Izvannastavna aktivnost "rezanje geometrijskih oblika na dijelove." Problemi koji uključuju rezanje i ponovno rezanje oblika
Prezentacija za vizualni sat geometrije u 5. razredu. Fokusiran na udžbenik za obrazovne ustanove "Vizualna geometrija", razredi 5-6 / I.F. Shaprygin, L.N. Erganzhieva - Izdavač: Bustard, 2015.
Osnovni pojam: jednakost figura. Rezultati predmeta: prikazati jednake figure i obrazložiti njihovu jednakost; konstruirati zadane likove od ravnih geometrijski oblici; stvarati i manipulirati slikom: rastavljati, rotirati, kombinirati, postavljati. Metapredmetni rezultati: razvoj maštovito razmišljanje, sposobnosti dizajna, sposobnost predviđanja rezultata, formiranje komunikacijskih vještina.
Osobni rezultati: razvoj kognitivne aktivnosti; usađivanje ukusa za umni rad. Unutarpredmetne i međupredmetne veze: planimetrija (jednakost likova, simetrija, površina, jednaka veličina i jednak sastav), geometrijska kombinatorika, crtanje, tehnologija.
Ova lekcija je prva od dvije lekcije na ovu temu.
Ova lekcija pokriva probleme koji uključuju rezanje oblika. Cilj rješavača je razrezati naznačenu figuru na dva ili više jednakih dijelova. Kako bismo pojednostavili ovu figuru, često je podijeljena u ćelije. U ovim se zadacima implicitno uvodi pojam jednakosti figura (figure koje se preklapaju nazivaju se jednakima). Ova se definicija također koristi za provjeru jednakosti dobivenih brojki.
Pogledajte sadržaj dokumenta
“Problemi pri rezanju i savijanju oblika. Lekcija 1"
Problemi s rezanjem
i figure na sklapanje
Cilj: učvrstiti sposobnost rješavanja problema rezanja.
Vizualna geometrija
5. razred
Ova poslovica vas upozorava da ne žurite u rješavanju problema.
Danu figuru, koja je zbog lakšeg rada podijeljena na jednake ćelije, potrebno je izrezati na dva ili više dijelova.
Ako se ti dijelovi mogu postaviti jedan na drugi tako da se poklapaju (i figure se mogu okrenuti), tada je problem ispravno riješen.
Rješavanje problema
Lokalni trgovac zemljištem
zgrabio komadić neobične zemlje prilikom
oblici (nadao se da će ga isplativo prodati u dijelovima).
Ali svaki od njih osam pronađen
im kupci, htjeli imati
parcela nije gora od susjedove.
Gdje bi trgovac trebao instalirati
pregradne ograde,
da bude 8
identična područja?
Odgovor
Rješavanje problema
Kvadrat se sastoji od 16 identičnih ćelija,
4 od njih su prefarbane. Izrežite kvadrat
4 jednaka dijela tako da u svakom od njih
bila je samo jedna obojena ćelija.
Ćelija može zauzeti bilo koje mjesto u svakom dijelu.
Odgovor (4)
Rješavanje problema
Izrežite pravokutnik na 4 jednaka dijela,
(koristite što više metoda).
1 način
Prezentacija nudi samo 4 načina rješavanja ovog problema. Možda će učenici predložiti druge metode - i njih treba razmotriti u nastavi.
Metoda 2
3 načina
Napravite oblike od njih. Koliko ste ih dobili?
Dobivena
figure se zovu
TRIMINO .
Uzmite četiri identična kvadrata. Napravite oblike od njih.
- Koliko ste ih dobili?
Imam pet
TETRAMINO figure.
Sastavite pet kvadrata
sve moguće figure.
Koliko ste ih dobili?
Ukupno postoje 12 pentomino elemenata
Problemi rezanja područje su matematike u kojem, kako kažu, nema mamuta. Mnogo pojedinačnih problema, ali u biti nema opće teorije. Osim dobro poznatog Bolyai-Gerwinovog teorema, drugih temeljnih rezultata u ovom području praktički nema. Neizvjesnost je vječni pratilac rezanih zadataka. Možemo, na primjer, razrezati pravilan peterokut na šest dijelova, od kojih možemo oblikovati kvadrat; međutim, ne možemo dokazati da pet dijelova za to ne bi bilo dovoljno.
Uz pomoć lukave heuristike, mašte i pola litre ponekad uspijemo pronaći konkretno rješenje, ali u pravilu nemamo odgovarajuće alate kojima bismo dokazali minimalnost tog rješenja ili njegovo nepostojanje (potonje , naravno, vrijedi i za slučaj kada nismo pronašli rješenje) . To je žalosno i nepravedno. I jednog sam dana uzeo praznu bilježnicu i odlučio vratiti pravdu na ljestvici jedan konkretan zadatak: rezanje ravne figure na dva jednaka (podudarna) dijela. U sklopu ove serije članaka (usput, bit će ih tri), vi i ja, drugovi, pogledat ćemo ovaj smiješni poligon prikazan u nastavku i pokušati nepristrano shvatiti je li ga moguće prerezati na dva jednaka dijela. brojke ili ne.
Uvod
Prvo, obnovimo naš školski tečaj geometrije i prisjetimo se što su jednake figure. Yandex korisno predlaže:Dva lika u ravnini nazivaju se jednakima ako postoji kretanje koje jedan prema jedan pretvara jedan lik u drugi.
Sada pitajmo Wikipediju o pokretima. Ona će nam reći, prvo, da je gibanje transformacija ravnine koja zadržava udaljenosti između točaka. Drugo, postoji čak i klasifikacija kretanja u ravnini. Svi pripadaju jednom od sljedeća tri tipa:
- Klizna simetrija (ovdje, zbog praktičnosti i koristi, uključujem zrcalnu simetriju, kao degenerirani slučaj, gdje se paralelna translacija izvodi na nulti vektor)
Uvedimo neke oznake. Figuru koja se reže nazvat ćemo figura A, a dvije hipotetske jednake figure na koje je navodno možemo razrezati nazvat ćemo B odnosno C. Dio ravnine koji ne zauzima figura A nazvat ćemo regijom D. U slučajevima kada se određeni poligon sa slike smatra isječenom figurom, nazvat ćemo ga A 0 .
Dakle, ako se figura A može prerezati na dva jednaka dijela B i C, tada postoji kretanje koje prevodi B u C. To kretanje može biti ili paralelna translacija, ili rotacija, ili klizna simetrija (od sada više ne zahtijevam da se i zrcalna simetrija smatra kliznom). Naša će se odluka temeljiti na ovoj jednostavnoj i, čak bih rekao, očitoj osnovi. U ovom dijelu ćemo pogledati najjednostavniji slučaj - paralelni prijenos. Rotacijska i klizna simetrija spadaju u drugi i treći dio.
Slučaj 1: paralelni prijenos
Paralelni prijenos je određen jednim parametrom - vektorom po kojem dolazi do pomaka. Uvedimo još nekoliko pojmova. Nazvat ćemo ravnu liniju paralelnu s vektorom pomaka i koja sadrži barem jednu točku figure A sječna. Sjecište sekante i figure A nazvat ćemo poprečni presjek. Sekantu u odnosu na koju lik A (bez presjeka) u cijelosti leži u jednoj poluravnini nazivamo granica.
Lema 1. Rubni dio mora sadržavati više od jedne točke.
Dokaz: očit. Pa, ili detaljnije: dokažimo to kontradikcijom. Ako ta točka pripada slici B, onda je slika(tj. točka do koje će ići tijekom paralelnog prevođenja) pripada slici C => slika pripada slici A => slika pripada odsječku. Kontradikcija. Ako ta točka pripada slici C, onda je prototip(točka koja će, uz paralelno prevođenje, ući u nju) pripada slici B, a zatim slično. Ispada da u odjeljku moraju postojati najmanje dvije točke.
Vodeći se ovom jednostavnom lemom, nije teško razumjeti da se željena paralelna translacija može dogoditi samo duž okomite osi (u trenutnoj orijentaciji slike). Da je u bilo kojem drugom smjeru, barem jedan od graničnih odjeljaka bi sastoji se od jedne točke. To se može razumjeti mentalnim rotiranjem vektora pomaka i gledanjem što se događa s granicama. Kako bismo eliminirali slučaj okomitog paralelnog prijenosa, potreban nam je sofisticiraniji alat.
Lema 2. Inverzna slika točke koja se nalazi na granici figure C je ili na granici likova B i C, ili na granici figure B i područja D.
Dokaz: nije očit, ali ćemo to sada popraviti. Podsjećam da je granična točka figure takva točka da, ma koliko joj bila blizu, postoje i točke koje pripadaju liku i točke koje joj ne pripadaju. Prema tome, u blizini granične točke (nazovimo je O") figure C bit će obje točke slike C i druge točke koje pripadaju ili slici B ili području D. Inverzne slike točaka slike C mogu biti samo točke slike B. Prema tome, koliko god blizu inverzne slike točke O" (logično bi je bilo nazvati točkom O) nalaze se točke lika B. Inverzne slike točaka lika B mogu biti bilo koje točke koje ne pripadaju B (to jest, ili točke figure C ili točke područja D). Slično za točke područja D. Prema tome, bez obzira koliko blizu točke O postoje ili točke figure C (i tada će točka O biti na granici B i C) ili točke područja D (i tada će inverzna slika biti na granici B i D). Ako možete proći kroz sva ova slova, složit ćete se da je lema dokazana.
Teorem 1. Ako je presjek slike A segment, tada je njegova duljina višekratnik duljine vektora pomaka.
Dokaz: razmotrite "daleki" kraj ovog segmenta (tj. kraj čiji prototip također pripada segmentu). Ovaj kraj očito pripada slici C i njezina je granična točka. Prema tome, njegova inverzna slika (usput, koja također leži na segmentu i odvojena od slike duljinom vektora pomaka) bit će ili na granici B i C, ili na granici B i D. Ako je je na granici B i C, tada također uzimamo njegovu inverznu sliku . Ponavljat ćemo ovu operaciju sve dok sljedeća inverzna slika ne prestane biti na granici C i završi na granici D - a to će se dogoditi točno na drugom kraju presjeka. Kao rezultat toga, dobivamo lanac predslika koje dijele dionicu na niz malih segmenata, od kojih je duljina svakog jednaka duljini vektora pomaka. Stoga je duljina odsječka višekratnik duljine vektora pomaka itd.
Korolar teorema 1. Bilo koja dva odjeljka koja su segmenti moraju biti sumjerljiva.
Koristeći ovaj korolar, lako je pokazati da vertikalni paralelni prijenos također nestaje.
Doista, dionica jedan ima duljinu od tri ćelije, a dionica dva ima duljinu od tri minus korijen iz dva popola. Očito, te vrijednosti su nesamjerljive.
Zaključak
Ako je slika A 0 i može se razrezati na dvije jednake figure B i C, tada se B ne prevodi u C paralelnim prevođenjem. Nastavit će se.S listom kariranog papira uz pomoć škara možete riješiti mnogo različitih i zanimljivih problema. Ovi zadaci nisu samo zanimljivi ili zabavni. Često sadrže praktično rješenje i dokaz ponekad vrlo složenih geometrijskih pitanja.
Započnimo s glavnim pravilom rezanja i savijanja: Dva poligona nazivamo jednakosloženim ako se jedan od njih može podijeliti (presjeći) na nekoliko drugih poligona, od kojih se onda može oblikovati drugi poligon.
Poligoni jednakih proporcija, naravno, imaju istu površinu (jednaku veličinu), pa nam svojstvo jednakog sastava ponekad omogućuje dobivanje formula za izračunavanje površina ili usporedbu površina figura (kako kažu, način podjele ili razgradnje). Primjer je usporedba (izračunavanje) površina paralelograma i pravokutnika.
Općenito pitanje ekvivalencije dvaju mnogokuta daleko je od jednostavnog. Postoji nevjerojatan teorem koji kaže da se iz bilo kojeg poligona, rezanjem na dijelove, može konstruirati bilo koji drugi poligon iste površine.
Ovaj se teorem bavi takozvanim jednostavnim poligonima. Jednostavan poligon je mnogokut čija se granica sastoji od jedne zatvorene linije bez samosjecišta, a točno dvije njegove karike konvergiraju u svakom vrhu te izlomljene linije. Važno svojstvo jednostavnog mnogokuta je činjenica da ima barem jednu unutarnju dijagonalu.
Imajte na umu da smo (slika 3) morali podijeliti pravokutnik na tri dijela da bismo omogućili transformaciju pravokutnika u kvadrat. Međutim, ova podjela nije jedina. Na primjer, možete dati primjer dijeljenja pravokutnika na četiri dijela (slika 4).
https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_116.gif" width="356" height="391 src=">
Ostaje do danas otvoreno pitanje koji je najmanji broj rezova dovoljan da se iz jedne figure konstruira druga.
Zadatak 1.
Jedna je žena imala pravokutni tepih dimenzija 27 x 36 inča; dva nasuprotna kuta bila su pohabana (slika 5) i morali su ih odrezati, ali ona je htjela pravokutni tepih. Dala je ovaj posao majstoru i on ga je obavio. Kako je to učinio?
Rješenje problema je vidljivo sa slike 6.
https://pandia.ru/text/78/456/images/image009_72.gif" width="286" height="240 src=">
Ako se nazubljeni dio A odvoji od nazubljenog dijela B i zatim gurne natrag između zuba dijela B, pomaknuvši ga za jedan zub udesno, dobit će se željeni pravokutnik.
Zadatak 2.
Kako napraviti kvadrat od pet identičnih kvadrata njihovim rezanjem.
Kao što je prikazano na slici 7, četiri kvadrata treba izrezati u trokut i trapez. Pričvrstite četiri trapeza na stranice petog kvadrata i na kraju pričvrstite trokute s krakovima na osnovice trapeza.
https://pandia.ru/text/78/456/images/image011_68.gif" width="382" height="271 src=">
Zadatak 3.
Kvadrat razrežite na sedam takvih dijelova tako da, kada ih zbrojite, dobijete tri jednaka kvadrata. (Slike 8, 9)
https://pandia.ru/text/78/456/images/image013_60.gif" width="188" height="189 src="> 
Zadatak 4.
Kvadrat razrežite na osam dijelova tako da njihovim zbrajanjem dobijete dva kvadrata od kojih je jedan upola manji od drugog.
Na slici 10 možete vidjeti kako izrezati kvadrat. Rješenje je slično rješenju prethodnog problema. Slika 11 pokazuje kako zbrajati dijelove da biste dobili dva tražena kvadrata.
Edukativna tura
Zadaci za neovisna odluka ekipe “mlađeg” uzrasta
Problem 1
Puž se penje po stupu visokom 10 m. Danju se podigne 5 m, a noću spusti 4 m. Koliko će vremena pužu trebati da stigne od dna do vrha stupa?
Problem 2
Je li moguće izrezati rupu u komadu papira za bilježnicu kroz koju bi osoba mogla proći?
Problem 3
Zečevi pile kladu. Napravili su 10 rezova. Koliko ste trupaca dobili?
Problem 4
Bagel je izrezan na sektore. Napravili smo 10 rezova. Koliko si komada dobio?
Problem 5
Na velikoj okrugloj torti napravljeno je 10 rezova tako da svaki rez ide od ruba do ruba i prolazi kroz središte torte. Koliko si komada dobio?
Problem 6
Dvoje ljudi jelo je dvije četvrtaste torte. Svatko je napravio 2 ravna reza na svojoj torti od ruba do ruba. Pritom je jedan dobio tri komada, a drugi četiri. Kako je ovo moglo biti?
Problem 7
Zečevi opet pile kladu, ali sada su oba kraja klade osigurana. Deset srednjih balvana je palo, ali su dva vanjska ostala učvršćena. Koliko su rezova napravili zečevi?
Problem 8
Kako podijeliti palačinku na 4,5, 6, 7 dijelova pomoću tri ravna reza?
Problem 9
Na pravokutnoj torti nalazi se okrugla čokoladica. Kako prerezati tortu na dva jednaka dijela tako da se i čokoladica podijeli točno na pola?
Problem 10
Može li se ispeći kolač koji se jednim ravnim rezom može podijeliti na 4 dijela?
Problem 11
Na koji najveći broj komada se okrugla palačinka može podijeliti pomoću tri ravna reza?
Problem 12
Koliko je puta duže stubište do četvrtog kata kuće od stubišta do drugog kata iste kuće?
Problem 13
Giuseppe ima list šperploče, veličine 22 × 15. Giuseppe želi od njega izrezati što više pravokutnih komada veličine 3. × 5. Kako to učiniti?
Problem 14
Čarobna zemlja ima svoje čarobne zakone prirode, od kojih jedan kaže: "Leteći tepih će letjeti samo ako ima pravokutni oblik."
Ivan Tsarevich imao je čarobni tepih veličine 9 × 12. Jednog se dana zmija Gorynych prikrala i odrezala mali tepih veličine 1 s ovog tepiha × 8. Ivan Tsarevich je bio jako uzrujan i htio je odrezati još jedan komad 1 × 4 da napravite pravokutnik 8 × 12, ali je Vasilisa Mudra predložila da se učini drugačije. Tepih je izrezala na tri dijela od kojih je čarobnim nitima sašila kvadratni leteći tepih dimenzija 10 × 10.
Možete li pogoditi kako je Vasilisa Mudra prepravila oštećeni tepih?
Problem 15
Kad je Gulliver stigao u Lilliput, otkrio je da su tamo sve stvari točno 12 puta kraće nego u njegovoj domovini. Možete li reći koliko liliputanskih kutija stane u Gulliverovu kutiju šibica?
Problem 16
Na jarbolu gusarskog broda vijori dvobojna pravokutna zastava koja se sastoji od naizmjeničnih crnih i bijelih okomitih pruga iste širine. Ukupan broj pruga jednak je broju zatvorenika koji su trenutno na brodu. Isprva je na brodu bilo 12 zatvorenika, a na zastavi 12 pruga; tad su dvojica zarobljenika pobjegla. Kako izrezati zastavu na dva dijela i zatim ih sašiti tako da se površina zastave i širina pruga ne mijenjaju, ali da broj pruga postane 10?
Problem 17
U krugu je bila označena točka. Je li moguće ovaj krug prerezati na tri dijela tako da se od njih može oblikovati novi krug, s označenom točkom u središtu?
Problem 18
Je li moguće razrezati kvadrat na četiri dijela tako da se svaki dio dodiruje (tj. ima zajedničke prostorije granice) s još tri?
DIV_ADBLOCK245">
Problem 24
Na ravnalu duljine 9 cm nema podjela. Na njega nanesite tri međupodjeljka kako biste njime mogli mjeriti udaljenosti od 1 do 9 cm s točnošću od 1 cm.
Problem 25
Napišite neke brojeve pored svakog vrha trokuta i napišite zbroj brojeva na krajevima te stranice blizu svake stranice trokuta. Sada dodajte svaki broj pri vrhu broju blizu suprotne strane. Što mislite, zašto su iznosi ispali isti?
Problem 26
Kolika je površina trokuta sa stranicama 18, 17, 35?
Problem 27
Izrežite kvadrat na pet trokuta tako da površina jednog od tih trokuta bude jednaka zbroju površina preostalih.
Problem 28
Kvadratni list papira izrezan je na šest dijelova u obliku konveksnih poligona; pet komada je izgubljeno, a ostao je jedan komad u obliku pravilnog osmerokuta (vidi sliku). Je li moguće rekonstruirati izvorni kvadrat koristeći samo ovaj osmerokut?
Problem 29
Kvadrat možete jednostavno razrezati na dva jednaka trokuta ili dva jednaka četverokuta. Kako razrezati kvadrat na dva jednaka peterokuta ili dva jednaka šesterokuta?
Problem 30
Ivan Carević je otišao potražiti Vasilisu Lijepu koju je oteo Koščej. Goblin ga susreće.
"Znam", kaže on, "ja sam nekada odlazio tamo i odlazio u kraljevstvo Koščejevo." Hodao sam četiri dana i četiri noći. U prva 24 sata prešao sam trećinu puta, ravnom cestom prema sjeveru. Zatim je skrenuo na zapad, provlačio se kroz šumu jedan dan i prešao upola manje. Treći dan hodao sam kroz šumu, već prema jugu, i izašao na ravnu cestu koja je vodila prema istoku. Pješačio sam njime 100 milja u danu i završio u Koščejevskom kraljevstvu. Ti si brz hodač kao i ja. Idi, Ivane Careviću, pogledaj, peti dan ćeš biti u posjeti Koščeju.
Ne, odgovori Ivan Carevič, ako sve bude kako ti kažeš, sutra ću vidjeti svoju Vasilisu Lijepu.
Je li u pravu? Koliko je milja prešao Leshy i koliko carević Ivan misli o pješačenju?
Problem 31
Osmislite shemu boja za lica kocke tako da u tri različita položaja izgleda kao na slici. (Odredite kako obojiti nevidljive rubove ili nacrtajte mrežu.)
https://pandia.ru/text/78/456/images/image023_44.gif" align="lijevo" širina="205" visina="205 src="> Problem 32
Numizmatičar Fedya ima sve kovanice promjera ne većeg od 10 cm, pohranjuje ih u ravnu kutiju dimenzija 30 cm * 70 cm (u jednom sloju). Dobio je novčić promjera 25 cm. Dokaži da se svi novčići mogu staviti u jednu ravnu kutiju dimenzija 55 cm * 55 cm.
Problem 33
Iz kvadrata 5x5 izrezan je središnji kvadrat. Dobiveni oblik prerežite na dva dijela u koje možete zamotati kocku 2x2x2.
Problem 34
Izrežite ovaj kvadrat duž stranica ćelija na četiri dijela tako da svi dijelovi budu iste veličine i isti oblik i to tako da svaki dio sadrži jedan krug i jednu zvijezdu.
Problem 35
Parkiranje u cvjetni grad je kvadrat od 7x7 ćelija, u svaku od njih možete staviti automobil. Parkiralište je ograđeno ogradom, jedna od stranica kutnog kaveza je uklonjena (ovo su vrata). Auto vozi stazom širokom kao kavez. Dunno je zamoljen da postavi što više automobila na parkiralište kako bi bilo tko mogao otići dok drugi stoje. Dunno je rasporedio 24 automobila kao što je prikazano na sl. Pokušajte drugačije rasporediti automobile kako biste primili više njih.
Problem 36
Petya i Vasya žive u susjednim kućama (vidi plan na slici). Vasya živi u četvrtom ulazu. Poznato je da Petja, kako bi došao do Vasje najkraćim putem (ne nužno uz rubove ćelija), ne mari s koje strane trči oko svoje kuće. Odredite u kojem ulazu Petja živi.
Problem 37
Predložite način mjerenja dijagonale obične opeke, koji se lako provodi u praksi (bez Pitagorinog teorema).
Problem 38
Križ napravljen od pet identičnih kvadrata izrežite na tri poligona jednake površine i opsega.
Problem 39
https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_35.gif" width="411" height="111">
Problem 46
a) Tetraedar b) kocka je izrezana po rubovima istaknutim masnim crtama (vidi slike) i rasklopljena. Nacrtajte dobiveni razvoj događaja.
Problem 47
Razvoji kojih tijela su prikazani na slikama? Nacrtajte crteže prema crtežima, zalijepite ih tako da formiraju geometrijsko tijelo.
1)
2) 
3) 
4) https://pandia.ru/text/78/456/images/image039_30.gif" width="182" height="146 src=">.gif" width="212" height="139">8 ) 
Natrag naprijed
Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati sve značajke prezentacije. Ako si zainteresiran ovaj posao, preuzmite punu verziju.
Iskustvo pokazuje da je primjenom praktičnih metoda nastave kod učenika moguće formirati niz misaonih tehnika potrebnih za pravilno prepoznavanje bitnih i nebitnih obilježja pri upoznavanju geometrijskih figura. razvija se matematička intuicija, logičko i apstraktno razmišljanje, formira se kultura matematičkog govora, razvijaju se matematičke i dizajnerske sposobnosti, povećava se kognitivna aktivnost, formira se kognitivni interes, razvija se intelektualni i kreativni potencijal Članak nudi niz praktičnih zadataka o rezanju geometrijskih oblikuje u dijelove kako bi sastavio te dijelove stvorio novu figuru. Učenici rade zadatke u grupama. Svaka skupina zatim brani svoj projekt.
Dva se lika nazivaju jednako sastavljenima ako je, rezanjem jednog od njih na određeni način na konačan broj dijelova, moguće (različitim rasporedom tih dijelova) od njih sastaviti drugi lik. Dakle, metoda particioniranja temelji se na činjenici da su svaka dva jednako sastavljena poligona jednake veličine. Prirodno je postaviti suprotno pitanje: jesu li bilo koja dva mnogokuta iste površine jednake veličine? Odgovor na to pitanje dali su (gotovo istovremeno) mađarski matematičar Farkas Bolyai (1832.) i njemački časnik i matematičar entuzijast Gerwin (1833.): dva mnogokuta jednakih površina jednako su proporcionalna.
Bolyai-Gerwinov teorem kaže da se bilo koji mnogokut može izrezati na dijelove tako da se dijelovi mogu oblikovati u kvadrat.
Vježba 1.
Izrežite pravokutnik a x 2a na dijelove tako da se od njih može napraviti kvadrat.
Pravokutnik ABCD isječemo na tri dijela duž linija MD i MC (M je sredina AB)
Slika 1
Pomaknemo trokut AMD tako da se vrh M poklopi s vrhom C, krak AM se pomakne na segment DC. Pomaknemo trokut MVS ulijevo i dolje tako da krak MV prekriva polovicu segmenta DC. (Slika 1)
Zadatak 2.
Jednakostranični trokut izrežite na dijelove tako da se mogu saviti u kvadrat.
Označimo taj pravilni trokut ABC. Potrebno je trokut ABC razrezati na mnogokute tako da se mogu presavijati u kvadrat. Tada ti poligoni moraju imati barem jedan pravi kut.
Neka je K polovište CB, T polovište AB, odaberite točke M i E na stranici AC tako da je ME=AT=TV=BK=SC= A, AM=EC= A/2.
Slika 2
Nacrtajmo dužinu MK i dužice EP i TN okomite na njega. Izrežemo trokut na komade duž konstruiranih linija. Zakrenemo četverokut KRES u smjeru kazaljke na satu u odnosu na vrh K tako da SC bude poravnat s odsječkom KV. Zarotirajmo četverokut AMNT u smjeru kazaljke na satu u odnosu na vrh T tako da AT bude poravnat s TV. Pomaknimo trokut MEP tako da rezultat bude kvadrat. (Slika 2)
Zadatak 3.
Kvadrat izrežite na komade tako da se od njih mogu saviti dva kvadrata.
Označimo izvorni kvadrat ABCD. Označimo središta stranica kvadrata - točke M, N, K, H. Nacrtajmo odsječke MT, HE, KF i NP - dijelove odsječaka MC, HB, KA i ND.
Rezanjem kvadrata ABCD po nacrtanim crtama dobivamo kvadrat PTEF i četiri četverokuta MDHT, HCKE, KBNF i NAMP.
Slika 3
PTEF je gotov kvadrat. Od preostalih četverokuta formirat ćemo drugi kvadrat. Vrhovi A, B, C i D su kompatibilni u jednoj točki, segmenti AM i BC, MD i KS, BN i CH, DH i AN su kompatibilni. Točke P, T, E i F postat će vrhovi novog kvadrata. (Slika 3)
Zadatak 4.
Iz debelog papira izrezani su jednakostranični trokut i kvadrat. Izrežite te figure na poligone tako da se mogu sklopiti u jedan kvadrat, a dijelovi ga moraju u potpunosti ispunjavati i ne smiju se sijeći.
Izrežite trokut na dijelove i napravite od njih kvadrat prema zadatku 2. Duljina stranice trokuta – 2a. Sada treba kvadrat podijeliti na poligone tako da od tih dijelova i kvadrata koji je izašao iz trokuta napravite novi kvadrat. Uzmite kvadrat sa stranicom 2 A, označimo ga LRSD. Nacrtajmo međusobno okomite odsječke UG i VF tako da je DU=SF=RG=LV. Izrežemo kvadrat na četverokute.
Slika 4
Uzmimo kvadrat sastavljen od dijelova trokuta. Postavimo četverokute - dijelove kvadrata, kao što je prikazano na slici 4.
Zadatak 5.
Križ se sastoji od pet kvadrata: jedan kvadrat u sredini, a ostala četiri uz njegove strane. Narežite ga na komade tako da od njih napravite kvadrat.
Spojimo vrhove kvadrata kao što je prikazano na slici 5. Odrežite “vanjske” trokute i premjestite ih na slobodna mjesta unutar kvadrata ABC.
Slika 5
Zadatak 6.
Precrtaj dva proizvoljna kvadrata u jedan.
Slika 6 prikazuje kako rezati i pomicati kvadratne dijelove.
- Kvadrat sadrži 16 ćelija. Podijelite kvadrat na dva jednaka dijela tako da linija rezanja ide duž stranica ćelija. (Metode rezanja kvadrata na dva dijela smatrat ćemo različitima ako dijelovi kvadrata dobiveni jednom metodom rezanja nisu jednaki dijelovima dobivenim drugom metodom.) Koliko ukupno rješenja ima zadatak?
- Pravokutnik 3X4 sadrži 12 ćelija. Nađite pet načina za rezanje pravokutnika na dva jednaka dijela tako da linija reza ide duž stranica ćelija (metode rezanja smatraju se različitim ako dijelovi dobiveni jednom metodom rezanja nisu jednaki dijelovima dobivenim drugom metodom).
- Pravokutnik 3X5 sadrži 15 ćelija, a središnja ćelija je uklonjena. Pronađite pet načina da preostalu figuru prerežete na dva jednaka dijela tako da linija za rezanje ide duž stranica ćelija.
- Kvadrat 6x6 podijeljen je na 36 identičnih kvadrata. Pronađite pet načina za rezanje kvadrata na dva jednaka dijela tako da linija rezanja ide duž stranica kvadrata. Napomena: problem ima više od 200 rješenja.
- Podijelite kvadrat 4x4 na četiri jednaka dijela, tako da linija rezanja ide duž stranica kvadrata. Koliko na razne načine hoćeš li naći kakve rezove?
- Podijelite figuru (slika 5) na tri jednaka dijela tako da linija reza ide duž stranica kvadrata.
7. Podijelite figuru (slika 6) na četiri jednaka dijela tako da linija reza ide duž stranica kvadrata.
8. Podijelite figuru (slika 7) na četiri jednaka dijela tako da linije reza idu duž stranica kvadrata. Pronađite što više rješenja.
9. Kvadrat 5x5 s izrezanim središnjim kvadratom podijelite na četiri jednaka dijela.
10. Izrežite figure prikazane na sl. 8 na dva jednaka dijela duž crta mreže, a svaki dio treba imati krug.
11. Figure prikazane na slici 9 moraju se izrezati duž linija mreže na četiri jednaka dijela tako da svaki dio ima krug. Kako to učiniti?
12. Izrežite figuru prikazanu na slici 10 duž linija mreže na četiri jednaka dijela i presavijte ih u kvadrat tako da krugovi i zvjezdice budu smješteni simetrično u odnosu na sve osi simetrije kvadrata.
13. Izrežite ovaj kvadrat (slika 11) duž stranica ćelija tako da svi dijelovi budu iste veličine i oblika te da svaki sadrži po jedan krug i zvjezdicu.
14. Izrežite karirani papirnati kvadrat 6x6 prikazan na slici 12 na četiri jednaka dijela tako da svaki dio sadrži tri osjenčana kvadrata.