Paano makahanap ng mga trigonometric equation sa isang pagitan. Paglutas ng mga trigonometrikong equation at pamamaraan para sa pagpili ng mga ugat sa isang naibigay na pagitan

27. Pumili tayo ng mga ugat sa isang partikular na segment

28. 10. Lutasin ang equation na 2sin2x =4cos x –sinx+1 Hanapin ang mga ugat nito sa pagitan [/2; 3/2]

29. Pumili tayo ng mga ugat gamit ang isang bilog

Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, pamamaraang panghukuman, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga awtoridad ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - upang ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Paggalang sa iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Sa iyong kahilingan!

13. Lutasin ang equation na 3-4cos 2 x=0. Hanapin ang kabuuan ng mga ugat nito na kabilang sa pagitan.

Bawasan natin ang antas ng cosine gamit ang formula: 1+cos2α=2cos 2 α. Kumuha kami ng katumbas na equation:

3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. Hinahati namin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng (-2) at makuha ang pinakasimpleng trigonometric equation:

14. Hanapin ang b 5 ng geometric progression kung b 4 =25 at b 6 =16.

Ang bawat termino ng geometric progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng arithmetic mean ng mga katabing termino nito:

(b n) 2 =b n-1 ∙b n+1 . Mayroon tayong (b 5) 2 =b 4 ∙b 6 ⇒ (b 5) 2 =25·16 ⇒ b 5 =±5·4 ⇒ b 5 =±20.

15. Hanapin ang derivative ng function: f(x)=tgx-ctgx.

16. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function y(x)=x 2 -12x+27

sa segment.

Upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function y=f(x) sa segment, kailangan mong hanapin ang mga halaga ng function na ito sa mga dulo ng segment at sa mga kritikal na punto na kabilang sa segment na ito, at pagkatapos ay piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit mula sa lahat ng nakuhang halaga.

Hanapin natin ang mga halaga ng function sa x=3 at sa x=7, i.e. sa dulo ng segment.

y(3)=3 2 -12∙3+27 =9-36+27=0;

y(7)=7 2 -12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.

Hanapin ang derivative ng function na ito: y’(x)=(x 2 -12x+27)’ =2x-12=2(x-6); ang kritikal na punto x=6 ay kabilang sa pagitan na ito. Hanapin natin ang halaga ng function sa x=6.

y(6)=6 2 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. Ngayon pumili kami mula sa tatlong nakuhang halaga: 0; -8 at -9 pinakamalaki at pinakamaliit: sa pinakamalaki. =0; sa pangalan =-9.

17. Hanapin ang pangkalahatang anyo ng mga antiderivatives para sa function:

Ang interval na ito ay ang domain ng kahulugan ng function na ito. Ang mga sagot ay dapat magsimula sa F(x), at hindi sa f(x) - pagkatapos ng lahat, naghahanap kami ng isang antiderivative. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang function na F(x) ay isang antiderivative ng function na f(x) kung ang pagkakapantay-pantay ay: F'(x)=f(x). Kaya't maaari mo lamang mahanap ang mga derivatives ng mga iminungkahing sagot hanggang makuha mo ang ibinigay na function. Ang isang mahigpit na solusyon ay ang pagkalkula ng integral ng isang naibigay na function. Inilapat namin ang mga formula:

19. Sumulat ng equation para sa linyang naglalaman ng median BD ng triangle ABC kung ang mga vertices nito ay A(-6; 2), B(6; 6) C(2; -6).

Upang ipunin ang equation ng isang linya, kailangan mong malaman ang mga coordinate ng 2 puntos ng linyang ito, ngunit alam lang natin ang mga coordinate ng point B. Dahil hinahati ng median BD ang kabaligtaran sa kalahati, ang point D ay ang midpoint ng segment AC. Ang mga coordinate ng gitna ng isang segment ay ang kalahating kabuuan ng mga katumbas na coordinate ng mga dulo ng segment. Hanapin natin ang mga coordinate ng point D.

20. Kalkulahin:

24. Ang lugar ng isang regular na tatsulok na nakahiga sa base ng isang kanang prisma ay katumbas ng

Ang problemang ito ay ang kabaligtaran ng problema No. 24 mula sa opsyon 0021.

25. Hanapin ang pattern at ipasok ang nawawalang numero: 1; 4; 9; 16; ...

Malinaw na ang numerong ito 25 , dahil binibigyan tayo ng pagkakasunod-sunod ng mga parisukat ng mga natural na numero:

1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …

Good luck at tagumpay sa lahat!

Upang matagumpay na malutas trigonometriko equation maginhawang gamitin paraan ng pagbabawas sa mga naunang nalutas na problema. Alamin natin kung ano ang kakanyahan ng pamamaraang ito?

Sa anumang iminungkahing problema, kailangan mong makita ang isang dating nalutas na problema, at pagkatapos, gamit ang sunud-sunod na katumbas na mga pagbabago, subukang bawasan ang problemang ibinigay sa iyo sa isang mas simple.

Kaya, kapag nilulutas ang mga trigonometrikong equation, kadalasan ay lumilikha sila ng tiyak na finite sequence ng mga katumbas na equation, ang huling link kung saan ay isang equation na may malinaw na solusyon. Mahalaga lamang na tandaan na kung ang mga kasanayan para sa paglutas ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko ay hindi binuo, kung gayon ang paglutas ng mas kumplikadong mga equation ay magiging mahirap at hindi epektibo.

Bilang karagdagan, kapag nilulutas ang mga equation ng trigonometriko, hindi mo dapat kalimutan na mayroong ilang mga posibleng paraan ng solusyon.

Halimbawa 1. Hanapin ang bilang ng mga ugat ng equation cos x = -1/2 sa pagitan.

Solusyon:

Pamamaraan I I-plot natin ang mga function na y = cos x at y = -1/2 at hanapin ang bilang ng kanilang mga karaniwang puntos sa pagitan (Fig. 1).

Dahil ang mga graph ng mga function ay may dalawang karaniwang mga punto sa pagitan, ang equation ay naglalaman ng dalawang ugat sa pagitan na ito.

II pamamaraan. Gamit ang isang trigonometric na bilog (Larawan 2), nalaman natin ang bilang ng mga puntos na kabilang sa pagitan kung saan ang cos x = -1/2. Ipinapakita ng figure na ang equation ay may dalawang ugat.

III paraan. Gamit ang formula para sa mga ugat ng trigonometric equation, malulutas namin ang equation cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k – integer (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – integer (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k – integer (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k – integer (k € Z).

Ang pagitan ay naglalaman ng mga ugat na 2π/3 at -2π/3 + 2π, ang k ay isang integer. Kaya, ang equation ay may dalawang ugat sa isang naibigay na pagitan.

Sagot: 2.

Sa hinaharap, ang mga trigonometric equation ay malulutas gamit ang isa sa mga iminungkahing pamamaraan, na sa maraming mga kaso ay hindi ibinubukod ang paggamit ng iba pang mga pamamaraan.

Halimbawa 2. Hanapin ang bilang ng mga solusyon sa equation na tg (x + π/4) = 1 sa pagitan [-2π; 2π].

Solusyon:

Gamit ang formula para sa mga ugat ng isang trigonometric equation, nakukuha natin ang:

x + π/4 = arctan 1 + πk, k – integer (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k – integer (k € Z);

x = πk, k – integer (k € Z);

Ang pagitan [-2π; 2π] nabibilang sa mga numero -2π; -π; 0; π; 2π. Kaya, ang equation ay may limang ugat sa isang naibigay na pagitan.

Sagot: 5.

Halimbawa 3. Hanapin ang bilang ng mga ugat ng equation cos 2 x + sin x · cos x = 1 sa pagitan [-π; π].

Solusyon:

Dahil 1 = sin 2 x + cos 2 x (ang pangunahing trigonometric identity), ang orihinal na equation ay nasa anyo:

cos 2 x + sin x · cos x = sin 2 x + cos 2 x;

kasalanan 2 x – kasalanan x cos x = 0;

sin x(sin x – cos x) = 0. Ang produkto ay katumbas ng zero, na nangangahulugang kahit isa sa mga salik ay dapat na katumbas ng zero, samakatuwid:

sin x = 0 o sin x – cos x = 0.

Dahil ang mga halaga ng variable kung saan ang cos x = 0 ay hindi ang mga ugat ng pangalawang equation (ang sine at cosine ng parehong numero ay hindi maaaring katumbas ng zero sa parehong oras), hinahati namin ang magkabilang panig ng pangalawang equation. sa pamamagitan ng cos x:

sin x = 0 o sin x / cos x - 1 = 0.

Sa pangalawang equation ginagamit namin ang katotohanan na tg x = sin x / cos x, pagkatapos:

sin x = 0 o tan x = 1. Gamit ang mga formula na mayroon tayo:

x = πk o x = π/4 + πk, k – integer (k € Z).

Mula sa unang serye ng mga ugat hanggang sa pagitan [-π; π] nabibilang sa mga numero -π; 0; π. Mula sa pangalawang serye: (π/4 – π) at π/4.

Kaya, ang limang ugat ng orihinal na equation ay nabibilang sa pagitan [-π; π].

Sagot: 5.

Halimbawa 4. Hanapin ang kabuuan ng mga ugat ng equation tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 sa pagitan [-π; 1.1π].

Solusyon:

Isulat muli natin ang equation tulad ng sumusunod:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 at gumawa ng kapalit.

Hayaan ang tg x + сtgx = a. I-square natin ang magkabilang panig ng equation:

(tg x + сtg x) 2 = a 2 . Palawakin natin ang mga bracket:

tg 2 x + 2tg x · сtgx + сtg 2 x = a 2.

Dahil tg x · сtgx = 1, pagkatapos ay tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2, ibig sabihin

tg 2 x + сtg 2 x = a 2 – 2.

Ngayon ang orihinal na equation ay mukhang:

a 2 – 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Gamit ang theorem ni Vieta, makikita natin na a = -1 o a = -2.

Gawin natin ang reverse substitution, mayroon tayong:

tg x + сtgx = -1 o tg x + сtgx = -2. Lutasin natin ang mga resultang equation.

tg x + 1/tgx = -1 o tg x + 1/tgx = -2.

Sa pamamagitan ng pag-aari ng dalawang magkabilang kabaligtaran na mga numero, tinutukoy namin na ang unang equation ay walang mga ugat, at mula sa pangalawang equation mayroon kaming:

tg x = -1, ibig sabihin. x = -π/4 + πk, k – integer (k € Z).

Ang pagitan [-π; 1,1π] nabibilang sa mga ugat: -π/4; -π/4 + π. Ang kanilang kabuuan:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Sagot: π/2.

Halimbawa 5. Hanapin ang arithmetic mean ng mga ugat ng equation na sin 3x + sin x = sin 2x sa pagitan ng [-π; 0.5π].

Solusyon:

Gamitin natin ang formula na sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α – β)/2), pagkatapos

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x at ang equation ay nagiging

2sin 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Alisin natin sa mga bracket ang common factor sin 2x

sin 2x(2cos x – 1) = 0. Lutasin ang resultang equation:

sin 2x = 0 o 2cos x – 1 = 0;

sin 2x = 0 o cos x = 1/2;

2x = πk o x = ±π/3 + 2πk, k – integer (k € Z).

Kaya tayo ay may mga ugat

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – integer (k € Z).

Ang pagitan [-π; 0.5π] nabibilang sa mga ugat -π; -π/2; 0; π/2 (mula sa unang serye ng mga ugat); π/3 (mula sa pangalawang serye); -π/3 (mula sa ikatlong serye). Ang kanilang arithmetic mean ay:

(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.

Sagot: -π/6.

Halimbawa 6. Hanapin ang bilang ng mga ugat ng equation na sin x + cos x = 0 sa pagitan [-1.25π; 2π].

Solusyon:

Ang equation na ito ay isang homogenous na equation ng unang degree. Hatiin natin ang parehong bahagi nito sa cosx (ang mga halaga ng variable kung saan ang cos x = 0 ay hindi mga ugat ng equation na ito, dahil ang sine at cosine ng parehong numero ay hindi maaaring katumbas ng zero sa parehong oras). Ang orihinal na equation ay:

x = -π/4 + πk, k – integer (k € Z).

Ang pagitan [-1.25π; 2π] nabibilang sa mga ugat -π/4; (-π/4 + π); at (-π/4 + 2π).

Kaya, ang ibinigay na pagitan ay naglalaman ng tatlong ugat ng equation.

Sagot: 3.

Matutong gawin ang pinakamahalagang bagay - malinaw na isipin ang isang plano para sa paglutas ng isang problema, at pagkatapos ay ang anumang trigonometriko equation ay nasa iyong kamay.

May mga tanong pa ba? Hindi mo alam kung paano lutasin ang mga equation ng trigonometriko?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tutor, magparehistro.

website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.