Ekvivalentne transformacije jednadžbi i nejednadžbi s modulom. Rješavanje nejednadžbi s modulima

Modul brojeva sam ovaj broj se naziva ako je nenegativan, ili isti broj sa suprotnog predznaka, ako je negativan.

Na primjer, modul broja 6 je 6, a modul broja -6 također je 6.

Odnosno, pod modulom broja podrazumijevamo apsolutna vrijednost, apsolutna vrijednost ovog broja bez uzimanja u obzir njegovog predznaka.

Označava se na sljedeći način: |6|, | x|, |A| itd.

(Više detalja u odjeljku “Modul brojeva”).

Jednadžbe s modulom.

Primjer 1 . Riješite jednadžbu|10 x - 5| = 15.

Riješenje.

Prema pravilu, jednadžba je ekvivalentna kombinaciji dviju jednadžbi:

10x - 5 = 15
10x - 5 = -15

Mi odlučujemo:

10x = 15 + 5 = 20
10x = -15 + 5 = -10

x = 20: 10
x = -10: 10

x = 2
x = -1

Odgovor: x 1 = 2, x 2 = -1.

Primjer 2 . Riješite jednadžbu|2 x + 1| = x + 2.

Riješenje.

Budući da je modul nenegativan broj, onda x+ 2 ≥ 0. Prema tome:

x ≥ -2.

Napravimo dvije jednadžbe:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -(x + 2)

Mi odlučujemo:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -x - 2

2x - x = 2 - 1
2x + x = -2 - 1

x = 1
x = -1

Oba broja su veća od -2. Dakle, oboje su korijeni jednadžbe.

Odgovor: x 1 = -1, x 2 = 1.

Primjer 3 . Riješite jednadžbu

|x + 3| - 1
————— = 4
x - 1

Riješenje.

Jednadžba ima smisla ako nazivnik nije nula - to znači ako x≠ 1. Uzmimo ovaj uvjet u obzir. Naša prva radnja je jednostavna - ne samo da se rješavamo razlomka, već ga transformiramo tako da dobijemo modul u njegovom čistom obliku:

|x+ 3| - 1 = 4 · ( x - 1),

|x + 3| - 1 = 4x - 4,

|x + 3| = 4x - 4 + 1,

|x + 3| = 4x - 3.

Sada imamo samo izraz ispod modula na lijevoj strani jednadžbe. Samo naprijed.
Modul broja je nenegativan broj - to jest, mora biti veći od nule ili jednak nuli. Prema tome rješavamo nejednadžbu:

4x - 3 ≥ 0

4x ≥ 3

x ≥ 3/4

Dakle, imamo drugi uvjet: korijen jednadžbe mora biti najmanje 3/4.

U skladu s pravilom sastavljamo skup od dvije jednadžbe i rješavamo ih:

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -(4x - 3)

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -4x + 3

x - 4x = -3 - 3
x + 4x = 3 - 3

x = 2
x = 0

Dobili smo dva odgovora. Provjerimo jesu li oni korijeni izvorne jednadžbe.

Imali smo dva uvjeta: korijen jednadžbe ne može biti jednak 1, a mora biti najmanje 3/4. To je x ≠ 1, x≥ 3/4. Oba ova uvjeta odgovaraju samo jednom od dva dobivena odgovora - broju 2. To znači da je samo to korijen izvorne jednadžbe.

Odgovor: x = 2.

Nejednadžbe s modulom.

Primjer 1 . Riješite nejednadžbu| x - 3| < 4

Riješenje.

Pravilo modula kaže:

|A| = A, Ako A ≥ 0.

|A| = -A, Ako A < 0.

Modul može imati i nenegativne i negativne brojeve. Stoga moramo razmotriti oba slučaja: x- 3 ≥ 0 i x - 3 < 0.

1) Kada x- 3 ≥ 0 naša izvorna nejednadžba ostaje kakva jest, samo bez znaka modula:
x - 3 < 4.

2) Kada x - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(x - 3) < 4.

Otvaranjem zagrada dobivamo:

-x + 3 < 4.

Dakle, iz ova dva uvjeta došli smo do objedinjavanja dva sustava nejednakosti:

x - 3 ≥ 0
x - 3 < 4

x - 3 < 0
-x + 3 < 4

Riješimo ih:

x ≥ 3
x < 7

x < 3
x > -1

Dakle, naš odgovor je unija dva skupa:

3 ≤ x < 7 U -1 < x < 3.

Odredi najmanji i najveća vrijednost. To su -1 i 7. Štoviše x veći od -1 ali manji od 7.
Osim, x≥ 3. To znači da je rješenje nejednadžbe cijeli niz brojeva od -1 do 7, isključujući ove ekstremne brojeve.

Odgovor: -1 < x < 7.

Ili: x ∈ (-1; 7).

Dodaci.

1) Postoji jednostavniji i kraći način rješavanja naše nejednakosti - grafički. Da biste to učinili, morate nacrtati vodoravnu os (slika 1).

Izraz | x - 3| < 4 означает, что расстояние от точки x do točke 3 je manje od četiri jedinice. Na osi označimo broj 3 i lijevo i desno od nje odbrojimo 4 podjela. S lijeve strane ćemo doći do točke -1, s desne strane - do točke 7. Dakle, točke x samo smo ih vidjeli, a da ih nismo izračunali.

Štoviše, prema uvjetu nejednakosti, sami -1 i 7 nisu uključeni u skup rješenja. Dakle, dobivamo odgovor:

1 < x < 7.

2) Ali postoji još jedno rješenje koje je jednostavnije čak i od grafičke metode. Da bismo to učinili, naša nejednakost mora biti predstavljena u sljedećem obliku:

4 < x - 3 < 4.

Uostalom, tako je to po pravilu modula. Nenegativan broj 4 i njemu sličan negativni broj -4 su granice za rješavanje nejednadžbe.

4 + 3 < x < 4 + 3

1 < x < 7.

Primjer 2 . Riješite nejednadžbu| x - 2| ≥ 5

Riješenje.

Ovaj primjer bitno se razlikuje od prethodnog. Lijeva strana veći od 5 ili jednak 5. S geometrijskog gledišta rješenje nejednadžbe su svi brojevi koji su od točke 2 udaljeni 5 jedinica ili više (slika 2). Grafikon pokazuje da su to sve brojevi manji ili jednaki -3 i veći ili jednaki 7. To znači da smo odgovor već dobili.

Odgovor: -3 ≥ x ≥ 7.

Usput rješavamo istu nejednadžbu preuređivanjem slobodnog člana lijevo i desno sa suprotnim predznakom:

5 ≥ x - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ x ≥ 5 + 2

Odgovor je isti: -3 ≥ x ≥ 7.

Ili: x ∈ [-3; 7]

Primjer je riješen.

Primjer 3 . Riješite nejednadžbu 6 x 2 - | x| - 2 ≤ 0

Riješenje.

Broj x može biti pozitivan broj, negativan broj ili nula. Stoga trebamo uzeti u obzir sve tri okolnosti. Kao što znate, oni se uzimaju u obzir u dvije nejednakosti: x≥ 0 i x < 0. При x≥ 0 jednostavno prepisujemo našu izvornu nejednakost kakva jest, samo bez znaka modula:

6x 2 - x - 2 ≤ 0.

Sada o drugom slučaju: ako x < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6x 2 - (-x) - 2 ≤ 0.

Proširivanje zagrada:

6x 2 + x - 2 ≤ 0.

Tako smo dobili dva sustava jednadžbi:

6x 2 - x - 2 ≤ 0
x ≥ 0

6x 2 + x - 2 ≤ 0
x < 0

Moramo riješiti nejednadžbe u sustavima - a to znači da moramo pronaći korijene dviju kvadratnih jednadžbi. Da bismo to učinili, izjednačavamo lijeve strane nejednakosti s nulom.

Počnimo s prvim:

6x 2 - x - 2 = 0.

Kako riješiti kvadratna jednadžba- vidi odjeljak “Kvadratna jednadžba”. Odgovor ćemo odmah navesti:

x 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

Iz prvog sustava nejednadžbi proizlazi da je rješenje izvorne nejednadžbe cijeli skup brojeva od -1/2 do 2/3. Pišemo uniju rješenja na x ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Sada riješimo drugu kvadratnu jednadžbu:

6x 2 + x - 2 = 0.

Njegovi korijeni:

x 1 = -2/3, x 2 = 1/2.

Zaključak: kada x < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Kombinirajmo dva odgovora i dobijemo konačni odgovor: rješenje je cijeli niz brojeva od -2/3 do 2/3, uključujući ove ekstremne brojeve.

Odgovor: -2/3 ≤ x ≤ 2/3.

Ili: x ∈ [-2/3; 2/3].

Postoji nekoliko načina za rješavanje nejednadžbi koje sadrže modul. Pogledajmo neke od njih.

1) Rješavanje nejednadžbe korištenjem geometrijskog svojstva modula.

Da vas podsjetim koje je geometrijsko svojstvo modula: modul broja x je udaljenost od ishodišta do točke s koordinatom x.

Prilikom rješavanja nejednakosti ovom metodom mogu se pojaviti dva slučaja:

1. |x| ≤ b,

A nejednadžba s modulom očito se svodi na sustav dviju nejednadžbi. Ovdje znak može biti strog, u kojem slučaju će točke na slici biti "probušene".

2. |x| ≥ b, tada slika rješenja izgleda ovako:

A nejednadžba s modulom očito se svodi na kombinaciju dviju nejednakosti. Ovdje znak može biti strog, u kojem slučaju će točke na slici biti "probušene".

Primjer 1.

Riješite nejednadžbu |4 – |x|| ≥ 3.

Riješenje.

Ova nejednakost je ekvivalentna sljedećem skupu:

U [-1;1] U

Primjer 2.

Riješite nejednadžbu ||x+2| – 3| ≤ 2.

Riješenje.

Ova nejednakost je ekvivalentna sljedećem sustavu.

(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.

Riješimo zasebno prvu nejednadžbu sustava. Ekvivalentan je sljedećem skupu:

U[-1; 3].

2) Rješavanje nejednadžbi pomoću definicije modula.

Prvo da vas podsjetim definicija modula.

|a| = a ako je a ≥ 0 i |a| = -a ako je a< 0.

Na primjer, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.

Primjer 1.

Riješite nejednadžbu 3|x – 1| ≤ x+3.

Riješenje.

Korištenjem definicije modula dobivamo dva sustava:

(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3

(x – 1< 0
(-3(x – 1) ≤ x + 3.

Rješavajući odvojeno prvi i drugi sustav, dobivamo:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(x< 1
(x ≥ 0.

Rješenje izvorne nejednadžbe bit će sva rješenja prvog sustava i sva rješenja drugog sustava.

Odgovor: x € .

3) Rješavanje nejednadžbi kvadriranjem.

Primjer 1.

Riješite nejednadžbu |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.

Riješenje.

Kvadrirajmo obje strane nejednadžbe. Dopustite mi da primijetim da je moguće kvadrirati obje strane nejednadžbe samo ako su obje pozitivne. U ovom slučaju imamo module i lijevo i desno, tako da možemo to učiniti.

(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

Iskoristimo sada sljedeće svojstvo modula: (|x|) 2 = x 2 .

(x 2 – 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.

(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1)< 0,

(x – 2)(2x 2 – x)< 0,

x(x – 2)(2x – 1)< 0.

Rješavamo metodom intervala.

Odgovor: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) Rješavanje nejednadžbi promjenom varijabli.

Primjer.

Riješite nejednadžbu (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Riješenje.

Primijetite da je (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Tada dobivamo nejednakost

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Napravimo promjenu y = |2x + 3|.

Prepišimo našu nejednakost uzimajući u obzir zamjenu.

y 2 – y ≤ 30,

y 2 – y – 30 ≤ 0.

Faktorizirajmo kvadratni trinom s lijeve strane.

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 – 11) / 2,

(y – 6)(y + 5) ≤ 0.

Rješavajmo metodom intervala i dobijemo:

Vratimo se na zamjenu:

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.

Ova dvostruka nejednakost je ekvivalentna sustavu nejednakosti:

(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.

Riješimo svaku od nejednadžbi zasebno.

Prvi je ekvivalentan sustavu

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

Idemo to riješiti.

(x ≤ 1,5
(x ≥ -4,5.

Druga nejednakost očito vrijedi za sve x, budući da je modul, po definiciji, pozitivan broj. Budući da su rješenje sustava svi x koji istovremeno zadovoljavaju i prvu i drugu nejednadžbu sustava, tada će rješenje izvornog sustava biti rješenje njegove prve dvostruke nejednadžbe (uostalom, druga je istinita za sve x) .

Odgovor: x € [-4,5; 1.5].

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvorni izvor je obavezna.

Danas, prijatelji, neće biti šmrcanja i sentimentalnosti. Umjesto toga, poslat ću vas, bez pitanja, u bitku s jednim od najstrašnijih protivnika u tečaju algebre od 8. do 9. razreda.

Da, sve ste dobro razumjeli: govorimo o nejednadžbama s modulom. Pogledat ćemo četiri osnovne tehnike s kojima ćete naučiti riješiti oko 90% takvih problema. Što je s preostalih 10%? Pa, o njima ćemo govoriti u zasebnoj lekciji. :)

Međutim, prije nego što analiziram bilo koju od tehnika, želio bih vas podsjetiti na dvije činjenice koje već morate znati. Inače riskirate da uopće ne razumijete gradivo današnje lekcije.

Ono što već trebate znati

Čini se da Captain Obviousness daje naslutiti da za rješavanje nejednakosti s modulom trebate znati dvije stvari:

1. Kako se rješavaju nejednakosti;
2. Što je modul?

Počnimo s drugom točkom.

Definicija modula

Ovdje je sve jednostavno. Postoje dvije definicije: algebarska i grafička. Za početak - algebarski:

Definicija. Modul broja $x$ je ili sam broj, ako je nenegativan, ili broj nasuprot njemu, ako je izvorni $x$ još uvijek negativan.

Napisano je ovako:

\[\lijevo| x \desno|=\lijevo\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \desno.\]

govoreći jednostavnim jezikom, modul je “broj bez minusa”. I upravo u toj dvojnosti (na nekim mjestima ne morate ništa učiniti s izvornim brojem, ali na drugim morate ukloniti neku vrstu minusa) leži sva poteškoća za studente početnike.

Postoji i geometrijska definicija. Također je korisno znati, ali ćemo se tome obratiti samo u složenim i nekim posebnim slučajevima, gdje je geometrijski pristup prikladniji od algebarskog (spojler: ne danas).

Definicija. Neka je na brojevnom pravcu označena točka $a$. Zatim modul $\lijevo| x-a \right|$ je udaljenost od točke $x$ do točke $a$ na ovoj liniji.

Ako nacrtate sliku, dobit ćete nešto poput ovoga:

Definicija grafičkog modula

Na ovaj ili onaj način, iz definicije modula odmah slijedi njegovo ključno svojstvo: modul broja uvijek je nenegativna veličina. Ova će činjenica biti crvena nit koja će se provlačiti kroz cijelu našu današnju pripovijest.

Rješavanje nejednadžbi. Metoda intervala

Sada pogledajmo nejednakosti. Ima ih jako puno, ali naš je zadatak sada riješiti barem najjednostavniji od njih. Oni koji se svode na linearne nejednakosti, kao i na metodu intervala.

Imam dvije velike lekcije o ovoj temi (usput, vrlo, JAKO korisne - preporučujem da ih proučite):

1. Metoda intervala za nejednakosti(posebno pogledajte video);
2. Razlomačke racionalne nejednadžbe- vrlo opširna lekcija, ali nakon njega više nećete imati nikakvih pitanja.

Ako sve ovo znate, ako fraza "prijeđimo s nejednakosti na jednadžbu" ne budi u vama nejasnu želju da se udarite u zid, onda ste spremni: dobrodošli u pakao na glavnu temu lekcije. :)

1. Nejednadžbe oblika “Modul je manji od funkcije”

Ovo je jedan od najčešćih problema s modulima. Potrebno je riješiti nejednadžbu oblika:

\[\lijevo| f\desno| \ltg\]

Funkcije $f$ i $g$ mogu biti bilo što, ali obično su polinomi. Primjeri takvih nejednakosti:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \desno| \lt x+7; \\ & \lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno|+3\lijevo(x+1 \desno) \lt 0; \\ & \lijevo| ((x)^(2))-2\lijevo| x \desno|-3 \desno| \lt 2. \\\end(align)\]

Sve ih se može riješiti doslovno u jednom retku prema sljedećoj shemi:

\[\lijevo| f\desno| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \točno točno)\]

Lako je vidjeti da se rješavamo modula, ali zauzvrat dobivamo dvostruku nejednadžbu (ili, što je isto, sustav dviju nejednadžbi). Ali ovaj prijelaz uzima u obzir apsolutno sve mogući problemi: ako je broj ispod modula pozitivan, metoda radi; ako je negativan, i dalje radi; čak i s najneprikladnijom funkcijom umjesto $f$ ili $g$, metoda će i dalje raditi.

Naravno, postavlja se pitanje: zar ne može jednostavnije? Nažalost, nije moguće. To je cijela poanta modula.

No, dosta s filozofiranjem. Riješimo par problema:

Zadatak. Riješite nejednadžbu:

\[\lijevo| 2x+3 \desno| \lt x+7\]

Riješenje. Dakle, pred nama je klasična nejednakost oblika "modul je manji" - čak se nema što transformirati. Radimo prema algoritmu:

\[\begin(align) & \left| f\desno| \lt g\desna strelica -g \lt f \lt g; \\ & \lijevo| 2x+3 \desno| \lt x+7\desna strelica -\lijevo(x+7 \desno) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Nemojte žuriti s otvaranjem zagrada ispred kojih stoji "minus": vrlo je moguće da ćete zbog svoje žurbe napraviti uvredljivu pogrešku.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\lijevo\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \desno.\]

\[\lijevo\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \desno.\]

\[\lijevo\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \desno.\]

Problem se sveo na dvije elementarne nejednakosti. Zabilježimo njihova rješenja na paralelnim brojevnim pravcima:

Sjecište mnogih

Presjek ovih skupova bit će odgovor.

Odgovor: $x\in \lijevo(-\frac(10)(3);4 \desno)$

Zadatak. Riješite nejednadžbu:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno|+3\lijevo(x+1 \desno) \lt 0\]

Riješenje. Ovaj zadatak je malo teži. Prvo, izolirajmo modul pomicanjem drugog člana udesno:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \lt -3\lijevo(x+1 \desno)\]

Očito opet imamo nejednakost oblika “modul je manji” pa se modula rješavamo već poznatim algoritmom:

\[-\lijevo(-3\lijevo(x+1 \desno) \desno) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\lijevo(x+1 \desno)\]

Sad pozor: netko će reći da sam malo perverznjak sa svim tim zagradama. No, podsjetit ću vas još jednom da je naš ključni cilj točno riješiti nejednadžbu i dobiti odgovor. Kasnije, kada savršeno savladate sve što je opisano u ovoj lekciji, možete sami izvrtati kako želite: otvarati zagrade, dodavati minuse itd.

Počnimo tako da se samo riješimo dvostruki minus lijevo:

\[-\lijevo(-3\lijevo(x+1 \desno) \desno)=\lijevo(-1 \desno)\cdot \lijevo(-3 \desno)\cdot \lijevo(x+1 \desno) =3\lijevo(x+1 \desno)\]

Sada otvorimo sve zagrade u dvostrukoj nejednakosti:

Prijeđimo na dvostruku nejednadžbu. Ovaj put će računice biti ozbiljnije:

\[\lijevo\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \desno.\]

\[\lijevo\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( poravnati)\desno.\]

Obje nejednadžbe su kvadratne i mogu se riješiti metodom intervala (zato kažem: ako ne znate što je to, bolje je da još ne preuzimate module). Prijeđimo na jednadžbu u prvoj nejednadžbi:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\lijevo(x+5 \desno)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

Kao što vidite, izlaz je nepotpuna kvadratna jednadžba, koja se može riješiti na elementaran način. Pogledajmo sada drugu nejednadžbu sustava. Tamo ćete morati primijeniti Vietin teorem:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \lijevo(x-3 \desno)\lijevo(x+2 \desno)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Dobivene brojeve označavamo na dvije paralelne crte (odvojeno za prvu nejednadžbu i odvojeno za drugu):

Opet, budući da rješavamo sustav nejednadžbi, zanima nas presjek osjenčanih skupova: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Ovo je odgovor.

Odgovor: $x\in \lijevo(-5;-2 \desno)$

Mislim da je nakon ovih primjera shema rješenja vrlo jasna:

1. Izolirajte modul pomicanjem svih ostalih članova na suprotnu stranu nejednakosti. Tako dobivamo nejednakost oblika $\left| f\desno| \ltg$.
2. Riješite ovu nejednadžbu tako da se riješite modula prema gore opisanoj shemi. U jednom trenutku bit će potrebno prijeći s dvostruke nejednakosti na sustav od dva neovisna izraza od kojih se svaki već može zasebno riješiti.
3. Na kraju, ostaje samo presjeći rješenja ova dva nezavisna izraza - i to je to, dobit ćemo konačan odgovor.

Sličan algoritam postoji za nejednakosti sljedećeg tipa, kada je modul veći od funkcije. Međutim, postoji nekoliko ozbiljnih "ali". Sada ćemo razgovarati o ovim "ali".

2. Nejednadžbe oblika “Modul je veći od funkcije”

Izgledaju ovako:

\[\lijevo| f\desno| \gtg\]

Slično prethodnom? Čini se. A ipak se takvi problemi rješavaju na potpuno drugačiji način. Formalno, shema je sljedeća:

\[\lijevo| f\desno| \gt g\Rightarrow \lijevo[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \desno.\]

Drugim riječima, razmatramo dva slučaja:

1. Prvo, jednostavno zanemarimo modul i riješimo uobičajenu nejednadžbu;
2. Zatim, u biti, proširimo modul s predznakom minus, a zatim pomnožimo obje strane nejednadžbe s −1, dok imam predznak.

U ovom slučaju opcije se kombiniraju s uglatom zagradom, tj. Pred sobom imamo kombinaciju dva zahtjeva.

Napominjemo još jednom: ovo nije sustav, nego ukupnost, dakle u odgovoru se skupovi kombiniraju, a ne sijeku. To je temeljna razlika u odnosu na prethodnu točku!

Općenito, mnogi studenti potpuno su zbunjeni sindikatima i raskrižjima, pa riješimo ovo pitanje jednom zauvijek:

• "∪" je znak unije. U biti, ovo je stilizirano slovo "U" koje nam je došlo iz na engleskom i skraćenica je za “Union”, tj. "Udruge".
• "∩" je znak raskrižja. Ovo sranje nije došlo niotkuda, nego se jednostavno pojavilo kao kontrapunkt "∪".

Da biste još lakše zapamtili, samo nacrtajte noge ovim znakovima da napravite naočale (samo me nemojte sad optuživati ​​da promičem ovisnost o drogama i alkoholizmu: ako ozbiljno učite ovu lekciju, onda ste već narkoman):

Razlika između presjeka i unije skupova

Prevedeno na ruski, to znači sljedeće: unija (ukupnost) uključuje elemente iz oba skupa, stoga ni na koji način nije manja od svake od njih; ali sjecište (sustav) uključuje samo one elemente koji su istovremeno i u prvom i u drugom skupu. Stoga sjecište skupova nikada nije veće od izvornih skupova.

Tako je postalo jasnije? To je odlično. Prijeđimo na praksu.

Zadatak. Riješite nejednadžbu:

\[\lijevo| 3x+1 \desno| \gt 5-4x\]

Riješenje. Nastavljamo prema shemi:

\[\lijevo| 3x+1 \desno| \gt 5-4x\desna strelica \lijevo[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\lijevo(5-4x \desno) \\\end(align) \ pravo.\]

Rješavamo svaku nejednakost u populaciji:

\[\lijevo[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \desno.\]

\[\lijevo[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \desno.\]

\[\lijevo[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \desno.\]

Svaki dobiveni skup označimo na brojevnoj crti, a zatim ih kombiniramo:

Unija skupova

Sasvim je očito da će odgovor biti $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Odgovor: $x\in \lijevo(\frac(4)(7);+\infty \desno)$

Zadatak. Riješite nejednadžbu:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \gt x\]

Riješenje. Dobro? Ništa - sve je isto. Prelazimo s nejednadžbe s modulom na skup od dvije nejednadžbe:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \gt x\desna strelica \lijevo[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \desno.\]

Rješavamo svaku nejednačinu. Nažalost, korijeni tamo neće biti baš dobri:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

Druga nejednakost je također pomalo divlja:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Sada trebate označiti ove brojeve na dvije osi - po jednu os za svaku nejednadžbu. Međutim, bodovi moraju biti označeni u pravom redoslijedu: što je veći broj, to se točka više pomiče udesno.

I tu nas čeka namještaljka. Ako je sve jasno s brojevima $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (članovi u brojniku prvog razlomak manji od članova u brojniku drugog, pa je i zbroj manji), s brojevima $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ također neće biti poteškoća (pozitivan broj očito više negativan), onda s posljednjim parom sve nije tako jasno. Što je veće: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ili $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? O odgovoru na ovo pitanje ovisit će raspored točaka na brojevnim pravcima i, zapravo, odgovor.

Pa usporedimo:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrica)\]

Izolirali smo korijen, dobili nenegativne brojeve na obje strane nejednadžbe, pa imamo pravo kvadrirati obje strane:

\[\begin(matrix) ((\lijevo(2+\sqrt(13) \desno))^(2))\vee ((\lijevo(\sqrt(21) \desno))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

Mislim da nije pametno da $4\sqrt(13) \gt 3$, dakle $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, konačne točke na osi bit će postavljene ovako:

Slučaj ružnih korijena

Dopustite da vas podsjetim da rješavamo skup, tako da će odgovor biti unija, a ne presjek osjenčanih skupova.

Odgovor: $x\in \lijevo(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \desno)\bigcup \lijevo(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Kao što vidite, naša shema odlično funkcionira za oboje jednostavni zadaci, i za one vrlo teške. Jedina stvar " slabost“U ovom pristupu morate kompetentno usporediti iracionalne brojeve (a vjerujte mi: to nisu samo korijeni). Ali posebna (i vrlo ozbiljna) lekcija bit će posvećena pitanjima usporedbe. I idemo dalje.

3. Nejednakosti s nenegativnim “repovima”

Sada dolazimo do najzanimljivijeg dijela. To su nejednakosti oblika:

\[\lijevo| f\desno| \gt\lijevo| g\desno|\]

Općenito govoreći, algoritam o kojem ćemo sada govoriti ispravan je samo za modul. Radi u svim nejednakostima gdje postoje zajamčeni nenegativni izrazi s lijeve i desne strane:

Što učiniti s tim zadacima? Samo zapamti:

U nejednadžbama s nenegativnim "repovima" obje se strane mogu podići na bilo koju prirodnu potenciju. Neće biti dodatnih ograničenja.

Prije svega, zanimat će nas kvadriranje - spaljuje module i korijene:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\lijevo(\sqrt(f) \desno))^(2))=f. \\\end(align)\]

Samo nemojte ovo brkati s vađenjem korijena iz kvadrata:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\lijevo| f \desno|\ne f\]

Bezbrojne greške su napravljene kada je student zaboravio instalirati modul! Ali to je sasvim druga priča (to je kao iracionalne jednadžbe), pa nećemo sada o tome. Riješimo bolje nekoliko problema:

Zadatak. Riješite nejednadžbu:

\[\lijevo| x+2 \desno|\ge \lijevo| 1-2x \desno|\]

Riješenje. Odmah primijetimo dvije stvari:

1. Ovo nije stroga nejednakost. Točke na brojevnom pravcu bit će izbušene.
2. Obje strane nejednakosti su očito nenegativne (ovo je svojstvo modula: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Stoga možemo kvadrirati obje strane nejednadžbe kako bismo se riješili modula i riješili problem koristeći uobičajenu metodu intervala:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\lijevo(x+2 \desno))^(2))\ge ((\lijevo(2x-1 \desno))^(2)). \\\end(align)\]

Na posljednji korak Malo sam varao: promijenio sam redoslijed članova, koristeći prednost parnosti modula (zapravo, pomnožio sam izraz $1-2x$ s −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \lijevo(\lijevo(2x-1 \desno)-\lijevo(x+2 \desno) \desno)\cdot \lijevo(\lijevo(2x-1 \desno)+\lijevo(x+2 \ desno)\desno)\le 0; \\ & \lijevo(2x-1-x-2 \desno)\cdot \lijevo(2x-1+x+2 \desno)\le 0; \\ & \lijevo(x-3 \desno)\cdot \lijevo(3x+1 \desno)\le 0. \\\end(align)\]

Rješavamo metodom intervala. Prijeđimo s nejednakosti na jednadžbu:

\[\begin(align) & \left(x-3 \desno)\lijevo(3x+1 \desno)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Pronađene korijene označavamo na brojevnoj crti. Još jednom: sve su točke osjenčane jer izvorna nejednakost nije stroga!

Uklanjanje znaka modula

Podsjećam za one posebno tvrdoglave: predznake uzimamo iz posljednje nejednadžbe, koja je zapisana prije nego što smo prešli na jednadžbu. I bojimo površine potrebne u istoj nejednadžbi. U našem slučaju to je $\lijevo(x-3 \desno)\lijevo(3x+1 \desno)\le 0$.

OK, sada je sve gotovo. Problem je riješen.

Odgovor: $x\in \lijevo[ -\frac(1)(3);3 \desno]$.

Zadatak. Riješite nejednadžbu:

\[\lijevo| ((x)^(2))+x+1 \desno|\le \lijevo| ((x)^(2))+3x+4 \desno|\]

Riješenje. Sve radimo isto. Neću komentirati - samo pogledajte slijed radnji.

Kvadratirajte:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \desno| \desno))^(2)); \\ & ((\lijevo(((x)^(2))+x+1 \desno))^(2))\le ((\lijevo(((x)^(2))+3x+4 \desno))^(2)); \\ & ((\lijevo(((x)^(2))+x+1 \desno))^(2))-((\lijevo(((x)^(2))+3x+4 \ desno))^(2))\le 0; \\ & \lijevo(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \desno)\times \\ & \times \lijevo(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \desno)\le 0; \\ & \lijevo(-2x-3 \desno)\lijevo(2((x)^(2))+4x+5 \desno)\le 0. \\\end(align)\]

Metoda intervala:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Desna strelica x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Desna strelica D=16-40 \lt 0\Desna strelica \varništa . \\\end(align)\]

Postoji samo jedan korijen na brojevnoj pravoj:

Odgovor je cijeli interval

Odgovor: $x\u \lijevo[ -1,5;+\infty \desno)$.

Mala napomena o zadnjem zadatku. Kao što je jedan moj student točno primijetio, oba submodularna izraza u ovoj nejednakosti očito su pozitivna, pa se znak modula može izostaviti bez štete po zdravlje.

Ali to je sasvim druga razina razmišljanja i drugačiji pristup – to se uvjetno može nazvati metodom posljedica. O tome - u zasebnoj lekciji. Sada prijeđimo na završni dio današnje lekcije i pogledajmo univerzalni algoritam koji uvijek radi. Čak i kada su svi prethodni pristupi bili nemoćni. :)

4. Metoda nabrajanja opcija

Što ako sve ove tehnike ne pomognu? Ako se nejednakost ne može svesti na nenegativne repove, ako je nemoguće izolirati modul, ako općenito postoji bol, tuga, melankolija?

Tada na scenu stupa "teška artiljerija" cijele matematike - metoda grube sile. U odnosu na nejednadžbe s modulom to izgleda ovako:

1. Napišite sve submodularne izraze i postavite ih na nulu;
2. Riješite dobivene jednadžbe i označite pronađene korijene na jednom brojevnom pravcu;
3. Ravna linija bit će podijeljena u nekoliko dijelova, unutar kojih svaki modul ima fiksni znak i stoga se jedinstveno otkriva;
4. Riješite nejednadžbu na svakom takvom odjeljku (možete zasebno razmotriti granice korijena dobivene u koraku 2 - za pouzdanost). Kombinirajte rezultate - to će biti odgovor. :)

Pa kako? Slab? Lako! Samo na duže vrijeme. Da vidimo u praksi:

Zadatak. Riješite nejednadžbu:

\[\lijevo| x+2 \desno| \lt \lijevo| x-1 \desno|+x-\frac(3)(2)\]

Riješenje. Ovo sranje se ne svodi na nejednakosti poput $\left| f\desno| \lt g$, $\lijevo| f\desno| \gt g$ ili $\lijevo| f\desno| \lt \lijevo| g \right|$, tako da djelujemo unaprijed.

Zapisujemo submodularne izraze, izjednačavamo ih s nulom i nalazimo korijene:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\desna strelica x=1. \\\end(align)\]

Ukupno imamo dva korijena koji brojevnu liniju dijele na tri dijela, unutar kojih se svaki modul otkriva jedinstveno:

Rastavljanje brojevnog pravca nulama submodularnih funkcija

Pogledajmo svaki odjeljak zasebno.

1. Neka je $x \lt -2$. Tada su oba submodularna izraza negativna, a izvorna nejednakost će se prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \desno) \lt -\lijevo(x-1 \desno)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align)\]

Imamo prilično jednostavno ograničenje. Presjecimo ga s početnom pretpostavkom da je $x \lt -2$:

\[\lijevo\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Očito je da varijabla $x$ ne može istovremeno biti manja od −2 i veća od 1,5. U ovoj oblasti nema rješenja.

1.1. Razmotrimo odvojeno granični slučaj: $x=-2$. Zamijenimo ovaj broj u izvornu nejednakost i provjerimo: je li to točno?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \lijevo| -3\desno|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\desna strelica \varništa . \\\end(align)\]

Očito je da nas je lanac izračuna doveo do netočne nejednakosti. Stoga je izvorna nejednakost također netočna, a $x=-2$ nije uključeno u odgovor.

2. Neka je sada $-2 \lt x \lt 1$. Lijevi modul će se već otvoriti s "plusom", ali desni će se i dalje otvoriti s "minusom". Imamo:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\lijevo(x-1 \desno)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Opet se križamo s izvornim zahtjevom:

\[\lijevo\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

I opet, skup rješenja je prazan, jer ne postoje brojevi koji su manji od −2,5 i veći od −2.

2.1. I opet poseban slučaj: $x=1$. Zamjenjujemo u izvornu nejednakost:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \lijevo| 3\desno| \lt \lijevo| 0\desno|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\desna strelica \varništa . \\\end(align)\]

Slično prethodnom “posebnom slučaju”, broj $x=1$ očito nije uključen u odgovor.

3. Posljednji dio retka: $x \gt 1$. Ovdje se svi moduli otvaraju znakom plus:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

I opet siječemo pronađeni skup s originalnim ograničenjem:

\[\lijevo\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Konačno! Pronašli smo interval koji će biti odgovor.

Odgovor: $x\u \lijevo(4,5;+\infty \desno)$

Za kraj, jedna napomena koja vas može spasiti od glupih pogrešaka pri rješavanju stvarnih problema:

Rješenja nejednadžbi s modulima obično predstavljaju kontinuirane skupove na brojevnom pravcu - intervale i segmente. Izolirane točke su mnogo rjeđe. A još rjeđe se događa da se granica rješenja (kraj segmenta) podudara s granicom raspona koji se razmatra.

Posljedično, ako granice (isti “posebni slučajevi”) nisu uključene u odgovor, tada područja lijevo i desno od tih granica gotovo sigurno neće biti uključena u odgovor. I obrnuto: granica je ušla u odgovor, što znači da će neka područja oko nje također biti odgovori.

Imajte to na umu kada pregledavate svoja rješenja.