Paglutas ng mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay gamit ang modulus. Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang modulus

Ang mga pamamaraan (mga panuntunan) para sa pagsisiwalat ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga module ay binubuo sa sunud-sunod na pagsisiwalat ng mga module, gamit ang mga pagitan ng pare-parehong pag-sign ng mga submodular na function. Sa huling bersyon, maraming mga hindi pagkakapantay-pantay ang nakuha kung saan matatagpuan ang mga pagitan o pagitan na nakakatugon sa mga kondisyon ng problema.

Lumipat tayo sa paglutas ng mga karaniwang halimbawa sa pagsasanay.

Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay sa moduli

Ang ibig sabihin ng linear ay mga equation kung saan ang isang variable ay pumapasok sa equation nang linearly.

Halimbawa 1. Humanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay

Solusyon:
Mula sa mga kondisyon ng problema, sumusunod na ang mga module ay nagiging zero sa x=-1 at x=-2.

Hinahati ng mga puntong ito ang linya ng numero sa mga pagitan

Sa bawat isa sa mga agwat na ito, nalulutas namin ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay. Upang gawin ito, una sa lahat, gumuhit kami ng mga graphical na mga guhit ng mga lugar ng patuloy na pag-sign ng mga submodular na pag-andar. Ang mga ito ay inilalarawan bilang mga lugar na may mga palatandaan ng bawat isa sa mga function

o mga agwat na may mga palatandaan ng lahat ng mga function.

Sa unang pagitan ay pinalawak namin ang mga module

I-multiply namin ang magkabilang panig sa minus one, at ang pag-sign sa hindi pagkakapantay-pantay ay magbabago sa kabaligtaran. Kung mahirap para sa iyo na masanay ang panuntunang ito, maaari mong ilipat ang bawat bahagi sa likod ng karatula upang maalis ang minus. Sa huli matatanggap mo

Ang intersection ng set x>-3 sa lugar kung saan nalutas ang mga equation ay ang pagitan (-3;-2). Para sa mga mas madaling makahanap ng mga solusyon, maaari mong graphical na iguhit ang intersection ng mga lugar na ito

Ang karaniwang intersection ng mga lugar ang magiging solusyon. Kung mahigpit na hindi pantay, ang mga gilid ay hindi kasama. Kung hindi mahigpit, suriin sa pamamagitan ng pagpapalit.

Sa pangalawang pagitan makuha namin

Ang cross section ay ang pagitan (-2;-5/3).

Graphically ang magiging hitsura ng solusyon Sa ikatlong pagitan makuha namin

Ang kundisyong ito

ay hindi nagbibigay ng mga solusyon sa gustong domain.

Dahil natagpuan ang dalawang solusyon na (-3;-2) at (-2;-5/3) na hangganan sa puntong x=-2, sinusuri din namin ito.
Kaya ang puntong x=-2 ay isang solusyon. Ang pangkalahatang solusyon na isinasaalang-alang ito ay magmumukhang (-3;5/3).

Solusyon:
Halimbawa 2. Humanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay

|x-2|-|x-3|>=|x-4|

1) Sa unang agwat, ang lahat ng mga submodular na function ay negatibo, kaya kapag pinalawak ang mga module, binabago namin ang sign sa kabaligtaran.

Ang intersection ng mga nahanap na halaga ng x na may isinasaalang-alang na pagitan ay magiging isang hanay ng mga puntos

2) Sa pagitan ng mga puntos na x=2 at x=3, ang unang submodular function ay positibo, ang pangalawa at pangatlo ay negatibo. Ang pagpapalawak ng mga module, nakukuha namin

isang hindi pagkakapantay-pantay na, kapag na-intersect sa pagitan ng kung saan tayo nilulutas, ay nagbibigay ng isang solusyon - x=3.

3) Sa pagitan ng mga puntos na x=3 at x=4, ang una at pangalawang submodular na function ay positibo, at ang pangatlo ay negatibo. Batay dito nakukuha natin

Ang kundisyong ito ay nagpapakita na ang buong pagitan ay masisiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay sa moduli.

4) Para sa mga halaga ng x>4 lahat ng mga function ay may positibong tanda. Kapag nagpapalawak ng mga module, hindi namin binabago ang kanilang sign.

Ang nahanap na kondisyon sa intersection na may pagitan ay nagbibigay ng sumusunod na hanay ng mga solusyon

Dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay nalutas sa lahat ng mga pagitan, nananatili itong hanapin ang karaniwang halaga ng lahat ng nahanap na halaga ng x.

Ang solusyon ay magiging dalawang pagitan

Ito ay nagtatapos sa halimbawa.
Halimbawa 3. Humanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay

Solusyon:
||x-1|-5|>3-2x

Mayroon kaming hindi pagkakapantay-pantay sa modulus mula sa modulus. Ang ganitong mga hindi pagkakapantay-pantay ay ipinahayag habang ang mga module ay nakapugad, simula sa mga mas malalim na matatagpuan.

Ang submodular function na x-1 ay na-convert sa zero sa x=1 . Para sa mas maliliit na halaga na lampas sa 1 ito ay negatibo at positibo para sa x>1. Batay dito, pinalawak namin ang panloob na module at isinasaalang-alang ang hindi pagkakapantay-pantay sa bawat isa sa mga pagitan.

Una, isaalang-alang ang pagitan mula sa minus infinity hanggang sa isa<-4:

Ang submodular function ay zero sa x=-4 . Sa mas maliit na halaga ito ay positibo, sa mas malaking halaga ito ay negatibo. Palawakin natin ang modyul para sa x

Sa intersection sa lugar kung saan namin isinasaalang-alang, nakakakuha kami ng isang hanay ng mga solusyon

Ang susunod na hakbang ay palawakin ang module sa pagitan (-4;1)

Isinasaalang-alang ang lugar ng pagpapalawak ng module, nakuha namin ang agwat ng solusyon

TANDAAN: kung sa gayong mga iregularidad sa mga module ay nakakakuha ka ng dalawang pagitan na may hangganan sa isang karaniwang punto, kung gayon, bilang panuntunan, ito rin ay isang solusyon.

Upang gawin ito, kailangan mo lamang suriin.

Sa kasong ito, pinapalitan natin ang puntong x=-4.
Kaya x=-4 ang solusyon.

Palawakin natin ang panloob na module para sa x>1<6.
Submodular function na negatibo para sa x

Pagpapalawak ng module na nakuha namin

Ang kundisyong ito sa seksyong may pagitan (1;6) ay nagbibigay ng walang laman na hanay ng mga solusyon.

Para sa x>6 nakukuha namin ang hindi pagkakapantay-pantay
Ang paglutas din ay nakakuha kami ng isang walang laman na set.

Isinasaalang-alang ang lahat ng nasa itaas, ang tanging solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay sa mga module ay ang sumusunod na agwat.

Halimbawa 4. Humanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay
|x^2+3x|>=2-x^2

Solusyon:
Ang submodular function ay naglalaho sa mga puntong x=0, x=-3.

Simpleng pagpapalit ng minus one
itinatag namin na ito ay mas mababa sa zero sa pagitan (-3;0) at positibong lampas dito.

Palawakin natin ang module sa mga lugar kung saan positibo ang submodular function

Ito ay nananatiling upang matukoy ang mga rehiyon kung saan ang square function ay positibo. Upang gawin ito, tinutukoy namin ang mga ugat ng quadratic equation

Para sa kaginhawahan, pinapalitan namin ang puntong x=0, na kabilang sa pagitan (-2;1/2).

Ang function ay negatibo sa pagitan na ito, na nangangahulugang ang solusyon ay ang mga sumusunod na set x

Narito ang mga gilid ng mga lugar na may mga solusyon ay ipinahiwatig ng mga bracket;

TANDAAN: Kung ang isang hindi pagkakapantay-pantay sa moduli, o isang simpleng hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit, kung gayon ang mga gilid ng mga nahanap na lugar ay hindi mga solusyon, ngunit kung ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit (), kung gayon ang mga gilid ay mga solusyon (ipinapahiwatig ng mga square bracket).

Ang panuntunang ito ay ginagamit ng maraming mga guro: kung ang isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ay ibinigay, at sa panahon ng mga kalkulasyon magsulat ka ng isang square bracket ([,]) sa solusyon, awtomatiko nilang bibilangin ito bilang isang maling sagot. Gayundin, kapag sinusubukan, kung ang isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay sa mga module ay ibinigay, pagkatapos ay maghanap ng mga lugar na may mga square bracket sa mga solusyon.

Sa pagitan (-3;0), pagpapalawak ng module, binabago namin ang sign ng function sa kabaligtaran

Isinasaalang-alang ang lugar ng pagsisiwalat ng hindi pagkakapantay-pantay, ang solusyon ay magkakaroon ng form
Kasama ang nakaraang lugar, magbibigay ito ng dalawang kalahating pagitan

Solusyon:
Halimbawa 5. Humanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay<3.

9x^2-|x-3|>=9x-2

Ang isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ay ibinibigay na ang submodular function ay katumbas ng zero sa puntong x=3.

Para sa mas maliliit na halaga ito ay negatibo, para sa mas malaking halaga ito ay positibo. Palawakin ang modyul sa pagitan ng x

Paghahanap ng discriminant ng equation

at mga ugat

Ang pagpapalit ng point zero, nalaman natin na sa interval [-1/9;1] ang quadratic function ay negatibo, samakatuwid ang interval ay isang solusyon. Susunod na palawakin namin ang module sa x>3

Ngayon, mga kaibigan, walang uhog o sentimental. Sa halip, ipapadala ko sa iyo, nang walang tanong, sa pakikipaglaban sa isa sa mga pinakamabigat na kalaban sa kursong algebra sa ika-8-9 na baitang.

Ang Captain Obviousness ay tila nagpapahiwatig na upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa modulus kailangan mong malaman ang dalawang bagay:

Paano nareresolba ang mga hindi pagkakapantay-pantay;
Ano ang isang module?

Magsimula tayo sa pangalawang punto.

Depinisyon ng Module

Simple lang ang lahat dito. Mayroong dalawang kahulugan: algebraic at graphical. Upang magsimula sa - algebraic:

Kahulugan. Ang modulus ng isang numerong $x$ ay alinman sa numero mismo, kung ito ay hindi negatibo, o ang bilang na kabaligtaran nito, kung ang orihinal na $x$ ay negatibo pa rin.

Ito ay nakasulat tulad nito:

\[\kaliwa| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

nagsasalita sa simpleng wika, ang modulus ay "isang numero na walang minus". At ito ay sa duality na ito (sa ilang mga lugar wala kang kailangang gawin sa orihinal na numero, ngunit sa iba ay kailangan mong alisin ang ilang uri ng minus) na kung saan ang buong kahirapan ay namamalagi para sa mga nagsisimulang mag-aaral.

Mayroon ding geometric na kahulugan. Kapaki-pakinabang din na malaman, ngunit babalikan lamang natin ito sa kumplikado at ilang mga espesyal na kaso, kung saan ang geometric na diskarte ay mas maginhawa kaysa sa algebraic (spoiler: hindi ngayon).

Kahulugan. Hayaang markahan ang puntong $a$ sa linya ng numero. Pagkatapos ang module na $\left| Ang x-a \right|$ ay ang distansya mula sa puntong $x$ hanggang sa puntong $a$ sa linyang ito.

Kung gumuhit ka ng isang larawan, makakakuha ka ng ganito:

Depinisyon ng graphical na module

Sa isang paraan o iba pa, mula sa kahulugan ng isang module ang pangunahing katangian nito ay agad na sumusunod: ang modulus ng isang numero ay palaging isang di-negatibong dami. Ang katotohanang ito ay magiging isang pulang thread na tumatakbo sa aming buong salaysay ngayon.

Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay. Paraan ng pagitan

Ngayon tingnan natin ang mga hindi pagkakapantay-pantay. Napakarami ng mga ito, ngunit ang ating gawain ngayon ay ang malutas kahit ang pinakasimpleng mga ito. Ang mga bumaba sa mga linear na hindi pagkakapantay-pantay, pati na rin sa paraan ng pagitan.

Mayroon akong dalawang malalaking aralin sa paksang ito (sa pamamagitan ng paraan, napaka, VERY kapaki-pakinabang - Inirerekumenda kong pag-aralan ang mga ito):

Paraan ng pagitan para sa mga hindi pagkakapantay-pantay (lalo na panoorin ang video);
Ang mga fractional rational inequalities ay napaka malawak na aral, ngunit pagkatapos nito ay wala ka nang anumang tanong.

Kung alam mo ang lahat ng ito, kung ang pariralang "lumipat tayo mula sa hindi pagkakapantay-pantay tungo sa equation" ay hindi nagdudulot sa iyo ng malabong pagnanais na itama ang iyong sarili sa dingding, kung gayon handa ka na: maligayang pagdating sa impiyerno sa pangunahing paksa ng aralin.

1. Mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo na "Ang modulus ay mas mababa kaysa sa function"

Ito ay isa sa mga pinakakaraniwang problema sa mga module. Ito ay kinakailangan upang malutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng form:

\[\kaliwa| f\right| \ltg\]

Ang mga function na $f$ at $g$ ay maaaring maging anuman, ngunit kadalasan ang mga ito ay mga polynomial. Mga halimbawa ng gayong hindi pagkakapantay-pantay:

Ang lahat ng mga ito ay maaaring malutas nang literal sa isang linya ayon sa sumusunod na pamamaraan:

\[\kaliwa| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \tama.\kanan)\]

Madaling makita na aalisin natin ang module, ngunit bilang kapalit ay nakakakuha tayo ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay (o, na parehong bagay, isang sistema ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay). Ngunit ang paglipat na ito ay ganap na isinasaalang-alang ang lahat posibleng mga problema: kung ang numero sa ilalim ng modulus ay positibo, gumagana ang pamamaraan; kung negatibo, gumagana pa rin ito; at kahit na may pinakamaraming hindi sapat na function bilang kapalit ng $f$ o $g$, gagana pa rin ang paraan.

Naturally, ang tanong ay lumitaw: hindi ba ito mas simple? Sa kasamaang palad, hindi ito posible. Ito ang buong punto ng modyul.

Gayunpaman, sapat na sa pamimilosopo. Lutasin natin ang ilang problema:

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| 2x+3 \right| \lt x+7\]

Solusyon. Kaya, mayroon kaming bago sa amin ng isang klasikong hindi pagkakapantay-pantay ng anyo na "ang modulus ay mas mababa" -wala kahit na baguhin. Nagtatrabaho kami ayon sa algorithm:

\[\begin(align) & \left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \kaliwa| 2x+3 \kanan| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Huwag magmadali upang buksan ang mga panaklong na sinusundan ng isang "minus": posible na sa iyong pagmamadali ay makakagawa ka ng isang nakakasakit na pagkakamali.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Ang problema ay nabawasan sa dalawang elementarya na hindi pagkakapantay-pantay. Tandaan natin ang kanilang mga solusyon sa parallel number lines:
Intersection ng mga set
Ang intersection ng mga set na ito ang magiging sagot.

Sagot: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Solusyon. Ang gawaing ito ay medyo mas mahirap. Una, ihiwalay natin ang module sa pamamagitan ng paglipat ng pangalawang termino sa kanan:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Malinaw, mayroon kaming hindi pagkakapantay-pantay ng form na "mas maliit ang module", kaya't tinanggal namin ang module gamit ang kilalang algorithm:

\[-\kaliwa(-3\kaliwa(x+1 \kanan) \kanan) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\kaliwa(x+1 \kanan)\]

Ngayon pansinin: may magsasabi na medyo pervert ako sa lahat ng panaklong ito. Ngunit hayaan mong ipaalala ko sa iyo muli na ang aming pangunahing layunin ay wastong lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay at makuha ang sagot. Sa ibang pagkakataon, kapag ganap mong napag-aralan ang lahat ng inilarawan sa araling ito, maaari mo itong ilihis sa iyong sarili ayon sa gusto mo: buksan ang mga panaklong, magdagdag ng mga minus, atbp.

Magsimula tayo sa pamamagitan lamang ng pagtanggal dobleng minus kaliwa:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\kaliwa(x+1 \kanan)\]

Ngayon buksan natin ang lahat ng mga bracket sa double inequality:

Lumipat tayo sa dobleng hindi pagkakapantay-pantay. Sa pagkakataong ito ang mga kalkulasyon ay magiging mas seryoso:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( align)\kanan.\]

Ang parehong mga hindi pagkakapantay-pantay ay parisukat at maaaring malutas sa pamamagitan ng paraan ng agwat (kaya nga sinasabi ko: kung hindi mo alam kung ano ito, mas mahusay na huwag kumuha ng mga module pa). Lumipat tayo sa equation sa unang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, ang output ay hindi kumpleto quadratic equation, na maaaring malutas sa isang elementarya na paraan. Ngayon tingnan natin ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Doon ay kailangan mong ilapat ang teorama ni Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Minarkahan namin ang mga nagresultang numero sa dalawang magkatulad na linya (hiwalay para sa unang hindi pagkakapantay-pantay at hiwalay para sa pangalawa):
Muli, dahil nilulutas namin ang isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, interesado kami sa intersection ng mga shaded set: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Ito ang sagot.
Sagot: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Sa palagay ko pagkatapos ng mga halimbawang ito ang scheme ng solusyon ay napakalinaw:

Ihiwalay ang module sa pamamagitan ng paglipat ng lahat ng iba pang termino sa kabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay. Kaya nakakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay ng form na $\left| f\right| \ltg$.
Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito sa pamamagitan ng pag-alis ng module ayon sa scheme na inilarawan sa itaas. Sa ilang mga punto, kakailanganing lumipat mula sa dobleng hindi pagkakapantay-pantay patungo sa isang sistema ng dalawang independiyenteng mga expression, na ang bawat isa ay maaari nang lutasin nang hiwalay.
Sa wakas, ang natitira na lang ay pag-intersect ang mga solusyon ng dalawang independiyenteng expression na ito - at iyon lang, makukuha natin ang huling sagot.

Ang isang katulad na algorithm ay umiiral para sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng sumusunod na uri, kapag ang module ay mas malaki kaysa sa function. Gayunpaman, mayroong isang pares ng mga seryosong "ngunit". Pag-uusapan natin ang mga "ngunit" na ito ngayon.

2. Mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyong “Modulus is greater than function”

Ganito ang hitsura nila:

\[\kaliwa| f\right| \gtg\]

Katulad ng nauna? parang. Gayunpaman, ang gayong mga problema ay nalutas sa isang ganap na naiibang paraan. Sa pormal, ang scheme ay ang mga sumusunod:

\[\kaliwa| f\right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Sa madaling salita, isinasaalang-alang namin ang dalawang kaso:

Una, binabalewala lang natin ang module at lutasin ang karaniwang hindi pagkakapantay-pantay;
Pagkatapos, sa esensya, pinalawak namin ang module na may minus sign, at pagkatapos ay i-multiply ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa −1, habang mayroon akong sign.

Sa kasong ito, ang mga pagpipilian ay pinagsama sa isang square bracket, i.e. Mayroon kaming bago sa amin ng isang kumbinasyon ng dalawang mga kinakailangan.

Pakitandaan muli: hindi ito isang sistema, ngunit isang kabuuan, samakatuwid sa sagot ang mga set ay pinagsama kaysa sa intersecting. Ito ay isang pangunahing pagkakaiba mula sa nakaraang punto!

Sa pangkalahatan, maraming estudyante ang lubos na nalilito sa mga unyon at intersection, kaya't ayusin natin ang isyung ito nang minsanan:

Ang "∪" ay isang tanda ng unyon. Sa esensya, ito ay isang naka-istilong titik na "U" na nagmula sa amin wikang Ingles at ito ay isang pagdadaglat para sa "Union", i.e. "Mga Asosasyon".
Ang "∩" ay ang intersection sign. Ang crap na ito ay hindi nagmula saanman, ngunit lumitaw lamang bilang isang counterpoint sa "∪".

Para mas madaling matandaan, iguhit lang ang mga paa sa mga palatandaang ito para gumawa ng salamin (huwag mo lang akong akusahan ngayon na nagsusulong ng pagkagumon sa droga at alkoholismo: kung seryoso mong pinag-aaralan ang araling ito, kung gayon ikaw ay adik na sa droga):

Pagkakaiba sa pagitan ng intersection at unyon ng mga set

Isinalin sa Russian, nangangahulugan ito ng sumusunod: ang unyon (kabuuan) ay kinabibilangan ng mga elemento mula sa parehong mga hanay, samakatuwid ito ay hindi mas mababa sa bawat isa sa kanila; ngunit ang intersection (system) ay kinabibilangan lamang ng mga elementong iyon na sabay-sabay sa unang set at pangalawa. Samakatuwid, ang intersection ng mga set ay hindi kailanman mas malaki kaysa sa source set.

Kaya naging mas malinaw? Magaling yan. Magpatuloy tayo sa pagsasanay.

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

Solusyon. Nagpapatuloy kami ayon sa scheme:

\[\kaliwa| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ tama.\]

Nalutas namin ang bawat hindi pagkakapantay-pantay sa populasyon:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Minarkahan namin ang bawat resultang set sa linya ng numero, at pagkatapos ay pagsamahin ang mga ito:
Unyon ng mga hanay
Halatang halata na ang magiging sagot ay $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Sagot: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gt x\]

Solusyon. Well? Wala - lahat ay pareho. Lumipat tayo mula sa isang hindi pagkakapantay-pantay na may modulus patungo sa isang hanay ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Niresolba natin ang bawat hindi pagkakapantay-pantay. Sa kasamaang palad, ang mga ugat doon ay hindi magiging napakahusay:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

Ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay medyo ligaw din:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Ngayon ay kailangan mong markahan ang mga numerong ito sa dalawang axes - isang axis para sa bawat hindi pagkakapantay-pantay. Gayunpaman, dapat na markahan ang mga puntos sa tamang pagkakasunod-sunod: kung mas malaki ang numero, mas gumagalaw ang punto sa kanan.

At narito ang isang setup na naghihintay sa amin. Kung malinaw ang lahat sa mga numerong $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (ang mga termino sa numerator ng una ang fraction ay mas mababa kaysa sa mga termino sa numerator ng pangalawa , kaya mas mababa din ang kabuuan), na may mga numerong $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ wala ring magiging kahirapan (positive number obviously more negative), tapos sa huling mag-asawa ang lahat ay hindi masyadong malinaw. Alin ang mas malaki: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ o $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Ang paglalagay ng mga puntos sa mga linya ng numero at, sa katunayan, ang sagot ay depende sa sagot sa tanong na ito.

Kaya't ihambing natin:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

Ibinukod namin ang ugat, nakakuha ng mga di-negatibong numero sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay, kaya may karapatan kaming i-square ang magkabilang panig:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

Sa palagay ko ay walang utak na $4\sqrt(13) \gt 3$, kaya $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, ang mga huling puntos sa mga palakol ay ilalagay tulad nito:
Isang kaso ng mga pangit na ugat
Ipaalala ko sa iyo na nilulutas namin ang isang koleksyon, kaya ang sagot ay isang unyon, hindi isang intersection ng mga shaded set.

Sagot: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Tulad ng nakikita mo, mahusay ang aming scheme para sa pareho mga simpleng gawain, at para sa mga napakahirap. Ang tanging bagay" mahinang punto"Sa diskarteng ito, kailangan mong mahusay na ihambing ang mga hindi makatwirang numero (at maniwala ka sa akin: hindi lamang ito mga ugat). Ngunit ang isang hiwalay (at napakaseryosong) aralin ay ilalaan sa mga isyu sa paghahambing. At magpatuloy kami.

3. Mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga hindi negatibong "buntot"

Ngayon makarating tayo sa pinakakagiliw-giliw na bahagi. Ito ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo:

\[\kaliwa| f\right| \gt \left| g\right|\]

Sa pangkalahatan, ang algorithm na pag-uusapan natin ngayon ay tama lamang para sa module. Gumagana ito sa lahat ng hindi pagkakapantay-pantay kung saan may mga garantisadong di-negatibong expression sa kaliwa at kanan:

Ano ang gagawin sa mga gawaing ito? Tandaan lamang:

Sa mga hindi pagkakapantay-pantay na may hindi negatibong "mga buntot", ang magkabilang panig ay maaaring itaas sa anumang natural na kapangyarihan. Walang karagdagang mga paghihigpit.

Una sa lahat, magiging interesado kami sa pag-squaring - sinusunog nito ang mga module at ugat:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Huwag lamang malito ito sa pagkuha ng ugat ng isang parisukat:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Hindi mabilang na mga pagkakamali ang nagawa kapag nakalimutan ng isang mag-aaral na mag-install ng module! Ngunit iyon ay isang ganap na naiibang kuwento (parang hindi makatwirang equation), kaya hindi na natin ito gagawin ngayon. Mas mahusay na lutasin natin ang ilang mga problema:

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Solusyon. Agad nating pansinin ang dalawang bagay:

Ito ay hindi isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga puntos sa linya ng numero ay mabutas.

Ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay malinaw na hindi negatibo (ito ay isang pag-aari ng module: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Samakatuwid, maaari nating parisukat ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay upang maalis ang modulus at malutas ang problema gamit ang karaniwang paraan ng pagitan:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(align)\]

Naka-on huling hakbang Nagdaya ako ng kaunti: Binago ko ang pagkakasunud-sunod ng mga termino, sinasamantala ang pantay ng module (sa katunayan, pinarami ko ang expression na $1-2x$ sa −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ kanan)\kanan)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Malutas namin gamit ang paraan ng agwat. Lumipat tayo mula sa hindi pagkakapantay-pantay patungo sa equation:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Markahan namin ang nahanap na mga ugat sa linya ng numero. Muli: ang lahat ng mga punto ay may kulay dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit!
Pag-alis ng modulus sign
Hayaan akong ipaalala sa iyo para sa mga lalo na matigas ang ulo: kinukuha namin ang mga palatandaan mula sa huling hindi pagkakapantay-pantay, na isinulat bago lumipat sa equation. At pinipinta namin ang mga lugar na kinakailangan sa parehong hindi pagkakapantay-pantay. Sa aming kaso ito ay $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Well, yun lang. Ang problema ay nalutas.

Sagot: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \kanan|\]

Solusyon. Ginagawa namin ang lahat ng pareho. Hindi ako magkokomento - tingnan lamang ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon.

Kuwadrado ito:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left |. ((x)^(2))+3x+4 \kanan|. \\ at ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \kanan))^(2)); \\ at ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ kanan))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Paraan ng pagitan:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Rightarrow x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Mayroon lamang isang ugat sa linya ng numero:
Ang sagot ay isang buong pagitan
Sagot: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Isang maliit na tala tungkol sa huling gawain. Tulad ng tumpak na nabanggit ng isa sa aking mga mag-aaral, ang parehong mga submodular na expression sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay malinaw na positibo, kaya ang modulus sign ay maaaring tanggalin nang walang pinsala sa kalusugan.

Ngunit ito ay isang ganap na naiibang antas ng pag-iisip at ibang diskarte - maaari itong kondisyon na tinatawag na paraan ng mga kahihinatnan. Tungkol dito - sa isang hiwalay na aralin. Ngayon ay lumipat tayo sa huling bahagi ng aralin ngayon at tingnan ang isang pangkalahatang algorithm na palaging gumagana. Kahit na ang lahat ng mga nakaraang diskarte ay walang kapangyarihan :)

4. Paraan ng enumeration ng mga opsyon

Paano kung ang lahat ng mga pamamaraan na ito ay hindi makakatulong? Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi maaaring bawasan sa mga di-negatibong buntot, kung imposibleng ihiwalay ang modyul, kung sa pangkalahatan ay may sakit, kalungkutan, mapanglaw?

Pagkatapos ay ang "mabigat na artilerya" ng lahat ng matematika ay dumating sa eksena-ang paraan ng brute force. Kaugnay ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa modulus, ganito ang hitsura:

Isulat ang lahat ng mga submodular na expression at itakda ang mga ito katumbas ng zero;
Lutasin ang mga resultang equation at markahan ang mga ugat na matatagpuan sa isang linya ng numero;
Ang tuwid na linya ay hahatiin sa ilang mga seksyon, kung saan ang bawat module ay may isang nakapirming palatandaan at samakatuwid ay katangi-tanging inihayag;
Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay sa bawat naturang seksyon (maaari mong hiwalay na isaalang-alang ang mga ugat-hangganan na nakuha sa hakbang 2 - para sa pagiging maaasahan). Pagsamahin ang mga resulta - ito ang magiging sagot :)

Kaya paano? mahina? Madali lang! Sa loob lamang ng mahabang panahon. Tingnan natin sa pagsasanay:

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| x+2 \kanan| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Solusyon. Ang crap na ito ay hindi kumukulo sa mga hindi pagkakapantay-pantay tulad ng $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ o $\left| f\right| \lt \kaliwa| g \right|$, kaya kumilos tayo nang maaga.

Isinulat namin ang mga submodular na expression, itinutumbas ang mga ito sa zero at hanapin ang mga ugat:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\end(align)\]

Sa kabuuan, mayroon kaming dalawang ugat na naghahati sa linya ng numero sa tatlong seksyon, kung saan ang bawat module ay natatangi:
Paghati sa linya ng numero sa pamamagitan ng mga zero ng submodular function
Tingnan natin ang bawat seksyon nang hiwalay.

1. Hayaan ang $x \lt -2$. Pagkatapos ang parehong mga submodular na expression ay negatibo, at ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay muling isusulat tulad ng sumusunod:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Mayroon kaming medyo simpleng limitasyon. I-intersect natin ito sa paunang pagpapalagay na $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Malinaw, ang variable na $x$ ay hindi maaaring sabay na mas mababa sa −2 at mas malaki sa 1.5. Walang mga solusyon sa lugar na ito.

1.1. Isaalang-alang natin nang hiwalay ang borderline case: $x=-2$. Ipalit na lang natin ang numerong ito sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay at suriin: totoo ba ito?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\kanan|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Malinaw na ang kadena ng mga kalkulasyon ay humantong sa amin sa isang hindi tamang hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay mali rin, at ang $x=-2$ ay hindi kasama sa sagot.

2. Hayaan ngayon $-2 \lt x \lt 1$. Magbubukas na ang kaliwang module na may "plus", ngunit ang kanan ay magbubukas pa rin ng "minus". Mayroon kaming:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Muli kaming bumalandra sa orihinal na kinakailangan:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

At muli, ang hanay ng mga solusyon ay walang laman, dahil walang mga numero na parehong mas mababa sa −2.5 at mas malaki sa −2.

2.1. At muli espesyal na kaso: $x=1$. Pinapalitan namin ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\kanan| \lt \left| 0\kanan|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Katulad ng nakaraang "espesyal na kaso", ang numerong $x=1$ ay malinaw na hindi kasama sa sagot.

3. Ang huling piraso ng linya: $x \gt 1$. Narito ang lahat ng mga module ay binuksan na may plus sign:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

At muli naming i-intersect ang natagpuang set na may orihinal na pagpilit:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Well, sa wakas! Nakahanap kami ng pagitan na magiging sagot.

Sagot: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Panghuli, isang pangungusap na maaaring magligtas sa iyo mula sa mga hangal na pagkakamali kapag nilulutas ang mga tunay na problema:

Ang mga solusyon sa mga hindi pagkakapantay-pantay na may moduli ay karaniwang kumakatawan sa mga tuluy-tuloy na hanay sa linya ng numero - mga pagitan at mga segment. Ang mga nakahiwalay na punto ay hindi gaanong karaniwan. At kahit na mas madalas, nangyayari na ang hangganan ng solusyon (ang dulo ng segment) ay tumutugma sa hangganan ng saklaw na isinasaalang-alang.

Dahil dito, kung ang mga hangganan (ang parehong "mga espesyal na kaso") ay hindi kasama sa sagot, kung gayon ang mga lugar sa kaliwa at kanan ng mga hangganan na ito ay halos tiyak na hindi isasama sa sagot. At kabaliktaran: ang hangganan ay pumasok sa sagot, na nangangahulugan na ang ilang mga lugar sa paligid nito ay magiging mga sagot din.

Isaisip ito kapag sinusuri ang iyong mga solusyon.

Mayroong ilang mga paraan upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng isang modulus. Tingnan natin ang ilan sa kanila.

1) Paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay gamit ang geometric na katangian ng module.

Ipaalala ko sa iyo kung ano ang geometric na katangian ng isang modulus: ang modulus ng isang numerong x ay ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa puntong may coordinate x.

Kapag nilutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang pamamaraang ito, maaaring lumitaw ang dalawang kaso:

1. |x| ≤ b,

At ang hindi pagkakapantay-pantay sa modulus ay malinaw na bumababa sa isang sistema ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay. Dito ang tanda ay maaaring maging mahigpit, kung saan ang mga tuldok sa larawan ay "mabutas".

2. |x| ≥ b, pagkatapos ay ang larawan ng solusyon ay ganito:

At ang hindi pagkakapantay-pantay sa modulus ay malinaw na bumababa sa isang kumbinasyon ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay. Dito ang tanda ay maaaring maging mahigpit, kung saan ang mga tuldok sa larawan ay "mabutas".

Halimbawa 1.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay |4 – |x|| ≥ 3.

Solusyon.

Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng sumusunod na hanay:

U [-1;1] U

Halimbawa 2.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay ||x+2| – 3| ≤ 2.

Solusyon.

Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng sumusunod na sistema.

(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.

Hiwalay nating lutasin ang unang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Ito ay katumbas ng sumusunod na hanay:

U[-1; 3].

2) Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang kahulugan ng modulus.

Paalalahanan ko muna kayo kahulugan ng modyul.

|a| = a kung a ≥ 0 at |a| = -a kung a< 0.

Halimbawa, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.

Halimbawa 1.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 3|x – 1| ≤ x+3.

Solusyon.

Gamit ang kahulugan ng module nakakakuha tayo ng dalawang sistema:

(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3

(x – 1< 0
(-3(x – 1) ≤ x + 3.

Paglutas ng una at pangalawang sistema nang hiwalay, nakukuha namin ang:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(x< 1
(x ≥ 0.

Ang solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay ang lahat ng solusyon ng unang sistema at lahat ng solusyon ng pangalawang sistema.

Sagot: x € .

3) Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pag-squaring.

Halimbawa 1.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.

Solusyon.

Ilapat natin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay. Hayaan akong tandaan na maaari mong parisukat ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay kung pareho silang positibo. Sa kasong ito, mayroon kaming mga module sa kaliwa at kanan, kaya magagawa namin ito.

(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

Ngayon ay gamitin natin ang sumusunod na katangian ng module: (|x|) 2 = x 2 .

(x 2 – 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.

(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1)< 0,

(x – 2)(2x 2 – x)< 0,

x(x – 2)(2x – 1)< 0.

Malutas namin gamit ang paraan ng agwat.

Sagot: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pagbabago ng mga variable.

Halimbawa.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Solusyon.

Tandaan na (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Pagkatapos ay nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Gawin natin ang pagbabago y = |2x + 3|.

Muli nating isulat ang ating hindi pagkakapantay-pantay na isinasaalang-alang ang kapalit.

y 2 – y ≤ 30,

y 2 – y – 30 ≤ 0.

I-factorize natin ang quadratic trinomial sa kaliwa.

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 – 11) / 2,

(y – 6)(y + 5) ≤ 0.

Lutasin natin gamit ang interval method at makuha ang:

Bumalik tayo sa kapalit:

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.

Ang dobleng hindi pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay:

(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.

Lutasin natin ang bawat isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay.

Ang una ay katumbas ng sistema

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

Solusyonan natin ito.

(x ≤ 1.5
(x ≥ -4.5.

Ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay malinaw na humahawak para sa lahat ng x, dahil ang modulus ay, sa pamamagitan ng kahulugan, isang positibong numero. Dahil ang solusyon sa system ay lahat ng x na sabay-sabay na nagbibigay-kasiyahan sa una at pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng system, kung gayon ang solusyon sa orihinal na sistema ang magiging solusyon sa una nitong dobleng hindi pagkakapantay-pantay (pagkatapos ng lahat, ang pangalawa ay totoo para sa lahat ng x) .

Sagot: x € [-4.5; 1.5].

blog.site, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa orihinal na pinagmulan.

Mathematics ay isang simbolo ng karunungan ng agham,

isang modelo ng siyentipikong higpit at pagiging simple,

ang pamantayan ng kahusayan at kagandahan sa agham.

Russian pilosopo, propesor A.V. Voloshinov

Mga hindi pagkakapantay-pantay sa modulus

Ang pinakamahirap na problemang lutasin sa matematika ng paaralan ay ang mga hindi pagkakapantay-pantay, naglalaman ng mga variable sa ilalim ng modulus sign. Upang matagumpay na malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, kailangan mong magkaroon ng isang mahusay na kaalaman sa mga katangian ng modyul at magkaroon ng mga kasanayan sa paggamit ng mga ito.

Mga pangunahing konsepto at katangian

Module ( ganap na halaga) tunay na numero ipinapahiwatig ng at tinukoy bilang mga sumusunod:

Ang mga simpleng katangian ng isang module ay kinabibilangan ng mga sumusunod na relasyon:

AT .

Tandaan, na ang huling dalawang pag-aari ay may bisa para sa anumang kahit na antas.

Bukod dito, kung, saan, pagkatapos at

Mas kumplikadong mga katangian ng module, na mabisang magagamit sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa moduli, ay nabuo sa pamamagitan ng mga sumusunod na theorems:

Teorama 1.Para sa anumang analytical function At totoo ang hindi pagkakapantay-pantay.

Teorama 2. Pagkakapantay-pantay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay.

Teorama 3. Pagkakapantay-pantay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay.

Ang pinakakaraniwang hindi pagkakapantay-pantay sa matematika ng paaralan, naglalaman ng mga hindi kilalang variable sa ilalim ng modulus sign, ay mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo at , saan ilang positibong pare-pareho.

Teorama 4. Hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay, at ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantaybumababa sa paglutas ng isang hanay ng mga hindi pagkakapantay-pantay At .

Ang theorem na ito ay isang espesyal na kaso ng Theorems 6 at 7.

Mas kumplikadong hindi pagkakapantay-pantay, na naglalaman ng isang module ay hindi pagkakapantay-pantay ng form, At .

Ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring buuin gamit ang sumusunod na tatlong teorema.

Teorama 5. Hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

ako (1)

Patunay. Simula noon

Ito ay nagpapahiwatig ng bisa ng (1).

Teorama 6. Hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

Patunay. kasi , pagkatapos ay mula sa hindi pagkakapantay-pantay sinusundan nito iyon . Sa ilalim ng kondisyong ito, ang hindi pagkakapantay-pantayat sa kasong ito ang pangalawang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay (1) ay lalabas na hindi naaayon.

Ang teorama ay napatunayan.

Teorama 7. Hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng kumbinasyon ng isang hindi pagkakapantay-pantay at dalawang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

ako (3)

Patunay. Simula noon, ang hindi pagkakapantay-pantay palaging pinapatay, Kung .

Hayaan pagkatapos ay hindi pagkakapantay-pantayay magiging katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay, mula sa kung saan ay sumusunod sa isang set ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay At .

Ang teorama ay napatunayan.

Tingnan natin ang mga karaniwang halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang “Hindi pagkakapantay-pantay, naglalaman ng mga variable sa ilalim ng modulus sign."

Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang modulus

Karamihan simpleng paraan Ang paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa modulus ay ang pamamaraan, batay sa pagpapalawak ng modyul. Ang pamamaraang ito ay unibersal, gayunpaman, sa pangkalahatang kaso, ang paggamit nito ay maaaring humantong sa napakahirap na kalkulasyon. Samakatuwid, dapat malaman ng mga mag-aaral ang iba pang (mas epektibong) pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay. Sa partikular, kinakailangang magkaroon ng mga kasanayan sa paglalapat ng mga teorema, ibinigay sa artikulong ito.

Halimbawa 1.Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (4)

Solusyon.Lutasin natin ang hindi pagkakapantay-pantay (4) gamit ang "klasikal" na pamamaraan - ang paraan ng paglalahad ng mga module. Para sa layuning ito, hinahati namin ang axis ng numero tuldok at sa pagitan at isaalang-alang ang tatlong mga kaso.

1. Kung , kung gayon , , , at ang hindi pagkakapantay-pantay (4) ay nasa anyo o .

Dahil ang kaso ay isinasaalang-alang dito, ito ay isang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (4).

2. Kung, pagkatapos ay mula sa hindi pagkakapantay-pantay (4) makuha namin o . Dahil ang intersection ng mga pagitan At ay walang laman, pagkatapos ay sa pagitan ng mga solusyon na isinasaalang-alang walang hindi pagkakapantay-pantay (4).

3. Kung, pagkatapos ang hindi pagkakapantay-pantay (4) ay kumukuha ng anyo o . Obvious naman yun ay isa ring solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (4).

Sagot: , .

Halimbawa 2. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay.

Solusyon. Ipagpalagay natin na. kasi , pagkatapos ay ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay ay tumatagal ng anyo o . Simula noon at mula rito ay sumusunod o .

Gayunpaman, samakatuwid o.

Halimbawa 3. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (5)

Solusyon. kasi , kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay (5) ay katumbas ng mga hindi pagkakapantay-pantay o . Mula rito, ayon sa Theorem 4, mayroon tayong isang hanay ng mga hindi pagkakapantay-pantay At .

Sagot: , .

Halimbawa 4.Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (6)

Solusyon. Tukuyin natin ang . Pagkatapos mula sa hindi pagkakapantay-pantay (6) nakukuha natin ang mga hindi pagkakapantay-pantay , , o .

Mula rito, gamit ang paraan ng pagitan, nakukuha namin . kasi , tapos dito meron tayong system of inequalities

Ang solusyon sa unang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema (7) ay ang pagsasama ng dalawang pagitan at , at ang solusyon sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay ang dobleng hindi pagkakapantay-pantay. Kasunod nito, na ang solusyon sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay (7) ay ang pagsasama ng dalawang pagitan At .

Sagot: ,

Halimbawa 5.Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (8)

Solusyon. Ibahin natin ang hindi pagkakapantay-pantay (8) gaya ng sumusunod:

O kaya .

Gamit ang paraan ng pagitan, nakakakuha tayo ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (8).

Sagot: .

Tandaan. Kung ilalagay natin at sa mga kondisyon ng Theorem 5, makukuha natin .

Halimbawa 6. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (9)

Solusyon. Mula sa hindi pagkakapantay-pantay (9) ito ay sumusunod. Ibahin natin ang hindi pagkakapantay-pantay (9) gaya ng sumusunod:

O kaya

Mula noon o .

Sagot: .

Halimbawa 7.Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (10)

Solusyon. Simula at , noon o .

Sa bagay na ito at ang hindi pagkakapantay-pantay (10) ay nasa anyo

O kaya

. (11)

Kasunod nito o . Since , then inequality (11) also implies or .

Sagot: .

Tandaan. Kung ilalapat natin ang Theorem 1 sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay (10), pagkatapos makuha namin . Mula dito at hindi pagkakapantay-pantay (10) ito ay sumusunod, ano o . kasi , pagkatapos ay ang hindi pagkakapantay-pantay (10) ay kumukuha ng anyo o .

Halimbawa 8. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (12)

Solusyon. Simula noon at mula sa hindi pagkakapantay-pantay (12) ito ay sumusunod o . Gayunpaman, samakatuwid o. Mula dito nakukuha natin o .

Sagot: .

Halimbawa 9. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (13)

Solusyon. Ayon sa Theorem 7, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (13) ay o .

Hayaan mo na ngayon. Kung ganoon at ang hindi pagkakapantay-pantay (13) ay nasa anyo o .

Kung pagsasamahin mo ang mga pagitan at , pagkatapos ay makakakuha tayo ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (13) ng anyo.

Halimbawa 10. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (14)

Solusyon. Isulat muli natin ang hindi pagkakapantay-pantay (14) sa isang katumbas na anyo: . Kung ilalapat natin ang Theorem 1 sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay na ito, makukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay .

Mula dito at mula sa Theorem 1 ito ay sumusunod, na ang hindi pagkakapantay-pantay (14) ay nasiyahan para sa anumang mga halaga.

Sagot: anumang numero.

Halimbawa 11. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (15)

Solusyon. Paglalapat ng Theorem 1 sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay (15), nakukuha namin . Ito at ang hindi pagkakapantay-pantay (15) ay nagbubunga ng equation, na may anyo.

Ayon sa Theorem 3, equation katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay. Mula dito nakukuha natin.

Halimbawa 12.Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (16)

Solusyon. Mula sa hindi pagkakapantay-pantay (16), ayon sa Theorem 4, nakakakuha tayo ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

Kapag nilulutas ang hindi pagkakapantay-pantayGamitin natin ang Theorem 6 at kumuha ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantaymula sa kung saan ito ay sumusunod.

Isaalang-alang ang hindi pagkakapantay-pantay. Ayon sa Theorem 7, nakakakuha tayo ng isang hanay ng mga hindi pagkakapantay-pantay At . Ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng populasyon ay may bisa para sa anumang tunay.

Samakatuwid, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (16) ay.

Halimbawa 13.Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (17)

Solusyon. Ayon sa Theorem 1, maaari tayong sumulat

(18)

Isinasaalang-alang ang hindi pagkakapantay-pantay (17), napagpasyahan namin na ang parehong hindi pagkakapantay-pantay (18) ay nagiging mga pagkakapantay-pantay, i.e. mayroong isang sistema ng mga equation

Sa pamamagitan ng Theorem 3 ang sistemang ito ang mga equation ay katumbas ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

Halimbawa 14.Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (19)

Solusyon. Simula noon. I-multiply natin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay (19) sa expression na , na kumukuha lamang ng mga positibong halaga para sa anumang mga halaga. Pagkatapos ay nakakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay na katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay (19), ng anyo

Mula dito kami kumukuha o , saan . Simula at kung gayon ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (19) ay At .

Sagot: , .

Para sa isang mas malalim na pag-aaral ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang isang modulus, inirerekumenda namin na bumaling sa mga aklat-aralin, ibinigay sa listahan ng mga inirerekomendang literatura.

1. Koleksyon ng mga problema sa matematika para sa mga aplikante sa mga kolehiyo / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Kapayapaan at Edukasyon, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matematika para sa mga mag-aaral sa high school: mga paraan ng paglutas at pagpapatunay ng mga hindi pagkakapantay-pantay. – M.: Lenand / URSS, 2018. – 264 p.

3. Suprun V.P. Matematika para sa mga mag-aaral sa high school: hindi karaniwang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 p.

May mga tanong pa ba?

Upang makakuha ng tulong mula sa isang tutor, magparehistro.

website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.