Paglutas ng mga exponential inequalities na may iba't ibang base. Exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay
Sa araling ito ay titingnan natin ang iba't ibang exponential inequalities at matutunan kung paano lutasin ang mga ito, batay sa pamamaraan para sa paglutas ng pinakasimpleng exponential inequalities
1. Kahulugan at katangian ng isang exponential function
Alalahanin natin ang kahulugan at mga pangunahing katangian ng exponential function. Ang solusyon ng lahat ng exponential equation at inequalities ay batay sa mga katangiang ito.
Exponential function ay isang function ng form , kung saan ang base ay ang degree at Narito ang x ay ang independent variable, argument; y ang dependent variable, function.
kanin. 1. Graph ng exponential function
Ipinapakita ng graph ang pagtaas at pagbaba ng mga exponent, na naglalarawan ng exponential function na may base na mas malaki sa isa at mas mababa sa isa ngunit mas malaki sa zero, ayon sa pagkakabanggit.
Ang parehong mga kurba ay dumadaan sa punto (0;1)
Mga Katangian ng Exponential Function:
Domain: ;
Saklaw ng mga halaga: ;
Ang pag-andar ay monotoniko, tumataas nang may, bumababa nang may.
Kinukuha ng monotonic function ang bawat value nito na binibigyan ng isang value ng argument.
Kapag , kapag ang argument ay tumaas mula minus hanggang plus infinity, ang function ay tumataas mula sa zero inclusive hanggang plus infinity, ibig sabihin, para sa mga ibinigay na halaga ng argumento ay mayroon tayong monotonically na pagtaas ng function (). Sa kabaligtaran, kapag ang argument ay tumaas mula minus hanggang plus infinity, bumababa ang function mula sa infinity hanggang zero inclusive, ibig sabihin, para sa mga ibinigay na halaga ng argumento ay mayroon tayong monotonically decreasing function ().
2. Ang pinakasimpleng exponential inequalities, paraan ng solusyon, halimbawa
Batay sa itaas, nagpapakita kami ng isang paraan para sa paglutas ng mga simpleng exponential inequalities:
Pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay:
I-equalize ang mga base ng degrees;
Ihambing ang mga sukatan sa pamamagitan ng pag-save o pagbabago sa kabaligtaran ng tanda hindi pagkakapantay-pantay.
Ang solusyon sa mga kumplikadong exponential inequalities ay karaniwang binubuo sa pagbabawas ng mga ito sa pinakasimpleng exponential inequalities.
Ang base ng degree ay mas malaki kaysa sa isa, na nangangahulugang ang hindi pagkakapantay-pantay na palatandaan ay napanatili:
Ibahin natin ang kanang bahagi ayon sa mga katangian ng antas:
Ang batayan ng antas ay mas mababa sa isa, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay dapat na baligtarin:
Upang malutas ang parisukat na hindi pagkakapantay-pantay, malulutas namin ang katumbas quadratic equation:
Gamit ang teorama ni Vieta nakita natin ang mga ugat:
Ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas.
Kaya, mayroon tayong solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay:
Madaling hulaan na ang kanang bahagi ay maaaring katawanin bilang isang kapangyarihan na may exponent na zero:
Ang base ng degree ay mas malaki kaysa sa isa, ang hindi pagkakapantay-pantay na palatandaan ay hindi nagbabago, nakukuha namin:
Alalahanin natin ang pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay.
Isaalang-alang ang fractional-rational function:
Nahanap namin ang domain ng kahulugan:
Paghahanap ng mga ugat ng function:
Ang function ay may iisang ugat, 
Pinipili namin ang mga agwat ng palaging pag-sign at tinutukoy ang mga palatandaan ng pag-andar sa bawat agwat:
kanin. 2. Mga agwat ng constancy ng sign
Kaya, natanggap namin ang sagot.
Sagot: 
3. Paglutas ng mga karaniwang exponential inequalities
Isaalang-alang natin ang mga hindi pagkakapantay-pantay na may parehong mga tagapagpahiwatig, ngunit magkaibang mga batayan.
Ang isa sa mga katangian ng exponential function ay na para sa anumang halaga ng argument ay nangangailangan ito ng mahigpit na positibong mga halaga, na nangangahulugan na maaari itong hatiin sa isang exponential function. Hatiin natin ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay sa kanang bahagi nito:
Ang batayan ng antas ay mas malaki kaysa sa isa, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay napanatili.
Ilarawan natin ang solusyon:
Ang Figure 6.3 ay nagpapakita ng mga graph ng mga function at . Malinaw, kapag ang argument ay mas malaki kaysa sa zero, ang graph ng function ay mas mataas, ang function na ito ay mas malaki. Kapag negatibo ang mga halaga ng argumento, bumababa ang function, mas maliit ito. Kung ang argumento ay pantay, ang mga function ay pantay, na nangangahulugan na ang puntong ito ay isa ring solusyon sa ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay.
kanin. 3. Paglalarawan halimbawa 4
Ibahin natin ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay ayon sa mga katangian ng antas:
Narito ang ilang katulad na termino:
Hatiin natin ang parehong bahagi sa:
Ngayon ay patuloy naming malulutas ang katulad ng halimbawa 4, hatiin ang parehong bahagi sa pamamagitan ng:
Ang batayan ng antas ay mas malaki kaysa sa isa, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nananatili:
4. Graphical na solusyon ng mga exponential inequalities
Halimbawa 6 - Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay nang grapiko:
Tingnan natin ang mga function sa kaliwa at kanang bahagi at bumuo ng isang graph para sa bawat isa sa kanila.
Ang function ay exponential at tumataas sa buong domain ng kahulugan nito, ibig sabihin, para sa lahat ng tunay na halaga ng argumento.
Ang function ay linear at bumababa sa buong domain ng kahulugan nito, ibig sabihin, para sa lahat ng tunay na halaga ng argumento.
Kung ang mga pag-andar na ito ay bumalandra, iyon ay, ang sistema ay may solusyon, kung gayon ang gayong solusyon ay natatangi at madaling mahulaan. Upang gawin ito, umuulit kami sa mga integer ()
Madaling makita na ang ugat ng sistemang ito ay:
Kaya, ang mga graph ng mga function ay bumalandra sa isang punto na may argumento na katumbas ng isa.
Ngayon kailangan nating makakuha ng sagot. Ang kahulugan ng ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay ay ang exponent ay dapat na mas malaki kaysa o katumbas ng linear function, iyon ay, mas mataas o kasabay nito. Ang sagot ay malinaw: (Figure 6.4)
kanin. 4. Ilustrasyon halimbawa 6
Kaya, tiningnan namin ang paglutas ng iba't ibang mga karaniwang exponential inequalities. Susunod, magpatuloy tayo upang isaalang-alang ang mga mas kumplikadong exponential inequalities.
Bibliograpiya
Mordkovich A. G. Algebra at mga prinsipyo pagsusuri sa matematika. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravin O. V. Algebra at ang simula ng mathematical analysis. - M.: Bustard. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. et al. - M.: Enlightenment.
Math. md. Matematika-pag-uulit. com. Diffur. kemsu. ru.
Takdang aralin
1. Algebra at ang simula ng pagsusuri, mga grado 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, No. 472, 473;
2. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:
3. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay.
Maraming tao ang nag-iisip na ang mga exponential inequalities ay isang bagay na kumplikado at hindi maintindihan. At ang pag-aaral na lutasin ang mga ito ay halos isang mahusay na sining, na tanging ang Pinili lamang ang nakakaunawa...
Kumpletong kalokohan! Ang mga exponential inequalities ay madali. At palagi silang nareresolba nang simple. Well, halos palaging.
Ngayon ay titingnan natin ang paksang ito sa loob at labas. Ang araling ito ay magiging lubhang kapaki-pakinabang para sa mga nagsisimula pa lamang na maunawaan ang seksyong ito ng matematika ng paaralan. Magsimula tayo sa mga simpleng gawain at magpapatuloy tayo sa mas kumplikadong mga isyu. Walang anumang mahirap na trabaho ngayon, ngunit ang iyong babasahin ay sapat na upang malutas ang karamihan sa mga hindi pagkakapantay-pantay sa lahat ng uri ng mga pagsubok at pagsubok. pansariling gawain. At sa pagsusulit mo rin na ito.
Gaya ng dati, magsimula tayo sa isang kahulugan. Ang exponential inequality ay anumang hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng exponential function. Sa madaling salita, maaari itong palaging bawasan sa isang hindi pagkakapantay-pantay ng anyo
\[((a)^(x)) \gt b\]
Kung saan ang papel ng $b$ ay maaaring isang ordinaryong numero, o maaaring mas mahirap. Mga halimbawa? Oo pakiusap:
\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(x))). \\\end(align)\]
Sa tingin ko ay malinaw ang kahulugan: mayroong exponential function na $((a)^(x))$, ito ay inihahambing sa isang bagay, at pagkatapos ay hiniling na hanapin ang $x$. Sa partikular na mga klinikal na kaso, sa halip na ang variable na $x$, maaari silang maglagay ng ilang function na $f\left(x \right)$ at sa gayon ay medyo kumplikado ang hindi pagkakapantay-pantay :)
Siyempre, sa ilang mga kaso ang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring mukhang mas malala. Halimbawa:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
O kahit na ito:
Sa pangkalahatan, ang pagiging kumplikado ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring ibang-iba, ngunit sa huli ay bumababa pa rin sila sa simpleng konstruksyon na $((a)^(x)) \gt b$. At kahit papaano ay malalaman natin ang gayong konstruksiyon (lalo na sa mga klinikal na kaso, kapag walang naiisip, ang logarithms ay makakatulong sa atin). Samakatuwid, ngayon ay ituturo namin sa iyo kung paano lutasin ang gayong mga simpleng konstruksyon.
Paglutas ng mga simpleng exponential inequalities
Isaalang-alang natin ang isang bagay na napakasimple. Halimbawa, ito:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Malinaw, ang numero sa kanan ay maaaring muling isulat bilang kapangyarihan ng dalawa: $4=((2)^(2))$. Kaya, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat sa isang napaka-maginhawang anyo:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
At ngayon nangangati ang aking mga kamay na "i-cross out" ang dalawa sa mga base ng mga kapangyarihan upang makuha ang sagot $x \gt 2$. Ngunit bago i-cross out ang anumang bagay, tandaan natin ang kapangyarihan ng dalawa:
\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]
Tulad ng nakikita mo, mas malaki ang numero sa exponent, mas malaki ang output number. "Salamat, Cap!" - bulalas ng isa sa mga estudyante. May kakaiba ba? Sa kasamaang palad, nangyayari ito. Halimbawa:
\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ kanan))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
Dito rin, ang lahat ay lohikal: mas malaki ang antas, mas maraming beses na ang bilang na 0.5 ay pinarami ng sarili nito (i.e., nahahati sa kalahati). Kaya, ang resultang pagkakasunod-sunod ng mga numero ay bumababa, at ang pagkakaiba sa pagitan ng una at pangalawang pagkakasunud-sunod ay nasa base lamang:
- Kung ang base ng degree na $a \gt 1$, kung gayon habang tumataas ang exponent na $n$, tataas din ang bilang na $((a)^(n))$;
- At kabaliktaran, kung $0 \lt a \lt 1$, pagkatapos ay habang tumataas ang exponent na $n$, bababa ang bilang na $((a)^(n))$.
Sa pagbubuod ng mga katotohanang ito, nakuha namin ang pinakamahalagang pahayag kung saan nakabatay ang buong solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng exponential:
Kung $a \gt 1$, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay na $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay na $x \gt n$. Kung $0 \lt a \lt 1$, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay na $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay na $x \lt n$.
Sa madaling salita, kung ang base ay mas malaki kaysa sa isa, maaari mo lamang itong alisin - hindi magbabago ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay. At kung ang base ay mas mababa sa isa, maaari rin itong alisin, ngunit sa parehong oras ay kailangan mong baguhin ang hindi pagkakapantay-pantay na pag-sign.
Pakitandaan na hindi namin isinasaalang-alang ang mga opsyon na $a=1$ at $a\le 0$. Dahil sa mga kasong ito ay lumitaw ang kawalan ng katiyakan. Sabihin natin kung paano lutasin ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $((1)^(x)) \gt 3$? Ang isa sa anumang kapangyarihan ay muling magbibigay ng isa - hinding hindi tayo makakakuha ng tatlo o higit pa. Yung. walang solusyon.
Sa mga negatibong kadahilanan ang lahat ay mas kawili-wili. Halimbawa, isaalang-alang ang hindi pagkakapantay-pantay na ito:
\[((\kaliwa(-2 \kanan))^(x)) \gt 4\]
Sa unang sulyap, ang lahat ay simple:
tama? Pero hindi! Ito ay sapat na upang palitan ang isang pares ng kahit at isang pares ng mga kakaibang numero sa halip na $x$ upang matiyak na ang solusyon ay hindi tama. Tingnan mo:
\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]
Tulad ng nakikita mo, ang mga palatandaan ay kahalili. Ngunit mayroon ding mga fractional powers at iba pang kalokohan. Paano, halimbawa, mag-uutos na kalkulahin ang $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus two to the power of seven)? Hindi pwede!
Samakatuwid, para sa katiyakan, ipinapalagay namin na sa lahat ng exponential inequalities (at mga equation din pala) $1\ne a \gt 0$. At pagkatapos ang lahat ay malulutas nang napakasimple:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]
Sa pangkalahatan, tandaan muli ang pangunahing panuntunan: kung ang base sa isang exponential equation ay mas malaki sa isa, maaari mo lamang itong alisin; at kung ang base ay mas mababa sa isa, maaari rin itong alisin, ngunit ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay magbabago.
Mga halimbawa ng solusyon
Kaya, tingnan natin ang ilang simpleng exponential inequalities:
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]
Ang pangunahing gawain sa lahat ng kaso ay pareho: upang bawasan ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa pinakasimpleng anyo na $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Ito ay eksakto kung ano ang gagawin natin ngayon sa bawat hindi pagkakapantay-pantay, at sa parehong oras ay uulitin natin ang mga katangian ng mga degree at exponential function. Kaya, tayo na!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
Ano ang maaari mong gawin dito? Well, sa kaliwa mayroon na tayong indicative expression - walang kailangang baguhin. Ngunit sa kanan mayroong ilang crap: isang fraction, at kahit isang ugat sa denominator!
Gayunpaman, tandaan natin ang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga fraction at kapangyarihan:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]
Ano ang ibig sabihin nito? Una, madali nating maaalis ang fraction sa pamamagitan ng paggawa nito sa isang kapangyarihan na may negatibong exponent. At pangalawa, dahil ang denominator ay may ugat, ito ay magiging maganda upang gawing isang kapangyarihan - sa oras na ito na may isang fractional exponent.
Ilapat ang mga pagkilos na ito nang sunud-sunod sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay at tingnan kung ano ang mangyayari:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \kanan))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \kaliwa(-1 \kanan)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
Huwag kalimutan na kapag nagtataas ng isang degree sa isang kapangyarihan, ang mga exponents ng mga degree na ito ay nagdaragdag. At sa pangkalahatan, kapag nagtatrabaho sa mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay, talagang kinakailangan na malaman ang hindi bababa sa pinakasimpleng mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga kapangyarihan:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]
Sa totoo lang, inilapat lang namin ang huling panuntunan. Samakatuwid, ang aming orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay muling isusulat gaya ng sumusunod:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]
Ngayon ay inaalis namin ang dalawa sa base. Dahil 2 > 1, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay mananatiling pareho:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]
Yan ang solusyon! Ang pangunahing kahirapan ay wala sa exponential function, ngunit sa karampatang pagbabago ng orihinal na expression: kailangan mong maingat at mabilis na dalhin ito sa pinakasimpleng anyo nito.
Isaalang-alang ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay:
\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]
Kaya-kaya. Naghihintay sa atin ang mga desimal na fraction dito. Tulad ng sinabi ko ng maraming beses, sa anumang mga expression na may kapangyarihan dapat mong alisin ang mga decimal - ito ay madalas na ang tanging paraan upang makita ang isang mabilis at simpleng solusyon. Dito ay aalisin natin:
\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\kaliwa(\frac(1)(10) \kanan))^(2)). \\\end(align)\]
Narito muli mayroon kaming pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay, at kahit na may base na 1/10, i.e. mas mababa sa isa. Buweno, inaalis namin ang mga base, sabay-sabay na binabago ang tanda mula sa "mas kaunti" sa "higit pa", at nakukuha namin:
\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]
Natanggap namin ang huling sagot: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Pakitandaan: ang sagot ay tiyak na isang set, at sa anumang kaso ay isang pagbuo ng form na $x \lt -1$. Sapagkat pormal, ang naturang konstruksiyon ay hindi isang set sa lahat, ngunit isang hindi pagkakapantay-pantay na may paggalang sa variable na $x$. Oo, ito ay napaka-simple, ngunit hindi ito ang sagot!
Mahalagang paalaala. Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring malutas sa ibang paraan - sa pamamagitan ng pagbabawas ng magkabilang panig sa isang kapangyarihan na may baseng mas malaki kaysa sa isa. Tingnan mo:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
Pagkatapos ng gayong pagbabago, muli tayong makakakuha ng exponential inequality, ngunit may base na 10 > 1. Nangangahulugan ito na maaari nating i-cross out ang sampu - ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi magbabago. Nakukuha namin ang:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]
Tulad ng nakikita mo, ang sagot ay eksaktong pareho. Kasabay nito, iniligtas namin ang aming sarili mula sa pangangailangan na baguhin ang tanda at sa pangkalahatan ay naaalala ang anumang mga patakaran :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Gayunpaman, huwag hayaang takutin ka nito. Anuman ang nasa mga tagapagpahiwatig, ang teknolohiya para sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay mismo ay nananatiling pareho. Samakatuwid, tandaan muna natin na 16 = 2 4. Isulat muli natin ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay na isinasaalang-alang ang katotohanang ito:
\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]
Hooray! Nakuha namin ang karaniwan quadratic inequality! Ang tanda ay hindi nagbago kahit saan, dahil ang base ay dalawa - isang numero na mas malaki kaysa sa isa.
Mga zero ng isang function sa number line
Inayos namin ang mga palatandaan ng function na $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - malinaw naman, ang graph nito ay magiging parabola na may mga sanga sa itaas, kaya magkakaroon ng "pluses ” sa mga gilid. Interesado kami sa rehiyon kung saan ang function ay mas mababa sa zero, i.e. $x\in \left(2;5 \right)$ ang sagot sa orihinal na problema.
Sa wakas, isaalang-alang ang isa pang hindi pagkakapantay-pantay:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Muli tayong nakakita ng exponential function na may decimal na fraction sa base. I-convert natin ang fraction na ito sa common fraction:
\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\kaliwa(((5)^(-1)) \kanan))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]
Sa kasong ito, ginamit namin ang pangungusap na ibinigay kanina - binawasan namin ang base sa numerong 5 > 1 upang gawing simple ang aming karagdagang solusyon. Gawin natin ang parehong sa kanang bahagi:
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ kanan))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
Isulat muli natin ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay na isinasaalang-alang ang parehong mga pagbabago:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \kanan)))\ge ((5)^(-2))\]
Ang mga base sa magkabilang panig ay pareho at lumampas sa isa. Walang ibang mga termino sa kanan at kaliwa, kaya "i-cross out" lang namin ang lima at makakuha ng napakasimpleng expression:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]
Dito kailangan mong maging mas maingat. Maraming mga estudyante ang gustong kunin ang square root ng magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay at magsulat ng isang bagay tulad ng $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Sa anumang pagkakataon ay hindi ito dapat gawin , dahil ang ugat ng eksaktong parisukat ay isang modulus, at sa anumang kaso ay isang orihinal na variable:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\kaliwa| x\right|\]
Gayunpaman, ang pagtatrabaho sa mga module ay hindi ang pinaka-kaaya-ayang karanasan, hindi ba? Kaya hindi tayo magtatrabaho. Sa halip, ililipat lang namin ang lahat ng mga termino sa kaliwa at lutasin ang karaniwang hindi pagkakapantay-pantay gamit ang paraan ng agwat:
$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$
Muli naming markahan ang mga nakuha na puntos sa linya ng numero at tingnan ang mga palatandaan:
Pakitandaan: ang mga tuldok ay may kulay Dahil nilulutas namin ang isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, ang lahat ng mga punto sa graph ay may kulay. Samakatuwid, ang magiging sagot ay: $x\in \left[ -1;1 \right]$ ay hindi isang interval, ngunit isang segment.
Sa pangkalahatan, nais kong tandaan na walang kumplikado tungkol sa exponential inequalities. Ang kahulugan ng lahat ng mga pagbabagong ginawa namin ngayon ay bumaba sa isang simpleng algorithm:
- Hanapin ang batayan kung saan babawasan natin ang lahat ng antas;
- Maingat na isagawa ang mga pagbabagong-anyo upang makakuha ng hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Siyempre, sa halip na ang mga variable na $x$ at $n$ ay maaaring magkaroon ng mas kumplikadong mga function, ngunit ang kahulugan ay hindi magbabago;
- I-cross out ang mga base ng degree. Sa kasong ito, maaaring magbago ang inequality sign kung ang base $a \lt 1$.
Sa katunayan, ito ay isang unibersal na algorithm para sa paglutas ng lahat ng gayong hindi pagkakapantay-pantay. At lahat ng iba pang sasabihin nila sa iyo sa paksang ito ay tiyak na mga diskarte at trick na magpapasimple at magpapabilis sa pagbabago. Pag-uusapan natin ang tungkol sa isa sa mga diskarteng ito. :)
Paraan ng rasyonalisasyon
Isaalang-alang natin ang isa pang hanay ng mga hindi pagkakapantay-pantay:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \kanan))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
Kaya ano ang espesyal sa kanila? Ang gaan nila. Bagaman, huminto! Nakataas ba ang bilang na π sa ilang kapangyarihan? Anong kalokohan?
Paano itaas ang numerong $2\sqrt(3)-3$ sa isang kapangyarihan? O $3-2\sqrt(2)$? Ang mga manunulat ng problema ay malinaw na uminom ng masyadong maraming Hawthorn bago umupo sa trabaho :)
Sa katunayan, walang nakakatakot sa mga gawaing ito. Paalalahanan kita: ang exponential function ay isang expression ng form na $((a)^(x))$, kung saan ang base na $a$ ay anumang positibong numero maliban sa isa. Ang bilang na π ay positibo - alam na natin iyon. Ang mga numerong $2\sqrt(3)-3$ at $3-2\sqrt(2)$ ay positibo rin - madali itong makita kung ihahambing mo ang mga ito sa zero.
Ito ay lumiliko na ang lahat ng mga "nakakatakot" na hindi pagkakapantay-pantay ay nalutas nang hindi naiiba sa mga simpleng tinalakay sa itaas? At nalutas ba sila sa parehong paraan? Oo, iyan ay ganap na tama. Gayunpaman, gamit ang kanilang halimbawa, nais kong isaalang-alang ang isang pamamaraan na lubos na nakakatipid ng oras sa independiyenteng trabaho at pagsusulit. Pag-uusapan natin ang paraan ng rasyonalisasyon. Kaya, pansin:
Anumang exponential inequality ng form na $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ay katumbas ng inequality $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ kanan) \gt 0 $.
Iyon ang buong pamamaraan :) Naisip mo ba na magkakaroon ng ibang uri ng laro? Walang ganito! Ngunit ang simpleng katotohanang ito, na literal na nakasulat sa isang linya, ay lubos na magpapasimple sa ating gawain. Tingnan mo:
\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]
Kaya wala nang mga exponential function! At hindi mo kailangang tandaan kung nagbabago ang tanda o hindi. Ngunit ito ay bumangon bagong problema: ano ang gagawin sa nakakatuwang multiplier na \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Hindi namin alam kung ano ang eksaktong halaga ng numerong π. Gayunpaman, ang kapitan ay tila nagpapahiwatig ng halata:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\approx 3.14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]
Sa pangkalahatan, ang eksaktong halaga ng π ay hindi talaga nababahala sa amin - mahalaga lamang para sa amin na maunawaan na sa anumang kaso $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. ito ay isang positibong pare-pareho, at maaari nating hatiin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan nito:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Tulad ng nakikita mo, sa isang tiyak na sandali kailangan nating hatiin sa minus one - at ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nagbago. Sa dulo, pinalawak ko ang quadratic trinomial gamit ang Vieta's theorem - halata na ang mga ugat ay katumbas ng $((x)_(1))=5$ at $((x)_(2))=-1$ . Pagkatapos ang lahat ay malulutas gamit ang klasikal na paraan ng agwat:
Paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay gamit ang paraan ng pagitan Ang lahat ng mga puntos ay tinanggal dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit. Interesado kami sa rehiyon na may mga negatibong halaga, kaya ang sagot ay $x\in \left(-1;5 \right)$. Yan ang solusyon. :)
Lumipat tayo sa susunod na gawain:
\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Ang lahat dito ay karaniwang simple, dahil may unit sa kanan. At naaalala namin na ang isa ay anumang numero na itinaas sa zero na kapangyarihan. Kahit na ang numerong ito ay isang hindi makatwirang expression sa base sa kaliwa:
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(0)); \\\end(align)\]
Well, i-rationalize natin:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Ang natitira na lang ay alamin ang mga palatandaan. Ang salik na $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ ay hindi naglalaman ng variable na $x$ - ito ay pare-pareho lamang, at kailangan nating alamin ang sign nito. Upang gawin ito, tandaan ang sumusunod:
\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matrix)\]
Ito ay lumiliko na ang pangalawang kadahilanan ay hindi lamang isang pare-pareho, ngunit isang negatibong pare-pareho! At kapag hinahati nito, ang tanda ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay nagbabago sa kabaligtaran:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]
Ngayon ang lahat ay nagiging ganap na halata. Ang mga ugat ng square trinomial sa kanan ay: $((x)_(1))=0$ at $((x)_(2))=2$. Minarkahan namin ang mga ito sa linya ng numero at tinitingnan ang mga palatandaan ng function $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:
Ang kaso kapag kami ay interesado sa mga side interval Interesado kami sa mga pagitan na minarkahan ng plus sign. Ang natitira na lang ay isulat ang sagot:
Lumipat tayo sa susunod na halimbawa:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ kanan))^(16-x))\]
Buweno, ang lahat ay ganap na halata dito: ang mga base ay naglalaman ng mga kapangyarihan ng parehong numero. Samakatuwid, isusulat ko ang lahat nang maikli:
\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Pababa \\ ((\kaliwa(((3)^(-1)) \kanan))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\kaliwa(((3)^(-2)) \kanan))^(16-x)) \\\end(matrix)\]
\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ kaliwa(16-x \kanan))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Tulad ng nakikita mo, sa panahon ng proseso ng pagbabago, kailangan naming i-multiply sa isang negatibong numero, kaya nagbago ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay. Sa pinakadulo, muli kong inilapat ang teorama ni Vieta upang i-factor ang quadratic trinomial. Bilang resulta, ang magiging sagot ay ang mga sumusunod: $x\in \left(-8;4 \right)$ - mapapatunayan ito ng sinuman sa pamamagitan ng pagguhit ng linya ng numero, pagmamarka ng mga puntos at pagbibilang ng mga palatandaan. Samantala, magpapatuloy tayo sa huling hindi pagkakapantay-pantay mula sa ating "set":
\[((\kaliwa(3-2\sqrt(2) \kanan)))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Tulad ng nakikita mo, sa base ay may isang hindi makatwiran na numero, at sa kanan ay may isang yunit muli. Samakatuwid, muling isinulat namin ang aming exponential inequality gaya ng sumusunod:
\[((\left(3-2\sqrt(2)) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ kanan))^(0))\]
Inilapat namin ang rasyonalisasyon:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Gayunpaman, medyo halata na ang $1-\sqrt(2) \lt 0$, dahil $\sqrt(2)\approx 1,4... \gt 1$. Samakatuwid, ang pangalawang kadahilanan ay muli ng isang negatibong pare-pareho, kung saan ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring hatiin:
\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matrix)\]
\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Lumipat sa ibang base
Ang isang hiwalay na problema kapag nilutas ang mga exponential inequalities ay ang paghahanap para sa "tama" na batayan. Sa kasamaang palad, hindi palaging halata sa unang sulyap sa isang gawain kung ano ang dapat gawin bilang batayan at kung ano ang gagawin ayon sa antas ng batayan na ito.
Ngunit huwag mag-alala: walang magic o "lihim" na teknolohiya dito. Sa matematika, anumang kasanayan na hindi ma-algoritmo ay madaling mabuo sa pamamagitan ng pagsasanay. Ngunit para dito kailangan mong lutasin ang mga problema ng iba't ibang antas ng pagiging kumplikado. Halimbawa, tulad nito:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ end(align)\]
Mahirap? Nakakatakot? Ito ay mas madali kaysa sa paghampas ng manok sa aspalto! Subukan Natin. Unang hindi pagkakapantay-pantay:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
Well, sa tingin ko ang lahat ay malinaw dito:
Isinulat namin muli ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, binabawasan ang lahat sa base ng dalawa:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]
Oo, oo, narinig mo ito nang tama: Inilapat ko lang ang paraan ng rasyonalisasyon na inilarawan sa itaas. Ngayon kailangan nating magtrabaho nang mabuti: mayroon tayong fractional-rational inequality (ito ang may variable sa denominator), kaya bago i-equate ang anuman sa zero, kailangan nating dalhin ang lahat sa isang common denominator at alisin ang pare-parehong salik. .
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]
Ngayon ginagamit namin karaniwang pamamaraan mga pagitan. Mga numerator zero: $x=\pm 4$. Ang denominator ay napupunta sa zero lamang kapag $x=0$. Mayroong tatlong puntos sa kabuuan na kailangang markahan sa linya ng numero (lahat ng mga puntos ay naka-pin dahil mahigpit ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay). Nakukuha namin ang:
Mas kumplikadong kaso: tatlong ugat Tulad ng maaari mong hulaan, ang pagtatabing ay nagmamarka sa mga pagitan kung saan ang expression sa kaliwa ay kumukuha ng mga negatibong halaga. Samakatuwid, ang huling sagot ay magsasama ng dalawang pagitan nang sabay-sabay:
Ang mga dulo ng mga pagitan ay hindi kasama sa sagot dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit. Walang karagdagang pag-verify ng sagot na ito ay kinakailangan. Kaugnay nito, ang mga exponential inequalities ay mas simple kaysa sa logarithmic: walang ODZ, walang mga paghihigpit, atbp.
Lumipat tayo sa susunod na gawain:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Wala ring mga problema dito, dahil alam na natin na $\frac(1)(3)=(3)^(-1))$, kaya ang buong hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring isulat muli tulad ng sumusunod:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\kaliwa(-2 \kanan) \kanan. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
Pakitandaan: sa ikatlong linya nagpasya akong huwag mag-aksaya ng oras sa mga bagay na walang kabuluhan at agad na hatiin ang lahat sa pamamagitan ng (−2). Pumasok si Minul sa unang bracket (ngayon ay may mga plus sa lahat ng dako), at dalawa ang nabawasan na may pare-parehong kadahilanan. Ito mismo ang dapat mong gawin kapag naghahanda ng mga tunay na display sa independent at mga pagsubok— hindi na kailangang ilarawan ang bawat aksyon at pagbabago.
Susunod, ang pamilyar na paraan ng mga pagitan ay papasok. Numerator zero: ngunit wala. Dahil magiging negatibo ang discriminant. Sa turn, ang denominator ay na-reset lamang kapag $x=0$ - tulad ng huling pagkakataon. Well, malinaw na sa kanan ng $x=0$ ang fraction ay kukuha ng mga positibong halaga, at sa kaliwa - negatibo. Dahil interesado kami sa mga negatibong halaga, ang huling sagot ay: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]
Ano ang dapat mong gawin sa mga decimal fraction sa exponential inequalities? Iyan ay tama: alisin ang mga ito, i-convert ang mga ito sa mga ordinaryong. Dito natin isasalin:
\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ kaliwa(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)) (4)\kanan))^(x)). \\\end(align)\]
Kaya ano ang nakuha natin sa mga pundasyon ng exponential function? At nakakuha kami ng dalawang magkabaligtaran na numero:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ kanan))^(x))=((\kaliwa(((\kaliwa(\frac(4)(25) \kanan)))^(-1)) \kanan))^(x))=((\ kaliwa(\frac(4)(25) \kanan))^(-x))\]
Kaya, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:
\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(align)\]
Siyempre, kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang kanilang mga exponents ay nagdaragdag, na kung ano ang nangyari sa pangalawang linya. Bilang karagdagan, kinakatawan namin ang yunit sa kanan, bilang isang kapangyarihan din sa base 4/25. Ang natitira na lang ay ang pangangatwiran:
\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]
Tandaan na $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, i.e. ang pangalawang kadahilanan ay isang negatibong pare-pareho, at kapag hinati nito, magbabago ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay:
\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]
Sa wakas, ang huling hindi pagkakapantay-pantay mula sa kasalukuyang "set":
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
Sa prinsipyo, ang ideya ng solusyon dito ay malinaw din: lahat ng exponential function na kasama sa hindi pagkakapantay-pantay ay dapat na bawasan sa base na "3". Ngunit para dito kakailanganin mong mag-isip nang kaunti sa mga ugat at kapangyarihan:
\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]
Isinasaalang-alang ang mga katotohanang ito, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring isulat muli tulad ng sumusunod:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\kanan))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ at ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]
Bigyang-pansin ang ika-2 at ika-3 linya ng mga kalkulasyon: bago gumawa ng anumang bagay na may hindi pagkakapantay-pantay, siguraduhing dalhin ito sa form na napag-usapan natin mula sa simula ng aralin: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Hangga't mayroon kang ilang left-handed factor, karagdagang constants, atbp. sa kaliwa o kanan, walang rasyonalisasyon o "pagtawid" sa mga batayan ang maaaring isagawa! Hindi mabilang na mga gawain ang nakumpleto nang hindi tama dahil sa pagkabigo na maunawaan ang simpleng katotohanang ito. Ako mismo ay patuloy na nagmamasid sa problemang ito sa aking mga mag-aaral noong nagsisimula pa lamang kaming mag-analisa ng exponential at logarithmic inequalities.
Ngunit bumalik tayo sa ating gawain. Subukan nating gawin nang walang rasyonalisasyon sa pagkakataong ito. Tandaan natin: ang base ng degree ay mas malaki kaysa sa isa, kaya ang mga triple ay maaaring i-cross out - hindi magbabago ang inequality sign. Nakukuha namin ang:
\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]
Iyon lang. Panghuling sagot: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
Pagbubukod ng isang matatag na expression at pagpapalit ng isang variable
Bilang konklusyon, iminumungkahi kong lutasin ang apat pang exponential inequalities, na medyo mahirap para sa mga hindi handa na mga mag-aaral. Upang makayanan ang mga ito, kailangan mong tandaan ang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga degree. Sa partikular, ang paglalagay ng mga karaniwang salik sa labas ng mga bracket.
Ngunit ang pinakamahalagang bagay ay ang matutong maunawaan kung ano ang eksaktong maaaring alisin sa mga bracket. Ang ganitong expression ay tinatawag na stable - maaari itong ipahiwatig ng isang bagong variable at sa gayon ay mapupuksa ang exponential function. Kaya, tingnan natin ang mga gawain:
\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\end(align)\]
Magsimula tayo sa pinakaunang linya. Isulat natin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito nang hiwalay:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
Tandaan na $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, kaya ang kanang kamay side ay maaaring muling isulat:
Tandaan na walang ibang exponential function maliban sa $((5)^(x+1))$ sa hindi pagkakapantay-pantay. At sa pangkalahatan, ang variable na $x$ ay hindi lumalabas kahit saan pa, kaya magpakilala tayo ng bagong variable: $((5)^(x+1))=t$. Nakukuha namin ang sumusunod na konstruksyon:
\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]
Bumalik tayo sa orihinal na variable ($t=((5)^(x+1))$), at sa parehong oras tandaan na 1=5 0 . Meron kami:
\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]
Yan ang solusyon! Sagot: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Lumipat tayo sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Lahat ay pareho dito. Tandaan na $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Pagkatapos kaliwang bahagi maaaring isulat muli:
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \tama. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(align)\]
Ito ay humigit-kumulang kung paano mo kailangan na gumuhit ng isang solusyon para sa mga tunay na pagsubok at independiyenteng trabaho.
Well, subukan natin ang isang bagay na mas kumplikado. Halimbawa, narito ang hindi pagkakapantay-pantay:
\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
Anong problema dito? Una sa lahat, ang mga base ng exponential function sa kaliwa ay magkakaiba: 5 at 25. Gayunpaman, 25 = 5 2, kaya ang unang termino ay maaaring mabago:
\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]
Tulad ng nakikita mo, dinala muna namin ang lahat parehong batayan, at pagkatapos ay napansin na ang unang termino ay madaling bawasan sa pangalawa - kailangan mo lang palawakin ang exponent. Ngayon ay maaari mong ligtas na ipakilala ang isang bagong variable: $((5)^(2x+2))=t$, at ang buong hindi pagkakapantay-pantay ay muling isusulat tulad ng sumusunod:
\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]
At muli, walang kahirapan! Panghuling sagot: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Lumipat tayo sa huling hindi pagkakapantay-pantay sa aralin ngayon:
\[((\kaliwa(0.5 \kanan)))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]
Ang unang bagay na dapat mong bigyang pansin ay, siyempre, ang decimal fraction sa base ng unang kapangyarihan. Ito ay kinakailangan upang mapupuksa ito, at sa parehong oras dalhin ang lahat ng exponential function sa parehong base - ang bilang na "2":
\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=(2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1.5))=((\kaliwa(((2)^(4)) \kanan))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]
Mahusay, ginawa namin ang unang hakbang-lahat ay humantong sa parehong pundasyon. Ngayon ay kailangan mong pumili ng isang matatag na expression. Tandaan na $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Kung magpapakilala tayo ng bagong variable na $((2)^(4x+6))=t$, kung gayon ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:
\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\end(align)\]
Natural, ang tanong ay maaaring lumitaw: paano natin natuklasan na 256 = 2 8? Sa kasamaang palad, dito kailangan mo lamang malaman ang mga kapangyarihan ng dalawa (at sa parehong oras ang mga kapangyarihan ng tatlo at lima). Well, o hatiin ang 256 sa 2 (maaari mong hatiin, dahil ang 256 ay isang even na numero) hanggang makuha natin ang resulta. Magiging ganito ang hitsura nito:
\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]
Ang parehong ay totoo sa tatlo (ang mga numero 9, 27, 81 at 243 ay ang mga degree nito), at may pito (ang mga numero 49 at 343 ay maganda ring tandaan). Well, ang lima ay mayroon ding "magandang" degree na kailangan mong malaman:
\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ at ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]
Siyempre, kung nais mo, ang lahat ng mga numerong ito ay maaaring maibalik sa iyong isipan sa pamamagitan lamang ng pagpaparami ng mga ito nang sunud-sunod sa bawat isa. Gayunpaman, kapag kailangan mong lutasin ang ilang exponential inequalities, at ang bawat susunod ay mas mahirap kaysa sa nauna, ang huling bagay na gusto mong isipin ay ang kapangyarihan ng ilang numero. At sa ganitong kahulugan, ang mga problemang ito ay mas kumplikado kaysa sa "klasikal" na hindi pagkakapantay-pantay na nalutas sa pamamagitan ng paraan ng pagitan.
Ang mga exponential equation at inequalities ay ang mga kung saan ang hindi alam ay nakapaloob sa exponent.
Ang paglutas ng mga exponential equation ay kadalasang bumababa sa paglutas ng equation na a x = a b, kung saan ang a > 0, a ≠ 1, x ay isang hindi alam. Ang equation na ito ay may iisang ugat x = b, dahil totoo ang sumusunod na theorem:
Teorama. Kung a > 0, a ≠ 1 at a x 1 = a x 2, kung gayon x 1 = x 2.
Patunayan natin ang isinaalang-alang na pahayag.
Ipagpalagay natin na ang pagkakapantay-pantay x 1 = x 2 ay hindi hawak, i.e. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, pagkatapos ay tumataas ang exponential function na y = a x at samakatuwid ang hindi pagkakapantay-pantay a x 1 ay dapat masiyahan< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >isang x 2. Sa parehong mga kaso nakatanggap kami ng kontradiksyon sa kondisyong a x 1 = a x 2.
Isaalang-alang natin ang ilang mga problema.
Lutasin ang equation 4 ∙ 2 x = 1.
Solusyon.
Isulat natin ang equation sa anyong 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0, kung saan nakukuha natin ang x + 2 = 0, i.e. x = -2.
Sagot. x = -2.
Lutasin ang equation 2 3x ∙ 3 x = 576.
Solusyon.
Dahil 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, ang equation ay maaaring isulat bilang 8 x ∙ 3 x = 24 2 o bilang 24 x = 24 2.
Mula dito nakukuha natin ang x = 2.
Sagot. x = 2.
Lutasin ang equation 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.
Solusyon.
Ang pagkuha ng karaniwang salik na 3 x - 2 mula sa mga bracket sa kaliwang bahagi, makakakuha tayo ng 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25,
kung saan 3 x - 2 = 1, i.e. x – 2 = 0, x = 2.
Sagot. x = 2.
Lutasin ang equation na 3 x = 7 x.
Solusyon.
Dahil 7 x ≠ 0, ang equation ay maaaring isulat bilang 3 x /7 x = 1, kung saan (3/7) x = 1, x = 0.
Sagot. x = 0.
Lutasin ang equation 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.
Solusyon.
Sa pamamagitan ng pagpapalit ng 3 x = a, ang equation na ito ay nababawasan sa quadratic equation a 2 – 4a – 45 = 0.
Sa paglutas ng equation na ito, makikita natin ang mga ugat nito: a 1 = 9, at 2 = -5, kung saan 3 x = 9, 3 x = -5.
Ang equation 3 x = 9 ay may ugat 2, at ang equation 3 x = -5 ay walang mga ugat, dahil ang exponential function ay hindi maaaring kumuha ng mga negatibong halaga.
Sagot. x = 2.
Ang paglutas ng mga exponential inequalities ay kadalasang bumababa sa paglutas ng inequalities a x > a b o a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.
Tingnan natin ang ilang mga problema.
Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 3 x< 81.
Solusyon.
Isulat natin ang hindi pagkakapantay-pantay sa anyong 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, pagkatapos ay tumataas ang function na y = 3 x.
Samakatuwid, para sa x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .
Kaya, sa x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
Sagot. X< 4.
Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 16 x +4 x – 2 > 0.
Solusyon.
Ipahiwatig natin ang 4 x = t, pagkatapos ay makuha natin ang quadratic inequality t2 + t – 2 > 0.
Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay humahawak para sa t< -2 и при t > 1.
Dahil t = 4 x, nakakakuha tayo ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay 4 x< -2, 4 х > 1.
Ang unang hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon, dahil 4 x > 0 para sa lahat ng x € R.
Isinulat namin ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay sa anyong 4 x > 4 0, kung saan ang x > 0.
Sagot. x > 0.
Grapikong lutasin ang equation (1/3) x = x – 2/3.
Solusyon.
1) Bumuo tayo ng mga graph ng mga function na y = (1/3) x at y = x – 2/3.
2) Batay sa aming figure, maaari naming tapusin na ang mga graph ng itinuturing na mga function ay nagsalubong sa punto na may abscissa x ≈ 1. Ang pagsuri ay nagpapatunay na
x = 1 ang ugat ng equation na ito:
(1/3) 1 = 1/3 at 1 – 2/3 = 1/3.
Sa madaling salita, nakita namin ang isa sa mga ugat ng equation. 
3) Maghanap tayo ng ibang ugat o patunayan na wala. Ang function (1/3) x ay bumababa, at ang function na y = x – 2/3 ay tumataas. Samakatuwid, para sa x > 1, ang mga halaga ng unang function ay mas mababa sa 1/3, at ang pangalawa - higit sa 1/3; sa x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 at x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.
Sagot. x = 1.
Tandaan na mula sa solusyon ng problemang ito, sa partikular, sumusunod na ang hindi pagkakapantay-pantay (1/3) x > x – 2/3 ay nasiyahan para sa x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.
website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.
at x = b ang pinakasimple exponential equation. Sa kanya a mas malaki sa zero at A hindi katumbas ng isa.
Paglutas ng mga exponential equation
Mula sa mga katangian ng exponential function alam natin na ang saklaw ng mga halaga nito ay limitado sa mga positibong tunay na numero. Kung b = 0, ang equation ay walang mga solusyon. Ang parehong sitwasyon ay nangyayari sa equation kung saan b
Ngayon ipagpalagay natin na b>0. Kung sa exponential function ang base a ay mas malaki kaysa sa pagkakaisa, pagkatapos ay tataas ang function sa buong domain ng kahulugan. Kung sa exponential function para sa base A ang sumusunod na kondisyon ay natutugunan 0 Batay dito at paglalapat ng root theorem, nakita namin na ang equation a x = b ay may isang solong ugat, para sa b>0 at positibo a hindi katumbas ng isa. Upang mahanap ito, kailangan mong kumatawan sa b sa anyong b = a c. Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa: lutasin ang equation 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25. Isipin natin ang 25 bilang 5 2, makukuha natin: 5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 . O kung ano ang katumbas: x 2 - 2*x - 1 = 2. Nilulutas namin ang nagreresultang quadratic equation ng alinman sa mga kilalang pamamaraan. Nakukuha namin ang dalawang ugat x = 3 at x = -1. Sagot: 3;-1. Lutasin natin ang equation 4 x - 5*2 x + 4 = 0. Gawin natin ang kapalit: t=2 x at kunin ang sumusunod na quadratic equation: t 2 - 5*t + 4 = 0. Ngayon ay malulutas natin ang mga equation na 2 x = 1 at 2 x = 4. Sagot: 0;2. Ang solusyon sa pinakasimpleng exponential inequalities ay nakabatay din sa mga katangian ng pagtaas at pagbaba ng mga function. Kung sa isang exponential function ang base a ay mas malaki kaysa sa isa, ang function ay tataas sa buong domain ng kahulugan. Kung sa exponential function para sa base A ang sumusunod na kondisyon ay natutugunan 0 Isaalang-alang ang isang halimbawa: lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay (0.5) (7 - 3*x)< 4. Tandaan na 4 = (0.5) 2 . Pagkatapos ang hindi pagkakapantay-pantay ay magkakaroon ng anyo (0.5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. Nakukuha namin ang: 7 - 3*x>-2. Kaya naman: x<3. Sagot: x<3. Kung ang base sa hindi pagkakapantay-pantay ay mas malaki kaysa sa isa, kung gayon kapag inaalis ang base, hindi na kailangang baguhin ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay.
Tapos halata naman Sa magiging solusyon sa equation na a x = a c .
Nilulutas namin ang equation na ito gamit ang alinman sa mga kilalang pamamaraan. Nakukuha namin ang mga ugat t1 = 1 t2 = 4Paglutas ng mga exponential inequalities