Kako faktorizirati slovni izraz. Polinomi

Općenito, ovaj zadatak zahtijeva kreativan pristup, jer ne postoji univerzalna metoda za njegovo rješavanje. Ali pokušajmo dati nekoliko savjeta.

U velikoj većini slučajeva, faktorizacija polinoma temelji se na korolariji Bezoutovog teorema, to jest, korijen se pronalazi ili odabire i stupanj polinoma se smanjuje za jedan dijeljenjem s . Traži se korijen dobivenog polinoma i postupak se ponavlja do potpunog proširenja.

Ako se korijen ne može pronaći, tada se koriste specifične metode proširenja: od grupiranja do uvođenja dodatnih međusobno isključivih pojmova.

Daljnje izlaganje temelji se na vještinama rješavanja jednadžbi više stupnjeve s cjelobrojnim koeficijentima.

Izbacivanje zajedničkog faktora u zagrade.

Počnimo s najjednostavnijim slučajem, kada je slobodni član jednak nuli, odnosno polinom ima oblik .

Očito je korijen takvog polinoma , odnosno polinom možemo prikazati u obliku .

Ova metoda nije ništa više od izbacivanje zajedničkog faktora iz zagrada.

Primjer.

Faktorirajte polinom trećeg stupnja.

Riješenje.

Očito, koji je korijen polinoma, tj x može se izvući iz zagrada:

Nađimo korijene kvadratnog trinoma

Tako,

Vrh stranice

Rastavljanje polinoma na faktore s racionalnim korijenima.

Prvo, razmotrimo metodu za proširenje polinoma s cjelobrojnim koeficijentima oblika , pri čemu je koeficijent najvišeg stupnja jednak jedan.

U ovom slučaju, ako polinom ima cjelobrojne korijene, onda su oni djelitelji slobodnog člana.

Primjer.

Riješenje.

Provjerimo ima li netaknutih korijena. Da biste to učinili, zapišite djelitelje broja -18 : . To jest, ako polinom ima cjelobrojne korijene, onda su oni među napisanim brojevima. Provjerimo ove brojeve redom koristeći Hornerovu shemu. Njegova pogodnost također leži u činjenici da na kraju dobivamo koeficijente proširenja polinoma:

To je, x=2 I x=-3 su korijeni izvornog polinoma i možemo ga predstaviti kao produkt:

Ostaje proširiti kvadratni trinom.

Diskriminant ovog trinoma je negativan, stoga nema pravih korijena.

Odgovor:

Komentar:

Umjesto Hornerove sheme, moglo bi se koristiti odabir korijena i naknadno dijeljenje polinoma s polinomom.

Sada razmotrite proširenje polinoma s cjelobrojnim koeficijentima oblika , a koeficijent najvišeg stupnja nije jednak jedan.

U tom slučaju polinom može imati frakcijsko racionalne korijene.

Primjer.

Faktoriziraj izraz.

Riješenje.

Izvođenjem promjene varijable y=2x, prijeđimo na polinom s koeficijentom jednakim jedan na najvišem stupnju. Da biste to učinili, prvo pomnožite izraz s 4 .

Ako rezultirajuća funkcija ima cjelobrojne korijene, tada su oni među djeliteljima slobodnog člana. Zapišimo ih:

Izračunajmo sekvencijalno vrijednosti funkcije g (y) u tim točkama dok se ne postigne nula.

Vrlo često su brojnik i nazivnik razlomka algebarski izrazi koje je potrebno najprije rastaviti na faktore, a zatim, nakon što su među njima pronađeni identični, njima podijeliti i brojnik i nazivnik, odnosno smanjiti razlomak. Cijelo jedno poglavlje udžbenika algebre za 7. razred posvećeno je zadatku rastavljanja polinoma na faktore. Faktorizacija se može napraviti 3 načina, kao i kombinacija ovih metoda.

1. Primjena formula za skraćeno množenje

Kao što je poznato, do pomnožiti polinom polinomom, trebate pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog polinoma i dodati dobivene umnoške. Postoji najmanje 7 (sedam) čestih slučajeva množenja polinoma koji su uključeni u koncept. Na primjer,

Tablica 1. Faktorizacija na 1. način

2. Izvlačenje zajedničkog faktora iz zagrada

Ova se metoda temelji na primjeni distributivnog zakona množenja. Na primjer,

Svaki član izvornog izraza podijelimo faktorom koji izbacimo i dobijemo izraz u zagradama (odnosno rezultat dijeljenja onoga što je bilo s onim što izbacimo ostaje u zagradama). Prije svega trebate pravilno odredi množitelj, koji se mora izvaditi iz zagrade.

Zajednički faktor također može biti polinom u zagradama:

Prilikom izvođenja zadatka "faktoriziranja", morate biti posebno oprezni sa znakovima kada stavljate ukupni faktor izvan zagrada. Za promjenu predznaka svakog pojma u zagradi (b - a), izbacimo zajednički faktor iz zagrada -1 , a svaki izraz u zagradama bit će podijeljen s -1: (b - a) = - (a - b) .

Ako je izraz u zagradama na kvadrat (ili na bilo koju parnu potenciju), tada brojevi unutar zagrada mogu se zamijeniti potpuno slobodno, budući da će se minusi izvučeni iz zagrada množenjem ipak pretvoriti u plus: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 i tako dalje…

3. Metoda grupiranja

Ponekad nemaju svi pojmovi u izrazu zajednički faktor, već samo neki. Onda možete pokušati grupni pojmovi u zagradama tako da se iz svakog može izdvojiti neki faktor. Metoda grupiranja- ovo je dvostruko uklanjanje zajedničkih faktora iz zagrada.

4. Korištenje nekoliko metoda odjednom

Ponekad morate primijeniti ne jednu, već nekoliko metoda faktoriziranja polinoma odjednom.

Ovo je sažetak teme "faktorizacija". Odaberite sljedeće korake:

• Idi na sljedeći sažetak:

Bilo koji algebarski polinom stupnja n može se prikazati kao umnožak n-linearnih faktora oblika i konstantnog broja, koji su koeficijenti polinoma na najvišem stupnju x, tj.

Gdje - su korijeni polinoma.

Korijen polinoma je broj (realni ili kompleksni) koji čini da polinom nestaje. Korijeni polinoma mogu biti ili pravi korijeni ili kompleksno konjugirani korijeni, tada se polinom može prikazati u sljedećem obliku:

Razmotrimo metode za dekompoziciju polinoma stupnja “n” u produkt faktora prvog i drugog stupnja.

Metoda broj 1.Metoda neodređenih koeficijenata.

Koeficijenti tako transformiranog izraza određuju se metodom neodređenih koeficijenata. Bit metode je da je unaprijed poznata vrsta faktora na koje se dani polinom rastavlja. Kada se koristi metoda nesigurnih koeficijenata, vrijede sljedeće tvrdnje:

P.1. Dva su polinoma identički jednaka ako su im koeficijenti jednaki za iste potencije x.

P.2. Bilo koji polinom trećeg stupnja rastavlja se na umnožak linearnih i kvadratnih faktora.

P.3. Svaki polinom četvrtog stupnja može se rastaviti na umnožak dvaju polinoma drugog stupnja.

Primjer 1.1. Potrebno je faktorizirati kubni izraz:

P.1. U skladu s prihvaćenim tvrdnjama, identična jednakost vrijedi i za kubni izraz:

P.2. Desna strana izraza može se predstaviti kao pojmovi na sljedeći način:

P.3. Sastavljamo sustav jednadžbi iz uvjeta jednakosti koeficijenata pri odgovarajućim potencijama kubnog izraza.

Ovaj sustav jednadžbi može se riješiti odabirom koeficijenata (ako se radi o jednostavnom akademskom problemu) ili se mogu koristiti metode za rješavanje nelinearnih sustava jednadžbi. Odlučujući ovaj sustav jednadžbi, nalazimo da su nesigurni koeficijenti određeni na sljedeći način:

Dakle, izvorni izraz je faktoriziran u sljedećem obliku:

Ova se metoda može koristiti iu analitičkim izračunima iu računalnom programiranju za automatizaciju procesa pronalaženja korijena jednadžbe.

Metoda broj 2.Vieta formule

Vietine formule su formule koje povezuju koeficijente algebarskih jednadžbi stupnja n i njezinih korijena. Ove formule implicitno su predstavljene u djelima francuskog matematičara Françoisa Viete (1540. - 1603.). Zbog činjenice da je Vieth razmatrao samo pozitivne realne korijene, on stoga nije imao priliku napisati ove formule u općem eksplicitnom obliku.

Za bilo koji algebarski polinom stupnja n koji ima n-realnih korijena,

Vrijede sljedeće relacije koje povezuju korijene polinoma s njegovim koeficijentima:

Vietine formule prikladne su za provjeru točnosti pronalaženja korijena polinoma, kao i za konstruiranje polinoma iz zadanih korijena.

Primjer 2.1. Razmotrimo kako su korijeni polinoma povezani s njegovim koeficijentima na primjeru kubne jednadžbe

U skladu s Vietinim formulama, odnos između korijena polinoma i njegovih koeficijenata ima sljedeći oblik:

Slične relacije mogu se napraviti za bilo koji polinom stupnja n.

Metoda br. 3. Raspad kvadratna jednadžba faktorima s racionalnim korijenima

Iz posljednje Vietine formule slijedi da su korijeni polinoma djelitelji njegovog slobodnog člana i vodećeg koeficijenta. S tim u vezi, ako izjava problema specificira polinom stupnja n s cjelobrojnim koeficijentima

tada taj polinom ima racionalni korijen (nesvodivi razlomak), gdje je p djelitelj slobodnog člana, a q djelitelj vodećeg koeficijenta. U ovom slučaju, polinom stupnja n može se predstaviti kao (Bezoutov teorem):

Polinom čiji je stupanj za 1 manji od stupnja početnog polinoma određuje se dijeljenjem polinoma binoma stupnja n, na primjer koristeći Hornerovu shemu ili većinu na jednostavan način- "stupac".

Primjer 3.1. Potrebno je faktorizirati polinom

P.1. Zbog činjenice da je koeficijent najvećeg člana jednak jedan, racionalni korijeni ovog polinoma su djelitelji slobodnog člana izraza, tj. mogu biti cijeli brojevi . Svaki od prikazanih brojeva zamijenimo u izvorni izraz i utvrdimo da je korijen prikazanog polinoma jednak .

Podijelimo izvorni polinom s binomom:

Upotrijebimo Hornerovu shemu

Koeficijenti izvornog polinoma postavljaju se u gornjem retku, dok prva ćelija gornjeg retka ostaje prazna.

U prvoj ćeliji drugog retka napisan je pronađeni korijen (u primjeru koji se razmatra napisan je broj "2"), a sljedeće vrijednosti u ćelijama izračunate su na određeni način i to su koeficijenti polinoma, koji se dobiva dijeljenjem polinoma s binomom. Nepoznati koeficijenti određuju se na sljedeći način:

Vrijednost iz odgovarajuće ćelije prvog retka prenosi se u drugu ćeliju drugog retka (u primjeru koji se razmatra napisan je broj "1").

Treća ćelija drugog retka sadrži vrijednost umnoška prve ćelije i druge ćelije drugog retka plus vrijednost iz treće ćelije prvog retka (u primjeru koji razmatramo 2 ∙ 1 -5 = -3 ).

Četvrta ćelija drugog retka sadrži vrijednost umnoška prve ćelije i treće ćelije drugog retka plus vrijednost iz četvrte ćelije prvog retka (u primjeru koji razmatramo 2 ∙ (-3) +7 = 1).

Dakle, izvorni polinom je faktoriziran:

Metoda broj 4.Korištenje formula za skraćeno množenje

Skraćene formule množenja koriste se za pojednostavljenje izračuna, kao i rastavljanje polinoma na faktore. Skraćene formule množenja omogućuju vam pojednostavljenje rješenja pojedinačnih problema.

Formule koje se koriste za rastavljanje na faktore

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Po potrebi - sukladno zakonu, sudskom postupku, u suđenje, i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na području Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Faktoring polinoma je transformacija identiteta, kao rezultat koje se polinom transformira u umnožak više faktora - polinoma ili monoma.

Postoji nekoliko načina faktoriranja polinoma.

Metoda 1. Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrada.

Ova se transformacija temelji na distributivnom zakonu množenja: ac + bc = c(a + b). Bit transformacije je izolirati zajednički faktor u dvije komponente koje se razmatraju i "izbaciti" ga iz zagrada.

Rastavimo polinom na faktore 28x 3 – 35x 4.

Riješenje.

1. Nađite zajednički djelitelj za elemente 28x3 i 35x4. Za 28 i 35 to će biti 7; za x 3 i x 4 – x 3. Drugim riječima, naš zajednički faktor je 7x3.

2. Svaki od elemenata predstavljamo kao proizvod faktora od kojih jedan
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Zajednički faktor vadimo iz zagrada
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Metoda 2. Korištenje skraćenih formula množenja. “Majstorstvo” korištenja ove metode je uočiti jednu od skraćenih formula množenja u izrazu.

Rastavimo polinom na faktore x 6 – 1.

Riješenje.

1. Na ovaj izraz možemo primijeniti formulu razlike kvadrata. Da biste to učinili, zamislite x 6 kao (x 3) 2, a 1 kao 1 2, tj. 1. Izraz će imati oblik:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Na dobiveni izraz možemo primijeniti formulu za zbroj i razliku kubova:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Tako,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metoda 3. Grupiranje. Metoda grupiranja sastoji se u kombiniranju komponenti polinoma na takav način da se nad njima lako izvode operacije (zbrajanje, oduzimanje, oduzimanje zajedničkog faktora).

Rastavimo polinom na faktore x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Riješenje.

1. Grupirajmo komponente na ovaj način: 1. s 2. i 3. s 4.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. U dobivenom izrazu, zajedničke faktore vadimo iz zagrada: x 2 u prvom slučaju i 5 u drugom.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Izvadimo zajednički faktor x – 3 iz zagrada i dobijemo:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Tako,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Osigurajmo materijal.

Faktoriziraj polinom a 2 – 7ab + 12b 2 .

Riješenje.

1. Predstavimo monom 7ab kao zbroj 3ab + 4ab. Izraz će imati oblik:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Otvorimo zagrade i dobijemo:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Grupirajmo komponente polinoma na ovaj način: 1. s 2. i 3. s 4. Dobivamo:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Izbacimo uobičajene faktore iz zagrada:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Izbacimo zajednički faktor (a – 3b) iz zagrada:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Tako,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.