih u njihov najjednostavniji oblik.
L. N. Tolstoj.
Svrha lekcije: organizirati obrazovne aktivnosti učenika za ovladavanje metodama rješavanja cijelih jednadžbi viših stupnjeva metodom supstitucije varijable; upoznati učenike s konceptima i tehnikama rješavanja recipročnih i simetričnih jednadžbi.
Zadaci:obrazovni: nastaviti razvijati sposobnost korištenja metode zamjene
varijabla pri rješavanju jednadžbi; razvijanje sposobnosti uočavanja iste metode rješavanja jednadžbi u različitim situacijama; stvoriti ideju o metodama i tehnikama rješavanja nestandardnih problema i algebarskih jednadžbi na razini koja prelazi razinu državnih obrazovnih standarda;
razvoj: razvoj mišljenja učenika; razvoj pamćenja; razvoj
logično mišljenje, sposobnost jasnog formuliranja svojih misli; razvijanje mašte učenika; razvoj usmenog govora.
obrazovni: obrazovanje sposobnosti zapažanja; odgoj urednosti
pri bilježenju na ploči iu bilježnici; njegovanje samostalnosti u izvođenju praktičnog rada.
Tijekom nastave
Organiziranje vremena.
Obnavljanje i usustavljivanje znanja.
Zadatak br. 1. Riješite križaljku. Odgovore napišite samo u nominativu.
Horizontalno:4.Koji je izraz za kvadratnu jednadžbu? (diskriminirajući)
6. Vrijednost varijable pri kojoj jednadžba prelazi u pravu jednakost. (korijen)
8. Jednadžba oblika 
, Gdje 
. (bikvadratan)
9.Francuski matematičar vezan za kvadratne jednadžbe. (viet)
10. Jednadžba u kojoj su lijeva i desna strana cjelobrojni izrazi. (cijela)
11. Jednadžbe s jednom varijablom koje imaju isti skup korijena. (ekvivalent)
Okomito:
1. Mnogo korijena jednadžbe. (riješenje)
2. Rješenje jednadžbe 
. (nula)
3. Jednakost koja sadrži varijablu. (jednadžba)
5. Kvadratna jednadžba u kojoj je jedan od koeficijenata b ili c jednak 0. (nepotpun)
7. Kvadratna jednadžba u kojoj je prvi koeficijent jednak jedinici. (dano)
Čemu ćemo danas posvetiti lekciju? ( Rješavanje jednadžbi )
Zadatak br. 2. Kako biste riješili jednadžbe za svaku grupu?
ODGOVORI: Primjeri skupine 1) najbolje se rješavaju rastavljanjem na faktore stavljanjem zajedničkog faktora izvan zagrada ili korištenjem skraćenih formula za množenje.
Primjere skupine 2) bolje je riješiti grupiranjem i faktoriziranjem.
Primjere skupine 3) bolje je riješiti uvođenjem nove varijable i prelaskom na kvadratnu jednadžbu.
1 Koji biste faktor stavili izvan zagrada u primjerima skupine 1?
ODGOVORI:
Kako biste grupirali pojmove u skupini 2 primjera?
ODGOVORI:
Što mislite pod novom varijablom u skupini 3 primjera?
ODGOVORI:
Kako možete faktorizirati polinom? 
?
ODGOVORI: .
Danas ćete u lekciji pokazati svoje znanje o temi “Rješavanje jednadžbi metodom zamjene varijabli”
Zapišite temu lekcije u svoje bilježnice.
Danas ćemo na nastavi pogledati jedan od načina rješavanja jednadžbi viših stupnjeva – metodu zamjene varijable; Upoznajmo se s pojmovima i tehnikama rješavanja recipročnih i simetričnih jednadžbi.
Umijeće pravljenja varijabilnih zamjena je vidjeti koja zamjena ima najviše smisla i brže vodi do uspjeha.
Zadatak br. 3.
Riješite jednadžbu.(2 učenika istovremeno rješavaju zadatak za pločom.)
A) (Prvi učenik rješava na ploči uz objašnjenje.)
b) (Drugi učenik tiho rješava jednadžbu, zatim objašnjava rješenje, razred sluša i postavlja pitanja ako nešto nije jasno.)
1 student Zamjena: 
.
2 student Zamjena: 
.
(Dodatno za one koji su prethodno savladali prethodne jednadžbe).
. .
3 student
(Učenici iz mjesta komentiraju napredak rješavanja.)
RJEŠENJE: Dodajmo zajednički faktor: ,
gdje 
ili 
, tj. 
Odgovor: 
Produbljivanje i proširivanje znanja
Nastavljamo s radom. Vidite jednadžbu na slajdu: x 4 -5x 3 +6x 2 -5x+1=0.
Kako biste predložili da se to riješi? Što da radimo?
Je li to moguće riješiti unutar školski programi matematika? Odgovor je ne. Nakon svega standardne metode rješavanje jednadžbi u školi uključuje rješavanje jednadžbi ne višeg od drugog stupnja. Ali možemo se prisjetiti da su pojedinačne jednadžbe više visoki stupnjevi u školi su ipak odlučili. Istina, načini za njihovo rješavanje su kreativne primjene poznate metode, svodeći ih na rješenje jedne ili više jednadžbi stupnja ne višeg od drugog.
Pogledajte vrlo pažljivo ovu jednadžbu? Što ste primijetili ?(u ovoj jednadžbi koeficijenti jednako udaljeni od krajeva su jednaki)
Ljudi, jednadžba ovog tipa, kada se koeficijenti jednako udaljeni od krajeva podudaraju, zove se povratna. Ova se jednadžba može reducirati na kvadratnu jednadžbu pomoću supstitucije.
Nudim vam sljedeći algoritam za njihovo rješavanje:
Algoritam za rješavanje recipročnih jednadžbi.
1. Podijelite obje strane jednadžbe s x 2.
2.Grupiraj pojmove (prvi s zadnjim, drugi s četvrtim).
Smanjite jednadžbu na oblik A
+ c = 0
3.Uvedite novu varijablu t = ,tada ispunjena t 2 = , tj. = t 2 – 2.
4. Zamijenite i riješite kvadratnu jednadžbu.
5.Vratite se na zamjenu i riješite dobivene jednadžbe.
6. Zapišite odgovor.
Dečki proučavaju algoritam.
Učenik za pločom rješava jednadžbu prema algoritmu i uz pomoć učitelja, ostali zapisuju u bilježnice.
6x 4 – 5x 3 – 38x 2 – 5x + 6 = 0.
Riješenje.
6x 2 – 5x – 38 – 5/x + 6/x 2 = 0.
6(x 2 + 1/x 2) – 5(x + 1/x) – 38 = 0.
Unesite t: supstitucija (x + 1/x) = t. Zamjena: (x 2 + 1/x 2) = t 2 – 2, imamo:
6t 2 – 5t – 50 = 0.
t = -5/2 ili t = 10/3.
Vratimo se varijabli x. Nakon obrnute zamjene rješavamo dvije dobivene jednadžbe:
1) x + 1/x = -5/2;
x 2 + 5/2 x +1 = 0;
x = -2 ili x = -1/2.
2) x + 1/x = 10/3;
x 2 – 10/3 x + 1 = 0;
x = 3 ili x = 1/3.
Odgovor: -2; -1/2; 1/3; 3.
Veliki doprinos problemu jednadžbi 3. i 4. stupnja dali su talijanski matematičari 16. st. N. Tartaglia, A. Fiore, D. Cardano i dr. Godine 1535. došlo je do znanstvenog dvoboja između A. Fiorea i N. Tartaglia, na kojoj je potonji pobijedio. U 2 sata riješio je 30 zadataka koje je predložio Fiore, a sam Fiore nije mogao riješiti niti jedan koji mu je zadao Tartaglia.
Ljudi, danas vam želim ponuditi još jednu jednadžbu; uzeo sam je iz zbirke zadataka za pripremu za OGE.
. ((x + 1)(x + 4))((x + 2)(x + 3)) = 24,
(x 2 + 5x + 4) (x 2 + 5x + 6) = 24.
Zamjenom x 2 + 5x + 4 = t dobivamo jednadžbu
t(t + 2) = 24, to je kvadrat:
t 2 + 2t – 24 = 0.
t = -6 ili t = 4.
Nakon izvođenja obrnute supstitucije, lako ćemo pronaći korijene izvorne jednadžbe.
Odgovor: -5; 0.
Kreativni prijenos znanja i vještina u nove uvjete.
Na početku lekcije govorili smo o činjenici da ako u jednadžbi postoje elementi koji se ponavljaju, tada možete koristiti metodu zamjene varijable. Još uvijek ne znamo kako riješiti trigonometrijski i iracionalne jednadžbe. Da vidimo možemo li ovu metodu primijeniti na njih ako znamo kako riješiti jednostavne trigonometrijske i iracionalne jednadžbe.
Vježba 1: Imenujte promjenu varijable u sljedećim jednadžbama.
Zadatak 2: Sastavite nekoliko jednadžbi čije se rješavanje temelji na metodi zamjene varijabli.
Sažimajući.
Dakle, dečki, našoj lekciji je došao kraj. Sažmimo našu lekciju.
Koje smo ciljeve postavili na početku lekcije?
Jesu li naši ciljevi postignuti?
Što smo novo naučili u lekciji?
Domaća zadaća.
4x 4 – 8x 3 + 3x 2 – 8x + 4 = 0
(x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 40
. (jednadžba talijanskih matematičara)
I želio bih završiti lekciju riječima velikog znanstvenika Einsteina A.:
“Moram podijeliti svoje vrijeme između politike i jednadžbi. No, jednadžba je, po meni, mnogo važnija, jer politika postoji samo za ovaj trenutak, a jednadžba će postojati zauvijek.”
Hvala vam na lekciji! Doviđenja!
Matematika je rupa kroz koju logični um može proviriti u idealni svijet.
Krotov Viktor
U školi racionalne jednadžbe zauzimaju vodeće mjesto u tečaju algebre. Njihovom se proučavanju posvećuje više vremena nego bilo kojoj drugoj temi. To je prvenstveno zbog činjenice da jednadžbe imaju ne samo važno teoretsko značenje, već služe i mnogim praktičnim svrhama. Ogroman broj zadataka stvarni svijet svode se na rješavanje raznih jednadžbi, a tek nakon što ovladate metodama rješavanja istih, pronaći ćete odgovore na razna pitanja znanosti i tehnologije.
Razvijanje sposobnosti rješavanja racionalnih jednadžbi ima samostalni rad učenika velika vrijednost. Međutim, prije prelaska na samostalan rad, morate jasno znati i moći sve primijeniti u praksi moguće metode rješavanje racionalnih jednadžbi.
Pogledajmo to detaljno koristeći primjere. metoda zamjene varijable za rješavanje racionalnih jednadžbi.
Primjer 1.
Riješite jednadžbu (2x 2 – 3x + 1) 2 = 22x 2 – 33x + 1.
Riješenje.
Prepišimo jednadžbu u obliku
(2x 2 – 3x + 1) 2 = 11(2x 2 – 3x) + 1. Izvršimo zamjenu. Neka je 2x 2 – 3x = t, tada će jednadžba imati oblik:
(t + 1) 2 = 11t + 1.
Sada otvorimo zagrade i dajmo slične, dobivamo:
t 2 + 2t + 1 = 11t + 1;
U dobivenoj nepotpunoj kvadratnoj jednadžbi, izvadimo zajednički faktor iz zagrada i imamo:
t = 0 ili t = 9.
Sada morate izvršiti obrnutu zamjenu i riješiti svaku od dobivenih jednadžbi:
2x 2 – 3x = 0 ili 2x 2 – 3x = 9
x(2x – 3) = 0 2x 2 – 3x – 9 = 0
x = 0 ili x = 3/2 x = 3 ili x = -3/2
Odgovor: -1,5; 0; 1,5; 3.
Primjer 2.
Riješite jednadžbu (x 2 – 6x) 2 – 2(x – 3) 2 = 81.
Riješenje.
Primijenimo formulu za kvadrat razlike (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 . Zapišimo izvornu jednadžbu u obliku
(x 2 – 6x) 2 – 2(x 2 – 6x + 9) = 81. Sada možete izvršiti zamjenu.
Neka je x 2 – 6x = t, tada će jednadžba izgledati ovako:
t 2 – 2(t + 9) = 81.
t 2 – 2t – 18 – 81 = 0;
t 2 – 2t – 99 = 0.
Prema Vietinom teoremu, korijeni dobivene jednadžbe bit će brojevi -9 i 11.
Napravimo obrnutu zamjenu:
x 2 – 6x = -9 ili x 2 – 6x = 11
x 2 – 6x + 9 = 0 x 2 – 6x – 11 = 0
(x – 3) 2 = 0 D = 80
x = 3 x 1 = 3 + 2√5; x 2 = 3 – 2√5.
Odgovor: 3 – 2√5; 3; 3 + 2√5.
Primjer 3.
Riješite jednadžbu (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297 i pronađite umnožak njezinih korijena.
Riješenje.
Pronađimo "profitabilan" način za grupiranje faktora i otvorimo parove zagrada:
((x – 1)(x + 5))((x – 3)(x + 7)) = 297;
(x 2 + 5x – x – 5)(x 2 + 7x – 3x – 21) = 297;
(x 2 + 4x – 5) (x 2 + 4x – 21) = 297.
Napravimo zamjenu x 2 + 4x = t, tada će jednadžba izgledati ovako:
(t – 5)(t – 21) = 297.
Otvorimo zagrade i predstavimo slične pojmove:
t 2 – 21t – 5t + 105 = 297;
t 2 – 26t – 192 = 0.
Pomoću Vietinog teorema određujemo da će korijeni dobivene jednadžbe biti brojevi -6 i 32.
Nakon obrnute supstitucije imat ćemo:
x 2 + 4x = -6 ili x 2 + 4x = 32
x 2 + 4x + 6 = 0 x 2 + 4x – 32 = 0
D = 16 – 24< 0 D = 16 + 128 > 0
Bez korijena x 1 = -8; x 2 = 4
Nađimo umnožak korijena: -8 · 4 = -32.
Odgovor: -32.
Primjer 4.
Nađite zbroj korijena jednadžbe (x 2 – 2x + 2) 2 + 3x(x 2 – 2x + 2) = 10x 2.
Riješenje.
Neka je x 2 – 2x + 2 = t, tada će jednadžba imati oblik:
t 2 + 3xt – 10x 2 = 0.
Promatrajmo dobivenu jednadžbu kao kvadratnu u odnosu na t.
D = (3x) 2 – 4 · (-10x 2) = 9x 2 + 40x 2 = 49x 2 ; ≥≤
t 1 = (-3x – 7x) / 2 i t 2 = (-3x + 7x) / 2;
t 1 = -5x i t 2 = 2x.
Kako je t = x 2 – 2x + 2, tada
x 2 – 2x + 2 = -5x ili x 2 – 2x + 2 = 2x. Riješimo svaku od dobivenih jednadžbi.
x 2 + 3x + 2 = 0 ili x 2 – 4x + 2 = 0.
Obje jednadžbe imaju korijene, jer D > 0.
Koristeći Vietin teorem, možemo zaključiti da je zbroj korijena prve jednadžbe -3, a druge 4. Nalazimo da je zbroj korijena izvorne jednadžbe -3 + 4 = 1
Odgovor: 1.
Primjer 5.
Nađite korijen jednadžbe (x + 1) 4 + (x + 5) 4 = 32, koji pripada intervalu [-5; 10].
Riješenje.
Neka je x = t – 3, tada je x + 1 = t – 2; x + 5 = t + 2 i izvorna jednadžba ima oblik:
(t – 2) 4 + (t + 2) 4 = 32. Da biste podigli izraze na četvrtu potenciju, možete koristiti Pascalov trokut (slika 1); 
(t – 2) 4 = t 4 – 4t 3 2 + 6t 2 2 2 – 4t 2 3 + 2 4 ;
(t + 2) 4 = t 4 + 4t 3 2 + 6t 2 2 2 + 4t 2 3 + 2 4.
Nakon redukcije sličnih članova dobivamo:
2t 4 – 2 6t 2 2 2 + 2 2 4 = 32;
t 4 + 6t 2 2 2 + 2 4 = 16;
t 4 + 24t 2 + 16 = 16;
t 4 + 24t 2 = 0;
t2 (t2 + 24) = 0;
t = 0 ili t 2 = -24.
Druga jednadžba nema korijena, što znači da je t = 0 čak i nakon obrnute supstitucije
x = t – 3 = 0 – 3 = -3. Korijen jednadžbe -3 pripada intervalu [-5; 10].
Odgovor: -3.
Kao što vidite, kada rješavate racionalne jednadžbe, morate znati gornje formule i znati ispravno računati. Pogreške se najčešće javljaju kod odabira zamjene i tijekom obrnute zamjene. Da biste to izbjegli, morate detaljno opisati svaku radnju, tada neće biti pogrešaka u vašim odlukama.
web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.